安徽合肥市合肥经济技术开发区2025-2026学年九年级上学期数学期末试题

九年级数学试卷 合肥润安公学 姓名 班级 座位号 -----------------------------------------------密-----------封------------线----------内-----------不---------得----------答---------题-------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 注意事项： 1.本试卷共三部分，共23题，满分150分，考试时间为120分钟。 2.选择题请务必将答案填写到下面表格中。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1．中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，．若，则（    ） A． B． C． D． 3．若反比例函数的图象经过第一、三象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知关于x的二次函数y＝（x﹣2）2+1，下列结论错误的是（    ） A．开口向上 B．对称轴为直线x＝2 C．最小值为1 D．当x＜2时，y随x的增大而增大 5．如图1筒车是我国古代利用水利驱动的灌溉工具，筒车上均匀分布着若干个盛水筒．如图2，筒车⊙O按逆时针方向转动，与水面分别交于A、B，且，筒车的最低点距离水面的高度CD为2m，则筒车⊙O的半径为（    ） A． m B．3 m C．4 m D． m 第2题图 第5题图 第6题图 6．如图，点为坐标原点，点在轴正半轴上，点在双曲线上，且，若的面积为12，则的值为（    ） A．24 B．12 C．6 D．3 7．如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（    ） A． B． C． D． 8．二次函数的图象与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 9．已知抛物线（b，c为常数）经过点（﹣2，4），且不经过第三象限．当﹣5≤x≤1时，函数的最大值与最小值之差为16，则b的值为（    ） A．3 B．2 C．3或1 D．2或6 10．如图，动点P在等边△ABC的边上，，连接PB，于点，以AD为边在其右侧作等边△ADE，ED的延长线交于点，连接，则下列结论错误的是（    ） A. PB的最小值是 B. CD的最小值是 C. EF的最大值是2 D. PF的最小值是1 第7题图 第10题图 第13题图 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．若，则的值为 ． 12．把抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为 ． 13．如图，☉〇是边长为的等边三角形ABC的外接圆，点D是弧BC的中点，连接BD,CD．以点D为圆心，BD的长为半径在☉〇内画弧，则阴影部分的面积为 ． 14．已知抛物线． （1）当时，抛物线在范围内的函数值的取值范围是 ； （2）点，为抛物线上两点，若，总有，则的取值范围是 ． 三、解答题（本大题共9小题，15-18每小题8分，19-20每小题10分，21-22每小题12分，23题14分，满分90分） 15．计算 16．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（3，1），B（1，2），C（4，3）． （1）以原点O为位似中心，在第一象限内将△ABC放大为原来的2倍得 到△A1B1C1，作出△A1B1C1，写出A1，B1，C1的坐标； （2）请用无刻度直尺在线段AC上作出点D，使得（保留作图痕迹）． 17．足球训练中球员从球门正前方8米的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以O为原点建立如图所示直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； （2）已知球门高OB为2.44米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）。 18．如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且DE∥BC，． （1）求证：DF∥BE； （2）如果AF＝4，EF＝6，求AC的值． 19．如图，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象交于点，，且一次函数与轴，轴分别交于点C，D． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2) 根据图象直接写出不等式的解集； (3) 在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得，求点的坐标． 20．某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测算某水池中雕塑底座的底面积 测量工具 皮尺、测角仪、计算器等 活动过程 模型抽象 某休闲广场的水池中有一雕塑， 其底座的底面为矩形，其示意图如下： 测绘过程与数据信息 ①在水池外取一点E，使得点C，B，E在同一条直线上； ②过点E作，并沿方向前进到点F，用皮尺测得的长为4米； ③在点F处用测角仪测得，，； ④用计算器计算得：，，．，，． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）： （1）求线段和的长度： （2）求底座的底面的面积． 合肥润安公学 姓名 班级 座位号 -----------------------------------------------密-----------封------------线----------内-----------不---------得----------答---------题-------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 21．如图，是的直径，点是上一点，过点作的切线与的延长线相交于点，弦平分，交于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求弦的长． 22．如图1，在矩形中，点为边上不与端点重合的一动点，点是对角线上一点，连接，交于点，且． 【模型建立】（1）求证：； 【模型应用】（2）若，，，求的长； 【模型迁移】（3）如图2，若矩形是正方形，，求的值． 23．已知抛物线的对称轴为直线，且与x轴交于点、B两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线解析式及顶点坐标； (2) 已知点P是抛物线对称轴上一点，若，求P点的坐标； (3)若抛物线上仅存在一个点，使得，若，求n的最大值. 九年级数学 第3页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D B D C C B A C D 9.【解答】解：将点（﹣2，4）代入y＝x2+2bx+c， 得4﹣4b+c＝4， 则c＝4b； y＝x2+2bx+4b＝（x+b）2﹣b2+4b， 对称轴x＝﹣b， 当b≤0时，c≤0，函数不经过第三象限，则c＝0； 此时y＝x2，当﹣5≤x≤1时，函数最小值是0，最大值是25， ∴最大值与最小值之差为25；（舍去） 当b＞0时，c＞0，函数不经过第三象限，则△≤0， ∴0≤b≤4， ∴﹣4≤x＝﹣b≤0， 当﹣5≤x≤1时，函数有最小值﹣b2+4b， 当﹣5≤﹣b＜﹣2时，函数有最大值1+6b， 当﹣2＜﹣b≤1时，函数有最大值25﹣6b； ∵函数的最大值与最小值之差为16， ∴当最大值1+6b时，1+6b+b2﹣4b＝16， ∴b＝3或b＝﹣5， ∵0≤b≤4， ∴b＝3； 当最大值25﹣6b时，25﹣6b+b2﹣4b＝16， ∴b＝1或b＝9， ∵0≤b≤4， ∴b＝1． 综上所述，b的值为1或3． 故选：C． 10.解：由题意可得： AB＝AC＝BC＝2，∠ABC＝∠C＝60°， ∴当BP⊥AC时，BP最小，此时， ∴PB的最小值为，故A正确，不符合题意； 如图：作CM⊥AB于M，连接CD、DM， 则，， ∵CD≥CM﹣DM， ∴当C、D、M在同一直线上时，CD的值最小， ∵AD⊥PB， ∴， ∴CD的最小值为，故B正确； 如图，连接AF、EC，作CG∥BD，交EF的延长线于G， 由题意可得：AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD＝CE，∠AEC＝∠ADB＝90°， ∵∠ADP＝180°﹣∠ADB＝90°， ∴∠EDP＝∠ADP﹣∠ADE＝30°，∠CEG＝∠AEC﹣∠AED＝30°， ∴∠BDG＝∠EDP＝30°， ∵CG∥BD， 由平行线的性质可得：∠BDG＝∠G＝30°， ∴∠CEG＝∠G＝30°， ∴CG＝CE＝BD， ∵∠CFG＝∠BFD， ∴△BDF≌△CGF（AAS）， ∴， ∴AF⊥BC，即∠AFC＝90°， ∴∠AFC+∠AEC＝180°， ∴A、F、C、E四点共圆， ∴当EF取最大值时，EF等于直径AC，为2，故C正确，不符合题意； 当FP⊥AC时，FP最小，此时，故D说法错误，符合题意； 故选：D． 11. ,12. 13. 14. , 15. ＝2×（）2 .............. 4分 ＝21 1 ＝2． ..............8分 16.解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．..............2分 A1（6，2），B1（2，4），C1（8，6）；..............5分 （2）如图点D即为所作。..............8分 17.解：（1）∵8﹣6＝2， ∴抛物线的顶点坐标为（2，3），设抛物线y＝a（x﹣2）2+3， 把点A（8，0）代入得：36a+3＝0， 解得， ∴抛物线的函数表达式为；.............4分 （2）当x＝0时， ， ∴球不能射进球门． ..............8分 18.（1）证明：∵DE∥BC， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵∠DAE＝∠BAC， ∴△ADF∽△ABE， ∴∠ADF＝∠ABE， ∴DF∥BE； .............4分 （2）解：∵， ∴， ∵AE＝AF+EF＝4+6＝10， ∴ECAE10＝15， ∴AC＝AE+EC＝10+15＝25．..............8分 19．（1）解：∵，的长为4米，， ∴， ∴米； ∵， ∴米， ∴米； .............4分 （2）过点A作于点M，如图所示： ∵， ∴， ∵米， ∴米， ∴米， ∴底座的底面的面积为：平方米． .............10分 20.（1）解：将代入得， ∴， 反比例函数的解析式为， 将代入得，， 点的坐标为． 将点和点的坐标代入得， ， 解得， 一次函数的解析式为； .............4分 （2）解：根据所给函数图象可知， 或 .............6分 （3）解：将代入得，， 点的坐标为， ， ． 将代入得，， 点的坐标为， ， 解得． ∵点在第三象限， ∴， 将代入得，， 点坐标为(． .....................10分 21．（1）证明：∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ACO+∠OCB＝90°， 由条件可知OC⊥PC， ∴∠PCO＝90°， ∴∠PCB+∠OCB＝90°， ∴∠ACO＝∠PCB， 由条件可知∠ACO＝∠CAO， ∴∠CAO＝∠PCB， ∵CE平分∠ACB， ∴∠ACF＝∠BCF， ∴∠CAO+∠ACF＝∠PCB+∠BCF， ∴∠PFC＝∠PCF， ∴PC＝PF； ..........................6分 （2）解：如图所示，连接OE，过点B作BM⊥CE于点M， 由条件可知， ∴∠BOE＝2∠BCE＝90°，△CBM是等腰直角三角形， ∴△BOE是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴AB＝2OB＝12， 在Rt△ABC中，AB＝12，AC＝2BC， ∴BC2+（2BC）2＝122， 解得， 则， ∴， ∴． .........................12分 22．解：（1）∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； .........................3分 （2）延长交于点， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴；.........................7分 （3）设正方形的边长为，则：， 延长交于点， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． .........................12分 23.解：（1）∵抛物线对称轴为直线x＝1，且与x轴交于点A（﹣1，0）、B两点， ∴根据对称性可得B（3，0），故可设y＝a（x+1）（x﹣3）＝ax2﹣2ax﹣3a， 又∵抛物线y＝ax2+bx+3，即﹣3a＝3， 解得a＝﹣1， 故抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，顶点坐标为（1，4）；........................4分 （2）画出抛物线图象如图所示，A（﹣1，0）、C（0，3）， 延长AC交直线x＝1于点D， 由待定系数法可知直线AC的表达式为y＝3x+3，故D（1，6）． 设P（1，p）， 故S△PCA， 可解得p＝﹣2或14， 故P（1，﹣2）或（1，14）．.........................8分 （3）由抛物线y＝ax2+（b+m）x+3+n上仅存在一个点Q（x1，y1），使得2x1+y1＝0， 则联立， 即方程ax2+（b+m+2）x+3+n＝0只有两个相等实数根， 亦即方程﹣x2+（4+m）x+3+n＝0只有两个相等实数根， 令Δ＝0，即（4+m）2+4（3+n）＝0， 整理可得n， 当0≤m≤2时，即当x＝0时，n有最大值﹣7． .........................14分 学科网（北京）股份有限公司 $