第二单元 比例（易错笔记)易错知识梳理+十大易错考点讲练+优选真题拔尖练 共45题-2025-2026学年北师大版数学六年级下册培优讲练

该小学数学讲义通过框架图系统梳理北师大版六年级下册“比例”单元知识体系，将比例的意义、基本性质、解比例、比例尺、图形放大缩小等核心知识点按“概念-性质-应用”逻辑呈现，明确易错点如比例尺单位统一、图形放大后形状不变等，突出知识内在联系。 讲义亮点在于“一讲多练”分层设计，每个高频易错考点配典例精讲与变式训练，如比例基本性质填数题、比例尺实际距离计算，培养运算能力与模型意识。15道易错真题拔尖练助力学生巩固技巧，教师可据此实施分层教学，支持不同学生提升。

第二单元 比例 【解析版】 同学你好，该份讲义用于北师大版六年级下册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 易错知识梳理：强化巩固细节知识，给出常考易错点，解题技巧以及提分方法，助你正确理解运用知识点，查漏补缺； 2. 易错考点讲练：优选高频考察易错题，汇编整理，精选近两年各地名校易错题类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 3. 易错真题拔尖练：结合本专题内容精选15题历年常考易错题目，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 1.比例中等号的两侧必须都是一个比。 2.把等式ax=by改写成比例时，相乘的2个字母必须同时作比例的外项或内项。 3.根据比例的基本性质解比例时，应该先把比例转化成“两个外项的积=两个内项的积”的形式，再解方 程。 4 图上距离一般用厘米做单位，实际距离一般用米或千米做单位，计算时要先统一单位。 5.比例尺是图上距离与实际距离的比，是一个比值，没有单位。 6.通常缩小比例尺的前项为1，放大比例尺的后项为1。 7.把图形放大（或缩小）后，形状不变，相对应的角的度数也不变。 高频易错考点一：比例的意义 【典例精讲】（24-25六年级下·辽宁·随堂练习）应用比例内项的积与外项的积的关系，判断下面哪几组的两个比可以组成比例，并写出组成的比例。 10∶1.5和8∶1.2        6∶9和12∶18 和        9∶12和 【答案】见详解 【思路引导】根据比例的性质“两外项的积等于两内项的积”，分别求出每组的两内项积和两外项积，如果相等，就说明两个比能组成比例，不相等就不能组成比例，据此即可解答。 【完整解答】（1）因为10×1.2＝12，1.5×8＝12，12＝12，所以10∶1.5和8∶1.2可以组成比例，比例为：10∶1.5＝8∶1.2； （2）因为6×18＝108，9×12＝108，108＝108，所以6∶9和12∶18可以组成比例，比例为：6∶9＝12∶18； （3）因为，，，所以和不能组成比例； （4）因为，，，所以9∶12和不能组成比例。 【变式训练1】（24-25六年级下·辽宁·随堂练习） （1）分别写出图中两个长方形长与长的比和宽与宽的比，判断这两个比能否组成比例。 （2）分别写出图中每个长方形长与宽的比，判断这两个比能否组成比例。 【答案】（1）3∶9；2∶6；能； （2）3∶2；9∶6；能 【思路引导】表示两个比相等的式子叫作比例，假设出方格的边长，写出题目中的比并求出比值，再根据比例的意义判断两个比能否组成比例，据此解答。 【完整解答】假设方格的边长为1厘米。 （1）小长方形的长为3厘米，大长方形的长为9厘米，小长方形的宽为2厘米，大长方形的宽为6厘米。 小长方形的长∶大长方形的长 ＝3∶9 ＝（3÷3）∶（9÷3） ＝1∶3 ＝ 小长方形的宽∶大长方形的宽 ＝2∶6 ＝（2÷2）∶（6÷2） ＝1∶3 ＝ 因为＝，所以这两个长方形长与长的比和宽与宽的比能组成比例，3∶9＝2∶6。 （2）小长方形的长∶小长方形的宽 ＝3∶2 ＝ 大长方形的长∶大长方形的宽 ＝9∶6 ＝（9÷3）∶（6÷3） ＝3∶2 ＝ 因为＝，所以图中每个长方形长与宽的比能组成比例，3∶2＝9∶6。 【变式训练2】．（23-24六年级下·河南商丘·期末）如果6，7，8，A四个数可以组成一个比例，那么A最大是( )，用这四个数组成的比例是( )（写出一个即可）。 【答案】 6∶7＝8∶ 【思路引导】要使A最大，只要用给出的三个数中比较大的两个数7和8做这个比例的两个外项或两个内项；那么6和A就做比例的两个内项或外项，根据比例的基本性质：两个外项之积等于两个内项之积，据此求出A的值，再写出比例，（比例的答案不唯一），据此解答。 【完整解答】A最大： 7×8÷6 ＝56÷6 ＝ 比例：6∶7＝8∶。 如果6，7，8，A四个数可以组成一个比例，那么A最大是，用这四个数组成的比例是6∶7＝8∶。 高频易错考点二：比例的基本性质 【典例精讲】（25-26六年级·全国·随堂练习）根据比例的基本性质，在括号里填上合适的数。 3∶( )＝8∶40       2.5∶0.5＝( )∶0.4       9∶6＝∶( ) ( )∶100＝∶25     3.6∶( )＝∶       ∶＝( )∶ 【答案】 15 2 5.4 【思路引导】根据比例的基本性质，内项积等于外项积，据此解答。 【完整解答】（1）外项积等于内项积：，所以①：； （2）外项积等于内项积：，所以②：； （3）外项积等于内项积：，所以③：； （4）外项积等于内项积：，所以④：； （5）外项积等于内项积：，所以⑤：； （6）外项积等于内项积：，所以⑥：。 【变式训练1】（25-26六年级·全国·随堂练习）在比例5∶30＝7∶42中，将前一个比的后项减20，后一个比的前项加上( )，比例仍然成立。 【答案】14 【思路引导】根据比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积，，如果将前一个比的后项减20，也就是将30变为（），根据比例的基本性质，用即可求出后一个比的前项变成新的数，进而求出后一个比的前项增加了多少。 【完整解答】 在比例中，将前一个比的后项减20，后一个比的前项加上14，比例仍然成立。 【变式训练2】（25-26六年级·全国·假期作业）已知A∶B＝C∶D，现在将A扩大到原来的2倍，B缩小到原来的，C不变，D要怎样变化才能使比例仍然成立？ 【答案】D缩小到原来的 【思路引导】根据比例的基本性质，比例的两内项积＝两外项积，已知A∶B＝C∶D，可得AD＝BC。根据A扩大到原来的2倍，B缩小到原来的，写出变化后A和B的比2A∶B，化简得变化后A和B的比是4A∶B，C不变，假设变化后的D为D1，新的比例是4A∶B＝C∶D1，再根据比例的基本性质，得出4AD1＝BC，即4AD1＝AD，因为4A×D＝AD，所以D1＝D，即D缩小到原来的。 【完整解答】已知A∶B＝C∶D，根据比例的基本性质可得AD＝BC。 A扩大到原来的2倍，B缩小到原来的， 即2A∶B＝（2A×2）∶（B×2）＝4A∶B， C不变，假设变化后的D为D1，4A∶B＝C∶D1，根据比例的基本性质可得4AD1＝BC， 即4AD1＝AD，因为4A×D＝AD，所以D1＝D。 答：D要缩小到原来的才能使比例仍然成立。 【考点再现】关键是掌握并灵活运用比例的基本性质。 高频易错考点三：解比例 【典例精讲】（24-25六年级下·吉林长春·期末）解方程。                   【答案】；； 【思路引导】根据等式的基本性质，方程两边同时减去9.2，两边再同时除以6； 根据比例的基本性质，先把比例化为方程：14＝×6.3，根据等式的基本性质，两边再同时除以14； 先把方程左边化为9，根据等式的基本性质，两边再同时乘。 【完整解答】 解： ＝3.6÷6 ＝0.6 解： ＝2.8÷14 解： ×9＝× 【变式训练1】（24-25六年级下·吉林长春·期末）美术课上，老师把一些彩色铅笔按4∶3分给甲组和乙组同学。甲组比乙组多分到10支彩色铅笔，甲、乙两组各分到多少支彩色铅笔？ 【答案】甲组分到40支彩色铅笔，乙组分到30支彩色铅笔。 【思路引导】设乙组分到支，甲组分到支。由题意可知等量关系式，甲组分得的支数∶乙组分得的支数＝4∶3，据此列方程并求解，可得乙组分得的支数，再加10可得甲组分得的支数。 【完整解答】解：设乙组分到支，甲组分到支。 甲组：30＋10＝40（支） 答：甲组分到40支彩色铅笔，乙组分到30支彩色铅笔。 【变式训练2】解方程。      7x－5×（x＋）＝x＋27     【答案】x＝68；x＝28；x＝ 【思路引导】x÷4＋3＝x÷3－，根据分数与除法的关系，把x÷4写出；x÷3写出，原式化为：＋3＝－，再根据等式的性质1，方程两边同时减去，再加上，原式化为：－＝3＋，化简含有x的算式，即求出－的差，再根据等式的性质2，方程两边同时除以－的差即可； 7x－5×（x＋）＝x＋27，化简，去掉括号，原式化为：7x－5x－1＝x＋27，再根据等式的性质1，方程两边同时减去x，再加上1，原式化为：7x－5x－x＝27＋1，再进行计算； ＝（5x＋5）÷6，把（5x＋5）÷6化为，＝，解比例，原式化为：6×（4x－1）＝3×（5x＋5），化简，原式化为：24x－6＝15x＋15，再根据等式的性质1，方程两边同时减去15x，再加上6，原式化为：24x－15x＝15＋6，化简方程左边含有x的算式，即求出24－15的差，再根据等式的性质2，方程两边同时除以24－15的差，即可。 【完整解答】x÷4＋3＝x÷3－ 解：＋3＝－ －＋3＋＝－－＋ －＝ x－x＝ x＝ x÷＝÷ x＝×12 x＝68 7x－5×（x＋）＝x＋27 解：7x－5x－1＝x＋27 2x－1＝x＋27 2x－x－1＋1＝x－x＋27＋1 x＝28 ＝（5x＋5）÷6 解：＝ 6×（4x－1）＝3×（5x＋5） 24x－6＝15x＋15 24x－15x－6＋6＝15x－15x＋15＋6 9x＝21 x＝21÷9 x＝ 高频易错考点四：比例的应用 【典例精讲】（24-25六年级下·辽宁·随堂练习）作业本上的6个小星星可以换2面小红旗。淘气的作业本上已经有了15个小星星。 （1）15个小星星可以换多少面小红旗？写出你的想法。 （2）假设15个小星星可以换x面小红旗，你能列比例并解决问题吗？ 【答案】（1）5面 （2）5面 【思路引导】（1）先求出1面小红旗需要几个小星星来换，再计算15个小星星可以换几面小红旗； （2）由于小星星的个数：小红旗的数量的比值不变，据此列出比例并解答。 【完整解答】（1）15÷（6÷2） ＝15÷3 ＝5（面） 答：15个小星星可以换5面小红旗。 （2）解：设15个小星星可以换x面小红旗。 6∶2＝15∶x 6x＝2×15 6x＝30 x＝30÷6 x＝5 答：15个小星星可以换5面小红旗。 【变式训练1】（24-25六年级下·广东深圳·开学考试）一堆黑白围棋子，从中取走了15粒白子，余下黑子数与白子数之比为2∶1，此后又从中取走了45粒黑子，余下黑子数与白子数之比为1∶5，那么这堆棋子原来共有( )粒。 【答案】90 【思路引导】设白子的数量为x粒，余下的黑子数与白子数之比为2∶1，那么黑子的数量为2（x－15）粒，再根据“又取走黑子45粒，余下的黑子数与白子数之比是1∶5，”可列比例式（x－15）∶[2（x－15）－45]＝5∶1，再解出未知数就是原来白子的数量，再用原来白子数量减去15，再乘2就是原来黑子的数量，再用原来白子的数量加上原来黑子的数量就是原来这堆棋子的数量。 【完整解答】解：设原来白子的数量为x粒，那么黑子的数量为2（x－15）粒。 （x－15）∶[2（x－15）－45]＝5∶1 （x－15）∶[2x－30－45]＝5∶1 （x－15）∶（2x－75）＝5∶1 x－15＝（2x－75）×5 x－15＝10x－375 x－15＋15＝10x－375＋15 x＝10x－360 x＋360＝10x－360＋360 x＋360＝10x x＋360－x＝10x－x 9x＝360 9x÷9＝360÷9 x＝40 2×（40－15） ＝2×25 ＝50（粒） 40＋50＝90（粒） 所以这堆棋子原来共有90粒。 【变式训练2】（23-24六年级下·四川成都·期中）在秋季田径运动会60米赛跑中，当甲运动员冲过终点时，领先乙10米，领先丙20米，领先丁30米。如果乙、丙和丁都按原来的速度继续冲向终点，那么当乙到达终点时将领先丙多少米？当丙到达终点时将领先了丁多少米？ 【答案】12米；15米 【思路引导】根据题意可知，甲运动员冲过终点时，乙跑了（60－10）米，丙跑了（60－20）米；丁跑了（60－30）米，由于用的时间相同，他们跑的速度比等于路程比；先求出乙与丙的路程比；用（60－10）∶（60－20）＝5∶4；乙距离终点还有10米，设乙跑完10米，丙跑的路程为x米；列比例：5∶4＝10∶x，解比例，求出丙跑的距离，再用20－丙跑的路程，求出当乙到达终点时将领先丙多少米。同样，丙与丁的速度比等于他们的路程比；据此求出丙与丁的路程比，设出未知数，求出丙跑到终点，丁距离终点的路程，据此解答。 【完整解答】乙的路程∶丙的路程＝（60－10）∶（60－20） ＝50∶40 ＝（50÷10）∶（40÷10） ＝5∶4 解：设乙跑完10米，丙跑了x米。 5∶4＝10∶x 5x＝4×10 5x＝40 x＝40÷5 x＝8 20－8＝12（米） 丙的路程与丁的路程比＝（60－20）∶（60－30） ＝40∶30 ＝（40÷10）∶（30÷10） ＝4∶3 解：设丙跑完20米，丁跑了y米。 4∶3＝20∶y 4y＝3×20 4y＝60 y＝60÷4 y＝15 30－15＝15（米） 答：当乙到达终点时将领先丙12米。当丙到达终点时将领先了丁15米。 【考点再现】解答本题的关键是根据比的意义，求出他们的路程比，进而列出比例解答。 高频易错考点五：比例尺的意义 【典例精讲】（25-26六年级·全国·假期作业）在比例尺是的地图上量得甲、乙两地之间的距离是20厘米。在比例尺为1∶20000的地图上，甲、乙两地之间的距离是多少厘米？ 【答案】30厘米 【思路引导】根据图上距离÷比例尺＝实际距离，求出甲、乙两地之间的实际距离，再根据实际距离×比例尺＝图上距离，求出在比例尺为1∶20000的地图上的距离。 【完整解答】1厘米∶300米 ＝1厘米∶30000厘米 ＝1∶30000 20÷ ＝20×30000 ＝600000（厘米） 600000×＝30（厘米） 答：在比例尺为1∶20000的地图上，甲。乙两地之间的距离是30厘米。 【变式训练1】（24-25六年级下·陕西榆林·期末）高速公路规定最高车速不得超过120千米/时，在一幅比例尺是1∶4000000的地图上，量得甲、乙两个城市间的高速公路长6.9厘米，刘叔叔开车用2.4小时匀速行驶完了这段路程。他开车超速了吗？ 【答案】没超速 【思路引导】比例尺1∶4000000＝，表示图上1厘米代表实际距离4000000厘米。根据实际距离＝图上距离÷比例尺，据此求出甲、乙两个城市间的高速公路实际长，根据速度＝路程÷时间，据此求出速度，再与120千米/时比较即可得出结论。 【完整解答】1∶4000000＝ 6.9÷ ＝6.9×4000000 ＝27600000（厘米） 1千米＝100000厘米 27600000÷100000＝276（千米） 276÷2.4＝115（千米/小时） 115＜120 答：他开车没超速。 【变式训练2】（25-26六年级·全国·假期作业）一幅地图的线段比例尺是，甲，乙两地在这幅地图上相距15厘米。如果把它们画在比例尺是1∶5000000的地图上，那么甲、乙两地之间的距离应该画多少厘米？ 【答案】9厘米 【思路引导】图上距离＝比例尺×实际距离，实际距离＝图上距离÷比例尺，先求出甲、乙两地之间的实际距离，再根据新的比例尺，求出图上距离。 【完整解答】30千米＝3000000厘米 15÷ ＝15×3000000 ＝45000000（厘米） 45000000×＝9（厘米） 答：甲、乙两地之间的距离应该画9厘米。 高频易错考点六：图上距离与实际距离的换算 【典例精讲】（25-26六年级·全国·假期作业）在比例尺是1∶6000000的图纸上量得北京到西安的距离是18厘米。今年暑假，华华爸爸准备带华华去西安参观兵马俑，若开车自驾，每小时行90千米，从北京到西安需要多少小时？ 【答案】12小时 【思路引导】先根据比例尺，实际距离＝图上距离÷比例尺，用18厘米除以即可计算出北京到西安的实际距离，然后根据1千米＝1000米＝100000厘米，将该距离单位从厘米转换为千米，用北京到西安的实际距离除以自驾的速度90千米/小时即可求出从北京到西安需要多少小时。 【完整解答】18÷=18×6000000＝108000000（厘米） 108000000÷100000＝1080（千米） 1080÷90＝12（小时） 答：从北京到西安需要12小时。 【变式训练1】（25-26六年级·全国·假期作业）幸福村在美丽乡村建设项目中计划建一处垃圾中转站，在比例尺为1∶30的设计图纸上，垃圾站地基长25cm，宽20cm，深10cm，挖地基时至少能挖出（    ）m3的土。 A．45 B．13.5 C．135 D．50 【答案】C 【思路引导】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，先换算出实际长、宽、深，深相当于长方体的高，根据长方体体积＝长×宽×高，列式计算即可。 【完整解答】25cm＝0.25m、0.25÷＝0.25×30＝7.5（m） 20cm＝0.2m、0.2÷＝0.2×30＝6（m） 10cm＝0.1m、0.1÷＝0.1×30＝3（m） 7.5×6×3＝135（m3）。 挖地基时至少能挖出135m3的土。 故答案为：C 【变式训练2】在一幅比例尺是的地图上量得、两地的距离是。甲、乙两辆汽车同时从、两地相对开出，经过8小时后两车相遇。已知甲、乙两车的速度比是，走完这段路程，甲、乙两车分别行驶了多少千米？ 【答案】甲560千米；乙640千米 【思路引导】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，求出、两地的实际距离，因为两车行驶的时间相同，所以速度之比就是路程之比，按比例分配求出甲、乙两车行驶的路程即可。 【完整解答】6÷ ＝120000000（厘米）＝1200（千米） 1200× ＝560（千米）； 1200× ＝640（千米） 答：甲车行驶了560千米，乙车行驶了640千米。 【考点再现】此题考查了比例尺与按比例分配的综合应用，明确行驶时间相等的情况下，速度比等于路程比是解题关键。 高频易错考点七：比例尺应用 【典例精讲】（25-26六年级·全国·随堂练习）甲、乙两地的实际距离是1440km，在一幅地图上量得这两地之间的距离是24cm。在这幅地图上量得甲地到丙地的距离是7.5cm，甲地到丙地的实际距离是多少千米？ （1）方法一：用比例。 （2）方法二：用比例尺。 【答案】 450km 【思路引导】表示两个比相等的式子叫比例，同一幅地图上的比例尺是一定的，据此列比例解答； 先根据甲、乙两地的图上距离与实际距离，通过图上距离：实际距离＝比例尺，算出地图的比例尺，再根据甲地到丙地的图上距离，通过图上距离÷比例尺＝实际距离，算出甲地到丙地的实际距离。 【完整解答】方法一：用比例。 解：设甲地到丙地的实际距离是x cm。 1440km＝144000000cm                       cmkm 方法二：用比例尺。 1440km＝144000000cm （cm） cmkm 答：甲地到丙地的实际距离是450千米。 【变式训练1】（25-26六年级·全国·随堂练习）（1）荆州现存明清重建城墙东西长约3.75km，在比例尺是1∶20000的地图上约多少厘米？ （2）在这幅地图上量得该城墙南北相距约6cm，那么该城墙南北实际相距约多少千米？ 【答案】 （1）18.75厘米 （2）1.2千米 【思路引导】（1）根据比例尺的意义，图上距离÷实际距离＝比例尺，可求出图上距离＝实际距离×比例尺，据此列式解答； （2）根据比例尺的意义，图上距离÷实际距离＝比例尺，可求出实际距离＝图上距离÷比例尺，据此列式解答； 【完整解答】（1） 答：在地图上约是18.75厘米。 （2） 答：城墙南北实际相距约1.2千米。 【变式训练2】在比例尺是地图上量得甲、乙两地的距离是4.5厘米，李师傅开车以每小时75千米的速度从早上6点从甲地出发到乙地，那么他到达乙地的时间是多少？ 【答案】上午9点 【完整解答】4.5÷ =22500000（厘米）22500000厘米=225千米 225÷75=3（小时）6+3=9（点） 高频易错考点八：应用比例尺画图 【典例精讲】（24-25六年级下·陕西汉中·期末）学校周围环境如下图所示。 （1）科技馆在学校的（    ）偏（    ）（    ）°方向，距离学校（    ）米处。 （2）少年宫在学校北偏西40°方向，距离学校400米处，在图中标出少年宫的位置。 （3）学校西面500米处，有一条步行街与滨河路垂直，用直线表示出步行街。 【答案】（1）东；北；30；600； （2）（3）见详解 【思路引导】（1）由比例尺1∶20000可知，图上1厘米表示实际距离200米，把数值比例尺转化为线段比例尺，描述物体的位置时，先确定观测点，再根据“上北下南，左西右东”结合题中角度描述方向，最后根据两地之间的距离确定物体的位置； （2）以学校为观测点，在学校北偏西40°方向上截取400÷200＝2厘米，标出角度，终点处标注少年宫； （3）在学校正西方向截取500÷200＝2.5厘米，然后在终点处画出与滨河路垂直的直线，并在该直线上标注步行街，据此解答。 【完整解答】由数值比例尺可知，图上1厘米代表实际距离20000厘米，20000厘米＝200米。 （1）200×3＝600（米） 分析可知，以学校为观测点，科技馆在学校的东偏北30°或者北偏东90°－30°＝60°方向，距离学校600米处。 （2）（3）作图如下： 【变式训练1】（23-24六年级下·广东深圳·期中）我会画。 （1）游乐园在文化广场北偏东45°方向800米处。 （2）摩天轮在文化广场北偏西30°方向400米处。 【答案】见详解 【思路引导】以文化广场为观测点，以图上的“上北下南，左西右东”为准，这幅图的比例尺为1∶80000。 （1）先根据进率“1米＝100厘米”把800米换算成80000厘米，然后根据“图上距离＝实际距离×比例尺”，求出游乐园与文化广场的图上距离是1厘米； 在文化广场的北偏东45°方向上画1厘米长的线段，即是游乐园。 （2）先根据进率“1米＝100厘米”把400米换算成40000厘米，然后根据“图上距离＝实际距离×比例尺”，求出摩天轮与文化广场的图上距离是0.5厘米； 在文化广场的北偏西30°方向上画0.5厘米长的线段，即是摩天轮。 【完整解答】（1）800米＝80000厘米 80000×＝1（厘米） （2）400米＝40000厘米 40000×＝0.5（厘米） 如图： 【变式训练2】（23-24六年级下·辽宁丹东·期中）（1）下图中，图上距离1厘米表示实际距离（    ）米，花园到学校的图上距离是（    ）厘米，实际距离是（    ）米。 （2）镇卫生所在学校西偏北60°实际距离800米，画出它的位置。 【答案】（1）400；3；1200；（2）见详解 【思路引导】（1）根据线段比例尺可知，图上距离1厘米表示实际400米，依据“比例尺＝图上距离÷实际距离”即可求出比例尺；花园到学校的图上距离和比例尺已知，依据“实际距离＝图上距离÷比例尺”即可求出实际距离； （2）先根据：实际距离×比例尺＝图上距离，求出镇卫生所到学校的图上距离，然后再根据“上北下南，左西右东”的方向标出即可。 【完整解答】（1）图上距离1厘米表示实际400米，改写成数值比例尺是： 1厘米∶400米 ＝1厘米∶40000厘米 ＝1∶40000 3÷ ＝3×40000 ＝120000（厘米） 120000厘米＝1200米 图上距离1厘米表示实际距离400米，花园到学校的图上距离是3厘米，实际距离是1200米。 （2）800÷400＝2（厘米） 高频易错考点九：运用图形的放大与缩小 【典例精讲】（24-25六年级下·陕西西安·期末）按要求在方格纸上作图。 ①以线段AB为对称轴，画出三角形ABC的轴对称图形。 ②画出三角形ABC向右平移6格得到的图形。 ③画出三角形ABC按2∶1的比放大后的图形。 【答案】（1）（2）（3）图见详解 【思路引导】（1）根据轴对称图形的意义：对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，在对称轴的另一边画出三角形ABC的关键对称点，依次连接即可。 （2）根据平移的特征，把三角形的三个顶点向右平移6格，依次连接，即可得到平移后的图形。 （3）根据放大的特征，把三角形ABC的各个边分别扩大到原来的2倍，画出扩大后的图形（位置不唯一）。 【完整解答】（1）如下图： （2）如下图： （3）底：3×2＝6（格），高：2×2＝4（格） 如下图： 【变式训练1】（2025六年级下·陕西西安·学业考试）画一画，填一填。（图中每个小方格的边长表示1厘米） （1）把三角形ABC绕点B顺时针旋转90°，画出旋转后的图形。 （2）三角形ABC在旋转的过程中，点A经过的路线长（    ）厘米。 （3）若将三角形以BC边所在直线为轴旋转一周，则所形成的立体图形的体积约是（    ）立方厘米。（结果保留两位小数） （4）画出平行四边形DEFG按2∶1放大后的图形D＇E＇F＇G＇。放大前后的面积比是（        ）。 【答案】（1）图见详解 （2）3.14 （3）16.75 （4）图见详解；1∶4 【思路引导】（1）根据旋转的特征，将三角形ABC绕点B顺时针旋转90°，点B位置不变，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同度数，即可画出旋转后的图形。 （2）三角形ABC在旋转的过程中，点A经过的路线是一个以AB为半径的圆周长的，根据圆的周长公式C＝2πr，代入数据计算求解。 （3）若将三角形以BC边所在直线为轴旋转一周，则所形成的立体图形是一个以BC为高，以AB为底面半径的圆锥；根据圆锥的体积公式V＝πr2h，代入数据计算，求出它的体积，计算结果依据“四舍五入”法保留两位小数。 （4）平行四边形DEFG按2∶1放大，那么原来平行四边形的底和高都要乘2，即是放大后平行四边形的底和高，据此画出放大后的平行四边形D＇E＇F＇G＇。 根据平行四边形的面积＝底×高，分别求出放大前后平行四边形的面积，再根据比的意义得出放大前后的面积比，并化简比。 【完整解答】（1）把三角形ABC绕点B顺时针旋转90°，画出旋转后的图形。 （2）2×3.14×2×＝3.14（厘米） 三角形ABC在旋转的过程中，点A经过的路线长（3.14）厘米。 （3）×3.14×22×4 ＝×3.14×4×4 ≈16.75（立方厘米） 若将三角形以BC边所在直线为轴旋转一周，则所形成的立体图形的体积约是（16.75）立方厘米。 （4）放大后平行四边形的底：3×2＝6（厘米） 放大后平行四边形的高：2×2＝4（厘米） 画一个底为6厘米、高为4厘米的平行四边形D＇E＇F＇G＇，如下图。 原来平行四边形的面积：3×2＝6（平方厘米） 放大后平行四边形的面积：6×4＝24（平方厘米） 6∶24＝（6÷6）∶（24÷6）＝1∶4 放大前后的面积比是（1∶4）。 【变式训练2】（2022·陕西渭南·小升初真题）按要求在方格纸上画一画。 （1）将图①先向右平移8格，再向下平移3格 （2）以虚线MN为对称轴，画出图②的轴对称图形的另一半。 （3）将图③绕点O逆时针旋转 （4）将图③缩小，使得缩小后的图形与原图形对应线段长的比是1∶2。 【答案】见详解 【思路引导】（1）看清平移的方向和距离，画出平移后的图形即可； （2）根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，在对称轴的另一边画出原半图的关键对称点，依次连接即可； （3）根据旋转的特征，三角形绕点O逆时针旋转90°，点O的位置不动，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同的度数即可画出旋转后的图形； （4）将图③的底和高同时缩小到原来的，画出缩小后的图形。 【完整解答】如图： 【考点再现】本题考查了图形的平移、画轴对称图形、旋转、图形的放大与缩小，关键是能准确画图。 高频易错考点十：解决面积的变化问题 【典例精讲】一个三角形的底是8cm，高是5cm，把它按4∶1放大后的三角形面积是 cm2。 【答案】320 【思路引导】根据题意，分别求出三角形的底和高按“4∶1”放大后的长度，然后依据三角形的面积＝底×高÷2，据此列式解答。 【完整解答】8×4＝32（cm） 5×4＝20（cm） 32×20÷2 ＝640÷2 ＝320（cm2） 一个三角形的底是8cm，高是5cm，把它按4∶1放大后的三角形面积是320cm2。 【变式训练1】将一个长是5厘米、宽是3厘米的长方形按4∶1放大，得到的图形面积是（    ）平方厘米。 A．15 B．240 C．60 D．64 【答案】B 【思路引导】根据图上距离＝实际距离×比例尺，用5×4求出放大后长方形的长是20厘米，用3×4求出放大后长方形的宽是12厘米；再根据长方形的面积＝长×宽，用20×12可求出得到的图形的面积。 【完整解答】5×4＝20（厘米） 3×4＝12（厘米） 20×12＝240（平方厘米） 将一个长是5厘米、宽是3厘米的长方形按4∶1放大，得到的图形面积是240平方厘米。 故答案为：B 【变式训练2】（25-26六年级·全国·假期作业）一个梯形的上底是6厘米，下底是12厘米，高是9厘米，先按4∶1放大，再按1∶3缩小，求缩小后的梯形的面积。 【答案】144平方厘米 【思路引导】将梯形先按4∶1放大，再按1∶3缩小，就是将原来梯形的上底、下底和高先分别扩大到原来的4倍，再分别缩小到原来的，所以原来梯形的上底变为6×4×（厘米），下底变为12×4×（厘米），高变为9×4×（厘米）；再根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，计算出变化后梯形的面积。 【完整解答】上底：6×4× ＝24× ＝8（厘米） 下底：12×4× ＝48× ＝16（厘米） 高：9×4× ＝36× ＝12（厘米） 面积：（8＋16）×12÷2 ＝24×12÷2 ＝288÷2 ＝144（平方厘米） 答：缩小后的梯形的面积是144平方厘米。 【考点再现】不要只对其中一条边缩放，必须保证上底、下底和高同时缩放；图形的缩放是边长的等比例缩放，面积的缩放比例为边长缩放比例的平方，与缩放顺序无关。 1．（25-26六年级·全国·假期作业）把线段比例尺改写成数值比例尺是（    ）。 A． B． C． 【答案】A 【思路引导】观察线段比例尺可知，图上距离1厘米表示实际距离60千米，根据图上距离∶实际距离＝比例尺，据此化成数值比例尺。 【完整解答】1厘米∶60千米＝1厘米∶6000000厘米＝ 故答案为：A 2．（25-26六年级·全国·假期作业）在3∶4＝9∶12 中，将3缩小到原来的，要使比例仍成立，下列说法错误的是（    ）。 A．将12扩大到原来的10倍 B．将4缩小到原来的 C．将9扩大到原来的10 倍 【答案】C 【思路引导】在3∶4＝9∶12 中，将3缩小到原来的，即，根据内项之积等于外项之积，即可求出要使比例仍成立其他的项如何变化。 【完整解答】A．将12扩大到原来的10倍，则外项之积＝×12×10＝36，内项之积＝4×9＝36，内项之积＝外项之积，符合题意，仍成比例。 B．将4缩小到原来的，则外项之积＝，内项之积＝4××9＝，内项之积＝外项之积，符合题意，仍成比例。 C．将9扩大到原来的10 倍，则外项之积＝，内项之积＝4×9×10＝360，内项之积≠外项之积，不符合题意，不成比例。 故答案为：C 3．（24-25六年级下·广东清远·期中）希望小学课后开展了丰富的社团活动。若参加人工智能科创人数的和参加美术社团人数的同样多，则人工智能科创人数∶美术社团人数＝（    ）。 A．2∶5 B．5∶2 C．2∶7 D．7∶2 【答案】A 【思路引导】根据“参加人工智能科创人数的和参加美术社团人数的同样多”可得出等式：人工智能科创人数×＝美术社团人数×；再根据比例的基本性质把它改写成比例式，并化简。 比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 【完整解答】人工智能科创人数×＝美术社团人数× 人工智能科创人数∶美术社团人数＝∶＝（×10）∶（×10）＝2∶5 则人工智能科创人数∶美术社团人数＝2∶5。 故答案为：A 4．（2025·广东湛江·小升初真题）下列说法正确的有（    ）个。 ①要反映一个地区的气温变化情况，选择折线统计图比较合适； ②一张地图比例尺为1∶25000，图上距离为4cm的两地，它们的实际距离为10千米； ③七（1）班的男生人数占全班的，转进2名女生后女生人数占全班的，则原来女生人数为20人； ④图中的平行四边形、三角形和梯形的面积都相等。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【思路引导】本题根据折线统计图反映事物的变化情况；利用“实际距离＝图上距离÷比例尺”进行计算；根据选项设出原来班级总人数，再列出变化后女生比例，令其与已知对应比例相等解方程即可解得原来班级总人数，最后乘女生原来所占比例即可解得；“平行四边形面积＝底×高、三角形面积＝×底×高、梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2”，结合各选项进行计算即可解得。 【完整解答】A．折线图能反映事物的变化情况，故要反映一个地区的气温变化情况，选择折线统计图比较合适，正确； B．地图比例尺为1∶25000，图上距离为4cm的两地，实际距离为，，错误； C．设原来班级人数为，男生人数为，则女生人数为，转进2名女生后全班人数为，此时女生人数变为，故，解得，故原来女生人数为（人），正确； D．设两条平行线之间的距离为，则平行四边形面积为，三角形的面积为，梯形面积为，故三者面积相等，正确。 因此正确的选项有3个。 故答案为：C 【考点再现】本题的难点在于应充分理解折线图的应用场景、比例尺的计算、根据分式列出方程进行计算以及平行四边形、三角形和梯形的面积计算公式。 5．（25-26六年级上·陕西咸阳·阶段练习）按要求写比例。 (1)用10的因数写出一个比例： 。 (2)写出比值是1.5，其中两个外项都是3的比例： 。 (3)m、n都是非0自然数，如果4m＝9n，那么m∶n＝ ∶ ，m∶9＝ ∶ 。 【答案】(1)1∶2＝5∶10 (2)3∶2＝4.5∶3 (3) 9 4 n 4 【思路引导】（1）先列举出10的所有因数，再根据比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积；用10的因数写出一个比例。 （2）表示两个比相等的式子叫做比例。已知比值是1.5，两个外项都是3，根据“比值＝前项∶后项”可知，比的后项＝前项÷比值，比的前项＝比值×后项，据此求出比例中的两个内项。 （3）比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。根据比例的基本性质把4m＝9n改写成比例即可。 【完整解答】（1）10的因数：1，2，5，10； 用10的因数写出一个比例：1∶2＝5∶10。（答案不唯一） （2）3÷1.5＝2 1.5×3＝4.5 写出比值是1.5，其中两个外项都是3的比例：3∶2＝4.5∶3。 （3）m、n都是非0自然数，如果4m＝9n，那么m∶n＝9∶4，m∶9＝n∶4。 6．（24-25六年级下·辽宁锦州·期末）“祝融号”是天问一号任务火星车，高1.85米，重约240千克。科技小组制作了“祝融号”火星车的模型，模型的高度与实际高度的比是1∶20。模型的高度是( )厘米。 【答案】9.25// 【思路引导】将模型高度设为x厘米，根据“模型与实际高度的比是1∶20”列出比例，解比例，即可求出模型高度。 【完整解答】1.85米＝185厘米 解：设模型高度设为x厘米 x∶185＝1∶20 20x＝185×1 20x＝185 20x÷20＝185÷20 x＝9.25 模型的高度是9.25厘米。 7．（24-25六年级下·陕西汉中·期末）甲地到乙地的实际距离是500千米。在比例尺是1∶2000000的地图上，甲、乙两地之间的图上距离是( )厘米。 【答案】25 【思路引导】根据比例尺的定义，图上距离＝实际距离×比例尺。需将实际距离转换为厘米，再代入计算。高级单位换算成低级单位乘进率，1千米＝100000厘米。据此解答。 【完整解答】500千米＝50000000厘米 50000000×＝25（厘米） 即甲、乙两地之间的图上距离是25厘米。 甲地到乙地的实际距离是500千米。在比例尺是1∶2000000的地图上，甲、乙两地之间的图上距离是25厘米。 8．（25-26六年级·全国·随堂练习）解比例。 x∶45＝24∶36           15∶x＝0.2∶44 解：（    ）x＝（    ）×（    ）     解： x＝（    ）                  x＝（    ）                            【答案】36；45；24；30；15；44；0.2；3300； x＝；x＝8 【思路引导】（1）根据比例的基本性质，把比例转化为，再简化方程，最后根据等式的性质，方程两边同时除以36即可。 （2）根据比例的基本性质，把比例转化为，再简化方程，最后根据等式的性质，方程两边同时除以0.2即可。 （3）根据比例的基本性质，把比例转化为，再简化方程，最后根据等式的性质，方程两边同时除以3.16即可。 （4）根据比例的基本性质，把比例转化为，再简化方程，最后根据等式的性质，方程两边同时除以0.25即可。 【完整解答】解：                                   解：                                              解：                                              解：                                           9．（2025·广东湛江·小升初真题）妈妈买回一些瓜果和一瓶洗洁精，笑笑要将这些瓜果进行清洗，她看到洗洁精的瓶子上有这样的说明（如下图），笑笑取出4克的洗洁精，要加清水多少克？（用比例知识解答） 【答案】2000克 【思路引导】根据题意，洗洁精∶清水＝1∶500，我们可以设清水为x克，然后列出关系式，即4∶x＝1∶500，从而通过解方程求得清水的克数。 【完整解答】解：设要加清水x克。 4∶x＝1∶500 x＝4×500 x＝2000 答：要加清水2000克。 10．（25-26六年级·全国·随堂练习）一块长方形菜地的长与宽的比是8∶3，长与宽的长度之和是55m。如果画在比例尺是1∶500的图纸上，那么这块菜地的图上面积是多少平方厘米？ 【答案】24平方厘米 【思路引导】长与宽的比是8：3，则长为8份，宽为3份，长与宽的长度之和对应份，即可求出1份量；再根据长与宽的份数，求出长和宽分别是多少米；已知实际距离和比例尺，根据图上距离＝实际距离×比例尺，即可求出图上距离和图上面积是多少，据此解答。 【完整解答】1份：（米） 长：（米）   宽：（米） 40m＝4000cm；15m＝1500cm 图上长：（厘米）   图上宽：（厘米） 图上面积：（平方厘米） 答：这块菜地的图上面积是24平方厘米。 【考点再现】先依照按比分配，计算出实际的长和宽，再用比例尺将实际距离转化为图上距离，是本题解题的关键。 11．（24-25六年级下·河北邯郸·期中）李工程师去深圳参加一个会议，上午11：00前要到酒店签到，他乘坐的大巴车上午10：50在高速出口下高速。在比例尺是1∶50000的地图上量得这个高速出口到酒店的图上距离是15厘米，大巴车在城市道路行驶的平均时速是60千米/时，李工程师能准时签到吗？ 【答案】能准时签到 【思路引导】实际距离＝图上距离÷比例尺，将高速出口到酒店的图上距离除以比例尺，求出对应的实际距离。根据“1千米＝100000厘米”将单位换算为千米。时间＝路程÷速度，将高速出口到酒店的距离除以大巴车的速度，求出要多少时间能赶到酒店。将签到时间减去下高速时间，求出时间差。将赶到酒店需要用的时间和这个时间差做对比，判断能否准时签到。 【完整解答】15÷＝15×50000＝750000（厘米） 750000厘米＝7.5千米 7.5÷60＝0.125（小时） 0.125小时＝7.5分钟 11：00－10：50＝10分钟 7.5分钟＜10分钟，所以能准时签到。 答：李工程师能准时签到。 12．（24-25六年级下·广西贺州·期中）某航天发射场为近似长方形，在一幅比例尺为1∶2500的卫星地图上，量得该航天发射场的长是24厘米，宽是16厘米。这个航天发射场的实际面积约是多少平方米？合多少公顷？ 【答案】240000平方米；24公顷 【思路引导】比例尺1∶2500＝，表示图上1厘米代表实际距离2500厘米，根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”，已知图上长是24厘米，那么实际长为24÷＝24×2500＝60000厘米，图上宽是16厘米，那么实际宽为16÷＝16×2500＝40000厘米。因为1米＝100厘米，所以60000厘米为60000÷100＝600米，40000厘米为40000÷100＝400米。根据长方形面积公式S＝a×b（其中S是面积，a是长，b是宽）。把数据代入计算即可得出航天发射场的实际面积，再把单位换算成公顷即可。 【完整解答】1∶2500＝ 24÷ ＝24×2500 ＝60000（厘米） 16÷ ＝16×2500 ＝40000（厘米） 1米＝100厘米 60000÷100＝600（米） 40000÷100＝400（米） 600×400＝240000（平方米） 1公顷＝10000平方米 240000÷10000＝24（公顷） 答：这个航天发射场的实际面积约是240000平方米，合24公顷。 13．（24-25六年级下·安徽淮北·期中）在比例尺是的地图上，量得A、B两地的距离为7.5厘米，一辆汽车平均每小时可行驶100千米，这辆汽车从A地到B地要行驶多少小时？ 【答案】3小时 【思路引导】根据线段比例尺可知，1厘米表示实际距离40千米，据此求出数值比例尺；再根据实际距离＝图上距离÷比例尺，代入数据，求出A、B两地的实际距离，再根据时间＝路程÷速度，用A、B两地的距离÷汽车平均每小时行驶的速度，即可解答，注意单位名数的换算。 【完整解答】40千米＝4000000厘米 比例尺是：1∶4000000 7.5÷ ＝7.5×4000000 ＝30000000（厘米） 30000000厘米＝300千米 300÷100＝3（小时） 答：这辆汽车从A地到B地要行驶3小时。 14．（2023·陕西西安·小升初真题）一艘货轮要把货物从下游的A地运往上游的B地，同时从B地有一条无动力漂流观景船同时出发，随江水漂向A地。货轮行驶64千米后遇到观景船，共用了8小时到达B地。一周后，货轮和观景船仍然分别从A地和B地同时出发，但此时水速已经是上一周的两倍，于是货轮将静水速度也提高了一半，结果货轮行驶了千米后遇到观景船。求AB两地之间的路程，并求出货轮原先的静水速度？ 【答案】路程96千米；货轮原先的静水速度18千米/小时 【思路引导】设货轮静水速度为a千米/小时，水速为b千米/小时，全程距离为s千米， 第一次相遇用时， 第二次相遇用时 ，即 又知道第二次的水速是第一次的2倍，即第一次漂流的速度与第二次漂流的速度的比是1∶2                                             根据因此，两次漂流距离比为 ，解方程可得AB两地之间的路程为96千米。 根据用（千米/时）货轮原先的逆流速度，再根据，用得到第一次相遇的时间，再根据用漂流观景船的路程除以遇上时间得水流速度，再加货轮的逆流速度即可得货轮原先的静水速度。据此解答。 【完整解答】解：设货轮静水速度为a千米/小时，水速为b千米/小时，全程距离为s千米， 第一次相遇用时， 第二次相遇用时                                   即两次漂流距离比为 （千米/时） （千米/小时） 答：AB两地之间的路程为96千米；货轮原先的静水速度为18千米/小时。 【考点再现】轮船逆流的速度等于它的静水速度减水流速度，根据相遇问题、一般的路程问题的关系式，确定两次漂流距离的比。 15．（20-21六年级下·辽宁大连·期末）按要求画图并填空。 （1）画出图A绕O点顺时针旋转90°再向下平移1格得到的图形B。 （2）图B中，O点的对应点点的数对是（     ）。 （3）以虚线为对称轴，画出图A的轴对称图形图C。 （4）如果将图A按3∶1的比放大，放大后的图形的面积是（    ）cm2（1个小方格面积为1cm2）。 【答案】（1）见详解； （2））（2，2）； （3）见详解； （4）9 【思路引导】（1）根据图形旋转的特点，旋转点O不动，图形A的各边均绕点O顺时钱旋转90°，即可得到图A绕点O顺时针旋转90°的图形，各点再向下平移1格得到的图形B； （2）根据用数对表示点的位置的方法，第一个数字表示列数，第二个数字表示行数及旋转后位置，即可用数对表示出来； （3）以虚线为对称轴，作图形A的对称图形，根据轴对称图形的性质，对称点到对称轴的距离相等，在虚线的右边画出图形的几个顶点，然后连接各点即可画出图A的轴对称图形C； （4）将原三角形的底和高按照3∶1的比放大后的底为3厘米，高为6厘米，按照三角形面积计算公式即可计算出面积。 【完整解答】（1）如下图B所示； （2）图B中，O点的对应点点的数对是（2，2）； （3）如下图C所示； （4）放大后的图形的面积： 6×3÷2 ＝18÷2 ＝9 cm2 【考点再现】本题主要是考查图形的三种变换方法，即轴对称、平移和旋转。画图时关键要找准对称点或对应点。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二单元 比例 【原卷版】 同学你好，该份讲义用于北师大版六年级下册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 易错知识梳理：强化巩固细节知识，给出常考易错点，解题技巧以及提分方法，助你正确理解运用知识点，查漏补缺； 2. 易错考点讲练：优选高频考察易错题，汇编整理，精选近两年各地名校易错题类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 3. 易错真题拔尖练：结合本专题内容精选15题历年常考易错题目，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 1.比例中等号的两侧必须都是一个比。 2.把等式ax=by改写成比例时，相乘的2个字母必须同时作比例的外项或内项。 3.根据比例的基本性质解比例时，应该先把比例转化成“两个外项的积=两个内项的积”的形式，再解方 程。 4 图上距离一般用厘米做单位，实际距离一般用米或千米做单位，计算时要先统一单位。 5.比例尺是图上距离与实际距离的比，是一个比值，没有单位。 6.通常缩小比例尺的前项为1，放大比例尺的后项为1。 7.把图形放大（或缩小）后，形状不变，相对应的角的度数也不变。 高频易错考点一：比例的意义 【典例精讲】（24-25六年级下·辽宁·随堂练习）应用比例内项的积与外项的积的关系，判断下面哪几组的两个比可以组成比例，并写出组成的比例。 10∶1.5和8∶1.2        6∶9和12∶18 和        9∶12和 【变式训练1】（24-25六年级下·辽宁·随堂练习） （1）分别写出图中两个长方形长与长的比和宽与宽的比，判断这两个比能否组成比例。 （2）分别写出图中每个长方形长与宽的比，判断这两个比能否组成比例。 【变式训练2】．（23-24六年级下·河南商丘·期末）如果6，7，8，A四个数可以组成一个比例，那么A最大是( )，用这四个数组成的比例是( )（写出一个即可）。 高频易错考点二：比例的基本性质 【典例精讲】（25-26六年级·全国·随堂练习）根据比例的基本性质，在括号里填上合适的数。 3∶( )＝8∶40       2.5∶0.5＝( )∶0.4       9∶6＝∶( ) ( )∶100＝∶25     3.6∶( )＝∶       ∶＝( )∶ 【变式训练1】（25-26六年级·全国·随堂练习）在比例5∶30＝7∶42中，将前一个比的后项减20，后一个比的前项加上( )，比例仍然成立。 【变式训练2】（25-26六年级·全国·假期作业）已知A∶B＝C∶D，现在将A扩大到原来的2倍，B缩小到原来的，C不变，D要怎样变化才能使比例仍然成立？ 高频易错考点三：解比例 【典例精讲】（24-25六年级下·吉林长春·期末）解方程。                   【变式训练1】（24-25六年级下·吉林长春·期末）美术课上，老师把一些彩色铅笔按4∶3分给甲组和乙组同学。甲组比乙组多分到10支彩色铅笔，甲、乙两组各分到多少支彩色铅笔？ 【变式训练2】解方程。      7x－5×（x＋）＝x＋27     高频易错考点四：比例的应用 【典例精讲】（24-25六年级下·辽宁·随堂练习）作业本上的6个小星星可以换2面小红旗。淘气的作业本上已经有了15个小星星。 （1）15个小星星可以换多少面小红旗？写出你的想法。 （2）假设15个小星星可以换x面小红旗，你能列比例并解决问题吗？ 【变式训练1】（24-25六年级下·广东深圳·开学考试）一堆黑白围棋子，从中取走了15粒白子，余下黑子数与白子数之比为2∶1，此后又从中取走了45粒黑子，余下黑子数与白子数之比为1∶5，那么这堆棋子原来共有( )粒。 【变式训练2】（23-24六年级下·四川成都·期中）在秋季田径运动会60米赛跑中，当甲运动员冲过终点时，领先乙10米，领先丙20米，领先丁30米。如果乙、丙和丁都按原来的速度继续冲向终点，那么当乙到达终点时将领先丙多少米？当丙到达终点时将领先了丁多少米？ 高频易错考点五：比例尺的意义 【典例精讲】（25-26六年级·全国·假期作业）在比例尺是的地图上量得甲、乙两地之间的距离是20厘米。在比例尺为1∶20000的地图上，甲、乙两地之间的距离是多少厘米？ 【变式训练1】（24-25六年级下·陕西榆林·期末）高速公路规定最高车速不得超过120千米/时，在一幅比例尺是1∶4000000的地图上，量得甲、乙两个城市间的高速公路长6.9厘米，刘叔叔开车用2.4小时匀速行驶完了这段路程。他开车超速了吗？ 【变式训练2】（25-26六年级·全国·假期作业）一幅地图的线段比例尺是，甲，乙两地在这幅地图上相距15厘米。如果把它们画在比例尺是1∶5000000的地图上，那么甲、乙两地之间的距离应该画多少厘米？ 高频易错考点六：图上距离与实际距离的换算 【典例精讲】（25-26六年级·全国·假期作业）在比例尺是1∶6000000的图纸上量得北京到西安的距离是18厘米。今年暑假，华华爸爸准备带华华去西安参观兵马俑，若开车自驾，每小时行90千米，从北京到西安需要多少小时？ 【变式训练1】（25-26六年级·全国·假期作业）幸福村在美丽乡村建设项目中计划建一处垃圾中转站，在比例尺为1∶30的设计图纸上，垃圾站地基长25cm，宽20cm，深10cm，挖地基时至少能挖出（    ）m3的土。 A．45 B．13.5 C．135 D．50 【变式训练2】在一幅比例尺是的地图上量得、两地的距离是。甲、乙两辆汽车同时从、两地相对开出，经过8小时后两车相遇。已知甲、乙两车的速度比是，走完这段路程，甲、乙两车分别行驶了多少千米？ 高频易错考点七：比例尺应用 【典例精讲】（25-26六年级·全国·随堂练习）甲、乙两地的实际距离是1440km，在一幅地图上量得这两地之间的距离是24cm。在这幅地图上量得甲地到丙地的距离是7.5cm，甲地到丙地的实际距离是多少千米？ （1）方法一：用比例。 （2）方法二：用比例尺。 【变式训练1】（25-26六年级·全国·随堂练习）（1）荆州现存明清重建城墙东西长约3.75km，在比例尺是1∶20000的地图上约多少厘米？ （2）在这幅地图上量得该城墙南北相距约6cm，那么该城墙南北实际相距约多少千米？ 【变式训练2】在比例尺是地图上量得甲、乙两地的距离是4.5厘米，李师傅开车以每小时75千米的速度从早上6点从甲地出发到乙地，那么他到达乙地的时间是多少？ 高频易错考点八：应用比例尺画图 【典例精讲】（24-25六年级下·陕西汉中·期末）学校周围环境如下图所示。 （1）科技馆在学校的（    ）偏（    ）（    ）°方向，距离学校（    ）米处。 （2）少年宫在学校北偏西40°方向，距离学校400米处，在图中标出少年宫的位置。 （3）学校西面500米处，有一条步行街与滨河路垂直，用直线表示出步行街。 【变式训练1】（23-24六年级下·广东深圳·期中）我会画。 （1）游乐园在文化广场北偏东45°方向800米处。 （2）摩天轮在文化广场北偏西30°方向400米处。 【变式训练2】（23-24六年级下·辽宁丹东·期中）（1）下图中，图上距离1厘米表示实际距离（    ）米，花园到学校的图上距离是（    ）厘米，实际距离是（    ）米。 （2）镇卫生所在学校西偏北60°实际距离800米，画出它的位置。 高频易错考点九：运用图形的放大与缩小 【典例精讲】（24-25六年级下·陕西西安·期末）按要求在方格纸上作图。 ①以线段AB为对称轴，画出三角形ABC的轴对称图形。 ②画出三角形ABC向右平移6格得到的图形。 ③画出三角形ABC按2∶1的比放大后的图形。 【变式训练1】（2025六年级下·陕西西安·学业考试）画一画，填一填。（图中每个小方格的边长表示1厘米） （1）把三角形ABC绕点B顺时针旋转90°，画出旋转后的图形。 （2）三角形ABC在旋转的过程中，点A经过的路线长（    ）厘米。 （3）若将三角形以BC边所在直线为轴旋转一周，则所形成的立体图形的体积约是（    ）立方厘米。（结果保留两位小数） （4）画出平行四边形DEFG按2∶1放大后的图形D＇E＇F＇G＇。放大前后的面积比是（        ）。 【变式训练2】（2022·陕西渭南·小升初真题）按要求在方格纸上画一画。 （1）将图①先向右平移8格，再向下平移3格 （2）以虚线MN为对称轴，画出图②的轴对称图形的另一半。 （3）将图③绕点O逆时针旋转 （4）将图③缩小，使得缩小后的图形与原图形对应线段长的比是1∶2。 高频易错考点十：解决面积的变化问题 【典例精讲】一个三角形的底是8cm，高是5cm，把它按4∶1放大后的三角形面积是 cm2。 【变式训练1】将一个长是5厘米、宽是3厘米的长方形按4∶1放大，得到的图形面积是（    ）平方厘米。 A．15 B．240 C．60 D．64 【变式训练2】（25-26六年级·全国·假期作业）一个梯形的上底是6厘米，下底是12厘米，高是9厘米，先按4∶1放大，再按1∶3缩小，求缩小后的梯形的面积。 1．（25-26六年级·全国·假期作业）把线段比例尺改写成数值比例尺是（    ）。 A． B． C． 2．（25-26六年级·全国·假期作业）在3∶4＝9∶12 中，将3缩小到原来的，要使比例仍成立，下列说法错误的是（    ）。 A．将12扩大到原来的10倍 B．将4缩小到原来的 C．将9扩大到原来的10 倍 3．（24-25六年级下·广东清远·期中）希望小学课后开展了丰富的社团活动。若参加人工智能科创人数的和参加美术社团人数的同样多，则人工智能科创人数∶美术社团人数＝（    ）。 A．2∶5 B．5∶2 C．2∶7 D．7∶2 4．（2025·广东湛江·小升初真题）下列说法正确的有（    ）个。 ①要反映一个地区的气温变化情况，选择折线统计图比较合适； ②一张地图比例尺为1∶25000，图上距离为4cm的两地，它们的实际距离为10千米； ③七（1）班的男生人数占全班的，转进2名女生后女生人数占全班的，则原来女生人数为20人； ④图中的平行四边形、三角形和梯形的面积都相等。 A．1 B．2 C．3 D．4 5．（25-26六年级上·陕西咸阳·阶段练习）按要求写比例。 (1)用10的因数写出一个比例： 。 (2)写出比值是1.5，其中两个外项都是3的比例： 。 (3)m、n都是非0自然数，如果4m＝9n，那么m∶n＝ ∶ ，m∶9＝ ∶ 。 6．（24-25六年级下·辽宁锦州·期末）“祝融号”是天问一号任务火星车，高1.85米，重约240千克。科技小组制作了“祝融号”火星车的模型，模型的高度与实际高度的比是1∶20。模型的高度是( )厘米。 7．（24-25六年级下·陕西汉中·期末）甲地到乙地的实际距离是500千米。在比例尺是1∶2000000的地图上，甲、乙两地之间的图上距离是( )厘米。 8．（25-26六年级·全国·随堂练习）解比例。 x∶45＝24∶36           15∶x＝0.2∶44 解：（    ）x＝（    ）×（    ）     解： x＝（    ）                  x＝（    ）                            9．（2025·广东湛江·小升初真题）妈妈买回一些瓜果和一瓶洗洁精，笑笑要将这些瓜果进行清洗，她看到洗洁精的瓶子上有这样的说明（如下图），笑笑取出4克的洗洁精，要加清水多少克？（用比例知识解答） 10．（25-26六年级·全国·随堂练习）一块长方形菜地的长与宽的比是8∶3，长与宽的长度之和是55m。如果画在比例尺是1∶500的图纸上，那么这块菜地的图上面积是多少平方厘米？ 11．（24-25六年级下·河北邯郸·期中）李工程师去深圳参加一个会议，上午11：00前要到酒店签到，他乘坐的大巴车上午10：50在高速出口下高速。在比例尺是1∶50000的地图上量得这个高速出口到酒店的图上距离是15厘米，大巴车在城市道路行驶的平均时速是60千米/时，李工程师能准时签到吗？ 12．（24-25六年级下·广西贺州·期中）某航天发射场为近似长方形，在一幅比例尺为1∶2500的卫星地图上，量得该航天发射场的长是24厘米，宽是16厘米。这个航天发射场的实际面积约是多少平方米？合多少公顷？ 13．（24-25六年级下·安徽淮北·期中）在比例尺是的地图上，量得A、B两地的距离为7.5厘米，一辆汽车平均每小时可行驶100千米，这辆汽车从A地到B地要行驶多少小时？ 14．（2023·陕西西安·小升初真题）一艘货轮要把货物从下游的A地运往上游的B地，同时从B地有一条无动力漂流观景船同时出发，随江水漂向A地。货轮行驶64千米后遇到观景船，共用了8小时到达B地。一周后，货轮和观景船仍然分别从A地和B地同时出发，但此时水速已经是上一周的两倍，于是货轮将静水速度也提高了一半，结果货轮行驶了千米后遇到观景船。求AB两地之间的路程，并求出货轮原先的静水速度？ 15．（20-21六年级下·辽宁大连·期末）按要求画图并填空。 （1）画出图A绕O点顺时针旋转90°再向下平移1格得到的图形B。 （2）图B中，O点的对应点点的数对是（     ）。 （3）以虚线为对称轴，画出图A的轴对称图形图C。 （4）如果将图A按3∶1的比放大，放大后的图形的面积是（    ）cm2（1个小方格面积为1cm2）。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $