专题04 解直角三角形的实际应用 2026年中考数学二轮重难点突破安徽专用

专题04 解直角三角形的实际应用 考点目录： 1． 仰角、俯角问题：测量建筑物、山体高度。 2． 坡度（坡比）、坡角问题：涉及大坝、楼梯、路基等。 3． 方向角问题：航海、航空或平面内的位置确定。 一、解答题 1．阅读下面九年一班数学兴趣小组的实践报告： 活动主题 测量建筑物的高度 准备工具 测角仪，卷尺等 测量示意图 测量方案 在地面上取点，，使点，，在同一条水平直线上，在点，处放置测角仪器，测量建筑物的顶端点的仰角和，再测量点与点的距离． 测量数据 ，，， 备注 1．图上所有点均在同一平面内； 2．，，与地面垂直． 参考数据：，，； ，， 请根据上述数据，计算建筑物的高度（结果精确到）． 【答案】建筑物的高度约米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．延长交于点，在，中，分别表示出，根据建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点， 依题意，设， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴，即， 解得：， ∴． 答：建筑物的高度约米 2．五一假期，小良家准备购买一套新楼房，要求楼层是一楼，位置在第二排，冬天采光不受第一排的影响．以下是小良和爸爸看房后完成的调查报告，请你根据报告中的信息，解决两个问题． 调查目的 居民楼一楼采光是否受到影响 调查数据 ①五一正午测得楼房影子的长度为，楼间距为，太阳光线与水平线的夹角为． ②一楼窗户下端距离地面的高度为． ③该小区冬至正午的太阳光线与水平线的夹角为，第一排楼房的影子会落在第二排楼房的墙上． 建立模型 小良同学根据调查数据画出了数学图形．如图， ，，，， ，．    测量工具 卷尺 参考数据     ，，，． 问题解决 （1）根据调查数据，请你计算楼房AB的高度（精确到）； （2）计算在冬至正午第一排楼房影子落在第二排楼房墙上的高度DE，并判断会不会影响一楼的采光（精确到）．    【答案】（1）； （2），不会影响一楼的采光 【分析】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键． （1） 根据正切的定义求出； （2）延长交延长线于点F，先根据正切的定义和的长求出，进一步求出，再使用一次正切的定义求出，根据结果进行判断即可． 【详解】解：（1）根据题意，得， 在Rt中，，，， ∵， ∴， ∴楼房的高度为； （2）如图，延长交的延长线于点F， ∵， ∴ 在Rt中，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在Rt中， ∵一楼窗户下端距离地面的高度为， ∴不会影响一楼的采光． 3．如图，学校旗杆附近有一斜坡，小明准备测量旗杆的高度，他发现当斜坡正对着太阳时，旗杆的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，此时小明测得水平地面上的影子长米，斜坡坡面上的影子米，太阳光与水平地面成角， 斜坡的坡度为， 求旗杆的高度．（精确到1米）． 【答案】16米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解决本题的关键是作出辅助线得到的影长．延长，两线交于E，过点D作于点Q，利用坡比，解直角三角形的知识点解答即可． 【详解】解：延长，两线交于E，过点D作于点Q， ∵太阳光与水平地面成角， ∴， ∵米， 斜坡的坡度为， ∴, 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴（米） ∵米， ∴（米）， ∴， ∴ （米）， ∴旗杆的高度约为16米． 4．如图是某森林公园两山之间一段索道的示意图，点，点分别是索道终点和起点．从山脚处看处的仰角为，从处看处的俯角为，点与点之间的距离与地面垂直且．．在同一平面内，结果精确到，参考数据：） (1)求点到地面的距离； (2)求索道的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． （1）过作于，则，在中，由即可解答； （2）过作于，证明四边形是矩形，所以，求得，由得，在中，由即可求解． 【详解】（1）解：如图，过作于，则， 在中， ，， ， ， 点到地面的距离约为； （2）如图，过作于，则， ， 四边形是矩形， ， ， ∴， ， ， ， ， ， 在Rt中，， ， 索道的长约为． 5．某综合实践研究小组用自制测角仪，完成了对树的高度的测量．具体操作方案如下： 课题 制作测角仪，测量树的高度 制作及测量过程 （1）把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角，如图①； （2）将这个仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达树的最高点，如图②； （3）得出仰角的度数； （4）测出人眼部距离地面的高度以及人到树的底部的距离； （5）计算这棵树的高度． 测量示意图 测量数据 如图③，经测量人眼部离地面高度，人到树的底部的距离，测角仪上细线所对应的刻度为．（其中） (1)_； (2)请根据测量数据求出大树的高度（结果保留小数点后一位）． 【答案】(1) (2)大树的高度约为 【分析】本题考查了直角三角形的性质，解直角三角形的实际应用，熟练掌握知识点，正确理解题意是解决本题的关键． （1）根据直角三角形两锐角互余即可求解． （2）明确直角三角形中边与已知条件（人到树距离、人眼离地高度）的对应关系．再依据直角三角形中三角函数定义求出长度．最后根据树高的线段组成关系求出大树高度． 【详解】（1）解：由题意得 故答案为：． （2）由题意可得， 在直角三角形中， 答：大树的高度约为． 6．为保护“低头族”的视力与颈椎，某企业研发了可升降夹书阅读架（如图，将其放置在水平桌面上的侧面示意图（如图，测得面板长为，为（厚度忽略不计）．当面板绕点转动时，面板与桌面即水平方向的夹角满足时，保护视力的效果较好．当从变化到的过程中，面板上端离桌面的高度增加了多少？（结果精确到，参考数据：，， 【答案】． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． 过点作，过点作于点，利用直角三角形的函数比求解即可． 【详解】解：如图，过点作，过点作于点， ． ，， ． 当时，； 当时，； 当从变化到的过程中，面板上端离桌面的高度是增加了，增加了约． 7．如图1，犁是耕作栽培的重要生产工具之一，是我国古代劳动人民的智慧结晶，最初主要由石器打磨而成，到夏，商、西周时期开始出现青铜犁，春秋战国时期铁犁得到了广泛应用．图2是犁的简化图，犁身由三部分组成，其中为圆弧形刀具，圆心为O， 和是木制支架，，，，，若，求犁身的长．（结果精确到）（参考数据：；） 【答案】 【分析】根据弧长公式，，，，求和即可． 本题考查了弧长公式，特殊角的三角函数值的应用，熟练掌握公式和特殊角的三角函数是解题的关键． 【详解】∵，，，， ，∴， ， ， ， ∴犁身的长为． 8．完成项目任务主题：设计遮阳篷素材1：北半球在一年中，冬至这一天的正午时刻，太阳光线与地平面的夹角最小；夏至这一天的正午时刻，太阳光线与地平面的夹角最大． 素材2：图1是北半球某市一家商店，大门朝南，设计了遮阳篷．图2是其示意图，设计了垂直于墙面AC的遮阳篷（横截面为直角 ）．表示大门高度． 若让遮阳篷满足在冬至正午刚好不遮住应该射进室内的阳光，此时太阳光与BD平行，太阳光与地面夹角最小为；若让遮阳篷在夏天满足阳光刚好不射入室内，此时太阳光与平行，太阳光与地面夹角最大为． (1)任务1：该市冬至日正午太阳光与地平面的夹角是 ，夏至日正午太阳光与地平面的夹角是．素材2中的商店门高为3米，若要不遮住冬天温暖的阳光，还要夏天正午时刻，门前设计能有1米宽的阴影．图3是其示意图，求遮阳篷的长．（精确到米）参考数据：，，，，，． (2)任务2：在任务1的基础上，考虑遮阳篷兼带遮雨功能，所以考虑遮阳篷往下倾斜 ，如图4，即把遮阳篷改造为横截面如 的样子，与水平面夹角为 那么遮阳篷的最小宽度约是_米（精确到米）参考数据：，，． 【答案】(1)米 (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，掌握三角函数的计算是解题的关键，本题解法不唯一． （1）过点作于点，利用三角函数得出，的值即可． （2）过点作于点，利用三角函数得出的值即可． 【详解】（1）解：由图2可知，，, 在中，, 设，则． 如下图，过点作于点， 在中,， ， , 得： 解得： 遮阳篷的长为米． （2）过点作于点， 则：． 在中， ， 故答案为：． 9．如图是某型号机器人示意图，是垂直于工作台的移动基座，，为机械臂，，，，，机械臂端点C到工作台的距离． (1)的补角度数是 　　°； (2)点A到直线的距离约是 　　m； (3)的长约是 　　．（结果精确到）（参考数据：，，，，） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据的补角的定义即可求解； （2）过点A作于点E，然后根据锐角三角函数的定义即可求出答案； （3）连接，过点作于点，所以四边形是矩形，然后根据勾股定理可分别求出、、、的长度，从而可求出的长度． 【详解】（1）解：， ∴的补角是：， （2）解：过点A作于点E， 在中， ∴， （）． （3）连接，过点A作于F， ∴四边形是矩形， ，， ， 在中， 由勾股定理可知： ， 在中， 由勾股定理可知：， 在中， 由勾股定理可知：， ， 即 故答案为：（1） （2） （3）． 10．王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸人树的高度，他在点处测得大树顶端的仰角为，再从点出发沿斜坡走米到达斜坡上点，在点处测得树顶端的仰角为，若斜坡的坡比为（点住同一水平线上）． (1)求王刚同学从点到点的过程中上升的高度； (2)求大树的高度（结果保留根号）． 【答案】(1)4米 (2)米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，坡比，仰角问题，熟练掌握坡比，仰角的计算是解题的关键． （1）作于H，解，即可求出； （2）延长交于点G，解、，求出、，得到，再说明，在中，利用正切的定义求出即可． 【详解】（1）过D作于H，如图所示： 在中， ∵斜坡的坡比为， ∴， ∵， ∴， 解得：或（舍去）， ∴王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度为4米． （2）延长交于点G，设米，由题意得，， ∴， ∵斜坡的坡比为， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， 在中， ∴， 解得：， 故大树的高度为米． 11．如图是某学校食堂的楼梯部分的示意图，上楼楼梯是由两段互相平行并且与地面成角的楼梯和一段水平天台构成，已知楼梯顶部B到地面的垂直高度为9.6米，与地面垂直的平台立柱的高度为6米，整个楼梯的水平跨度为16米． (1)求楼梯的长度； (2)求水平天台的长度（结果保留整数）．（参考数据：，，） 【答案】(1)10 (2)3 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）过点D作于F，根据正弦的定义求出； （2）延长交于G，根据正切的定义分别求出，计算即可． 【详解】（1） 解：如图，过点D作于F， 则米， 在中，，米， , （米）， 答：楼梯的长度约为10米； （2）解；如图，延长交于G， 则米，（米）， 在中，， 则（米）， 在中，米， 则（米）， （米）， 所以水平天台的长度约为3米， 故答案为：3． 12．周末，小明和小红相约爬山到山顶点C处观景（山脚处的点A、B在同一水平线上）．小明在A点处测得山顶点C的仰角为，他从点A出发，沿爬山到达山顶C．小红从点B出发，先爬长为米的山坡到达点D，的坡度为，然后沿水平观景步道走了900米到达点E，此时山顶C正好在点E的东北方向1800米处，最后爬山坡到达山顶C（点A、B、C、D、E在同一平面内，小明、小红的身高忽略不计）．（参考数据：，） (1)求山顶C到 的距离（结果保留整数）； (2)若小明和小红分别从点A、点B同时出发，小明的爬山速度为70米/分，小红的爬山速度为60米/分（小红在山坡 、山坡 段的速度相同），小红的平路速度为90米/分，请问谁先到达山顶C处？请通过计算说明理由． 【答案】(1)山顶C到的距离约为1873米 (2)小红先到达山顶C处，理由见解析 【分析】（1）过点D作于点H，过点C作于点M，交延长线于点K．由的坡度为，得到，在和中，利用特殊三角函数值分别求出，，即可求出； （2）在中，，得到，分别计算出小明，小红所用的时间比较即可． 【详解】（1）解：过点D作于点H，过点C作于点M，交延长线于点K． 由题意得，，， ∵的坡度为， ∴， 在中，，米， ∴米， 在中，，米， ∴米， ∴（米） 答：山顶C到的距离约为1873米． （2）解：小红先到达山顶C处，理由如下： 由题意得，在中，， ∴米， ∴小明到达山顶所需时间为：（分），小红到达山顶所需时间为：（分）， ∵， ∴小红先到达山顶C处． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 13．如图，C和B分别位于A的正北方向和南偏东方向，C在B点的北偏西方向上，已知A、B两地相距30海里．位于B岛的补给船和救援船接到支援通知后同时出发前往C地，补给船以每小时30海里的速度从B地出发，沿方向前往C地，救援船以每小时45海里的速度从B出发，沿方向前往A地准备救援材料（准备材料的时间为20分钟），再以相同的速度沿方向前往C地，请通过计算说明哪艘船会先到达C地．参考数据：，，．    【答案】救援船会先到达C地． 【分析】利用特殊角的三角函数值解直角三角形求得的长，再计算所需要时间，比较即可判断． 【详解】解：过点B作，交的延长线于H， 在中，， ∴， ∴，    ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴，， 解得， ∴． 补给船以每小时30海里的速度从B地出发，沿方向前往C地所需的时间为 （小时）， 救援船以每小时45海里的速度从B地出发沿方向前往A地准备救援材料（准备材料的时间为20分钟），再以相同的速度沿方向前往C地所需的时间为（小时）， 答：救援船会先到达C地． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 14．如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔，数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为，然后他们沿着坡度为的斜坡攀行了26米到达点A，在坡顶A处又测得该塔的塔顶B的仰角为．    (1)_º ，_º； (2)求坡顶A到地面的距离； (3)计算古塔的高度（结果精确到1米）．（参考数据：，，） 【答案】(1)14；45 (2)10米 (3)19米 【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余可求出和； （2）先过点A作，根据斜坡的坡度为，得出，设，则，求出k的值即可． （3）根据，，得出，四边形是矩形，再根据，得出，然后设，得出，最后根据在中，，列出方程，求出x的值即可． 【详解】（1） 延长交于点D，    ∵ ∴ 又， ∴即 故答案为：14；45； （2）过点A作，垂足为点H， ∵斜坡的坡度为， ∴， 设，则， 由勾股定理，得， ∴， 解得， ∴， ∴坡顶A到地面的距离为10米． （3）∵，， ∴， ∴四边形是矩形，， ∵， ∴， 设，则， ∴， 在中，，即． 解得． 答：古塔的高度约为19米． 【点睛】此题考查了解直角三角形，用到的知识点是勾股定理、锐角三角函数、坡角与坡角等，关键是作出辅助线，构造直角三角形． 15．如图为某体育公园部分示意图，C为公园大门，A、B、D分别为公园广场、健身器材区域、儿童乐园．经测量：A、B、C在同一直线上，且A、B在C的正北方向，米，点在点的南偏东方向，在点A的东南方向．    (1)求B、D两地的距离；（结果精确到） (2)大门C在儿童乐园D的南偏西方向，由于安全需要，现准备从儿童乐园D牵一条笔直的数据线到大门C的控制室，请通过计算说明公园管理部门采购的380米数据线是否够用（接头忽略不计）．（参考数据：） 【答案】(1)B、D两地的距离为 (2)公园管理部门采购的380米数据线够用 【分析】（1）过点作于点，在中，解直角三角形求出，根据含30度直角三角形的性质即可求出； （2）过点作于点，在和中，根据三角函数的定义求出，，，，继而求出，比较即可得到结论． 【详解】（1）解：过点作于点，    由题意知，， ，， ，， 在中，， ， ． 答：、两地的距离约为； （2）解：过点作于点，    由（1）得， ，，， ， ， 在中，，， ， 在中，， ， ， ， 答：公园管理部门采购的380米数据线够用． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 16．想了一百种初夏的文案，也不及一场露营的美好，欢欢和乐乐两家人周末自驾去草原营地C露营，如图，两家人同时从点A出发，欢欢驾驶燃油车自西向东行驶到点B，再沿北偏东60°方向行驶到营地C．由于乐乐驾驶电动汽车，需先到位于点A东北方向的充电站D充电，充电时间为30分钟，完成充电后立即从点D出发，前往位于点D正东方向的营地C．已知千米，千米．（参考数据：）    (1)求的长度（结果保留根号）； (2)欢欢到达营地C后立即开始搭帐篷，搭建过程需1个小时．已知欢欢驾驶燃油车的速度为90千米/时，乐乐驾驶电动汽车的速度为75千米/时，请计算说明欢欢能否在乐乐到达营地C前搭完帐篷． 【答案】(1)的长度为千米 (2)欢欢不能在乐乐到达营地C时搭完帐篷 【分析】（1）过作于点，作于点，解求出千米，再证明四边形为矩形，得出千米，最后解可得结论； （2）分别求出两人所需时间，再进行比较即可得出结论． 【详解】（1）过作于点，作于点，如图，    由题得：千米， 在中，， ∴千米， ∵， ∴四边形为矩形， ∴千米， 在中，千米， 答：的长度为千米． （2）在中，， 千米， ∵千米， ∴千米， ∵四边形是矩形， ∴千米， 在中，， ∴千米， ∴千米， ∴千米， ∴（时） ∵千米 ∴（时） ∴ ∴欢欢不能在乐乐到达营地C时搭完帐篷． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，从题目中提取数学模型是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $专题04解直角三角形的实际应用 考点目录： 1.仰角、俯角问题：测量建筑物、山体高度。 2.坡度（坡比）、坡角问题：涉及大坝、楼梯、路基等。 3.方向角问题：航海、航空或平面内的位置确定。 一、解答题 1.阅读下面九年一班数学兴趣小组的实践报告： 活动主题 测量建筑物AB的高度 准备工具 测角仪，卷尺等 B 测量示意图 D E 在地面上取点E,C,使点A,E,C在同一条水平直线上，在点E 测量方案 C处放置测角仪器，测量建筑物AB的顶端点B的仰角∠GFB和 ∠GDB,再测量点E与点C的距离. 测量数据 ∠GFB=31°，∠GDB=22°，CE=32m,EF=CD=1.7m 1.图上所有点均在同一平面内： 2.AB,FE,CD与地面AC垂直. 备注 参考数据：sin31°≈0.5，cos31°≈0.9，tan31°≈0.6： sin22°≈0.4，cos22°≈0.9，tan22°≈0.4. 请根据上述数据，计算建筑物AB的高度（结果精确到1m)· 2.五一假期，小良家准备购买一套新楼房，要求楼层是一楼，位置在第二排，冬天采光不受第一排的影 响.以下是小良和爸爸看房后完成的调查报告，请你根据报告中的信息，解决两个问题， 调查目的 居民楼一楼采光是否受到影响 调查数据 ①五一正午测得楼房影子的长度为4.4m,楼间距为19m,太阳光 线与水平线的夹角为70°」 ②一楼窗户下端距离地面的高度为l.4m. ③该小区冬至正午的太阳光线与水平线的夹角α为30°，第一排楼 房的影子会落在第二排楼房的墙上. 小良同学根据调查数据 画出了数学图形.如 图， 口 AB⊥BC,DE⊥BC, 建立模型 BC=4.4m.BC=19m 口 B E ∠ACB=70°，∠a=30° 第一排楼房 第二排楼房 测量工具 卷尺 参考数据 √3≈1.73sin70°≈0.94 cos70°≈0.34tan70°≈2.75 (1)根据调查数据，请 你计算楼房AB的高度 (精确到lm); A (2)计算在冬至正午第 问题解决 一排楼房影子落在第二 排楼房墙上的高度DE, 并判断会不会影响一楼 的采光（精确到0.lm 3.如图，学校旗杆附近有一斜坡，小明准备测量旗杆AB的高度，他发现当斜坡正对着太阳时，旗杆AB 的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，此时小明测得水平地面上的影子长BC=20.2米，斜坡坡面 上的影子CD=5.2米，太阳光AD与水平地面BC成30°角，斜坡CD的坡度为1：2.4，求旗杆AB的高 度。（5=1.73精确到1米). A D 4.如图是某森林公园两山之间一段索道的示意图，点A,点B分别是索道终点和起点.从山脚D处看A 处的仰角为60°，从A处看B处的俯角为21°，点A与点D之间的距离AD=300m,BC与地面CD垂直 且BC=40m.(A、B、C、D.在同一平面内，结果精确到1m,参考数据： sin21≈0.36cos2°≈0.93，tan2r≈0.385≈l.7) B (1)求点A到地面CD的距离： (2)求索道AB的长. 5.某综合实践研究小组用自制测角仪，完成了对树的高度的测量.具体操作方案如下： 课 制作测角仪，测量树的高度 题 烟 (1)把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个重物，制成 作 一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角，如图①： 仑 (2)将这个仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达树的最高 测 点，如图②； 量 (3)得出仰角的度数： 过 (4)测出人眼部距离地面的高度以及人到树的底部的距离： 程 (5)计算这棵树的高度. 测 示 意 入 图 图① 图② 图③ 测 如图③，经测量人眼部离地面高度AB=1.5m,人到树的底部的距离BC=7.5m,测 量 数 角仪上细线所对应的刻度为60°.（其中V3≈1.732） 据 (1)∠0=_： (2)请根据测量数据求出大树DC的高度（结果保留小数点后一位）· 6.为保护“低头族”的视力与颈椎，某企业研发了可升降夹书阅读架（如图），将其放置在水平桌面上 的侧面示意图（如图2），测得面板DE长为24cm,CD为6cm(厚度忽略不计).当面板DE绕点C转 动时，面板与桌面即水平方向的夹角满足30°≤0α≤70°时，保护视力的效果较好.当0从30°变化到 70°的过程中，面板上端E离桌面I的高度增加了多少？（结果精确到0.lcm,参考数据：sin70°≈0.94， cos70°≈0.34，tan70°≈2.75) D y 图1 图2 7.如图1，犁是耕作栽培的重要生产工具之一，是我国古代劳动人民的智慧结晶，最初主要由石器打磨而 成，到夏，商、西周时期开始出现青铜犁，春秋战国时期铁犁得到了广泛应用.图2是犁的简化图， 犁身ABCD由三部分组成，其中AB为圆弧形刀具，圆心为O,BC和CD是木制支架， ∠AOB=∠BOC=30°，∠COD=60°，OB⊥BC,OC⊥CD,若OB=1m,求犁身ABCD的长.（结 果精确到0.01)（参考数据：V5≈1.732，π3.142） D 图1 图2 8.完成项目任务主题：设计遮阳篷素材1：北半球在一年中，冬至这一天的正午时刻，太阳光线与地平面 的夹角最小；夏至这一天的正午时刻，太阳光线与地平面的夹角最大 素材2：图1是北半球某市一家商店，大门朝南，设计了遮阳篷.图2是其示意图，设计了垂直于墙面 AC的遮阳篷（横截面为直角△CDB).AB表示大门高度. H A 图1 图2 若让遮阳篷满足在冬至正午刚好不遮住应该射进室内的阳光，此时太阳光与BD平行，太阳光与地面夹 角最小为∠DNH;若让遮阳篷在夏天满足阳光刚好不射入室内，此时太阳光与AD平行，太阳光与地 面夹角最大为∠DAH. (1)任务1：该市冬至日正午太阳光与地平面的夹角是36°，夏至日正午太阳光与地平面的夹角是81°. 素材2中的商店门高AB为3米，若要不遮住冬天温暖的阳光，还要夏天正午时刻，门前设计能有1米 宽的阴影AF.图3是其示意图，求遮阳篷CD的长.（精确到0.1米）参考数据：sin81°=0.99， cos81°≈0.16，tan81°=6.31，sin36°=0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73 (2)任务2：在任务1的基础上，考虑遮阳篷兼带遮雨功能，所以考虑遮阳篷往下倾斜10°，如图4，即 把遮阳篷改造为横截面如△GBD的样子，GD与水平面夹角为10°，那么遮阳篷的最小宽度GD约是_ 米（精确到0.01米）参考数据：sin10°=0.17，cos10°=0.98，tan10°=0.18」 G nnnnnnmmnnnnnnnn Fnnnnnnnnnmnnnnnn 图3 图4 9.如图是某型号机器人示意图，OA是垂直于工作台的移动基座，AB,BC为机械臂，OA=1m, AB=5m,BC=2m,∠ABC=143°，机械臂端点C到工作台的距离CD=6m. B D (1)∠ABC的补角度数是°； (2)点A到直线BC的距离约是m (3)OD的长约是m.(结果精确到0.1m)(参考数据：sin37°≈0.60，sin37°≈0.60， cos37°≈0.80tan37°≈0.75V5≈2.24、 10.王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸人树AB的高度， 他在点C处测得大树顶端的仰角为45”，再从C点出发沿斜坡走4W 米到达斜坡上D点，在点D处 测得树顶端A的仰角为30°，若斜坡CF的坡比为=1：3（点E、CB住同一水平线上）. 30° 45o E (1)求王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度： (2)求大树AB的高度（结果保留根号）. 11.如图是某学校食堂的楼梯部分的示意图，上楼楼梯是由两段互相平行并且与地面成37°角的楼梯 AD、BE和一段水平天台DE构成，已知楼梯顶部B到地面的垂直高度BC为9.6米，与地面垂直的平 台立柱MN的高度为6米，整个楼梯的水平跨度AC为16米. B DM 3 A37 (1)求楼梯AD的长度： (2)求水平天台DE的长度（结果保留整数）·（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80， tan37°≈0.75) 12.周末，小明和小红相约爬山到山顶点C处观景（山脚处的点A、B在同一水平线上）·小明在A点处 测得山顶点C的仰角为30°，他从点A出发，沿AC爬山到达山顶C.小红从点B出发，先爬长为 400W 米的山技BD到达点D,BD的坡度为5：1，然后沿水平观景步道DB走了9O0米到达点E,此 时山顶C正好在点E的东北方向1800米处，最后爬山坡EC到达山顶C(点A、B、C、D、E在同一 平面内，小明、小红的身高忽略不计).（参考数据：5=1414,5≈1.732） 北 东 (1)求山顶C到 AB的距离（结果保留整数）； (2)若小明和小红分别从点A、点B同时出发，小明的爬山速度为70米/分，小红的爬山速度为60米/ 分（小红在山坡 BD、山坡 EC段的速度相同)，小红的平路速度为90米/分，请问谁先到达山顶C处？请通过计算说明理由. 13.如图，C和B分别位于A的正北方向和南偏东45°方向，C在B点的北偏西30°方向上，已知A、B两 地相距30海里.位于B岛的补给船和救援船接到支援通知后同时出发前往C地，补给船以每小时30 海里的速度从B地出发，沿BC方向前往C地，救援船以每小时45海里的速度从B出发，沿BA方向 前往A地准备救援材料（准备材料的时间为20分钟），再以相同的速度沿AC方向前往C地，请通过 计算说明哪艘船会先到达C地。参考数据：V5≈141，V5≈1.73，V6≈2.45 北 →东 西←十 南 A 45 30 B 14.如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得该塔的塔 顶B的仰角为45°，然后他们沿着坡度为=1：2.4的斜坡AP攀行了26米到达点A,在坡顶A处又测得 该塔的塔顶B的仰角为76° B (1)∠ABC_9,∠PBC=: PO (2)求坡顶A到地面的距离： (3)计算古塔BC的高度（结果精确到1米），（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4 ) 15.如图为某体育公园部分示意图，C为公园大门，A、B、D分别为公园广场、健身器材区域、儿童乐园. 经测量：A、B、C在同一直线上，且A、B在C的正北方向，AB=240米，点D在点B的南偏东75 方向，在点A的东南方向. 北 西 》东 南 45° B 75° 0ò (1)求B、D两地的距离；（结果精确到0.1m) (2)大门C在儿童乐园D的南偏西60°方向，由于安全需要，现准备从儿童乐园D牵一条笔直的数据线 到大门C的控制室，请通过计算说明公园管理部门采购的380米数据线是否够用（接头忽略不计）· V2≈1.414，V3≈1.732 (参考数据： 16.想了一百种初夏的文案，也不及一场露营的美好，欢欢和乐乐两家人周末自驾去草原营地C露营，如 图，两家人同时从点A出发，欢欢驾驶燃油车自西向东行驶到点B,再沿北偏东60°方向行驶到营地 C.由于乐乐驾驶电动汽车，需先到位于点A东北方向的充电站D充电，充电时间为30分钟，完成充 电后立即从点D出发，前往位于点D正东方向的营地C.已知AD=60千米，CD=90千米.（参考 数据：514，V6245) 北 东 D 45% 60 B (1)求BC的长度（结果保留根号）； (2)欢欢到达营地C后立即开始搭帐篷，搭建过程需1个小时.已知欢欢驾驶燃油车的速度为90千米/ 时，乐乐驾驶电动汽车的速度为75千米/时，请计算说明欢欢能否在乐乐到达营地C前搭完帐篷