专题05整式乘法寒假预习讲义(知识点梳理+常考题型精讲精练+强化巩固) 2025-2026学年沪科版七年级数学下册

专题05整式乘法寒假预习讲义 · 吃透 3 类整式乘法法则，计算零失误； · 秒辨题型选对方法，提速不踩坑； · 能举一反三，轻松搞定基础变式题； · 养成规范书写习惯，步骤清晰不丢分。 预习必备 知识点梳理 1.单项式乘单项式 2,单项式乘多项式 3.多项式乘多项式(核心难点) 4.高频易错点汇总 常考题型 精讲精炼 1.单项式乘单项式计算 2.单项式乘法求字母值 3.单项式乘多项式求值 4.单项式乘多项式应用 5.单项式乘多项式求字母值 6.多项式乘多项式计算 7.(x+p))(x+q)型乘法 8.多项式乘积不含项求字母值 9.多项式乘多项式化简求值 10.多项式乘法与图形面积 11.多项式乘法规律探究 12.整式乘法混合运算 强化巩固 (解答题6题) 【知识点01.单项式乘单项式】 1. 核心法则 把单项式的系数、同底数幂分别相乘；对只在一个单项式中含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。 2. 解题步骤 (1)算系数：有理数的乘法运算（注意符号，正正得正、负负得正、正负得负）； (2)算同底数幂：底数不变，指数相加； (3)留单独字母：直接保留在积中，指数不变。 3. 典型示例 2x2y3xy3=(2×3)(x2x)(yy3)=6x3y4； −4ab2a2c=(−4×2)(aa2)bc=−8a3bc。 4. 注意事项 ✅系数相乘包含小数、分数，需按有理数乘法化简； ✅单独字母不可遗漏，如示例中、仅出现一次，直接保留。 【知识点02.单项式乘多项式】 1. 核心法则 用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加 （乘法分配律：a(b+c+d)=ab+ac+ad）。 2. 解题步骤 (1)分配单项式：将单项式与多项式的每一项依次相乘； (2)逐项计算：按单项式 × 单项式法则计算每一个积； (3)合并结果：若有同类项，需合并同类项，无则直接连加。 3. 典型示例 −2x(3x2−xy+4)=−2x3x2+(−2x)(−xy)+(−2x)4=−6x3+2x2y−8x。 4. 注意事项 ❌ 严禁漏乘：多项式有几项，就会得到几个积，尤其注意常数项和符号为负的项； ❌ 符号易错：单项式的符号要分配到多项式的每一项，如示例中−2x乘−xy得正。 【知识点03.多项式乘多项式(核心难点)】 1. 核心法则 先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加 （推广的分配律：(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn）。 2. 解题步骤 (1)依次相乘：一个多项式的第一项→第二项→…，分别乘另一个多项式的所有项； (2)逐项化简：按单项式 × 单项式法则计算每个积，注意符号； (3)合并最简：合并所有同类项，结果化为 “最简多项式”（无同类项）。 3. 典型示例 (x−2)(2x+3)=x2x+x3+(−2)2x+(−2)3=2x2+3x−4x−6=2x2−x−6。 4. 注意事项 ❌ 避免漏乘：可按 “先首项、再次项、最后常数项” 的顺序相乘，不重不漏；❌ 符号优先：多项式中带负号的项，需将符号与数字作为一个整体参与运算； ✅必须合并同类项：这是最终结果的要求，否则不算完成运算。 【知识点04.高频易错点汇总】 1.符号错误：所有乘法运算均先定符号，再算数值，负号的分配是重中之重； 2.同底数幂运算混淆：牢记 “相乘加指数”，切勿与 “幂的乘方（乘指数）” 混淆； 3.漏乘问题：多项式的常数项、一次项系数为 1或-1的项，最易被漏乘； 4.系数计算失误：忽略系数为 **-1、0** 的情况，如−x5x2=−5x3，任意整式； 5.未化简到底：多项式相乘后，有同类项未合并，结果不满足 “最简” 要求。 核心运算口诀 系数相乘定符号，同底幂乘指数加； 单乘多要遍乘遍，多乘多要项乘项； 乘完逐项算清楚，最后合并同类项。 【题型1.单项式乘单项式计算】 【典例】计算： ． 【跟踪专练2】如果单项式与是同类项，那么这两个单项式的积是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】若，，则 ． 【题型2.单项式乘法求字母值】 【典例】若，则 ． 【跟踪专练1】若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若，则 ． 【题型3.单项式乘多项式求值】 【典例】计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】计算： （1）________________． （2）_________________． 【跟踪专练2】将连续的正整数1，2，3，…排成如表1所示的数表，并从中框出某些数字，例如表1中用的方框框出了8个数字．现在用如表2所示的的方框在表1中也框出一些数字，设第一行两数为a，b，最后一行两数为c，d，且，则n的值为（    ） A．405 B．406 C．407 D．410 【题型4.单项式乘多项式应用】 【典例】计算： ． 【跟踪专练1】如图，小正方形和大正方形相邻，且B、C、G三点在同一条直线上，C、D、E三点在同一条直线上，连接，，．若阴影部分的面积为12，则大正方形的面积与小正方形的面积之差为（    ） A．12 B．18 C．24 D．30 【跟踪专练2】如图，边长分别为a和b的两个正方形拼接在一起，若，，则图中阴影部分的面积为 ． 【题型5.单项式乘多项式求字母值】 【典例】若，则（    ） A．6 B． C．8 D． 【跟踪专练1】若，则 ． 【跟踪专练2】若计算的结果中不含项，则常数的值为（   ） A． B． C． D． 【题型6.多项式乘多项式计算】 【典例】计算： ． 【跟踪专练1】若，则的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【跟踪专练2】若，则代数式的值为 ． 【题型7.(x+p)(x+q)型乘法】 【典例】已知等式（m，n为正整数），则k的值不可能是（    ） A． B． C．5 D．6 【跟踪专练1】若，则m的值是 ． 【跟踪专练2】观察下列两个多项式相乘的运算过程： 根据你发现的规律，若，则，的值可能分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【题型8.多项式乘积不含项求字母】 【典例】已知式子的计算结果中不含的一次项，则的值为 ． 【跟踪专练1】若展开后不含x的一次项，则p与q的关系是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】.在把，的值代入（，均为常数）计算时，小明把的值看错了，其结果等于9；小红把正确的，的值代入计算，结果恰好也是9．为了找出原因，小红又把的值换成了2025，结果竟然还是9．根据以上信息可知， ． 【题型9.多项式乘多项式化简求值】 【典例】已知，则 ． 【跟踪专练1】已知：，化简的结果是(　　) A． B． C． D． 【跟踪专练2】规定，例如．已知，则的值为 ． 【题型10.多项式乘法与图形面积】 【典例】观察下列图形由左到右的变化，写出相应的代数恒等式应该为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】小明用下图所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一边长为，一边长为的矩形，已知她用了A类卡片2张，C类卡片2张，那么他使用B类卡片 张． 【跟踪专练2】公园里有一个长为，宽为的长方形花坛，现要在花坛四周放置长椅，如图所示，已知长椅的宽度为，则长椅的面积为（　　） A． B． C． D． 【题型11.多项式乘法规律探究】 【典例】我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个三角形给出的展开式的系规律（按的次数由大到小的顺序）． 请根据上述规律，则展开式中含项的系数是（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【跟踪专练1】我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．观察如图的杨辉三角，按照前面的规律，则的展开式中从左起第三项的系数为 ． 【跟踪专练2】在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”如：记；．已知：，则的值是（  ） A．16 B． C．20 D． 【题型12.整式乘法混合运算】 【典例】化简的结果为 ．． 【跟踪专练1】已知，，则的值为( ) A． B． C． D． 【跟踪专练2】公园里有一个长方形花坛，原来长为 ，宽为x，现在要把花坛四周均向外扩展，扩展后的长方形花坛的长，宽为，则扩展后的长方形花坛的面积比扩展前的长方形花坛的面积增加 ． 1．计算： (1)． (2)． (3)． 2．先化简，再求值： (1)，其中，； (2)，其中． 3．先化简，再求值：，其中，． 4．某植物园中有，两个园区，已知园区为长方形，长为，宽为；园区为正方形，边长为． (1)请用代数式表示，两个园区的面积之和并化简； (2)现根据实际需要对园区进行整改，长增加，宽增加，整改后园区的长比宽多50m，且周长为． ①求，的值； ②若园区全部种植种花，园区全部种植种花，且，两种花投入的费用与吸引游客的收益如下表： 种花 种花 投入/（元/平方米） 12 16 收益/（元/平方米） 18 26 求整改后，两个园区的旅游净收益（净收益=收益-投入）之和． 5.．如图，小明的房间由小卧室和阳台组成，小明爸妈的房间由大卧室和露台组成大小卧室都是正方形，大卧室的边长和小明房间的长都是，露台的宽度为，阳台的宽度是露台宽度的． (1)用含，的代数式分别表示大卧室和阳台的面积； (2)若，，求的值． 6．探索规律 …… (1)试求的值； (2)试求：的值； (3)试猜想：的值． (4)根据以上规律求：的结果． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05整式乘法寒假预习讲义 · 吃透 3 类整式乘法法则，计算零失误； · 秒辨题型选对方法，提速不踩坑； · 能举一反三，轻松搞定基础变式题； · 养成规范书写习惯，步骤清晰不丢分。 预习必备 知识点梳理 1.单项式乘单项式 2,单项式乘多项式 3.多项式乘多项式(核心难点) 4.高频易错点汇总 常考题型 精讲精炼 1.单项式乘单项式计算 2.单项式乘法求字母值 3.单项式乘多项式求值 4.单项式乘多项式应用 5.单项式乘多项式求字母值 6.多项式乘多项式计算 7.(x+p))(x+q)型乘法 8.多项式乘积不含项求字母值 9.多项式乘多项式化简求值 10.多项式乘法与图形面积 11.多项式乘法规律探究 12.整式乘法混合运算 强化巩固 (解答题6题) 【知识点01.单项式乘单项式】 1. 核心法则 把单项式的系数、同底数幂分别相乘；对只在一个单项式中含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。 2. 解题步骤 (1)算系数：有理数的乘法运算（注意符号，正正得正、负负得正、正负得负）； (2)算同底数幂：底数不变，指数相加； (3)留单独字母：直接保留在积中，指数不变。 3. 典型示例 2x2y3xy3=(2×3)(x2x)(yy3)=6x3y4； −4ab2a2c=(−4×2)(aa2)bc=−8a3bc。 4. 注意事项 ✅系数相乘包含小数、分数，需按有理数乘法化简； ✅单独字母不可遗漏，如示例中、仅出现一次，直接保留。 【知识点02.单项式乘多项式】 1. 核心法则 用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加 （乘法分配律：a(b+c+d)=ab+ac+ad）。 2. 解题步骤 (1)分配单项式：将单项式与多项式的每一项依次相乘； (2)逐项计算：按单项式 × 单项式法则计算每一个积； (3)合并结果：若有同类项，需合并同类项，无则直接连加。 3. 典型示例 −2x(3x2−xy+4)=−2x3x2+(−2x)(−xy)+(−2x)4=−6x3+2x2y−8x。 4. 注意事项 ❌ 严禁漏乘：多项式有几项，就会得到几个积，尤其注意常数项和符号为负的项； ❌ 符号易错：单项式的符号要分配到多项式的每一项，如示例中−2x乘−xy得正。 【知识点03.多项式乘多项式(核心难点)】 1. 核心法则 先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加 （推广的分配律：(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn）。 2. 解题步骤 (1)依次相乘：一个多项式的第一项→第二项→…，分别乘另一个多项式的所有项； (2)逐项化简：按单项式 × 单项式法则计算每个积，注意符号； (3)合并最简：合并所有同类项，结果化为 “最简多项式”（无同类项）。 3. 典型示例 (x−2)(2x+3)=x2x+x3+(−2)2x+(−2)3=2x2+3x−4x−6=2x2−x−6。 4. 注意事项 ❌ 避免漏乘：可按 “先首项、再次项、最后常数项” 的顺序相乘，不重不漏；❌ 符号优先：多项式中带负号的项，需将符号与数字作为一个整体参与运算； ✅必须合并同类项：这是最终结果的要求，否则不算完成运算。 【知识点04.高频易错点汇总】 1.符号错误：所有乘法运算均先定符号，再算数值，负号的分配是重中之重； 2.同底数幂运算混淆：牢记 “相乘加指数”，切勿与 “幂的乘方（乘指数）” 混淆； 3.漏乘问题：多项式的常数项、一次项系数为 1或-1的项，最易被漏乘； 4.系数计算失误：忽略系数为 **-1、0** 的情况，如−x5x2=−5x3，任意整式； 5.未化简到底：多项式相乘后，有同类项未合并，结果不满足 “最简” 要求。 核心运算口诀 系数相乘定符号，同底幂乘指数加； 单乘多要遍乘遍，多乘多要项乘项； 乘完逐项算清楚，最后合并同类项。 【题型1.单项式乘单项式计算】 【典例】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式的乘法运算，需分别计算系数和同底数幂的乘法． 根据单项式乘单项式及同底数幂相乘的运算法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【跟踪专练2】如果单项式与是同类项，那么这两个单项式的积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，以及同类项的定义．根据同类项的定义，相同字母的指数必须相同，因此列出关于m和n的方程并求解，再计算两个单项式的乘积即可． 【详解】解：∵ 单项式与是同类项， ∴且， 解得，， ∴两个单项式为和， ∴它们的乘积为． 故选：A． 【跟踪专练3】若，，则 ． 【答案】1 【分析】此题考查了单项式乘单项式，化简求值， 熟练掌握运算法则是解本题的关键． 先利用单项式乘以单项式法则计算，然后将已知等式代入计算即可求出值． 【详解】解：原式＝， 当 和 时， 原式． 故答案为：． 【题型2.单项式乘法求字母值】 【典例】若，则 ． 【答案】11 【分析】本题考查了单项式乘单项式，熟练掌握单项式乘单项式的运算法则是解题的关键．根据单项式乘单项式的运算法则得到，结合得到，，求出的值，即可求解． 【详解】解：，， ， ，， ，， ． 故答案为：11． 【跟踪专练1】若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式，负整数指数幂，根据单项式乘单项式运算法则求解，得到关于m，n的方程，求出的值，代入即可求出结果． 【详解】解：∵， ∴， ， ∴，， ∴． 故选：A． 【跟踪专练2】若，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查单项式乘单项式，利用单项式乘单项式法则计算后得到关于m，n的方程，解得，的值后代入中计算即可． 【详解】解：， 则，， 解得：，， 那么， 故答案为：2． 【题型3.单项式乘多项式求值】 【典例】计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，单项式乘以多项式等于单项式分别乘以多项式的每一项，再把所得的结果相加；根据此法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 故选：C． 【跟踪专练1】计算： （1）________________． （2）_________________． 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法运算与合并同类项，掌握单项式乘多项式法则，以及合并同类项的法则是解题的关键． （1）通过单项式乘多项式法则展开并合并同类项； （2）运用单项式与多项式相乘的法则，分别相乘后合并． 【详解】解：（1）原式 ． 故答案为：． （2）原式 ． 故答案为：． 【跟踪专练2】将连续的正整数1，2，3，…排成如表1所示的数表，并从中框出某些数字，例如表1中用的方框框出了8个数字．现在用如表2所示的的方框在表1中也框出一些数字，设第一行两数为a，b，最后一行两数为c，d，且，则n的值为（    ） A．405 B．406 C．407 D．410 【答案】B 【分析】本题考查的是数字类规律探究，整式的乘法运算，一元一次方程的应用，由题意可得，，，结合，再进一步求解即可． 【详解】解：由题意可得：，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：； 故选：B． 【题型4.单项式乘多项式应用】 【典例】计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式的计算，直接根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，小正方形和大正方形相邻，且B、C、G三点在同一条直线上，C、D、E三点在同一条直线上，连接，，．若阴影部分的面积为12，则大正方形的面积与小正方形的面积之差为（    ） A．12 B．18 C．24 D．30 【答案】C 【分析】本题考查了单项式乘以多项式的应用，设大正方形的边长为，小正方形的边长为，则大正方形的面积为，小正方形的面积为，表示出阴影部分的面积，计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为，则大正方形的面积为，小正方形的面积为， ∴阴影部分的面积为， ∴， ∴， 故大正方形的面积与小正方形的面积之差为， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，边长分别为a和b的两个正方形拼接在一起，若，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法与图形面积，熟练掌握计算公式是解题的关键；图中阴影部分的面积等于一个梯形的面积减去两个直角三角形的面积，列式计算即可得答案． 【详解】解：去掉，补上，则剩余部分为一个直角梯形， 图中阴影部分的面积为： ∵， ∴图中阴影部分的面积为：， 故答案为： 【题型5.单项式乘多项式求字母值】 【典例】若，则（    ） A．6 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】本题考查单项式乘多项式，正确计算是解题的关键． 利用单项式乘多项式法则展开左边表达式，比较同类项系数求即可. 【详解】解：∵ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ . 故选：C. 【跟踪专练1】若，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了整式的乘法，利用单项式乘以多项式的法则进行计算，可得到的值，再代入计算即可． 【详解】解：， ∴ ∴， 故答案为：6． 【跟踪专练2】若计算的结果中不含项，则常数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式的运算，多项式的项及系数，先将展开，合并同类项得，继而得到，求解即可．解题的关键是掌握相应的运算法则． 【详解】解： ， ∵计算的结果中不含项， ∴， 解得：， 即常数的值为． 故选：A． 【题型6.多项式乘多项式计算】 【典例】计算： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式运算法则为解题的关键． 直接运用多项式乘多项式运算法则求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【跟踪专练1】若，则的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘多项式，运算法则需要熟练掌握，利用对应项系数相等求解是解题的关键．运用多项式与多项式相乘的法则将等式左边展开，通过比较左右两边的对应项系数，将问题转化为关于，的方程来确定，的值． 【详解】解：∵， 又∵， ∴，， 故选：C． 【跟踪专练2】若，则代数式的值为 ． 【答案】4 【分析】此题考查了整式的混合运算——化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 将代数式，去括号合并得到最简结果，将已知等式变形后代入计算即可求出值． 【详解】解： ； ， ． 把代入，得 ． 所以，代数式的值为4． 故答案为：4． 【题型7.(x+p)(x+q)型乘法】 【典例】已知等式（m，n为正整数），则k的值不可能是（    ） A． B． C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．根据多项式乘多项式的运算法则，把等式左边变形为：，再根据，得出，，根据m，n均为正整数，列举所有的因数对，进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∵m，n为正整数， ∴，时，； ，时，； ，时，； ，时，； ∴k的值可能是5，，，1． 故选：D． 【跟踪专练1】若，则m的值是 ． 【答案】2 【分析】本题含参的整式乘法计算，通过展开左边多项式，并与右边多项式比较系数，得到m的值． 【详解】解：， ∵， ∴． 故答案为：2． 【跟踪专练2】观察下列两个多项式相乘的运算过程： 根据你发现的规律，若，则，的值可能分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式是解题的关键． 观察可以得出规律：两个多项式相乘，两个多项式的一次项相乘得出运算结果的二次项，两个多项式的常数项相加得出运算结果的一次项的系数，两个多项式的常数项相乘得到运算结果的常数项．由此得到，，即可求解． 【详解】解：由题意得：，； ，； ，或，； ，的值可能为：，； 故选：A 【题型8.多项式乘积不含项求字母】 【典例】已知式子的计算结果中不含的一次项，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了合并同类项法则及对多项式“项”的概念的理解，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先计算，把多项式合并，然后令的一次项系数等于，再解方程即可． 【详解】解：， ∵计算结果中不含的一次项， ∴， 解得：． 故答案为： ． 【跟踪专练1】若展开后不含x的一次项，则p与q的关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多项式的乘法．将多项式展开后，找到的一次项系数，令其等于零，即可得到与的关系． 【详解】解：展开多项式：， ∵展开后不含的一次项， ∴项的系数， 解得：， 故选：B． 【跟踪专练2】.在把，的值代入（，均为常数）计算时，小明把的值看错了，其结果等于9；小红把正确的，的值代入计算，结果恰好也是9．为了找出原因，小红又把的值换成了2025，结果竟然还是9．根据以上信息可知， ． 【答案】 【分析】本题考查整式的化简求值，解题的关键是读懂题意，列出关于的方程． 根据题意，表达式在取不同值时结果恒为，说明表达式与无关，因此的系数和的系数均为，结合，可求解和的值． 【详解】解：展开并化简表达式： ∵表达式值恒为， ∴与无关， 则，, ∴ ∴ 解得： 因此，, 故答案为：． 【题型9.多项式乘多项式化简求值】 【典例】已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘以多项式以及代数求值，解题的关键是掌握相关运算法则． 根据得到，将去括号合并同类项，再代入即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故答案为：． 【跟踪专练1】已知：，化简的结果是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘多项式，解决本题的关键是按照多项式乘多项式的计算法则计算．先按照多项式乘多项式的计算法则将要求的式子展开，然后代入数据计算即可． 【详解】解：∵ ∴ 故选：C． 【跟踪专练2】规定，例如．已知，则的值为 ． 【答案】12 【分析】本题考查定义新运算，多项式乘以多项式，代数式求值，根据新定义，以及多项式乘以多项式的法则，得出，再代入进行求解即可． 【详解】解：由题意，， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：12． 【题型10.多项式乘法与图形面积】 【典例】观察下列图形由左到右的变化，写出相应的代数恒等式应该为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的混合运算图形面积的关系，理解图示，掌握整式的混合运算是关键．根据图示，大正方形的面积减去小正方形的面积等于阴影部分的面积，由此即可求解． 【详解】解：左图中大正方形的边长为，面积为，小正方形的边长为，面积为， 右图中的面积即为左图中阴影部分的面积，即， ∴， 故选：C ． 【跟踪专练1】小明用下图所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一边长为，一边长为的矩形，已知她用了A类卡片2张，C类卡片2张，那么他使用B类卡片 张． 【答案】5 【分析】本题考查了多项式乘多项式．由长乘以宽表示出矩形的面积，利用多项式乘以多项式法则计算，即可做出判断． 【详解】解：根据题意得：， 则需要A类卡片2张，B类卡片5张，C类卡片2张． 故答案为：5． 【跟踪专练2】公园里有一个长为，宽为的长方形花坛，现要在花坛四周放置长椅，如图所示，已知长椅的宽度为，则长椅的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查多项式乘多项式，单项式乘单项式的实际应用，正确记忆相关知识点是解题关键．用增加长椅后的面积减去改变前的面积即可． 【详解】解：长方形花坛放置长椅后的长为，宽为， 花坛放置长椅后的面积为， 而花坛原来的面积为 所以长椅的面积为， 故选：C． 【题型11.多项式乘法规律探究】 【典例】我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个三角形给出的展开式的系规律（按的次数由大到小的顺序）． 请根据上述规律，则展开式中含项的系数是（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】D 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的规律探索，首先确定含的项是的展开式中的第二项，再根据杨辉三角可得展开式中的第二项系数为n，据此可得答案． 【详解】解：由图中规律可知： 含的项是的展开式中的第二项， ∵展开式中的第二项系数为1， 展开式中的第二项系数为2， 展开式中的第二项系数为3， 展开式中的第二项系数为4， ……， ∴以此类推，可知展开式中的第二项系数为n， ∴的展开式中的第二项系数为， 故选：D． 【跟踪专练1】我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．观察如图的杨辉三角，按照前面的规律，则的展开式中从左起第三项的系数为 ． 【答案】 10 【分析】本题考查了杨辉三角的规律及二项式展开式的系数问题，解题的关键是根据杨辉三角的递推规律确定的各项系数． 观察杨辉三角，的展开式系数对应其第行的数，且每行数字由上一行相邻两数之和得到；据此推出的系数行，即可得左起第三项的系数． 【详解】解：由杨辉三角规律，的系数行为1，4，6，4，1， 则的系数行由上一行相邻数相加得： 1， ， ， ， ， 1， 故展开式左起第三项的系数为10． 故答案为：10． 【跟踪专练2】在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”如：记；．已知：，则的值是（  ） A．16 B． C．20 D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式乘以多项式，以及规律探索，正确掌握整式的运算法则是解题的关键，根据题干规律将左侧化简，再利用多项式相等的条件即可得到、的值，即可解题． 【详解】解：， ， ， 即有 ， ，， 则的值是， 故选：B． 【题型12.整式乘法混合运算】 【典例】化简的结果为 ．． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，掌握其运算法则是解题的关键． 根据幂的乘方，多项式乘以多项式，整式的加减混合运算法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为： ． 【跟踪专练1】已知，，则的值为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的乘法，多项式乘多项式，代数求值等知识点，解题的关键是熟练掌握整式乘法的法则． 将代数式展开后，利用已知条件代入求值即可． 【详解】解： 已知 ，，代入得： ， 故选：B． 【跟踪专练2】公园里有一个长方形花坛，原来长为 ，宽为x，现在要把花坛四周均向外扩展，扩展后的长方形花坛的长，宽为，则扩展后的长方形花坛的面积比扩展前的长方形花坛的面积增加 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式混合运算的应用，掌握多项式乘多项式的运算法则是关键．用改变后的花坛的面积减去改变前的面积，计算即可． 【详解】解：由题意得：改变后花坛的长，宽， 这个花坛的面积将增加： ． 故答案为：． 1．计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接利用积的乘方运算法则以及单项式乘单项式运算法则计算得出答案； （2）用单项式乘多项式的每一项即可； （3）运用多项式乘多项式和去括号的法则先计算，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 【点睛】此题主要考查了积的乘方运算、单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式运算，正确掌握相关运算法则是解题的关键． 2．先化简，再求值： (1)，其中，； (2)，其中． 【答案】(1)；64 (2)；-22 【分析】（1）先根据整式的混合运算法则化简，再把，代入化简后的结果中计算即可； （2）先根据整式的混合运算法则化简，再把代入化简后的结果中计算即可. 【详解】解：（1）原式． 当，时，原式． （2）原式 ． 当时，原式． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算、代数式求值等知识点，灵活运用整式的混合运算法则化简成为解题的关键. 3．先化简，再求值：，其中，． 【答案】，-16． 【分析】先化简，再把a=2，b=1代入求解即可． 【详解】解：原式． 当，时，原式． 【点睛】本题考查了整式的化简求值，解题的关键是正确的化简． 4．某植物园中有，两个园区，已知园区为长方形，长为，宽为；园区为正方形，边长为． (1)请用代数式表示，两个园区的面积之和并化简； (2)现根据实际需要对园区进行整改，长增加，宽增加，整改后园区的长比宽多50m，且周长为． ①求，的值； ②若园区全部种植种花，园区全部种植种花，且，两种花投入的费用与吸引游客的收益如下表： 种花 种花 投入/（元/平方米） 12 16 收益/（元/平方米） 18 26 求整改后，两个园区的旅游净收益（净收益=收益-投入）之和． 【答案】(1) (2)①，  ②57600元 【分析】（1）根据长方形的面积公式和正方形的面积公式分别计算、两园区的面积，再相加即可求解； （2）①根据等量关系：整改后园区的长比宽多米；整改后园区的周长为米；列出方程组求出的值； ②代入数值分别得到整改后园区和园区的面积，再根据净收益收益投入，列式计算即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解：①整改后园区的长为， 宽为． 根据题意，得， 即，解得． 把代入，解得． ②园区整改后的面积为， 园区的面积为， 所以整改后，两个园区的旅游净收益之和为（元）． 【点睛】此题考查整式的混合运算，找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系是解决问题的关键． 5.．如图，小明的房间由小卧室和阳台组成，小明爸妈的房间由大卧室和露台组成大小卧室都是正方形，大卧室的边长和小明房间的长都是，露台的宽度为，阳台的宽度是露台宽度的． (1)用含，的代数式分别表示大卧室和阳台的面积； (2)若，，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】大小卧室都是正方形，大卧室的边长是，根据正方形的面积公式：正方形的面积边长边长，代入字母表示出大卧室的面积；阳台是一个长方形，露台的宽度为，阳台的宽度是露台宽度的，阳台的宽是，阳台的长是，长方形的面积长宽，代入字母表示出代数式即可． 由，得，因为，所以，化简求出即可． 本题考查了列代数式，多项式乘以单项式，整式的加减运算，解决本题的关键是熟练利用长方形得到面积公式计算． 【详解】（1）解：大卧室面积是：， 阳台的面积是：． 答：大卧室的面积是，阳台的面积是． （2）解：因为， 所以， 露台面积是：， 阳台的面积是：， 因为， 所以， 即， 得：， 得． 6．探索规律 …… (1)试求的值； (2)试求：的值； (3)试猜想：的值． (4)根据以上规律求：的结果． 【答案】(1) (2)31 (3) (4) 【分析】此题考查代数式的计算规律的探究，能正确理解题中各代数式的结果得出的规律并运用规律进行计算是解题的关键． （1）根据已知条件即可得到规律； （2）根据，由题中规律即可计算； （3）题中已知条件的规律即可归纳出一般性规律即，将所求式乘以即可变形为符合规律的形式，由此即可得到答案； （4）将所求式乘以即可变形为符合规律的形式，由此即可求解． 【详解】（1）解：由前三个等式可知：． （2） ； （3）由已知等式可得： 依题意得： ， （4） ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $