专项复习三 压轴题八大典型题型（比例）题型讲练+优选题拔尖练 共44题-2025-2026学年北师大版数学六年级下册培优讲练

专项复习三 压轴题八大典型题型 （第二单元 比例） 【解析版】 题型一：比例的基本性质 【典例精讲】（23-24六年级下·云南普洱·期末）一商场甲商品打九折出售，乙商品打七折出售，小华买回了这两种商品后，发现所花的钱数是两件商品原价的85%。甲乙两件商品的原价之比是（    ）。 A．5∶1 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【思路引导】设甲商品的原价为x元，乙商品的原价为y元；甲商品打九折出售，那么甲商品的售价为90%x元，乙商品打七折出售，那么乙商品的售价为70%y元；两种商品的总原价为（x＋y）元 ，总售价为（90%x＋70%y）元；已知所花的钱数（总售价）是原价（总原价）的85%，可据此列出方程：90%x＋70%y＝（x＋y）×85%；将百分数化为小数得到0.9x＋0.7y＝（x＋y）×0.85，将方程右边展开，此时方程变为0.9x＋0.7y＝0.85x＋0.85y，左右两边同时减去0.85x，再同时减去0.7y，最后两边同时除以0.05，得到x＝3y；根据比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”得到x∶y＝3∶1。 【完整解答】设甲商品的原价为x元，乙商品的原价为y元。 90%x＋70%y＝（x＋y）×85% 0.9x＋0.7y＝（x＋y）×0.85 0.9x＋0.7y＝0.85x＋0.85y 0.9x＋0.7y－0.85x＝0.85x＋0.85y－0.85x 0.05x＋0.7y＝0.85y 0.05x＋0.7y－0.7y＝0.85y－0.7y 0.05x＝0.15y 0.05x÷0.05＝0.15y÷0.05 x＝3y x∶y＝3∶1 因此，甲乙两件商品的原价之比是3∶1。 故答案为：C 【考点再现】通过表示出两种商品原价之和与售价之和的关系，利用等式的变换和比例的性质，求出两件商品的原价之比。 【变式训练1】（2025六年级下·全国·专题练习）分数的分子和分母都同时减去某一个数，根据所得的新分数约分后是，减去的这个数是 。 【答案】55 【思路引导】设减去的数是，得，根据所得的新分数约分后是，即分数值相等，根据比与分数的关系，可得比例：＝。根据比例的基本性质：两个外项的积等于两个内项的积，解此比例，即可求出减去的数的值。 【完整解答】解：设减去的数是。 ＝ 减去的数是55。 【考点再现】根据分数值相等，列出比例求解是关键。 【变式训练2】两筐苹果，第一筐卖出，第二筐卖出，剩下的苹果重量刚好相等。原来这两筐的重量比是（    ）。 A．7∶9 B．9∶7 C．3∶5 D．5∶3 【答案】A 【思路引导】根据题意，把第一筐中原有的苹果重量看作单位“1”，卖出，还剩1－，用第一筐原来的苹果重量乘（1－），假设第一筐中原有的苹果重量为x，表示出第一筐中还剩的苹果重量； 把第二筐中原有苹果重量看作单位“1”，卖出，还剩1－，用第二筐原来的苹果重量乘（1－），假设第二筐中原有的苹果重量为y，表示出第二筐中还剩的苹果重量； 两筐剩下的苹果重量相等，可列出方程，根据比例的基本性质求解即可。 【完整解答】解：设第一筐中原有的苹果重量为x，第二筐中原有的苹果重量为y。 x×（1－）＝y×（1－） x∶y＝（1－）∶（1－） x∶y＝∶ x∶y＝（×63）∶（×63） x∶y＝7∶9 所以原来这两筐的重量比是7∶9。 故答案为：A 【考点再现】此题的解题关键是找到等量关系，通过列方程解含有两个未知数的问题，再利用比例的基本性质，解决问题。 题型二：解比例 【典例精讲】（2025·湖北武汉·小升初真题）有两袋大米共重440千克，甲袋米吃了，乙袋米吃了，这时甲袋米的重量与乙袋米的重量之比为8∶5，问甲袋米原来重（    ）千克。 A．240 B．200 C．220 D．180 【答案】A 【思路引导】设甲袋米原来重千克，则乙袋米原来重千克，根据剩下的甲袋米的重量与乙袋米的重量之比为8∶5，可列出比例，求出的数值，即甲袋米原来的重量。 【完整解答】设甲袋米原来重千克，则乙袋米原来重千克，根据题意列式： 所以甲袋米原来的重量为240千克。 故答案为：A 【考点再现】在解决含比值的方程时，核心是先利用比例的基本性质将比例式转化为普通方程，再通过等式的基本性质求解方程。 【变式训练1】如果，那么 。 【答案】4 【思路引导】根据题意可知，，然后利用比例的基本性质，将方程变为，再根据等式的性质解出x的值，然后把x的值代入计算出y即可。 【完整解答】 解： 解： 【考点再现】解答本题的关键是根据比例的性质和等式的性质进行解答。 【变式训练2】（2023·全国·小升初模拟）求未知数的值。                  【答案】＝10； 【思路引导】（1）方程两边先同时乘6，把方程化简成，然后方程两边先同时减去，再同时加上6，最后同时除以2，求出方程的解； （2）先将比例方程改写成，把方程化简成，然后方程两边先同时除以，再同时减去，最后同时加上，求出方程的解。 【完整解答】（1） 解： （2） 解： 题型三：比例的应用 【典例精讲】（25-26六年级·全国·假期作业）如下图，一个大长方形被两条线段分成四个小长方形。如果图形①、②、③的面积分别为1平方厘米、2平方厘米、3平方厘米，那么涂色部分的面积是多少平方厘米？ 【答案】0.75平方厘米 【思路引导】根据题意可知，图形①、②、③的面积分别为1平方厘米、2平方厘米、3平方厘米，且图形①和②的一条边长度相同。根据长方形面积公式（面积＝长×宽），如果一条边的长度相同，那么面积之比将直接反映另一条边的长度之比。因此，图形①和②在宽度上的比为1∶2。图形①与②的公共边长度相等，且涂色部分所在长方形与图形③的对应边存在相同比例关系，由此可得图形①和②面积比等于涂色部分所在长方形和图形③的面积比。将涂色部分所在长方形的面积设为x平方厘米，再根据比例关系列出比例，解比例即可求出涂色部分所在长方形的面积。又因为空白三角形和小长方形等底等高，所以空白三角形的面积是小长方形的一半，由此可知涂色部分面积占所在小长方形面积的一半。据此解答。 【完整解答】根据分析： 解：设涂色部分所在长方形面积为x平方厘米。 （平方厘米） 答：涂色部分的面积是0.75平方厘米。 【考点再现】解题的关键是用已知面积的比例，推出未知小长方形的面积；用三角形和长方形的关系：三角形面积是等底等高长方形的一半，得到涂色部分的面积也占长方形的一半。 【变式训练1】（24-25六年级上·贵州铜仁·期末）2024年12月1日，王老师和陈老师参加了德江县半程马拉松“欢乐跑”比赛，他们用脚步丈量了德江的激情与欢乐，用奔跑感受“傩戏之乡”“天麻之乡”“奇石之乡”的神奇魅力。当陈老师跑了全程的时，王老师跑了2.4千米；当陈老师跑完全程时，王老师还要跑全程的40%才能到达终点。如果两人的速度都是不变的，你能计算比赛的全程吗？ 【答案】6千米 【思路引导】设比赛的全程为x千米。根据时间相同时，路程之比等于速度之比。由前后两次速度不变且同时进行，可知两次的路程之比相等，第一次陈老师和王老师的路程分别为，第二次陈老师和王老师的路程分别为，二者的比相等，利用比例的基本性质，即可解比例，求得比赛的全程。 【完整解答】解：设比赛的全程为x千米。 x＝6 答：比赛的全程为6千米。 【考点再现】本题重点在于前后两次路程之比相等，设全程为x千米，将陈老师和王老师两次的路程分别表示出来，列出比例，解比例即可。 【变式训练2】（2025·湖北襄阳·小升初真题）如图1所示，小玲有两种不同形状的纸板，一种是正方形的，一种是长方形的。正方形纸板的总数与长方形纸板的总数之比是1∶2。她用这些纸板做成一些如图2所示的竖式和横式的无盖纸盒，正好将纸板用完。在小玲所做的纸盒中，竖式纸盒的总数与横式纸盒的总数之比是多少？ 【答案】1∶2 【思路引导】做一个竖式纸盒要4个长方形纸板和1个正方形纸板，做一个横式纸盒要3个长方形纸板和2个正方形纸板。假设做成的竖式纸盒为a个，做成的横式纸盒为b个。根据正方形纸板的总数与长方形纸板的总数之比是1∶2列方程解决。 【完整解答】解：设竖式纸盒为a个，横式纸盒为b个。 （a＋2b）∶（4a＋3b）＝1∶2 2×（a＋2b）＝4a＋3b 2a＋4b＝4a＋3b 4a－2a＝4b－3b 2a＝b a∶b＝1∶2 答：竖式纸盒的总数与横式纸盒的总数之比是1∶2。 【考点再现】先分析做一个竖式纸盒和一个横式纸盒各自需要的长方形纸板和正方形纸板，再假设它们的个数，用正方形纸板的总数与长方形纸板的总数之比是1∶2列方程解决。 题型四：比例尺的意义 【典例精讲】（23-24六年级下·安徽亳州·期末）小明家客厅的地面想用一种形状像图1，尺寸规格为1.2米×1.2米的方砖铺贴。设计师在研究设计效果图时，把其中一块方砖画在了边长为6厘米的正方形图纸上（如图1）。 （1）方砖中的阴影图案可以由图2通过（    ）运动得到。 （2）正方形图纸（图1）的比例尺是（    ）。 （3）若这个客厅的地面长是7.2米，宽是4.8米。地面铺好后（缝隙忽略不计），阴影图案部分的面积一共占多少平方米？（π取3.14） 【答案】（1）旋转和平移 （2）1∶20 （3）19.6992平方米 【思路引导】（1）旋转的特征：图形旋转后，形状和大小都没有发生变化，只是位置发生了变化；在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离移动的图形运动叫做平移。平移后图形的位置改变，形状、大小、方向不变；由此可知，方砖中的阴影图案可以由图2通过旋转和平移运动得到。 （2）根据图上距离∶实际距离＝比例尺进行解答。 （3）图2的实际面积＝两个半径为1.2÷2＝0.6（米）、圆心角是90°扇形面积－边长0.6米正方形的面积，每块地砖阴影图案面积＝图2实际面积×4；客厅地砖阴影图案部分的面积＝每块地砖阴影图案面积×地砖的块数；地砖的块数＝（客厅长÷地砖边长）×（客厅宽÷地砖边长）。据此解答即可。 【完整解答】（1）方砖中的阴影图案可以由图2通过旋转和平移运动得到。 （2）1.2米＝120厘米 6∶120＝1∶20 所以，正方形图纸（图1）的比例尺是1∶20。 （3）1.2÷2＝0.6（米） 一块方砖的阴影面积： （3.14×0.6×0.6××2－0.6×0.6）×4 ＝（1.1304×－0.36）×4 ＝（0.5652－0.36）×4 ＝0.2052×4 ＝0.8208（平方米） 总的阴影面积：（7.2÷1.2）×（4.8÷1.2）×0.8208 ＝6×4×0.8208 ＝24×0.8208 ＝19.6992（平方米） 答：阴影图案部分的面积一共占19.6992平方米。 【考点再现】本题的难点是计算图2的面积，掌握“图2的实际面积＝两个半径为1.2÷2＝0.6（米）、圆心角是90°扇形面积－边长0.6米正方形的面积”是解答本题的关键。 【变式训练1】（23-24六年级下·广东佛山·期中）500米口径球面射电望远镜FAST被誉为“中国天眼”，2019年FAST将进入全面投入使用阶段，寻找宇宙中的微弱信号，综合性能是著名的射电望远镜阿雷西博的十倍。 （1）“中国天眼”的占地面积约多少平方米？ （2）从正上方观察这个望远镜，按照一定的比例尺在图纸上画出这个圆面，已知图纸上圆的周长是15.7厘米，这个图纸的比例尺是多少？ （3）在“天眼”附近的天象影院可以让我们坐在影院，抬头感受星空独特的美丽。影片介绍八大行星的天体运动和相关天文科学知识，时长20分钟。影片播放前来了一批客人，期间有的人离开了座位，这时候观众席共有18个空位，接着来了3人，此时现场有一半的位置还空着，那开场前来的这批人有多少人？ 【答案】（1）196250平方米 （2）1∶10000 （3）18人 【思路引导】（1）已知“中国天眼”的直径是500米，根据圆的面积公式S＝πr2，即可求出它的占地面积。 （2）已知图纸上圆的周长是15.7厘米，根据圆的周长公式C＝πd可知，d＝C÷π，由此求出直径的图上尺寸； 再根据“比例尺＝图上距离∶实际距离”，以及进率“1米＝100厘米”，即可求出这个图纸的比例尺。 （3）由“这时候观众席共有18个空位，接着来了3人，此时现场有一半的位置还空着”，用“18－3”求出一半的座位，再乘2，即是座位的总数； 由“影片播放前来了一批客人，期间有的人离开了座位，这时候观众席共有18个空位”，把这批客人的总人数看作单位“1”，用座位的总数减去18，求出有的人离开了座位后还剩下的人数，占总人数的（1－），单位“1”未知，用还剩下的人数除以（1－），即可求出这批客人的总人数。 【完整解答】（1）3.14×（500÷2）2 ＝3.14×2502 ＝3.14×62500 ＝196250（平方米） 答：“中国天眼”的占地面积约196250平方米。 （2）15.7÷3.14＝5（厘米） 5厘米∶500米 ＝5厘米∶（500×100）厘米 ＝5∶50000 ＝（5÷5）∶（50000÷5） ＝1∶10000 答：这个图纸的比例尺是1∶10000。 （3）总座位数： （18－3）×2 ＝15×2 ＝30（个） 开场前来的人数： （30－18）÷（1－） ＝12÷ ＝12× ＝18（人） 答：那开场前来的这批人有18人。 【考点再现】（1）本题考查圆的面积公式的运用。 （2）本题考查圆的周长公式以比例尺的意义，求出图上圆的直径是解题的关键。 （3）关键是分析出剩下的人数占总人数的几分之几，找出单位“1”，单位“1”未知，根据分数除法的意义解答。 【变式训练2】（22-23六年级下·陕西商洛·期末）在比例尺为1∶20000000的地图上，测得西安到北京约为5.5厘米，则西安到北京的实际距离是( )千米。一辆客车和一辆货车同时从西安、北京两地相对开出，5.5小时后相遇，已知客车和货车的速度比是3∶2，则货车的速度是( )千米/时。 【答案】 1100 80 【思路引导】已知西安到北京的图上距离和比例尺，根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”，以及进率：1千米＝100000厘米，求出西安到北京的实际距离。 根据“速度和＝相遇路程÷相遇时间”，求出客车和货车的速度和，又已知客车和货车的速度比是3∶2，即客车的速度占3份，货车的速度占2份，一共是（3＋2）份；用两车的速度和除以（3＋2）份，求出一份数，再用一份数乘货车速度的份数，即可求出货车的速度。 【完整解答】实际距离： 5.5÷ ＝5.5×20000000 ＝110000000（厘米） 110000000厘米＝1100千米 速度和：1100÷5.5＝200（千米/时） 一份数： 200÷（3＋2） ＝200÷5 ＝40（千米/时） 货车的速度：40×2＝80（千米/时） 西安到北京的实际距离1100千米，货车的速度是80千米/时。 【考点再现】本题考查比例尺的意义、行程问题和比的应用，掌握图上距离、实际距离、比例尺之间的关系，速度、时间、路程之间的关系是解题的关键。 题型五：应用比例尺画图 【典例精讲】（1）小明家在学校（    ）偏（        ）度的方向上，距离是600米，这幅图的比例尺是（              ）。（图上距离测量结果取整厘米数） （2）少年宫在小明家正东面的方向上，距离是750米，请在图中画出少年宫的位置。 【答案】（1）西；南45；1∶30000 （2）见详解 【思路引导】（1）以学校为观测点，图上的“上北下南，左西右东”为准，经过测量，小明家在学校西偏南45度的方向上，图上距离是2厘米；根据“比例尺＝图上距离∶实际距离”，求出为幅图的比例尺；注意单位的换算：1米＝100厘米。 （2）以小明家为观测点，根据“图上距离＝实际距离×比例尺”，求出少年宫与小明家的图上距离，根据方向和距离，确定少年宫在图上的位置。 【完整解答】（1）经过测量可得：小明家在学校西偏南45度的方向上；（答案不唯一） 图上距离为2厘米（以实际测量为准）； 比例尺是： 2厘米∶600米 ＝2厘米∶（600×100）厘米 ＝2∶60000 ＝（2÷2）∶（60000÷2） ＝1∶30000 （2）750米＝75000厘米 75000×＝2.5（厘米） 少年宫到小明家的图上距离为2.5厘米。 以小明家为观测中心，少年宫在小明家正东方向2.5厘米处，少年宫的位置如图所示。 （以实际测量为准） 【考点再现】本题考查位置与方向的相关知识，找准观测点，根据方向和距离确定位置；灵活运用图上距离、实际距离、比例尺之间的关系，利用比例尺画图。 【变式训练1】（2022·河南漯河·小升初真题）根据下面条件在图中标出各地点的位置。 学校正西方向300米是少年宫，少年宫正北方向200米是动物园，动物园东偏北30°距离200米处是医院。 （1）先自己确定合适的比例尺，再画出上述地点的平面图。 （2）小明从医院经动物园、少年宫到学校，小华从学校经少年宫、动物园到医院，两人同时出发，（沿图中路线行走），小明每分钟走65米，小华每分钟走75米，他们几分钟后相遇？在图上用“▲”标出他们的相遇地点。（写出计算过程） 【答案】（1）见详解 （2）5分钟；见详解 【思路引导】（1）根据题意，最大的距离是300米和图纸的大小，可以确定线段比例尺是：图上1厘米相当于实际距离的50米；然后求出每个地点的图上距离，根据方向与位置的作图方法，画出各地点的平面图。 （2）先用加法求出医院与学校的距离，然后根据相遇时间＝相遇路程÷速度和，求出两人的相遇时间；再根据路程＝速度×时间，分别用两人的速度乘相遇时间，求出相遇时两人各自走的路程，据此确定相遇地点，在图上标出来。 【完整解答】（1）学校正西方向300米是少年宫，图上距离是：300÷50＝6（厘米）； 少年宫正北方向200米是动物园，图上距离是200÷50＝4（厘米）； 动物园东偏北30°距离200米处是医院，图上距离是200÷50＝4（厘米）； 作图如下。 （2）医院与学校相距： 200＋200＋300 ＝400＋300 ＝700（米） 相遇时间： 700÷（65＋75） ＝700÷140 ＝5（分钟） 小明走了：65×5＝325（米） 小华走了：75×5＝375（米） 答：他们5分钟后相遇。 相遇地点如图中“▲”所示。 （以实际测量为准） 【考点再现】（1）掌握根据方向、角度和距离确定物体的位置以及运用比例尺画图，关键是先确定合适的比例尺，进而根据这个比例尺计算出各个地点的图上距离。 （2）考查相遇问题，掌握速度、时间、路程之间的关系是解题的关键。 【变式训练2】下图是学校附近的平面图。 （1）这幅图的数值比例尺是（    ）　。 （2）小红家在学校的（    ）方向，实际距离是（    ）米。 （3）超市位于学校北偏西30°方向2400米处，在图中标出超市的位置。 （4）小青从超市走到学校，向（    ）偏（    ）（    ）°方向走（    ）米就可以到达。 【答案】（1）1∶80000 （2）正东；1600 （3）见详解 （4）南；东；30；2400 【思路引导】（1）图中线段比例尺表示的意思，图上1厘米表示实际的800米；根据比例尺＝图上距离∶实际距离，代入数据计算即可；注意单位的换算：1米＝100厘米； （2）以学校为观测点，根据“上北下南，左西右东”，从图中可以看，小红家在学校的正东方向；用尺子量得小红家距离学校2厘米；根据实际距离＝图上距离÷比例尺，求出小红家与学校的实际距离，最后换算单位为“米”； （3）以学校为观测点，超市位于学校北偏西30°方向2400米处，先将2400米换算成240000厘米，再根据图上距离＝实际距离×比例尺，算出超市与学校的图上距离，最后在图中标出超市的位置； （4）小青从超市走到学校，是以超市为观测点，根据位置的相对性，得出结论。 【完整解答】（1）1厘米∶800米 ＝1厘米∶80000厘米 ＝1∶80000 （2）小红家在学校的正东方向； 量得小红家距离学校2厘米；（以实际测量为准） 实际距离是： 2÷＝160000（厘米） 160000厘米＝1600米 （3）2400米＝240000厘米 240000×＝3（厘米） 如图： （4）小青从超市走到学校，向南偏东30°方向走2400米就可以到达。 【考点再现】掌握图上距离、实际距离、比例尺之间的关系以及根据方向、角度、距离确定位置是解题的关键。 题型六：图上距离与实际距离的换算 【典例精讲】（25-26六年级·全国·随堂练习）在比例尺是1∶22000000的地图上量得北京到广州的铁路线大约长10cm，甲、乙两列动车同时从北京和广州开出，相向而行，5时后两车相遇。已知甲、乙两列动车的速度比为11∶9，两车相遇时，甲车行驶了多少千米？ 【答案】1210km 【思路引导】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，先求出两地实际距离，再根据总路程÷相遇时间＝速度和，因为速度比＝路程比，用速度和÷总份数，求出一份数，一份数×甲车对应份数即可。 【完整解答】（厘米） （千米/时） （千米） 答：甲车行驶了1210千米。 【考点再现】本题综合考察相遇问题，按比分配问题，比例的应用，需要对各知识点非常熟悉，灵活运用。 【变式训练1】（25-26六年级上·广东东莞·阶段练习）请你根据下列的描述，在下图中标出两艘巡洋舰的具体位置。 （1）1号巡洋舰在雷达站北偏东45°方向上，距离600km。 （2）雷达站在2号巡洋舰东偏北60°方向上，距离400km。 【答案】见详解 【思路引导】因为图上距离1厘米表示实际距离1千米，1号巡洋舰、2号巡洋舰与雷达站的实际距离已知，于是可以求出它们与雷达站的图上距离，1号巡洋舰600÷200＝3（厘米），2号巡洋舰400÷200＝2（厘米），再据它们之间的方向关系，即可在图上标出1号巡洋舰和2号巡洋舰的位置。注意：因为雷达站在2号巡洋舰东偏北60°方向上，方位方向是相对的，所以2号巡洋舰在雷达站的西偏南60°方向上。 【完整解答】600÷200＝3（厘米） 400÷200＝2（厘米） 【考点再现】“雷达站在2号巡洋舰东偏北60°方向上”容易误理解为以雷达站为观测点，2号巡洋舰在雷达站的东偏北60°方向。 【变式训练2】（24-25三年级上·全国·单元测试）下面是学校平面图的一部分，其中地下有一根水管经过A点，并与图中的下水道平行。 （1）请在图中画一条直线用来表示这根水管。 （2）图中A点有一个水龙头，现在要从此处挖一条排水沟连接到下水道，应怎样挖才能使其长度最短？（请在图中画一条线段用来表示排水沟） （3）如果图上1厘米代表实际200米，请你量一量，算一算，你设计的这条排水沟的实际长度是多少米？ 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3）400米 【思路引导】（1）利用直尺和三角板，将三角板的一条直角边与下水道重合，直尺靠紧三角板另一边，平移三角板使边过A点，沿三角板过A点的边画直线，此直线即为水管。 （2）用三角板，让一条直角边与下水道重合，推动三角板使另一条直角边过A点，沿过A点的直角边画线段到下水道，这条垂线段就是最短排水沟。 （3）先量出图上排水沟（垂线段）长度，实际长度＝200×图上排水沟长度。实际操作中按测量值算，比如量得图上2厘米，实际就是400米。 【完整解答】（1）经过A点作下水道的平行线，如图： （2）经过A点作下水道的垂线，如图： （3）经过测量A点到下水道的距离是2厘米，那么这条排水沟的实际长度是： （米） 答：这条排水沟的实际长度是400米。 【考点再现】（1）要掌握直尺和三角板画平行线的步骤（贴、靠、移、画），就能完成。 （2）理解点到直线，垂线段最短这一基本几何性质，操作上同样用三角板画垂线。 （3）需先测量图上距离，再用图上距离×比例尺，算出实际长度，涉及简单测量和乘法应用。 题型七：图形的放大与缩小 【典例精讲】（2025·浙江宁波·小升初真题）图形的位置与运动。 （1）以，，为顶点画一个三角形ABC。 （2）画出以点A为中心，三角形ABC顺时针旋转90°后得到的图形，标上①。 （3）画出三角形ABC按放大后的图形，标上②。 （4）画出以点C为圆心，AC长为半径的圆。 【答案】见详解。 【思路引导】（1）根据数对表示物体位置的方法，用数对表示物体的位置时，列数在前，行数在后。据此先在图中确定A、B、C各点的位置，然后依次连接各点，画出这个三角形。 （2）根据图形旋转的性质，图形旋转后，图形的形状和大小不变，只是图形的位置发生了变化；作旋转一定角度后的图形步骤：根据题目要求，确定旋转中心、旋转方向和旋转角；分析所作图形，找出构成图形的关键点；找出关键点的对应点：按一定的方向和角度分别作出各关键点的对应点；作出新图形，顺次连接作出的各点即可；据此画出将三角形绕点A顺时针旋转后图形。 （3）根据图形放大的方法，先求出按2∶1放大后三角形的底和高，放大后三角形的底：（格），三角形的高：（格），然后根据三角形的画法，画出放大后的三角形。 （4）圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小，根据圆的画法，画一个半径为AC，也就是半径是2格长的圆，也就是圆规两脚之间的距离是2格长，据此作图即可。 【完整解答】（1）、（2）、（3）、（4）作图如下所示： 【变式训练1】（24-25六年级下·广西百色·期末）按要求在方格纸上画图并完成填空。 （1）点P的位置用数对表示是（    ）。画出图①绕点M顺时针旋转90°后的图形。 （2）画出②按2∶1的比例放大后的图形，放大后的图形与原来图形的面积比是（    ）。 （3）图③中直角三角形ABC的斜边BC是圆的直径，点O是圆心，AO＝AC。如果每个小方格的边长是2厘米，则点A在点O（    ）偏（    ）（    ）°方向（    ）厘米处。 【答案】（1）（2，5）；图见详解 （2）图见详解；4∶1； （3）东；北；60；6 【思路引导】（1）数对的表示方法是先列后行，点P在第2列，第5行，即可写出点P的数对；图①绕点M顺时针旋转90°，首先确定点M的位置，再将与M点相连的边绕点M顺时针旋转90°，确定旋转后关键点的位置，再连接各点得到旋转后的图形。 （2）画出②按2∶1的比例放大后的图形，先数出原图形的长为3格，宽为2格，放大后长为6格，宽为4格，据此画出放大后的图形；根据放大前后的长、宽分别计算出放大前后的长方形面积，最后写出放大后与原来图形的面积比。 （3）图③中直角三角形ABC的斜边BC是圆的直径，点O是圆心，AO＝AC，且OA＝OC，所以三角形AOC是等边三角形，∠AOC＝60°。每个小方格的边长是2厘米，所以，OA＝OC＝3×2＝6厘米，以O为观测点，点A在点O的东偏北60°方向，距离为6厘米。 【完整解答】根据分析得出： （1）点P在第2列，第5行，即P（2，5）；图①绕点M顺时针旋转90°后的关键点分别为（4，7），（7，5），（4，5）连接各点，如图： （2）放大后的图形长6格，宽为4格，画出图形，如图： 放大后的面积＝长×宽＝6×4＝24 原图形面积＝长×宽＝3×2＝6 放大后面积∶原面积＝24∶6＝4∶1 （3）根据分析得出：∠AOC＝60°，OA＝OC＝3×2＝6厘米，以O为观测点，点A在点O的东偏北60°方向6厘米处。 【考点再现】本题综合考查数对、图形旋转、图形放大以及位置和方向等知识。数对要牢记“先列后行”的规则；图形旋转要找准旋转中心、旋转方向和旋转角度；确定位置时，利用等边三角形找角度，结合方格边长算距离，明确观测点和方向描述。 【变式训练2】请按要求填一填，画一画。 （1）如图，点A在点B的（    ）偏（    ）（    ）°方向。 （2）想象将三角形ABC绕点C顺时针旋转90°后的位置，然后画出点A在旋转过程中经过的路线。旋转后，点A对应的位置用数对表示为 。 （3）画出将三角形ABC按1∶2缩小后的三角形。 （4）图中有一张长6厘米、宽5厘米的长方形纸，想用它做直角三角形的小旗，两条直角边分别是2厘米和3厘米。最多能做（    ）面这样的小旗。（请在图中画一画） 【答案】（1）西；北；45 （2）图见详解；（8，2） （3）见详解 （4）见详解；10 【思路引导】（1）从图中可以看出，三角形ABC是一个等腰直角三角形，所以∠A和∠B都是45°。 以图上的“上北下南，左西右东”为准，以点B为观测点，根据图上的方向和角度得出点A与点B的位置关系。 （2）根据旋转的特征，将三角形ABC绕点C顺时针旋转90°，点C的位置不变，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同度数，据此画出点A在旋转过程中经过的路线。 根据用数对表示位置的方法：数对的第一个数字表示列，第二个数字表示行；据此用数对表示点A绕点C顺时针旋转90°后的位置。 （3）从图中可知，三角形ABC的底和高都是4厘米，按1∶2缩小，则三角形ABC的底和高都是除以2，即是缩小后三角形的底和高，据此画出缩小后的三角形。 （4）两个直角边分别是2厘米和3厘米的直角三角形小旗可以拼成一个小长方形；先把长6厘米、宽5厘米的长方形纸分成两部分，一个是“6×3”的长方形，另一个是“6×2”的长方形；先在“6×3”的长方形上画出3个“3×2”的小长方形，再在“6×2”的长方形上画出2个“3×2”的小长方形，这样一共画了5个小长方形；因为每个小长方形里有2个直角三角形，所以最多做10面直角三角形小旗。 【完整解答】（1）如图，点A在点B的西偏北45°方向。 （2）旋转后，点A对应的位置用数对表示为（8，2）。 （3）缩小后三角形的底和高都是：4÷2＝2（厘米） 缩小后的三角形如下图。 （4）如图，最多能做10面这样的小旗。（画法不唯一） 【考点再现】（1）本题考查方向与位置的知识，找准观测点，根据方向、角度和距离确定物体的位置。 （2）掌握作旋转图形的作图方法以及用数对表示位置的方法是解题的关键。 （3）掌握作缩小后图形的作图方法是解题的关键。 （4）关键是把2个直角三角形小旗看作一个小长方形，先画出小长方形的数量，进而得出直角三角形小旗的数量。 题型八：比例尺应用 【典例精讲】（25-26六年级·全国·随堂练习）甲、乙两地在比例尺是的地图上量得的距离比在比例尺是的地图上量得的距离长3cm。甲、乙两地的实际距离是多少千米？ 【答案】 16千米 【思路引导】根据减法的意义，列出减法算式，求出两个比例尺的差，再根据实际距离＝图上距离÷比例尺，把数据代入公式，求出实际距离，最后换算单位。即可解答。 【完整解答】 （厘米） 厘米＝16千米 答：甲、乙两地的实际距离是16千米。 【考点再现】本题考查了比例尺，掌握图上距离和实际距离的换算方法是解题的关键。 【变式训练1】（25-26六年级·全国·随堂练习）王叔叔下周准备到南京出差，下面是一幅比例尺为1∶35000000的地图（局部）量得图上北京市到南京市距离3cm。王叔叔15：00坐高铁从北京南出发，高铁平均每时行驶300km。 （1）他到达南京时看到的景象可能是（    ）。（填“华灯初上”或“繁星满天”） （2）请通过计算说明你的判断理由。 【答案】（1）华灯初上。 （2）他到达南京的时间是18时30分，看到的景象可能是华灯初上。 【思路引导】根据图上距离和比例尺算出实际距离，再用实际距离除以速度得出行驶时间，然后加上开始坐车的时间，算出到达时间，最后根据到达时间联系生活实际判断景象。 【完整解答】   （时）   他到达南京时看到的景象可能是华灯初上。 答：通过计算可知，他到达南京的时间是18时30分，看到的景象可能是华灯初上。 【考点再现】算出行驶时间后加上开始坐车的时间，得到到达时间，最后根据到达时间联系生活实际判断景象。 【变式训练2】在比例尺是1∶6000000的地图上，量得两地的距离是2.5cm，甲、乙两车从两地同时相向开出，3小时后相遇。已知甲、乙两车的速度比为2∶3，甲、乙两车每小时各行多少千米？ 【答案】甲车每小时行20千米，乙每小时行30千米。 【思路引导】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，求出两地的距离，再根据速度和＝相遇路程÷相遇时间，最后根据按比例分配问题求出甲、乙两车的速度即可。 【完整解答】厘米＝150千米 150÷3＝50（千米） （千米） （千米） 答：甲车每小时行20千米，乙每小时行30千米。 【考点再现】本题考查比例尺、相遇问题、按比例分配问题，解答本题的关键是掌握按比例分配解题的方法。 1．（25-26六年级下·全国·课后作业）下面的等式中，能表示x和y成正比例关系的是（    ）。 A．x－y＝4 B．y＋x＝10 C．x＋y＝24 D．y＝x 【答案】D 【思路引导】两种相关联的量，若它们的比值一定，两种量成正比例；若它们的乘积一定，两种量成反比例。据此解答。 【完整解答】A.（一定），差一定，x和y不成比例关系； B.（一定），和一定，x和y不成比例关系； C.（一定），和一定，x和y不成比例关系； D.，根据等式的性质2，两边同时除以x，可得：（一定），比值一定，x和y成正比例关系。 故答案为：D 2．（25-26六年级下·全国·课后作业）下面各比中，能与组成比例的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】根据比例的定义，表示两个比相等的式子叫做比例。计算的比值，再分别计算各个比的比值，比值相等，则可以组成比例；比值不相等，则不能组成比例，据此解答。 【完整解答】 A.，，不能与组成比例； B.，，不能与组成比例； C.，，能与组成比例； D.，，不能与组成比例。 故答案为：C 3．（25-26六年级上·四川广安·期末）下列说法正确的是（    ）。 A．图形放大后，对应角的度数会变大。 B．若（a、），则。 C．确定物体位置只需知道方向，不用知道距离。 D．真分数的倒数一定大于1，假分数的倒数小于或等于1。 【答案】D 【思路引导】解答这道题需明确：图形放大与缩小的本质是“等比例缩放”，仅改变图形的大小，不改变图形的形状，即对应角的度数始终不变；积相等时，一个因数越小，另一个因数越大；确定物体的位置需要方向和距离两个核心条件；真分数是分子小于分母的分数；假分数是分子大于或等于分母的分数。据此逐项分析题目中的四个选项即可。 【完整解答】根据分析： A．图形放大后，对应角的度数会变大。 图形放大后，只改变了图形的大小，未改变图形的形状，对应角的度数不变。说法错误。 B．若（a、），则。将转换为，因为，所以。说法错误。 C．确定物体位置只需知道方向，不用知道距离。确定物体的位置需要方向和距离两个核心条件，缺一不可。说法错误。 D．真分数的倒数一定大于1，假分数的倒数小于或等于1。真分数是分子小于分母的分数，写成倒数后分子大于分母，结果一定大于1，如的倒数是，；假分数分子大于或等于分母，写成倒数后分子小于或等于分母，结果小于或等于1，如的倒数是，，的倒数是，。说法正确。 故答案为：D 4．（24-25六年级上·广西贵港·期末）在2∶3＝6∶9中，将2缩小到原来的，要使比例仍成立，需要（    ）。 A．把9缩小到原来的 B．把3缩小到原来的 C．把6扩大到原来的10倍 D．把3扩大到原来的10倍 【答案】B 【思路引导】解答这道题需明确比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。在2∶3＝6∶9中，2×9＝3×6＝18。题目中已知“2缩小到原来的”，则外项2变为。分别计算四个选项的两外项的积和两内项的积，看是不是相等，据此判断即可。 【完整解答】根据分析： A．把9缩小到原来的 ，，，两个外项和两个内项的积不相等，比例不成立。 B．把3缩小到原来的 ，，，两个外项的积和两个内项的积相等，比例仍成立。 C．把6扩大到原来的10倍      ，，，两个外项和两个内项的积不相等，比例不成立。 D．把3扩大到原来的10倍 ，，，两个外项和两个内项的积不相等，比例不成立。 故答案为：B 【考点再现】解答这道题的关键是熟知比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 5．（2025·广东广州·小升初模拟）甲、乙、丙三人共同加工一批零件，甲比乙多加工100个，丙∶乙＝3∶4，甲∶（乙＋丙）＝2∶3，甲、乙、丙一共加工了（    ）个零件。 A．1750 B．1800 C．1850 D．1900 【答案】A 【思路引导】根据题意，设乙加工零件为个。已知甲比乙多加工100个，则甲加工（＋100）个；已知丙∶乙＝3∶4，即丙加工零件个数是乙的，也就是丙加工个； 根据甲∶（乙＋丙）＝2∶3，列出比例方程，并求出方程的解，即乙加工零件的个数，进而求出甲、丙加工零件的个数； 最后把三人加工零件的个数相加，求出他们一共加工零件的总个数。 【完整解答】解：设乙加工零件个，则甲加工零件为（＋100）个，丙加工零件为个。 （＋100）∶（＋）＝2∶3 2（＋）＝3（＋100） 2×＝3＋300 ＝3＋300 －3＝300 ＝300 ＝300÷ ＝300×2 ＝600 甲：600＋100＝700（个） 丙：600×＝450（个） 一共：700＋600＋450＝1750（个） 甲、乙、丙一共加工了1750个零件。 故答案为：A 【考点再现】根据甲、乙、丙加工零件个数之间的关系，用未知数表示甲、乙、丙加工零件的个数，再根据已知的比例式列出比例方程是解题的关键。 6．（25-26六年级下·全国·课后作业）如果把一个正方形按放大，放大前后边长的比是( )，面积的比是( )。 【答案】 【思路引导】根据题意，假设原来正方形的边长为1份，放大后的边长为3份，所以放大前后边长的比是； 正方形的面积等于边长乘边长，分别计算放大前和放大后的面积，再求比；原来正方形的面积为（平方厘米），放大后正方形的面积为（平方厘米），所以面积比是。 【完整解答】因此，如果把一个正方形按放大，放大前后边长的比是，面积的比是。 7．（25-26六年级下·全国·课后作业）一张直角三角形硬纸板，两直角边AB与BC的比是，AB长6cm。如果以AB边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积是( )。 【答案】904.32 【思路引导】已知AB与BC的比是，AB长6cm，设BC的长度为xcm，根据比例关系可得：，根据比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”，可得（cm）； 当以AB边为轴旋转一周时，BC边为旋转后所形成圆锥的底面半径，AB边为圆锥的高，所以圆锥的底面半径，高； 将，，代入公式可得：（cm³）。 【完整解答】设BC的长度为xcm：        （cm³） 因此，一张直角三角形硬纸板，两直角边AB与BC的比是，AB长6cm。如果以AB边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积是904.32。 8．（25-26六年级下·全国·课后作业）已知甲×43＝乙×60%，那么甲：乙＝( )。 【答案】 【思路引导】根据比例的基本性质，内项之积等于外项之积；在比例中，甲是外项、所以43也是外项，乙是内项、所以60%也是内项；化简后得到最简比即可，据此解答。 【完整解答】甲：乙＝ 因此，已知甲×43＝乙×60%，那么甲：乙＝。 9．（25-26六年级·全国·假期作业）如图，甲，乙、丙三个互相咬合的齿轮，若使甲轮转5圈时，乙轮转7圈，丙轮转2圈，这三个齿轮齿数最少应分别为( )齿。 【答案】14、10、35 【思路引导】由题意可知，使甲轮转5圈时，乙轮转7圈，丙轮转2圈，也就是三个齿轮转过的总齿数是相等的，即甲轮齿数×5＝乙轮齿数×7＝丙轮齿数×2，所以转过的总齿数是5、7、2的公倍数，要求齿数最少，就是转过的总齿数是5、7、2的最小公倍数，5、7、2的最小公倍数是70；再用70分别除以5、7、2即可求出甲、乙、丙的最少齿数。 【完整解答】根据分析： 5×7×2 ＝35×2 ＝70 甲轮齿数最少为：70÷5＝14（齿）； 乙轮齿数最少为：70÷7＝10（齿）； 丙轮齿数最少为：70÷2＝35（齿）； 甲，乙、丙三个互相咬合的齿轮，若使甲轮转5圈时，乙轮转7圈，丙轮转2圈，这三个齿轮齿数最少应分别为14、10、35齿。 【考点再现】本题关键是根据“甲轮齿数×甲轮转数＝乙轮齿数×乙轮转数＝丙轮齿数×丙轮转数”进行分析解答。 10．（2025·广东广州·小升初模拟）甲、乙、丙三人进行60米赛跑。当甲到达终点时，乙跑了50米，丙跑了45米。如果乙、丙赛跑速度不变，那么乙到达终点时，丙离终点还有 米。 【答案】6 【思路引导】根据时间＝路程÷速度，在相同时间内（时间一定），此时路程和速度成正比。甲乙丙的路程比为60∶50∶45＝12∶10∶9，那么乙与丙的速度比为10∶9，后来的路程比也是10∶9；乙跑完全程还需要跑60－50＝10米，根据比例的基本性质，求出乙跑10米时到终点时丙跑的路程，再用全程分别减去丙2次跑的路程得到丙离终点的路程。 【完整解答】甲乙丙的路程比为： 60∶50∶45 ＝（60÷5）∶（50÷5）∶（45÷5） ＝12∶10∶9 时间一定时，路程比等于速度比，那么乙与丙的速度比为10∶9。 乙到终点还需跑60－50＝10（米），因此乙跑10米∶丙跑的路程＝10∶9，则在乙到达终点时，丙跑的路程为： 10÷10×9 ＝1×9 ＝9（米） 60－45－9＝6（米） 因此，甲、乙、丙三人进行60米赛跑。当甲到达终点时，乙跑了50米，丙跑了45米。如果乙、丙赛跑速度不变，那么乙到达终点时，丙离终点还有6米。 【考点再现】本题需要明确的是在时间一定的情况下，路程比等于速度比（即路程和速度成正比），同时要明确速度比恒定的条件，通过分步计算，得出丙的剩余距离。 11．（2025·重庆渝北·小升初真题）“宫、商、角、徵、羽”是我国古代音乐的基本音阶，基本音阶“徵”的发音管长度比基本音阶“宫”的发音管长，且“徵”的发音管长度∶“宫”的发音管长度，那么 。 【答案】 【思路引导】首先依据“徵的发音管长度比宫长”，把宫的长度看作单位“1”，得出徵的长度为1＋＝，进而转化得到徵与宫的长度比为；接着结合题目给出的比例，根据比例的基本性质“内项积等于外项积”列出方程，求出未知数b的值。 【完整解答】徵与宫的长度比∶（1＋）＝＝ 所以。 【考点再现】先是把“徵比宫长”的分数关系，转化为“徵∶宫＝4∶3”的最简整数比；接着借助比例的基本性质，把比例式转成方程求出未知数b的值。 12．（2025·黑龙江佳木斯·小升初模拟）（甲数和乙数都不等于0），那么甲数∶乙数＝15∶1。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】根据比例的基本性质：两个外项的积等于两个内项的积，如果甲数×a＝乙数×b（a、b均不为0），则甲数∶乙数＝b∶a。本题中a＝，b＝，根据比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变，化简为最简单的整数比，据此判断。 【完整解答】甲数×＝乙数× 甲数∶乙数＝∶ ＝（×20）∶（×20） ＝15∶16 与题干中的15∶1矛盾，因此甲数∶乙数＝15∶1的说法错误。 故答案为：× 13．（24-25六年级下·广东汕头·期末）如果7a＝4b（a、b均不为0），那么a∶b＝7∶4。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】已知7a＝4b，要求a∶b，根据比例的基本性质，将a和7看作比例的外项，4和b看作比例的内项，所以a∶b＝4∶7，而非7∶4。 【完整解答】由7a＝4b，根据比例的基本性质，可得a∶b＝4∶7，所以原题结论错误。 故答案为：× 14．（20-21六年级下·辽宁锦州·期末）乐乐去学校，去时每分走60米，返回时每分走50米，她往返的平均速度一定是55米/分。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】首先根据速度×时间＝路程，可得路程一定时，时间和速度成反比，据此求出去时和返回用的时间的比是多少；然后根据路程÷时间＝速度，用往返的路程除以往返用的总时间，求出她往返的平均速度是每分钟走多少米即可。 【完整解答】乐乐去时和返回用的时间的比是：50∶60＝5∶6， 设去时用的时间是5t，则返回用的时间是6t， （60×5t×2）÷（5t＋6t） ＝600t÷11t ＝600÷11 ＝54（米/分） 故答案为：× 【考点再现】此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间＝路程，路程÷时间＝速度，路程÷速度＝时间，要熟练掌握。 15．（2026六年级下·全国·专题练习）求未知数x。 2x＋3×0.9＝24.7         【答案】x＝11；x＝0.125 【思路引导】依据等式的性质一与等式的性质二解方程。 依据比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积，解比例。 【完整解答】 解：                                          解：            16．（2024·重庆沙坪坝·小升初真题）解方程。 （1） （2）（7.6×35%＋6.5×0.76）∶＝1∶2 【答案】（1）＝； （2）＝15.2 【完整解答】（1）等式的性质：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果还是等式；等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得结果还是等式；根据等式的性质，方程两端同时乘6，去分母；再利用乘法的分配律，将括号去掉，然后将等式的两边的整理，有的可以利用乘法的分配律合并，得出5＋3＝12－6，再根据等式的基本性质，先两边同时减去3，交换等号两边式子的位置，再同时减去5，然后两边同时加上9，最后根据等式的性质2，将等式的两边同时除以7即可； （2）先运用乘法分配律将可以算的先算出；在比例中，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质；根据比例的性质对比例进行改写，最后根据等式的性质解方程。 【解答】（1） 解： 2（2－1）（＋5）＝6（2－1） 4－2 5＝12－6 5＋3＝12－6 5＋3－3＝12－6－3 5＝12－9 12－9－5＝5－5 7－9＝0 7－9＋9＝0＋9 7＝9 7÷7＝9÷7 ＝ （2）（7.6×35%＋6.5×0.76）∶＝1∶2 解：（7.6×0.35＋6.5×0.76）∶＝1∶2 （0.76×3.5＋6.5×0.76）∶＝1∶2 [0.76×（3.5＋6.5）]∶＝1∶2 [0.76×10]∶＝1∶2 7.6∶＝1∶2 ＝7.6×2 ＝15.2 【考点再现】掌握乘法分配律，以及等式的性质，还有比例的基本性质，是解答本题的关键。 17．（25-26六年级上·四川眉山·期末）在比例尺是1∶5000000的地图上，量得两地的距离为12厘米，甲、乙两车同时从两地相向而行，4小时相遇。已知甲、乙两车的速度比是3∶2，甲、乙两车平均每小时各行多少千米？ 【答案】90千米； 60千米 【思路引导】在比例尺是1∶5000000的地图上，意思是，地图上1厘米相当于实际的5000000厘米量得两地的距离为12厘米，则实际距离为：，甲、乙两车同时从两地相向而行，4小时相遇，可以根据同时出发相遇问题：，求出甲、乙的速度和，甲、乙两车的速度比是3∶2，把甲的速度看作3份，乙的速度看作2份，一共是5份，用速度和除以5算出一份的速度，再用一份的速度分别乘3和2，算出甲、乙的速度。 【完整解答】 （） （） （） （） 答：甲每小时行驶90千米，乙每小时行驶60千米。 18．（25-26六年级下·全国·课后作业）在一幅比例尺为的地图上，量得铁路线上A、B两站之间的距离是32cm。甲、乙两列火车同时从A、B两站相对开出，甲火车每小时行120km，乙火车每小时行80km。几小时后两车相遇？ 【答案】 8小时 【思路引导】根据题意，地图比例尺为，铁路线上A、B两站之间的距离是32cm，用32cm除以求出A、B两站之间的实际距离，即甲、乙两车相遇时的路程和，用路程和除以速度和，求出两车相遇的时间，据此解答。 【完整解答】（cm） 160000000cm＝1600km （小时） 答：8小时后两车相遇。 19．（2025·四川绵阳·小升初真题）甲乙两袋米共重440千克，甲袋米吃了，乙袋米吃了，这时甲乙两袋米的质量比为8∶5，两袋米原来各有多少千克？ 【答案】甲袋米原来有240千克，乙袋米原来有200千克 【思路引导】设甲袋原有大米千克，则乙袋原有大米千克；由“甲袋米吃了，”得出甲袋米剩下千克；由“乙袋米吃了，”得出乙袋米剩下，再根据“这时甲、乙两袋米的质量比为8：5”得出等量关系为：甲袋剩下米的质量乙袋剩下米的质量＝，据此列方程解答。 【完整解答】解：设甲袋原有大米千克，则乙袋原有大米千克。 乙原来：（千克） 答：甲袋米原来有240千克，乙袋米原来有200千克。 【考点再现】列方程是解答应用题的一种有效的方法，解题的关键是弄清题意，找出应用题中的等量关系。 20．（2025·湖南长沙·小升初真题）如图①，在底面积为100平方厘米、高为20厘米的长方体水槽内放一个圆柱烧杯，以恒定不变的流量速度先向烧杯中注水，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽为止，此过程中，烧杯本身的质量、体积忽略不计，烧杯在大水槽中的位置始终不改变，水槽中水面上升的高度h（cm）与注水时间t（s）之间的关系如图②所示。 （1）图②中，点_____表示烧杯中刚好注满水，点_____表示水槽中水面恰好与烧杯中水面平齐。 （2）求烧杯的底面积及注满水槽所用的时间。 【答案】（1）A；B （2）烧杯底面积是20平方厘米；注满水槽所用的时间是180秒 【思路引导】（1）观察图②，注水初期仅向烧杯注水，当烧杯刚好注满时，后续注水开始使水槽水面上升，此转折点为点A，故点A表示烧杯中刚好注满水。 当水槽中水面恰好与烧杯中水面平齐时，后续注水的“有效底面积”变为水槽底面积（因烧杯已被水覆盖），水面上升速度改变，此转折点为点B，故点B表示水槽中水面恰好与烧杯中水面平齐。 （2）设烧杯的底面积为S平方厘米、高为厘米，注水速度为每秒v立方厘米，注满水槽所用时间为秒。 由图2知，当注水18秒时，烧杯刚好注满，此时烧杯容积等于注水体积，根据容积＝底面积×高，注水体积＝注水速度×时间（匀速注水情况），得到S＝18v；当注水90s时，水槽内的水面高度恰好是厘米（即烧杯高度），即100＝90V，因为90V=5×18V则有100＝5S，两边同时约掉，即可求出烧杯底面积S。 由图可知注满烧杯和水槽一半所用的时间比是18∶90＝1∶5，当注水速度一定时，此时体积比等于时间比，把烧杯的体积看成1份，水槽一半的体积就是5份，用水槽的底面积乘此时的高度10厘米，再除以5就可以得到烧杯的体积，即：100×10÷5＝200（立方厘米），再根据注水速度＝注水体积÷时间，得到注水速度，即200÷18＝（立方厘米/秒）；再用水槽的总体积除以注水速度，得到注满水槽所用时间，即100×20÷＝180（秒）。 【完整解答】（1）根据分析，可知： 图②中，点A表示烧杯中刚好注满水，点B表示水槽中水面恰好与烧杯中水面平齐。 （2）设烧杯的底面积为S平方厘米、高为厘米，注水速度为每秒v立方厘米，注满水槽所用时间为秒。 由图②知，当注水18秒时，烧杯刚好注满；当注水90s时，水槽内的水面高度恰好是厘米（即烧杯高度），于是S＝18V，100＝90V， 因为90V=5×18V，则有100＝5S， 所以S＝100÷5＝20（平方厘米） 由图可知注满烧杯和水槽一半所用的时间比是18∶90＝1∶5， 烧杯的体积：100×10÷5＝200（立方厘米） 注水速度：200÷18＝（立方厘米/秒） 注满水槽所用时间： 100×20÷ ＝2000÷ ＝2000× ＝180（秒） 答：烧杯的底面积为20平方厘米，注满水槽所用的时间为180秒。 【考点再现】本题核心是利用恒定流量下“体积与时间成正比”的关系，结合图像转折点的实际意义（注满烧杯、水面平齐），通过建立方程求解未知量。关键在于理解不同注水阶段的“有效底面积”变化，从而关联体积、时间和底面积的关系。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项复习三 压轴题八大典型题型 （第二单元 比例） 【原卷版】 题型一：比例的基本性质 【典例精讲】（23-24六年级下·云南普洱·期末）一商场甲商品打九折出售，乙商品打七折出售，小华买回了这两种商品后，发现所花的钱数是两件商品原价的85%。甲乙两件商品的原价之比是（    ）。 A．5∶1 B．4 C．3 D．2 【变式训练1】（2025六年级下·全国·专题练习）分数的分子和分母都同时减去某一个数，根据所得的新分数约分后是，减去的这个数是 。 【变式训练2】两筐苹果，第一筐卖出，第二筐卖出，剩下的苹果重量刚好相等。原来这两筐的重量比是（    ）。 A．7∶9 B．9∶7 C．3∶5 D．5∶3 题型二：解比例 【典例精讲】（2025·湖北武汉·小升初真题）有两袋大米共重440千克，甲袋米吃了，乙袋米吃了，这时甲袋米的重量与乙袋米的重量之比为8∶5，问甲袋米原来重（    ）千克。 A．240 B．200 C．220 D．180 【变式训练1】如果，那么 。 【变式训练2】（2023·全国·小升初模拟）求未知数的值。                  题型三：比例的应用 【典例精讲】（25-26六年级·全国·假期作业）如下图，一个大长方形被两条线段分成四个小长方形。如果图形①、②、③的面积分别为1平方厘米、2平方厘米、3平方厘米，那么涂色部分的面积是多少平方厘米？ 【变式训练1】（24-25六年级上·贵州铜仁·期末）2024年12月1日，王老师和陈老师参加了德江县半程马拉松“欢乐跑”比赛，他们用脚步丈量了德江的激情与欢乐，用奔跑感受“傩戏之乡”“天麻之乡”“奇石之乡”的神奇魅力。当陈老师跑了全程的时，王老师跑了2.4千米；当陈老师跑完全程时，王老师还要跑全程的40%才能到达终点。如果两人的速度都是不变的，你能计算比赛的全程吗？ 【变式训练2】（2025·湖北襄阳·小升初真题）如图1所示，小玲有两种不同形状的纸板，一种是正方形的，一种是长方形的。正方形纸板的总数与长方形纸板的总数之比是1∶2。她用这些纸板做成一些如图2所示的竖式和横式的无盖纸盒，正好将纸板用完。在小玲所做的纸盒中，竖式纸盒的总数与横式纸盒的总数之比是多少？ 题型四：比例尺的意义 【典例精讲】（23-24六年级下·安徽亳州·期末）小明家客厅的地面想用一种形状像图1，尺寸规格为1.2米×1.2米的方砖铺贴。设计师在研究设计效果图时，把其中一块方砖画在了边长为6厘米的正方形图纸上（如图1）。 （1）方砖中的阴影图案可以由图2通过（    ）运动得到。 （2）正方形图纸（图1）的比例尺是（    ）。 （3）若这个客厅的地面长是7.2米，宽是4.8米。地面铺好后（缝隙忽略不计），阴影图案部分的面积一共占多少平方米？（π取3.14） 【变式训练1】（23-24六年级下·广东佛山·期中）500米口径球面射电望远镜FAST被誉为“中国天眼”，2019年FAST将进入全面投入使用阶段，寻找宇宙中的微弱信号，综合性能是著名的射电望远镜阿雷西博的十倍。 （1）“中国天眼”的占地面积约多少平方米？ （2）从正上方观察这个望远镜，按照一定的比例尺在图纸上画出这个圆面，已知图纸上圆的周长是15.7厘米，这个图纸的比例尺是多少？ （3）在“天眼”附近的天象影院可以让我们坐在影院，抬头感受星空独特的美丽。影片介绍八大行星的天体运动和相关天文科学知识，时长20分钟。影片播放前来了一批客人，期间有的人离开了座位，这时候观众席共有18个空位，接着来了3人，此时现场有一半的位置还空着，那开场前来的这批人有多少人？ 【变式训练2】（22-23六年级下·陕西商洛·期末）在比例尺为1∶20000000的地图上，测得西安到北京约为5.5厘米，则西安到北京的实际距离是( )千米。一辆客车和一辆货车同时从西安、北京两地相对开出，5.5小时后相遇，已知客车和货车的速度比是3∶2，则货车的速度是( )千米/时。 题型五：应用比例尺画图 【典例精讲】（1）小明家在学校（    ）偏（        ）度的方向上，距离是600米，这幅图的比例尺是（              ）。（图上距离测量结果取整厘米数） （2）少年宫在小明家正东面的方向上，距离是750米，请在图中画出少年宫的位置。 【变式训练1】（2022·河南漯河·小升初真题）根据下面条件在图中标出各地点的位置。 学校正西方向300米是少年宫，少年宫正北方向200米是动物园，动物园东偏北30°距离200米处是医院。 （1）先自己确定合适的比例尺，再画出上述地点的平面图。 （2）小明从医院经动物园、少年宫到学校，小华从学校经少年宫、动物园到医院，两人同时出发，（沿图中路线行走），小明每分钟走65米，小华每分钟走75米，他们几分钟后相遇？在图上用“▲”标出他们的相遇地点。（写出计算过程） 【变式训练2】下图是学校附近的平面图。 （1）这幅图的数值比例尺是（    ）　。 （2）小红家在学校的（    ）方向，实际距离是（    ）米。 （3）超市位于学校北偏西30°方向2400米处，在图中标出超市的位置。 （4）小青从超市走到学校，向（    ）偏（    ）（    ）°方向走（    ）米就可以到达。 题型六：图上距离与实际距离的换算 【典例精讲】（25-26六年级·全国·随堂练习）在比例尺是1∶22000000的地图上量得北京到广州的铁路线大约长10cm，甲、乙两列动车同时从北京和广州开出，相向而行，5时后两车相遇。已知甲、乙两列动车的速度比为11∶9，两车相遇时，甲车行驶了多少千米？ 【变式训练1】（25-26六年级上·广东东莞·阶段练习）请你根据下列的描述，在下图中标出两艘巡洋舰的具体位置。 （1）1号巡洋舰在雷达站北偏东45°方向上，距离600km。 （2）雷达站在2号巡洋舰东偏北60°方向上，距离400km。 【变式训练2】（24-25三年级上·全国·单元测试）下面是学校平面图的一部分，其中地下有一根水管经过A点，并与图中的下水道平行。 （1）请在图中画一条直线用来表示这根水管。 （2）图中A点有一个水龙头，现在要从此处挖一条排水沟连接到下水道，应怎样挖才能使其长度最短？（请在图中画一条线段用来表示排水沟） （3）如果图上1厘米代表实际200米，请你量一量，算一算，你设计的这条排水沟的实际长度是多少米？ 题型七：图形的放大与缩小 【典例精讲】（2025·浙江宁波·小升初真题）图形的位置与运动。 （1）以，，为顶点画一个三角形ABC。 （2）画出以点A为中心，三角形ABC顺时针旋转90°后得到的图形，标上①。 （3）画出三角形ABC按放大后的图形，标上②。 （4）画出以点C为圆心，AC长为半径的圆。 【变式训练1】（24-25六年级下·广西百色·期末）按要求在方格纸上画图并完成填空。 （1）点P的位置用数对表示是（    ）。画出图①绕点M顺时针旋转90°后的图形。 （2）画出②按2∶1的比例放大后的图形，放大后的图形与原来图形的面积比是（    ）。 （3）图③中直角三角形ABC的斜边BC是圆的直径，点O是圆心，AO＝AC。如果每个小方格的边长是2厘米，则点A在点O（    ）偏（    ）（    ）°方向（    ）厘米处。 【变式训练2】请按要求填一填，画一画。 （1）如图，点A在点B的（    ）偏（    ）（    ）°方向。 （2）想象将三角形ABC绕点C顺时针旋转90°后的位置，然后画出点A在旋转过程中经过的路线。旋转后，点A对应的位置用数对表示为 。 （3）画出将三角形ABC按1∶2缩小后的三角形。 （4）图中有一张长6厘米、宽5厘米的长方形纸，想用它做直角三角形的小旗，两条直角边分别是2厘米和3厘米。最多能做（    ）面这样的小旗。（请在图中画一画） 题型八：比例尺应用 【典例精讲】（25-26六年级·全国·随堂练习）甲、乙两地在比例尺是的地图上量得的距离比在比例尺是的地图上量得的距离长3cm。甲、乙两地的实际距离是多少千米？ 【变式训练1】（25-26六年级·全国·随堂练习）王叔叔下周准备到南京出差，下面是一幅比例尺为1∶35000000的地图（局部）量得图上北京市到南京市距离3cm。王叔叔15：00坐高铁从北京南出发，高铁平均每时行驶300km。 （1）他到达南京时看到的景象可能是（    ）。（填“华灯初上”或“繁星满天”） （2）请通过计算说明你的判断理由。 【变式训练2】在比例尺是1∶6000000的地图上，量得两地的距离是2.5cm，甲、乙两车从两地同时相向开出，3小时后相遇。已知甲、乙两车的速度比为2∶3，甲、乙两车每小时各行多少千米？ 1．（25-26六年级下·全国·课后作业）下面的等式中，能表示x和y成正比例关系的是（    ）。 A．x－y＝4 B．y＋x＝10 C．x＋y＝24 D．y＝x 2．（25-26六年级下·全国·课后作业）下面各比中，能与组成比例的是（    ）。 A． B． C． D． 3．（25-26六年级上·四川广安·期末）下列说法正确的是（    ）。 A．图形放大后，对应角的度数会变大。 B．若（a、），则。 C．确定物体位置只需知道方向，不用知道距离。 D．真分数的倒数一定大于1，假分数的倒数小于或等于1。 4．（24-25六年级上·广西贵港·期末）在2∶3＝6∶9中，将2缩小到原来的，要使比例仍成立，需要（    ）。 A．把9缩小到原来的 B．把3缩小到原来的 C．把6扩大到原来的10倍 D．把3扩大到原来的10倍 5．（2025·广东广州·小升初模拟）甲、乙、丙三人共同加工一批零件，甲比乙多加工100个，丙∶乙＝3∶4，甲∶（乙＋丙）＝2∶3，甲、乙、丙一共加工了（    ）个零件。 A．1750 B．1800 C．1850 D．1900 6．（25-26六年级下·全国·课后作业）如果把一个正方形按放大，放大前后边长的比是( )，面积的比是( )。 7．（25-26六年级下·全国·课后作业）一张直角三角形硬纸板，两直角边AB与BC的比是，AB长6cm。如果以AB边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积是( )。 8．（25-26六年级下·全国·课后作业）已知甲×43＝乙×60%，那么甲：乙＝( )。 9．（25-26六年级·全国·假期作业）如图，甲，乙、丙三个互相咬合的齿轮，若使甲轮转5圈时，乙轮转7圈，丙轮转2圈，这三个齿轮齿数最少应分别为( )齿。 10．（2025·广东广州·小升初模拟）甲、乙、丙三人进行60米赛跑。当甲到达终点时，乙跑了50米，丙跑了45米。如果乙、丙赛跑速度不变，那么乙到达终点时，丙离终点还有 米。 11．（2025·重庆渝北·小升初真题）“宫、商、角、徵、羽”是我国古代音乐的基本音阶，基本音阶“徵”的发音管长度比基本音阶“宫”的发音管长，且“徵”的发音管长度∶“宫”的发音管长度，那么 。 12．（2025·黑龙江佳木斯·小升初模拟）（甲数和乙数都不等于0），那么甲数∶乙数＝15∶1。( )（判断对错） 13．（24-25六年级下·广东汕头·期末）如果7a＝4b（a、b均不为0），那么a∶b＝7∶4。( )（判断对错） 14．（20-21六年级下·辽宁锦州·期末）乐乐去学校，去时每分走60米，返回时每分走50米，她往返的平均速度一定是55米/分。( )（判断对错） 15．（2026六年级下·全国·专题练习）求未知数x。 2x＋3×0.9＝24.7         16．（2024·重庆沙坪坝·小升初真题）解方程。 （1） （2）（7.6×35%＋6.5×0.76）∶＝1∶2 17．（25-26六年级上·四川眉山·期末）在比例尺是1∶5000000的地图上，量得两地的距离为12厘米，甲、乙两车同时从两地相向而行，4小时相遇。已知甲、乙两车的速度比是3∶2，甲、乙两车平均每小时各行多少千米？ 18．（25-26六年级下·全国·课后作业）在一幅比例尺为的地图上，量得铁路线上A、B两站之间的距离是32cm。甲、乙两列火车同时从A、B两站相对开出，甲火车每小时行120km，乙火车每小时行80km。几小时后两车相遇？ 19．（2025·四川绵阳·小升初真题）甲乙两袋米共重440千克，甲袋米吃了，乙袋米吃了，这时甲乙两袋米的质量比为8∶5，两袋米原来各有多少千克？ 20．（2025·湖南长沙·小升初真题）如图①，在底面积为100平方厘米、高为20厘米的长方体水槽内放一个圆柱烧杯，以恒定不变的流量速度先向烧杯中注水，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽为止，此过程中，烧杯本身的质量、体积忽略不计，烧杯在大水槽中的位置始终不改变，水槽中水面上升的高度h（cm）与注水时间t（s）之间的关系如图②所示。 （1）图②中，点_____表示烧杯中刚好注满水，点_____表示水槽中水面恰好与烧杯中水面平齐。 （2）求烧杯的底面积及注满水槽所用的时间。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $