2025-2026学年高一数学上学期期末复习卷

2025-2026年高一数学上学期期末复习卷 一、单选题 1．已知集合，则（ ） A． B． C． D． 2．设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．若，均为锐角且，，则 A． B． C． D． 4．在下列区间中，函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 5．已知函数,的部分图象如图所示,则    A．3 B． C．1 D． 6．若，则实数（   ） A． B．2 C．1 D． 7．已知函数，若，，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 8．已知函数（），若恒成立，且在内至少有3个零点，则的最小值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、多选题 9．已知函数，则关于的说法正确的有（    ） A．最小正周期为 B．图象关于直线对称 C．图象关于点对称 D．向左平移个单位长度得到的图象 10．若，则（    ） A． B． C． D． 11．已知函数，，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．的取值范围为 三、填空题 12．已知函数的图象过定点，且点在指数函数图象上，则 . 13．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是 . 14．若以函数图像上相邻的四个最值所在的点为顶点恰好构成一个菱形，则 ． 四、解答题 15．已知集合，集合. (1)若，求和； (2)若命题“，”是假命题，求实数a的取值范围. 16．已知是定义在的偶函数，且当时，． （1）求､的值； （2）求的表达式； （3）若，试求取值范围． 17．已知，. (1)求的值； (2)若，且，求的值. 18．已知函数. (1)判断的单调性，并用单调性的定义证明； (2)若对，都有成立，求实数的取值范围； (3)是否存在正实数，使得在上的取值范围是？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由. 19．近年来，某市认真践行“绿水青山就是金山银山”生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向．为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域内修建矩形水池，矩形一边在上，点在圆弧上，点在边上，且，米，设. (1)若，求矩形的面积； (2)若矩形的面积为，当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年高一数学上学期期末复习卷解析版 一、单选题 1．已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数函数定义域和指数函数的值域求法即可得出结果. 【详解】由对数函数定义域可得； 由指数函数的值域可得. 所以. 故选：B. 2．设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数、指数函数的单调性进行判断即可. 【详解】因为，，， 所以， 故选：C 3．若，均为锐角且，，则 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】为锐角，，，，， ，故选B. 4．在下列区间中，函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，可得答案. 【详解】因为，，且为增函数， 所以函数的零点所在的区间为 故选：B 【点睛】本题考查的是函数的零点存在定理，较简单. 5．已知函数,的部分图象如图所示,则    A．3 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】由可求得，由可求得，再由可求得，从而可得的解析式，进而可求. 【详解】， ，代入得， ， 又，， ， ，故选A. 【点睛】本题主要通过已知三角函数的图象求解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用图象先求出周期，用周期公式求出，利用特殊点求出，正确求是解题的关键. 6．若，则实数（   ） A． B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】直接利用三角函数的二倍角公式以及两角差的正弦对原式进行变换即可求出的值. 【详解】解：， 即 . 故. 故选：C 7．已知函数，若，，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析函数的单调性与奇偶性，由已知等式可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】对任意的，，即恒成立， 所以，函数的定义域为， 因为， 所以，， 所以，，故函数为奇函数， 当时，函数、均为增函数， 所以，函数在上为增函数， 因为外层函数为增函数， 由复合函数法可知，函数在上为增函数， 由奇函数的性质可知，函数在上也为增函数， 所以，函数在上为增函数， 由可得， 所以，，可得， 又因为，，则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为8. 故选：D. 8．已知函数（），若恒成立，且在内至少有3个零点，则的最小值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】先化简得，由及进行求解． 【详解】 ， 若恒成立，则函数的一个周期为， 则，得 由，得， 而在内至少有3个零点， 则， 得，由， 得的最小值是， 故选：B 二、多选题 9．已知函数，则关于的说法正确的有（    ） A．最小正周期为 B．图象关于直线对称 C．图象关于点对称 D．向左平移个单位长度得到的图象 【答案】AC 【分析】由的性质及图形变换判断即可. 【详解】由可知周期为，故A正确； 函数的对称轴：由，可得，故B错误； 函数的对称中心：由，得， 当时，，故对称中心为，故C正确； 函数向左平移个单位长度得，故D错误， 故选：AC 10．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由指数函数、幂函数的性质比较大小判断A，由换底公式及作商法比较大小判断B，应用作差法比较大小判断C，由正余弦函数的性质判断D. 【详解】由，结合对应指数函数、幂函数的单调性知，A对， 且，即，故，则，B错， 由， 所以，C错， 由，则，D对. 故选：AD 11．已知函数，，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．的取值范围为 【答案】ACD 【分析】作出函数图象，结合图象可得的范围，再由，即可求得的取值范围。 【详解】根据题干可画出函数图象，如下图： 根据图象可知，，根据得不出， 所以选项A正确，B错误； 由于，所以，即， 所以，又在单调递增， 因此，所以选项C正确； 由于，所以，所以， 又在上单调递增，所以，所以选项D正确。 故答案为：ACD 三、填空题 12．已知函数的图象过定点，且点在指数函数图象上，则 . 【答案】 【分析】由对数函数的图象可得，故可求的解析式，根据对数的运算即可求解. 【详解】在中，令,可得, 故. 设,由题意可得,解得. 所以，. 故答案为:. 13．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意，由分段函数的单调性，列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得，，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 14．若以函数图像上相邻的四个最值所在的点为顶点恰好构成一个菱形，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，由条件得到四个顶点的坐标，然后列出方程，代入计算，即可得到结果. 【详解】   令，，则，， 不妨取相邻四个最值所在的点分别为，，，，如图所示， 因为以为顶点的四边形恰好构成一个菱形， 所以，所以， 所以，即. 故答案为： 四、解答题-问答题 15．已知集合，集合. (1)若，求和； (2)若命题“，”是假命题，求实数a的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）解不等式求得集合，由，求得集合，利用交集与并集的意义求解即可； （2）由题意可得，分和两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）由，可得，解得，所以. 若，则， 所以，； （2）若命题“，”是假命题，则命题“，”是真命题，所以. 若，则，解得； 若，由，又 可得，解得； 综上所述：实数a的取值范围为. 16．已知是定义在的偶函数，且当时，． （1）求､的值； （2）求的表达式； （3）若，试求取值范围． 【答案】（1）；；（2）；（3）. 【解析】（1）由已知中是定义在的偶函数，且当时，将代入可得答案． （2）当时，则，结合偶函数的性质，可得此时函数的表达式，结合已知可得答案； （3）由函数的解析式，可分析出函数的单调性，结合奇偶性，可将转化为，解得答案． 【详解】解：（1）∵当时，． ∴． 是定义在的偶函数，， ． ∴． （2）是定义在的偶函数，当时，则， ∴， 故； （3）由偶函数的区间对称性的单调性具有相反性，可得：函数在区间减函数，在是增函数． 由于，所以：． 解得：． 【点睛】本题考查的知识点是函数的单调性，函数的奇偶性，难度中档． 五、解答题-计算题 17．已知，. (1)求的值； (2)若，且，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用两角差正切公式求得，然后化弦为切及二倍角公式，结合“1”的代换化弦为切求解即可； （2）先利用同角三角函数关系求得，然后利用两角和正切公式求值，最后根据角的范围确定角的大小. 【详解】（1）因为，， 所以，解得， 所以； （2）因为，且，所以，所以. 所以， 又因为，，所以，所以. 六、解答题-证明题 18．已知函数. (1)判断的单调性，并用单调性的定义证明； (2)若对，都有成立，求实数的取值范围； (3)是否存在正实数，使得在上的取值范围是？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)在上单调递增，证明见解析 (2) (3)存在，且 【分析】（1）直接由指数函数单调性，单调性的定义证明即可. （2）将原问题转换为不等式对恒成立.通过换元法以及对勾函数性质即可得解. （3）由函数单调性以及换元法转换为一元二次方程根的分布问题即可得解. 【详解】（1）在上单调递增. 任取，且， 那么， ， 因为，所以，可得，又， 所以，即， 所以在上单调递增. （2）因为，所以， 所以， 由第（1）问知在上单调递增，所以， 所以，即对恒成立. 令，，只需， 令，则，， 因为在上单调递增， 所以当时，，所以. （3）由第（1）问知，在上单调递增， 所以 所以为方程的两个实数根， 即方程有两个不等的实数根， 令，即方程有两个不等的正根， 所以即， 且，解得且， 所以存在实数满足题意，且. 【点睛】关键点睛：第二问关键是分离参数，第三问关键是换元转换为一元二次方程根的分布问题，由此即可顺利得解. 七、解答题-应用题 19．近年来，某市认真践行“绿水青山就是金山银山”生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向．为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域内修建矩形水池，矩形一边在上，点在圆弧上，点在边上，且，米，设. (1)若，求矩形的面积； (2)若矩形的面积为，当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值. 【答案】(1) (2)当时，取得最大值，最大值为 【分析】（1）在直角三角形中利用半径与分别表示出和，进而可得矩形面积表达式，利用二倍角公式及辅助角公式将化简变形，将代入即可求解； （2）由（1）可知矩形的面积为，其中结合角的范围及正弦函数的性质即可求解. 【详解】（1）在中，，， ，，其中. 在中，，， ，， . ∴矩形的面积为 . 当时，， 即矩形的面积为. （2）由（1）知：矩形的面积为，其中. ， ∴当，即时，取得最大值，最大值为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $