贵州贵阳市第一中学2025-2026学年高三上学期模拟测试数学试卷

数学评分细则 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的) 题号 2 3 4 5 6 8 答案 C A B 0 B D D 【解析】 3,42+4+41=3a,=18,则a,=6,故选B. 5.当t=0时，P=Be0=B:当t=5时， 马e=90%,即e=0.9,六k=写血0.9， 当t=10时，Beo =e1o*=(e5)2=0.92=0.81,即10h后，还剩81%的污染物，故选B. 6.在空置的5个车位的4个间隔安排三辆不同的车A?=24,故选D. 7.因为函数图象关于点 对称，所以ae所以a。,eZ, 63 所以月m24,因可得： 6 的值可能为1，-1，，-，故选c 2’-2 8.f=0,即nx+x+bx=0,故血+m=-b,f国)有三个不同的零点，，飞，故 +a心三-b有3个不同的正根，令g)=+心，定义域为0，+m),则8) 需有两个极值点，则g)=1-血x+a需有两个不同的变号零点，令)=1-血 ,则 h=3+2血，令hm=3+2血x=0得x=e,令h>0得>e是，令h<0得 3 3 e=0,故当0<x<e时，M)>0,又x>e时，)<0恒成立，故要想g')=1-lnx+a 有两个不同的变号零点，需满足0<α< 1 此时存在实数b,使得血+=-b有3个不 2e3 同的正根，α的取值范围为0， 2e故选D. 1 数学评分细则·第1页（共9页） ■■■■▣▣▣ 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 题号 9 10 11 答案 ABC ABD ACD 【解析】 ).因为a,B为锐角，所以0<a<受0<B<行所以于a-B<号，选项A: sin2a=20=2×25x5_4，所以选项A正确；选项B, X 55-5 cos2a=1-2mu-多，正确：选项c:coa-月>0，因为ma 2W5 ，所以 cosa-h-ma=5,因为a-)-西 所以cos(a-B)=V√1-sin(a-B)= 10 3W10 10 sin p=sinta-(a)]-sin cos(a-B)-cosasin()5 5x10-5 107√2 10 10 所以选项c正确：选项D:因为s血B=正，所以osB=-sm刀 10 v2 10 所以amE=sg=7,D错误，故选ABC cosB 10.4o-亚+o-亚+C-孤+ac-丽-亚+4C,对于A,0-函+40 3 -B+与40-西+分〔居西兮c号+4C,故A正缩对于B由A知 6 40=2B+AC-24M+,由于M、0、N三点共线，可知2+=1，即 3 33 2+n=3,故B正确：对于C,由B知，2+”=1，且m>0,n>0,所以1+1= 33 nn 日等+劉1+品*侵哥19 ,当且仅当”=2，即 3 3m 3n m-32,②，n=30N5-D时取得等号，所以上+上的最小值为1+25，故C错误：对 2 nn 3 数学评分细则·第2页（共9页） ■■■■口口口口 FD.0-2B+AC(O)=+C+2.2BACIC084-4 3 0 33 9 ++号c≥c+,≤3，当且仅当-时取得等号， 9 ÷Sauo=)csim4长3V 3,故D正确，故选ABD. 4 11.对于A:在y2=2px中，当x=1时，P1,√2p),Q1,-V2p),因 为0P1o0,所以2p-(2D)=-1,所以p=号所以y=, 故A正确：对于B:设A(,y),则AM=√(y,2-2)2+y,2= Vy4-3y,2+4≥ √ ,所以AM∈ 2 2,+0所以B错误；对于C: 图1 设∠AMG=0e0习则D.c=1x1xcos29=2os0-1.又因为cos8= 1 AM 所以MD.MG= M1.又因为4M=V,-2y+听=压，-2沙+名 =V好-3x,+4 3)2 x2+ ，当且仪当气时取等号，所以而派号故 42 C正确：对于D,如图1，设A,6)B,yC,),则k=当=为当 x。-水哈-明 1，所以直线AB:x-,+)少+y=0，同理可得，直线 vo+y AC:x-(+y2)y+y2=0,直线BC:x-（y++2)y+yy2=0.因为直线AB,AC与 圆M相切，所以圆心M与AB,AC的距离d=2+L=2+y=1,所以 V1+(y+y)2V1+(y。+y2)2 (-1)y+2yy,+3-=0 (y6-1)y2+2y2+3-y=0 所以，y,为方程(06-1)y2+2yy+3-=0的两根，所 以y+y= -2y。 -1'yy 2=3片，因为圆心M与BC的距离d=2+= -1 6+1-1, V1+y+y,)2+1 所以直线BC与圆M相切，故D正确，故选ACD. 数学评分细则·第3页（共9页） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 题号 12 13 14 答案 2026 60 √21 7 【解析】 13.2”=64,n=6, 2x- 1 展开式通公式为c 2宁，令6子=0得=4,故展开式的常数项为=C(-1)2=60 3 14.根据材料可知：平面α的一个法向量为m=(2,1,-1),平面x-y+z+1=0的一个法向量 为2=1，-1,1)，平面2x-y-z+1=0的一个法向量为2，=(2，-1，-1)，设直线1的方向 向量为n=(x,y,z),因为直线1是两平面的交线，所以n与2,2，都垂直，则 %0=:0令山，则-23少设直我写平面心所成一 角为9，则si血0cos0上，即直线1与平面a所成角的正弦值为 7 7 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 解：(1)已知a=2, 所以：(2b-c)cosA=acosC, …(1分) 由正弦定理得：2 sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC=sin(A+C)=sinB,…(4分) 1 在三角形中，易知sinB≠0，所以cosA= …………(6分) A∈(0，四，所以A= …（7分) 3 (2)如图2所示： 1 D 因为cos∠ACD= ,所以sm∠ACD-4V3 7 B …(8分) 图2 设BD=CD=t, 数学评分细则·第4页（共9页） ■■■■□□口▣ 则coS∠BDC=coS AcD+号 = cos∠ACDcos-sin∠ACDsin …(10分) 3 3 1145311 Γ727214 …(11分) 在△BCD中， 由余弦定理得d=P+-2'cos∠BDC,解得f=2y7 5 故cD=2万 …(13分) 16.(本小题满分15分) 解：(1)由题意知：X所有可能的取值为0,1,2， …（1分) PX=0=4x3x2=1 6545 …（2分) x-=名导+6号后号品- …(3分) Px=2)=4×2×1+2×1×4+2x4x1=1 (4分) 654654'6545 X的分布列为： X 0 1 2 P 5 3-5 1-5 …(5分) :数学期望5()-012×兮1 …(7分) (2)记事件A=“取到的黑球个数为2”，事件B=“第2次抽到白球”， ……(9分) 则事件AB=“第1次和第3次抽到黑球，第2次抽到白球”； 因为PA)=2x4x11 65415 ，P4=Px=2)=} …………（13分) 5 所以PB1A0=P4B)=5-1， P(A)13 即在抽取到2个黑球与1个白球的前提下，第2次抽到白球的概率为 3 (15分) 数学评分细则·第5页（共9页） ■■■■□□口▣ 17.(本小题满分15分) (1)证明：取SD中点G,连接AG,FG, …(1分)） 因为△SDA是等边三角形，所以AG⊥SD …（2分) 因为F为SC的中点，所以FG∥DC,DC=2FG. 用无是男无票原男”怎怎 (3分) 又AB∥DC,DC=2AB,所以FG∥AB,FG=AB. (4分) 所以四边形ABFG为平行四边形， …(5分) 所以BF∥AG,从而有BF⊥SD. (6分) (2)解：法一：以AD中点O为原点，建立如图3所示的空间直角坐标系 …(7分) 因为二面角S-AD-C所成角平面角的余弦值为-5 所以S(0,-1,√2)， …(8分) 由A1,0,0),C(-1,4,0),D(-1,0,0), 13√2 2’2'2 图3 可得：A A=1,1,-V2),DA=(2,0,0). …(10分) 设=(x,y,z)是平面SAD的一个法向量， 则 [m·DA=0「2x=0 m:=0’x+y-V5z=0'令=L,则x=0,y=2, 所以平面SAD的一个法向量m=(0,√2,1). …(12分) 设点F到平面SAD的距离为d,则 dA‖com.A=u·A_2V6 …(14分） 3 所以点F到平面S4D的距离为2V6 …（15分)》 3 法二：因为F为线段SC中点，所以F到平面SAD距离是C到平面SAD距离的一半. …(8分) 记：d=“F到平面SAD的距离”，d,=“C到平面SAD的距离”， 因为V-ACD=V。-4D,AD⊥DC,CD=2AB=2AD=4, …(12分) 数学评分细则·第6页（共9页） ■■■■▣▣▣□ 4v6 所以0}40.c0]号40sm6o只，解得4 3 …(14分) 所以4=26 所以点P到平面SMD的距离为2y6 …(15分) 18.(本小题满分17分) 解：(1)因为e=C=2,所以 c=2a a =√3a 又因为商线经过点亿》，所以专是1，解得心-1，=3 所以双曲线「的方程为：x- 31. (6分) (2)由题意得c=V+b=2,故F(-2,0), …(7分) 过F的直线分别交双曲线于A,B两点，故过F的直线斜率不为O, (8分) 设过F的直线方程为x=y-2,A(,),B(x22), …(9分) 联立 x2、2 1,得6r-1y2-12w+9=0, …（10分) x=y-2 12t 9 所以y+%3为31’△>0， …（12分) 1 因为D2 故直线BD的斜率为，丛，直线BD方程为-=x+) 1 x+2 1 x2+2 由对称性分析可知直线BD过的定点在x轴上， 故-斯=业出 1 10 x+一 中，令y=0得 2 x2+ 2 1 21--2+ 1 -yx2+ 14+2y2 …（14分) y2- 2 y2-y y2-y1 数学评分细则·第7页（共9页） ■■■■口口口口 又+)饭 …(15分) 将其代入上式中得，x= 30y+)+2y2 50,-)5 y2-y y2-y 4 故直线BD过定点 5.0 …(17分) 4 19.(本小题满分17分) (1)解：由题意f(x)=2xnx(x>0),f"(x)=2nx+1), 1 令f'(x)=20nx+1)=0,得x …(1分) e 当xe0)f<0,所以f在区间0)上单调造减： 当任+可小了心o>0,所以@在区向。+上单润造塔： …（3分) 所以当x=时，f)取到最小值 1 2n1=-2 (4分) ee e (2)(i)解：由己知，函数h(x)=x2-2ax-2ad+a-2(x+a)lx,x>0. 令4w=Mw0-=2x-2a-2h-20+ …(5分) (6分) 2 + 上单调递增， 2 在区间 1-V1-4a1+V1-4a 2 上单调递减： …………(8分） 2 当≥时，t()(即()在区间(0，+m)上单调递增。 4 (9分) 数学评分细则·第8页（共9页） ■■■■□□口▣ （)正明：由0=22a-2h-21+9)-0,解得a= 1+x1 …（10分) 则p0=1>0.以e=-ce-2-2c-2'<0, 1+e1 1+e 故存在x。∈1，e),使得p(x)=0. ……………………………（12分） 令a-=1h,)=x-1-nx≥D. 1+x。1 由W=1-1≥0知，函数u)在区间a,+0）上单调递增。 所以0=u@4() u(e)e-2 1+11+x =< 1+e1+e<1. 即4∈(0,1). …（14分) 当a=a,时，有(x)=0,h(xo)=p(x)=0, 由(i)知，函数(x)在区间(I,+w)上单调递增. 故当x∈(1，x)时，有h(x)<0,从而hx)>h(x)=0; 当x∈(x,+o)时，有(x)>0,从而h(x)>h(x)=0; 所以，当x∈1，+o)时，h(x)≥0. …（16分) 综上所述，存在a∈(0,1)，使得h(x)≥0在区间(1，+o)内恒成立，函数hx)的零点唯一. …（17分) 数学评分细则·第9页（共9页） 贵阳一中联考 数学试卷 2026012930 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若复数满足为虚数单位)，则的虚部为 A. B. C. D. 2. “”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 在等差数列中，若，则 A. B. C. D. 4. 已知随机变量，若，则 A.， B.， C.， D.， 5. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量单位：与时间单位：间的关系为，其中，是正的常数，如果在前消除了的污染物，那后的污染物含量为 A. B. C. D. 6.游乐场现有8个完全相同的泊车车位，现安排三辆完全不同的冰淇淋彩车停放，要求每辆车两侧均有空车位方便游客购买，问安排冰淇淋彩车的方法数是 A.336 B.120 C.56 D.24 7.函数f（x）＝sin（）（ω＞0）的图象关于点（，0）中心对称，则f()的值不可能为 A.-1 D.1 8.已知函数f（x）＝lnx+ax2+bx（a，b∈R）.若存在实数b，使得函数f（x）有三个不同的零点，则a的取值范围为 A.（0，） B.（0，） C.（0，） D.（0，） 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9.已知α，β为锐角，sinα，sin（α-β），则 A.sin2α B.cos2α C.sinβ D.tanβ 10.已知△ABC中，O是BC边上靠近B的三等分点，Q为AO的中点，过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N,设AB＝mAM,AC＝nAN,其中m＞0,n＞0.则下列结论正确的是 B.2m+n＝3 的最小值为 D.若，角，则三角形ABC面积的最大值为 11. 已知直线：交抛物线：于，两点，且为坐标原点)，，，是抛物线上三点，直线，与圆：相切于，两点，则下列说法正确的是 A. 抛物线的方程为 B. 的取值范围是， C.的最大值为 D. 直线与圆相切 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知数列的前项和为，则该数列的前项的和 ． 13. 已知二项式展开式中项的系数为，则此二项式的常数项为 ． 14. 阅读材料：空间直角坐标系O−xyz中，过点P（x0，y0，z0）且一个法向量为=（a，b，c）的平面α的方程为a（x−x0）+b（y−y0）+c（z−z0）=0．阅读上面材料，解决下面问题：已知平面α的方程为2x+y−z+1=0，直线l是两平面x−y+z+1=0与2x−y−z+1=0的交线，则直线l与平面α所成角的正弦值为 ． 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. （本小题满分13分） 在中，角，，的对边分别为，，，且， （1）求； （2）若为边上一点，且cos∠，，求 16.（本小题满分15分） 一盒子中有大小与质地均相同的6个小球，其中白球4个，黑球2个.从中不放回地随机取3次，每次取1个球. （1）记取到的黑球个数为随机变量X，求X的分布列和期望; （2）已知实验完成后取到的黑球个数为2，求第2次取到白球的概率. 17.（本小题满分15分） 在图甲五边形ABCDE中,△ADE是边长为2的等边三角形,AB∥DC,AD⊥DC,CD＝2AB＝2AD，将△ADE沿AD折起到△SAD的位置，得到如图乙所示的四棱锥S-ABCD，点F为SC的中点，若二面角S-AD-C所成角的平面角的余弦值为 （1）求证:BF⊥SD; （2）求点F到平面SAD的距离. 18. （本小题满分17分） 已知双曲线：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为，，离心率为2，且过点． （1）求双曲线的方程； （2）过的直线与双曲线交于，两点，过点作直线的垂线，垂足为求证：直线过定点． 19. （本小题满分17分） 已知函数，，其中 当时，求函数的最小值； 设函数 讨论的单调性； 证明：存在，，使得在区间，内恒成立，且函数的零点唯一. 第 2 页 共 5 页 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $