专题03 方程与不等式实际应用 2026年中考数学二轮重难点突破安徽专用

专题03 方程与不等式实际应用 考点目录： 1． 一次方程（组）的应用：典型问题如行程问题、工程问题、配套问题、利润问题等。 2． 一元二次方程的应用：增长率问题、面积问题、单/双循环赛制问题。 3． 不等式的应用：结合方程考查方案设计问题（如购买方案、运输方案等）。 一、解答题 1．如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，点为原点，动点，分别从点，点同时出发，都沿数轴向左运动，点运动的速度是每秒个单位长度，点运动的速度是每秒个单位长度，当点运动到点时，点同时停止运动，设运动时间为秒． (1)在点、整个运动过程中，点表示的数为_____，点表示的数为_____；（用含的代数式表示） (2)若点位于点右侧，且，求运动时间的值； (3)在点、整个运动过程中，当时，求运动时间的值． 【答案】(1)， (2) (3)的值为或 【分析】本题考查数轴上的动点问题，包括数轴上两点间距离(线段的长)、绝对值的化简以及一元一次方程的求解． （1）直接根据“初始位置-速度×时间”即可写出表达式； （2）先根据“点在右侧”确定的范围，再用绝对值表示，，代入等式得到， 解方程即可得到，并验证其在范围内； （3）先确定运动总时长，再根据点与点的相对位置分两段讨论，最后验证两个解均在对应区间内，从而得到最终结果． 【详解】（1）解：∵动点从原点出发，沿数轴向左运动，速度为每秒1个单位长度，运动时间为秒， ∴点表示的数为． ∵动点从点出发，沿数轴向左运动，速度为每秒3个单位长度，运动时间为秒， ∴点表示的数为． 故答案为：；． （2）解：∵点位于点右侧，点表示的数为， ∴，即． ∵，，且， ∴，， ∴，． ∵， ∴， 解得． ∵，符合条件， ∴运动时间； （3）解：先确定运动总时长，点从到的距离为，速度为3，故． 分两种情况讨论： ①当时，，， 代入得， 化简得， 解得，符合； ②当时，，， 代入得， 化简得， 解得，符合． 综上，运动时间的值为或． 2．某工厂用如图①所示的长方形和正方形纸板做成如图②所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒． (1)现有长方形纸板340张，正方形纸板160张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完，求能做成的两种纸盒的个数； (2)工厂共有78名工人，每名工人一天能生产70张长方形纸板或100张正方形纸板，已知一个竖式纸盒与一个横式纸盒配套．如何分配工人，才能使一天生产的竖式纸盒与横式纸盒配套？ 【答案】(1)能做成40个竖式纸盒，60个横式纸盒 (2)分配60名工人生产长方形纸板，18名工人生产正方形纸板 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是弄清题意，找出题目蕴含的等量关系，列出方程或方程组解决问题． （1）设能做成的型盒有个，型盒子有个，根据长方形纸板340张，正方形纸板160张，可得出方程组； （2）设分配个工人生产长方形纸板，则个工人生产正方形纸板，由一个竖式纸盒与一个横式纸盒需要正方形纸板3个，长方形纸板7个，也就是正方形纸板的数量是长方形纸板数量的，由此列出方程解答即可． 【详解】（1）解：设能做成个竖式纸盒，个横式纸盒， 根据题意，得， 解得， 答：能做成40个竖式纸盒，60个横式纸盒． （2）解：设分配个工人生产长方形纸板，则个工人生产正方形纸板，由题意得， ， 解得， ， 答：分配60个工人生产长方形纸板，则18个工人生产正方形纸板． 3．制作一个桌子要用1个桌面和4条桌腿，木料可制作15个桌面，或者制作300条桌腿，现有木料，应如何计划使用木料才能制作尽可能多的课桌？ 【答案】应计划使用木料制作桌面，使用木料制作桌腿 【分析】本题主要考查了一元一次方程实际应用问题中的配套问题，解题的关键是找到配套的部分之间的比例关系． 设应计划使用木料制作桌面，则使用木料制作桌腿，用表示出来生产的桌面与桌腿数，使其比例为，解出方程即是所求． 【详解】解：设应计划使用木料制作桌面，则使用木料制作桌腿，依题意，得，解方程得． ∴应计划使用木料制作桌面，使用木料制作桌腿． 4．某车间有22名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉12个或螺母20个，一个螺钉要配两个螺母，要求使每天生产的产品刚好配套． (1)如果车间主任安排8人生产螺钉，其它人生产螺母，请你计算这样的安排是否符合要求？ (2)如果你是车间主任，请你用列方程的办法计算出分配多少名工人生产螺钉，多少名工人生产螺母才能符合要求？ 【答案】(1)不符合要求 (2)分配10名工人生产螺钉，12人生产螺母 【分析】（1）计算出每天生产的螺钉数、螺母数，判断是否配套即可； （2）设分配x名工人生产螺钉，根据一个螺钉要配两个螺母建立方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：每天生产的螺钉数为（个）， 每天生产的螺母数为（个）， ， 这样的安排不符合要求； （2）解：设分配x名工人生产螺钉，则名工人生产螺母， 根据题意得：， 解得， 故（人）． 答：分配10名工人生产螺钉，12人生产螺母才能符合要求． 【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出方程． 5．应用题 (1)一个儿童玩具由2个A部件和3个B部件构成. 已知用的木料可做20个A部件或者50个B部件. 现有的木料做这种儿童玩具，应用多少木料做A部件，多少木料做B部件，恰好配成这种儿童玩具多少个？ (2)根据有关规定：个人发表文章或出版图书所获得的稿费超过一定范围，必须按要求上缴一定的税费，具体上缴税费的计算方法如下表： 获得的稿费情况 上缴税费情况 1.获得稿费不高于800元 不需要上缴税费 2.获得稿费高于800元，但低于4000元 应上缴超过800元的那部分稿费的14%的税费 3.获得稿费高于4000元（含4000元） 应上缴全部稿费的11%的税费 ①若某人获得的稿费为2400元，则应上缴税费_元； ②若某人获得的稿费为4000元，则应上缴税费_元； ③若某人获得稿费后上缴税费420元，求这笔稿费是多少元？ 【答案】(1)用木料做A部件，木料做B部件，恰好配成这种儿童玩具50个． (2)①224，②440，③这笔稿费为3800元 【分析】（1）设应用木料做A部件，则用钢材做B部件，根据2个A部件和3个B部件刚好配成套，列方程； （2）①因为2400元低于4000元，应按超过800元的那部分稿费的14%纳税，即； ②稿费为4000元，按规定应缴纳全部稿费的11%的税，列式为，计算即可； ③由②可知稿费应高于800元低于4000元，数量间的相等关系（全部稿费），设稿费元列并解方程即可． 【详解】（1）（1）解：设应用木料做A部件，则用钢材做B部件， 依题意得： 解得： （） （个） 答：用木料做A部件，木料做B部件，恰好配成这种儿童玩具50个． （2）解：①（元） 故答案为：224； ②（元） 故答案为：440； ③设稿费为元， 由题意得： 解得： 答：这笔稿费为3800元． 【点睛】考查一元一次方程的应用，解决问题的关键在于找出数量间的相等关系，列方程解答． 6．某健身广场由6个正方形拼成一个长方形（如图），已知中间最小的正方形A的边长是1米，请按要求回答下列问题： (1)若设图中最大正方形B的边长是米，请用含的代数式分别表示出正方形F、E和C的边长； (2)观察图形的特点可知，长方形相对的两边是相等的（如图中的和），请根据这个等量关系，求出的值及广场（矩形）的面积； (3)现沿着长方形广场的四条边铺设下水管道，由甲、乙2个工程队单独铺设分别需要10天、15天完成．如果两队从同一点开始，沿相反的方向同时施工2天后，因甲队另有任务，余下的工程由乙队单独施工，试问还需要多少天完成？ 【答案】(1)（）米，（）米，（）米 (2)， (3)10天 【分析】本题考查了列代数式并求值，一元一次方程的应用； （1）结合图形，根据正方形之间的关系，即可求解； （2）由（1）得，，由已知条件得，据此列方程求解，将解代入即可求解； （3）甲的工作效率为，乙的工作效率为，等量关系式：甲和乙天共同完成的工作量乙单独完成的工作量，据此列方程，解方程，即可求解； 找出正方形各边长之间的关系和等量关系是解题关键． 【详解】（1）解：由题意得 正方形F的边长：米， 正方形E的边长：米， 正方形C的边长：米； （2）解：由题意得 （米）， （米）， ， ．                 解得：．                                           （）， 故的值是，广场（矩形）的面积． （3）解：设乙队单独施工还需要天可以完成，根据题意得： ， 解得：， 答：余下的工程由乙队单独施工还需要10天完成． 7．某大学宿舍建完之后，需要做内墙粉刷装饰，现有甲乙两个工程队都想承包这项工程，已知甲工程队每天能粉刷80个房间，乙工程队每天能粉刷120个房间，且单独粉刷这些墙面甲工程队比乙工程队要多用20天，在粉刷的过程中，该开发商要付甲工程队每天费用800元，付乙工程队每天费用1300元． (1)求这所大学宿舍有多少间房间？ (2)为了尽快完成这项工程，若先由甲乙两个工程队按原粉刷速度合作一段时间后，甲工程队停工了，而乙工程队每天的粉刷速度提高了25%，乙工程队单独完成剩余部分，且乙工程队的全部工作时间是甲工程队的工作时间的2倍还多4天．求乙工程队共粉刷多少天？ (3)经研究制定如下方案： 方案一：由甲工程队单独完成 方案二：由乙工程队单独完成 方案三：按（2）问方式完成 请你通过计算帮校方选择一种省钱的粉刷方案． 【答案】(1) (2) (3)方案三最省钱，理由见解析 【分析】（1）设乙工程队单独粉刷这些墙面需要天，则甲工程队需要天．根据总房间数不变即可建立方程求解； （2）设甲工程队的工作时间为天，则乙工程队的工作时间为天，根据甲乙合作工程量＋乙单独工作的工程量＝总工程量，即可建立方程求解； （3）分别计算出三种方案的总费用即可进行比较． 【详解】（1）解：设乙工程队单独粉刷这些墙面需要天，则甲工程队需要天 由题意得： 解得： 故： ∴这所大学宿舍有间房间 （2）解：设甲工程队的工作时间为天，则乙工程队的工作时间为天 由题意得： 解得： ∴ 故：乙工程队共粉刷了天 （3）解：方案一的费用：（元） 方案二的费用：（元） 方案三的费用：（元） 故：方案三最省钱 【点睛】本题考查了一元一次方程与工程问题．注意正确理解题意与求解方程． 8．某公司要生产若干件新产品，需要精加工后，才能投放市场．现在甲、乙两个加工厂都想加工这批产品，已知甲工厂单独加工这批产品比乙工厂单独加工这批产品多用20天，甲工厂每天可加工16件产品，乙工厂每天可加工24件产品． (1)求这个公司要加工新产品的件数． (2)在加工过程中，公司需支付甲工厂每天加工费80元，乙工厂每天加工费120元．公司还需另派一名工程师每天到厂家进行技术指导，并负担每天5元的午餐补助费．公司制定产品加工方案如下：可由一个工厂单独加工完成，也可由两个工厂合作同时完成．当两个工厂合作时，这名工程师轮流去这两个工厂．请你通过计算帮助公司从所有可供选择的方案中选择一种既省钱，又省时间的加工方案． 【答案】(1)这个公司要加工960件新产品 (2)该公司应选择第③种方案，由两个工厂合作同时完成时，既省钱，又省时间 【分析】（1）设这个公司要加工x件新产品，根据甲工厂单独加工这批产品比乙工厂单独加工这批产品多用20天，甲工厂每天可加工16件产品，乙工厂每天可加工24件产品，列出方程式，解出即可； （2）分别计算三种情况所需要的天数和费用，进行比较即可． 【详解】（1）解：设这个公司要加工x件新产品， 根据题意，得，解得， 答：这个公司要加工960件新产品； （2）解：方案①：由甲工厂单独加工需耗时（天，需要费用（元）； 方案②：由乙工厂单独加工需耗时（天），需要费用（元）； 方案③：由两厂共同加工需耗时（天），需要费用（元）． 所以该公司应选择第③种方案，由两个工厂合作同时完成时，既省钱，又省时间． 【点睛】本题主要考查一元一次方程和最优方案问题，要认真读题，列出相应的方程． 9．春节前夕，某商场从厂家购进了甲、乙两种商品，乙种商品的每件进价比甲种商品的每件进价高20元．若购进甲种商品10件，乙种商品2件，需要1000元． (1)求甲、乙两种商品的每件进价分别是多少元？ (2)若甲种商品按标价出售，则每件可获利40元，为了促销，现对甲种商品在标价基础上打折出售，若按此促销方案售出6件所能获得的利润，与按标价每件降价35元出售12件所获得利润一样，求甲种商品打了几折出售？ 【答案】(1)甲种商品的进价80元，则乙种商品的进价100元 (2)甲种商品打了七五折出售 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出方程并求解． （1）设甲种商品的进价x元，则乙种商品的进价元，由“甲种商品的件数甲种商品的单价乙种商品的件数乙种商品的单价总金额”建立方程，再求解即可． （2）设甲种商品打了y折，根据“售出6件商品获得的利润与售出12件商品获得的利润相同”建立方程，求解即可． 【详解】（1）设甲种商品的进价x元，则乙种商品的进价元， 由题意可得，， 解得， ∴元， ∴甲种商品的进价80元，则乙种商品的进价100元． （2）∵甲种商品的进价80元，甲种商品按标价出售，则每件可获利40元， ∴甲种商品在标价元 设甲种商品打了y折， 由题意可得，， 解得， ∴甲种商品打了七五折出售． 10．某商场出售的甲种商品每件售价元，利润为元；乙种商品每件进价元，售价元． 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过元 不优惠 超过元，但不超过元 按售价打九折 超过元 按售价打八折 (1)甲种商品每件进价为______元，每件乙种商品的利润率为______； (2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共件，恰好总进价为元，问购进甲种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场只对甲、乙两种商品进行如下的优惠促销活动： 按上述优惠条件，若小红第一天只购买甲种商品，实际付款元，第二天只购买乙种商品，实际付款元，问：小红这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？ 【答案】(1)， (2) (3)件或件 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，有理数除法运算的应用，正确列出方程和算式是解答本题的关键． （1）利用“进价售价利润，利润率”，即可求得答案； （2）设该商场购进甲种商品件，利用等量关系“甲商品的总进价乙商品的总进价两种商品的总进价”列出方程求解即可； （3）第一天购买甲种商品，有享受优惠和不享受优惠两种情况，分别计算得到优惠的情况成立，第二天购买乙种商品，有打九折优惠和打八折优惠两种情况，分别计算得购买乙商品8件和9件，由此即得答案． 【详解】（1）（元）， ， 故答案为：，． （2）设该商场购进甲种商品件， 根据题意得 ， 解得　， 乙种商品购进 （件）， 答：该商场购进甲种商品件． （3）（3）根据题意得，第一天购买甲种商品，有以下两种情况： 情况一，不享受优惠，除以，结果不是整数，不合题意，舍去， 情况二，享受9折优惠， 件， 第二天只购买乙种商品，有以下两种情况： 情况一，购买乙种商品打九折，件， 情况二，购买乙种商品打八折，件， 所以一共可购买甲、乙两种商品件或件， 答：小明这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共件或件． 11．2023年冬季已经到来，哈市某商店计划购进一批冰雪吉祥物“冰敦敦”，生产厂家定价为每个“冰敦敦”40元，由于临近冰雪节，生产厂家进行促销活动，商店以八折的价格购进，结果比计划多购进了30个“冰敦敦”． (1)该商店购进这批“冰敦敦”共花费多少元？ (2)该商店将每个“冰敦敦”在进价的基础上提高50％进行销售．由于“冰敦敦”深受人们的喜欢，所以很快售完．商店以同样的进价又购进了300个“冰敦敦”，并以同样的售价进行销售，快到春节了，商店还有第二次购进的30％的“冰敦敦”没卖出去，求此时商店获利多少元； (3)在（2）的条件下，春节过后商店将剩下的“冰敦敦”以售价的五折进行降价处理，那么商店将两次购进的“冰敦敦”全部销售完后共获利多少元？ 【答案】(1)共花费4800元 (2)获利2880元 (3)共获利5040元 【分析】本题考查了方程的应用，分数的混合运算； （1）设商店购进这批“冰敦敦”共花费x元，根据题意列出方程即可求解； （2）由（1）所求可得第一次购得“冰墩墩”的数量及实际的进价、售价，根据总利润=总售价总进价，即可求解； （3）先计算出剩余“冰墩墩”的利润，即可求得全部销售完后的总利润． 【详解】（1）解：设该商店购进这批“冰敦敦”共花费x元， 由题意得：， 解得：， 答：该商店购进这批“冰敦敦”共花费4800元； （2）解：第一次购得“冰墩墩”的数量为：（个），实际的进价为（元），实际的售价为：（元）， 销售出去的“冰墩墩”的总利润为：（元） 答：商店此时获利2880元； （3）解：（元），（元） 答：商店将两次购进的“冰敦敦”全部销售完后共获利5040元． 12．A、B两地相距240千米． (1)甲以60千米/小时的速度从A地前往B地，乙以80千米/小时的速度从B地前往A地．若甲先出发小时，乙再出发，求乙出发后多少小时后甲乙相遇？ (2)“要致富，先修路”，当地政府为解决交通问题，决定在A、B两地间新修一高速公路．经调研可知，高速公路修成后，从A地前往B地的平均速度可提高25%，时间可比原来缩短小时，求原来从A地前往B地的平均速度是多少？ 【答案】(1)乙出发后小时后甲乙相遇 (2)原来从A地前往B地的平均速度是80千米/小时 【分析】本题考查一元一次方程和分式方程解决实际问题． （1）设乙出发后x小时后甲乙相遇，则甲经过的路程为千米，乙经过的路程为千米，根据“相遇时，甲乙经过的路程之和等于A，B两地的距离”即可得到方程，求解即可； （2）设原来从A地前往B地的平均速度是y 千米/小时，则原来从A地前往B地需要小时，建成高速公路后，从A地前往B地需要小时，根据“时间可比原来缩短小时”即可列出方程，求解并检验即可解答． 【详解】（1）设乙出发后x小时后甲乙相遇，根据题意可得： ， 解得：， 答：乙出发后小时后甲乙相遇； （2）设原来从A地前往B地的平均速度是y千米/小时，根据题意可得： ， 解得：， 经经验，是原分式方程的解， 答：原来从A地前往B地的平均速度是80千米/小时． 13．，两地相距千米，一慢车从地出发，每小时走千米，一快车从地出发，每小时走千米． (1)两车同时出发，相向而行，几小时后相遇？ (2)两车同时出发，相背而行，几小时后相距千米？ (3)慢车出发小时后快车从地出发，同向而行，请问快车出发几小时后追上慢车？ 【答案】(1)小时后相遇 (2)小时后相距千米 (3)快车出发小时后追上慢车 【分析】本题考查一元一次方程的运用，解题的关键是根据题意，列出等量关系，即可． （1）设两车同时出发，相向而行，几小时后相遇，则，解出方程，即可； （2）设两车同时出发，相背而行，小时后相距千米，则，解出方程，即可； （3）设快车出发小时后追上慢车，则，解出方程，即可． 【详解】（1）设两车同时出发，相向而行，几小时后相遇， ∴ 解得： 答：两车同时出发，相向而行，小时后相遇． （2）设两车同时出发，相背而行，小时后相距千米， ∴， 解得：， 答：两车同时出发，相背而行，小时后相距千米． （3）设快车出发小时后追上慢车， ∴， 解得：， 答：快车出发小时后追上慢车． 14．根据素材，完成任务． 如何设计雪花模型材料采购方案？ 素材一 学校组织同学参与甲、乙两款雪花模型的制作．每款雪花模型都需要用到长、短两种管子材料．某同学用6根长管子、48根短管子制作了1个甲雪花模型与1个乙雪花模型．已知制作一个甲、乙款雪花模型需要的长、短管子数分别为1：7与1：9． 素材二 某商店的店内广告牌如右所示．5月，学校花费320元向该商店购得的长管子数量比花200元购得的短管子数量少80根． 1．短管子售价：m元/根，长管子售价：2m元/根 2．6月起，购买3根长管子赠送1根短管子． 3．本店库存数量有限，长管子仅剩267根，短管子仅剩2130根，先到先得! 素材三 6月，学校有活动经费1280元，欲向该商店采购长、短管子各若干根全部用来制作甲、乙雪花模型（材料无剩余），且采购经费恰好用完． 问题解决 任务一 分析雪花模型结构 求制作一个甲、乙款雪花模型分别需要长、短管子多少根？ 任务二 确定采购费用 试求m的值． 任务三 拟定采购方案 求出所有满足条件的采购方案． 【答案】任务一：制作一个甲款雪花模型需要长管子3根，则短管子21根，制作一个乙款雪花模型需要长管子3根，则短管子27根；任务二：；任务三：方案①购买258根长管子，2130根短管子；方案②购买267根长管子，2115根短管子 【分析】本题主要考查了二元一次方程组、分式方程和不等式组的应用，解题的关键是根据等量关系和不等关系列出方程或不等式． 任务一：设制作一个甲款雪花模型需要长管子根，则短管子根，制作一个乙款雪花模型需要长管子根，则短管子根，根据用6根长管子、48根短管子制作了1个甲雪花模型与1个乙雪花模型，列出方程组，解方程组即可； 任务二：根据题意列出关于m的方程，解方程即可； 任务三：设学校中采购了根长管子，根短管子，根据总费用1280元列出方程，得出，根据商店中长管子仅剩267根，短管子仅剩2130根，列出不等式组，求出，根据a必须能被3整除，得出，261，264，267，四种情况分别检验，从而得出购买方案． 【详解】解：任务一：设制作一个甲款雪花模型需要长管子根，则短管子根，制作一个乙款雪花模型需要长管子根，则短管子根， 由题意得： 解得：， 则，， 答：制作一个甲款雪花模型需要长管子3根，则短管子21根，制作一个乙款雪花模型需要长管子3根，则短管子27根； 任务二：5月，学校花费320元向该商店购得的长管子数量比花200元购得的短管子数量少80根， ， 解得：， 经检验是原方程的根； 任务三：设学校中采购了根长管子，根短管子， 由题意得：， 解得：， 根据商店中长管子仅剩267根，短管子仅剩2130根可得： 解得：， 必须能被3整除， ，261，264，267， 设可制作甲模型X个，乙模型Y个， 当时，， 此时， 解得：，； 费用为：（元）， 符合题意； 当时，， 此时， 解得：，； 由于甲、乙模型只能取整数，则有材料剩余，不符合题意，舍去； 当时，， 此时， 解得：，； 由于甲、乙模型只能取整数，则有材料剩余，不符合题意，舍去； 当时，， 此时， 解得：，； 费用为：（元）， 符合题意； 综上所述，有以下两种采购方案： 方案①：采购长管258根，短管2130根； 方案②：采购长管267根，短管2115根． 15．为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量（人/辆） 45 60 租金（元/辆） 1200 1800 (1)参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？ (2)请你设计一种租车方案，要求每位师生都有座位，费用又最省？ 【答案】(1)600人，13辆 (2)租用45座12辆，60座1辆费用最省 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的正整数解问题，解题关键是找到题目中的等量关系． （1）根据题目中等量关系：45座客车的座位数45座客车车辆数总人数，60座客车座位数（45座客车车辆数-3）等于总人数，列方程组求解即可； （2）设租辆45座客车，辆60座客车，刚好师生都有座位，则得，取正整数解，计算相应的费用，并与只租用45座客车和只租用60座客车的费用进行比较即可得出答案． 【详解】（1）解：设参加此次研学活动的师生人数是人，原计划租用辆45座客车， 根据题意，得，解得， 答：参加此次研学活动的师生人数是600人，原计划租用13辆45座客车． （2）解： 设租辆45座客车，辆60座客车，刚好师生都有座位，则 ， 解得整数解为，，， 当时，费用：， 当时，费用：， 当时，费用： ， 由（1）得只租用45座客车，则需要14辆，费用：， 只租用60座客车，则需要10辆，费用：， ， 租用12辆45座客车，1辆60座客车费用最省． 16．代驾已成为人们酒后出行的常见方式，其计价规则如下表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 2元/公里 0.5元/分钟 1元/公里 注：代驾费由里程费，时长费，远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算，时长费按行车的实际时间计算，远途费的收取方式：行车里程7公里以内（含7公里）不收取远途费，超过7公里的，超出部分每公里收取1元． 小王和小张由于酒后出行，各自雇佣代驾，在同一地点约见，已知到达约见地点时他们的行车里程分别是6公里和8公里，两人所付代驾费相同． （1）求这两辆车的实际行车时间相差多少分钟； （2）实际乘车时间较少的人，由于出发时间比另一个人早，所以提前到达约定地点在大厅等候．已知他等候另一人的时间是他自己实际乘车时间的3倍，且比另一人的实际乘车时间多16分钟，计算两人各自的实际乘车时间． 【答案】（1）这两辆车的实际行车时间相差10分钟；（2）小王的实际乘车时间为23分钟，小张的实际乘车时间为13分钟． 【分析】（1）设小王的实际车时间为x分钟，小张的实际行车时间为y分钟，根据两人所付代驾费相同列方程求解即可； （2）根据“等候另一人的时间是他自己实际乘车时间的3倍，且比另一人的实际乘车时间多16分钟”列二元一次方程，将其与（1）中的二元一次方程联立即可求解． 【详解】解：（1）设小王的实际行车时间为x分钟，小张的实际行车时间为y分钟，由题意得： 2×6+0.5x=2×8+0.5y+1×（8-7）， ∴0．5（x-y）=5， ∴x-y=10， ∴这两辆车的实际行车时间相差10分钟； （2）由（1）及题意得： ，解得 ∴小王的实际乘车时间为23分钟，小张的实际乘车时间为13分钟． 【点睛】本题考查了二元一次方程和二元一次方程组在实际问题中的应用，根据等量关系列方程或方程组是解题的关键． 17．“滴滴打车”深受大众欢迎，该打车方式的总费用由里程费和耗时费组成，其中里程费按p元/千米计算，耗时费按q元/分钟计算，小明、小亮两人用该打车方式出行，按上述计价规则，其打车总费用、行驶里程数与车速如表： 时间（分钟） 里程数（千米） 车费（元） 小明 7 5 12.1 小亮 6 4.5 10.8 （1）求p，q的值； （2）“滴滴”推出新政策，在原有付费基础上，当里程数超过8千米后，超出的部分要加收0.6元/千米的里程费．某天，小丽两次使用“滴滴打车”共花费52元，总里程20千米，已知两次“滴滴打车”行驶的平均速度为40千米/小时，求小丽第一次“滴滴打车”的里程数？ 【答案】（1）p=2；q=0.3；（2）7或13． 【分析】（1）利用表格中信息列出方程组即可； （2）不妨设第一次的路程为x千米，有三种可能：分别列出方程即可解决问题． 【详解】解：（1）由题意 ， 解得； （2）不妨设第一次的路程为x千米，有三种可能： ①第一次路程不超过8千米，第二次的路程超过8千米， 2×20+0.3（20÷40）×60+（20-x-8）×0.6=52， 解得x=7； ②第一次路程超过8千米，第二次的路程也超过8千米， 2×20+0.3（20÷40）×60+（x-8）×0.6+（20-x-8）×0.6=52， 不存在； ③第一次路程超过8千米，第二次的路程不超过8千米， 2×20+0.3（20÷40）×60+（x-8）×0.6=52， 解得x=13． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组． 18．2022年山西省重点建设工程项目——静兴高速建成通车．静兴高速起点位于忻州市静乐县，途经吕梁市岚县，终点至吕梁市兴县，线路全长，其中在忻州静乐县境内，吕梁市兴县境内线路比岚县境内线路多．设计最高时速． (1)求静兴高速在吕梁市岚县和兴县境内的线路长度分别是多少？（用二元一次方程组解决） (2)司机小李上午10时36分从静乐县出发，以的速度走静兴高速到吕梁兴县办事，出发30分钟后接到通知，要求他中午12时之前（不包含12时）到达兴县，请你通过计算说明，小李能否在不超过限速的情况下按要求到达吕梁兴县？ 【答案】(1)静兴高速在吕梁市岚县境内的线路长度为，在兴县境内的线路长度为 (2)能，说明见解析 【分析】（1）设静兴高速在吕梁市岚县境内的线路长度为，在兴县境内的线路长度为，根据“静兴高速起点位于忻州市静乐县，途经吕梁市岚县，终点至吕梁市兴县，线路全长，其中在忻州静乐县境内，吕梁市兴县境内线路比岚县境内线路多”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设小李出发30分钟后的速度为，利用路程速度时间，结合要求小李中午12时之前（不包含12时）到达兴县，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，再结合最高时速为，即可得出小李能在不超过限速的情况下按要求到达吕梁兴县． 【详解】（1）解：设静兴高速在吕梁市岚县境内的线路长度为，在兴县境内的线路长度为， 依题意得：， 解得：． 答：静兴高速在吕梁市岚县境内的线路长度为，在兴县境内的线路长度为． （2）解：设小李出发30分钟后的速度为， 依题意得：， 解得：， 又最高时速为， 小李能在不超过限速的情况下按要求到达吕梁兴县． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 19．一批货物要运往某地，货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车，已知过去两次租用这两种货车的运货情况如下表: 第一次 第二次 甲种货车的辆数 2辆 5辆 乙种货车的辆数 3辆 6辆 累计运货重量 14吨 32吨 (1)分别求甲乙两种货车每辆载重多少吨? (2)现租用该公司3辆甲种货车和5辆乙种货车刚好一次运完这批货物，如果按每吨付运费120元计算，货主应付运费多少元? 【答案】（1）甲种货车每辆载重4吨，乙种货车载2吨；（2）货主应付运费2640元. 【分析】（1）两个相等关系：第一次2辆甲种货车载重的吨数+3辆乙种货车载重的吨数=14；第二次5辆甲种货车载重的吨数+6辆乙种货车载重的吨数=32，根据以上两个相等关系，列方程组求解． （2）结合（1）的结果，求出3辆甲种货车和5辆乙种货车一次刚好运完的吨数，再乘以120即得货主应付运费． 【详解】(1)设甲种货车每辆载重x吨，乙种货车每辆载重y吨，则                                              解之，得 所以甲种货车每辆载重4吨，乙种货车载2吨.                 (2)4×3+2×5=22(吨) 22×120=26400元) 所以货主应付运费2640元. 【点睛】利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出2个等量关系，准确的找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键． 20．车厘子，学名“”，又称樱桃，原产于亚洲西南部，距今已有几千年的历史．因其果实鲜美、色泽艳丽、饱满多汁而备受人们喜爱．车厘子是春季的水果佳品，“果甜美”水果店以6750元购进两种不同品种的车厘子．若按标价出售可获毛利润1750元(毛利润=售价-进价)，这两种盒装车厘子的进价、标价如表所示： 价格/品种 品种 品种 进价(元/盒) 标价(元/盒) (1)求“果甜美”水果店各购进这两个品种的车厘子多少盒； (2)因两种品牌的车厘子销售良好，“果甜美”水果店计划再购进这两种品种的车厘子共80盒进行销售，同时由于资金周转问题，该店用于购进两种品种的车厘子的总资金不超过11200元，问如何进货且销售完这批车厘子可以获得的毛利润最大？最大毛利润是多少元？ 【答案】(1)购进品种车厘子盒，品种车厘子盒 (2)购进品种车厘子盒，品种车厘子盒，可以获得的毛利润最大，最大毛利润是元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关系式． （1）设购进品种车厘子盒，品种车厘子盒，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可解得答案； （2）设购进品种车厘子盒，销售完这批车厘子获得的毛利润为元，由用于购进两种品种的车厘子的总资金不超过元，得，解得，而，根据一次函数性质可得答案． 【详解】（1）解：设购进品种车厘子盒，品种车厘子盒， 根据题意得：， 解得， 购进品种车厘子盒，品种车厘子盒； （2）设购进品种车厘子盒，销售完这批车厘子获得的毛利润为元， 用于购进两种品牌的车厘子的总资金不超过元， ， 解得， 根据题意得， ， 随的增大而减小， 当时，取最大值为， 购进品种车厘子盒，品种车厘子盒，可以获得的毛利润最大，最大毛利润是元． 21．某电器超市销售每台进价为元、元的两种型号的电暖器，下表是月份前两周的销售情况：（进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本） 销售时段 销售数量（台） 销售收入（元） 种型号 种型号 第一周 第二周 (1)求两种型号的电暖器的销售单价 (2)这两周该超市销售这两种型号的电暖气共获得利润是多少？ 【答案】(1)型号的电暖器的销售单价元，型号的电暖器的销售单价为元； (2)这两周该超市销售这两种型号的电暖气共获得利润元． 【分析】本题考查了解二元一次方程组以及利润的问题，解题的关键在于正确列出方程组． （1）根据题目要求设方程组求解即可； （2）根据利润的公式，利润单个利润销售数量即可作答． 【详解】（1）设型号的电暖器的销售单价为元，型号的电暖器的销售单价为元． 根据题意得： 解得： 答：型号的电暖器的销售单价元，型号的电暖器的销售单价为元． （2） （元） 答：这两周该超市销售这两种型号的电暖气共获得利润元． 22．某展览中心新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示、已知每层长米，宽米．阴影部分设计为停车位，地面需要喷漆，其余部分是等宽的通道，已知每层的喷漆面积为平方米． (1)求通道的宽是多少米； (2)据调查分析，停车楼剩余个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为元时，可全部租出；每个车位的月租金每上涨元，就会少租出个车位．当每个车位的月租金上涨多少元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为元？ 【答案】(1)通道的宽是米 (2)当每个车位的月租金上涨元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）设通道的宽是米，根据题意列出方程，解出的值即可解答； （2）设每个车位的月租金上涨元，根据题意列出方程，解出的值，结合优惠大众选择较小的的值即可解答． 【详解】（1）解：设通道的宽是x米， 根据题意，得， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：通道的宽是米； （2）设每个车位月租金上涨元， 根据题意，得：， 解得，， ∵租金需要优惠大众， ∴， 答：当每个车位的月租金上涨元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为元． 23．某市正大力发展绿色农产品，有一种有机水果特别受欢迎，某超市以市场价格元/千克在该市收购了千克该水果，立即将其冷藏，请根据下列信息解决问题： ①该水果的市场价格每天每千克上涨元； ②平均每天有千克的该水果损坏，不能出售； ③每天的冷藏费用为元； ④该水果最多保存天． (1)若将这批水果存放天后一次性出售，则天后这批水果的销售单价为_元；可以出售的完好水果还有_千克； (2)将这批水果存放多少天后一次性出售所得利润为元？ 【答案】(1)， (2)天 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，关键是根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解； （1）由销售单价=成本单价+每千克上涨价格；完好水果的质量=总质量-损坏的水果的质量可得出结论； （2）按照等量关系“利润=销售总金额-收购成本-各种费用”列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵价格每天每千克上涨元， ∴天之后销售单价为：元； 完好的水果还有：千克. （2）解：， 整理得：， 解得：（舍）， 答：存放天后一次性出售所得利润为元. 24．某商场在今年国庆期间进行促销活动，商品每件进价120元，国庆前售价为每件200元． (1)国庆期间经过两次降价后，售价为每件162元，求国庆期间商场对商品平均每次降价的百分率是多少？ (2)国庆节过后，该商场商品再次降价销售，已知售价降为每件150元时，每天可售出10件，经市场调研发现，商品售价每降低1元，每天可以多卖出2件．商场某天销售商品想要获利500元，同时为了尽快将库存全部清仓，则这天该商场商品每件售价应定为多少元？ 【答案】(1)商场对商品平均每次降价的百分率为． (2)130元． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意、找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设商场对商品平均每次降价的百分率为x，再根据题意列出一元二次方程求解即可； （2）设这天商场在每件150元的基础上降价y元，根据“商场某天销售商品共获利500元”列出一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设商场对商品平均每次降价的百分率为x， 由题意得：， 解得：，（舍去）． 答：商场对商品平均每次降价的百分率为． （2）解：设这天商场在每件150元的基础上降价y元， 由题意得：，解得：， ∵为了尽快销售完这批商品， ∴． （元） 答：这天商场对A商品售价为130元． 25．如图所示，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于B点、A点，点P从点B开始沿边向终点A以1厘米/秒的速度移动；点Q从点A开始沿边向终点O以1厘米/秒的速度移动．若点P，Q同时出发，运动时间为t秒． (1)当时， ①P点的坐标________（用b来表示） ②当为直角三角形时，求b的值； (2)当的面积为8平方厘米时，求b与t的数量关系，并求出b的最小值． 【答案】(1)①  ②或 或 (2)关系式为或，的最小值为 【分析】（1）①当 时，根据点和点的与运动可分别求出和的长，过点作垂直轴于点，则根据比例可求出和的长，进而可得到的长，即可得出点的坐标； ②根据点和点的运动可表示出，然后分和是直角两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可； （2）过点作于，利用的正弦求出，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可. 【详解】（1）①∵直线与轴，轴分别交于点、点， ∴， ， ∴， 当时，由点和点的运动可知，， 如图，过点作轴于点D，则， ，即， ， ， ∴； 故答案为： ②由上可知，,若是直角三角形，则有下面两种情况： 当是直角时，， 若点未到达点，则 ，即 ， 解得 ； 若点到达点，则 ，即， 解得； ②当是直角时，， ，即， 解得 ； 综上所述，当为直角三角形时，的值为或 或 ； （2）如图, 过点作于点, 则 ， ①当点未到达点时，的面积 整理得： ， 方程有解，则，解得 ②当点到达点时，的面积，此时， 整理得 则 ， ， ， 综上可知，当的面积为 时, 与的关系式为或，的最小值为 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、三角形的面积以及一元二次方程的应用能力，根据对应边成比例两相似三角形的判定分类讨论是解题的关键. 26．如图，在四边形中，，，，，，动点P从点D开始沿边匀速运动，动点从点A开始沿边匀速运动，它们的运动速度均为．点P和点Q同时出发，设运动的时间为，， (1)用含t的代数式表示； (2)当以点A，P，Q为顶点的三角形与相似时，求t的值； (3)是否存在t的值使得的面积是面积的，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）过点作于点，先证出四边形是矩形，根据矩形的性质可得，，再证出垂直平分，从而可得，然后根据即可得； （2）分两种情况：①和②，利用相似三角形的性质求解即可得； （3）先求出，再过点作于点，证出，根据相似三角形的性质可得，然后利用三角形的面积公式建立方程，利用一元二次方程根的判别式即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， ，，，， 四边形是矩形， ，， ， ， 垂直平分， ， 由题意得：， ． （2）解：由题意得：， ①当时， 则，即， 解得； ②当时， 则，即， 解得， 综上，的值为或． （3）解：的面积为， 的面积是面积的， ， 如图，过点作于点， ， ， ，即， 解得， ，即， 这个方程根的判别式为，没有实数根， 所以不存在的值使得的面积是面积的． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、一元二次方程根的判别式等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 27．我国古代著作《管子·地员篇》中介绍了一种用数学运算获得“宫商角徵羽”五音的方法．研究发现，当琴弦的长度比满足一定关系时，就可以弹奏出不同的乐音．例如，三根弦按长度从长到短排列分别奏出乐音“”，需满足相邻弦长的倒数差相等．若最长弦为个单位长，最短弦为个单位长，求中间弦的长度． 【答案】 【分析】本题考查了分式的运用，理解题意中的数量关系，设中间弦长为，列式求解即可，掌握分式的运用是解题的关键． 【详解】解：根据相邻弦长的倒数差相等，设中间弦的长度为， ∴， 解得，， 检验，当时，原式有意义， ∴中间弦的长度为 ． 28．某超市用3000元购进某种干货销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购入该干货，但这次的进价比第一次的进价提高了20%，购进干货数量是第一次的2倍还多150千克，如果超市按每千克15元的价格出售，当大部分干货售出后，余下的100千克按售价的8折售完． (1)该干货的第一次进价是每千克多少元？ (2)超市销售这种干货共盈利多少元？ 【答案】(1)该干货的第一次进价是每千克10元 (2)共盈利3450元 【分析】本题考查了分式方程的应用；解题的关键是找到数量关系，正确列出方程． （1）设该干货的第一次进价是每千克x元，则第二次进价是每千克元，根据数量关系列出分式方程即可，最后要检验； （2）求出第一次购进数量，则可求出第二次购进数量，从而由收入减去成本即得利润． 【详解】（1）解：设该干货的第一次进价是每千克x元，则第二次进价是每千克元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意； 答：该干货的第一次进价是每千克10元； （2）解：第一次购进的数量为：（千克）， 第二次购进的数量为：（千克）， 则盈利为：（元）． 答：超市销售完这种干货共盈利元． 29．小轩用计算机设计了一个程序运算框图，规定：“输入一个实数x”到“结果是否大于31”为一次操作． (1)若操作只进行一次就停止了，求x的取值范围； (2)若操作进行了两次才停止，求x的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用，关键是通过给出的操作过程来列一元一次不等式并求出对应的解． （1）根据题意可列不等式，解得的取值范围即可， （2）根据题意可得，第二次停止，则可得不等式组，解得的取值范围即可． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得：． 故操作只进行一次就停止时，的取值范围是； （2）解：前两次操作的结果分别为，． 由题意，得， 解得：． 故操作进行了两次才停止时，的取值范围是． 30．（，为常数，且），我们称这种运算得到的结果是美丽数，记为，其中，叫做美丽数对．当，均为正整数时，我们称为正态美丽数，这时的，叫做正态美丽数的正态数对． (1)根据以上理解填空，若，则_______，________； (2)已知． ①求，的值； ②若是正态美丽数，求满足的正态数对有多少个？ 【答案】(1)13，6 (2)①②217 【分析】本题主要考查了新定义运算、有理数混合运算、二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用等知识，正确理解新定义“美丽数”、“正态美丽数”、“正态数对”是解题关键． （1）根据“美丽数”的定义求解即可； （2）①根据“美丽数”的定义，得到关于，的二元一次方程组，求解即可获得答案；②首先根据题意得到关于的一元一次不等式组，求解确定的取值范围，然后根据“正态数对”的定义，即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意，， ∴， ． 故答案为：13，6； （2）解：①∵， ∴可有，解得； ②∵， 若满足， 则有， 解得， 又∵，均为正整数， ∴满足条件的正整数有227，228，…，443，共计217个， ∴满足的正态数对有217个． 31．对于点M，N，给出如下定义：在直线上，若存在点P，使得，则称点P是“点M到点N的k倍分点”． 例如：如图，点，，在同一条直线上，，，则点是点到点的倍分点，点是点到点的3倍分点． 已知：在数轴上，点A，B，C分别表示，，2． (1)点B是点A到点C的________倍分点，点C是点B到点A的_________倍分点； (2)点B到点C的3倍分点表示的数是________； (3)点D表示的数是x，线段上存在点A到点D的4倍分点，写出x的取值范围． 【答案】(1)， (2)1或4 (3) 【分析】本题考查的是数轴、两点间的距离等有关内容，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点． （1）通过计算 ， 的值，利用题干中的定义解答即可； （2）设这点为E，对应的数字为a，则；利用数形结合的思想方法，进行分类讨论，分别列出方程求解即可； （3）设线段上存在一点F是点A到点D的4倍分点，点F对应的数字为y，则，然后列不等式求解x的取值范围． 【详解】（1）解：∵点A，B，C分别表示， ∴，，． ， ∴点B是点A到点C的倍分点， ， ∴点C是点B到点A的倍分点． 故答案为：，； （2）设这点为E，对应的数字为a，则，，； 若点E在点B的左侧，明显不符合题意； 若点E在B，C之间，则， 解得：． 若点E在C点的右侧，则， 解得：． 综上，点B到点C的3倍分点表示的数是1或4． 故答案为：1或4． （3）设线段上存在一点F是点A到点D的4倍分点，点F对应的数字为，则， ， ， 若，则， 解得：， 从而， 解得：； 若，则，解得：， 从而，解得：； 综上，x的取值范围为：． 32．某公司举行周年庆典，决定订购一批印有公司logo的记事本赠送给客户，购买甲种记事本共花费3000元，购买乙种记事本共花费2100元，购买甲种记事本的数量是购买乙种记事本数量的2倍，且购买一个乙种记事本比购买一个甲种记事本多花20元． (1)求购买一个甲种记事本，一个乙种记事本各需多少元？ (2)由于公司业务的扩大，公司决定再次购买甲、乙两种记事本共40个，且乙种记事本不少于23个，预算金额不超过2400元，购买时恰逢该店对两种记事本的售价进行调整，甲种记事本售价比第一次购买时提高了10%，乙种记事本售价比第一次购买时降低了10%，请问该公司有哪几种方案购买这批记事本？ 【答案】(1)购买一个甲种记事本需要50元，购买一个乙种记事本需要70元； (2)该公司有三种购买方案：①购进甲种记事本17个，乙种记事本23个；②购进甲种记事本16个，乙种记事本24个；③购进甲种记事本15个，乙种记事本25个． 【分析】本题考查了分式方程的应用，不等式组的应用，根据题意正确解方程，不等式组是解题的关键． （1）设购买一个甲种记事本需要x元，则购买一个乙种记事本需要元，根据题意列出方程计算即可． （2）设该公司购进乙种记事本m个，则购进甲种记事本个，根据题意列出不等式组计算即可． 【详解】（1）设购买一个甲种记事本需要x元，则购买一个乙种记事本需要元， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴． 答：购买一个甲种记事本需要50元，购买一个乙种记事本需要70元． （2）设该公司购进乙种记事本m个，则购进甲种记事本个， 依题意，得：， 解得：． 又∵m为正整数， ∴， ∴该公司有三种购买方案：①购进甲种记事本17个，乙种记事本23个；②购进甲种记事本16个，乙种记事本24个；③购进甲种记事本15个，乙种记事本25个． 学科网（北京）股份有限公司 $专题03方程与不等式实际应用 考点目录： 1.一次方程（组）的应用：典型问题如行程问题、工程问题、配套问题、利润问题等。 2.一元二次方程的应用：增长率问题、面积问题、单/双循环赛制问题。 3.不等式的应用：结合方程考查方案设计问题（如购买方案、运输方案等）。 一、解答题 1.如图，数轴上点A表示的数为-7，点B表示的数为16，点O为原点，动点M,N分别从点O,点B同 时出发，都沿数轴向左运动，点M运动的速度是每秒1个单位长度，点N运动的速度是每秒3个单位长 度，当点N运动到点A时，点M,N同时停止运动，设运动时间为t秒 0 B -7 0 16 (1)在点M、N整个运动过程中，点M表示的数为一，点N表示的数为一：（用含的代数式表 示) (2)若点M位于点A右侧，且AW=5AM,求运动时间t的值： 3)在点M、N整个运动过程中，当4N+4AM=2时，求运动时间，的值. 2.某工厂用如图①所示的长方形和正方形纸板做成如图②所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒 竖式纸盒横式纸盒 图① 图② (1)现有长方形纸板340张，正方形纸板160张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完，求能做成的两种 纸盒的个数； (2)工厂共有78名工人，每名工人一天能生产70张长方形纸板或100张正方形纸板，已知一个竖式纸盒 与一个横式纸盒配套.如何分配工人，才能使一天生产的竖式纸盒与横式纸盒配套？ 3.制作一个桌子要用1个桌面和4条桌腿，1m 6m3 木料可制作15个桌面，或者制作300条桌腿，现有木 料，应如何计划使用木料才能制作尽可能多的课桌？ 4.某车间有22名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉12个或螺母20个，一个螺钉要配两个螺 母，要求使每天生产的产品刚好配套 (1)如果车间主任安排8人生产螺钉，其它人生产螺母，请你计算这样的安排是否符合要求？ (2)如果你是车间主任，请你用列方程的办法计算出分配多少名工人生产螺钉，多少名工人生产螺母才 能符合要求？ 5.应用题 1m2 (1)一个儿童玩具由2个A部件和3个B部件构成.己知用一的木料可做20个A部件或者50个B部件. 8m3 现有的木料做这种儿童玩具，应用多少木料做A部件，多少木料做B部件，恰好配成这种儿童玩具 多少个？ (2)根据有关规定：个人发表文章或出版图书所获得的稿费超过一定范围，必须按要求上缴一定的税费， 具体上缴税费的计算方法如下表： 获得的稿费情况 上缴税费情况 1.获得稿费不高于800元 不需要上缴税费 2.获得稿费高于800元，但低于4000元 应上缴超过800元的那部分稿费的14%的税费 3.获得稿费高于4000元（含4000元) 应上缴全部稿费的11%的税费 ①若某人获得的稿费为2400元，则应上缴税费_元： ②若某人获得的稿费为4000元，则应上缴税费元： ③若某人获得稿费后上缴税费420元，求这笔稿费是多少元？ 6.某健身广场由6个正方形拼成一个长方形（如图），已知中间最小的正方形A的边长是1米，请按要求 回答下列问题： P 夕 E M (1)若设图中最大正方形B的边长是x米，请用含x的代数式分别表示出正方形F、E和C的边长： 2观察图形的特点可知，长方形相对的两边是相等的（如图中的MN和），请根据这个等量关系， 求出x的值及广场（矩形POMN)的面积： (3)现沿着长方形广场的四条边铺设下水管道，由甲、乙2个工程队单独铺设分别需要10天、15天完成. 如果两队从同一点开始，沿相反的方向同时施工2天后，因甲队另有任务，余下的工程由乙队单独施 工，试问还需要多少天完成？ 7.某大学宿舍建完之后，需要做内墙粉刷装饰，现有甲乙两个工程队都想承包这项工程，已知甲工程队 每天能粉刷80个房间，乙工程队每天能粉刷120个房间，且单独粉刷这些墙面甲工程队比乙工程队要 多用20天，在粉刷的过程中，该开发商要付甲工程队每天费用800元，付乙工程队每天费用1300元. (1)求这所大学宿舍有多少间房间？ (2)为了尽快完成这项工程，若先由甲乙两个工程队按原粉刷速度合作一段时间后，甲工程队停工了， 而乙工程队每天的粉刷速度提高了25%，乙工程队单独完成剩余部分，且乙工程队的全部工作时间是 甲工程队的工作时间的2倍还多4天.求乙工程队共粉刷多少天？ (3)经研究制定如下方案： 方案一：由甲工程队单独完成 方案二：由乙工程队单独完成 方案三：按(2)问方式完成 请你通过计算帮校方选择一种省钱的粉刷方案。 8.某公司要生产若干件新产品，需要精加工后，才能投放市场.现在甲、乙两个加工厂都想加工这批产 品，已知甲工厂单独加工这批产品比乙工厂单独加工这批产品多用20天，甲工厂每天可加工16件产品， 乙工厂每天可加工24件产品 (1)求这个公司要加工新产品的件数. (2)在加工过程中，公司需支付甲工厂每天加工费80元，乙工厂每天加工费120元.公司还需另派一名 工程师每天到厂家进行技术指导，并负担每天5元的午餐补助费.公司制定产品加工方案如下：可由 一个工厂单独加工完成，也可由两个工厂合作同时完成.当两个工厂合作时，这名工程师轮流去这两 个工厂.请你通过计算帮助公司从所有可供选择的方案中选择一种既省钱，又省时间的加工方案. 9.春节前夕，某商场从厂家购进了甲、乙两种商品，乙种商品的每件进价比甲种商品的每件进价高20元 若购进甲种商品10件，乙种商品2件，需要1000元. (1)求甲、乙两种商品的每件进价分别是多少元？ (2)若甲种商品按标价出售，则每件可获利40元，为了促销，现对甲种商品在标价基础上打折出售，若 按此促销方案售出6件所能获得的利润，与按标价每件降价35元出售12件所获得利润一样，求甲种商 品打了几折出售？ 10.某商场出售的甲种商品每件售价80元，利润为30元：乙种商品每件进价40元，售价60元. 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过380元 不优惠 超过380元，但不超过500元 按售价打九折 超过500元 按售价打八折 (1)甲种商品每件进价为 元，每件乙种商品的利润率为 (2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2100元，问购进甲种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场只对甲、乙两种商品进行如下的优惠促销活动： 按上述优惠条件，若小红第一天只购买甲种商品，实际付款360元，第二天只购买乙种商品，实际付 款432元，问：小红这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？ 11.2023年冬季已经到来，哈市某商店计划购进一批冰雪吉祥物“冰敦敦”，生产厂家定价为每个“冰敦 敦”40元，由于临近冰雪节，生产厂家进行促销活动，商店以八折的价格购进，结果比计划多购进了 30个“冰敦敦”. (1)该商店购进这批“冰敦敦”共花费多少元？ (2)该商店将每个“冰敦敦”在进价的基础上提高50%进行销售.由于“冰敦敦”深受人们的喜欢，所 以很快售完.商店以同样的进价又购进了300个“冰敦敦”，并以同样的售价进行销售，快到春节了， 商店还有第二次购进的30%的“冰敦敦”没卖出去，求此时商店获利多少元： (3)在(2)的条件下，春节过后商店将剩下的“冰敦敦”以售价的五折进行降价处理，那么商店将两 次购进的“冰敦敦”全部销售完后共获利多少元？ 12.A、B两地相距240千米. (1)甲以60千米/小时的速度从A地前往B地，乙以80千米/小时的速度从B地前往A地.若甲先出发 2小时，乙再出发，求乙出发后多少小时后甲乙相遇？ (2)“要致富，先修路”，当地政府为解决交通问题，决定在A、B两地间新修一高速公路，经调研可知， 3 高速公路修成后，从A地前往B地的平均速度可提高25%，时间可比原来缩短小时，求原来从A地 前往B地的平均速度是多少？ 13.A,B两地相距420千米，一慢车从A地出发，每小时走60千米，一快车从B地出发，每小时走90千 米。 (1)两车同时出发，相向而行，几小时后相遇？ (2)两车同时出发，相背而行，几小时后相距560千米？ (3)慢车出发1小时后快车从B地出发，同向而行，请问快车出发几小时后追上慢车？ 14.根据素材，完成任务 如何设计雪花模型材料采购方案？ 学校组织同学参与甲、乙两款雪花模型的制作.每款雪花模型都需要用到长、短 素 两种管子材料.某同学用6根长管子、48根短管子制作了1个甲雪花模型与1个 材 乙雪花模型.已知制作一个甲、乙款雪花模型需要的长、短管子数分别为1：7与 1:9. 1.短管子售价：m元/根，长 管子售价：2m元/根 素 某商店的店内广告牌如右所示.5月，学校花费 2.6月起，购买3根长管子赠 材 320元向该商店购得的长管子数量比花200元购 送1根短管子. 二 得的短管子数量少80根. 3.本店库存数量有限，长管子 仅剩267根，短管子仅剩2130 根，先到先得！ 素 6月，学校有活动经费1280元，欲向该商店采购长、短管子各若干根全部用来制 材 作甲、乙雪花模型（材料无剩余），且采购经费恰好用完 三 问题解决 任 求制作一个甲、乙款雪花模型 务 分析雪花模型结构 分别需要长、短管子多少根？ 一 任 务 确定采购费用 试求m的值. 二 任 求出所有满足条件的采购方 务 拟定采购方案 案。 15.为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没 有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满.现有甲、乙两种客车， 它们的载客量和租金如下表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量（人/辆） 45 60 租金（元/辆） 1200 1800 (1)参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？ (2)请你设计一种租车方案，要求每位师生都有座位，费用又最省？ 16.代驾已成为人们酒后出行的常见方式，其计价规则如下表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 2元/公里 0.5元/分钟 1元/公里 注：代驾费由里程费，时长费，远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算，时长 费按行车的实际时间计算，远途费的收取方式：行车里程7公里以内（含7公里）不收取远途 费，超过7公里的，超出部分每公里收取1元 小王和小张由于酒后出行，各自雇佣代驾，在同一地点约见，己知到达约见地点时他们的行车里程分 别是6公里和8公里，两人所付代驾费相同， (1)求这两辆车的实际行车时间相差多少分钟： (2)实际乘车时间较少的人，由于出发时间比另一个人早，所以提前到达约定地点在大厅等候.已 知他等候另一人的时间是他自己实际乘车时间的3倍，且比另一人的实际乘车时间多16分钟，计算两 人各自的实际乘车时间. 17.“滴滴打车”深受大众欢迎，该打车方式的总费用由里程费和耗时费组成，其中里程费按p元/千米计 算，耗时费按9元/分钟计算，小明、小亮两人用该打车方式出行，按上述计价规则，其打车总费用、 行驶里程数与车速如表： 时间（分钟） 里程数（千米） 车费（元） 小 > 5 12.1 明 小 6 4.5 10.8 亮 (1)求p,9的值： (2)“滴滴”推出新政策，在原有付费基础上，当里程数超过8千米后，超出的部分要加收0.6元/ 千米的里程费.某天，小丽两次使用“滴滴打车”共花费52元，总里程20千米，已知两次“滴滴打 车”行驶的平均速度为40千米/小时，求小丽第一次“滴滴打车”的里程数？ 18.2022年山西省重点建设工程项目一一静兴高速建成通车.静兴高速起点位于忻州市静乐县，途经吕梁 市岚县，终点至吕梁市兴县，线路全长93m,其中在忻州静乐县境内1Okm,吕梁市兴县境内线路比 岚县境内线路多11km.设计最高时速8Okm/h, (1)求静兴高速在吕梁市岚县和兴县境内的线路长度分别是多少k？(用二元一次方程组解决) (2)司机小李上午10时36分从静乐县出发，以60kmh的速度走静兴高速到吕梁兴县办事，出发30分 钟后接到通知，要求他中午12时之前（不包含12时）到达兴县，请你通过计算说明，小李能否在不 超过限速的情况下按要求到达吕梁兴县？ 19.一批货物要运往某地，货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车，已知过去两次租用这两种货车 的运货情况如下表： 第一次 第二次 甲种货车的辆 2辆 5辆 数 乙种货车的辆 3辆 6辆 数 累计运货重量 14吨 32吨 (1)分别求甲乙两种货车每辆载重多少吨？ (2)现租用该公司3辆甲种货车和5辆乙种货车刚好一次运完这批货物，如果按每吨付运费120元计 算，货主应付运费多少元？ Cerasuspseudocerasus 20.车厘子，学名“ ”,又称樱桃，原产于亚洲西南部，距今已有几千年的历史. 因其果实鲜美、色泽艳丽、饱满多汁而备受人们喜爱.车厘子是春季的水果佳品，“果甜美”水果店 以6750元购进两种不同品种的车厘子.若按标价出售可获毛利润1750元（毛利润=售价-进价），这两种 盒装车厘子的进价、标价如表所示： 价格/品种 A品种 B品种 进价（元/盒） 125 150 标价（元/盒） 150 200 (1)求“果甜美”水果店各购进这两个品种的车厘子多少盒： (2)因两种品牌的车厘子销售良好，“果甜美”水果店计划再购进这两种品种的车厘子共80盒进行销 售，同时由于资金周转问题，该店用于购进两种品种的车厘子的总资金不超过11200元，问如何进货 且销售完这批车厘子可以获得的毛利润最大？最大毛利润是多少元？ 80200 A,B 21.某电器超市销售每台进价为元、 °元的 两种型号的电暖器，下表是月份前两周的销售情况： (进价、售价均保持不变，利润=销售收入·进货成本) 销售数量 销售 (台) 销售收入 时段 A种 B种 (元) 型号 型号 第 8 个 2900 周 第二 10 3400 周 A,B (1)求两种型号的电暖器的销售单价 (2)这两周该超市销售这两种型号的电暖气共获得利润是多少？ 22.某展览中心新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示、已知每层长60米，宽45米.阴影部分设计 为停车位，地面需要喷漆，其余部分是等宽的通道，已知每层的喷漆面积为1944平方米. 60米 45米 (1)求通道的宽是多少米 (2)据调查分析，停车楼剩余72个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为300元时，可全部租出： 每个车位的月租金每上涨0元，就会少租出1个车位.当每个车位的月租金上涨多少元时，既能优惠 大众，又能使对外开放的月租金收入为22400元？ 23.某市正大力发展绿色农产品，有一种有机水果特别受欢迎，某超市以市场价格10元/千克在该市收购 了5000千克该水果，立即将其冷藏，请根据下列信息解决问题： ①该水果的市场价格每天每千克上涨01元： ②平均每天有10千克的该水果损坏，不能出售： ③每天的冷藏费用为200元： ④该水果最多保存120天. (1)若将这批水果存放x天后一次性出售，则x天后这批水果的销售单价为_元；可以出售的完好水果还 有_千克： (2)将这批水果存放多少天后一次性出售所得利润为9100元？ 24.某商场在今年国庆期间进行促销活动，A商品每件进价120元，国庆前售价为每件200元. (1)国庆期间经过两次降价后，售价为每件162元，求国庆期间商场对A商品平均每次降价的百分率是 多少？ (2)国庆节过后，该商场A商品再次降价销售，已知售价降为每件150元时，每天可售出10件，经市 场调研发现，A商品售价每降低1元，每天可以多卖出2件.商场某天销售A商品想要获利500元， 同时为了尽快将库存全部清仓，则这天该商场A商品每件售价应定为多少元？ 25.如图所示，在平面直角坐标系中，直线4B:y=-x+3b>0)与x轴，y轴分别交于B点、A点，点 3 P从点B开始沿BA边向终点A以1厘米/秒的速度移动；点Q从点A开始沿AO边向终点O以1厘米/ 秒的速度移动.若点P,Q同时出发，运动时间为t秒. B (1)当t=5s时， ①P点的坐标 (用b来表示) ②当△1O为直角三角形时，求b的值： △AP9 (2)当 的面积为8平方厘米时，求b与1的数量关系，并求出b的最小值. 26.如图，在四边形1BCD, AB∥DCCB⊥ABAB=16cmBC=6cmCD=8cm 中， ,动点P从点D 开始沿D1边匀速运动，动点°从点4开始沿1B边匀速运动，它们的运动速度均为20 2cm/s .点P和点 Q同时出发，设运动的时间为 s)0<t<5 (1)用含t的代数式表示AP: (2)当以点A,P,Q为顶点的三角形与△ABD相似时，求t的值； (3)是否存在1的值使得△APQ的面积是△ABD面积的3，若存在，求出1的值；若不存在，请说明理 由 27.我国古代著作《管子地员篇》中介绍了一种用数学运算获得“宫商角徵羽”五音的方法.研究发现， 当琴弦的长度比满足一定关系时，就可以弹奏出不同的乐音.例如，三根弦按长度从长到短排列分别 奏出乐音“do,m,s0”,，需满足相邻弦长的倒数差相等.若最长弦为15个单位长，最短弦为10个单 位长，求中间弦的长度， 28.某超市用3000元购进某种干货销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购入该干货，但这 次的进价比第一次的进价提高了20%，购进干货数量是第一次的2倍还多150千克，如果超市按每千 克15元的价格出售，当大部分干货售出后，余下的100千克按售价的8折售完. (1)该干货的第一次进价是每千克多少元？ (2)超市销售这种干货共盈利多少元？ 29.小轩用计算机设计了一个程序运算框图，规定：“输入一个实数x”到“结果是否大于31”为一次操作. 否 是 输入x ×2 停止 (1)若操作只进行一次就停止了，求x的取值范围： (2)若操作进行了两次才停止，求x的取值范围. 30. Ma,)=ma+b(“,b为常数，且a≠0，b≠0)，我们称这种运算得到的结果是美丽数，记为 M(a,b),其中a,b叫做美丽数对.当a,b均为正整数时，我们称M(a,b)为正态美丽数，这时的a, b叫做正态美丽数的正态数对 (1)根据以上理解填空，若M(a,b)=2a+3b,则M(2,3)=,