专题04 函数的单调性与最值-2026年高一数学寒假强化专练（人教A版必修第一册）

专题04 函数的单调性与最值 高一寒假数学复习资料 专题04 函数的单调性与最值 一、知识回顾： 1．函数的单调性 (1)单调递增、单调递减： 名称 定义 图形表示 几何意义 单调递增 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI：如果x1,x2∈D，当x1 < x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增. 函数f(x)在区间D上的图象从左到右是上升的. 单调递减 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI：如果x1,x2∈D，当x1 < x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减. 函数f(x)在区间D上的图象从左到右是下降的. (2)函数的单调性及单调区间： ①当函数f(x)在它的定义域上单调递增(减)时，我们就称它是增(减)函数. ②如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间. (3)常见函数的单调性： 函数 单调性 一次函数y=ax+b(a≠0) a>0时，在R上单调递增； a<0时，在R上单调递减. 反比例函数 a>0时，单调递减区间是(-∞,0)和(0,+∞)； a<0时，单调递增区间是(-∞,0)和(0,+∞). 二次函数y=a(x-m)²+n (a≠0) a>0时，单调递减区间是(-∞,m]，单调递增区间是[m,+∞)； a<0时，单调递减区间是[m,+∞)，单调递增区间是(-∞,m]. (4)单调函数的运算性质： 若函数f(x)，g(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： ①f(x)与f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性. ②若a为常数，则 当a>0时，f(x)与a f(x)具有相同的单调性； 当a<0时，f(x)与a f(x)具有相反的单调性. ③若f(x)恒为正值或恒为负值，a为常数，则 当a>0时，f(x)与具有相反的单调性； 当a<0时，f(x)与具有相同的单调性. ④若f(x)≥0，则f(x)与具有相同的单调性. ⑤在f(x)，g(x)的公共单调区间上，有如下结论： f(x) g(x) f(x)+g(x) f(x)-g(x) 增 增 增 不能确定单调性 增 减 不能确定单调性 增 减 减 减 不能确定单调性 减 增 不能确定单调性 减 ⑥当f(x)，g(x)在区间D上都是单调递增(减)的，若两者都恒大于零，则f(x)· g(x)在区间D上也是单调递增(减)的；若两者都恒小于零，则f(x)· g(x)在区间D上单调递减(增). (5)复合函数的单调性判定： 对于复合函数f(g(x))，设t=g(x)在(a,b)上单调，且y=f(t)在(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上也单调. t=g(x) y=f(t) y=f(g(x)) 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 2．函数单调性的判断 (1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性. (2)复合函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则. 3．函数的最值 (1)函数最大值和最小值的定义： 名称 定义 几何意义 函数的最大值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： (1)∀x∈1，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈1，使得f(x0)=M. 那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值. 函数的最大值对应图象最高点的纵坐标. 函数的最小值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数m满足： (1)∀x∈1，都有f(x)≥m； (2)∃x0∈1，使得f(x0)=m. 那么，我们称m是函数y=f(x)的最小值. 函数的最小值对应图象最低点的纵坐标. (2)利用函数单调性求最值的常用结论： ①如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增，在区间[b,c]上单调递减，那么函数y=f(x),x∈[a,c]在x=b处有最大值f(b)，如图(1)所示； ②如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减，在区间[b,c]上单调递增，那么函数y=f(x), x∈[a,c]在x=b处有最小值f(b)，如图(2)所示. 4．求函数最值的三种基本方法： (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值. (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值. (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值. 二、考点聚焦： 地 城 考点01 函数单调性的判断与证明 【经典例题】 1．(21-22高一上·云南玉溪·期末)下列选项中，在为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】当时，为增函数，A正确；，因为与在上均为增函数，所以在也为增函数，B正确；的对称轴为，所以在上单调递减，在上单调递增，不符合题意，C错误；，因为与在均为减函数，所以在也为减函数，D错误.故选：AB 2．(24-25高一上·山西吕梁·期末)已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断函数的单调性，并用定义证明； (3)解不等式. 【详解】（1）要使函数有意义，则且，即， 所以函数定义域为. （2）是减函数. 证明如下：设，且， 则. 因为，所以.所以. 所以，即.所以是减函数. （3）函数的定义域为，要有意义，则，即， 要有意义，则. 因为是减函数， 由，得，即， 解得或.综上得或. 所以不等式的解集为或. 【变式训练】 1．(24-25高一上·广西县域高中·)（多选）已知，为实数，且，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于A，，而，故A不正确； 对于B，因为为减函数，，所以，故B正确； 对于C，因为为增函数，，所以，故C正确； 对于D，，而，故D不正确.故选：BC. 2．(24-25高一上·北京第一零一中学·期中)函数的图象不可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【详解】当时，，对应图象是B选项.当时，对应图象是D选项.当时，在上单调递减，对应图象是C选项.所以不可能的是A选项.故选：A 3．(24-25高一上·广西北海合浦县·期中)已知函数满足对于任意不同的实数x，y，都有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由，得，则，整理得．令函数，则由，得，从而在R上单调递增，则，即，，即，A正确，B不正确．因为，所以，则，即，C正确．因为单调性不确定，而，即，所以与的大小关系不确定，D不正确．故选：AC 4．(25-26高三上·北京房山区·调研)已知函数的定义域为，则“在上是增函数”是“对任意，存在，使得”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】充分性：因为在上是增函数，且时，有，所以， 即“在上是增函数”能推出“对任意，存在，使得”，充分性成立. 必要性：如函数，当时，取， 当时，，，， 当时，，，， 所以当时，取，.当时，，则， 此时，所以， 综上，函数满足对任意，存在，使得. 但取，时，，不满足增函数的定义， 故 “对任意，存在，使得” 不能推出 “在上是增函数”， 必要性不成立.故选：A. 5．(25-26高一上·山西山西大学附属中学校·期中)函数满足对一切x，有，且；当时，有． (1)求，，的值; (2)证明在R上的单调性； (3)求不等式的解集． 【详解】（1）由函数满足对一切，且， 令，可得，令，可得， 再令，   所以，可得. 再令， 所以，可得. （2）为上的单调递减函数. 证明如下： 设且，   令，则， 因为当时，有，所以，     所以， 由 ， 即，所以为上的单调递减函数. （3）由，原不等式化为， 令，可得，解得，即， 又由，所以， 因为为上的单调递减函数，所以， 即，解得，所以不等式的解集为. 【巩固练习】 1．(24-25高一上·广西柳州·期末)下列函数中，在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，显然函数的定义域不为，即A错误；对于B，因为，所以函数在上单调递减，即B错误；对于C，易知的定义域为，即在上单调递增，即C错误；对于D，易知在上单调递增，在上单调递增，且，所以在上单调递增，即D正确.故选：D 2．(25-26高一上·山西太原·期中)已知定义域为的函数满足：①对于任意的，都有；②对于任意的，，都有；③当时，都有； ④.(1)求的值；(2)证明：是减函数；(3)解不等式：. 【详解】（1）因为对于任意的，，都有，且， 令，，则，可得； 令，，则，即，可得. （2）对，，且，则，可得，， 则，所以在上是减函数. （3）因为对于任意的，，都有， 令，可得；令，可得； 令，可得，且，可得， 所以原不等式等价于， 由（2）可知在上是减函数，则，解得， 所以原不等式的解集为. 地 城 考点02 求函数的单调区间 【经典例题】 1．(24-25高一上·广西来宾忻城县高级中学·期中)函数的单调递减区间是 . 【答案】/ 【详解】，所以函数的单调递减区间是.故答案为： 2．(25-26高一上·江苏南京金陵中学·期中)函数的单调减区间为 . 【答案】和 【详解】由题意得定义域为，，由反比例函数的单调性可知： 函数的单调递减区间为.故答案为：和 3．(24-25高一上·青海青海湟川中学·期中)函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知函数满足，解得或，即函数定义域为，令，则的图象开口向上，且对称轴为直线，则在上单调递减，在上单调递增，又在上单调递增，故的单调递减区间是.故选：B 【变式训练】 1．(25-26高一上·四川眉山仁寿县·期中)函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数，则该函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递减区间为.故选：C 2．函数的单调递增区间为 ． 【答案】和 【详解】函数中，故定义域为和，令函数，则反比例函数在定义域和内单调递减，在定义域和内单调递增，的单调递增区间为和．故答案为：和． 3．(25-26高一上·福建龙岩第一中学·)函数的单调递增区间是 . 【答案】和 【详解】当时，，为双勾函数，此时单调增区间为；当时，，为增函数，单调增区间为，故答案为：和. 4．(25-26高一上·山东枣庄薛城区·期中)函数f（x）＝的单调递减区间是（   ） A． B． C．[1,4] D．[－2,1] 【答案】C 【详解】由题可知，，解得.令，则， 因为在上单调递减，而在上单调递增，根据复合函数单调性“同增异减”，所以在上单调递减.故选：C. 5．(25-26高一上·广东深圳北京师范大学南山附属高级中学·期中)已知函数，则函数的单调增区间是（    ） A．和 B． C．和 D． 【答案】A 【详解】由于函数，当时，，由于图象的对称轴为，则函数在上单调递增，当时，，由于图象的对称轴为，则函数在上单调递增，故函数的单调增区间是和.故选：A 6．(25-26高一上·天津静文高级中学·月考)函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的定义域需满足，解得或，的定义域为，设，当时，，且关于单调递增，当时，，且关于单调递减，在定义域上单调递减，的单调递减区间为，故D正确．故选：D． 7．(25-26高一上·湖南娄底涟源部分学校·期中)已知函数在上单调递减，则函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，因为在上单调递增，所以在上单调递减，对于， 由解得：，令，当时，随增大而减小，当时，随增大而增大，因为在上单调递减，所以的单调递增区间是函数的单调递减区间，所以的单调递增区间是，故选：C. 8．(25-26高一上·天津耀华中学·期中)若定义在上的函数满足则的单调递增区间为 . 【答案】 【详解】当时，，，所以在上单调递增；当时，，所以，所以，所以在上单调递增，综上所述：的单调递增区间为， 故答案为：. 【巩固练习】 1．(25-26高一上·重庆渝东九校·期中)函数的单调递减区间是 ． 【答案】 【详解】由题意得，所以，所以，解得，所以函数的定义域为，因为，所以在上单调递增，在上单调递减，又在上单调递增，所以由复合函数的单调性可知的单调递减区间是.故答案为：. 2．(25-26高一上·福建莆田第八中学·期中)设，则的单调递减区间为   ． 【答案】 【详解】因为，所以，函数的图象如下： 由图象可知，函数的单调递减区间为.故答案为：. 3．(25-26高一上·山东济宁金乡县·期中)函数的单调递增区间是 . 【答案】和 【详解】，画出的图象，如图所示：由图可知的单调增区间为和，故答案为：和 4．(25-26高一上·安徽芜湖·期中)函数的单调递减区间是 【答案】和 【详解】因为，作出的图象如下图所示，  由图象可知，的单调递减区间是和，故答案为：和. 5．(25-26高一上·江西南昌行知中学·期中)函数的单调递增区间是 . 【答案】 【详解】由作图：  可得函数的单调递增区间是，故答案为： 6．(25-26高一上·四川泸州·期中)定义．设函数，则的单调递增区间为 ． 【答案】和 【详解】当即时，解得，所以，因为二次函数的对称轴为，开口向下，所以递增区间为，一次函数在定义域上为递增函数，综上，的单调递增区间为.故答案为：和. 地 城 考点03 由函数的单调性求参 【经典例题】 1．(24-25高一上·广西名校联盟·期中)函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】的对称轴为：，由题意可得，解得.故选：D 2．设函数，当为增函数时，实数的值可能是（   ） A．2 B． C． D．1 【答案】CD 【详解】当时，为增函数，则，当时， 为增函数，故为增函数，则，且，解得，所以，实数的值可能是内的任意实数.故选：CD. 【变式训练】 1．(25-26高一上·辽宁辽阳·期末)已知，对都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为都有成立，所以函数在区间上单调递增，所以，解得，则.故选：B. 2．(24-25高一上·广西钦州·期中)已知在上是严格增函数，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【详解】因为，所以，所以在上严格增函数，所以，．故答案为： 4．(25-26高三上·上海中学·)已知函数在区间上是严格减函数，且函数值不恒为负，则整数为 . 【答案】或 【详解】由已知，，又函数在区间上是严格减函数，且函数值不恒为负，所以，解得，又因为，所以或.故答案为：或. 5．(25-26高一上·上海浦东新区·期末)若函数在区间上是严格增函数，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为函数在单调递减，在单调递增，又已知函数在区间上是严格增函数，所以，故答案为：. 6．(25-26高一上·云南昆明官渡区云南大学附属中学星耀学校·期中)已知函数是单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，是单调递增函数，因为函数是单调函数， 则函数在上单调递增函数，则,解得：,所以实数的取值范围是.故选：B 7．(24-25高一上·广西南宁第三中学·期中)函数满足对且，都有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由函数，因为函数任意且，都有，所以函数在定义域上为单调递减函数，则满足，即，解得，所以实数的取值范围是.故选D. 8．已知函数若，则（   ） A．3或1 B．0或 C．0 D．1 【答案】C 【来源】冲刺新高考2026届高三上学期1月高考仿真模拟卷数学试题（一） 【分析】由在区间上单调递增，在区间上单调递减，结合得到，计算出的范围，由，得到的方程，解出的值，从而求出. 【详解】由题可知，在区间上单调递增，在区间上单调递减，， ，，又，，，或，，，.故选：C. 9．(25-26高一上·广东揭阳惠来县第一中学等校·期中)已知函数为定义在上的单调函数，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为函数在上为减函数，且函数为定义在上的单调函数，故函数在上为减函数，所以在上为减函数，则，函数在上为减函数，则，解得，且有，解得，综上所述，实数的取值范围是.故答案为：. 【巩固练习】 1．(25-26高一上·广东潮州·期末)已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】函数的对称轴是，开口方向向上，在区间上单调递减，对称轴是在区间的右侧或对称轴为，.故答案：. 2．(25-26高三上·福建级重点厦门大学附属科技中学·)若函数在上单调递增，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】，由反比例函数性质知当，即时，在单调递增，又在单调递增，所以，所以.综上，即实数的取值范围是.故答案为：. 3．(25-26高三上·江西赣抚吉高中联盟·)已知函数满足在区间内任意实数，都有，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】因为在区间内任意实数，都有，设，则，所以函数 在 上单调递减，令，根据复合函数的单调性即外层函数单调递增，则需满足：（1） 在 上恒成立； （2） 在 上单调递减.二次函数 开口向下，对称轴为 ，为使 在 上单调递减，只需；同时， 在 上恒成立，由于 时 在 上递减，最小值在 处取得，故需 ，解得 ，综上， 的取值范围为 .故答案为： 4．设函数若对，都有，则实数的取值范围为 ． 【详解】由题意知函数在上单调递减，需满足以下条件：函数在时单调递减，为一次函数，斜率，已单调递减；函数在时单调递减，是开口向下的二次函数，对称轴，要使其在时递减，需；分段点处左值大于等于右值,时，左边函数值右边函数值故综合上述条件，取交集得：故答案为： 5．(25-26高一上·安徽多校·月考)已知函数在上单调递减，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】由函数在上单调递减，可得，可得，解得.故答案为：. 6．(25-26高一上·湖南名校大联考·月考)已知是减函数，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由在R上是减函数可得，解得，故选：D 7．(24-25高一下·辽宁凌源·)已知函数在R上单调递增，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由反比例函数及二次函数的单调性可知，若函数在R上单调递增，有，可得．故选：C 8．(23-24高一上·安徽阜阳第三中学·)已知函数，若对任意，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由对任意，都有，所以在上单调递减， 所以，所以，故选：A. 地 城 考点04 根据函数的单调性解不等式 【经典例题】 1．(25-26高一上·山西大同·期中)若函数在上单调递减，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数在上单调递减，且，所以，解得. 故选：B. 2．(25-26高一上·山西晋中部分学校·)已知函数是定义在上的减函数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为是定义在上的减函数，且，所以当时，，当时，，由，得或，解得或，所以解集为.故选C 【变式训练】 1．(25-26高一上·甘肃平凉·)已知为定义在上为减函数，且，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】有题意：.所以实数的取值范围为.故答案为： 2．(24-25高一上·云南昆明官渡区·期末)已知幂函数的图象过点，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为幂函数过点，所以，则,所以=在上是增函数,所以不等式等价于，求解可得.故选：D. 3．定义在上的函数满足：＜0，且，则不等式的解集为（  　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为定义在上的函数满足：＜0，所以在上递减，因为，所以， 因为不等式，所以，所以，所以，即，所以，故选：B 4．(24-25高一上·广西南宁青秀区南宁第二中学·期中)函数是上的单调函数且对任意的实数都有，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对任意的实数都有，，即， ，，函数是上的单调函数，函数是上的单调增函数，，即，解得，即不等式的解集为． 故选：. 5．已知函数的定义域为，对于任意的，当时，有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意，设，若函数满足对任意，有，则，即，则函数在上为增函数，又由，则，，则有，解得且，即不等式的解集为.故选：D.【巩固练习】 1．(25-26高一·广西北海·期末)已知函数的定义域为，满足，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】广西北海市2025-2026学年高一期末教学质量检测数学试题 【分析】结合函数的单调性，分和解不等式即可. 【详解】由，所以在上单调递减.又，所以当时，；当时，.因为或或，即或.故选：C 2．(25-26高一上·四川凉山彝族·期末)已知定义域为的函数满足：对任意，都有，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】四川省凉山彝族自治州2025-2026学年高一上学期期末考试数学试卷 【分析】根据条件，得在上单调递增，从而有，解出不等式，即可求解. 【详解】因为，且，所以两边同时除以，得到， 又，则在上单调递增，又，则，由，得到， 即或，所以，则，解得，又或，所以或，故D正确.故选：D. 3．(25-26高一上·陕西·月考)已知定义域为的函数满足：，，，都有，且，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】陕西省神�榆�靖区域联考2025-2026学年高一上学期第二次月考数学试题 【分析】先根据已知条件构造函数，并判断该函数的单调性，然后将不等式变形，根据单调性求出结果. 【详解】依题意，，，都有，令，当时，，则在定义域内单调递增，又，则，又，变形得，即，，解得，即实数的取值范围为.故选：D. 4．(24-25高一上·云南昆明·期末)已知函数定义域为，对任意两个不相等的实数，都有成立.则不等式的解集为 . 【答案】 【详解】由已知对任意两个不相等的实数，都有成立，不妨设，则，即函数在上单调递增，又，则，即，则，即，解得，故答案为：. 地 城 考点05 根据函数的单调性求最值或值域 【经典例题】 1．(25-26高一上·云南玉溪第一中学·月考) （多选）下列函数中最小值为4的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于A：，当且仅当时取等号，故A正确；对于B：由对勾函数的性质，易知在上单调递增，所以，故B错误；对于C：当时，，当且仅当，即取等号，故C正确；对于D：，当且仅当，即时取等号，必不可能，故D错误.故选：AC. 2．函数在区间上的最大值为 . 【答案】 【详解】，该二次函数的对称轴为，且开口向上，所以该二次函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，因为，所以，因此该二次函数在区间上的最大值为.故答案为： 3．(25-26高一上·河北张家口·期末)函数在区间上的最大值、最小值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】，该函数在上单调递增，所以，故选：B 【变式训练】 1．(25-26高一上·山东济南名校联考·)函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，则，得，所以可以转化为．因为二次函数在上单调递增，当时，，所以函数的值域为．故选：D． 2．(25-26高一上·吉林吉林外五县各高中·期末)函数在上的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为在上单调递减，所以当时取最大值为.故选：C． 3．(23-24高一上·河北沧州运东七县联考·期中)已知幂函数的图象经过点，则函数在区间上的最大值是（    ） A．2 B．1 C． D．0 【答案】C 【详解】设，令， 由于在区间上单调递增，在上单调递减，在区间上的最大值是.故选：C. 4．(24-25高一上·河北承德·期末)已知函数，则函数的值域为 . 【答案】 【详解】易得是减函数，所以．令，则，因为函数在上单调递增，所以，即的值域为．故答案为：. 5．(24-25高一上·山西运城·期末)已知函数，，若，则的最大值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【详解】由得，得，故，由得，因单调递增，故，即，故，由二次函数的性质可知，当时，得的值最大为，故选：B 6．(25-26高一上·山西大同灵丘豪洋中学等校·期中)若，，记函数，若，使得成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以，又，使得成立，所以，解得，即的最小值为.故选：B. 7．(24-25高一上·山西·期末)2024年新能源汽车的渗透率已超过，为解决新能源汽车的充电问题，某新能源公司投资300万元用于充电桩项目，调研发现且年内该项目的总维护费用为万元，该项目每年可给公司带来200万元的收入.设第且年年底，该项目的纯利润（纯利润＝累计收入－累计维护费用－投资成本）为万元．已知到第3年年底，该项目的纯利润为99万元． (1)求的解析式； (2)到第几年年底，该项目的年平均利润（平均利润纯利润年数）最大？并求出最大值． 【详解】（1）由题意得， 当时，，所以， 所以且． （2）设平均利润为万元， 则且， 由对勾函数的性质可知在上单调递减，在上单调递增， 因为，且当时，，当时，， 所以到第6年年底，该项目的平均利润最大，最大值为56万元. 【巩固练习】 1．(24-25高一上·贵州六盘水钟山区·)（多选）下列函数中，最小值为2的函数有（   ）． A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】对于A，时等号成立，故A正确；对于B，时等号成立，故B正确；对于C，由可知，所以由基本不等式有， 当且仅当，即时，等号成立；故C错误；对于D，，故D错误.故选AB 2．(25-26高一上·重庆名校联盟·)已知函数. (1)利用函数单调性的定义证明函数在区间上单调递减； (2)若在区间上的最大值为，求在区间上的最小值. 【详解】（1）令，则 ， 因为，所以，，， 所以，所以， 所以函数在区间上单调递减. （2）由（1）知，函数在区间上单调递减， 又在区间上的最大值为， 即当时，函数取得最大值，即，所以，解得， 当时，函数取得最小值，所以. 地 城 考点06 由函数最值求参 【经典例题】 1．(25-26高一上·广东东莞东莞中学松山湖学校·)已知函数在上的最大值为，则（    ） A． B．2 C．5 D．7 【答案】C 【详解】由，可得，所以函数的对称轴为，当时，，又函数在上的最大值为，所以，解得（舍去），当时，，所以，所以，所以，解得或（舍去）.故选：C. 2．已知函数在区间上的最大值为5，则（    ） A．2 B．3 C．15 D．3或15 【答案】B 【详解】．因为，所以函数在上单调递减，所以函数在区间上的最大值为，解得．故选：B. 3．(25-26高一上·山西大同卓越大联考·期中)已知函数，若在区间上既有最大值，又有最小值，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D．3 【答案】C 【详解】由题意，当时，，根据图像，可得当时，单调递减，值域为，当时，单调递增，值域为，当时，由，解得，当时，，根据图像，当时，单调递减，值域为，当时，由，解得，因为在区间上既有最大值，又有最小值，所以，所以，所以，即的最大值为.故选：C 【变式训练】 1．（多选）已知函数在区间上有最大值3，最小值2，则的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】AB 【详解】因为函数，所以该函数在上单调递减，在上单调递增，最小值在处取得且为2.令或，所以若函数在区间上有最大值3、最小值2时，则.故选：AB 2．(25-26高一上·辽宁锦州·期末)若函数在区间上的最大值为1，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．0或1 【答案】A 【详解】函数，当时，，不满足函数在区间上最大值为1，不符合题意；当时，函数在区间上单调递减，所以最大值为，不符合题意；当时，函数在区间上单调递增，所以最大值为，解得；综上所述，实数.故选：A 3．(25-26高三上·河南九师联盟学校·开学考)已知函数若，，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意知的最小值为，故，即．当时，，不合题意；当时，在上的最小值为，为使为全局最小值，还需在上，此时的下确界为3，故需，解得，综上，实数的取值范围为故选：D． 4．(25-26高一上·山西山西大学附属中学校·期中)设函数，若存在最小值，则的一个取值为 ；的最大值为 . 【详解】当时，在上单调递增，此时无最小值，不合要求； 当时，，当时，，又时，， 所以存在最小值为0，满足题意；当时，，在，上单调递减，在上单调递增，若存在最小值，则，解得，所以，当时，在上单调递减，在上单调递增，若存在最小值，，则，不等式无解，综上，的取值范围是，的最大值为1.故答案为：，1. 5．(20-21高一上·福建永安第一中学·期中)已知函数，. （1）求函数的值域； （2）设，，，求函数的最小值. 【详解】（1）在任取，且，则，， 所以，， 即，所以是上增函数， 故当时，取得最小值，当时，取得最大值0， 所以函数的值域为. （2），， 令，，则. ①当时，在上单调递增，故； ②当时，在上单调递减，故； 当时，在上单调递减，在上单调递增，故； 综上所述，. 【巩固练习】 1．已知函数在区间上的值域为，则 ． 【答案】1 【详解】由题意得，且在上的值域为，所以，在上单调递减，即，故．故答案为：1 2．函数在上的最大值为，则 . 【答案】 【详解】易知，是由向左平移1个单位得到，当时，即在上单调递减，所以在上单调递减，所以，解得，与矛盾；当时，即在上单调递增，所以在上单调递增，所以，解得.故答案为：. 3．(25-26高一上·北京中国人民大学附属中学·)已知二次函数，当时，函数有最大值，则 ． 【答案】 【详解】对于二次函数，先讨论的正负，当时，对于，对称轴为，此时最大值在端点处取得，当时，，当时，，因为，所以，即最大值为，而函数有最大值，则，解得，当时，最大值在对称轴处取得，当时，， 可得，解得，不符合题意，排除，综上，的值为.故答案为： 4．(25-26高一上·北京第八中学·期中)已知函数在区间上的值域为，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】，由对勾函数的单调性知，时，单调递减；时，单调递增；∴在处取得极小值，若，则在上单调递减，，，因为的值域为，所以，解得； 若，则在上单调递减，在上单调递增，，，因为的值域为，所以，解得， 又，所以.综上，.故答案为：. 5．设函数，若是的最小值，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】当时，，当且仅当即时，等号成立；当时，，为开口向上的二次函数，对称轴为.要使是的最小值，只需在上递减，且，即，解得.故答案为 6．(25-26高一上·北京第八中学·期中)已知函数，若函数存在最小值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，当时，所以在上单调递减，则；当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，要使函数存在最小值，则，解得， 即实数的取值范围为.故选：B 三、达标检测 1．(25-26高一上·河南驻马店部分校·)函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，解得或，所以函数的定义域为，因为在上单调递减，在上单调递增，又因为为单调递增函数，所以函数的单调递增区间是.故选：D. 2．(25-26高一上·安徽师范大学附属中学·期中)函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 3．(25-26高一上·山西晋中部分学校·)函数的单调递减区间为 . 【答案】 【详解】由题意，令，可得，解得，因为为开口向下，对称轴为的抛物线，所以的减区间为，因为在上单调递增，由复合函数单调性“同增异减”的原则，可得的减区间为.故答案为： 4．(25-26高一上·贵州名校协作体·)函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对数的真数大于0，，即，解得， 令，则，的底数，时，单调递减，函数是开口向下的二次函数，对称轴为，在上单调递增，在上单调递减，复合函数的单调性满足同增异减，在上单调递减，在上单调递增，故D正确．故选：D． 5．(25-26高一上·广东广州天天向上联盟·期中)函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题设，且函数连续，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以单调递减区间为.故选：C 6．(25-26高一上·安徽鼎尖名校大联考·期中)已知函数，若在区间上单调递减，则区间可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，，画出图象，观察可知在和上单调递增，在上单调递减.故选：D. 7．(25-26高一上·重庆十八中两江实验中学·月考)若函数在其定义域上单调递增，则函数（　　） A．在其定义域上单调递增 B．在其定义域上单调递减 C．在其定义域上单调递增 D．在其定义域上单调递减 【答案】B 【详解】因为函数的定义域为，所以，即函数的定义域为；对于函数，由可得，即函数的定义域为，故CD错误；对于函数在上单调递增，由于其内层函数为单调增函数，所以可得在上单调递增；对于函数，由于其内层函数为单调减函数，所以可得在上单调递减.故选：B 8．(22-23高一上·广东肇庆中学·期中)已知连续函数满足：①，则有，②当时，，③，则以下说法中正确的是（　　） A． B． C．在上的最大值是10 D．不等式的解集为 【答案】ACD 【详解】因为，则有，令，则，则，故A正确；令，则，令代，则，即，即，故B错误；设且，则，由， 令，则，即，令，，则，即，因为时，，又，故，所以，所以，即在上单调递减，又，所以，，又，所以，故在上的最大值为，故C正确；由，即，即，即，又因为，即，所以，即，故，即，解得，即原不等式的解集为，故D正确；故选：ACD. 9．(25-26高一上·江苏射阳县·期中)已知函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）    A．在上单调递增 B．在上的值域是 C．在上单调递增 D．在上的最大值是3 【答案】C 【详解】对于A，由函数的图象，可得在上单调递减，所以A错误； 对于B，由函数的图象，可得在上的值域是，所以B错误； 对于C，由函数的图象，可得在上单调递增，所以C正确； 对于D，由函数的图象，可得在上的最大值是，所以D错误. 故选：C. 10．(24-25高一上·云南西双版纳州·期末)已知函数是定义在上的函数，恒成立，且. (1)确定函数的解析式； (2)用定义证明在上是增函数； (3)解不等式. 【详解】（1）由，则，解得，故， 此时，满足题意，故； （2）设，则 ， 由，故，故，， 故，故在上是增函数； （3），由在上是增函数，故，解得， 即不等式的解集为. 11．(24-25高一上·云南昭通第一中学教研联盟·期末)已知函数经过，两点. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性并用定义进行证明； (3)当时，，求实数的最小值. 【详解】（1），，，解得，. （2）在上单调递增，证明如下： 任取，，且，则， ，，且，，，， ，即，所以函数在上单调递增. （3）由（2）知函数在上单调递增，由对勾函数性质得在上单调递减， 函数在上的最大值为， 由知，，所以的最小值为. 12．(25-26高一上·山东德州优高联考·期中)已知二次函数. (1)若在上的最大值为4，求函数的解析式； (2)当时，解关于的不等式. 【详解】（1）因为的图象开口向上，对称轴为， 若在上的最大值为4， 当时，则，解得； 当时，则，解得：舍去； 综上所述：，所以. （2）由得，即， 且，令，解得或， 若，即时，解集为；若，即时，解集为； 若，即时，解集为； 综上所述：当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. 13．(24-25高一上·天津滨海新区·期末)已知函数. (1)求函数的定义域，判断函数在定义域上的单调性并用定义证明； (2)求不等式； (3)函数（，），若存在，，使得成立，求实数a的取值范围. 【详解】（1）在内为减函数，证明如下： 令，可得，可知的定义域为，且， 可知在内单调递减， 设，则，且在定义域内单调递增， 则，可得，所以在内为减函数. （2）可知的定义域为，且， 即，所以为奇函数. 因为，则，且在定义域内为减函数 则，可得，则，且，解得：， 所以原不等式的解集为. （3）函数，若存在，使得成立， 可知和的值域的交集非空， 当，则，可得的值域为， 若时，在递减，可得的值域为，则，即； 若，则在递增，可得的值域为， 此时，不合题意； 综上所述：实数a的范围是. 试卷第1页，共3页 33 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $专题04函数的单调性与最值 高一寒假数学复习资料 专题04函数的单调性与最值 一、知识回顾： 1.函数的单调性 (1)单调递增、单调递减： 名称 定义 图形表示 几何意义 y=f(x) 一般地，设函数x)的定义域为，区间D二I:如 函数x)在区间 单调 果Vx,2∈D,当x1<时，都有fx)f2),那 ) D上的图象从左 递增 么就称函数x)在区间D上单调递增. 到右是上升的. y=fa) 般地，设函数x)的定义域为I,区间D二：如 函数x)在区间 单调 果Vx,2∈D,当x1<2时，都有fx)>f2),那 时x D上的图象从左 递减 么就称函数x)在区间D上单调递减. 到右是下降的. (2)函数的单调性及单调区间： ①当函数x)在它的定义域上单调递增（减）时，我们就称它是增（减）函数 ②如果函数yfx)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数yfx)在这一区间具有（严格的）单调 性，区间D叫做yfx)的单调区间. (3)常见函数的单调性： 函数 单调性 a>0时，在R上单调递增； 次函数=aHb(a≠0) a<0时，在R上单调递减. a>0时，单调递减区间是(-o,0)和(0，+o): 反比例函数g=2（a+0) a<0时，单调递增区间是(-o,0)和(0，+oo). 二次函数y=a(xm2+n a>0时，单调递减区间是(-oo,m],单调递增区间是[m,+o): (a≠0) a<0时，单调递减区间是[m,+oo),单调递增区间是(-o,m. (4)单调函数的运算性质： 若函数x),gx)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： ①x)与x)+C(C为常数)具有相同的单调性. ②若a为常数，则 当心O时，fx)与ax)具有相同的单调性； 当K0时，)与afx)具有相反的单调性 ③若x)恒为正值或恒为负值，a为常数，则 当心0时，与了无0具有相反的单调性： 1/37 专题04函数的单调性与最值 高一寒假数学复习资料 当a0时，与了0 具有相同的单调性， ④若x)≥0，则x)与√f(x)具有相同的单调性 ⑤在fx),gx)的公共单调区间上，有如下结论： f(x) g(r f(x)+g(x) f(x)-g(x) 增 增 增 不能确定单调性 增 减 不能确定单调性 增 减 减 减 不能确定单调性 减 增 不能确定单调性 减 ⑥当)，g(x)在区间D上都是单调递增（减）的，若两者都恒大于零，则x)gw)在区间D上也是单调递 增（减）的；若两者都恒小于零，则x)g()在区间D上单调递减（增） (⑤)复合函数的单调性判定： 对于复合函数fgx),设gx)在(ab)上单调，且y=ft)在(g(ad,g(b)或(g(b),g(d)上也单调 t=g(对 =f(t) y=f(g(x)) 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 2.函数单调性的判断 (1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性 (2)复合函数=g(x)》的单调性应根据外层函数y=)和内层函数仁g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的 原则. 3.函数的最值 ()函数最大值和最小值的定义： 名称 定义 几何意义 一般地，设函数y=x)的定义域为I,如果存在实数M满足： 函数的 (I)Hx∈1，都有x)≤M: 函数的最大值对应图象 最大值 (2)归0∈1，使得xo)=M. 最高点的纵坐标 那么，我们称M是函数y=x)的最大值. 一般地，设函数y=x)的定义域为I,如果存在实数m满足： 函数的 (1)Vx∈1，都有x)≥m: 函数的最小值对应图象 最小值 (2)归0∈1，使得xo)=m. 最低点的纵坐标 那么，我们称m是函数y=x)的最小值. 2/37 专题04函数的单调性与最值 高一寒假数学复习资料 (2)利用函数单调性求最值的常用结论： ①如果函数y=fx)在区间[a,b]上单调递增，在区间[b,c]上单调递减，那么函数yfx),x∈[a,c]在x=b 处有最大值fb),如图(1)所示： ②如果函数y=fx)在区间[a,b]上单调递减，在区间[b,c]上单调递增，那么函数y=fx),x∈[ac]在x=b 处有最小值fb),如图(2)所示 y Ab) fa) fc) c a 0 c x 0 a b (1) (2) 4.求函数最值的三种基本方法： (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值 (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值， (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值 二、考点聚焦： 目目 考点01 函数单调性的判断与证明 【经典例题】 1.(21-22高一上·云南玉溪期末)下列选项中，在(0，+∞)为增函数的是() A.f(x)=x B.f(x)=2*+x C.f(x)=x2-2x D.f(x)=log x-3x 【答案】AB 【详解】f(x)=x|当x>0时，f(x)=x为增函数，A正确：f(x)=2+x,因为y=2与y=x在(0，+0) 均为增函数，所以)=2+x在0+)也为增函数，B正确：f①)P-2x的对称抽为宇1，历 以f()在（←∞，1）上单调递减，在(，+∞)上单调递增，不符合题意，C错误：f田=1og!x-3x,因为 3 y=10g1x与y=-3x在(0，+0)均为减函数，所以f(0=1og!X-3x在(0，+0)也为减函数，D错误故选：AB 2.2425高一上山西吕梁期末)已知函数f()=二-√ √x (1)求函数f(x)的定义域： (2)判断函数∫(x)的单调性，并用定义证明： (3)解不等式f(x2+1)<f(2x+4). 【详解】(1)要使函数f(x)有意义，则√≠0且x≥0，即x>0, 3/37 专题04函数的单调性与最值 高一寒假数学复习资料 所以函数f(x)定义域为(0，+o) 2)f)=左xe@+o)是减数 证明如下：设x,2∈(0，+0)，且x<2, 则r店店店店，网 5--)-风 √xx3 因为0≤4<：所以>所以V店-店>0西 +1>0 所以f()-f)>0,即f()>f().所以f()=子-反，xe(0,+)是减函数 (3)函数f(x)的定义域为(0，+0)，f(2x+4)要有意义，则2x+4>0,即x>-2, f(x2+)要有意义，则x∈R 因为f)在丘c(01)是减通数， 由f(x2+1)<f(2x+4),得x2+1>2x+4,即x2-2x-3>0,(x-3)(x+1)>0, 解得x<-1或x>3.综上得-2<x<-1或x>3 所以不等式f(x2+1)<f(2x+4)的解集为{x-2<x<-1或x>3}. 〖变式训练】 1.(24-25高一上广西县域高中)（多选）已知a,b为实数，且a<b,则下列不等式恒成立的是() A.sina<sinb C.a<b D.In(a2+1)<In(62+1) 【答案】BC 【详解】对于A, 2 对于B,因为y 为减函数，a<b,所 故B正确： 对于C,因为y=x为增函数，a<b,所以a3<b,故C正确： 对于D,-2<1,而h(4+1)>n(1+),故D不正确.故选：BC 4/37 专题04函数的单调性与最值 高一寒假数学复习资料 2.(2425高一上北京第一零一中学期中)函数f(x)=ax+(aeR)的图象不可能是() 六 D. 【答案】A 【详解】当a=0时，f()=上，对应图象是B选项当a>0时，对应图象是D选项当a<0时，f()在 (-∞，0)，(0，+∞)上单调递减，对应图象是C选项.所以不可能的是A选项.故选：A 3.(24-25高一上·广西北海合浦县·期中)已知函数f(x)满足对于任意不同的实数x,y,都有 f+f00）因，则() x-y A.f0>0B.f-+f0<0c.(x+fe+>f(田D.fr+9f因 x2+1 【答案】AC 【详解1由f+f)>6)(因.得f(+f0)寸)国>0，则 x-y x-y -[f()+f]-[0-0,整理得)Y0)0.今函数a()=可)，则由 x-y x-y 寸()f,0,得)-h>0,从而h()在R上单调递增，则h0>hO,即了山>0， x-y x-y >h),即f)+f0>0,A正确，B不正确，因为-x+1x-+之>0，所巴 术+1>x,则h(r+)小>h(),即(r+f(x+)>对()，C正确.因为g()=f四单调性不确定，而 F+1=一寻即子+1，所以儿型与但的大小关系不定，D不正确.数适：A0 x2+1 4.(25-26高三上北京房山区·调研)已知函数f(x)的定义域为R,则“f(x)在R上是增函数”是“对任意 x∈R,存在a>0,使得f(x)<f(x+a)”的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 5/37 专题04函数的单调性与最值 高一寒假数学复习资料 【详解】充分性：因为f(x)在R上是增函数，且a>0时，有x+a>x,所以f(x)<f(x+a), 即“f(x)在R上是增函数”能推出“对任意x∈R,存在a>0,使得f(x)<f(x+a)”,充分性成立. x,x<0 必要性：如函数f(x)= x-1,x20'当x<0时，取a=2, 当-2≤x<0时，x+2≥0，f(x+2)-f(x)=x+2-1-x=1>0,f(x)<f(x+2), 当x<-2时，x<x+2<0,f(x+2)-f(x)=x+2-x=2>0,f(x)<f(x+2), 所以当x<0时，取a=2,f(x)<f(x+2).当x≥0时，a>1,则x+a>x≥0， 此时f(x+a)-f(x)=x+a-1-（x-1)=a>0,所以f(x)<f(x+a), 综上，函数f(x)满足对任意x∈R,存在a>0,使得f(x)<f(x+a). 但取x=-0.5,x3=0时，f(x)>f(x2),不满足增函数的定义， 故“对任意x∈R,存在a>0,使得f(x)<f(x+a)”不能推出“f(x)在R上是增函数”， 必要性不成立故选：A 5.(25-26高一上·山西山西大学附属中学校·期中)函数f(x)满足对一切x,y∈R有 f(x)+f(y)=f(x+y)+2,且f(4)=0;当x>4时，有f(x)<0. (1)求f(2),f(-2),f(-4)的值： (2)证明f(x)在R上的单调性： (3)求不等式[f(x+x)]-4f(x2+x+4)-5<0的解集. 【详解】(1)由函数f(x)满足对一切f(x)+f(y)=f(x+y)+2,且f(4)=0, 令x=y=0,可得f(0)=2,令x=y=2,可得f(2)=1, 再令x=2,y=-2,所以f(0)+2=f(2)+f(仁2)，可得f(-2)=3. 再令x=-2,y=-2,所以f(-4)+2=f(-2)+f(-2),可得f(-4)=4 (2)f(x)为R上的单调递减函数.证明如下： 设x,x2∈R且x<,令x=x,y=七3-x,则x2-x+4>4, 因为当x>4时，有f(x)<0,所以f(x2-x+4)<0, 6/37 专题04函数的单调性与最值 高一寒假数学复习资料 所以f(x2)+2=f(x)+f(x3-x), 由f(x2)-f(x)=f(x3-x)-2=f[(x2-x+4)-4]-2 =f(x2-x+4)+f(-4)-2-2=f(x2-x+4)+4-2-2=f(x2-x+4)<0, 即f(x)<f(x),所以f(x)为R上的单调递减函数 (3)由f(4)=0,原不等式化为[f(x2+x2-4f(x2+x)+3<0, 令f(x2+x)=t,可得2-4t+3<0,解得1<t<3,即1<f(x2+x)<3, 又由f(2)=1,f(-2)=3所以f(2)<f(x2+x)<f(-2), 因为f(x)为R上的单调递减函数，所以-2<x2+x<2, 「x2+x>-2 即 x2+x<2 ,解得-2<x<1,所以不等式的解集为(-2,1)」 【巩固练习】 1.(2425高一上广西柳州期末)下列函数中，在R上单调递增的是（) A.f(x)=tanx B.)= c..a 【答案】D 【详解】对于A,显然函数f(x)=tax的定义域不为R，,即A错误；对于B,因为0<)<1，所以函数 f(x)= 在R上单调递减，即B错误：对于C,易知f(x)=x2的定义域为0，+∞)，即f(x)=x2在 [0,+∞)上单调递增，即C错误；对于D,易知y=x-1在(-∞，1]上单调递增，y=nx在(1，+∞)上单调递 增，H1-1=,所以f(因=1在取上单河港税，即DE确故老，D 2.(25-26高一上·山西太原·期中)已知定义域为R的函数f(x)满足：①对于任意的x∈R,都有 f(x)>0;②对于任意的x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)f(y)；③当x>0时，都有0<f(x)<1: 至10专4求f(的鱼：包证明：是减数：包解不等式：。)大马 【详解】4)因为对于任意的x,yeR,都有f(x+)=f()f6).且f0=方： 令x=0,y=1,则f(0+)=f(0)f(),可得f(0)=1: 7/37 专题04函数的单调性与最值 高一寒假数学复习资料 令x=1,y=-1,则f(0f(-)=f(0)=1,即f(-)=1,可得f(-)=2 (2)对x,∈R,且x<x2,则x3-x>0,可得0<f(x2-x)<1,f(x)>0, 则f(x2)=f(x)f(x2-x)<f(x),所以f(x)在R上是减函数 (3)因为对于任意的x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)f(y), 令x=y=1,可得f②)=f0f0=4令x=y=2,可得f④=f2)f2)6: 令xy日可得r0=得)r付)且付)0，可得-竖 所以原不等式等价于f(4<了)了〔) 由(2)可知f(x)在R上是减函数，则二<2<4，解得-1<x<2, 所以原不等式的解集为{x1<x<2} 目目 考点02 求函数的单调区间 【经典例题】 1.(2425高一上广西来宾忻城县高级中学期中)函数yx-1川的单调递减区间是 【答案】(-∞，1)/(-0,1] -x<1所以函数yx-刂的单调递减区间是（←0，）.故答案为：(~0，D x-1,x≥1 【详解】y=x-= 2.526高一上江苏南京金陵中学期中)函数f()=2+的单调减区间为一 【答案】(-n,0)和(0，+o) 【详解】由题意得定义域为(0.0(0，+o),f(因)2牛=1+2，由反比例函数的单调性可知： 函数f()=2+x的单调递减区间为（←”，0）.(0，+).故答案为：（←0,0)和(0，+0) 3.(24-25高一上·青海青海湟川中学·期中)函数y=√x2-5x+4的单调递减区间是() A. B.（-n,1] C.[4,+o) 5 【答案】B 【详解】由题意知函数y=√x2-5x+4满足x2-5.x+4≥0，解得x≤1或x≥4，即函数定义域为 (m小[+)，令1=父-5x+4,则1=-5x+4的图象开口向上，且对称轴为直线x-,则 8/37 专题04函数的单调性与最值 高一寒假数学复习资料 t=x2-5x+4在(-o,]上单调递减，在[4，+∞)上单调递增，又y=√F在[0，+∞)上单调递增，故 y=√x2-5x+4的单调递减区间是(-n,].故选：B 【变式训练】 1.(25-26高一上·四川眉山仁寿县·期中)函数y=x-3的单调递减区间为() A.（-0,+0) B.[3,+o) C.（-0,3] D.(-0,-3] 【答案】C [-x+3,x≤3 【详解】函数y=x-3= x-3,>3，则该函数在(-0,3到上单调递减，在B+∞)上单调递增， 所以函数y=x-3的单调递减区间为(-o,3].故选：C 2.函数f()=-2的单调递增区间为 【答案】（-o,0)和(0+o) 2 2 【详解】·函数f(x)=-二中x≠0，故定义域为（∞，0）和(0，+∞)，令函数g(x)=二，则反比例函数在定 x 义域(o,0)和(0，+0）内单调递减，f()=-8()在定义域(-，0)和(0，+∞)内单调递增，f()=-名 的单调递增区间为(-∞，0)和(0，+∞).故答案为：(-o,0)和(0，+o). 3.(Q526高一上福建龙岩第一中学)函数f()=x+问的单调递增区间是 【答案】[1，+o)和(-n,0) 【详解】当x>0时，()=x+为双勾函数，此时单调增区间为[+四)：当x<0时，f()=-文 为增函数，单调增区间为(-o,0),故答案为：[1，+o)和(-∞，0) 4.(25-26高一上山东枣庄薛城区·期中)函数f(x)=V8+2x-x2的单调递减区间是（) A.（-0,] B.[l,+o) C.[1,4 D.[-2,1] 【答案】C 【详解】由题可知，-x2+2x+8=-(x+2)(x-4)≥0，解得-2≤x≤4.令t=-x2+2x+8,则y=Vf, 因为t=-x2+2x+8在x∈[1,4]上单调递减，而y=√F在[0，+∞)上单调递增，根据复合函数单调性“同增异 减”，所以f(x)在[1,4上单调递减故选：C. 9/37 专题04函数的单调性与最值 高一寒假数学复习资料 5.(25-26高一上·广东深圳北京师范大学南山附属高级中学·期中)已知函数f(x)=(x-2)3-x,则函数 f(x)的单调增区间是() A.（-o,2.5)和(3，+m）B.（-w,2.5)C.（2,2.5)和(3，+m)D.(2,2.5) 【答案】A 【详解】由于函数f(x)=(x-2)3-,当x≤3时，f(x)=(x-2)3-x)=-x2+5x-6,由于 f)=-+5-6图象的对将箱为x=子则晒数在(m引 上单调递增，当x>3时， f)=x-2x-3)=-5x+6,由于f)=2-5x+6图象的对称轴为x= 2 ,则函数在(3，+o)上单调递 增，故函数f(x)=(x-2)3-的单调增区间是(-o,2.5)和(3，+o).故选：A 6.(25-26高一上·天津静文高级中学月考)函数f(,=log-1)的单调递减区间为() A.(-0,0) B.(0,+0) C.(-o,-1) D.(1,+0) 【答案】D 【详解】函数f(,=1og似-)的定义域需满足川-1>0，解得x<-1或x>1,·f()的定义域为 (-o,-1)U(1,+o),设t=x-1,当x>1时，t=x-1>0,且t关于x单调递增，当x<-1时， t=-x-1>0,且1关于x单调递减，“y=log!t在定义域t∈(0，+o)上单调递减，f(x)的单调递减区间 为(1，+o),故D正确.故选：D. 7.(25-26高一上湖南娄底涟源部分学校·期中)已知函数f(3x-2)在R上单调递减，则函数f(W2x2-1） 的单调递增区间是() √2 A.（-o,0] B.[0,+o) 2,+0 【答案】C 【详解】令u=3x-2,因为u在R上单调递增，所以f(u)在R上单调递减，对于f(V2x2-, 时，t=√2x2-1随x增 大而减小，当x∈ ?,+⊙时，1仁2F随x增大而增大，因为fO在R上单调递减，所以 f(2x2-1)的单调递增区间是函数t=√2x2-一1的单调递减区间，所以fW2x-1的单调递增区间是 10/37专题04函数的单调性与最值 高一寒假数学复习资料 专题04函数的单调性与最值 一、知识回顾： 1.函数的单调性 (1)单调递增、单调递减： 名称 定义 图形表示 几何意义 y=f(x) 一般地，设函数x)的定义域为，区间D二I:如 函数x)在区间 单调 果Vx,2∈D,当x1<时，都有fx)f2),那 ) D上的图象从左 递增 么就称函数x)在区间D上单调递增. 到右是上升的. y=fa) 般地，设函数x)的定义域为I,区间D二：如 函数x)在区间 单调 果Vx,2∈D,当x1<2时，都有fx)>f2),那 时x D上的图象从左 递减 么就称函数x)在区间D上单调递减. 到右是下降的. (2)函数的单调性及单调区间： ①当函数x)在它的定义域上单调递增（减）时，我们就称它是增（减）函数 ②如果函数yfx)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数yfx)在这一区间具有（严格的）单调 性，区间D叫做yfx)的单调区间. (3)常见函数的单调性： 函数 单调性 a>0时，在R上单调递增； 次函数=aHb(a≠0) a<0时，在R上单调递减. a>0时，单调递减区间是(-o,0)和(0，+o): 反比例函数g=2（a+0) a<0时，单调递增区间是(-o,0)和(0，+oo). 二次函数y=a(xm2+n a>0时，单调递减区间是(-oo,m],单调递增区间是[m,+o): (a≠0) a<0时，单调递减区间是[m,+oo),单调递增区间是(-o,m. (4)单调函数的运算性质： 若函数x),gx)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： ①x)与x)+C(C为常数)具有相同的单调性. ②若a为常数，则 当心O时，fx)与ax)具有相同的单调性； 当K0时，)与afx)具有相反的单调性 ③若x)恒为正值或恒为负值，a为常数，则 当心0时，与了无0具有相反的单调性： 1/20 专题04函数的单调性与最值 高一寒假数学复习资料 当a0时，与了0 具有相同的单调性， ④若x)≥0，则x)与√f(x)具有相同的单调性 ⑤在fx),gx)的公共单调区间上，有如下结论： f(x) g(r f(x)+g(x) f(x)-g(x) 增 增 增 不能确定单调性 增 减 不能确定单调性 增 减 减 减 不能确定单调性 减 增 不能确定单调性 减 ⑥当)，g(x)在区间D上都是单调递增（减）的，若两者都恒大于零，则x)gw)在区间D上也是单调递 增（减）的；若两者都恒小于零，则x)g()在区间D上单调递减（增） (⑤)复合函数的单调性判定： 对于复合函数fgx),设gx)在(ab)上单调，且y=ft)在(g(ad,g(b)或(g(b),g(d)上也单调 t=g(对 =f(t) y=f(g(x)) 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 2.函数单调性的判断 (1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性 (2)复合函数=g(x)》的单调性应根据外层函数y=)和内层函数仁g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的 原则. 3.函数的最值 ()函数最大值和最小值的定义： 名称 定义 几何意义 一般地，设函数y=x)的定义域为I,如果存在实数M满足： 函数的 (I)Hx∈1，都有x)≤M: 函数的最大值对应图象 最大值 (2)归0∈1，使得xo)=M. 最高点的纵坐标 那么，我们称M是函数y=x)的最大值. 一般地，设函数y=x)的定义域为I,如果存在实数m满足： 函数的 (1)Vx∈1，都有x)≥m: 函数的最小值对应图象 最小值 (2)归0∈1，使得xo)=m. 最低点的纵坐标 那么，我们称m是函数y=x)的最小值. 2/20 专题04函数的单调性与最值 高一寒假数学复习资料 (2)利用函数单调性求最值的常用结论： ①如果函数y=fx)在区间[a,b]上单调递增，在区间[b,c]上单调递减，那么函数yfx),x∈[a,c]在x=b 处有最大值b),如图(1)所示； ②如果函数y=fx)在区间[a,b]上单调递减，在区间[b,c]上单调递增，那么函数y=fx),x∈[ac]在x=b 处有最小值fb),如图(2)所示。 y Ab) fa) fc) c a b c x 0a b (1) (2) 4.求函数最值的三种基本方法： ()单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值 (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值 (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值 二、考点聚焦： 目目 考点01 函数单调性的判断与证明 【经典例题】 1.(21-22高一上·云南玉溪·期末)下列选项中，在(0，+∞)为增函数的是() A.f(x)=x B.f(x)=2*+x C.f(x)=x2-2x D.f(x)=log x-3x 2.45商-上山医台梁期未已知西数()=左 (1)求函数f(x)的定义域： (2)判断函数f(x)的单调性，并用定义证明； (3)解不等式f(x2+1)<f(2x+4). 3/20 专题04函数的单调性与最值 高一寒假数学复习资料 【变式训练】 1.(24-25高一上广西县域高中)（多选）已知a,b为实数，且a<b,则下列不等式恒成立的是() A.sina<sinb B. C.a<b D.In(a2+1)<In(b2+1) 2.(24-25高一上北京第一零一中学期中)函数f(x)=ax+二(aeR)的图象不可能是() , D 3.(24-25高一上·广西北海合浦县·期中)己知函数f(x)满足对于任意不同的实数x,y,都有 f)+fo)≥b)国，则() x-y A.f0>0B.f-)+f0<0C.(x+f(+>()D.f+f x2+1 4.(25-26高三上北京房山区·调研)已知函数f(x)的定义域为R,，则“f(x)在R上是增函数”是“对任意 xeR,存在a>0,使得f(x)<f(x+a)”的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4/20 专题04函数的单调性与最值 高一寒假数学复习资料 5.(25-26高一上山西山西大学附属中学校·期中)函数f(x)满足对一切x,y∈R有 f(x)+f(y)=f(x+y)+2,且f(4)=0;当x>4时，有f(x)<0. (1)求f(2),f(-2),f(-4)的值； (2)证明f(x)在R上的单调性： (3)求不等式[f(x+x)-4f(x2+x+4)-5<0的解集. 【巩固练习】 1.(24-25高一上·广西柳州期末)下列函数中，在R上单调递增的是() A.f(x)=tanx B.)-) C.f)=x2 D.f()=fx-LxsI Inx,x >1 2.(25-26高一上·山西太原·期中)已知定义域为R的函数f(x)满足：①对于任意的x∈R，都有 f(x)>0:②对于任意的x,yeR,都有f(x+y)=f(x)f(y):③当x>0时，都有0<f(x)<1: @f0方a求f()的值：@②正明：f@是减西数：(@解不等式：石<')k号 5/20 专题04函数的单调性与最值 高一寒假数学复习资料 目目 考点02 求函数的单调区间 【经典例题】 1.(24-25高一上·广西来宾忻城县高级中学·期中)函数yx-1川的单调递减区间是 2。(25:26高一上江苏南京金陵中学期中)函数f()2+”的单调减区间为一 3.(24-25高一上·青海青海湟川中学·期中)函数y=√x-5x+4的单调递减区间是() B.(-0.1] 5 C.[4,+o) 【变式训练】 1.(25-26高一上·四川眉山仁寿县·期中)函数yx-3|的单调递减区间为() A.(-0,+0） B.[3,+o) C.(-0,3] D.（-0,-3] 2。函数f(冈=-2的单调递增区间为一 3.(Q5:26高一上：福建龙岩第一中学)函数()=x+丙的单调递增区间是 4.(25-26高一上山东枣庄薛城区·期中)函数f(x)=√8+2x-x2的单调递减区间是() A.（-o,1] B.[1,+o) C.[1,4] D.[-2,1] 6/20 专题04函数的单调性与最值 高一寒假数学复习资料 5.(25-26高一上·广东深圳北京师范大学南山附属高级中学·期中)已知函数f(x)=(x-2)3-x,则函数 f(x)的单调增区间是() A.（-o,2.5)和(3，+m）B.（-w,2.5)C.（2,2.5)和(3，+m)D.(2,2.5) 6.(25-26高一上·天津静文高级中学月考)函数f(x)=1og)的单调递减区间为() A.(-0,0) B.(0,+0) C.(-0,-1) D.(1,+0) 7.(25-26高一上湖南娄底涟源部分学校期中)已知函数f(3x-2)在R上单调递减，则函数f(N2x-1) 的单调递增区间是() A.(（-o,0] B.[0,+∞)） C. 2 8.(25-26高一上·天津耀华中学·期中)若定义在R上的函数f(x)满足f(x)=3f(+x-2x,则f(x)的单 调递增区间为」 【巩固练习】 1.(25-26高一上·重庆渝东九校·期中)函数f(x)=√-2x2+3x的单调递减区间是 2.(25-26高一上·福建莆田第八中学·期中)设f(x)=x-3引+1，则f(x)的单调递减区间为 3.(25-26高一上·山东济宁金乡县·期中)函数f(x)=(x-6)x的单调递增区间是」 4.(25-26高一上·安微芜湖·期中)函数f(x)=x+5(2-x)的单调递减区间是 5.(25-26高一上·江西南昌行知中学期中)函数f(x)=x2-2x-3的单调递增区间是 a,azb 6.(25-26高一上·四川泸州期中)定义max{a,b}= (ba<b· 设函数f(x)=max{-(x+1)2,x-},则f(x) 的单调递增区间为一· 7/20 专题04函数的单调性与最值 高一寒假数学复习资料 目目 考点03 由函数的单调性求参 【经典例题】 1.(24-25高一上·广西名校联盟·期中)函数f(x)=x2+ax-5在(-1，+∞)上单调递增，则a的取值范围是 () A.(-m,2] B.（←0，] C.[1,+0) D.[2,+n) x2-2ac+1x≥a'当fw为增函数时，实数a的值可能是（) ax-1,x<a 2.设函数f()= A.2 B.-1 C. D.1 【变式训练】 1.25-26离一上辽宁辽阳期末)尼知f)=-2ax+1,对x,5∈L,+)都有f)-f因>0成立， x-x2 则实数a的取值范围是() A.[1,+0) B.（-n,1] C.[2,+m) D.（-0,2] 2.(24-25高一上广西软州期中)已知y=二在(-1，+∞)上是严格增函数，则实数a的取值范围 x+1 为一 4.(25-26高三上上海中学)已知函数y=x+在区间L,+m)上是严格减函数，且函数值不恒为负，则整 x+2 数a为 8/20 专题04函数的单调性与最值 高一寒假数学复习资料 5.(25-26高一上上海浦东新区·期末)若函数f(d)=x+1在区间[a,+0)上是严格增函数，则实数a的取值 范围是一 -x2+2ax-3,x≤1 6.(25-26高一上·云南昆明官渡区云南大学附属中学星耀学校期中)已知函数f(x)= x+x>1 是 单调函数，则实数a的取值范围是() A.(0,] B.[1,3] C.[1,+o) D.(-o,3) x2-(a+4)x+5,x<2 7.(24-25高一上·广西南宁第三中学·期中)函数f(x)= (2a-3)x+1x≥2满足对，∈R且，≠， 都有f(x)-f(x)](x-x)<0,则实数a的取值范围是() A. B. C.(0,1) D.[0,] x+1,x<1, 8.已知函数f(x)= 2,x≥1，若f(a=f(a+2),则f(a-1)=() A.3或1 B.0或-2 C.0 D.1 [17 。1 6无x<2 1 9.(25-26高一上广东揭阳惠来县第一中学等校期中)已知函数f(:)=2-6,)≤x<2为定义在R上的 -x2-ax+1,x22 单调函数，则a的取值范围是 9/20 专题04函数的单调性与最值 高一寒假数学复习资料 【巩固练习】 1.(25-26高一上·广东潮州·期末)已知函数f(x)=x2-2a.x+3在区间[3,7]上单调递减，则实数a的取值范 围是 2.(25-26高三上福建级重点厦门大学附属科技中学)若函数f()=+a,4 在(a,+o)上单调递增，则实 x-1 数a的取值范围为. 3.(25-26高三上·江西赣抚吉高中联盟)已知函数f(x)=√7+2ax-x2满足在区间[-1，刂内任意实数 x≠x,都有（化-x)儿f()-f(x】]<0,则a的取值范围为 -2x+3,x<1, 4.设函数f(x)= 12axx若对x≠，都有1之0，则实数a的取值范围 X1-x2 为一 5.(25-26高一上·安徽多校：月考)已知函数f(x)= -x2+ax+a,x>2在R上单调递减，则a的取值范围 (1-a)x,x≤2， 是 x2+ax+3,x≤1 6.(25-26高一上·湖南名校大联考·月考)已知f(x)= x+-4,x>I 是减函数，则实数a的取值范围为 () A.(-0,-4) B.[-2,+m) C.（-4,-2] D.[-3,-2] [1-a,x<-1 7.(24-25高一下·辽宁凌源)己知函数f(x)=x 在R上单调递增，则实数a的取 x2+(4-a)x+2a-1,x≥-1 值范围为() A.(1,21 B 3 C. 2 D. （-a-5)x-2,x≥2 8.(23-24高一上·安徽阜阳第三中学·)已知函数f(x) x2+2(a-1)x-3a,x<2' 若对任意 5∈R(K产)，都有)f<0成立，则实数a的取值范围为() x1-x2 A.[-4,-1]B.[-4,-2] C.（-5,-1] D.[-5,-4] 10/20专题04 函数的单调性与最值 高一寒假数学复习资料 专题04 函数的单调性与最值 一、知识回顾： 1．函数的单调性 (1)单调递增、单调递减： 名称 定义 图形表示 几何意义 单调递增 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI：如果x1,x2∈D，当x1 < x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增. 函数f(x)在区间D上的图象从左到右是上升的. 单调递减 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI：如果x1,x2∈D，当x1 < x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减. 函数f(x)在区间D上的图象从左到右是下降的. (2)函数的单调性及单调区间： ①当函数f(x)在它的定义域上单调递增(减)时，我们就称它是增(减)函数. ②如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间. (3)常见函数的单调性： 函数 单调性 一次函数y=ax+b(a≠0) a>0时，在R上单调递增； a<0时，在R上单调递减. 反比例函数 a>0时，单调递减区间是(-∞,0)和(0,+∞)； a<0时，单调递增区间是(-∞,0)和(0,+∞). 二次函数y=a(x-m)²+n (a≠0) a>0时，单调递减区间是(-∞,m]，单调递增区间是[m,+∞)； a<0时，单调递减区间是[m,+∞)，单调递增区间是(-∞,m]. (4)单调函数的运算性质： 若函数f(x)，g(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： ①f(x)与f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性. ②若a为常数，则 当a>0时，f(x)与a f(x)具有相同的单调性； 当a<0时，f(x)与a f(x)具有相反的单调性. ③若f(x)恒为正值或恒为负值，a为常数，则 当a>0时，f(x)与具有相反的单调性； 当a<0时，f(x)与具有相同的单调性. ④若f(x)≥0，则f(x)与具有相同的单调性. ⑤在f(x)，g(x)的公共单调区间上，有如下结论： f(x) g(x) f(x)+g(x) f(x)-g(x) 增 增 增 不能确定单调性 增 减 不能确定单调性 增 减 减 减 不能确定单调性 减 增 不能确定单调性 减 ⑥当f(x)，g(x)在区间D上都是单调递增(减)的，若两者都恒大于零，则f(x)· g(x)在区间D上也是单调递增(减)的；若两者都恒小于零，则f(x)· g(x)在区间D上单调递减(增). (5)复合函数的单调性判定： 对于复合函数f(g(x))，设t=g(x)在(a,b)上单调，且y=f(t)在(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上也单调. t=g(x) y=f(t) y=f(g(x)) 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 2．函数单调性的判断 (1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性. (2)复合函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则. 3．函数的最值 (1)函数最大值和最小值的定义： 名称 定义 几何意义 函数的最大值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： (1)∀x∈1，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈1，使得f(x0)=M. 那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值. 函数的最大值对应图象最高点的纵坐标. 函数的最小值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数m满足： (1)∀x∈1，都有f(x)≥m； (2)∃x0∈1，使得f(x0)=m. 那么，我们称m是函数y=f(x)的最小值. 函数的最小值对应图象最低点的纵坐标. (2)利用函数单调性求最值的常用结论： ①如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增，在区间[b,c]上单调递减，那么函数y=f(x),x∈[a,c]在x=b处有最大值f(b)，如图(1)所示； ②如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减，在区间[b,c]上单调递增，那么函数y=f(x), x∈[a,c]在x=b处有最小值f(b)，如图(2)所示. 4．求函数最值的三种基本方法： (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值. (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值. (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值. 二、考点聚焦： 地 城 考点01 函数单调性的判断与证明 【经典例题】 1．(21-22高一上·云南玉溪·期末)下列选项中，在为增函数的是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·山西吕梁·期末)已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断函数的单调性，并用定义证明； (3)解不等式. 【变式训练】 1．(24-25高一上·广西县域高中·)（多选）已知，为实数，且，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·北京第一零一中学·期中)函数的图象不可能是（    ） A．   B．   C．   D．   3．(24-25高一上·广西北海合浦县·期中)已知函数满足对于任意不同的实数x，y，都有，则（    ） A． B． C． D． 4．(25-26高三上·北京房山区·调研)已知函数的定义域为，则“在上是增函数”是“对任意，存在，使得”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．(25-26高一上·山西山西大学附属中学校·期中)函数满足对一切x，有，且；当时，有． (1)求，，的值; (2)证明在R上的单调性； (3)求不等式的解集． 【巩固练习】 1．(24-25高一上·广西柳州·期末)下列函数中，在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 2．(25-26高一上·山西太原·期中)已知定义域为的函数满足：①对于任意的，都有；②对于任意的，，都有；③当时，都有； ④.(1)求的值；(2)证明：是减函数；(3)解不等式：. 地 城 考点02 求函数的单调区间 【经典例题】 1．(24-25高一上·广西来宾忻城县高级中学·期中)函数的单调递减区间是 . 2．(25-26高一上·江苏南京金陵中学·期中)函数的单调减区间为 . 3．(24-25高一上·青海青海湟川中学·期中)函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．(25-26高一上·四川眉山仁寿县·期中)函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 2．函数的单调递增区间为 ． 3．(25-26高一上·福建龙岩第一中学·)函数的单调递增区间是 . 4．(25-26高一上·山东枣庄薛城区·期中)函数f（x）＝的单调递减区间是（   ） A． B． C．[1,4] D．[－2,1] 5．(25-26高一上·广东深圳北京师范大学南山附属高级中学·期中)已知函数，则函数的单调增区间是（    ） A．和 B． C．和 D． 6．(25-26高一上·天津静文高级中学·月考)函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 7．(25-26高一上·湖南娄底涟源部分学校·期中)已知函数在上单调递减，则函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 8．(25-26高一上·天津耀华中学·期中)若定义在上的函数满足则的单调递增区间为 . 【巩固练习】 1．(25-26高一上·重庆渝东九校·期中)函数的单调递减区间是 ． 2．(25-26高一上·福建莆田第八中学·期中)设，则的单调递减区间为   ． 3．(25-26高一上·山东济宁金乡县·期中)函数的单调递增区间是 4．(25-26高一上·安徽芜湖·期中)函数的单调递减区间是 5．(25-26高一上·江西南昌行知中学·期中)函数的单调递增区间是 . 6．(25-26高一上·四川泸州·期中)定义．设函数，则的单调递增区间为 ． 地 城 考点03 由函数的单调性求参 【经典例题】 1．(24-25高一上·广西名校联盟·期中)函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．设函数，当为增函数时，实数的值可能是（   ） A．2 B． C． D．1 【变式训练】 1．(25-26高一上·辽宁辽阳·期末)已知，对都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·广西钦州·期中)已知在上是严格增函数，则实数a的取值范围为 ． 4．(25-26高三上·上海中学·)已知函数在区间上是严格减函数，且函数值不恒为负，则整数为 . 5．(25-26高一上·上海浦东新区·期末)若函数在区间上是严格增函数，则实数a的取值范围是 . 6．(25-26高一上·云南昆明官渡区云南大学附属中学星耀学校·期中)已知函数是单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．(24-25高一上·广西南宁第三中学·期中)函数满足对且，都有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数若，则（   ） A．3或1 B．0或 C．0 D．1 9．(25-26高一上·广东揭阳惠来县第一中学等校·期中)已知函数为定义在上的单调函数，则的取值范围是 ． 【巩固练习】 1．(25-26高一上·广东潮州·期末)已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是 . 2．(25-26高三上·福建级重点厦门大学附属科技中学·)若函数在上单调递增，则实数的取值范围为 . 3．(25-26高三上·江西赣抚吉高中联盟·)已知函数满足在区间内任意实数，都有，则的取值范围为 ． 4．设函数若对，都有，则实数的取值范围为 ． 5．(25-26高一上·安徽多校·月考)已知函数在上单调递减，则的取值范围是 . 6．(25-26高一上·湖南名校大联考·月考)已知是减函数，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．(24-25高一下·辽宁凌源·)已知函数在R上单调递增，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．(23-24高一上·安徽阜阳第三中学·)已知函数，若对任意，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 地 城 考点04 根据函数的单调性解不等式 【经典例题】 1．(25-26高一上·山西大同·期中)若函数在上单调递减，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．(25-26高一上·山西晋中部分学校·)已知函数是定义在上的减函数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．(25-26高一上·甘肃平凉·)已知为定义在上为减函数，且，则的取值范围是 . 2．(24-25高一上·云南昆明官渡区·期末)已知幂函数的图象过点，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．定义在上的函数满足：＜0，且，则不等式的解集为（  　） A． B． C． D． 4．(24-25高一上·广西南宁青秀区南宁第二中学·期中)函数是上的单调函数且对任意的实数都有，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数的定义域为，对于任意的，当时，有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．(25-26高一·广西北海·期末)已知函数的定义域为，满足，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2．(25-26高一上·四川凉山彝族·期末)已知定义域为的函数满足：对任意，都有，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3．(25-26高一上·陕西·月考)已知定义域为的函数满足：，，，都有，且，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．(24-25高一上·云南昆明·期末)已知函数定义域为，对任意两个不相等的实数，都有成立.则不等式的解集为 . 地 城 考点05 根据函数的单调性求最值或值域 【经典例题】 1．(25-26高一上·云南玉溪第一中学·月考) （多选）下列函数中最小值为4的是（ ） A． B． C． D． 2．函数在区间上的最大值为 . 3．(25-26高一上·河北张家口·期末)函数在区间上的最大值、最小值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式训练】 1．(25-26高一上·山东济南名校联考·)函数的值域为（    ） A． B． C． D． 2．(25-26高一上·吉林吉林外五县各高中·期末)函数在上的最大值为（   ） A． B． C． D． 3．(23-24高一上·河北沧州运东七县联考·期中)已知幂函数的图象经过点，则函数在区间上的最大值是（    ） A．2 B．1 C． D．0 4．(24-25高一上·河北承德·期末)已知函数，则函数的值域为 . 5．(24-25高一上·山西运城·期末)已知函数，，若，则的最大值为（    ） A． B． C．2 D． 6．(25-26高一上·山西大同灵丘豪洋中学等校·期中)若，，记函数，若，使得成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．(24-25高一上·山西·期末)2024年新能源汽车的渗透率已超过，为解决新能源汽车的充电问题，某新能源公司投资300万元用于充电桩项目，调研发现且年内该项目的总维护费用为万元，该项目每年可给公司带来200万元的收入.设第且年年底，该项目的纯利润（纯利润＝累计收入－累计维护费用－投资成本）为万元．已知到第3年年底，该项目的纯利润为99万元． (1)求的解析式； (2)到第几年年底，该项目的年平均利润（平均利润纯利润年数）最大？并求出最大值． 【巩固练习】 1．(24-25高一上·贵州六盘水钟山区·)（多选）下列函数中，最小值为2的函数有（   ）． A． B． C． D． 2．(25-26高一上·重庆名校联盟·)已知函数. (1)利用函数单调性的定义证明函数在区间上单调递减； (2)若在区间上的最大值为，求在区间上的最小值. 地 城 考点06 由函数最值求参 【经典例题】 1．(25-26高一上·广东东莞东莞中学松山湖学校·)已知函数在上的最大值为，则（    ） A． B．2 C．5 D．7 2．已知函数在区间上的最大值为5，则（    ） A．2 B．3 C．15 D．3或15 3．(25-26高一上·山西大同卓越大联考·期中)已知函数，若在区间上既有最大值，又有最小值，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D．3 【变式训练】 1．（多选）已知函数在区间上有最大值3，最小值2，则的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．(25-26高一上·辽宁锦州·期末)若函数在区间上的最大值为1，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．0或1 3．(25-26高三上·河南九师联盟学校·开学考)已知函数若，，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．(25-26高一上·山西山西大学附属中学校·期中)设函数，若存在最小值，则的一个取值为 ；的最大值为 . 5．(20-21高一上·福建永安第一中学·期中)已知函数，. （1）求函数的值域； （2）设，，，求函数的最小值. 【巩固练习】 1．已知函数在区间上的值域为，则 ． 2．函数在上的最大值为，则 . 3．(25-26高一上·北京中国人民大学附属中学·)已知二次函数，当时，函数有最大值，则 ． 4．(25-26高一上·北京第八中学·期中)已知函数在区间上的值域为，则实数的取值范围为 . 5．设函数，若是的最小值，则实数的取值范围是 . 6．(25-26高一上·北京第八中学·期中)已知函数，若函数存在最小值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 三、达标检测 1．(25-26高一上·河南驻马店部分校·)函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 2．(25-26高一上·安徽师范大学附属中学·期中)函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 3．(25-26高一上·山西晋中部分学校·)函数的单调递减区间为 . 4．(25-26高一上·贵州名校协作体·)函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 5．(25-26高一上·广东广州天天向上联盟·期中)函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 6．(25-26高一上·安徽鼎尖名校大联考·期中)已知函数，若在区间上单调递减，则区间可能为（    ） A． B． C． D． 7．(25-26高一上·重庆十八中两江实验中学·月考)若函数在其定义域上单调递增，则函数（　　） A．在其定义域上单调递增 B．在其定义域上单调递减 C．在其定义域上单调递增 D．在其定义域上单调递减 8．(22-23高一上·广东肇庆中学·期中)已知连续函数满足：①，则有，②当时，，③，则以下说法中正确的是（　　） A． B． C．在上的最大值是10 D．不等式的解集为 9．(25-26高一上·江苏射阳县·期中)已知函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）    A．在上单调递增 B．在上的值域是 C．在上单调递增 D．在上的最大值是3 10．(24-25高一上·云南西双版纳州·期末)已知函数是定义在上的函数，恒成立，且. (1)确定函数的解析式； (2)用定义证明在上是增函数； (3)解不等式. 11．(24-25高一上·云南昭通第一中学教研联盟·期末)已知函数经过，两点. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性并用定义进行证明； (3)当时，，求实数的最小值. 12．(25-26高一上·山东德州优高联考·期中)已知二次函数. (1)若在上的最大值为4，求函数的解析式； (2)当时，解关于的不等式. 13．(24-25高一上·天津滨海新区·期末)已知函数. (1)求函数的定义域，判断函数在定义域上的单调性并用定义证明； (2)求不等式； (3)函数（，），若存在，，使得成立，求实数a的取值范围. 试卷第1页，共3页 4 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $