专题01 数与式计算规范及方程求解 2026年中考数学二轮重难点突破安徽专用

专题02 规律发现与几何初步 考点目录： 1． 图形/数字规律探究：根据给定的点阵、图形拼接、数字序列等，探究第n个图形的数量关系，并用代数式表示。 2． 简单的几何作图与计算： 网格作图：在正方形网格中，进行图形的平移、对称、旋转（中心对称）作图，或利用网格求三角函数值、证明线段关系。 尺规作图：作已知角的平分线、线段的垂直平分线等基本作图，并说明作图依据或进行简单推理。 一、解答题 1．对于两个无理数，如果它们的和等于它们的积，那么我们称这两个无理数互为“友好无理数”．请根据条件填空： (1)的“友好无理数”是_． (2)请写出一组符号不同且互为有理化因式的“友好无理数”，它们可以是_和_． (3)将一组无理数从左到右排列，第一个数记作，第二个数记作，第三个数记作，第个数记作．即．已知，且这个数中，每相邻两个数都是“友好无理数”． ①如果，且，那么的值为_； ②如果，那么的值为_． 【答案】(1) (2)和或和（答案不唯一） (3)①；② 【分析】本题主要考查定义新运算，二次根式的混合运算，理解“友好无理数”的概念及计算，掌握二次根式的混合运算法则是关键． （1）设的“友好无理数”是，根据“友好无理数”的定义列式求解即可； （2）设一组符号不同且互为有理化因式的“友好无理数”分别为，结合题意列式得到，由此代入计算验证即可； （3）①根据计算得到，由此代入计算即可； ②根据题意得到，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：设的“友好无理数”是， ∴， 解得，， 故答案为：； （2）解：设一组符号不同且互为有理化因式的“友好无理数”分别为， ∴， ∴，则， ∴， ， ∵是无理数，即， ∴， 令，则，符合题意； 令，则，符合题意； 故答案为：和或和（答案不唯一）； （3）解：①将一组无理数从左到右排列，第一个数记作，第二个数记作，第三个数记作，第个数记作．即．已知，且这个数中，每相邻两个数都是“友好无理数”， ∴，，，， ∴，，，， ∵， ∴， 整理得，， 解得，， 当时，； 当时，； ∵， ∴； ②根据上述计算，， 变形得，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，， ∴． 2．请你观察下列式子的特点，并直接写出结果： （1）__________； （2）__________； （3）__________； 根据你的阅读回答下列问题： （4）请根据上面式子的规律填空： ____________________（为正整数）； （5）请直接写出下列式子的结果 ____________． 【答案】（1），（2），（3）；（4），；（5）或． 【分析】本题考查了数字类规律的探索，此类规律探究问题一定要结合式子特点和数的规律进行探究，类比，一般要根据规律进行变形，往往会消去部分中间项，实现简化运算目的. （1）（2）（3）（4）计算题目中结果，并根据计算过程和结果，总结得到一般规律，作出猜想，并对猜想进行计算，即可进行证明；（5）根据规律进行变形，往往会消去部分中间项，实现简化运算. 【详解】（1）； （2）； （3）； （4） 证明： ∵为正整数， ∴ ∴. （5） 故答案为（1），（2），（3）；（4），；（5）或． 3．如图，数轴上点表示的数是，是数轴上一动点． (1)在数轴上，把点向左平移4个单位长度得到点，求点表示的数； (2)在（1）的条件下，若点表示的数是所表示数的相反数，求点表示的数； (3)在（2）的条件下，若点从点向点以每秒3个单位长度运动，到达点后又向运动，到达后再向运动，如此往复运动．问当点运动2026秒时，点与点的位置有什么关系？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)在点的左侧，理由见解析 【分析】本题考查了实数与数轴，实数的大小比较，实数的加减运算，数形结合是解题的关键． （1）根据数轴上两点距离即可求解； （2）根据相反数的定义即可求解； （3）根据题意，得出运动 2026秒时，在点左侧 2 个单位长度，即表示的数为，进而判断所表示的数的大小，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵数轴上点表示的数是，把点向左平移 4 个单位长度得到点， ∴B点表示的数为； （2）解：∵C点表示的数是所表示数的相反数， ∴C点表示的数为； （3）解：， ， ∴P运动 2026秒时，在点左侧个单位长度，即表示的数为． 因为表示的数是， ， ， ，即， ∴ P在点的左侧． 4．观察个位上的数字是5的两位数的平方（任意一个个位数字为5的两位数可用代数式来表示，其中，n为正整数），会发现一些有趣的规律．请你仔细观察，探索其规律． 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：；… (1)写出第5个等式：________________； (2)用含n的等式表示你的猜想，并证明； (3)请用（2）中的规律计算：． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题主要考查数字的变化规律、含乘方的有理数的混合运算、平方差公式、完全平方公式等知识点，通过观察所给的式子、找到式子规律是解题的关键． （1）通过观察可得第5个式子； （2）通过观察可得第n个式子，根据完全平分公式进行换算即可证明； （3）利用规律逆向计算，再利用平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：第5个等式为：， 故答案为：． （2）解：猜想用含n的等式表示为：， 证明： ． 所以． （3）解： ． 故答案为：． 5．阅读下列材料：小明为了计算的值，采用以下方法： 设① 则② ②-①得， 请仿照小明的方法解决以下问题： (1)_； (2)_； (3)求的和（，n是正整数，请写出计算过程）． 【答案】(1) (2) (3)当时，；当时，；见解析 【分析】此题考查代数式的规律计算，能正确理解已知的代数式的运算规律是难点，依据规律对于每个式子变形计算是关键． （1）设式子等于S，将方程两边都乘以2后进行计算即可； （2）设式子等于S，将方程两边都乘以3，再将两个方程相减化简后得到答案； （3）设式子等于S，将方程两边都乘以a后进行计算即可. 【详解】（1）解：令，  则， 得，， 解得：． （2）解：令，则， 得，， 解得：． （3）解：当时，； 当时，令，则， 得，， ∴． 综上所述：当时，； 当时，． 6．“杨辉三角”是中国古代数学重要的成就之一，最早出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和，如图1． (1)求图1中第8行第5个数是__________； (2)求图1中前100行所有的数字之和； (3)“杨辉三角”的应用很广泛，例如“堆垛术”，图2中的立体图形是由若干形状、大小相同的圆球摆放而成，从上至下每层小球的个数依次为：1，3，6，10…，记第n层的圆球数记，求的值． 【答案】(1)35 (2) (3) 【分析】本题主要考查数字规律计算和有理数混合运算， （1）根据规律知第8行第5个数为第7行第4个数字和第5个数字之和； （2）根据规律的第n行数字之和，前100行所有的数字之和为，记，，则； （3）由题意可得，则，使用裂项即可求得答． 【详解】（1）解：根据规律知第8行第5个数为； 故答案为：35； （2）由题知，第1行数字之和1， 第2行数字之和， 第3行数字之和， 第4行数字之和， 第100行中所有数字之和为， 所有数字之和， 记，， ； 前100行的数字之和为． （3）由题意可得：，，…… ， ， ． 7．数形结合是通过图形的直观特征发现数量之间的关系，达到化隐为显，以形助数的目的，使问题简捷地得以解决．请用数形结合的方法解决下面问题： 【观察分析】 用大小一样的正方形按如图方式拼成长方形．现用两种方法求解阴影部分黑色小正方形的个数： （1）填空： 从图①中可以得到：，因此图①中共有______个黑色小正方形； 从图②中可以得到：，因此图②中共有______个黑色小正方形； 从图③中可以得到：______，因此图③中共有6个黑色小正方形． 【规律总结】 （2）由此可以猜想：图中共有______个黑色小正方形（用含的代数式表示，其中为正整数）． （3）根据上面的发现，我们还可以得到猜想：______（用含的代数式表示，其中为正整数）． 【探究应用】 （4）根据你发现的结论，计算：． 【拓展应用】 （5）根据你发现的结论，计算：． 【答案】（1）1；3；；（2）；（3）；（4）1275 ；（5）2360 【分析】本题考查了数字类规律变化问题，有理数的混合运算，由已知图形找到规律是解题的关键． （1）根据图形解答即可； （2）根据已知图形找出规律猜想即可； （3）根据（1）找出规律猜想即可； （4）利用（3）的猜想计算即可； （5）把算式转化为，再利用规律计算即可； 【详解】解：（1）从图①中可以得到：，因此图①中共有 1 个黑色小正方形； 从图②中可以得到：，因此图②中共有 3 个黑色小正方形； 从图③中可以得到：，因此图③中共有 6 个黑色小正方形； 故答案为：1；3；； （2）由（1）可以猜想：图中共有个黑色小正方形， 故答案为：； （3）根据上面发现，我们还可以得到猜想：， 故答案为：； （4）解：由（3）可得，； （5）解： ． 8．探究规律： 观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： …… (1)写出第4个等式：； (2)根据上述规律，猜想： （n为正整数）； (3)利用（2）中的猜想，计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字的变化类，有理数的乘方运算，解决本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出所求式子的值． （1）根据题目已给出的式子的规律写出答案即可； （2）根据题目已给出的式子判断出规律得到第n个等式即可； （3）根据（2）中规律可得根据规律求解即可． 【详解】（1）解：根据规律； （2）解：根据规律：； （3）解：原式． 9．定义新运算：，． 例如：，． 若，则称有理数，为“隔一数对”． 例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”． (1)下列各组数是“隔一数对”的是_（请填序号）； ①，；②，． (2)计算：； (3)已知由两个连续的非零整数，组成的数对是一个“隔一数对”． 计算：． 【答案】(1)① (2) (3) 【分析】本题主要考查分数的计算，理解“隔一数对”运算的法则，掌握分数的计算是关键． （1）根据“隔一数对”计算方法判定即可； （2）根据“隔一数对”计算方法展开，结合分数的混合运算法则计算即可； （3）根据“隔一数对”计算方法转换成分数的混合运算，进行计算即可． 【详解】（1）解：，，若，则称有理数，为“隔一数对”， ∴①，， ，， ∴①是“隔一数对”； ②，， ∴，， ∴②不是“隔一数对”； 故答案为：①． （2）解： ． （3）解： ． 10．观察下面每个图形中圆圈的总个数，也可以用相对应算式表达． ①； ②； ③； ④； ．．．．．． (1)根据你发现的规律填空：（___________）=___________2； (2)根据上面规律，计算： ___________；（直接填结果） (3)根据上面规律，计算：．（要写必要的计算过程） 【答案】(1)7；7 (2)10000 (3) 【分析】本题考查有理数的加减运算，数字类规律探索，熟练根据题意得出规律是解题的关键． （1）根据题中的式子即可得出规律； （2）利用（1）中得出的规律计算即可； （3）将原式转化为，再进行计算即可． 【详解】（1）解：①； ②； ③； ④； ．．．．．． 所以第n个等式可表示为：， 所以当时，， 所以， 故答案为：7，7． （2）解：当时，， 所以， 故答案为：10000； （3）解：原式 ． 11．学习了线段的中点之后，小明利用数学软件做了次取线段中点实验：如图，设线段第次，取的中点；第次，取的中点；第次，取的中点，第次，取的中点； (1)请完成下列表格数据． 次数      线段的长 第次           第次           第次           第次           第次 ______ ______                (2)小明对线段的表达式进行了如下化简： 因为， 所以． 两式相加，得． 所以． 请你参考小明的化简方法，化简的表达式； (3)类比猜想：______，______，随着取中点次数的不断增大，的长最终接近的值是______． 【答案】(1)，； (2)，过程见解析； (3) ；；． 【分析】本题考查线段的中点、线段的和差及规律型：数式的规律问题，找到数式的规律是解题的关键． （1）根据表中的规律可求出，根据可得出答案； （2）参照小明对线段的表达式的化简可得的表达式； （3）根据类比猜想可得答案． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）因为， 所以． 两式相加，得． 所以； （3），，随着取中点次数的不断增大，的长最终接近的值是． 故答案为：，，． 12．在学习了有理数的运算和代数式后，数学活动小组的同学们在研究下列等式时，发现了这些等式有规律，于是开展了如下探究活动： 第个等式： 第个等式： 第个等式： 第个等式： (1)请写出第个等式：_____________； (2)直接用字母表示第个等式的结果为：_____________； (3)数学活动小组进行题后反思，提出新的问题： 数轴上有三个点，，，已知点表示的数是多项式的一次项系数，点表示的数是常数项．动点从点出发，沿数轴来回移动，移动的规律是：第次向右移动个单位长度，第次向左移动个单位长度，第次向右移动个单位长度，第次向左移动个单位长度当点按此规律移动次时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字类的规律探索，数轴上两点之间的距离，通过观察所给的式子，探索出式子的一般规律是解题的关键． （1）分别得出等式左右两边的规律即可得出等式； （2）分别得出等式左右两边的规律即可得出等式； （3）根据多项式的定义得到点、表示的数，根据点移动的规律可知，点移动后表示的数为，再根据两点之间的距离公式求解即可． 【详解】（1）解：第个等式为； 故答案为：； （2）解：第个等式为； 故答案为：； （3）解：多项式的一次项系数是，常数项是， 点表示的数是，点表示的数是， 点第次移动后表示的数为：； 点第次移动后表示的数为：； 点第次移动后表示的数为：； ， 根据点移动的规律可知，点第次移动后表示的数为：； 当时，点移动后表示的数为， ， ， ． 13．在综合实践课上，小聪用m张尺寸如图①所示的长方形白纸条（单位：厘米），按图②所示的方法粘合得到长方形，粘合部分的长度为6厘米；小明用n张同样的纸条按如图③所示的方法粘合得到长方形，粘合部分的长度为4厘米． (1)当时，则________； (2)请用n的代数式表示的长； (3)现有图①所示长方形白纸条28张，你能找到合适的分配方案使小聪和小明按各自要求粘合起来的长方形面积相等吗？请写出分配方案，并说明理由．（注：图①纸条不能裁剪，且每人分到的纸条不能少于2张）． 【答案】(1)54 (2)的长为 (3)没有合适的分配方案 【分析】本题主要考查规律探索和一元一次方程的应用，根据规律求出两种长方形边长是解题的关键． （1）时，根据题意求解的长即可； （2）根据规律求解的长即可； （3）首先根据题意列出一元一次方程并求解，根据题意判断求解的值是否满足已知条件，进而得到是否有合适的分配方案即可． 【详解】（1）解：当时，， 故答案为：54； （2）解：根据题意得：， ∴的长为； （3）解：设小聪应该分x张长方形白纸条，则小明应该分张长方形白纸条， 根据题意得：， 解得：， ∵纸条不能裁剪，且每人分到的纸条不能少于2张， ∴，且x为正整数， ∴不符合条件， ∴没有合适的分配方案． 14．对于一个图形，我们通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如，图1中的面积关系可以解释等式． 【探索发现】 （1）用四个长与宽分别为a，b的小长方形拼成如图2所示的图形．根据图中条件，猜想与之间的关系为： ________； （2）用四个完全相同的直角三角形（其中直角边长分别为a，b，斜边长为c），拼出如图3所示的图形．根据图中条件，猜想并验证a，b，c之间的等量关系． 【拓展提升】 （3）对于自然数中前n个奇数之和，可以通过计算正方形的面积得到．如图4，将边长为1的正方形的一组邻边逐渐增加1，形成了一系列的新正方形．新正方形与原正方形相比，面积逐步增加3，5，7，…，．请你依据这个图形补全下面的等式： ________． （4）类似的，如图5，将边长为1的正方形的一组邻边逐渐增加2，3，4，…，n，形成了一系列的新正方形．请你依据这个图形直接写出一个关于n的等式． 【答案】（1）；（2），验证见解析；（3）；（4）． 【分析】本题主要考查了完全平方公式与图形面积、多项式乘多项式与面积、勾股定理、图形规律等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． （1）由题意可知：大正方形的面积为，小正方形的面积为，大正方形的面积为小正方形与四个面积为矩形之和，据此即可解答； （2）由题意可知：大正方形的面积为，小正方形的面积为，大正方形的面积为小正方形与四个面积为矩形之和，据此列式并整理即可解答； （3）由图形可知图形的面积为或，据此列出等式即可解答； （4）由图形可知大正方形的边长为，则大正方形的面积为；大正方形的面积为，进而得到． 【详解】解：（1）由题意可知：大正方形的面积为，小正方形的面积为，大正方形的面积为面积为小正方形与四个面积为矩形之和，即． 故答案为：． （2），验证如下： 由题意可知：大正方形的面积为，小正方形的面积为，大正方形的面积为面积为小正方形与四个面积为矩形之和，即，整理得． （3）由图形可知图形的面积为或，所以． 故答案为：． （4）由图形可知大正方形的边长为， ∴大正方形的面积为； 又∵大正方形的面积为， ∴． 15．综合与实践——万花筒里的数学 【发现问题】如图，学习小组在制作万花筒时，先将两面平面镜的背面用胶带粘贴，形成一个可以自由开合的“镜子门”，发现观察到的图形数量与“镜子门”张角的大小有关，进而研究此规律． 【查阅资料】平面镜成像原理：物体与它在平面镜中的像关于平面镜成轴对称． 【数学探究】 探究一：如图，正方形P放在“镜子门”中间，当“镜子门”张角为时，正方形P关于镜子的轴对称图形是像P1 （1）请你画出正方形P在镜子中的像（不限作图工具）； （2）像P1，像P2会在镜子中再次轴对称成像，像P1关于的轴对称图形是像P3，像P2关于的轴对称图形是像P4，请分析像P3与像P4_重合（填写“是”或“否”）． 探究二：如图，当“镜子门”张角大小是的因数时，观察到的图形数量（包含实物与像，重合的像看作一个像）是有规律的． 改变张角的大小，并记录观察到的图形数量，得到以下表格： 的度数/度 45 60 72 90 120 观察到的图形数量/个 8 6 _ 4 3 （3）①在这个变化过程中，_是自变量，_是因变量； ②补充上述表格； ③请写出观察到的图形数量与的度数的关系式：_． 【答案】（1）见解析；（2）是；（3）①的大小，观察到的图形数量；②补充见解析；③ 【分析】本题考查函数的实际应用，轴对称的性质，找出实际问题中的函数关系是解题的关键 （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）作图后观察即可得出结论； （3）①根据函数的概念求解； ②画图后观察即可得出结论； ③观察表格可得，据此求解． 【详解】（1）如图，就是求作的图形； （2）如图，像P1关于的轴对称图形是像P3，像P2关于的轴对称图形是像P4，像P3与像P4重合， 故答案为：是； （3）①这个变化过程中，的大小是自变量，观察到的图形数量是因变量， 故答案为：的大小，观察到的图形数量； ②当时，如图所示，则观察到的图形数量， 补充表格如下： 的度数/度 45 60 72 90 120 观察到的图形数量/个 8 6 _5_ 4 3 ③从表格可以看出，， 即，， 故答案为：． 16．如图，平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别是点，点，点； (1)将 绕点 O 顺时针旋转 得到 ，在坐标系中画出图形，并分别写出对应点坐标； (2)以原点O为位似中心，在点O的异侧，画 ，使它与的相似比为 【答案】(1)图见解析，点坐标为； (2)见解析 【分析】此题考查了位似图形和旋转的作图，熟练掌握作图方法是关键． （1）找到旋转后的对应点，顺次连接即可； （2）找到位似的对应点并顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图即为所求： 点坐标为； （2）如图，即为所求． 17．在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，． (1)若和关于x轴对称，画出； (2)将绕点顺时针旋转得到，画出，并写出点的坐标； (3)求出（2）中点旋转到点所经过的路径长． 【答案】(1)图见解析； (2)图见解析，； (3)． 【分析】本题考查作图-平移变换，旋转变换，以及求弧长，掌握画图是解题的关键． （1）先根据轴对称的性质画出点，，，再顺次连接即可得； （2）先根据旋转的性质画出，，，再顺次连接即可得，根据点的位置写出它的坐标即可得； （3）先利用勾股定理可得的长，根据旋转的性质可得，再利用弧长公式计算即可得． 【详解】（1）解：如图为所求作； （2）解：如图为所求作；由图可知，点的坐标为； （3）解：∵， ∴， 由旋转的性质得：，， ∴点旋转到点的过程中所经过的路径长为， 18．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1个单位长度，的顶点坐标分别是、、．将绕点顺时针旋转后得到，点、分别与点、对应． (1)请在图中画出； (2)求在旋转过程中线段所扫过的图形的面积．（结果保留） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了画旋转图形，求扇形的面积，准确计算是解题的关键． （1）根据旋转的性质，找到、的对应点、，画出，即可求解； （2）扫过的是以点为圆心，以为半径的的圆的面积，再根据扇形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： ； （2）解：、， ， 线段所扫过的图形的面积为． 19．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．将绕原点O逆时针旋转得到，其中点A，B，C的对应点分别为，，．    (1)在图中画出旋转后的； (2)点的坐标为_，点的坐标为_； (3)如果为边上一点，那么点P的对应点的坐标为_． 【答案】(1)见解析 (2)， (3) 【分析】本题考查作图﹣旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． （1）根据旋转的性质作图即可． （2）由图可得答案． （3）结合旋转的性质可得答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求．    （2）解：由图可得，点的坐标为，点的坐标为． 故答案为：；． （3）解：点P与点的位置如图所示，分别过点P、作x轴的垂线，垂足分别为Q、H，则有：， 由旋转可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点的坐标为， 即点的对应点的坐标为． 故答案为：． 20．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，请回答下列问题： (1)将，，三点横坐标保持不变，纵坐标分别乘，所得的点分别记为，，；在平面直角坐标系中画出；并判断与关于谁对称？ (2)在平面直角坐标系中画出关于轴对称的（其中点，，的对称点分别为点，，）；若点是线段上的任意一点，直接写出点在线段上的对应点的坐标． (3)在 y 轴上确定一点Q，使的值最小． 【答案】(1)见解析；与关于轴对称 (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查了轴对称变换，画轴对称图形，解题的关键是熟练掌握关于x轴对称和y轴对称的点的坐标特征． （1）将，，三点横坐标保持不变，纵坐标分别乘，则点，，的坐标分别为：，，，在平面直角坐标系中画出即可，即可判断对称性； （2）先作出点，，关于y轴的对称点分别为点，，，然后顺次连接即可；根据关于y轴对称的点的坐标横坐标互为相反数，纵坐标相同，进行解答即可． （3）作点关于y轴的对称点，连接与y轴交点即为点，连接，则，则由两点之间线段最短得到，故此时的值最小． 【详解】（1）解：为所求作的三角形，如图所示： ∴与关于轴对称； （2）解：如图，为所求作的三角形； ∵与关于y轴对称， ∴点在线段上的对应点的坐标为． （3）解：如图所示，点Q即为所作， 21．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的； (2)的面积为______； (3)若平面直角坐标系中存在点，使（点与点不重合），请直接写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) (3)点的坐标为 【分析】本题考查了网格作图，轴对称变换，全等三角形的性质，三角形面积的计算，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据对称的性质，确定、、关于轴对称的点、、，再顺次连接即可； （2）用所在矩形的面积减去周围三角形面积即可； （3）根据全等的性质，点关于的对称点，根据直角坐标系写出点的坐标即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解： ； （3）解：若（点与点不重合），则，， 如图所示，利用网格找点关于的对称点即可，此时点的坐标为． 22．如图，各顶点的坐标分别为，，． (1)请画出先向下平移4个单位，再向右平移1个单位得到的； (2)请画出绕点逆时针旋转后得到； (3)若与关于某点成中心对称，且，则对称中心的坐标是______． 【答案】(1)图见详解 (2)图见详解 (3) 【分析】本题考查作图—旋转变换、平移变换、中心对称，熟练掌握旋转、平移、中心对称的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图即可． （2）根据旋转的性质作图即可． （3）由题意可得对称中心为的中点，然后根据中点坐标公式即可得出答案． 【详解】（1）解：所作如图所示： （2）解：所作如图所示； （3）解：由题意可得，对称中心为的中点， ∵，， ∴对称中心的坐标为，即． 故答案为． 23．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1个单位长度． (1)将向上平移5个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到，画出； (2)作出关于x轴对称的； (3)的面积为_． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)3 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称和平移，坐标与图形，熟知轴对称和平移的知识是解题的关键． （1）根据平移规律可得三点，然后顺次连接即可； （2）关于x轴对称的两个点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此可得的坐标，描出，并顺次连接即可； （3）根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：． 24．在平面直角坐标系中，的三个顶点的位置如下图所示． (1)将平移，使点A变换为点，点，分别是B，C的对应点．请画出平移后的图形．（不写画法）； (2)请画出关于y轴的对称图形，点，，分别是A，B，C的对应点．并直接写出点的坐标________，________； (3)求四边形的面积． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析，3，； (3)8． 【分析】本题考查了根据轴对称变换作图、轴对称变换、平面直角坐标系、坐标与图形等知识点，根据平面直角坐标系作出对应点的位置是解题的关键． （1）要使点A变换为点，即使点A向下平移4个单位，向右平移4个单位，据此平移B、C得到对应点、，再顺次连接即可解答； （2）作出点A、B、C关于y轴的对称点、、，然后顺次连接即可完成作图，并写出点坐标即可； （3）根据坐标与图形以及梯形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图：即为所求． （2）解：如图：即为所求． ． 故答案为：3，2． （3）解：四边形的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 数与式计算规范及方程求解 考点目录： 1． 实数的混合运算：涉及绝对值、二次根式、负整数指数幂、特殊角的三角函数值（如0°，30°，45°，60°，90°）的运算。 2． 代数式的化简求值：分式的化简，再代入一个数值（常为整数或简单无理数）进行计算。 3． 方程（组）的解法：解一元一次方程、二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程。 4． 一元一次不等式的解法：求解并在数轴上表示解集。 一、解答题 1．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的乘法，零指数幂，熟练掌握其运算规则是解题的关键． 先计算乘方，二次根式的乘法，零指数幂，再算加减即可． 【详解】解： ． 2．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 先根据算术平方根、分母有理化、绝对值、负整数指数幂、零指数幂的运算法则计算，再合并即可． 【详解】解： ． 3．计算：； 【答案】 【分析】本题考查了零指数幂，负指数幂，绝对值化简．根据实数运算法则，先乘方，后乘除，最后加减，去绝对值符号，即可求解． 【详解】解： ； 4．计算：． 【答案】π 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、绝对值、算术平方根、立方根等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键． 先用绝对值、算术平方根、立方根化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 5．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、负整数幂、零次幂、有理数的乘方，根据以上进行计算即可求解． 【详解】解： ． 6．计算题． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式的运算，以及零指数幂和负整数指数幂的意义． （1）先算幂的乘方，再算同底数幂的乘法和除法； （2）先根据乘法公式计算，再合并同类项； （3）先根据乘方、零指数幂和负整数指数幂的意义计算，再算乘法，然后算加减． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． （3）解：原式． 7．计算：． 【答案】1 【分析】本题考查了实数的综合运算能力，是中考题中常见的计算题型，解决此类题目的关键是熟练掌握三角函数、零指数幂、二次根式等． 本题涉及特殊角的三角函数、零指数幂、有理数的乘方、二次根式化简，在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求出结果． 【详解】解：原式 ． 8．计算：． 【答案】8 【分析】本题考查实数的混合运算，先进行负整数指数幂，取绝对值，乘方，乘法和零指数幂的运算，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式． 9．计算 (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的综合运算能力，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值以及掌握二次根式的运算． （1）按二次根式混合运算法则进行计算即可； （2）先计算特殊角的正弦、余弦、正切值，再计算二次根式，即可得出答案． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 10．计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，正确计算是解题的关键． （1）先进行开立方、开算术平方根、计算绝对值，然后进行加减运算； （2）先进行乘方、开算术平方根，计算绝对值，再进行除法运算，最后进行加减法运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 11．计算：． 【答案】 【分析】本题考查开平方，绝对值，特殊角的三角函数值，分数的负指数幂，熟练掌握以上的知识点的计算是解题的关键，根据开平方，绝对值，特殊角的三角函数值，分数的负指数幂的运算计算即可得到答案． 【详解】解： ． 12．计算： 【答案】 【分析】本题考查实数的运算，绝对值，零指数幂和特殊角的三角函数值，掌握相关知识点并正确计算是解题的关键． 先将绝对值，零指数幂，特殊角的三角函数值化简，再进行计算即可求解． 【详解】解： ． 13．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，绝对值，准确熟练地化简各式是解题的关键． 先化简各式，然后再进行计算即可解答． 【详解】解：原式 ． 14．化简： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用完全平方公式和平方差公式展开，合并同类项即可； （2）利用完全平方公式和平方差公式展开，整式的乘法去括号，合并同类项即可． 本题考查了整式的乘法，合并同类项，掌握基本运算法则是解题关键． 【详解】（1）原式， （2）原式． 15．先化简，再求值：，其中， 【答案】，1 【分析】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． 先利用乘法公式和单项式乘以多项式法则计算化简，再代入，结合幂的运算法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 当，时， 原式 ． 16．计算与化简 (1)计算： (2)化简： 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的混合运算和整式的四则运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式分别计算算术平方根、立方根和绝对值，再进行加减运算即可得到答案； （2）原式分别根据完全平方公式、平方差公式和多项式除以单项式运算法则进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17．先化简，再求值： (1)，其中 ，． (2)，其中 【答案】(1)， (2)，4 【分析】本题主要考查了整式的化简与求值，分式的化简求值． （1）先计算括号里面的整式乘法，再合并同类项，然后除以单项式，最后代入数值计算即可． （2）先计算括号里面的分式，再把括号外面的除法转化成乘法，然后约分计算，最后再代入数值计算即可． 【详解】（1）解： ， 当时， 原式． （2）解： ， 当， 原式 18．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查多项式除以单项式，多项式乘以多项式，合并同类项，代数式求值，零指数幂，掌握知识点是解题的关键． 先计算多项式除以单项式，多项式乘以多项式，再合并同类项，最后代值计算即可． 【详解】解：原式 ， ∵，， ∴原式． 19．（1）先化简，再求值：，其中，． （2）先化简：，再从范围内选取一个合适的整数作为的值代入求值． 【答案】（1）；；（2）；当时，原式 【分析】本题考查了整式的混合运算—化简求值，分式的混合运算—化简求值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据整式的混合运算法则进行化简，再代入，计算即可得出结果； （2）括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，最后代入合适的值计算即可得出结果． 【详解】解：（1） ； 当，时，原式； （2） ， ∵，且，，x为整数， ∴， 当时，原式． 20．已知关于x的一元一次方程和的解互为相反数． (1)求n的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，代数式求值，能正确解一元一次方程是解题的关键． （1）先分别求出两个方程的解，再根据两个方程的解互为相反数列出关于n的方程，求解即可． （2）把n的值代入求解即可． 【详解】（1）解：解方程，得， 解方程，得， ∵关于x的一元一次方程和的解互为相反数， ∴， ∴． （2）解：当时，． 21．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）方程移项合并，把系数化为1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项合并，把系数化为1，即可求出解． 【详解】（1）解：移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1：； （2）解：去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1：； 22．已知（为常数），（为常数），且代数式． (1)若，，化简代数式； (2)当是关于的一元一次方程时，求代数式的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题综合考查了代数式求值及解一元一次方程，掌握整式的混合运算法则是关键． （1）先化简代数式，再把，代入即可； （2）依据一元一次方程的定义求出，的值，再根据化简后的一元一次方程求出的值，最后将，，的值一并代入的表达式求值．． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ， ， ， ， ∴． 把，代入中，得： ， ， ， ∴； （2）∵是关于的一元一次方程时， ∴且，解得，， ∴整理得， ∴． ∵将，，代入（1）中， ∴， ， ， ， ∴． 23．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解一元一次方程的步骤有：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为． (1)根据去括号、移项、合并同类项、系数化为求出方程的解； (2)根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为求出方程的解． 【详解】（1）解：， 去括号得：， 移项得:， 合并同类项得：； （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：． 24．（1）解方程：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】 （1）；（2）；13 【分析】本题考查了解一元一次方程，整式的加减中的化简求值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可； （2）先去括号，再合并同类项，然后代入求值． 【详解】（1）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解： 当，时， 原式 ． 25．解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元一次方程． （1）对方程进行去括号、移项、合并同类项并求解即可； （2）对方程进行去分母、去括号、移项、合并同类项并求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 26．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程．熟练掌握解一元一次方程的步骤，正确的计算，是解题的关键．去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，解方程即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 27．解方程（组）： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元一次方程的解法，二元一次方程组的解法，掌握加减消元法的应用是解题关键． （1）先给方程两边同乘公分母去分母，再去括号，然后合并同类项，最后求出的值； （2）先对两边同乘公分母去分母、展开化简，得到二元一次方程组，再通过加减消元法消去一个未知数，求出，再将代入方程组求出，得到方程组的解． 【详解】（1）解：， ， ． （2）解：原方程组可化为， 化简得， 可得，解得， 将代入中，解得， 故方程组的解为． 28．已知． (1)求和的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查的是幂的乘方运算，同底数幂的除法运算，利用平方差公式分解因式，二元一次方程组的解法，求解代数式的值，熟记幂的乘方运算法则与平方差公式是解本题的关键． （1）由条件可得，，可得，； （2）把左边分解因式可得，再把代入可得，再建立方程组求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 联立得， 解得， ∴． 29．（1）解方程：．                                                    （2）解方程组． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查解一元一次方程，解二元一次方程组，掌握解方程与方程组的方法是解题的关键． （1）根据去分母，去括号，移项，合并同类项的步骤求解即可； （2）运用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解： ， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得． （2）解：， ，得， 解得：． 将代入②，得， 解得． 所以方程组的解是． 30．甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程中的，解得，乙看错了方程中的，解得． (1)求正确的，的值； (2)求原方程组的正确解． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解复原问题，熟知解二元一次方程组的方法是解题的关键． （）根据题意可得甲求得的方程组的解满足方程，乙求得的方程组的解满足方程，据此可得关于的方程，解方程即可得到答案； （）根据（）所求可得原方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】（1）解：∵甲看错了方程中的，解得，乙看错了方程中的，解得， ∴甲求得的方程组的解，满足方程，乙求得的方程组的解满足方程， ∴，， ∴，； （2）解：由（）得，，， ∴原方程组为， 由得，， 把代入得，解得， 把代入得，， ∴方程组的解为：． 31．解方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）利用加减消元法解方程组即可； （2）令，得，再利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：，得， 解得， 把代入②，得， 解得， ∴方程组的解为； （2）解：， ，得 ，得， 解得， 把代入②，得， 解得， ∴方程组的解为． 32．解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，解题的关键在于正确掌握消元法． 将原方程组整理为，再利用加减消元法求解，即可解题． 【详解】解：， 整理得， 由得：， 解得， 将代入②中得：， 解得， 方程组的解为． 33．计算： (1)解方程：． (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程、特殊角三角函数值，负整数幂，二次根式的加减运算，熟练掌握解一元二次方程的方法和特殊角的三角函数值是解题关键． （1）利用因式分解法解方程即可得； （2）先代入特殊角三角函数值，计算负整数幂，算术平方根，化简绝对值，再计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 或， 解得； （2）解：原式 ． 34．设，是关于的一元二次方程的两根． (1)当时，求及的值； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，方程的解，正确理解一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；熟记：一元二次方程的两个根为，则是解题的关键． （1）把代入方程求出，然后再解一元二次方程即可； （2）利用根的判别式，根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：把代入方程得， ， ∴， ， 解方程得：， 故； （2）证明：方程中， ， ∴原方程有两个不相等实数根， 由根与系数的关系得， ∴， ， ． 35．（1）计算：；     （2）解方程： 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题主要考查解一元二次方程，实数的混合运算，掌握因式分解法，负指数幂，零次幂，特殊角的三角函数值的计算是关键．（1）依次根据法则进行计算即可；（2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， ∴， 则或， ∴，． 36．已知关于x的一元二次方程（为常数） (1)求证：无论为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的两个实数根为，且满足，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式与根与系数的关系，熟练掌握根的判别式判断根的情况、利用根与系数的关系转化根的关系是解题的关键． （1）利用一元二次方程根的判别式公式，计算并分析其取值，从而证明方程根的情况； （2）结合根与系数的关系表示出根的和与积，将已知条件展开后代入，通过解方程求出m的值． 【详解】（1）证明：，，， ， ， ， 无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根． （2）解：由，得，， ， ， ， 解得：，． 37．已知关于的方程有两个相等的实数根，且方程有一个根为． (1)判断以、、为边的三角形的形状，并说明理由； (2)若方程的两根为、，求的值． 【答案】(1)等边三角形，见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程根的判别式与根的关系，当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． （1）由方程有两个相等的实数根，可得，再结合方程有一个根为得，联立即可求出a，b，c的关系；（2）根据（1）求出的a，b的关系，可以得出方程有两个相等的实数根，由即可求出m． 【详解】（1）解：等边三角形．理由如下： ∵关于x的方程有两个相等的实数根， ∴，即：， ∴， ∵方程有一个根为， ∴把代入得：， 联立①②，解得：， ∴以a、b、c为边的三角形是等边三角形． （2）解：方程的两根为a、b， 由（1）可知，， ∴方程有两个相等的实数根， ∴，即：， 化简得：， 解得：． 当时，方程变为，则，即，此时与方程有一个根为矛盾，舍去. 当时，方程变为，则，符合题意. 所以. 38．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】不等式组的解集为，数轴表示见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：． 由①得：， 由②得：， 则不等式组的解集为， 将解集表示在数轴上如下： ． 39．解不等式组：并把解集表示在如图所示的数轴上． 【答案】．见解析 【分析】本题考查求不等式组的解集，在数轴上表示不等式的解集．分别求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集，定边界，定方向，在数轴上表示出解集即可． 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， 故原不等式组的解集为． 解集在数轴上表示如下图所示． ． 40．（1）解不等式：，并将解集表示在下列数轴上； （2）解不等式组：，并求它的最大整数解． 【答案】（1），图见解析；（2），最大整数解为 【分析】本题考查的是解一元一次不等式和解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式是关键． （1）不等式移项合并，把系数化为1，即可求出解，然后在数轴表示即可； （2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，再求出最大整数解即可． 【详解】解：（1）原不等式移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，， 数轴表示如下： （2）， 解①得：， 解②得：； ， 整数解为：， 最大整数解为． 41．已知关于x，y的方程组的解中，． (1)a的取值范围为_____________． (2)化简：． (3)在a的取值范围中，当a为何整数时，不等式的解集为？ 【答案】(1) (2) (3)当时，不等式的解集为 【分析】（1）把看作已知数表示出方程组的解，根据，，求出的范围即可； （2）根据（1）中的取值可解答； （3）先根据不等式的基本性质求出的取值范围，再结合（1）中的取值范围即可得到整数的值． 【详解】（1）解：解方程组得 ∵，， ∴ 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为，即a的取值范围为． （2）解：由（1）可知，， ∴，， ∴原式． （3）解：∵， ∴． ∵不等式的解集为， ∴， 解得， 又∵， ∴， ∵为整数， ∴． ∴当时，不等式的解集为． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，绝对值，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 42．（1）解不等式：， 并把解集在数轴上表示出来 ． （2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】（1），数轴见解析；（2），数轴见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式和不等式组． （1）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】（1）解：， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，， 在数轴上表示为： （2）解：， 解得： 解得：， ∴， 在数轴上表示为： 43．（1）解不等式，并在下图所给的数轴上表示其解集； （2）解不等式，并在下图所给的数轴上表示其解集； （3）直接写出不等式组的解集并写出最小整数解． 【答案】（1），见解析；（2），见解析；（3）； 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，求不等式组的解集，熟知解不等式和解不等式组的方法是解题的关键． （1）根据移项、合并同类项、系数化为1等步骤，求出不等式的解集，再在数轴上表示不等式的解集即可； （2）按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示不等式的解集即可； （3）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：（1）， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 数轴表示如下所示： （2） 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 数轴表示如下所示： （3） 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为，最小整数解为． 学科网（北京）股份有限公司 $专题01数与式计算规范及方程求解 考点目录： 1.实数的混合运算：涉及绝对值、二次根式、负整数指数幂、特殊角的三角函数值（如0 。,30°，45°，60°，90°)的运算。 2.代数式的化简求值：分式的化简，再代入一个数值（常为整数或简单无理数）进行计算。 3.方程（组）的解法：解一元一次方程、二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方 程。 4.一元一次不等式的解法：求解并在数轴上表示解集。 一、解答题 1.计算：(-22-√2×V8-(元+1)° 2计第：-16++-340 3.计第：2+x-2019°+60-1- 4.计算：π-2+V16+-8. 5.计算：（-1)2026-（元-3.14）°+(-3)2×-3)2. 6.计算题. (1(a2）°a2÷a4: (2)(a-22-(3a+2b)(3a-2b): 1-m-4×)-314-. 7.计算：4cos45°-V8÷π+V③°+(-12. 8.计第：（目+-(5子-1-（π-4 9.计算 四is×3+5-325+-5-月 (2)sin30°.tan45°+√2cos45°+sin60°.tan60°. 10.计算： (1)8+4-V-32+1-2 a四--( 11.计算：5-1-2+2sin45°- 12.计第：-+2026++得 -tan 60 13.计算：V5cos30°-V2sin45°+V3-2. 14.化简： (1)a+b)2+(a-b)(a+b)-2ab. (2)(m+2)-(m+1)(m-1)-(m+2)(m-3. 5.先化简，再求值：2x士-2x+2x--2x+,其中x),=2 16.计算与化简 (1)计算：-4+27+5-3 (2)化简：(2x-y)2-(x-2y(x+2y)+(6x2y+8xy2）÷(2y) 17.先化简，再求值： (1(x+y)°-x+3y川x-3y÷2y,其中x=1,y=1. 2m+3-m-9）:m2m+1,其中m=2 m-3m2-3m 18.先化简，再求值：(3a2b-ab2-2b）÷b-(2a+b)(a-b),其中a=1,b=-2°. 19.(1)先化简，再求值：(x+2y2+(x+y(x-y川-3y2,其中x=-1,y=2. (2)先化简： (2小一2x,再以0≤≤1范国内选取个合适的整数作为代入录植： 20.已知关于x的一元一次方程4x+2n=2x+5和5x+1=2x-5的解互为相反数. (1)求n的值； (2)求代数式2n2-4的值. 21.解方程： (1)3x-6=x+2; （21-3x2+1. 2 3 22.已知A=ax2-3y+9x(a为常数)，B=-2x2-bxy+4(b为常数)，且代数式M=2A-3B. (1)若a=-3,b=1,化简代数式M; (2)当(a-1x2+x+3+2=0是关于x的一元一次方程时，求代数式M的值. 23.解方程： (1)5x+2）-4x=8; (2+12-3x-1. 23 24.(1)解方程：3x+1-2+1+1, 2 3 (2)先化简，再求值：(3a2-ab+7-(-4a2+2ab+7,其中a=-1,b=2. 25.解方程 (1)5x-32x-1)=6 2)x-3_2xr+1=1 23 26.解方程：3-_x+3+x. 2 6 27.解方程（组） 4)2x+1.2x-1-1 26 (x+y_x-Y=6 (2){23 3(x+y)=4x-y) 28.已知(a”=a2,a}'÷a°=a. (1)求wm和2m-n的值： (2)已知4m2-n2=15,求m+n的值. 29.(1)解方程：+1-2= 2 4 (2)解方程组 x+2y=1 3x-2y=111 30.甲、乙两人同解方程组a-4二6@时，甲看错了方程O中的a,解得 =1'乙看错了方程②中 x=3 5.x=by+10② x=-1 的b,解得 y=2 (1)求正确的a,b的值： (2)求原方程组的正确解. 31.解方程组 (1) 4x-3y=14① 5x+3y=31② (2） 3x-2y=10 2x+y=2 x-1-y+1 32.解方程组： 2 3 2(x-y)=8-3y 33.计算： (1)解方程：(2x-3)2-4x+6=0 2计第：2sn45+)+5--s 34.设x,x2是关于x的一元二次方程x2-3x+2-m2=0的两根. (1)当x,=-1时，求x2及m的值： (2)求证：（x-1(x3-1)≤0. (2)解方程：xx-2=3x-6 36.己知关于x的一元二次方程x2-2mx+m2-1=0(m为常数) (1)求证：无论为何值，方程总有两个不相等的实数根： (2)若该方程的两个实数根为x,x2,且满足(x,-1)(x2-1=3,求m的值. 37.已知关于x的方程2+6x+20-4 11 a=0有两个相等的实数根，且方程ax2+bx=0有一个根为x=-1. (1)判断以a、b、c为边的三角形的形状，并说明理由： (2)若方程x2+mx-2m=0的两根为a、b,求m的值. 5-1x>3x-6 ≥ 38.解不等式组： 2 2,并把解集在数轴上表示出来 3+x>4 -5-4-3-2-012345→ 1+x≤4 39.解不等式组： 3x-1>2x-1)并把解集表示在如图所示的数轴上. -54-3-2-1012345→ 40.(1)解不等式：2x-1<3x+2,并将解集表示在下列数轴上： -4-3-2-10123→ +1>2x+5 (2)解不等式组： 6 3,并求它的最大整数解 4x+1)23x-2 41.已知关于x,y的方程组 x+y=-7-a 的解中x≤0，y<0. x-y=3a+1 (1)a的取值范围为 (2)化简：a+2+3-a. (3)在a的取值范围中，当a为何整数时，不等式2ax+x>2a+1的解集为x<1? 42.(1)解不等式：5x-6≤2(x+3),并把解集在数轴上表示出来· 2x+5≤3x+2 (2)解不等式组 x-1,x，并把解集在数轴上表示出来. 2<3 43.(1)解不等式2x+4≥4x,并在下图所给的数轴上表示其解集： (2)解不等式2-x<5,并在下图所给的数轴上表示其解集； 2x+4≥4x (3)直接写出不等式组 2-x<5的解集并写出最小整数解。 -4-3-2-101234→专题02规律发现与几何初步 考点目录： 1.图形/数字规律探究：根据给定的点阵、图形拼接、数字序列等，探究第个图形的数量关系，并用代 数式表示。 2.简单的几何作图与计算： 网格作图：在正方形网格中，进行图形的平移、对称、旋转（中心对称）作图，或利用网格求三角函 数值、证明线段关系。 尺规作图：作已知角的平分线、线段的垂直平分线等基本作图，并说明作图依据或进行简单推理。 一、解答题 1.对于两个无理数，如果它们的和等于它们的积，那么我们称这两个无理数互为“友好无理数”，请根 据条件填空： 5的“友好无理数”是 (2)请写出一组符号不同且互为有理化因式的“友好无理数”，它们可以是_和_· 3)将一组无理数从左到右排列，第一个数记作4，第二个数记作，第三个数记作，“，第”个数记 作，.即，4，，，0.已知”>2，且这”个数中，每相邻两个数都是“友好无理数”. ①如果4<4，且4+a,+4,++am=300. ,那么“的值为_： L+1+L++1-100+5 ②如果41a2a3 2,那么a2的值为_· 2.请你观察下列式子的特点，并直接写出结果： 1)V+F+京-1+1 1.1 12 ,1,1 .11 (2)V1+2+家1+23 (3)V +32+4 1+ 根据你的阅读回答下列问题： (4)请根据上面式子的规律填空： 1 1 1+ n2(n+12 （n为正整数)： (5)请直接写出下列式子的结果 ++++空++*+ .11 11 1 1 (n+12 3.如图，数轴上4点表示的数是万，P是数精上一动点。 543-2-1012345 (1)在数轴上，把A点向左平移4个单位长度得到B点，求B点表示的数： (2)在(1)的条件下，若C点表示的数是B所表示数的相反数，求C点表示的数： (3)在(2)的条件下，若P点从A点向B点以每秒3个单位长度运动，到达B点后又向A运动，到达A 后再向B运动，如此往复运动.问当P点运动2026秒时，P点与C点的位置有什么关系？请说明理由. 4.观察个位上的数字是5的两位数的平方（任意一个个位数字为5的两位数5可用代数式10m+5来表示， 其中l≤n≤9，n为正整数)，会发现一些有趣的规律.请你仔细观察，探索其规律。 第1个等式：15=1x2×100+25 第2个等式： 252=(2×3)×100+25 第3个等式： 352=3×4)×100+25 (1)写出第5个等式： (2)用含n的等式表示你的猜想，并证明： (3)请用(2)中的规律计算：145-(4×5x100+25) 5.阅读下列材料：小明为了计算+2+2++24+2 的值，采用以下方法： 设S=1+2+22+.…+22024+22025① 则2S=2+22+…+22025+2226② ②-@得，2S-S=S=2-1 请仿照小明的方法解决以下问题： +2+22+…+2= 3+32+..…+310= (2) 1+a+a2+…+a (3)求 的和(a>0 ,n是正整数，请写出计算过程)· 6.“杨辉三角”是中国古代数学重要的成就之一，最早出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》 中.其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和，如 图1. 第一行… 第二行…1 第三行…1 第四行…1 3 第五行…14 6 第六行…1510105 第七行…161520156 … 图1 图2 (1)求图1中第8行第5个数是 (2)求图1中前100行所有的数字之和： (3)“杨辉三角”的应用很广泛，例如“堆垛术”，图2中的立体图形是由若干形状、大小相同的圆球摆 放而成，从上至下每层小球的个数依次为：1,3,6,10，记第刀层的圆球数记4，求 7.数形结合是通过图形的直观特征发现数量之间的关系，达到化隐为显，以形助数的目的，使问题简捷 地得以解决.请用数形结合的方法解决下面问题： 【观察分析】 用大小一样的正方形按如图方式拼成长方形.现用两种方法求解阴影部分黑色小正方形的个数： 图① 图② 图③ 图④ (1)填空： 从图①中可以得到：1=1x 2，因此图①中共有一个黑色小正方形： 从图②中可以得到：1+2=2×3 ，因此图②中共有一个黑色小正方形： 从图③中可以得到：1+2+3=，因此图③中共有6个黑色小正方形. 【规律总结】 (2)由此可以猜想：图n中共有个黑色小正方形（用含n的代数式表示，其中n为正整数）· (3)根据上面的发现，我们还可以得到猜想：1+2+3+…+n=」 (用含n的代数式表示，其中n 为正整数). 【探究应用】 (4)根据你发现的结论，计算：1+2+3+…+50 【拓展应用】 (5)根据你发现的结论，计算：11+12+13+…+68+69」 8.探究规律： 观察下列等式： 第1个等式：(x-(x+)=x2-1 第2个等式：(x-川x2+x+1=x-1 第3个等式：(x-(x+x2+x+1=x4-1 (写出第4个等式：(x-川x+r+r+x+=； (2)根据上述规律，猜想：(x-r+x++x+1= (n为正整数)； (3倒利用(2)中的猜想，计算：205+2++2+1 11 9.定义新运算：a*b= ab,a⑧b=1 ab· 例如：3*7=11、4 37于2元，387=11 3×721 若a⑧b=a*b,则称有理数a,b为“隔一数对”. 例如：2®3=2=29=号1-1 2×36’ 236’2⑧3=2*3，所以2,3就是一对“隔一数对”. (1)下列各组数是“隔一数对”的是_（请填序号）； 国a=号b=方：②g-'- 2计算：（-3)4--3到®4+4®(-5) (3)已知由两个连续的非零整数”，m<m 组成的数对是一个“隔一数对”. 计算：1⑧2+283+3⑧4+4⑧5+.+99⑧100 10.观察下面每个图形中圆圈的总个数，也可以用相对应算式表达. ① (② ③ @1=2x1-1=2 ②1+3=1+(2×2-1=2 国+3+5=1+3+(2×3-1)=32 ④1+3+5+7=1+3+5+(2×4-1=4 (1)根据你发现的规律填空：1+3+5+7+9+11+13=1+3+5+7+9+11+(2× (2)根据上面规律，计算：1+3+5+7+…+199= ；(直接填结果) (3)根据上面规律，计算：31+33+35+.+199.（要写必要的计算过程） 1。学习了线段的中点之后，小明利用数学软件做了”次取线段中点实验：如图，设线段%-第次， 取的中点：第2次，取的中点B:第3次，取的中点月，第4次，取5的中点月， PP: 0 P (1)请完成下列表格数据. 次数 PP 线段OP的长 第1次 n-2 0R=0-RR=1-月 第2次 限 OB=0R+Pg=1-1+1 222 第3次 AA司 明=0-g=1-5 第4次 PR= O那=0B+PR=l-2+2京交+2 1111 第5次 … … OP (2)小明对线段 的表达式进行了如下化简： 因为04=1+7， 拟20=-2-5*-2-号号 +22+2. 1 两式相加，得302=2+. 21 所以0B=号+3×2. OP. 请你参考小明的化简方法，化简的表达式： B)类比猪想：P一，0P一，随若取中点次数”的不断增大， P的长最终接近的值是 12.在学习了有理数的运算和代数式后，数学活动小组的同学们在研究下列等式时，发现了这些等式有规 律，于是开展了如下探究活动： 第1个等式：1-3=-2 第2个等式：1-3+5=3 第3个等式：1-3+5-7=-4 第4个等式：1-3+5-7+9=5 (1)请写出第6个等式： (2)直接用字母表示第n个等式的结果为： (3)数学活动小组进行题后反思，提出新的问题： 数轴上有三个点A,B,P,己知点A表示的数是多项式-x2-6x+2025的一次项系数，点B表示的数 是常数项.动点P从点A出发，沿数轴来回移动，移动的规律是：第1次向右移动1个单位长度，第2 次向左移动3个单位长度，第3次向右移动5个单位长度，第4次向左移动7个单位长度…当点P按 BP 此规律移动677次时，求AP的值。 0 13.在综合实践课上，小聪用m张尺寸如图①所示的长方形白纸条（单位：厘米），按图②所示的方法粘 合得到长方形ABCD,粘合部分的长度为6厘米；小明用张同样的纸条按如图③所示的方法粘合得 到长方形4BCD 粘合部分的长度为4厘米。 10 0 30 6 D1444 图① 图② 图③ (1)当m=2时，则AB= .AB (2)请用n的代数式表示的长： (3)现有图①所示长方形白纸条28张，你能找到合适的分配方案使小聪和小明按各自要求粘合起来的 长方形面积相等吗？请写出分配方案，并说明理由.（注：图①纸条不能裁剪，且每人分到的纸条不 能少于2张). 14.对于一个图形，我们通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式.例如，图1中的面 积关系可以解释等式a-b)°=a2-2ab+b b a (a-b)2 b2 b 图1 图2 图3 【探索发现】 (1)用四个长与宽分别为@，b的小长方形拼成如图2所示的图形.根据图中条件，猜想a+与 (a-b之间的关系为： (2)用四个完全相同的直角三角形（其中直角边长分别为α，b,斜边长为c),拼出如图3所示的图 形.根据图中条件，猜想并验证a,b,c之间的等量关系. 【拓展提升】 (3)对于自然数中前n个奇数之和，可以通过计算正方形的面积得到.如图4，将边长为1的正方形 的一组邻边逐渐增加1，形成了一系列的新正方形.新正方形与原正方形相比，面积逐步增加 3,5,7,…,2n-1.请你依据这个图形补全下面的等式： 1+3+5+7+…+2n-1= (4)类似的，如图5，将边长为1的正方形的一组邻边逐渐增加2,3,4，·，n,形成了一系列的新 正方形.请你依据这个图形直接写出一个关于n的等式. n 2n-1 > 3 2 11… 123 4 n 图4 图5 15.综合与实践一一万花筒里的数学 【发现问题】如图，学习小组在制作万花筒时，先将两面平面镜的背面用胶带粘贴，形成一个可以自 由开合的“镜子门”，发现观察到的图形数量与“镜子门”张角的大小有关，进而研究此规律. B .A 像P P A/镜子1 镜子2B 【查阅资料】平面镜成像原理：物体与它在平面镜中的像关于平面镜成轴对称. 【数学探究】 探究一：如图，正方形P放在“镜子门”中间，当“镜子门”张角∠AOB为90°时，正方形P关于镜 子OA的轴对称图形是像P, “镜子”的张角 镜子1 镜2 (1)请你画出正方形P在镜子OB中的像月（不限作图工具）： (2)像P,像P,会在镜子中再次轴对称成像，像P关于OB的轴对称图形是像P,像P,关于OA的 轴对称图形是像P4,请分析像P3与像P重合（填写“是”或“否”）， 探究二：如图，当“镜子门”张角∠AOB大小是360°的因数时，观察到的图形数量（包含实物与像， 重合的像看作一个像)是有规律的. B A2 B2 A 像P 像P A2-- 像P 像P -B2 像P 像P 像P少 A 如 像P B A 像P/ 像P 像P 像卫 P 1镜子1镜子B A镜子1镜子2B A镜子1 镜子2B ①∠AOB=45° ②∠AOB=60° ③∠AOB=120 改变张角∠AOB的大小，并记录观察到的图形数量，得到以下表格： 6 ∠AOB的度数x/度 45 72 90 120 0 观察到的图形数量'/个 8 6 4 (3)①在这个变化过程中，_是自变量，是因变量： ②补充上述表格： ③请写出观察到的图形数量y与∠AOB的度数x的关系式：-· ∠AOB的度数x/度 45 60 72 90120 _5 观察到的图形数量'/个 6 4 16.如图，平面直角坐标系中， △4BC的顶点坐标分别是点1-6,6，点B-4,2,点C-22 (山)将△1BC绕点O顺时针旋转90°得到△48G 在坐标系中画出图形，并分别写出对应点