第二单元 比例（举一反三讲义）知识梳理+十大考点讲练+真题演练+难度分层练 共45题-2025-2026学年北师大版数学六年级下册重难点讲义

该小学数学讲义以“比例”单元为核心，通过导图指引构建知识框架，知识梳理部分用表格对比比与比例的联系区别，分点呈现比例意义、基本性质、解比例、比例尺等六大知识点，清晰呈现重难点及内在逻辑。 讲义亮点在于分层练习设计，精选近两年名校易错题压轴题，如“根据比例3∶9＝6∶18变式求第四项变化”培养推理意识，5道小升初真题和20题分层训练满足不同学生需求，助力教师实施精准教学，提升学生运算能力与应用意识。

第二单元 比例 【解析版】 同学你好，该份讲义用于北师大版六年级下册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 考点讲练：优选高频考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 真题演练：精选5道小升初真题，检验专题内容掌握水平； 5. 难度分层训练：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，难度分层，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 知识点一 比例的意义 1. 比例的意义 （1）表示两个比相等的式子叫做比例。 （2）根据比例的意义可以判断两个比能否组成比例。 2. 比例的各部分名称 （1）组成比例的四个数，叫做比例的项。 （2）在比例中，两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。 3. 比例的三种常见形式 （1）比例式：例如：80:2=200:5 （2）分数式：例如： （3）乘积式：例如：80×5=200×2 4. 判断两个比能不能组成比例，关键要看它们的比值是否相等，若比值相等，则能组成比例；若比值不相等，则不能组成比例。 知识点二 比例的基本性质 1. 比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质，用字母表示：如果a∶b=c∶d（b、d均不为0），那么ad=bc。 2. 比和比例的联系与区别 比 比例 意义 两个数相除又叫做这两个数的比，比表示两个数相除的关系。 表示两个比相等的式子叫做比例，比例表示两个比相等的关系，是一个等式。 构成 由两项组成，分别叫做比的前项和后项。 由四项组成，两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。 基本性质 比的前项和后项同时乘或除以同一个数(0除外)，比值不变。 在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 3. 乘积式变形的常见八种形式。 如果a×b=c×d，那么 ①根据比例的基本性质变形：a:c=d:b； ②换比形式：d:b=a:c； ③换内项形式：a:d=c:b； ④换比形式：c:b=a:d； ⑤换外项形式：b:c=d:a； ⑥换比形式：d:a=b:c； ⑦前后换形式：c:a=b:d； ⑧换比形式：b:d=c:a。 4. 比例中项 如果a、b、c三个量成比例，即a:b=b:c，那么b叫做a和c的比例中项，根据比较的基本性质有ac=b2。 注意：只有内项要相等时才称为比例中项 5.先假设两个比能组成比例，再分别算出它们内、外项的积，如果内、外项的积相等，则能组成比例；如果内、外项的积不相等，则不能组成比例。 知识点三 解比例 1. 列比例式的关键是找到对应关系的两个比，解比例的依据是比例的基本性质。 2. 根据比例的基本性质解比例，先把比例转化为两个外项的积与两个内项的积相等的形式，即以前学过的方程，再通过解方程求出未知数的值。 知识点四 比例尺 1. 比例尺的认识和意义：一幅图的图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺，一般用文字描述为图上1厘米表示实际距离多少厘米。 2. 比例尺主要有两种分类，即线段比例尺和数值比例尺 3. 比例尺三种形式的写法。 （1）比的形式：比例尺是图上距离与实际距离的最简整数比，可以写成带比号的形式； （2）分数形式：也可以写成分数形式，即比例尺1∶2500也可以写成； （3）线段形式： 注意：实际上，通常图上距离的单位是厘米，实际距离的单位是千米，因此计算时一定要进行单位换算。 4. 比例尺基本关系式。 （1）图上距离:实际距离=比例尺或=比例尺 （2）实际距离=图上距离÷比例尺； （3）图上距离=实际距离×比例尺。 知识点五 比例尺的应用 1. 根据比例尺和图上距离求实际距离，可以根据“=比例尺”列比例来求，也可以利用“实际距离=图上距离÷比例尺”直接列式计算。 2. 运用比例尺画图，要先根据比例尺求岀图上距离，再根据图上距离画出相应的平面图，最后标明平面图的名称及比例尺。 知识点六 图形的放大与缩小 1.图形的放大和缩小是生活中常见的现象，把一个图形放大或缩小后所得到的图形与原图形相比，形状相同，大小不同。 2.把图形的各边按一定的比放大或缩小后，图形的大小发生了变化，形状没有发生变化。 3.在方格纸上按一定的比将图形放大或缩小分为三步，一看，看原图每边各占几格；二算，计算按给定的比将图形的各边放大或缩小后得到的新图形每边各占几格；三画，按计算岀 的各边长度画出放大或缩小后的图形。 高频考点一：比例的意义 【典例精讲】（25-26六年级·全国·假期作业）（几何直观）在线段AF中，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，下面的四组比中，第几组能组成比例？ ①AB∶BC和AC∶DE ②AE∶CD和BF∶BE ③AC∶BC和EF∶DF ④AD∶BC和CF∶EF 【答案】第④组 【思路引导】根据线段图表示出各个线段长度的比，用比的前项除以后项求出比的比值。若这两个比的比值相等，则能组成比例，反之则不能。据此判断能否组成比例。 【完整解答】①AB∶BC＝1∶1比值是1，AC∶DE＝2∶1比值是2，1≠2，所以AB∶BC和AC∶DE不能组成比例。 ②AE∶CD＝4∶1比值是4，BF∶BE＝4∶3比值是，4≠，所以AE∶CD和BF∶BE不能组成比例。 ③AC∶BC＝2∶1比值是2，EF∶DF＝1∶2比值是，2≠，所以AC∶BC和EF∶DF不能组成比例。 ④AD∶BC＝3∶1比值是3，CF∶EF＝3∶1比值是3，3＝3，所以AD∶BC和CF∶EF能组成比例。 答：第④组能组成比例。 【变式训练】（25-26六年级·全国·假期作业）下面哪组中的两个比可以组成比例？把组成的比例写出来。 ①0.8∶0.4和3.2∶1.6 ②和10∶ 6 ③和 ④48∶16和 【答案】①和④可以组成比例； 0.8∶0.4＝3.2∶1.6； 48∶16＝； 【思路引导】根据“两内项之积等于两外项之积”判定哪组中的两个比可以组成比例。 【完整解答】①0.8∶0.4和3.2∶1.6中0.8×1.6＝1.28，3.2×0.4＝1.28， 3.2×0.4＝0.8×1.6，即0.8∶0.4和3.2∶1.6可以组成比例。 ②和10∶ 6中，，，即和10∶ 6不可以组成比例。 ③和中，，即，即和不可以组成比例。 ④48∶16和中，，即48∶16和可以组成比例。 即①和④可以组成比例； 0.8∶0.4＝3.2∶1.6； 48∶16＝。 高频考点二：比例的基本性质 【典例精讲】（25-26六年级·全国·假期作业）根据3∶9＝6∶18，回答下面的问题。 （1）如果第二项加上9，第一项和第三项不变，那么第四项加上多少后式子仍然能组成比例？ （2）如果把外项18减去6，第一项和第三项不变，那么内项9减去多少后比例仍然成立？ 【答案】（1）18 （2）3 【思路引导】（1）在比例a∶b＝c∶d（b≠0，d≠0）中，根据比例的基本性质，两个外项的积等于两个内项的积，即ad＝bc。这是判断四个数能否组成比例的重要依据。根据内项之积等于外项之积，先求出变化后的第四项应该是多少，再用第四项变化后的数减去18即为所求； （2）根据内项之积等于外项之积，先求出变化后的第二项应该是多少，用9减去第二项变化后的数即为所求。 【完整解答】（1）（9＋9）×6÷3 ＝18×6÷3 ＝108÷3 ＝36 36－18＝18 故第四项加上18后式子仍然能组成比例，3∶18＝6∶36。 （2）（18－6）×3÷6 ＝12×3÷6 ＝36÷6 ＝6 9－6＝3 故内项9减去3后比例仍然成立，3∶6＝6∶12。 【变式训练】（25-26六年级·全国·假期作业）在比例35∶10＝21∶6中，如果将第一个比的后项加上30，第一个比的前项和第二个比的前项不变，那么第二个比的后项应加上（    ）才能使该比例成立。 A．36 B．30 C．24 D．18 【答案】D 【思路引导】根据比例的基本性质，比例的两内项积＝两外项积，先求出第一个比的后项加上30，两个内项的积，用第一个比的后项增加30后两个内项的积除以35，求出另一个外项应该是几，减去原来的这个外项即可。 【完整解答】（10＋30）×21 ＝40×21 ＝840 840÷35－6 ＝24－6 ＝18 所以第二个比的后项应加上18才能使该比例成立。 故答案为：D 【考点点拨】本题的解题关键是：先算出第一个比的后项加30后的数值，再依据比例内项积等于外项积，求出变化后第二个比的后项，最后用该数值减去原后项，得到需添加的数。 高频考点三：解比例 【典例精讲】（25-26六年级·全国·随堂练习）解方程。                     【答案】；；； 【思路引导】，根据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，将原式转化为，再根据等式的性质2，等式两边同时除以1.3即可；      ，根据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，将原式转化为，再根据等式的性质2，等式两边同时除以4即可；       ，根据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，将原式转化为，再根据等式的性质2，等式两边同时除以即可；        ，根据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，将原式转化为，再根据等式的性质2，等式两边同时除以1.5即可。 【完整解答】     解：                                   解：              解：             解：                 【变式训练】（25-26六年级·全国·随堂练习）水车是一种历史悠久的灌溉工具。园园爸爸对照兰州水车园内的水车制作了一架水车模型，模型的高度与水车实际高度的比是1∶50。已知园中一架水车的实际高度是12m，则水车模型的高度是多少厘米？ 【答案】24厘米 【思路引导】先将水车的实际高度12米转换为厘米，然后根据水车模型的高度水车的实际高度，列出比例式，根据比例的基本性质，解比例即可。 【完整解答】解： 设水车模型的高度是xcm。                                      答：水车模型的高度是24厘米。 高频考点四：比例的应用 【典例精讲】（25-26六年级·全国·随堂练习）因为水和冰的密度不同，所以相同质量的水和冰的体积之比是9∶10一块体积是66dm3的冰，化成水后的体积是多少？ 【答案】59.4dm3 【思路引导】根据相等质量的水和冰的体积之比，设50的冰化成水后的体积是，列出比例式，据此解答。 【完整解答】解：设化成水后的体积是xdm3。                    答：化成水后的体积是59.4dm3。 【变式训练】（23-24六年级下·四川成都·期中）在秋季田径运动会60米赛跑中，当甲运动员冲过终点时，领先乙10米，领先丙20米，领先丁30米。如果乙、丙和丁都按原来的速度继续冲向终点，那么当乙到达终点时将领先丙多少米？当丙到达终点时将领先了丁多少米？ 【答案】12米；15米 【思路引导】根据题意可知，甲运动员冲过终点时，乙跑了（60－10）米，丙跑了（60－20）米；丁跑了（60－30）米，由于用的时间相同，他们跑的速度比等于路程比；先求出乙与丙的路程比；用（60－10）∶（60－20）＝5∶4；乙距离终点还有10米，设乙跑完10米，丙跑的路程为x米；列比例：5∶4＝10∶x，解比例，求出丙跑的距离，再用20－丙跑的路程，求出当乙到达终点时将领先丙多少米。同样，丙与丁的速度比等于他们的路程比；据此求出丙与丁的路程比，设出未知数，求出丙跑到终点，丁距离终点的路程，据此解答。 【完整解答】乙的路程∶丙的路程＝（60－10）∶（60－20） ＝50∶40 ＝（50÷10）∶（40÷10） ＝5∶4 解：设乙跑完10米，丙跑了x米。 5∶4＝10∶x 5x＝4×10 5x＝40 x＝40÷5 x＝8 20－8＝12（米） 丙的路程与丁的路程比＝（60－20）∶（60－30） ＝40∶30 ＝（40÷10）∶（30÷10） ＝4∶3 解：设丙跑完20米，丁跑了y米。 4∶3＝20∶y 4y＝3×20 4y＝60 y＝60÷4 y＝15 30－15＝15（米） 答：当乙到达终点时将领先丙12米。当丙到达终点时将领先了丁15米。 【考点点拨】解答本题的关键是根据比的意义，求出他们的路程比，进而列出比例解答。 高频考点五：比例尺的意义 【典例精讲】（25-26六年级·全国·假期作业）在比例尺是的地图上量得甲、乙两地之间的距离是20厘米。在比例尺为1∶20000的地图上，甲、乙两地之间的距离是多少厘米？ 【答案】30厘米 【思路引导】根据图上距离÷比例尺＝实际距离，求出甲、乙两地之间的实际距离，再根据实际距离×比例尺＝图上距离，求出在比例尺为1∶20000的地图上的距离。 【完整解答】1厘米∶300米 ＝1厘米∶30000厘米 ＝1∶30000 20÷ ＝20×30000 ＝600000（厘米） 600000×＝30（厘米） 答：在比例尺为1∶20000的地图上，甲。乙两地之间的距离是30厘米。 【变式训练】（25-26六年级·全国·随堂练习）根据所给的条件，用1∶2000的比例尺画出学校的平面图。 （1）补充上图比例尺，在括号里填上正确的数。 （2）花坛的西面有一栋长40m、宽20m的长方形教学楼。 （3）学校的东北角有一个边长是10m的正方形水池。 （4）花坛的正北面有一个长20m、宽10m的长方形图书馆。 （5）学校的东南角有一片长30m、宽20m的长方形绿化区。 【答案】 详见解析 【思路引导】（1）已知比例尺为1：2000，根据比例尺的定义，比例尺=图上距离：实际距离，即图上1厘米对应实际距离2000厘米，据此解答； （2）（3）（4）（5）先用实际距离乘比例尺，求出图上距离；再根据“上北下南、左西右东”的方位，作图即可。 【完整解答】（1）2000厘米=20米，故线段比例尺为：，括号中填20和40； （2）40米=4000厘米，20米=2000厘米 图上长：（厘米）；图上宽：（厘米） （3）10米=1000厘米；图上边长：（厘米） （4）20米=2000厘米，10米=1000厘米 图上长：（厘米）；图上宽：（厘米） （5）30米=3000厘米，20米=2000厘米 图上长：（厘米）；图上宽：（厘米） 作图如下： 高频考点六：图上距离与实际距离的换算 【典例精讲】（25-26六年级·全国·假期作业）在比例尺是1∶200的平面图上，多媒体教室长4厘米，宽3厘米。这间多媒体教室的实际面积是多少平方米？ 【答案】48平方米 【思路引导】首先根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”计算得出多媒体教室实际的长和宽，分别为4÷＝800（厘米）和3÷＝600（厘米），再根据“1米＝100厘米”，进行单位换算，最后根据“长方形面积＝长×宽”即可计算得出多媒体教室的实际面积。 【完整解答】4÷ ＝4×200 ＝800（厘米） 800厘米＝8米 3÷ ＝3×200 ＝600（厘米） 600厘米＝6米 8×6＝48（平方米） 答：这间多媒体教室的实际面积是48平方米。 【变式训练】（25-26六年级·全国·随堂练习）王叔叔下周准备到南京出差，下面是一幅比例尺为1∶35000000的地图（局部）量得图上北京市到南京市距离3cm。王叔叔15：00坐高铁从北京南出发，高铁平均每时行驶300km。 （1）他到达南京时看到的景象可能是（    ）。（填“华灯初上”或“繁星满天”） （2）请通过计算说明你的判断理由。 【答案】（1）华灯初上。 （2）他到达南京的时间是18时30分，看到的景象可能是华灯初上。 【思路引导】根据图上距离和比例尺算出实际距离，再用实际距离除以速度得出行驶时间，然后加上开始坐车的时间，算出到达时间，最后根据到达时间联系生活实际判断景象。 【完整解答】   （时）   他到达南京时看到的景象可能是华灯初上。 答：通过计算可知，他到达南京的时间是18时30分，看到的景象可能是华灯初上。 【考点点拨】算出行驶时间后加上开始坐车的时间，得到到达时间，最后根据到达时间联系生活实际判断景象。 高频考点七：比例尺应用 【典例精讲】（25-26六年级·全国·假期作业）在比例尺是1∶6000000的图纸上量得北京到西安的距离是18厘米。今年暑假，华华爸爸准备带华华去西安参观兵马俑，若开车自驾，每小时行90千米，从北京到西安需要多少小时？ 【答案】12小时 【思路引导】先根据比例尺，实际距离＝图上距离÷比例尺，用18厘米除以即可计算出北京到西安的实际距离，然后根据1千米＝1000米＝100000厘米，将该距离单位从厘米转换为千米，用北京到西安的实际距离除以自驾的速度90千米/小时即可求出从北京到西安需要多少小时。 【完整解答】18÷=18×6000000＝108000000（厘米） 108000000÷100000＝1080（千米） 1080÷90＝12（小时） 答：从北京到西安需要12小时。 【变式训练】（25-26六年级·全国·随堂练习）李白诗中“朝辞白帝彩云间，千里江陵一日还”的大致意思是乘舟从白帝城到江陵一天就到了。华华为了验证李白是否“撒谎”，找到了一幅比例尺为1∶4000000的地图，量得从白帝城到江陵的距离约是15cm。假设船的速度为30千米/时，那么李白“撒谎”了吗？请通过计算说明。（一天记为24时） 【答案】李白没有“撒谎”。 【思路引导】根据实际距离=图上距离÷比例尺，即可计算出白帝城到江陵的实际距离，再根据路程=速度×时间，计算出李白从白帝城到江陵坐船一天行的路程，最后与白帝城到江陵的实际距离比较即可。 【完整解答】       答：李白没有“撒谎”。 高频考点八：应用比例尺画图 【典例精讲】（25-26六年级·全国·随堂练习）某中心广场四周建筑物如下图所示。 （1）医院距中心广场的图上距离是2cm。已知实际距离是200m，这幅图的比例尺是（    ）。 （2）电影院在中心广场（    ）偏（    ）（    ）°方向上，距离是（    ）m。 （3）游乐场在中心广场南偏东60°方向上，距中心广场的实际距离约是300m。请在右图中用“☆”标出游乐场的所在地。 【答案】（1）1∶10000 （2）西；北；45；100 （3）画图见详解 【思路引导】（1）已知医院距中心广场的图上距离是2cm，实际距离是200m，先将实际距离单位换算为厘米，200米＝20000厘米，再根据比例尺＝图上距离：实际距离，可得比例尺为。 （2）根据图中方向标识和角度信息，以中心广场为观测点，电影院在中心广场西偏北方向上，角度为45°；已知比例尺为，量出电影院图上距离为1cm，根据实际距离＝图上距离：比例尺，可得实际距离为（厘米），10000厘米＝100米。 （3）已知游乐场在中心广场南偏东60°方向上，距中心广场的实际距离约是300m，先将实际距离300m换算为30000cm，根据图上距离＝实际距离×比例尺，可得图上距离为（厘米），然后以中心广场为观测点，在南偏东60°方向上量取3cm的长度确定游乐场位置并标注，据此画图。 【完整解答】（1）医院距中心广场的图上距离是2cm。已知实际距离是200m，这幅图的比例尺是。 （2）电影院在中心广场西偏北45°方向上，距离是100m。 （3）答：画图如下： 【变式训练】（24-25六年级下·陕西汉中·期末）学校周围环境如下图所示。 （1）科技馆在学校的（    ）偏（    ）（    ）°方向，距离学校（    ）米处。 （2）少年宫在学校北偏西40°方向，距离学校400米处，在图中标出少年宫的位置。 （3）学校西面500米处，有一条步行街与滨河路垂直，用直线表示出步行街。 【答案】（1）东；北；30；600； （2）（3）见详解 【思路引导】（1）由比例尺1∶20000可知，图上1厘米表示实际距离200米，把数值比例尺转化为线段比例尺，描述物体的位置时，先确定观测点，再根据“上北下南，左西右东”结合题中角度描述方向，最后根据两地之间的距离确定物体的位置； （2）以学校为观测点，在学校北偏西40°方向上截取400÷200＝2厘米，标出角度，终点处标注少年宫； （3）在学校正西方向截取500÷200＝2.5厘米，然后在终点处画出与滨河路垂直的直线，并在该直线上标注步行街，据此解答。 【完整解答】由数值比例尺可知，图上1厘米代表实际距离20000厘米，20000厘米＝200米。 （1）200×3＝600（米） 分析可知，以学校为观测点，科技馆在学校的东偏北30°或者北偏东90°－30°＝60°方向，距离学校600米处。 （2）（3）作图如下： 高频考点九：图形的放大与缩小 【典例精讲】（24-25六年级下·辽宁营口·期中）（1）将方格中的长方形甲按3∶1放大后得到长方形乙。请你画出长方形乙。 （2）长方形乙的面积是长方形甲的面积的（    ）倍。 （3）如果把一个长方形按8∶1放大后，放大后的长方形面积是原来长方形面积的（    ）倍。 【答案】（1）见详解 （2）9 （3）64 【思路引导】（1）先数长方形甲的长和宽，假设每个方格边长为1，通过数方格可知长方形甲的长是3格，宽是2格。按3：1放大后，长方形乙的长为3×3＝9格，宽为2×3＝6格。然后在方格图中画出长9格、宽6格的长方形乙。 （2）根据，分别算出甲和乙的面积，再求倍数关系。 （3）设原来长方形长为，宽为，放大后长为，宽为，分别计算面积再求倍数。 【完整解答】（1）3×3＝9（格） 2×3＝6（格） （2）3×2＝6 9×6＝54 54÷6＝9 长方形乙的面积是长方形甲的面积的9倍。 （3）设原来长方形的长为，宽为。 如果把一个长方形按8∶1放大后，放大后的长方形面积是原来长方形面积的64倍。 【变式训练】（23-24六年级下·山西吕梁·期中）画一画。 （1）图形A向上平移4格得到图形B。 （2）以图中的虚线为对称轴，画出图形B的轴对称图形C。 （3）画出图形D绕点O顺时针旋转90°后的图形E。 （4）将图形E缩小，使新图形F与图形E对应线段长的比为1∶2。 【答案】见详解 【思路引导】（1）根据平移的特征，将图形A的各顶点分别向上平移4格，依次连接即可得到平移后的图形B。 （2）根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，找到图形B的各顶点关于对称轴的对称点后，依次连接各点得到图形C。 （3）根据旋转的特征，将图形D绕点O顺时针旋转90°，点O位置不变，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同度数，即可画出旋转后的图形E。 （4）图形E是一个底为4、高为2的平行四边形，按1∶2缩小，原来平行四边形的底和高都除以2，则缩小后平行四边形的底为2、高为1，据此画出缩小后的图形F。 【完整解答】如图： 【考点点拨】掌握作平移后图形、作旋转后图形、补全轴对称图形以及作缩小后图形的作图方法是解题的关键。 高频考点十：运用图形的放大与缩小解决面积的变化问题 【典例精讲】（23-24六年级下·四川成都·期末）想一想，画一画。 （1）画出字母F绕点O顺时针旋转90°后的图形。 （2）在如图中恰当的位置画出将字母F按2∶1放大后的图形。 （3）如果如图中1小格的边长代表5厘米，放大后字母F的面积是（    ）平方厘米。 【答案】（1）见详解； （2）见详解； （3）700 【思路引导】（1）根据旋转的特征，将字母F绕O点顺时针旋转90°，点O位置不变，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同度数，即可画出旋转后的图形； （2）把字母F按2∶1扩大，即图形的每一条边都扩大到原来的2倍，据此画出扩大后的图形即可； （3）先根据正方形的面积＝边长×边长求出1个小正方形的面积，再数出放大后的字母F由几个小正方形组成，最后用1个小正方形的面积乘小正方形的个数即可解答。 【完整解答】（1）（2）作图如下： （3）5×5＝25（平方厘米） 28×25＝700（平方厘米） 放大后字母F的面积是700平方厘米。 【变式训练】（22-23六年级下·安徽阜阳·期中）把一个正方形按4∶1的比放大，放大后的正方形与原来正方形的面积比是( )；把一个长方形按1∶6的比缩小，缩小后的长方形与原来长方形的周长比是( )。 【答案】 16∶1 1∶6 【思路引导】设原来正方形的边长是1厘米，放大后的正方形边长是（1×4）厘米。正方形面积＝边长×边长，把数据代入算出原来正方形和放大后的正方形面积，再算出面积比。 设原来长方形的长是12厘米，宽是6厘米，则缩小后的长是（12÷6）厘米，宽是（6÷6）厘米。长方形周长＝（长＋宽）×2，把数据代入算出原来长方形的周长和缩小后的长方形周长，再算出周长比。 【完整解答】1×4＝4（厘米） （4×4）∶（1×1） ＝16∶1 12÷6＝2（厘米） 6÷6＝1（厘米） [（2＋1）×2]∶[（12＋6）×2] ＝[3×2]∶[18×2] ＝6∶36 ＝1∶6 把一个正方形按4∶1的比放大，放大后的正方形与原来正方形的面积比是16∶1；把一个长方形按1∶6的比缩小，缩小后的长方形与原来长方形的周长比是1∶6。 【演练1】（2025·四川成都·小升初真题）解方程。 9∶5＝1.5∶x         5x－8.3＝10.7 【答案】x＝；x＝3.8 【思路引导】第一题，根据比例的基本性质，把原式化为9x＝5×1.5，计算出等式的右侧，然后利用等式的性质，方程的两边同时除以9即可解得方程。 第二题，根据等式的性质，方程的两边同时加上8.3，等式右侧计算加法后，再使用等式的性质，方程的两边同时除以5即可解得方程。 【完整解答】9∶5＝1.5∶x 解：9x＝5×1.5 9x＝7.5 9x÷9＝7.5÷9 x＝ 5x－8.3＝10.7 解：5x－8.3＋8.3＝10.7＋8.3 5x＝19 5x÷5＝19÷5 x＝3.8 【演练2】（2025·吉林长春·小升初真题）位于珠海市香炉湾畔的渔女雕像身高约，把它画在一张图纸上高为。那么这张图纸的比例尺为（    ）。 A．1∶3 B．1∶30 C．1∶300 D．1∶3000 【答案】C 【思路引导】根据比例尺＝图上距离∶实际距离，据此代入数据，求出比例尺，注意单位要统一。 【完整解答】8.7m＝870cm 2.9∶870 ＝（2.9×10）∶（870×10） ＝29∶8700 ＝（29÷29）∶（8700÷29） ＝1∶300 位于珠海市香炉湾畔的渔女雕像身高约8.7m，把它画在一张图纸上高为2.9cm。那么这张图纸的比例尺为1∶300。 故答案为：C 【演练3】（2025·广东湛江·小升初真题）解方程或解比例。            24∶x＝0.8∶0.25 【答案】；x＝7.5 【思路引导】，先计算方程左边，然后根据等式的性质1，两边同时加，再同时减，最后根据等式的性质2，两边同时除以解答即可。 24∶x＝0.8∶0.25，根据比例的基本性质，原式变为0.8x＝24×0.25，计算后根据等式的性质2，两边同时除以0.8解答即可。 【完整解答】 解： 24∶x＝0.8∶0.25 解：0.8x＝24×0.25 0.8x＝6 x＝6÷0.8 x＝7.5 【演练4】（2024·福建泉州·小升初真题）在比例尺是的地图上，量得两地距离是14厘米，甲、乙两车同时从两地相向而行，3小时后相遇。已知甲、乙两车的速度比是2∶3，相遇时甲车行驶了多少千米？ 【答案】168千米 【思路引导】题目中线段比例尺的意思是，图上1厘米相当于实际距离30千米，已知量得两地距离是14厘米，那么实际相距（30×14）千米； 已知甲、乙两车的速度比是2∶3，当行驶时间一定时，两车的路程比等于速度比2∶3；即相遇时，甲车行了全程的，根据求一个数的几分之几是多少，用全程乘求出甲车行驶的路程。 【完整解答】30×14＝420（千米） 420× ＝420× ＝168（千米） 答：相遇时甲车行驶了168千米。 【演练5】（2024·甘肃白银·小升初真题）北京时间2024年4月25日20时59分，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，约10分钟后，船与箭成功分离，进入预定轨道，发射取得成功。某校航模社团按模型与实物1∶75的比，制作了火箭模型，模型的高是多少米？（用方程解答） 【答案】0.778米 【思路引导】因为模型与实物的比是1∶75，即模型高度∶实际高度＝1∶75，已知实际高度为58.35米，设模型高度为x米，所以可列出比例x∶58.35＝1∶75；根据比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”，该方程可转化为75x＝58.35×1；先计算58.35×1，然后两边同时除以75求解出x，也就是火箭模型的高度。 【完整解答】解：设模型的高是x米。 x∶58.35＝1∶75 75x＝58.35×1 75x＝58.35 75x÷75＝58.35÷75 x＝0.778 答：模型的高是0.778米。 基础夯实 能力提升 1．（24-25六年级下·辽宁大连·期中）学校操场平面图的比例尺是1∶2000，那么操场的实际面积是图上面积的（    ）。 A．4000000倍 B．2000倍 C． D． 【答案】A 【思路引导】已知学校操场平面图的比例尺是1∶2000，根据比例尺＝图上距离∶实际距离，可知操场的实际长、宽是图上长、宽的2000倍，根据长方形的面积＝长×宽以及积的变化规律可知，操场的实际面积是图上面积的 （2000×2000）倍，据此解答。 【完整解答】2000×2000＝4000000 学校操场平面图的比例尺是1∶2000，那么操场的实际面积是图上面积的（4000000倍）。 故答案为：A 2．（24-25六年级下·辽宁大连·期中）如果ab＝15，那么（    ）。 A．15∶b＝1∶a B．b∶a＝15∶1 C．15∶a＝b∶1 D．a∶b＝15∶1 【答案】C 【思路引导】比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 根据比例的基本性质把各选项的比例式改写成两数相乘的形式，找出与ab＝15一样的等式即可。 【完整解答】A．由15∶b＝1∶a可得：15a＝b×1，即15a＝b，与题意不符； B．b∶a＝15∶1可得：15a＝b×1，即15a＝b，与题意不符； C．15∶a＝b∶1可得：ab＝15×1，即ab＝15，符合题意； D．a∶b＝15∶1可得：15b＝a×1，即15b＝a，与题意不符。 故答案为：C 3．（24-25六年级下·广东深圳·期中）北京到上海的距离大约是1200千米，在一幅比例尺为1∶6000000的地图上，这两地的距离大约是（    ）厘米 A．60 B．20 C．5 D．2 【答案】B 【思路引导】单位换算：因为1千米＝100000厘米，所以1200千米换算成厘米为1200×100000＝120000000厘米。运用比例尺公式：根据“图上距离＝实际距离×比例尺”，已知比例尺1∶6000000，则图上距离为120000000×，据此解答。 【完整解答】单位换算：1200千米＝1200×100000＝120000000厘米 计算图上距离：120000000×＝20（厘米） 两地距离大约是20厘米。 故答案为：B 4．（24-25六年级下·辽宁大连·期中）在一张地图上，画有一条线段比例尺，把它写成数值比例尺的形式是( )，南京到上海约320千米，两地间的图上距离是( )厘米。 【答案】 1∶5000000 6.4 【思路引导】线段比例尺表示图上1厘米对应实际距离50千米，因为1千米＝100000厘米，所以50千米转化为厘米是50×100000＝5000000厘米，根据数值比例尺的定义（图上距离与实际距离的比），可将线段比例尺转化为数值比例尺。 已知实际距离和数值比例尺，根据“图上距离＝实际距离×比例尺”来计算南京到上海的图上距离，计算前要先统一单位。 【完整解答】1千米＝100000厘米 50×100000＝5000000（厘米） 所以数值比例尺为1∶5000000。 320×100000＝32000000（厘米） 1∶5000000＝ 32000000×＝6.4（厘米） 数值比例尺是1∶5000000，南京到上海的图上距离是6.4厘米。 5．（24-25六年级下·陕西汉中·期中）如果7＝8（、不为0），则∶＝( )∶( )。 【答案】 7 8 【思路引导】比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 根据比例的基本性质把7＝8改写成比例式，一个外项是，内项是的比例，则和相乘的数8就作为比例的另一个外项，和相乘的数7就作为比例的另一个内项，据此写出比例。 【完整解答】如果7＝8（、不为0），则∶＝7∶8。 6．（2025·广东深圳·小升初模拟）在比例尺是1∶2000000的地图上，量得A，B两地的图上距离是2厘米，AB两地的实际距离是( )千米，在1∶1000000的地图上，这两地的图上距离是( )厘米。 【答案】 40 4 【思路引导】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，代入数据，求出AB两地的实际距离；再根据图上距离＝实际距离×比例尺，据此求出在1∶1000000的地图上，两地的图上距离。 【完整解答】2÷ ＝2×2000000 ＝4000000（厘米） 4000000厘米＝40千米 4000000×＝4（厘米） 在比例尺是1∶2000000的地图上，量得A，B两地的图上距离是2厘米，AB两地的实际距离是40千米，在1∶1000000的地图上，这两地的图上距离是4厘米。 7．（24-25六年级下·陕西西安·期中）解比例。                       【答案】；； 【思路引导】，根据比例的基本性质，内项的积等于外项的积，原式变为，计算后根据等式的性质2，两边同时除以1.2解答即可。 ，根据比例的基本性质，内项的积等于外项的积，原式变为，计算后根据等式的性质2，两边同时除以3解答即可。 ，根据比例的基本性质，内项的积等于外项的积，原式变为，计算后根据等式的性质2，两边同时除以0.7解答即可。 【完整解答】 解： 解： 解： 8．（24-25六年级下·辽宁大连·期末）“在比例里，两个内项的积等于两个外项的积”，这个规律你是怎样发现的？ 【答案】见详解 【思路引导】根据题意，通过列举多个具体的比例例子，分别计算它们两个内项的积以及两个外项的积，观察这些积的关系，从而归纳总结出规律。 【完整解答】看比例2∶3＝4∶6，在这个比例中，两个内项是3和4，它们的积为3×4＝12；两个外项是2和6，它们的积为2×6＝12；可以发现，在这个比例里，两个内项的积等于两个外项的积。 看比例1∶2＝3∶6，这里两个内项是2和3，积是2×3＝6；两个外项是1和6，积是1×6＝6；同样，两个内项的积等于两个外项的积。 看比例4∶5＝8∶10，两个内项5和8的积为5×8＝40；两个外项4和10的积为4×10＝40；还是两个内项的积等于两个外项的积。 答：通过列举2∶3＝4∶6、1∶2＝3∶6、4∶5＝8∶10等这样众多不同的比例例子，并且分别计算它们两个内项的积和两个外项的积，都发现了两个内项的积等于两个外项的积这一现象。所以，我们可以归纳总结出：在比例里，两个内项的积等于两个外项的积。 9．（23-24六年级下·广西贺州·期末）2023年9月28日，我国首条设计时速为350千米/小时的跨海高铁——福厦高铁正式开通运营。福厦高铁北起福州，南至厦门和漳州，全长277千米，是我国“八纵八横”高速铁路网中沿海通道的重要组成部分。若把这条跨海高铁画在比例尺是1∶5000000的地图上，应画多少厘米？ 【答案】5.54厘米 【思路引导】根据图上距离＝实际距离×比例尺，代入数据，即可解答，注意单位名数的换算。 【完整解答】277千米＝27700000厘米 27700000×＝5.54（厘米） 答：应画5.54厘米。 10．（2025·陕西汉中·小升初模拟）在比例尺1∶2000000的地图上，量得甲乙两地相距3.6厘米。如果一辆卡车以每小时45千米的速度在上午9时从甲地出发，那么什么时间可以到达乙地？ 【答案】 10时36分 【思路引导】根据比例尺的定义，比例尺＝图上距离∶实际距离。已知比例尺为1∶2000000，即图上1厘米代表实际2000000厘米，图上距离是量得甲乙两地相距3.6厘米，所以实际距离＝图上距离×比例尺的后项，因为1千米＝100000厘米，求出实际距离；根据时间＝路程÷速度，已知路程，速度为每小时45千米，用路程除以速度可得到行驶时间。用出发的时刻加上行驶时间，求出到达时刻。 【完整解答】甲、乙两地的实际距离：3.6×2000000＝7200000（厘米） 1千米＝100000厘米，7200000＝72千米。 行驶时间：72÷45＝1.6（小时） 1小时＝60分，0.6×60＝36（分），1.6小时＝1小时36分。 到达时间：9时＋1小时36分＝10时36分 答：上午10时36分可以到达乙地。 创新拓展 拔尖冲刺 1．（2025·陕西榆林·小升初真题）下列选项中，能与组成比例的是（    ）。 A．1∶3 B．2.5∶3 C．3∶5 D．18∶12 【答案】D 【思路引导】先计算出的比值，再分别求出各选项的比值，通过比较比值是否相等来判断能否组成比例，＝0.5÷＝0.5×3＝1.5，然后计算各选项的比值，再比较即可。 【完整解答】A．1∶3＝1÷3，1÷3≈0.333，0.333不等于1.5，所以不能组成比例。 B．2.5∶3＝2.5÷3，2.5÷3≈0.833，0.833不等于1.5，所以不能组成比例。 C．3∶5＝3÷5，3÷5＝0.6，0.6不等于1.5，所以不能组成比例。 D．18∶12＝18÷12，18÷12＝1.5，1.5＝1.5，所以能组成比例。 能与组成比例的是选项D中的18∶12。 故答案为：D 2．（24-25六年级下·广东惠州·期中）在一幅1∶5000的平面图上，量得一块平行四边形的菜地的底是12cm，高是10cm，这块地的实际面积是（    ）公顷。 A．300000 B．3000 C．30 D．300 【答案】C 【思路引导】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，代入数据，求出平行四边形的菜地的实际底和高的长度，再根据平行四边形面积＝底×高，代入数据，求出菜地面积，注意单位名数的换算。 【完整解答】12÷ ＝12×5000 ＝60000（厘米） 10÷ ＝10×5000 ＝50000（厘米） 60000厘米＝600米；50000厘米＝500米 600×500＝300000（平方米） 300000平方米＝30公顷 在一幅1∶5000的平面图上，量得一块平行四边形的菜地的底是12cm，高是10cm，这块地的实际面积是30公顷。 故答案为：C 3．（2024六年级下·全国·专题练习）我国逐渐完善养老金制度，居民可自行缴纳养老金。甲、乙两人计划用相同的年数分别缴纳养老金18万元和12万元。甲计划每年比乙多缴纳保险金0.2万元。若乙每年缴纳保险金x万元，则根据题意可列出比例为（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】设乙每年缴纳养老保险为x万元，则甲每年缴纳养老保险金为（x＋0.2）万元，根据甲、乙两人计划用相同的年数分别缴纳养老保险金18万元和12万元可知，18比上（x＋0.2）万元等于12比上x万元。 【完整解答】根据题意可列出比例为。 故答案为：B 4．（24-25六年级下·辽宁锦州·期末）“祝融号”是天问一号任务火星车，高1.85米，重约240千克。科技小组制作了“祝融号”火星车的模型，模型的高度与实际高度的比是1∶20。模型的高度是( )厘米。 【答案】9.25// 【思路引导】将模型高度设为x厘米，根据“模型与实际高度的比是1∶20”列出比例，解比例，即可求出模型高度。 【完整解答】1.85米＝185厘米 解：设模型高度设为x厘米 x∶185＝1∶20 20x＝185×1 20x＝185 20x÷20＝185÷20 x＝9.25 模型的高度是9.25厘米。 5．（2025六年级下·全国·专题练习）分数的分子和分母都同时减去某一个数，根据所得的新分数约分后是，减去的这个数是 。 【答案】55 【思路引导】设减去的数是，得，根据所得的新分数约分后是，即分数值相等，根据比与分数的关系，可得比例：＝。根据比例的基本性质：两个外项的积等于两个内项的积，解此比例，即可求出减去的数的值。 【完整解答】解：设减去的数是。 ＝ 减去的数是55。 【考点点拨】根据分数值相等，列出比例求解是关键。 6．（25-26六年级·全国·假期作业）按比例放大或者缩小后的图形与原来的图形相比，大小变了，形状没变。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】根据题意，按比例放大或缩小图形，是指图形各边的长度按照相同的比例进行放大或缩小，由于各边的比例关系保持不变，所以图形的形状不会改变，而边长的变化会导致图形的大小发生改变，据此解答。 【完整解答】按比例放大或缩小后的图形，各边比例不变，形状不变，大小改变。 故答案为：√ 7．（25-26六年级·全国·假期作业）在比例中，a和b互为倒数。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】根据比例的基本性质：在比例里，两个内项的积等于两个外项的积，结合题中的比例得到等式。互为倒数的两个数乘积为1。通过假设，求出的值，计算是否等于1，据此判断。 【完整解答】根据比例的基本性质，可转化为： 即： 假设，代入等式： 计算： 因此，和互为倒数的结论错误。 故答案为：× 8．（2025·陕西汉中·小升初模拟）解方程。                      【答案】1.02；15；3.4 【思路引导】（1）先计算0.25×8，原方程变为，根据等式的基本性质，等式两边同时加2，得到，等式两边同时除以5，即可求得的结果。 （2）将5%化为小数0.05，原方程变为，将化为小数0.25，方程变为，移项得到，等式两边同时除以0.05，即可求得的结果。 （3）根据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，可得，计算等式右边的结果，可得：，等式两边同时除以0.8可得，等式两边同时减去2，即可求得的结果。 【完整解答】 解： 解： 解： 9．（25-26六年级·全国·随堂练习）大雁塔是现存最早、规模最大的唐代四方楼阁式砖塔结构的佛塔。大雁塔高度的约等于开封铁塔高度的。写出大雁塔与开封铁塔高度的最简整数比。 【答案】 【思路引导】根据题意，大雁塔高度的约等于开封铁塔的，可得到令大雁塔×＝开封铁塔×＝1，再计算出大雁塔和开封铁塔的高度比，最后化简成最简整数比，据此解答。 【完整解答】大雁塔高度： 开封铁塔高度： 大雁塔高度：开封铁塔高度 答：大雁塔和开封铁塔高度的最简整数比为。 10．（25-26六年级·全国·随堂练习）在比例尺是1∶22000000的地图上量得北京到广州的铁路线大约长10cm，甲、乙两列动车同时从北京和广州开出，相向而行，5时后两车相遇。已知甲、乙两列动车的速度比为11∶9，两车相遇时，甲车行驶了多少千米？ 【答案】1210km 【思路引导】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，先求出两地实际距离，再根据总路程÷相遇时间＝速度和，因为速度比＝路程比，用速度和÷总份数，求出一份数，一份数×甲车对应份数即可。 【完整解答】（厘米） （千米/时） （千米） 答：甲车行驶了1210千米。 【考点点拨】本题综合考察相遇问题，按比分配问题，比例的应用，需要对各知识点非常熟悉，灵活运用。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二单元 比例 【原卷版】 同学你好，该份讲义用于北师大版六年级下册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 考点讲练：优选高频考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 真题演练：精选5道小升初真题，检验专题内容掌握水平； 5. 难度分层训练：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，难度分层，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 知识点一 比例的意义 1. 比例的意义 （1）表示两个比相等的式子叫做比例。 （2）根据比例的意义可以判断两个比能否组成比例。 2. 比例的各部分名称 （1）组成比例的四个数，叫做比例的项。 （2）在比例中，两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。 3. 比例的三种常见形式 （1）比例式：例如：80:2=200:5 （2）分数式：例如： （3）乘积式：例如：80×5=200×2 4. 判断两个比能不能组成比例，关键要看它们的比值是否相等，若比值相等，则能组成比例；若比值不相等，则不能组成比例。 知识点二 比例的基本性质 1. 比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质，用字母表示：如果a∶b=c∶d（b、d均不为0），那么ad=bc。 2. 比和比例的联系与区别 比 比例 意义 两个数相除又叫做这两个数的比，比表示两个数相除的关系。 表示两个比相等的式子叫做比例，比例表示两个比相等的关系，是一个等式。 构成 由两项组成，分别叫做比的前项和后项。 由四项组成，两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。 基本性质 比的前项和后项同时乘或除以同一个数(0除外)，比值不变。 在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 3. 乘积式变形的常见八种形式。 如果a×b=c×d，那么 ①根据比例的基本性质变形：a:c=d:b； ②换比形式：d:b=a:c； ③换内项形式：a:d=c:b； ④换比形式：c:b=a:d； ⑤换外项形式：b:c=d:a； ⑥换比形式：d:a=b:c； ⑦前后换形式：c:a=b:d； ⑧换比形式：b:d=c:a。 4. 比例中项 如果a、b、c三个量成比例，即a:b=b:c，那么b叫做a和c的比例中项，根据比较的基本性质有ac=b2。 注意：只有内项要相等时才称为比例中项 5.先假设两个比能组成比例，再分别算出它们内、外项的积，如果内、外项的积相等，则能组成比例；如果内、外项的积不相等，则不能组成比例。 知识点三 解比例 1. 列比例式的关键是找到对应关系的两个比，解比例的依据是比例的基本性质。 2. 根据比例的基本性质解比例，先把比例转化为两个外项的积与两个内项的积相等的形式，即以前学过的方程，再通过解方程求出未知数的值。 知识点四 比例尺 1. 比例尺的认识和意义：一幅图的图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺，一般用文字描述为图上1厘米表示实际距离多少厘米。 2. 比例尺主要有两种分类，即线段比例尺和数值比例尺 3. 比例尺三种形式的写法。 （1）比的形式：比例尺是图上距离与实际距离的最简整数比，可以写成带比号的形式； （2）分数形式：也可以写成分数形式，即比例尺1∶2500也可以写成； （3）线段形式： 注意：实际上，通常图上距离的单位是厘米，实际距离的单位是千米，因此计算时一定要进行单位换算。 4. 比例尺基本关系式。 （1）图上距离:实际距离=比例尺或=比例尺 （2）实际距离=图上距离÷比例尺； （3）图上距离=实际距离×比例尺。 知识点五 比例尺的应用 1. 根据比例尺和图上距离求实际距离，可以根据“=比例尺”列比例来求，也可以利用“实际距离=图上距离÷比例尺”直接列式计算。 2. 运用比例尺画图，要先根据比例尺求岀图上距离，再根据图上距离画出相应的平面图，最后标明平面图的名称及比例尺。 知识点六 图形的放大与缩小 1.图形的放大和缩小是生活中常见的现象，把一个图形放大或缩小后所得到的图形与原图形相比，形状相同，大小不同。 2.把图形的各边按一定的比放大或缩小后，图形的大小发生了变化，形状没有发生变化。 3.在方格纸上按一定的比将图形放大或缩小分为三步，一看，看原图每边各占几格；二算，计算按给定的比将图形的各边放大或缩小后得到的新图形每边各占几格；三画，按计算岀 的各边长度画出放大或缩小后的图形。 高频考点一：比例的意义 【典例精讲】（25-26六年级·全国·假期作业）（几何直观）在线段AF中，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，下面的四组比中，第几组能组成比例？ ①AB∶BC和AC∶DE ②AE∶CD和BF∶BE ③AC∶BC和EF∶DF ④AD∶BC和CF∶EF 【变式训练】（25-26六年级·全国·假期作业）下面哪组中的两个比可以组成比例？把组成的比例写出来。 ①0.8∶0.4和3.2∶1.6 ②和10∶ 6 ③和 ④48∶16和 高频考点二：比例的基本性质 【典例精讲】（25-26六年级·全国·假期作业）根据3∶9＝6∶18，回答下面的问题。 （1）如果第二项加上9，第一项和第三项不变，那么第四项加上多少后式子仍然能组成比例？ （2）如果把外项18减去6，第一项和第三项不变，那么内项9减去多少后比例仍然成立？ 【变式训练】（25-26六年级·全国·假期作业）在比例35∶10＝21∶6中，如果将第一个比的后项加上30，第一个比的前项和第二个比的前项不变，那么第二个比的后项应加上（    ）才能使该比例成立。 A．36 B．30 C．24 D．18 高频考点三：解比例 【典例精讲】（25-26六年级·全国·随堂练习）解方程。                     【变式训练】（25-26六年级·全国·随堂练习）水车是一种历史悠久的灌溉工具。园园爸爸对照兰州水车园内的水车制作了一架水车模型，模型的高度与水车实际高度的比是1∶50。已知园中一架水车的实际高度是12m，则水车模型的高度是多少厘米？ 高频考点四：比例的应用 【典例精讲】（25-26六年级·全国·随堂练习）因为水和冰的密度不同，所以相同质量的水和冰的体积之比是9∶10一块体积是66dm3的冰，化成水后的体积是多少？ 【变式训练】（23-24六年级下·四川成都·期中）在秋季田径运动会60米赛跑中，当甲运动员冲过终点时，领先乙10米，领先丙20米，领先丁30米。如果乙、丙和丁都按原来的速度继续冲向终点，那么当乙到达终点时将领先丙多少米？当丙到达终点时将领先了丁多少米？ 高频考点五：比例尺的意义 【典例精讲】（25-26六年级·全国·假期作业）在比例尺是的地图上量得甲、乙两地之间的距离是20厘米。在比例尺为1∶20000的地图上，甲、乙两地之间的距离是多少厘米？ 【变式训练】（25-26六年级·全国·随堂练习）根据所给的条件，用1∶2000的比例尺画出学校的平面图。 （1）补充上图比例尺，在括号里填上正确的数。 （2）花坛的西面有一栋长40m、宽20m的长方形教学楼。 （3）学校的东北角有一个边长是10m的正方形水池。 （4）花坛的正北面有一个长20m、宽10m的长方形图书馆。 （5）学校的东南角有一片长30m、宽20m的长方形绿化区。 高频考点六：图上距离与实际距离的换算 【典例精讲】（25-26六年级·全国·假期作业）在比例尺是1∶200的平面图上，多媒体教室长4厘米，宽3厘米。这间多媒体教室的实际面积是多少平方米？ 【变式训练】（25-26六年级·全国·随堂练习）王叔叔下周准备到南京出差，下面是一幅比例尺为1∶35000000的地图（局部）量得图上北京市到南京市距离3cm。王叔叔15：00坐高铁从北京南出发，高铁平均每时行驶300km。 （1）他到达南京时看到的景象可能是（    ）。（填“华灯初上”或“繁星满天”） （2）请通过计算说明你的判断理由。 高频考点七：比例尺应用 【典例精讲】（25-26六年级·全国·假期作业）在比例尺是1∶6000000的图纸上量得北京到西安的距离是18厘米。今年暑假，华华爸爸准备带华华去西安参观兵马俑，若开车自驾，每小时行90千米，从北京到西安需要多少小时？ 【变式训练】（25-26六年级·全国·随堂练习）李白诗中“朝辞白帝彩云间，千里江陵一日还”的大致意思是乘舟从白帝城到江陵一天就到了。华华为了验证李白是否“撒谎”，找到了一幅比例尺为1∶4000000的地图，量得从白帝城到江陵的距离约是15cm。假设船的速度为30千米/时，那么李白“撒谎”了吗？请通过计算说明。（一天记为24时） 高频考点八：应用比例尺画图 【典例精讲】（25-26六年级·全国·随堂练习）某中心广场四周建筑物如下图所示。 （1）医院距中心广场的图上距离是2cm。已知实际距离是200m，这幅图的比例尺是（    ）。 （2）电影院在中心广场（    ）偏（    ）（    ）°方向上，距离是（    ）m。 （3）游乐场在中心广场南偏东60°方向上，距中心广场的实际距离约是300m。请在右图中用“☆”标出游乐场的所在地。 【变式训练】（24-25六年级下·陕西汉中·期末）学校周围环境如下图所示。 （1）科技馆在学校的（    ）偏（    ）（    ）°方向，距离学校（    ）米处。 （2）少年宫在学校北偏西40°方向，距离学校400米处，在图中标出少年宫的位置。 （3）学校西面500米处，有一条步行街与滨河路垂直，用直线表示出步行街。 高频考点九：图形的放大与缩小 【典例精讲】（24-25六年级下·辽宁营口·期中）（1）将方格中的长方形甲按3∶1放大后得到长方形乙。请你画出长方形乙。 （2）长方形乙的面积是长方形甲的面积的（    ）倍。 （3）如果把一个长方形按8∶1放大后，放大后的长方形面积是原来长方形面积的（    ）倍。 【变式训练】（23-24六年级下·山西吕梁·期中）画一画。 （1）图形A向上平移4格得到图形B。 （2）以图中的虚线为对称轴，画出图形B的轴对称图形C。 （3）画出图形D绕点O顺时针旋转90°后的图形E。 （4）将图形E缩小，使新图形F与图形E对应线段长的比为1∶2。 高频考点十：运用图形的放大与缩小解决面积的变化问题 【典例精讲】（23-24六年级下·四川成都·期末）想一想，画一画。 （1）画出字母F绕点O顺时针旋转90°后的图形。 （2）在如图中恰当的位置画出将字母F按2∶1放大后的图形。 （3）如果如图中1小格的边长代表5厘米，放大后字母F的面积是（    ）平方厘米。 【变式训练】（22-23六年级下·安徽阜阳·期中）把一个正方形按4∶1的比放大，放大后的正方形与原来正方形的面积比是( )；把一个长方形按1∶6的比缩小，缩小后的长方形与原来长方形的周长比是( )。 【演练1】（2025·四川成都·小升初真题）解方程。 9∶5＝1.5∶x         5x－8.3＝10.7 【演练2】（2025·吉林长春·小升初真题）位于珠海市香炉湾畔的渔女雕像身高约，把它画在一张图纸上高为。那么这张图纸的比例尺为（    ）。 A．1∶3 B．1∶30 C．1∶300 D．1∶3000 【演练3】（2025·广东湛江·小升初真题）解方程或解比例。            24∶x＝0.8∶0.25 【演练4】（2024·福建泉州·小升初真题）在比例尺是的地图上，量得两地距离是14厘米，甲、乙两车同时从两地相向而行，3小时后相遇。已知甲、乙两车的速度比是2∶3，相遇时甲车行驶了多少千米？ 【演练5】（2024·甘肃白银·小升初真题）北京时间2024年4月25日20时59分，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，约10分钟后，船与箭成功分离，进入预定轨道，发射取得成功。某校航模社团按模型与实物1∶75的比，制作了火箭模型，模型的高是多少米？（用方程解答） 基础夯实 能力提升 1．（24-25六年级下·辽宁大连·期中）学校操场平面图的比例尺是1∶2000，那么操场的实际面积是图上面积的（    ）。 A．4000000倍 B．2000倍 C． D． 2．（24-25六年级下·辽宁大连·期中）如果ab＝15，那么（    ）。 A．15∶b＝1∶a B．b∶a＝15∶1 C．15∶a＝b∶1 D．a∶b＝15∶1 3．（24-25六年级下·广东深圳·期中）北京到上海的距离大约是1200千米，在一幅比例尺为1∶6000000的地图上，这两地的距离大约是（    ）厘米 A．60 B．20 C．5 D．2 4．（24-25六年级下·辽宁大连·期中）在一张地图上，画有一条线段比例尺，把它写成数值比例尺的形式是( )，南京到上海约320千米，两地间的图上距离是( )厘米。 5．（24-25六年级下·陕西汉中·期中）如果7＝8（、不为0），则∶＝( )∶( )。 6．（2025·广东深圳·小升初模拟）在比例尺是1∶2000000的地图上，量得A，B两地的图上距离是2厘米，AB两地的实际距离是( )千米，在1∶1000000的地图上，这两地的图上距离是( )厘米。 7．（24-25六年级下·陕西西安·期中）解比例。                       8．（24-25六年级下·辽宁大连·期末）“在比例里，两个内项的积等于两个外项的积”，这个规律你是怎样发现的？ 9．（23-24六年级下·广西贺州·期末）2023年9月28日，我国首条设计时速为350千米/小时的跨海高铁——福厦高铁正式开通运营。福厦高铁北起福州，南至厦门和漳州，全长277千米，是我国“八纵八横”高速铁路网中沿海通道的重要组成部分。若把这条跨海高铁画在比例尺是1∶5000000的地图上，应画多少厘米？ 10．（2025·陕西汉中·小升初模拟）在比例尺1∶2000000的地图上，量得甲乙两地相距3.6厘米。如果一辆卡车以每小时45千米的速度在上午9时从甲地出发，那么什么时间可以到达乙地？ 创新拓展 拔尖冲刺 1．（2025·陕西榆林·小升初真题）下列选项中，能与组成比例的是（    ）。 A．1∶3 B．2.5∶3 C．3∶5 D．18∶12 2．（24-25六年级下·广东惠州·期中）在一幅1∶5000的平面图上，量得一块平行四边形的菜地的底是12cm，高是10cm，这块地的实际面积是（    ）公顷。 A．300000 B．3000 C．30 D．300 3．（2024六年级下·全国·专题练习）我国逐渐完善养老金制度，居民可自行缴纳养老金。甲、乙两人计划用相同的年数分别缴纳养老金18万元和12万元。甲计划每年比乙多缴纳保险金0.2万元。若乙每年缴纳保险金x万元，则根据题意可列出比例为（    ）。 A． B． C． D． 4．（24-25六年级下·辽宁锦州·期末）“祝融号”是天问一号任务火星车，高1.85米，重约240千克。科技小组制作了“祝融号”火星车的模型，模型的高度与实际高度的比是1∶20。模型的高度是( )厘米。 5．（2025六年级下·全国·专题练习）分数的分子和分母都同时减去某一个数，根据所得的新分数约分后是，减去的这个数是 。 6．（25-26六年级·全国·假期作业）按比例放大或者缩小后的图形与原来的图形相比，大小变了，形状没变。( )（判断对错） 7．（25-26六年级·全国·假期作业）在比例中，a和b互为倒数。( )（判断对错） 8．（2025·陕西汉中·小升初模拟）解方程。                      9．（25-26六年级·全国·随堂练习）大雁塔是现存最早、规模最大的唐代四方楼阁式砖塔结构的佛塔。大雁塔高度的约等于开封铁塔高度的。写出大雁塔与开封铁塔高度的最简整数比。 10．（25-26六年级·全国·随堂练习）在比例尺是1∶22000000的地图上量得北京到广州的铁路线大约长10cm，甲、乙两列动车同时从北京和广州开出，相向而行，5时后两车相遇。已知甲、乙两列动车的速度比为11∶9，两车相遇时，甲车行驶了多少千米？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $