专题7.2 余弦函数的图像与性质 （2大知识点+10大题型+强化训练）寒假班预修提升讲义- 2025-2026学年高一数学沪教版

2025-2026学年高一数学寒假班预修提升讲义 专题7.2 余弦函数的性质 知识点1：余弦函数的图象 方法1：要得到的图象，只需把的图象向左平移个单位长度即可，这是由于. 方法2：用“五点法”：画余弦曲线在上的图象时，所取的五个关键点分别为，，，，，再用光滑的曲线连接． 温馨提示：（1）“五点法”作图中的“五点”是指函数的最高点、最低点以及图象与坐标轴的交点，这是作正弦函数、余弦函数图象最常用的方法． （2）“五点法”画余弦函数的图象时要注意图象的对称性和凸凹方向． 知识点2：余弦函数的性质 函数 图象 定义域 定义域 值域 周期性 奇偶性 偶函数 单调性 在上单调递增；在()上单调递减 最值 当()时，；当时， 对称性 对称中心为()；对称轴为直线() 题型01：五点法画余弦函数的图象 【例1】已知函数. (1)完成下面表格，并用“五点法”作函数在上的简图： x 0 π 2π (2)求不等式的解集. 【跟踪训练】 1．用“五点法”画函数在的图象时，下列选项中不是关键点的是（   ） A． B． C． D． 2．已知函数． (1)利用“五点法”完成以下表格，并画出函数在一个周期内的图象； 0 (2)如何由的图象变换得到的图象？ 题型02：利用余弦函数的图像求零点或解不等式 【例2】函数在区间内的零点个数是 . 【例3】已知，不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.已知函数，则在上的零点的个数为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 2.函数的零点个数为（  ） A．2个 B．3个 C．4个 D．6个 3.不等式的解集为 . 题型03：余弦函数定义域、值域与最值 【例4】函数定义域为（  ） A． B． C． D． 【例5】函数的值域是（  ） A． B． C． D． 【例6】函数的值域为 . 【例7】函数的定义域是 ，值域是 ． 【跟踪训练】 1.函数定义域为（  ） A． B． C． D． 2. 函数的定义域是 . 3. 函数的值域为 ． 4．函数的值域是（   ） A． B． C． D． 5.已知函数，且. (1)求实数a的值； (2)若，求函数的值域. 题型04：余弦函数的周期性 【例8】函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 【例9】列函数 的最小正周期是 的序号是 . ① ；② ； ③ ； ④ ； ⑤ . 【跟踪训练】 1.函数的最小正周期是 ． 2．函数的最小正周期为 ， ． 3.函数的最小正周期为 . 4.下列函数中，最小正周期为的是（    ）. A． B． C． D． 题型05：余弦函数的奇偶性 【例10】的奇偶性是（   ） A．偶函数 B．奇函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数 【例11】函数.若存在，使得为奇函数，则实数的值可以是（ ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.下列函数中是奇函数的为（   ） A． B． C． D． 2. 判断下列函数的奇偶性，并说明理由： (1)；(2)；(3)． 题型06：由余弦函数的奇偶性求参数 【例12】已知，且，则（    ） A．-3 B．-1 C．1 D．3 【例13】已知函数为偶函数，则 . 【例14】已知函数是偶函数，则的取值是 【跟踪训练】 1.已知函数是偶函数，则实数 . 2.函数为奇函数，则 . 3.若函数为奇函数，则下列能满足条件的取值为（    ） A． B． C． D． 题型07：求余弦函数的单调区间或参数 【例15】函数的单调递增区间是 . 【例16】若函数在上单调递减，则的最大值为（   ） A． B． C． D．1 【跟踪训练】 1.函数的严格增区间是 . 2．函数的单调增区间是 ． 3.函数的一个单调减区间是（　　） A．B．C． D． 4.函数的单调递增区间为 . 5.函数的单调增区间为（　　） A． B． C． D．不存在 6．已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是 . 题型08：利用余弦函数的单调性比大小 【例17】的大小关系 【跟踪训练】 1. 三个数，，的大小关系是 . 2. 已知是锐角三角形，若，则（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 题型09：余弦型函数的对称性 【例18】已知函数的最小正周期为，则图象的对称轴方程为（    ） A． B． C． D． 【例19】设函数的一个对称中心是，则 ． 【例20】已知函数的图象关于点中心对称，则（   ） A． B． C．2 D． 【例21】已知函数在区间上恰有两条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．函数的对称轴方程为（    ） A．， B．， C．， D．， 2.已知常数，如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数满足，则的最小值为 . 题型10：综合提升 【例22】已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 . 【例23】已知关于的不等式在内恒成立，则实数的取值范围是 ． 【例24】已知曲线则（    ） A．函数的最小正周期 B．函数在上单调递增 C．曲线关于直线对称 D．曲线关于点对称 【例25】已知函数． (1)若函数的最小正周期为，求的值及的单调递减区间； (2)设，求函数在区间上的值域． 【例26】给出集合对任意，都有成立． (1)若，求证：函数； (2)由于（1）中函数既是周期函数又是偶函数，于是张同学猜想了两个结论： 命题甲：集合中的元素都是周期为6的函数； 命题乙：集合中的元素都是偶函数； 请对两个命题给出判断，如果正确，请证明；如果不正确，请举反例 一、选择题 1.（2025上海高一阶段练习）用“五点法”作在的图象时，应取的五点为（  ） A． B． C． D． 2.（2025上海高一阶段练习）当，若，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 3．（2025上海高一阶段练习）关于函数f(x)＝1＋cosx，x∈(，2π]的图象与直线y＝t(t为常数)的交点情况，下列说法中正确的是（  ） A. 当t<0或t≥2，有0个交点 B. 当t＝0或<t<2时，有1个交点 C. 当0<t≤，有2个交点 D. 当0<t<2时，有2个交点 4．（23-24高一下·上海·期中）下列函数中，最小正周期为的是（    ）. A． B． C． D． 5．（23-24高一下·上海·期中）函数是（    ）. A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 二、填空题 6．（22-23高一下·上海长宁·期末）函数的零点是 ． 7．（25-26高三上·上海·期中）设，且为奇函数，则 . 8．（24-25高一下·上海·期中）函数的相邻两条对称轴之间的距离为，则 ． 9．（24-25高一下·上海浦东新·期中）函数的定义域为 . 10．（24-25高一下·上海徐汇·期中）若，则的取值范围是 . 11不等式的解集为 . 12．（23-24高一下·上海·期末）函数的最小正周期为 ． 13．（2020下·上海嘉定·高一校考期中）若函数的最小正周期是，则 . 14．（2021下·上海嘉定·高一上海市嘉定区第一中学校考期中）已知函数的最小正周期不小于2，则正整数的取值是 . 15.（24-25高一下·上海·期中）函数的单调增区间是 ． 16.（24-25高一下·上海·期中）函数图像的对称中心的坐标是 17.（24-25高一下·上海·阶段练习）函数的对称轴方程是 18．已知函数在上单调递减，则的取值范围是 . 19.当时，函数与的图象所有交点横坐标之和为 ． 3、 解答题 20.已知函数，. (1)用五点法画函数在上的图像； (2)解不等式. 21.已知函数，试画出的图像. 22．已知函数. (1)求函数的单调递减区间； (2)求函数在上的值域； 23．已知函数（，）. (1)若函数为偶函数，求的值; (2)若在上单调，求的取值范围;（结果用表示） (3)若，且在上单调，求的取值范围. 24（25-26高三上·上海浦东新·期末）已知函数，其中. (1)求函数的最小正周期及单调减区间. (2)求函数，的最大值，并求出取得最大值时的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学寒假班预修提升讲义 专题7.2 余弦函数的性质 知识点1：余弦函数的图象 方法1：要得到的图象，只需把的图象向左平移个单位长度即可，这是由于. 方法2：用“五点法”：画余弦曲线在上的图象时，所取的五个关键点分别为，，，，，再用光滑的曲线连接． 温馨提示：（1）“五点法”作图中的“五点”是指函数的最高点、最低点以及图象与坐标轴的交点，这是作正弦函数、余弦函数图象最常用的方法． （2）“五点法”画余弦函数的图象时要注意图象的对称性和凸凹方向． 知识点2：余弦函数的性质 函数 图象 定义域 定义域 值域 周期性 奇偶性 偶函数 单调性 在上单调递增；在()上单调递减 最值 当()时，；当时， 对称性 对称中心为()；对称轴为直线() 题型01：五点法画余弦函数的图象 【例1】已知函数. (1)完成下面表格，并用“五点法”作函数在上的简图： x 0 π 2π (2)求不等式的解集. 【答案】(1)答案见解析；(2) 【分析】（1）利用“五点法”，求值、描点、连线即可得到数在上的图象； （2）令，解得或，再根据图象和周期性即可分析的解集. 【解析】（1）补充完整的表格如下： x 0 π 2π 1 3 5 3 1 描点、连线得函数的图象如图所示， （2）当时，令，得，即，从而或. ∴结合（1）中的图像可知，当时，的解集是， 又∵函数的最小正周期为2π ∴不等式的解集为. 【跟踪训练】 1．用“五点法”画函数在的图象时，下列选项中不是关键点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】五个关键点分别为，，，，故D选项不在函数图象上． 故选：D 2．已知函数． (1)利用“五点法”完成以下表格，并画出函数在一个周期内的图象； 0 (2)如何由的图象变换得到的图象？ 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【知识点】描述正（余）弦型函数图象的变换过程、五点法画余弦（型）函数的图象 【分析】（1）根据五点法整体代换完成表格的填写，再描点法作图即可得答案； （2）方法一：根据三角函数的变换先做平移变换，再对横坐标做伸缩变换，最后再对纵坐标进行伸缩变换即可得答案. 方法二: 根据三角函数的变换先对横坐标做伸缩变换，再做平移变换，最后再对纵坐标进行伸缩变换即可得答案. 【详解】（1）列表如下： 0 0 0 画图如下： （2）方法一  先将的图象向右平移个单位长度，得的图象， 再将曲线上各点的横坐标缩小为原来的，得的图象， 最后将曲线上各点的纵坐标伸长为原来的倍，得的图象． 方法二  先将的图象上各点的横坐标缩短为原来的，得的图象， 再将曲线向右平移个单位长度，得的图象， 最后将曲线上各点的纵坐标伸长为原来的倍，得的图象． 题型02：利用余弦函数的图像求零点或解不等式 【例2】函数在区间内的零点个数是 . 【答案】4 【解析】令，则， 设， 则当时，， 当时，， 画出函数的图象， ， 易知函数的图象与直线有4个不同的交点， 故答案为：4 【例3】已知，不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】余弦函数图象的应用 【分析】利用余弦型函数的图象及性质即可求解. 【详解】对，，结合的图象可知． 故选：C. 【跟踪训练】 1.已知函数，则在上的零点的个数为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】将函数零点转换为两函数的交点，通过图像即可得到答案. 【解析】∵ ∴ 设，画出图像    可得在图像上的零点的个数为3. 故选：C. 2.函数的零点个数为（  ） A．2个 B．3个 C．4个 D．6个 【答案】D 【解析】由题意可知：的定义域为， 且，可知为偶函数， 令，，可得，    由图象可知与在内有3个交点， 即在内有3零点， 结合对称性可知在定义域内有6个零点. 故选：D. 3.不等式的解集为 . 【答案】 【分析】画出的图象，由图象即可求解. 【解析】   画出的图象，如图所示， 由图可知，不等式的解集为. 故答案为： 题型03：余弦函数定义域、值域与最值 【例4】函数定义域为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的解析式有意义，得到，即可求解函数的定义域. 【解析】由题意，函数有意义，则满足，即 解得， 所以函数的定义域. 故选：A. 【例5】函数的值域是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由的范围，可得的范围，结合余弦函数的性质进而求出函数的值域． 【解析】因为，所以， 因为函数在上递增，上递减， 又，，，所以 即. 故选：A． 【例6】函数的值域为 . 【答案】 【详解】，， ， 设，，， 则转化为， 对称轴为，又在范围内， 在处，取最大值，且最大值为， 时，， 时，， ，的值域为. 