23.2 平行四边形（题型专练）数学新教材沪教版五四制八年级下册

23.2 平行四边形 题型一 数图形中平行四边形的个数 1．（上海·周测）平面上的一组3条平行线与另一组5条平行线相交，可构成平行四边形的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，进一步分析即可得到结论． 【详解】解：从一组中任选两条直线与另一组中任选两条直线，就可以构成一个平行四边形，从3条平行线中任选2条直线的方法有3种，从5条平行线中任选2条直线的方法有10种，故平行四边形的个数为， 故选：C 【点睛】此题考查了平行四边形，熟练掌握平行四边形的定义是解决问题的关键． 2．（23-24八年级下·上海·期末）如图所示的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的两个端点都在格点上，若线段为的一边，的四个顶点都在正方形网格的格点上，则这样的平行四边形的个数为（   ） A．3个 B．4个 C．8个 D．11个 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题的关键掌握平行四边形的判定定理，属于中考常考题型． 根据平行四边形的判定定理，即可解决问题． 【详解】解：如图，都可以成为平行四边形的顶点，所以这样的平行四边形最多可以画11个， 故选：D． 3．（八年级下·上海·单元测试）如图，，，，图中共有 个平行四边形． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据题意找出两组对边分别平行的四边形，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴图中的平行四边形有，共三个， 故答案为：． 4．（八年级下·上海·单元测试）如图，、、都是等边三角形，则图中的平行四边形有 个；    【答案】2 【分析】根据等边三角形的性质，求出四边形角和边的关系，即可知道哪些四边形是平行四边形． 【详解】解：∵、、都是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法． 题型二 求与已知三点组成平行四边形的点的个数 1．（八年级下·上海·月考）如图，在的正方形网格图中有、、三点，网格中以、、三点为顶点的平行四边形有（   ）个 A． B． C． D．无数 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的定义，解题的关键是掌握平行四边形的性质．分别以、为对角可画平行四边形． 【详解】解：如图，以为对角可画平行四边形，以为对角线可画平行四边形，共两个， 故选：B． 2．（八年级下·上海·期末）以三角形三边中点和三角形三个顶点能画出平行四边形有（ ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】试题分析：如图所示，∵点E、F、G分别是△ABC的边AB、边BC、边CA的中点， ∴AE=BE=GF=AB，AG=CG=EF=AC，BF=CF=EG=BC，GF∥AB，EG∥BC，EF∥AC， ∴四边形AEFG、BEGF、CFEG都是平行四边形．故选C． 考点： 平行四边形的判定；三角形中位线定理． 3．（八年级下·上海浦东新·月考）以不共线的三个已知点为顶点画平行四边形，可以画出 个平行四边形 【答案】3 【分析】不在同一直线上的三点为、、，连接、、，分别以其中一条线段为对角线，另两边为平行四边形的边，可构成三个平行四边形． 【详解】解：已知三点为、、，连接、、， ①以为平行四边形的对角线，、为两边可以画出； ②以为平行四边形的对角线，、为两边可以画出； ③以为平行四边形的对角线，、为两边可以画出； 如图，可构成的平行四边形有三个：，，． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了画平行四边形的方法，关键是首先确定平行四边形的对角线与两边，再画出图形． 4．（八年级下·上海·月考）小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带来了两块碎玻璃，其编号应该是 ． 【答案】②③ 【分析】每个玻璃都含有两个边，想让两块玻璃配成平行四边形，需要满足两个条件； 　　 （1）需要其中一块玻璃包含的边与另外一个玻璃两个边形成对边且相互平行． （2）这两块玻璃是连在一起的． 运用到的是平行线的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 【详解】解：只有②③两块角的两边互相平行，且中间部分相联，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点， ∴带②③两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小． 故答案为：②③． 【点睛】本题是道所学知识与生活相联系的题，涉及到平行四边形的判定定理，要求对平行四边形判定定理透彻理解并且灵活运用． 题型三 添加一个条件成为平行四边形 1．（24-25八年级下·上海·月考）在四边形中，对角线和相交于点O，，添加下列条件后能判定这个四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．根据平行四边形的判定定理判断即可． 【详解】解：如图： A、∵，， ∴不能判定四边形是平行四边形；故该选项是错误的； B、∵，， ∴不能判定四边形是平行四边形；故该选项是错误的； C、∵，，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形；故该选项是正确的； D、∵，， ∴不能判定四边形是平行四边形；故该选项是错误的； 故选：C． 2．（24-25八年级下·上海宝山·期中）如图在四边形中，若已知，再添加下列条件之一，能使四边形成为平行四边形的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平行四边形的判定．根据平行四边形的判定进行逐项判断即可． 【详解】解：A、由，，不能判定四边形成为平行四边形，故选项A不符合题意； B、由，，不能判定四边形成为平行四边形，故选项B不符合题意； C、∵， ∴，不能判定四边形成为平行四边形，故选项C不符合题意； D、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，故选项D符合题意； 故选：D． 3．（上海·单元测试）如图，四边形的对角线，相交于点O，，请补充一个条件 ，使四边形是平行四边形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查平行四边形的判定，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可求解． 【详解】解：添加条件：， 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形． 故答案为：（答案不唯一） 4．（八年级下·上海·月考）已知：如图，ABCD，线段AC和BD交于点O，要使四边形ABCD是平行四边形，还需要增加的一个条件是： （填一个即可）． 【答案】ADCB（答案不惟一）． 【分析】根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可得答案． 【详解】解：根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可增加的条件可以是：ADCB， 故答案为：ADCB（答案不惟一）． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，解决本题的关键是熟练掌握平行四边形的判定． 题型四 判断能否构成平行四边形 1．（25-26八年级上·上海·月考）根据下列条件，不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A．一组对边平行且相等的四边形 B．一组对边相等一组对角是直角的四边形 C．对角线相等的四边形 D．对角线互相平分的四边形 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定条件；根据初中数学教材，平行四边形的判定包括：一组对边平行且相等、两组对边分别相等、对角线互相平分等；选项A和D是标准判定条件，能判定平行四边形；选项B通过推导可知能判定；选项C对角线相等不能判定平行四边形，如等腰梯形. 【详解】解：A. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； B. 一组对边相等且一组对角是直角的四边形：连接对角线，利用勾股定理可证另一组对边相等，从而判定平行四边形； C. 对角线相等的四边形不能判定平行四边形，如等腰梯形对角线相等但不是平行四边形； D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形； 故选：C. 2．（24-25八年级下·上海宝山·期末）已知四边形，对角线相交于点O，下列条件中，能判断它是平行四边形的是（   ） A． B． C．， D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定．根据平行四边形的判定定理逐一分析选项，选项D满足对角线互相平分且一组对边平行的条件． 【详解】解：选项A中，，但无法证明另一组对边平行或相等，可能存在等腰梯形的情况，故排除； 选项B中，，仅说明被平分，但未给出被平分的条件，无法确定四边形为平行四边形； 选项C中，且，但这两个角并非对角，无法通过边角关系直接判定为平行四边形； 选项D中，（即被O平分）；由可得（内错角相等），结合，，可证，从而，此时对角线均被O平分，满足对角线互相平分的判定条件，故四边形为平行四边形． 故选：D． 3．（八年级下·上海浦东新·月考）在四边形中，如果，那么这个四边形 是平行四边形，(填“一定”或“一定”或“一定不”) 【答案】不一定 【分析】由题意得出，对角互补的四边形不一定是平行四边形． 【详解】解：如果，则， 那么这个四边形不一定是平行四边形； 故答案为：不一定． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定方法；熟练掌握平行四边形的判定方法是解决问题的关键． 4．（八年级下·上海长宁·期末）两条对角线 的四边形是平行四边形. 【答案】互相平分 【分析】由“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”，即可得出结论． 【详解】两条对角线互相平分的四边形是平行四边形； 故答案为互相平分． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定；熟记“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”是解题的关键． 