湖北省随州市曾都区第一高级中学2025-2026学年高二上学期期末测试周测卷18

曾都一中2025年秋高二数学综合18答案和解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 C B A D B D D C ABC CD ACD 12. 【答案】 13. 【答案】 14. 【答案】 第8题：【解析】由题意可作图如下: 由图可知:,由平分,则,所以,由,则解得, 由是关于直线的对称点,则共线,,,, 所以,在中,, 可得,解得,, 在中,由余弦定理,可得, 代入可得:,化简可得:,所以其离心率.故选:C. 第11题：【解析】以为坐标原点,所在直线分别为轴建立空间直角坐标系, 如图所示: 则, 对于AB选项,由知:,则,,A正确; ,,设平面的法向量为, 则,取,得,故平面的一个法向量为, 又,则点到平面的距离为:,故B错误; 对于C,取的中点,连接,如图所示, 因为正方体的棱长为,所以,,, 平面,平面,平面, 所以,,, 所以,,所以,, 由可得平面,所以,所以点的轨迹为线段, 又,所以面积的最大值: ,故C正确; 对于D,平面,平面,所以,都是直角三角形. 又,所以,因为,所以,在侧面中以点为坐标原点,以所在的直线分别为轴建立如图所示的平面直角坐标系, 则,设,则,整理得到,圆, 所以点在以为圆心,以为半径的圆上,又因为在侧面(含边界)上运动, 所以点的轨迹是圆上的一段劣弧(分别是圆与的交点), 因为,,所以,则点的轨迹长度为,故D正确,故选:ACD. 第14题：【解析】【分析】利用点到直线的距离公式、两点间距离公式及三角形面积公式表示出三角形面积,进而表示出三角形面积和,结合基本不等式计算即可. 【详解】设点,则. 直线的方程:,即;直线的方程:,即. ,点到直线的距离:,. ,点到直线的距离:,. 所以. 设,,则,. ,当且仅当,即时,等号成立.因此的最小值为.故答案为:. 15.（1）因为圆心C在直线x﹣y﹣1＝0上，故设C（m，m﹣1），所以，解得m＝1，所以C（1，0），半径为，所以圆的标准方程为：（x﹣1）2+y2＝1． （2）如图所示，点B（2，2）在圆外，则过点B（2，2）的圆的切线方程有两条．当切线的斜率不存在时，则l：x＝2与圆相切．当切线的斜率存在时，设切线方程为l：y﹣2＝k（x﹣2），即kx﹣y+2﹣2k＝0，设圆心C（1，0）到直线l的距离为d，而圆的半径为r＝1，则，解得，所以切线方程为3x﹣4y+2＝0；综上，切线方程为x＝2或3x﹣4y+2＝0． 第16题：【解析】（1)设表示甲在一轮抽奖中中奖的事件,则由条件可知, 两轮抽奖中中奖一次的情况为:第一轮中奖,第二轮未中奖;第一轮未中奖,第二轮中奖, 故概率为. (2)设表示乙在一轮抽奖中中奖的事件,由已知可得, 所以.两人在两轮抽奖中,共有三次中奖,分两种情况: 第一种情况,其中一轮甲中奖乙未中奖,另一轮两人间时中奖, 概率为. 第二种情况,其中一轮乙中类甲未中奖,另一轮两人同时中奖, 概率为. 故所求概率为. 第17题：【答案】见解析【解析】(1)由题意可得. (2)证明:,,,,所以数列是以为首项,为公比的等比数列. (3)由(2)可知,即.令,,得, 所以预计年株洲轨道产业的年利润将首次突破千亿元大关. 18. 【解析】（1）证明：∵ABCD是菱形，∴AD＝DC，又AE＝CF，∴，则EF∥AC，又由ABCD是菱形，得AC⊥BD，则EF⊥BD，∴EF⊥DH，则EF⊥D′H，∵AC＝6，∴AO＝3，又AB＝5，AO⊥OB，∴OB＝4，∴OH1，则DH＝D′H＝3，∴|OD′|2＝|OH|2+|D′H|2，则D′H⊥OH， 又OH∩EF＝H，∴D′H⊥平面ABCD； （2）解：以H为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，∵AB＝5，AC＝6，∴B（5，0，0），C（1，3，0），D′（0，0，3），A（1，﹣3，0），，，设平面ABD′的一个法向量为，由，得，取x＝3，得y＝﹣4，z＝5．∴．同理可求得平面AD′C的一个法向量，设二面角B﹣D′A﹣C的平面角为θ，则|cosθ|．∴二面角B﹣D′A﹣C的正弦值为sinθ． 19. 【解析】（1）因为双曲线C的一条渐近线方程为，且过点（2，3），所以， 解得，则双曲线C的方程为； （2）易知直线MN的方程为y＝2（x﹣3），设M（x1，y1），N（x2，y2），联立，消去y并整理得x2﹣24x+39＝0，由韦达定理得x1+x2＝24，因为M，N在P点的两侧，所以x1﹣3与x2﹣3异号，所以； （3）证明：若MN的斜率不存在，设直线MN的方程为x＝t（t＞1），M（t，y1），N（t，y2）．因为k2＝﹣3k1，A（﹣1，0），B（1，0），所以，由对称性知，y2＝﹣y1，即t+1＝3（t﹣1）， 解得t＝2，所以直线MN的方程为x＝2，此时直线MN过点（2，0）；若直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为y＝kx+m，M（x1，y1），N（x2，y2），联立，消去y并整理得（3﹣k2）x2﹣2kmx﹣m2﹣3＝0，此时3﹣k2≠0，由韦达定理得，，因为点M在双曲线上， 所以，又A（﹣1，0），B（1，0），可得． 因为3k1+k2＝0，即，所以kBM•kBN，即（kx1+m）（kx2+m）＝﹣9（x1﹣1）（x2﹣1），整理得，所以，化简得m2+3km+2k2＝0，解得m＝﹣k或m＝﹣2k．当m＝﹣k时，直线MN的方程为y＝k（x﹣1），此时直线MN过点B（1，0），不符合题意；当m＝﹣2k时，直线MN的方程为y＝k（x﹣2），此时直线MN过点（2，0），符合题意．综上所述，MN恒过定点（2，0）． 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北曾都一中2025至2026学年高二上数学综合18 时间：2026.02.01 一、选择题（每小题5分，共8小题40分） 1．抛物线的焦点坐标是( ) A． B． C． D． 2．点关于平面对称的点的坐标是( ) A． B． C． D． 3．等比数列的各项均为正数,且,则( ) A． B． C． D． 4．如图是抛物线形拱桥,当水面在时,拱顶离水面米,水面宽米.水位下降米后,水面宽为( ) A． B． C． D． 5．在等差数列中,,其前项和为,若,则等于( ) A． B． C． D． 6．南宋数学家杨辉在《详解九章算法·商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关,如图是一个三角垛,最顶层有个小球,第二层有个小球,第三层有个小球,第四层有个小球……设第层有个小球,则的值为( ) A． B． C． D． 7．已知直线与直线相交于点,线段是圆的一条动弦,且,点是线段的中点,则的取值范围是( ) A． B． C． D． 8．已知点是椭圆的左右焦点,点为椭圆上一点,点关于平分线的对称点也在椭圆上,若,则椭圆的离心率为( ) A． B． C． D． 二、多选题（每小题6分，18分） 9．设正项等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，则下列选项不正确的是（　　） A．a5•a10＝a15 B．S5•S10＝S15 C．S10，S20，S30成等比数列 D． 10．已知曲线.点,,则以下说法正确的是( ) A．曲线关于原点对称 B．曲线存在点,使得 C．直线与曲线没有交点 D．点是曲线上在第三象限内的一点,过点向作垂线,垂足分别为,,则 11．如图,正方体的棱长为,点在侧面的边界及其内部运动.下列说法正确的是( ) A．若点为线段上的动点,当时, B．若点为线段上的动点,当时,点到平面的距离为 C．若点为底面的中心,且,则面积的最大值为 D．若,则点的轨迹的长度为 三、填空题（每小题5分，共3小题15分） 12．空间内有三点,,,则点到直线的距离为__________. 13．在数列中,,若数列是公差为的等差数列,则__________. 14．已知点,点在双曲线上,记的面积为,的面积为,则的最小值为__________. 四、解答题（每小题12分，共2小题24分） 15．（本小题13分）已知圆C经过点A（1，1）和原点，且圆心在直线x﹣y﹣1＝0上． （1）求圆C的方程； （2）过点B（2，2）作圆C的切线，求切线方程． 16．甲、乙两人在某商场促销活动中各自获得了两轮抽奖机会,每轮由甲、乙各自抽取一次,假设每次抽奖的结果互不影响,已知每轮抽奖中,甲中奖的概率为,两人同时中奖的概率为. (1)求甲在两轮抽奖中,恰好中一次奖的概率; (2)求两人在两轮抽奖中,共有三次中奖的概率. 17．年月日日,备受瞩目的年中国国际轨道交通和装备制造产业博览会(轨博会)在湖南株洲成功举行.假设年株洲轨道产业的年利润为百亿元,预计从年开始,轨道产业每年的年利润将在前一年翻一番的基础上减少百亿元,设从年开始,每年株洲轨道产业的年利润(单位:百亿元)依次为、、、. (1)请用一个递推关系式表示与之间的关系. (2)证明:数列为等比数列. (3)预计哪一年株洲轨道产业的年利润将首次突破千亿元大关. 18．（本小题15分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB＝5，AC＝6，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF，EF交于BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′． （1）证明：D′H⊥平面ABCD； （2）求二面角B﹣D′A﹣C的正弦值． 19．已知双曲线的一条渐近线方程为，且过点（2，3）．设A，B分别是C的左、右顶点，M，N是C的右支上异于点B的两点． （1）求C的方程； （2）若直线MN过点P（3，0），且MN的斜率为2，求||MP|﹣|PN||的值； （3）设直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，若3k1+k2＝0，求证：直线MN恒过定点． 学科网（北京）股份有限公司 $