故答案为：. 【例7】函数的定义域是 ，值域是 ． 【答案】 【分析】由题意可得 , 易得函数的定义域, 变形可得 , 由 的范围结合不等式的性质可得值域. 【解析】由 可得 , 函数的定义域为 , 又 , ， 所以函数的值域为 ； 故答案为：；. 【跟踪训练】 1.函数定义域为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的解析式有意义，得到，即可求解函数的定义域. 【解析】由题意，函数有意义，则满足，即 解得， 所以函数的定义域. 故选：A. 2. 函数的定义域是 . 【答案】， 【分析】利用三角函数和对数函数性质求出函数定义域. 【解析】要使函数有意义， 则需，即， 当时，， 所以当，解得，， 所以函数的定义域是，. 故答案为：，. 3. 函数的值域为 ． 【答案】 【分析】根据余弦函数的性质，结合整体法即可求解. 【详解】由于，所以， 故， 故答案为：. 4．函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，则， 显然开口向上且对称轴为，则在上单调递减， 由，，故，即. 故选：C 5.已知函数，且. (1)求实数a的值； (2)若，求函数的值域. 【答案】(1)3；(2). 【分析】（1）代值计算即可求出值. （2）求出在区间上的值域，再利用二次函数求解作答. 【解析】（1）因为函数，， 于是，即，解得， 所以实数a的值为3. （2）当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，，当时，，于是， 由（1）知， ， 因此当时，，当时，， 所以函数的值域是. 题型04：余弦函数的周期性 【例8】函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求余弦（型）函数的最小正周期 【分析】由函数的最小正周期为 直接求解即可. 【详解】由，得到函数的最小正周期为. 故选：B 【例9】列函数 的最小正周期是 的序号是 . ① ；② ； ③ ； ④ ； ⑤ . 【答案】 ②⑤ 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、二倍角的正弦公式、求余弦（型）函数的最小正周期、二倍角的余弦公式 【分析】应用诱导公式及二倍角公式，同角三角函数关系，正弦及余弦函数的周期判断各个选项即可. 【详解】① ① 不正确； ② ，函数周期为 ，②正确； ③ ，，所以最小正周期不是 ，③不正确； ④ ④不正确 ； ⑤ ，函数周期为 ，⑤正确. 故答案为：②⑤. 【跟踪训练】 1.函数的最小正周期是 ． 【答案】 【分析】根据余弦函数的最小正周期公式，即可求得答案. 【详解】函数的最小正周期是， 故答案为： 2．函数的最小正周期为 ， ． 【答案】 / 0 【详解】由函数可知其最小正周期为； 所以； 故答案为：；0 3.函数的最小正周期为 . 【答案】 【分析】对给定函数式用二倍角的余弦公式降幂即可得解 【详解】由已知得：， 其最小正周期为. 故答案为：. 4.下列函数中，最小正周期为的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正余弦函数的最小正周期公式计算求解判断即可. 【详解】由题意知周期为，周期为， 周期为，周期为. 故选：C 题型05：余弦函数的奇偶性 【例10】的奇偶性是（   ） A．偶函数 B．奇函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数 【答案】A 【知识点】诱导公式五、六、求含sinx的函数的奇偶性、求余弦（型）函数的奇偶性 【分析】利用诱导公式化简函数，再根据函数奇偶性定义判断. 【详解】令，， 又， 所以函数是偶函数. 故选：A. 【例11】函数.若存在，使得为奇函数，则实数的值可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由奇偶性求参数、由余弦（型）函数的奇偶性求参数 【分析】计算，存在使得函数为奇函数，则或，根据为奇函数，即可得解. 【详解】由题意可得，函数， 且， 存在，函数为奇函数， 则或， 当时，所以为奇函数， 可得， 所以, 当时，D满足条件，ABC不满足； 当时，， 此时或， 当且仅当时为奇函数，不符合，不合题意. 故选：D. 【跟踪训练】 1.下列函数中是奇函数的为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用奇函数的定义，逐项判断即可. 【详解】对于A，，即取时的函数值不互为相反数，A不是； 对于B，，即取时的函数值不互为相反数，B不是； 对于C，是偶函数，且，即不恒为0，C不是； 对于D，函数的定义域为，而， 函数是奇函数，D是. 故选：D 2. 判断下列函数的奇偶性，并说明理由： (1)；(2)；(3)． 【答案】(1)偶函数 (2)非奇非偶函数 (3)奇函数 【分析】（1）根据偶函数的定义分析判断； （2）根据奇偶性的定义和性质举反例说明即可； （3）根据奇函数的定义分析判断. 【详解】（1）因为的定义域为，且， 所以为偶函数. （2）因为的定义域为， 当，，可知不为奇函数； 当，，当，， 可知不为偶函数； 综上所述：为非奇非偶函数. （3）令，即，解得， 可知的定义域为，关于原点对称， 且， 所以为奇函数. 题型06：由余弦函数的奇偶性求参数 【例12】已知，且，则（    ） A．-3 B．-1 C．1 D．3 【答案】D 【详解】由题意可知， ， 即， 那么. 故选：D 【例13】已知函数为偶函数，则 . 【答案】 【知识点】由正弦（型）函数的奇偶性求参数 【分析】根据题意，转化为，得到，进而求得的值，得到答案. 【详解】因为函数为偶函数，可得， 即，解得. 故答案为：. 【例14】已知函数是偶函数，则的取值是 【答案】 【分析】根据余弦函数的性质求得的值. 【解析】令，则，所以的值为. 故答案为： . 【跟踪训练】 1.已知函数是偶函数，则实数 . 【答案】 【分析】根据偶函数的定义，即可列关系式求解. 【详解】定义域为， ， 所以， 故， 故答案为： 2.函数为奇函数，则 . 【答案】 【知识点】由余弦（型）函数的奇偶性求参数 【分析】利用正余弦函数的奇偶性求解即可. 【详解】函数为奇函数，则. 故答案为： 3.若函数为奇函数，则下列能满足条件的取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角函数为奇函数得，即可得. 【详解】由题设，则， 显然时，而 、、均不可能. 故选：C 题型07：求余弦函数的单调区间或参数 【例15】函数的单调递增区间是 . 【答案】 【分析】利用整体代入法求得函数的单调递增区间. 【详解】由，解得， 所以函数的单调递增区间是. 故答案为： 【例16】若函数在上单调递减，则的最大值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【知识点】利用余弦函数的单调性求参数 【分析】利用余弦函数在上是单调递减的，结合相位的整体思想，即可得到不等式求解的范围，从而可判断选项. 【详解】令，因为，所以， 因为函数在上单调递减， 所以函数在上单调递减， 根据余弦函数在上是单调递减的。 则有，解得，所以的最大值为． 故选：A. 【跟踪训练】 1.函数的严格增区间是 . 【答案】 【分析】由余弦函数的单调递增区间出发，用整体代换后，反解可得结果. 【解析】由于余弦函数的单调递增区间为：， 只需， 解得：， 所以函数的严格增区间是：， 故答案是：. 2．函数的单调增区间是 ． 【答案】, 【分析】可先求出的单调增区间,取的单增区间与的交集即可,注意单调区间不可写并集. 【详解】解:由题知的单调增区间为 , 即, 当时,单增区间为, 当时,单增区间为, , ,是的单调增区间. 故答案为: , 3.函数的一个单调减区间是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出函数图象，数形结合求解即可. 【解析】解：作出函数的图象如图所示， 由图象可知，A、B都不是单调区间，D是单调增区间，C是单调减区间． 故选：C 4.函数的单调递增区间为 . 【答案】 【知识点】对数型复合函数的单调性、求cosx型三角函数的单调性 【分析】根据对数函数的单调性、定义域和余弦函数的单调性求解即可. 【详解】设，则在上是单调递减的， 因为，所以， 即①. 要求原函数的单调递增区间，即是求余弦函数的单调递减区间. 当时，单调递减， 此时，结合①式，可得. 所以原函数的单调递增区间为. 故答案为：. 5.函数的单调增区间为（　　） A． B． C． D．不存在 【答案】C 【分析】（1）利用平方关系化为关于二次函数研究单调区间求解即可。 【解析】即， 由此可知与同增同减即可得函数的单调增区间， 则增区间满足或，， 即或，， 解得或， 所以函数的单调增区间为：. 故选：C. 6．已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为，， 所以， 因为，所以 又因为函数在区间上单调递减， 所以，解得， 所以的取值范围是. 故答案为：. 题型08：利用余弦函数的单调性比大小 【例17】的大小关系 【答案】 【分析】先判断三个角所在的区间，然后利用余弦函数的单调性，即可判断得到答案． 【解析】解：因为， 又函数在上单调递减， 所以． 故答案为：． 【跟踪训练】 1. 三个数，，的大小关系是 . 【答案】 【分析】利用诱导公式及余弦函数的性质判断即可. 【详解】∵，， ∵，，， ∴. 又∵在上是减函数， ∴，即. 故答案为： 2. 已知是锐角三角形，若，则（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】由是锐角三角形，则，结合诱导公式及正弦、余弦函数的性质判断即可得结果． 【详解】由已知得 因为余弦函数在上单调减，所以，则A，C错； 因为是锐角三角形，所以，则， 所以，故B正确，D错． 故选：B 题型09：余弦型函数的对称性 【例18】已知函数的最小正周期为，则图象的对称轴方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求cosx（型）函数的对称轴及对称中心、由余弦（型）函数的周期性求值 【分析】根据余弦函数最小正周期公式，求出参数，再根据余弦函数解析式，求出对称轴方程即可. 【详解】已知,则，可得， 根据余弦函数对称轴方程得，解得得． 故选：B. 【例19】设函数的一个对称中心是，则 ． 【答案】/ 【分析】借助余弦型函数的对称性计算即可得. 【详解】由题意可得，即， 又因为，所以. 故答案为：. 【例20】已知函数的图象关于点中心对称，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【知识点】利用cosx（型）函数的对称性求参数 【分析】根据余弦型函数的对称中心即可求解. 【详解】由题意可知，解得， 又因为，所以，则. 故选：A 【例21】已知函数在区间上恰有两条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】cosx（型）函数对称性的其他应用 【分析】根据题意得到，从而得到，再解不等式即可. 【详解】因为，所以， 因为函数在区间恰有两条对称轴， 所以，解得. 故选：A 【跟踪训练】 1．函数的对称轴方程为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】令，解得，， 所以函数的对称轴方程为，. 故选：A. 2.已知常数，如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据余弦函数的性质求出的取值，即可判断. 【解析】因为函数的图像关于点中心对称， 所以，，所以，， 所以当时，当时，时， 所以的最小值为. 故选：C 3．已知函数满足，则的最小值为 . 【答案】 【详解】因为，可知为的对称中心， 则，可得， 解得， 且，可知：当时，取到最小值. 故答案为： 题型10：综合提升 【例22】已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由，求得，得出函数的零点，集合题意，得出不等式，即可求解. 【解析】由函数，令，即， 解得，可得， 因为，则对应的零点为 因为函数在区间有且仅有3个零点， 则满足，解得，即实数的取值范围为. 故答案为：. 【例23】已知关于的不等式在内恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分离参数后，求函数的最大值即可. 【解析】由得， 设，因，所以， 则在上恒成立， 设， 则二次函数的对称轴为， 因其开口向下，所以时函数单调递增， 所以的最大值， 故， 故答案为： 【例24】已知曲线则（    ） A．函数的最小正周期 B．函数在上单调递增 C．曲线关于直线对称 D．曲线关于点对称 【答案】D 【分析】对A，利用可得周期；对B，求出函数的单调递增区间，并判断是否为其中一个子区间；对C，将代入，看是否取得最值；对D，将点代入解析式，并结合图象观察. 【解析】对A，由，故A错误； 对B，，因为不是单调递增区间的子区间，故B错误； 对C，，所以不是对称轴； 对D，，所以为对称中心. 故选：D 【例25】已知函数． (1)若函数的最小正周期为，求的值及的单调递减区间； (2)设，求函数在区间上的值域． 【答案】(1)2；. (2). 【分析】（1）根据余弦型函数的最小正周期公式求得的值，得到的解析式，进而由整体法求得单调递减区间； （2）首先化简得到的解析式，再由的范围求得的值域. 【详解】（1）因为函数的最小正周期为， 所以，解得. 所以. 要求的单调递减区间，令， 解得，即的单调递减区间为. （2）因为，所以， 所以 . 由得， 由正弦函数的性质可得，所以， 所以函数在区间上的值域为． 【例26】给出集合对任意，都有成立． (1)若，求证：函数； (2)由于（1）中函数既是周期函数又是偶函数，于是张同学猜想了两个结论： 命题甲：集合中的元素都是周期为6的函数； 命题乙：集合中的元素都是偶函数； 请对两个命题给出判断，如果正确，请证明；如果不正确，请举反例 【答案】(1)证明见解析 (2)甲正确，证明见解析；乙错误，答案见解析 【分析】（1）由集合的定义，只需证明符合即可； （2）由周期函数与奇偶性判断即可. 【详解】（1）证明：， 所以； （2）因为， 所以， 所以， 所以是周期为6的周期函数， 即集合中的元素都是周期为6的函数； 若，则， 但，不是偶函数； 甲正确，乙错误． 一、选择题 1.（2025上海高一阶段练习）用“五点法”作在的图象时，应取的五点为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取内五个关键点，即分别令x＝0，，，π，2π即可． 【解析】∵， ∴周期T＝2π． 由“五点法”作图可知: 应描出的五个点的横坐标分别是x＝0，，π，，2π．代入解析式可得点的坐标分别为，∴B正确． 故选：B． 2.（2025上海高一阶段练习）当，若，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦函数的单调性解三角不等式，即得答案. 【解析】由题意，， 当时，， 而在上单调递减，在上单调递增， 故的取值范围为 故选：B 3．（2025上海高一阶段练习）关于函数f(x)＝1＋cosx，x∈(，2π]的图象与直线y＝t(t为常数)的交点情况，下列说法中正确的是（  ） A. 当t<0或t≥2，有0个交点 B. 当t＝0或<t<2时，有1个交点 C. 当0<t≤，有2个交点 D. 当0<t<2时，有2个交点 【答案】B　 【解析】在同一个坐标系内做出f(x)＝1＋cosx，x∈的图象与直线y＝t的图象如图示．根据图象，进行判断．对于A，当t＝2时，有一个交点，故A错误；对于B，当t＝0或<t<2时，有1个交点，故B正确；对于C，当0<t<，有2个交点，当t＝，有1个交点，故C错误；对于D，当t＝，有1个交点，故D错误． 故选：B. 4．（23-24高一下·上海·期中）下列函数中，最小正周期为的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正余弦函数的最小正周期公式计算求解判断即可. 【解析】由题意知周期为，周期为， 周期为，周期为. 故选：C 5．（23-24高一下·上海·期中）函数是（    ）. A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 【答案】C 【分析】利用诱导公式化简，再根据正弦函数的性质判断即可. 【解析】因为， 所以的最小正周期，且为奇函数. 故选：C 二、填空题 6．（22-23高一下·上海长宁·期末）函数的零点是 ． 【答案】 【分析】根据余弦函数的性质，令，再结合，即可求出结果. 【解析】令，所以， 又，所以，所以， 所以函数的零点是. 故答案为：. 7．（25-26高三上·上海·期中）设，且为奇函数，则 . 【答案】/0.5 【分析】根据奇函数的性质求解. 【详解】由题意为奇函数，且定义域为， 则，则， 又，则. 当时，是奇函数， 故得. 故答案为：. 8．（24-25高一下·上海·期中）函数的相邻两条对称轴之间的距离为，则 ． 【答案】1 【分析】根据余弦函数的周期结合题意，列式求解，即得答案. 【详解】函数的最小正周期为， 则由相邻两条对称轴之间的距离为，可得. 故答案为：1 9．（24-25高一下·上海浦东新·期中）函数的定义域为 . 【答案】， 【分析】利用真数大于0列出不等式，求出定义域. 【解析】由题意得：，即， 所以. 故答案为：， 10．（24-25高一下·上海徐汇·期中）若，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】通过讨论的取值范围，即可得出，进而求出的取值范围. 【解析】由题意， ，而， 则， 当时，解得或； 当时，解得， 综上：. 故答案为：. 11不等式的解集为 . 【答案】 【分析】画出的图象，由图象即可求解. 【解析】    画出的图象，如图所示， 由图可知，不等式的解集为. 故答案为： 12．（23-24高一下·上海·期末）函数的最小正周期为 ． 【答案】 【分析】根据诱导公式和余弦函数的周期公式即可得到答案. 【解析】，则其最小正周期为. 故答案为：. 13．（2020下·上海嘉定·高一校考期中）若函数的最小正周期是，则 . 【答案】 【分析】根据三角函数的最小正周期公式列方程，解方程求得的值. 【解析】由于，依题意可知. 故答案为： 【点睛】本小题主要考查三角函数最小正周期的有关计算，属于基础题. 14．（2021下·上海嘉定·高一上海市嘉定区第一中学校考期中）已知函数的最小正周期不小于2，则正整数的取值是 . 【答案】1 【分析】利用余弦函数的周期公式求解即可 【解析】解：因为函数的最小正周期不小于2， 所以（），得， 所以正整数的取值为1， 故答案为：1 15.（24-25高一下·上海·期中）函数的单调增区间是 ． 【答案】 【知识点】求cosx型三角函数的单调性 【分析】根据余弦函数的性质计算可得. 【详解】因为， 令，解得， 所以函数的单调递增区间为. 故答案为： 16.（24-25高一下·上海·期中）函数图像的对称中心的坐标是 【答案】 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、诱导公式五、六 【分析】根据诱导公式，化简得到，结合正弦函数的性质，即可求解. 【详解】由函数，令，解得， 所以函数的对称中心的坐标为. 故答案为：. 17.（24-25高一下·上海·阶段练习）函数的对称轴方程是 【答案】， 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】根据诱导公式化简函数，利用正弦函数的对称性，整体代换即可求解. 【详解】， 令，得，， 所以函数的对称轴方程为，. 故答案为：，. 18．已知函数在上单调递减，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】令，解得， 依题意，需满足，解得. 因为在上单调递减，所以，解得. 当时，，不符合题意；当时，，符合题意； 当时，，符合题意；当时，，不符合题意. 综上，的取值范围是. 故答案为：. 19.当时，函数与的图象所有交点横坐标之和为 ． 【答案】 【知识点】正弦函数图象的应用、含绝对值的余弦函数的图象 【分析】作出函数和在上的图象，通过图象即可求出交点横坐标． 【详解】作出函数和在上的图象如下图所示： 从图象上可得：函数的图象和的图象在、内各有一个交点： 当时，由得，即，得； 当时，由得，得，得， 所有交点横坐标之和为. 故答案为：. 3、 解答题 20. 已知函数，. (1)用五点法画函数在上的图像； (2)解不等式. 【答案】(1)通过列表、描点、连线，作出函数图像；(2) 【分析】（1）通过列表、描点、连线，作出函数图像； （2）代入函数解析式，利用余弦函数的图像及性质解三角不等式. 【解析】（1）解：列表如下： 0 1 0 -1 0 1 3 1 -1 1 3 描点，连线即可得到函数在上的图像，如图所示． （2），则，解得， 所以不等式的为. 21．已知函数，试画出的图像. 【答案】答案见解析 【详解】在同一坐标系内分别画出正、余弦曲线，再比较两个函数的图像，上方的画成实线，下方的画成虚线，则实线部分即为的图像. 22．已知函数. (1)求函数的单调递减区间； (2)求函数在上的值域； 【答案】(1) (2) 【分析】详解】（1）令，解得 因此，的单调递减区间为. （2）当时，， 所以，所以. 因此，函数在上的值域为. 23．已知函数（，）. (1)若函数为偶函数，求的值; (2)若在上单调，求的取值范围;（结果用表示） (3)若，且在上单调，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】详解】（1）若函数为偶函数且，则或，即. （2）若在上单调，则，故实数的取值范围为. （3）若，则. 当时，， 因为在上单调， 所以是函数的单调区间的子集. 又，所以区间包含0，故该区间必为单调区间的子集， 所以，解得，又，故. 24.（25-26高三上·上海浦东新·期末）已知函数，其中. (1)求函数的最小正周期及单调减区间. (2)求函数，的最大值，并求出取得最大值时的值. 【答案】(1)，； (2)，. 【分析】（1）利用余弦函数的周期公式及单调性列式求解. （2）利用三角函数恒等变换化简函数，再利用正弦函数的性质求出指定区间上的最大值. 【详解】（1）函数的最小正周期， 由，得， 所以函数单调减区间为. （2）依题意， 所以， 由，得，则当，即时，函数取得最大值2， 所以最大值为2，此时. 1 学科网（北京）股份有限公司 $