题型五 利用平行四边形的性质求解 1．（24-25八年级下·上海·月考）如图，在中，，对角线相交于点，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了对平行四边形的性质，三角形的三边关系定理等知识点的理解和掌握，得到是的一半是解此题的关键． 根据三角形的三边关系定理得到的取值范围，再根据平行四边形的性质即可求出的取值范围． 【详解】解：∵， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， 故选：C． 2．（24-25八年级下·上海·月考）已知平行四边形的一条边长为14，下列各组数中，能分别作它的两条对角线长的是（   ） A．10与16 B．12与16 C．20与22 D．10与18 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，构成三角形的条件，在平行四边形中，对角线交于点O，，则，令对角线的长等于对应选项中的值，进而得到的长，再判断能否构成三角形即可得到答案． 【详解】解：如图所示，在平行四边形中，对角线交于点O，，则， A、当时，则， ∴，即此时不能构成三角形，故此选项不符合题意； B、当时，则， ∴，即此时不能构成三角形，故此选项不符合题意； C、当时，则， ∴，即此时能构成三角形，故此选项符合题意； D、当时，则， ∴，即此时不能构成三角形，故此选项不符合题意； 故选：C． 3．（25-26八年级上·上海·月考）平行四边形一组对角的和为，那么这个平行四边形中较小内角的度数为 ． 【答案】 【分析】此题考查了平行四边形的性质．解题的关键是注意数形结合思想与平行四边形的对角相等定理的应用． 根据平行四边形对角相等的性质，结合四边形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图，在中，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴在这个平行四边形中较小的一个内角等于． 故答案为：． 4．（24-25八年级下·上海·月考）如图，在中，，将绕顶点B顺时针旋转到，当首次经过顶点C时，旋转角 °． 【答案】40 【分析】本题考查了平行四边形的性质、旋转的性质、等腰三角形的判定和性质以及三角形的内角和定理，解题的关键是证明三角形是等腰三角形．由旋转的性质可知，由等腰三角形的性质得出，根据旋转角相等可得． 【详解】解：∵绕顶点B顺时针旋转到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：40． 题型六 利用平行四边形的性质证明 1．（24-25八年级下·上海松江·期中）在四边形中，是对角线的交点，不能判定这个四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的判定，三角形全等的判定与性质，根据三角形全等的判定与性质以及平行四边形的判定方法逐一判断即可． 【详解】解：如图， A选项：∵，， ∴四边形是平行四边形，本选项不合题意； B选项：∵， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形，本选项不合题意； C选项：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，本选项不合题意； D选项：由无法证明四边形是平行四边形，本选项符合题意． 故选：D． 2．（22-23八年级下·上海杨浦·期末）在平行四边形中，对角线与相交于点，则下列式子不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质分析即可． 【详解】解：如图： ∵四边形是平行四边形， ， ， ， 故A、B、D都不符合题意，C符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键． 3．（2024·上海·二模）如图，在中，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作直线交边于点．若，，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质，尺规作角平分线，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键．设与交于点，利用尺规作图得出，，则可得，，利用四边形是平行四边形，结合，得出，则可得，即可求解． 【详解】解：如图，设与交于点，    ∵以点为圆心，长为半径画弧，交边于点， ∴， ∵分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点， ∴， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（23-24八年级下·上海·月考）如图，在中，的平分线交于E，交的延长线于点F，则 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题． 根据平行四边形的对边相等且平行和利用平行四边形的性质以及平行线的基本性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵的平分线交于点E， ， ， ， 故答案为：4． 题型一 利用平行四边形的判定与性质求解 1．（八年级上·上海·月考）如图，中，点是的中点，，，则长（    ）． A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】求BE的长，可转化为，EF已知，只需求出BF的长即可，延长AD，使，连接BG，CG，判定四边形ABGC为平行四边形，在DG上取一点H，使，判断四边形BECI为平行四边形，求证即可求解． 【详解】延长AD，使，连接BG，CG， ∵，， ∴四边形ABGC为平行四边形， ∴， 在DG上取一点H，使，连接并延长交于， ∵， ∴四边形BECI为平行四边形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是平行四边形的性质即定理，以及两直线平行，内错角相等，学会运用辅助线作图以及熟练掌握平行四边形的性质即定理，以及两直线平行，内错角相等的定理是解答本题的关键． 2．（25-26八年级上·上海·月考）如图，中，，的周长为，则与的周长和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的对边相等及平行线判定相似三角形的性质是解题的关键． 先证明四边形是平行四边形，得到对应边相等，再结合平行线判定三角形相似，推导与的周长和与周长的关系． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，； ∵的周长为，的周长为， ∴与的周长和为 ， 故答案为：． 3．（八年级下·上海徐汇·月考）如图，在中，∠OAB=90°，OA=AB=6，将绕点O沿逆时针方向旋转90°得到.    (1)线段的长是 (2)的度数是 ； (3)求四边形的面积的面积。 【答案】（1）4；（2）135°；（3）36 【分析】（1）图形在旋转过程中，边长不变解答即可； （2）先求出∠AOB=45°，然后根据旋转的性质求解即可； （3）可证明OA∥A1B1且相等，即可证明四边形OAA1B1是平行四边形，然后根据平行四边形的面积=底×高=OA×OA1．． 【详解】解：（1）根据旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等，即OA1=OA=4； （2）∵∠OAB=90°，OA=AB， ∴△OAB为等腰直角三角形，即∠AOB=45°， ∵对应角∠A1OB1=∠AOB=45°，旋转角∠AOA1=90°， ∴∠AOB1的度数是90°+45°=135°； （3）连接AA1，    ∵∠AOA1=∠OA1B1=90°， ∴OA∥A1B1， 又∵OA=AB=A1B1， ∴四边形OAA1B1是平行四边形， ∴四边形OAA1B1的面积=OA×OA1=6×6=36． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，图形旋转前后的两个图形全等，正确确定旋转角是解题关键． 4．（八年级下·上海浦东新·期中）如图，已知在△ABC外作等腰三角形ABD和等腰三角形ACE，且∠BAD=∠CAE=90°，AM为△ABC中BC边上的中线，连接DE．求证：DE=2AM． 【答案】见解析 【分析】延长AM到F点，使MF=AF,再连接BF与CF，先证明四边形ABFC是平行四边形，从而利用等量代换得到∠ABF=∠DAE，再根据SAS证明△DAE全等于△ABF，从而进一步证明出结果 【详解】 证明：如图，延长AM到F点，使MF=AF,再连接BF与CF ∵AM是BC中线 ∴BM=MC 又∵MF=AF ∴四边形ABFC是平行四边形 ∴∠ABF＋∠BAC=180°，FB=AC=AE 又∵∠DAE＋∠BAC=180° ∴∠DAE=∠ABF 又∵AD=AB ∴△DAE△ABF(SAS) ∴DE=AF=2AM 【点睛】本题主要考查了平行四边形与全等三角形的综合运用，主要掌握相关辅助线的画法是关键 题型二 利用平行四边形的性质和判定证明 1．（2024·上海静安·三模）某同学对“对角线垂直的四边形”进行了探究：如图，在四边形中，，，，，由上述条件，得到了两个结论：①，②．对于结论①、②下列说法正确的是（    ） A．①正确、②错误 B．①错误、②正确 C．①、②正确 D．①、②都错误 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，如图，过A作交的延长线于点E，当时，可证出，在中可得出，进而可得出，据此即可得①错误，如图，设，交于点O，利用勾股定理可得，故②正确，即可得出正确选项，熟练掌握其性质，正确的作出辅助线是解决此题的关键． 【详解】如图，过A作交的延长线于点E， ∵， ∴即， 当时， ∴， 则， 如图，过点B作交于点F， ∴四形为平行四边形， ∴， 如图，在中， ∵ ∴即， ∴， ∴， 故①错误； 如图，设，交于点O， ∵， ∴， ，，， ∵，，， ∴，， ∴， ∴ ， 故②正确， 故选：B． 2．（24-25八年级下·上海·期中）如图，是平行四边形的对角线，点、在上，要使四边形是平行四边形，还需要增加的一个条件是 （只要填写一种情况）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，根据两条对角线互相平分的四边形是平行四边形即可解答． 【详解】解：还需要增加的一个条件是，理由为： 连接，交于， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 故答案为：． 3．（2023·上海青浦·二模）如图，在中，，点D是边的中点，点M在边上，将沿所在的直线翻折，点A落在点E处，如果∥AB，那么 ． 【答案】 【分析】画出图形，过点D作的垂线段，交于点F，过点C作AB的垂线段，交于点G，证明为等腰三角形，，即可解答． 【详解】 解：如图，过点D作的垂线段，交于点F，过点C作的垂线段，交于点G， ， ， 点D是边的中点， ， 沿所在的直线翻折，点A落在点E处， ， ，， ∥CG， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理与折叠问题，面积法，等腰三角形的性质，平行四边形的判定及性质，画出图形并且作出正确的辅助线是解题的关键． 4．（八年级下·上海·期中）如图，在中，点，是对角线上两点，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析 【分析】结合平行四边形的性质，利用“边角边”证明后，结合全等三角形的性质可得，，根据同角的补角相等得，再由平行线的判定得，即可根据对边平行且相等证得四边形是平行四边形． 【详解】证：中，，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查的知识点是平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、同角的补角相等、平行线的性质与判定，解题关键是熟练掌握平行四边形的判定与性质． 题型三 平行四边形性质和判定的应用 1．（八年级下·上海·期末）如图，为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向右拉动框架，给出如下的判断：①四边形为平行四边形；②对角线的长度不变；③四边形的面积不变；④四边形的周长不变，其中所有正确的结论是（    ） A．①② B．①④ C．①②④ D．①③④ 【答案】B 【分析】①正确，根据平行四边形的判定方法即可判断； ②错误，观察图象即可判断； ③错误，面积是变小了； ④正确，根据平行四边形性质即可判断． 【详解】解：∵两组对边的长度分别相等， ∴四边形ABCD是平行四边形，故①正确； ∵向右扭动框架， ∴BD的长度变大，故②错误； ∵平行四边形ABCD的底不变，高变小了， ∴平行四边形ABCD的面积变小，故③错误； ∵平行四边形ABCD的四条边不变， ∴四边形ABCD的周长不变，故④正确． 故所有正确的结论是①④． 故选：B． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、平行四边形的周长、面积等知识，解题的关键是熟练应用这些知识解决问题． 2．（八年级下·上海·期末）如图，，，，的面积为6，则四边形的面积为 ． 【答案】20 【分析】本题考查了平行线间的距离、三角形面积公式及梯形面积公式的应用，解题的关键是通过三角形面积求出平行线间的距离，进而计算四边形的面积． 由点B、C、E的排列顺序及已知长度求出的长；利用的面积和的长度求出与之间的距离（高）；根据与平行，确定四边形为梯形，结合梯形面积公式计算其面积． 【详解】∵点B、C、E在同一直线上且顺次排列，，， ∴． 设与之间的距离为（即的高）， ∵的面积为6，由三角形面积公式得：， 即，解得． ∵，在上， ∴，又, 四边形是平行四边形，其中，，高为． 由平行四边形面积公式得：四边形的面积． 故答案为：． 3．（24-25八年级下·上海·期末）如图（1）所示是某校篮球架实物图，如图（2）所示是篮球架的侧面示意图，篮板边侧垂直于地面．八年级的“综合与实践”数学小组开展测量篮球架篮板高度的实践活动．在 不便于直接测量的情况下，小组设计了如下测量方法：如图（3）所示，小组成员将竹竿垂直固定在地面上，小明从竹竿上的F点处观察篮板底部B点，用测角仪测量视线与竹竿的夹角的度数为，接着将观察点沿着竹竿向上移动到G点，使得从G点观察篮板顶部A点的视线与竹竿的夹角的度数恰好等于的度数时，在竹竿上标注G点的位置，测量的长度为．活动分享时，小明说：“的长度就是篮板的高度”，你认为小明的说法是否正确，并说明理由． 【答案】我认为小明的说法正确，见解析 【分析】本题主要查了平行四边形的判定和性质，证明四边形是平行四边形是解题的关键． 根据题意可得，再由，得到，继而得到四边形是平行四边形，即可解答． 【详解】解：我认为小明的说法正确．理由如下： ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴四边形是平行四边形． ∴． ∴的长度就是篮板的高度． 4．（24-25八年级下·上海·期中）如图，在四边形中，点E、F在上，且，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，得，根据一边平行且相等的四边形为平行四边形得出结论； （2）由平行四边形的性质得，，再由勾股定理求出，然后由三角形面积求出的长即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， 在和中， ， ， 四边形是平行四边形； （2）由（1）可知，四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ． 的长为． 1．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）如图，在四边形中，，E是上一点，且，P从A点出发以的速度向B点运动，同时Q从D点出发以的速度向C点运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止，设运动时间为，当以A、P、E、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值． 【答案】当以A、P、E、Q为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为或． 【分析】本题考查了平行四边形的判定，一元一次方程的应用，熟练掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键．分点Q在的左侧和右侧两种情形，结合一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，建立等式求解即可． 【详解】解：当点Q在的左侧时，设运动时间为， 根据题意，得， ∵， ∴， ∵， ∴， 故当时，以 A、P、E、Q为顶点的四边形是平行四边形， ∴ 解得． 当点Q在的右侧时，设运动时间为， 根据题意，得， ∵， ∴， ∵， ∴， 故当时，以 A、P、E、Q为顶点的四边形是平行四边形， ∴ 解得． 则当以A、P、E、Q为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为或． 2．（25-26八年级上·上海宝山·期中）如图，在四边形中，，以点A为圆心，的长为半径作弧分别交边，边于点F，E，（点E，F都不与边的端点重合）． (1)如图，当， ①探索和的数量关系并证明你的结论； ②若平分，求证：是等边三角形并直接写出此时线段，，之间的数量关系． (2)连接，当平分时，若是以为腰的等腰三角形，求的值． 【答案】(1)①，证明见详解；②，证明见详解 (2)或1 【分析】（1）①过点A作交于点H，根据题意得出为等腰三角形，再由可根据等腰三角形的三线合一的定义可知为等腰的中垂线，从而进一步求得，，利用角度的和差关系得出，通过“”证明，从而最终得出；②通过角平分线的定义及①问中得出的结论可推导出，设，则，通过三角形内角和定理列出关于α的方程求得α的值，进一步推导出是等边三角形．设，则，再利用已知的条件可得出，，进一步推导出四边形为正方形，从而求得相关线段的表达式并进行构造，最终得出； （2）根据角平分线的定义得出，利用“”证得，得出及，此时分情况讨论：①当时，②当时，根据不同的情况作出对应的辅助线并根据不同的情况假设关键线段的长度，通过计算推导最终求得的结果． 【详解】（1）解：①， 证明：如图，过点A作交于点H， 由题意知，， ∴为等腰三角形， ∵， ∴为等腰的中垂线， ∴，， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． ②， 证明：如图，由①知，， 又∵平分， ∴， ∴， 设， 在等腰中，， ∵， ∴， ∴， 由等腰可知，根据三角形内角和定理得：， 解得， ∴， 即是等边三角形． 设，则， ∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴，， ∴， 则， ∵， ∴四边形为正方形， ∴， 则， ∴， 即． （2）解：∵，平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ①如图，当时，，， ∴，， ∴， 过点E作交于点N，过E作交的延长线于点M，过点A作交于点H， 设， ∴，则， ∴， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵，即， ∴； ②如图，当时，， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， 综上所述，的值为或1． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形、矩形、正方形的判定与性质，等腰三角形三线合一及平行线的性质等知识点． 3．（25-26八年级上·上海杨浦·单元测试）探究活动：等积变形 【问题情境】如图1，已知直线，点、在直线上，点在直线上，那么图中与面积相等的三角形是___________． 【问题探究】在由边长为1的小正方形构成的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点． 如图2，已知在的网格图形中，四边形的顶点都在格点上， 求作格点，使．（仅利用无刻度直尺作图，保留作图痕迹并写出结论） 【问题拓展】如图3，已知平行四边形是边的中点，求作一点，使．（仅利用无刻度直尺作图，保留作图痕迹并写出结论）． 【答案】问题情境：；问题探究：图见详解；问题拓展：图见详解 【分析】本题主要考查平行线的性质、平行四边形的性质与判定及作图，熟练掌握平行线的性质、平行四边形的性质与判定及作图是解题的关键； 问题情境：根据“平行线间的距离都相等”可进行求解； 问题探究：先得出四边形的面积，然后根据等积法可进行作图； 问题拓展：根据平行四边形的性质及全等三角形的性质与判定可进行作图． 【详解】解：问题情境：由可知：点到线段的距离都相等，且都以线段为底， ∴与面积相等的三角形是； 故答案为； 问题探究：由网格可知：， ∴， 所以所作如图所示： 问题拓展：所作如图所示： 分别连接并延长，交于点F、G，连接并延长，交于一点Q， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 同理可得：， ∴， ∴． 4．（24-25八年级下·上海闵行·期末）已知，在平行四边形中，，，点在射线上，直线与直线交于点，于，的延长线与直线交于点． (1)如图，当点在线段上时， ①如果，，求的长； ②连接，求证：； (2)如果，，求的长． 【答案】(1)①；②见解析 (2)2或 【分析】（1）①过点G作，垂足为N，在上取点M，使，证明是等腰直角三角形，求出，根据含30度的直角三角形性质求出，根据勾股定理求出，得出，最后根据勾股定理求出结果即可； ②如图，延长交的延长线于，连接，利用全等三角形的性质证明即可； （2）根据题意可求，当点E在线段上时，根据，，，，可得，进而得到，即，同理（1）②可证，，进而得到，推出是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一，得到，即可求出；当点E在射线上时，同理证明是等腰三角形，即可解答． 【详解】（1）①解：过点G作，垂足为N，在上取点M，使，如图所示： ，， 是等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ； ②如图1中，延长交的延长线于，连接， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：当点E在线段上时， ，，， ， ，， ， ，即， 同理（1）②得，，， ， 是等腰三角形， ， ； 当点E在射线上时， 同理得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， ， ， ； 综上，长为2或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，直角三角形的特征，等腰三角形的判定与性质，正确的添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $ 23.2 平行四边形 题型一 数图形中平行四边形的个数 1．（上海·周测）平面上的一组3条平行线与另一组5条平行线相交，可构成平行四边形的个数为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·上海·期末）如图所示的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的两个端点都在格点上，若线段为的一边，的四个顶点都在正方形网格的格点上，则这样的平行四边形的个数为（   ） A．3个 B．4个 C．8个 D．11个 3．（八年级下·上海·单元测试）如图，，，，图中共有 个平行四边形． 4．（八年级下·上海·单元测试）如图，、、都是等边三角形，则图中的平行四边形有 个；    题型二 求与已知三点组成平行四边形的点的个数 1．（八年级下·上海·月考）如图，在的正方形网格图中有、、三点，网格中以、、三点为顶点的平行四边形有（   ）个 A． B． C． D．无数 2．（八年级下·上海·期末）以三角形三边中点和三角形三个顶点能画出平行四边形有（ ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 3．（八年级下·上海浦东新·月考）以不共线的三个已知点为顶点画平行四边形，可以画出 个平行四边形 4．（八年级下·上海·月考）小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带来了两块碎玻璃，其编号应该是 ． 题型三 添加一个条件成为平行四边形 1．（24-25八年级下·上海·月考）在四边形中，对角线和相交于点O，，添加下列条件后能判定这个四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·上海宝山·期中）如图在四边形中，若已知，再添加下列条件之一，能使四边形成为平行四边形的条件是（　　） A． B． C． D． 3．（上海·单元测试）如图，四边形的对角线，相交于点O，，请补充一个条件 ，使四边形是平行四边形． 4．（八年级下·上海·月考）已知：如图，ABCD，线段AC和BD交于点O，要使四边形ABCD是平行四边形，还需要增加的一个条件是： （填一个即可）． 题型四 判断能否构成平行四边形 1．（25-26八年级上·上海·月考）根据下列条件，不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A．一组对边平行且相等的四边形 B．一组对边相等一组对角是直角的四边形 C．对角线相等的四边形 D．对角线互相平分的四边形 2．（24-25八年级下·上海宝山·期末）已知四边形，对角线相交于点O，下列条件中，能判断它是平行四边形的是（   ） A． B． C．， D． 3．（八年级下·上海浦东新·月考）在四边形中，如果，那么这个四边形 是平行四边形，(填“一定”或“一定”或“一定不”) 4．（八年级下·上海长宁·期末）两条对角线 的四边形是平行四边形. 题型五 利用平行四边形的性质求解 1．（24-25八年级下·上海·月考）如图，在中，，对角线相交于点，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·上海·月考）已知平行四边形的一条边长为14，下列各组数中，能分别作它的两条对角线长的是（   ） A．10与16 B．12与16 C．20与22 D．10与18 3．（25-26八年级上·上海·月考）平行四边形一组对角的和为，那么这个平行四边形中较小内角的度数为 ． 4．（24-25八年级下·上海·月考）如图，在中，，将绕顶点B顺时针旋转到，当首次经过顶点C时，旋转角 °． 题型六 利用平行四边形的性质证明 1．（24-25八年级下·上海松江·期中）在四边形中，是对角线的交点，不能判定这个四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·上海杨浦·期末）在平行四边形中，对角线与相交于点，则下列式子不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·上海·二模）如图，在中，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作直线交边于点．若，，则的长为 ．    4．（23-24八年级下·上海·月考）如图，在中，的平分线交于E，交的延长线于点F，则 ． 题型一 利用平行四边形的判定与性质求解 1．（八年级上·上海·月考）如图，中，点是的中点，，，则长（    ）． A．7 B．8 C．9 D．10 2．（25-26八年级上·上海·月考）如图，中，，的周长为，则与的周长和为 ． 3．（八年级下·上海徐汇·月考）如图，在中，∠OAB=90°，OA=AB=6，将绕点O沿逆时针方向旋转90°得到.    (1)线段的长是 (2)的度数是 ； (3)求四边形的面积的面积。 4．（八年级下·上海浦东新·期中）如图，已知在△ABC外作等腰三角形ABD和等腰三角形ACE，且∠BAD=∠CAE=90°，AM为△ABC中BC边上的中线，连接DE．求证：DE=2AM． 题型二 利用平行四边形的性质和判定证明 1．（2024·上海静安·三模）某同学对“对角线垂直的四边形”进行了探究：如图，在四边形中，，，，，由上述条件，得到了两个结论：①，②．对于结论①、②下列说法正确的是（    ） A．①正确、②错误 B．①错误、②正确 C．①、②正确 D．①、②都错误 2．（24-25八年级下·上海·期中）如图，是平行四边形的对角线，点、在上，要使四边形是平行四边形，还需要增加的一个条件是 （只要填写一种情况）． 3．（2023·上海青浦·二模）如图，在中，，点D是边的中点，点M在边上，将沿所在的直线翻折，点A落在点E处，如果∥AB，那么 ． 4．（八年级下·上海·期中）如图，在中，点，是对角线上两点，且．求证：四边形是平行四边形． 题型三 平行四边形性质和判定的应用 1．（八年级下·上海·期末）如图，为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向右拉动框架，给出如下的判断：①四边形为平行四边形；②对角线的长度不变；③四边形的面积不变；④四边形的周长不变，其中所有正确的结论是（    ） A．①② B．①④ C．①②④ D．①③④ 2．（八年级下·上海·期末）如图，，，，的面积为6，则四边形的面积为 ． 3．（24-25八年级下·上海·期末）如图（1）所示是某校篮球架实物图，如图（2）所示是篮球架的侧面示意图，篮板边侧垂直于地面．八年级的“综合与实践”数学小组开展测量篮球架篮板高度的实践活动．在 不便于直接测量的情况下，小组设计了如下测量方法：如图（3）所示，小组成员将竹竿垂直固定在地面上，小明从竹竿上的F点处观察篮板底部B点，用测角仪测量视线与竹竿的夹角的度数为，接着将观察点沿着竹竿向上移动到G点，使得从G点观察篮板顶部A点的视线与竹竿的夹角的度数恰好等于的度数时，在竹竿上标注G点的位置，测量的长度为．活动分享时，小明说：“的长度就是篮板的高度”，你认为小明的说法是否正确，并说明理由． 4．（24-25八年级下·上海·期中）如图，在四边形中，点E、F在上，且，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，，求的长． 1．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）如图，在四边形中，，E是上一点，且，P从A点出发以的速度向B点运动，同时Q从D点出发以的速度向C点运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止，设运动时间为，当以A、P、E、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值． 2．（25-26八年级上·上海宝山·期中）如图，在四边形中，，以点A为圆心，的长为半径作弧分别交边，边于点F，E，（点E，F都不与边的端点重合）． (1)如图，当， ①探索和的数量关系并证明你的结论； ②若平分，求证：是等边三角形并直接写出此时线段，，之间的数量关系． (2)连接，当平分时，若是以为腰的等腰三角形，求的值． 3．（25-26八年级上·上海杨浦·单元测试）探究活动：等积变形 【问题情境】如图1，已知直线，点、在直线上，点在直线上，那么图中与面积相等的三角形是___________． 【问题探究】在由边长为1的小正方形构成的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点． 如图2，已知在的网格图形中，四边形的顶点都在格点上， 求作格点，使．（仅利用无刻度直尺作图，保留作图痕迹并写出结论） 【问题拓展】如图3，已知平行四边形是边的中点，求作一点，使．（仅利用无刻度直尺作图，保留作图痕迹并写出结论）． 4．（24-25八年级下·上海闵行·期末）已知，在平行四边形中，，，点在射线上，直线与直线交于点，于，的延长线与直线交于点． (1)如图，当点在线段上时， ①如果，，求的长； ②连接，求证：； (2)如果，，求的长． 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $