专项复习二 解决问题十三大典型题型（圆柱和圆锥）技巧点拨+题型讲练+优选题拔尖练 共46题-2025-2026学年北师大版数学六年级下册培优讲练

专项复习二 解决问题十三大典型题型 （第一单元 圆柱和圆锥） 【原卷版】 知识点一：圆柱的侧面积和表面积 1. 圆柱的侧面积。 当圆柱沿高展开时，侧面展开图是一个长方形，其中长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高，因此： 圆柱的侧面积=长方形的面积=长×宽=圆柱底面的周长×高，即S侧=Ch=2πrh。 2. 圆柱的表面积=侧面积+2×底面积，即S表=S侧+2S底=Ch+2πr2。 3. 在解决实际问题时，并不是所有的圆柱形物体都有两个底面，有的有一个底面，如厨师帽、无盖水桶等；有的没有底面，如圆柱形水管、通风管等。 4. 在实际应用中，有时需要根据实际情况，不管被舍去的部分最高位上的数比5大还是比5小，都要向前一位进一，这种取近似值的方法叫做“进一法”。 知识点二：圆柱的切拼问题 1. 圆柱中高的增减变化引起的表面积变化。 高的增减变化引起的表面积变化问题，由于底面积没有改变，所以实际上发生变化的是侧面积，由此可以先求出底面周长，再进而求出表面积，即底面周长=变化的表面积÷变化的高度。 2. 圆柱中横切引起的表面积变化。 横切，即沿着底面或平行于底面将圆柱切一刀，此时表面积会多出两个面的面积，这两个面是底面，每多切一刀，便多增加两个面，即面数=刀数×2，相反，如果两段圆柱拼接在一起，则会减少两个底面。 3. 圆柱中竖切引起的表面积变化。 竖切，即沿着直径，垂直于底面切，此时多出的两个面是长方形，它是以底面圆的直径为长，以圆柱的高为宽的长方形。 4. 如果把正方体削成一个最大的圆柱，那么正方体的棱长是圆柱的高，也是圆柱底面的直径。 5. 圆柱与长方体的切拼引起的表面积变化。 将一个底面半径为r，高为h的圆柱沿着高切成若干等份，并将其拼成一个近似的长方体，此时这个圆柱和长方体的体积相等，拼成的长方体的表面积比圆柱多2个面积大小为hr的长方形。 知识点三：圆柱的体积 1. 圆柱的体积和容积。 （1）一个圆柱所占空间的大小，叫做这个圆柱的体积；一个圆柱所能容纳物体的体积，叫做这个圆柱的容积。 （2）圆柱形容器容积的求法和体积的求法是一样的，只是所需的数据要从容器的内部量。 2. 圆柱体积的推导方法。 将一个底面半径为r，高为h的圆柱沿着高切成若干等份，并将其拼成一个近似的长方体，此时这个圆柱和长方体的体积相等，拼成的长方体的表面积比圆柱多2个面积大小为hr的长方形，这个长方体的底面积和高与圆柱的底面积和高分别相等，由长方体体积公式（底×高）我们可以推导得出圆柱体体积公式。 如果用V表示圆柱的体积，用S表示圆柱的底面积，用h表示圆柱的高，则圆柱的体积=底面积×高，用字母表示为V=Sh=πr2h。 3. 体积和容积单位进率。 1m3＝1000dm3；1dm3＝1000cm3；1L＝1000mL；1L=1dm3；1mL＝1cm3。 4. 根据圆柱的体积公式=底面积×高，用字母表示为V=Sh，可将体积公式变形反求底面积或高，即： ①S底=V柱÷h ②h=V柱÷S底 知识点四：圆柱体积中的两种关系 其一：比例关系。 1. 当圆柱的底面积相等时，已知高之比，求体积之比：高之比就是体积之比。 2. 当圆柱的高相等时，已知底面积之比，求体积之比：底面积之比就是体积之比。 3. 已知底面积之比和高之比，求体积之比：分别用对应的底面积×对应的高求得对应体积，再求体积之比。 其二：倍数关系。 1. 当高不变时，底面积扩大几倍（或缩小为原来的几分之一），体积就扩大几倍（或缩小为原来的几分之一）； 2. 当底面积不变时，高扩大几倍（或缩小为原来的几分之一），体积就扩大几倍（或缩小为原来的几分之一）。 知识点五：长方体中的最大圆柱.圆柱中的最大长方体.正方体中的最大圆柱 1. 长方体中的最大圆柱。 在长a厘米，宽b厘米，高c厘米的长方体中切出一个体积最大的圆柱，求这个圆柱的体积是多少立方厘米，要以长方体底面的宽作为圆柱底面圆的直径，长方体的高作为圆柱的高，再来计算圆柱的体积。 2. 圆柱中的最大长方体。 圆柱中的最大的长方体，高和圆柱的高相等，长方体的底面是一个正方形，这个正方形的对角线恰好是圆柱的底面直径，因此，底面正方形的面积=对角线×对角线÷2，再根据“长方体体积=底面积×高”求出这个长方体的体积。 3. 正方体中的最大圆柱。 把正方体加工成一个最大的圆柱，圆柱的底面直径等于正方体的棱长，圆柱的高也等于正方体的棱长，再利用圆柱的体积公式V柱＝πr2h求圆柱的体积。 知识点六：排水法求不规则物体的体积 1. 转化法求不规则物体的体积。 在遇到不规则的物体计算体积或容积时，可以利用转化法把不规则物体的体积转化为规则物体的体积来计算， 2. 排水法求不规则物体的体积的步骤如下： （1）在容器中注入适量的水，记下水位。 （2）将不规则物体放入水中，再次记下水位。 （3）用尺子测量容器里现在水面的高度。 （4）用现在的体积减去水的体积得到不规则物体的体积 3. 排水法求不规则物体的体积公式。 形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式： ①V物体=V现在－V原来； ②V物体=S×(h现在- h原来)； ③V物体=S×h升高。 注意：使用排水法求不规则物体体积，一般用于不溶于水或不漂浮的物体。 知识点七：圆柱与圆锥的关系问题 1. 底面积和高均相等的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，反之，圆锥的体积是圆柱体积的。 2. 体积和高相等的圆锥与圆柱，圆锥的底面积是圆柱的三倍。 3. 体积和底面积相等的圆锥与圆柱，圆锥的高是圆柱的三倍。 题型一：一圆柱的展开图 【典例精讲】（24-25六年级上·吉林长春·期末）小宋正在学习圆柱的几何特性，他发现一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的底面直径是4分米，这个圆柱的高是多少分米？（    ） A．12.56分米 B．6.28分米 C．4分米 D．3.14分米 【变式训练】（2024六年级下·全国·专题练习）仓库里有以下几种规格的铁皮，王叔叔想从中选择两张铁皮正好制成一个无盖的圆柱形水桶。（焊接处忽略不计） 王叔叔应该选择( )号和( )号规格的铁皮。（在括号里填上正确答案的序号） 题型二：圆柱的侧面积 【典例精讲】（25-26六年级·全国·随堂练习）在一年一度的校园文化节上，乐乐要把一顶帽子的外面贴上红布，帽子形状如下图所示，帽顶部分是圆柱形，帽檐部分是一个圆环，帽顶的半径、高与帽檐的宽都为20cm。请你帮她算一算，一共需要多少平方厘米的红布？ 【变式训练】（24-25六年级下·广东深圳·期中）白居易在《种柳三咏》中说“白头种松桂，早晚见成林”，可见我国自古以来就有大量种树保护树木的传承。每到冬季，街道两旁一些树木的树干部分都涂成白色以防止冻裂，防治病虫害。学校计划给校园里50棵大树刷白，每平方米的树干需要400克的石灰水，要求树干刷白的高度为1.5米。这批大树的平均直径是20厘米，请你计算至少需要多少千克的石灰水？ 题型三：圆柱的表面积 【典例精讲】（25-26六年级·全国·随堂练习）妈妈给海海买了一个圆柱形水杯（如下图），为了不烫伤海海的手，妈妈特意在杯子中间套了一根宽5cm的橡胶带。 （1）求这个水杯的表面积。 （2）求这根橡胶带的面积。 【变式训练】（25-26六年级·全国·随堂练习）一张长方形纸可以沿长边或短边围成不同的圆柱形纸筒（如下图）。如果给两个纸筒都配上两个底面，那么将这两个纸筒的表面积相比，哪个纸筒的表面积更大？ 题型四：组合体的表面积(圆柱) 【典例精讲】（2024·山西晋城·小升初真题）如图的博士帽是用黑色卡纸做成的，上面是边长30厘米的正方形，下面是底面直径16厘米、高10厘米的无底无盖的圆柱。制作一个这样的“博士帽”至少需要多少平方厘米的黑色卡纸？ 【变式训练】（23-24六年级下·辽宁·课后作业）数学实践课上，六（1）班的同学做实验的容器从上面和正面看，得到如图所示的两个图形。求同学们做实验的这个容器的表面积。（单位：厘米） 题型五：圆柱的体积 【典例精讲】（2025·吉林长春·小升初真题）有关牙膏的数学问题： （1）小颖去买牙膏，同一品牌两种规格牙膏的售价情况如下：120克的，每支4.5元，160克的，每支5.6元，她买哪种规格的牙膏比较合算呢？请帮忙算一算。 （2）牙膏出口处直径为5毫米，小颖每次刷牙挤出1厘米长的牙膏，这样，一支牙膏可用36次，该品牌牙膏推出的新包装是将出口直径改为6毫米，小颖还是按习惯每次挤出1厘米长的牙膏，这样，这一支牙膏能用多少次？ 【变式训练】（24-25六年级下·广东深圳·期中）中国古代有许多发明令人赞叹，如日晷、沙漏等计时工具。乐乐参加课外兴趣小组，制作了如下图所示的简易滴水计时器。经过测量，上方漏斗形容器每分钟滴水80滴（20滴水约为1毫升），下方为圆柱形透明容器。乐乐于10时测得下方容器中水面高度为2厘米，经过一段时间后测得下方容器中水面高度为6厘米，那么此时大约是几时？（取近似值3） 题型六：圆柱的容积 【典例精讲】．（25-26六年级·全国·假期作业）长方体包装盒的长是20cm，宽是4.6cm，高是1cm，圆柱形零件的底面直径是2cm，高是1cm。这个包装盒内最多能放（    ）个零件。 A．20 B．23 C．29 【变式训练】（25-26六年级·全国·随堂练习）你听说过木桶原理吗？如果组成木桶的木板长短不一，那么这个木桶的最大盛水量便取决于最短的那块木板。下图是一个木桶（木桶平置），与其相关的信息如下。 ①占地面积是。    ②从里面量，底面直径是16cm。 ③最短的木板的长度是20cm。   ④最长的木板的长度是25cm。 解答“这个木桶最多能盛多少升水？”这个问题，需要的信息是（    ）。（填序号并列式解答） 题型七：立体图形的切拼（圆柱) 【典例精讲】（25-26六年级·全国·随堂练习）如下图，把一个圆柱切拼成一个近似的长方体，它的表面积比原来圆柱多。圆柱的高是5dm，则原来圆柱的体积是多少立方分米？ 【变式训练】（24-25六年级·辽宁·假期作业）如图所示，把一个底面直径是6厘米的圆柱，沿底面直径切成若干等份，拼成一个近似的长方体，这个长方体的表面积比原来增加60平方厘米，这个长方体的体积是多少立方厘米？ 题型八：圆柱与圆锥体积的关系 【典例精讲】（25-26六年级·全国·假期作业）如下图是一个上部为圆柱，下部为圆锥的密封容器，圆锥的高是18厘米，圆柱的高是20厘米，此时水面高度为24厘米。若将容器倒立放置，水面的高度是多少厘米？ 【变式训练】（24-25六年级下·辽宁·假期作业）积木是一种常见的儿童玩具，一套积木中通常有不同的颜色和形状。其中圆锥形积木是在圆柱形积木的基础上加工制作而成的。将一个底面半径是4厘米，高是9厘米的圆柱形积木加工制作成一个等底等高的圆锥形积木，加工制作过程中削去木料的体积是多少？取 题型九：圆锥的体积（容积） 【典例精讲】（25-26六年级·全国·随堂练习）沙漏是两个完全相同的圆锥形容器的组合体，上面的圆锥形容器高6cm，原来里面装满细沙，漏口每秒可漏细沙，漏完全部细沙用时5分。这个沙漏的底面积是多少平方厘米？（沙漏厚度忽略不计） 【变式训练】（25-26六年级·全国·随堂练习）《西游记》中，猪八戒自告奋勇要吃掉米山为凤仙郡求雨。米山形状近似于圆锥形，米山的底面周长是18.84m，高是4m。如果猪八戒用3分吃完一座米山，那么平均每分吃多少立方米的大米？ 题型十：体积的等积变形（圆柱、圆锥） 【典例精讲】（24-25六年级下·四川成都·期末）古代匠人们打铁时，用火将铁烧红变软，然后用锤子击打成想要的形状，最后放到凉水里迅速冷却，以增加铁的硬度，这就是“淬火”。一铁匠将底面半径为10厘米圆柱形铁块烧红，击打成与它底面大小相同的圆锥形，然后完全没入一底面积为3000平方厘米的长方体容器里“淬火”，水面上升了1.8厘米。这个圆锥的高是多少厘米？（损耗忽略不计）（π取3） 【变式训练】（24-25六年级下·辽宁营口·期中）一个底面内直径是20厘米的装有一些水的圆柱形容器，水中浸没着一个底面直径是8厘米，高18厘米的圆锥形铁锤，当把铁锤从水中完全取出时，容器中的水面下降了多少厘米？ 题型十一：立体图形的切拼（圆锥) 【典例精讲】（24-25六年级下·广东惠州·期中）一个圆锥的底面半径是5厘米，高是12厘米，这个圆锥的体积是( )立方厘米；把这个圆锥沿底面直径且经过顶点切成两半，表面积比原来增加( )平方厘米。 【变式训练】（24-25六年级上·吉林长春·期末）一位木匠想要从一个棱长为6分米的正方体木块中削出一个最大的圆锥。他想知道这个圆锥的体积是多少立方分米。（    ） A．56.52 B．113.04 C．169.56 D．28.26 题型十二：组合体的体积（圆柱、圆锥) 【典例精讲】（25-26六年级·全国·假期作业）（1）已知圆柱底面周长是25.12厘米，高是20厘米，求圆柱的表面积。 （2）已知圆锥底面直径是8厘米，高是12厘米。求圆锥的体积。 （3）下图是圆柱中挖去一个圆锥后的剩余部分，请计算它的体积。（单位：厘米） 【变式训练】（2024·安徽淮南·小升初真题）李红用橡皮泥做玩具小丑帽，造型如图1。 图1 图2 （1）这个帽子的体积是多少立方厘米？ （2）如果用纸板给这个帽子制作一个长方体的包装盒（如图2），至少需要多少平方厘米的纸板？（接头处忽略不计） 题型十三：不规则物体的体积算法(圆柱、圆锥) 【典例精讲】（24-25六年级下·陕西西安·期中）一个装有水的圆柱形容器，从里面量底面直径是12分米，高是8分米，水深7分米，现将一个底面积是62.8平方分米的圆锥完全沉入水中，溢出了3.14升水。这个圆锥的高是多少分米？ 【变式训练】（23-24六年级下·山西吕梁·期中）在一个底面半径为1分米的圆柱形杯里装满水，一个底面半径为5厘米的圆锥形铅锤浸没在水里，当铅锤从水中取出后，杯里的水面下降了5厘米，这个铅锤的体积是多少立方厘米？ 1．（25-26六年级·全国·假期作业）一个容积为500毫升的水杯中装有300毫升水。乐乐先放入4颗相同的小球，发现水未溢出；又放入了1颗，水就溢出了。那么1颗小球的体积范围是（    ）立方厘米。 A．大于20且小于或等于30 B．大于30且小于或等于40 C．大于40且小于或等于50 D．大于50且小于或等于60 2．（25-26六年级·全国·假期作业）如下图：一个装满水的瓶子，内直径8厘米。聪聪喝了一些后，水的高度还有12厘米，把瓶盖拧紧后倒置平放，无水部分高10厘米。聪聪喝了（    ）立方厘米水。 A．251.2 B．502.4 C．678.24 D．2009.6 3．（25-26六年级·全国·假期作业）自来水管的内直径是2cm，水管内水的流速是每秒8cm。一位同学去洗手，走时忘记关掉水龙头，半分钟浪费（    ）mL水。 A．3.14×22×8÷2 B．3.14×12×8÷2 C．3.14×22×8×30 D．3.14×12×8×30 4．一个直角三角形的两条直角边分别是3cm和4cm，斜边是5cm，分别以三条边所在的直线为轴把三角形旋转一周，得到一个立体图形，比较这3个立体图形 的体积，（    ）的体积最大。 A．甲 B．乙 C．丙 D．无法判断 5．把一段长1米，侧面积18.84平方米的圆柱体的木料，沿着和底面平行的方向截成两段，这时它的表面积增加了（ ） A．18.84平方米 B．28.26平方米 C．37.68平方米 D．56.52平方米 6．（25-26六年级·全国·假期作业）爸爸在家里喝茶时，拿出了一个底面直径是12cm、高是20cm的圆柱形铁制茶叶罐，做这样一个茶叶罐至少需要( )cm2铁皮。茶叶罐中原有1kg茶叶，现只剩下一半，爸爸想把剩下的茶叶装到密封袋里，每个密封袋可装茶叶80g，至少需要( )个这样的密封袋。 7．（25-26六年级·全国·假期作业）妈妈要做一个底面半径2分米，高5分米的圆柱形带盖的储物箱，底面用人造革，需要人造革( )平方分米；侧面用花布，需要花布( )平方分米。 8．（25-26六年级·全国·随堂练习）一个圆柱形玻璃杯，测得内直径是8cm，杯内豆浆的深度是16cm，正好占杯内容积的80%。这个玻璃杯的容积是( )mL。 9．（24-25六年级下·四川成都·期末）妙妙在解决“已知圆柱的底面直径为8cm，高为7cm，求这个圆柱的体积”这一问题时，没有直接用体积公式进行计算，而是根据圆柱体积公式的推导过程，想出了另外一种方法，分步计算圆柱的体积。你能看懂她的想法吗？请你补上妙妙的最后一步（第三步）算式，计算圆柱的体积。 第一步：3.14×8÷2＝12.56（cm） 第二步：8÷2＝4（cm） 第三步： 。 请你借助如图说妙妙这么做的理由： 长方体的长相当于圆柱的( )，宽相当于圆柱的( )，长方体的高等于圆柱的( )，所以，圆柱的体积等于( )。 10．（24-25六年级下·四川成都·期末）自来水管的内直径是2厘米，水管内水的流速是每秒8厘米，一位同学去水池洗手，走时忘记关掉水龙头，1分钟会浪费( )毫升水。（） 11．（23-24六年级下·四川成都·期中）如果把一段底面半径为5厘米的圆柱形钢材完全浸没在一个圆柱形水桶里，桶里的水面会上升7厘米（水未溢出）；如果将圆柱形钢材露出水面15厘米（水中还有一部分），水面又会下降3厘米这段钢材的体积是( )。 12．（25-26六年级·全国·假期作业）一座粮仓的形状如右下图，王爷爷家今年共收水稻300立方米，如果全部运到这个粮仓中，那么能装下吗？请说明理由。（仓壁厚度忽略不计） 13．（25-26六年级·全国·随堂练习）一个装有水的圆柱形容器，底面直径是10cm，高是10cm。一块石头完全浸在水里（如下图），量得水深是8.5cm，将石头取出后，水深是7cm。这块石头的体积是多少立方厘米？ 14．（25-26六年级·全国·随堂练习）某木材加工厂新进200根杨树圆木，每根圆木的横截面直径为0.3m，长为4m。已知圆木的容重为（木料的质量叫作木料的容重），这批圆木大约重多少吨？（得数保留两位小数） 15．（25-26六年级·全国·随堂练习）蚁狮会挖出圆锥形洞穴做陷阱，躲在洞穴中等着取食掉进陷阱的蚂蚁和其他昆虫。右图是一个深3cm、口部宽6cm的近似圆锥形陷阱，做出这个陷阱至少挖出了多少体积的土？ 16．（25-26六年级·全国·随堂练习）故宫博物院馆藏“碧玉刻诗扳指”（如下图），器呈圆筒状，外直径是2.90cm，高2.20cm，厚0.50cm。外部雕填金地萱花一枝，花枝旁有山石，另一侧有填金《御题萱花诗》一首：“叶绿与花黄，无情自在芳。持将赠屈子，定是不能忘。”这枚扳指的体积是多少立方厘米？（得数保留两位小数） 17．（25-26六年级·全国·假期作业）一个封闭的瓶子里装着一些水，已知：瓶子的底面积是25平方厘米，根据图中数据，请求出瓶子的容积。（瓶子厚度忽略不计）（单位：厘米） 18．（25-26六年级·全国·假期作业）莉莉将一个圆锥形甜筒里装了0.12升水，此时水面高度正好是圆锥高度的一半，（注：π取3.14） （1）莉莉还能往甜筒里装多少水；（单位化为立方厘米） （2）莉莉将装满水的甜筒倒入玻璃杯中，若这个玻璃杯的底面半径是4厘米，高是15厘米，请问水是否会溢出来。 19．（23-24六年级下·山西吕梁·期末）如图，一个圆柱形的玻璃容器，底面直径是12厘米，里面装满水，把容器里的水倒出60%后，还剩452.16毫升水。在里面放入等底等高的圆柱和圆锥（水完全浸没），已知它们的高均为6厘米，这时水面升高了0.5厘米。 （1）圆柱形容器的高是多少厘米？ （2）放到水里的圆柱和圆锥的体积分别是多少立方厘米？它们的底面积是多少平方厘米？ 20．一个5米高的圆柱形水池装满了水，每天平均用去的水是10吨，10天后水池里的水减少了40%。这个水池的底面积是多少平方米？ （1立方米水重1吨。） 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项复习二 解决问题十三大典型题型 （第一单元 圆柱和圆锥） 【解析版】 知识点一：圆柱的侧面积和表面积 1. 圆柱的侧面积。 当圆柱沿高展开时，侧面展开图是一个长方形，其中长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高，因此： 圆柱的侧面积=长方形的面积=长×宽=圆柱底面的周长×高，即S侧=Ch=2πrh。 2. 圆柱的表面积=侧面积+2×底面积，即S表=S侧+2S底=Ch+2πr2。 3. 在解决实际问题时，并不是所有的圆柱形物体都有两个底面，有的有一个底面，如厨师帽、无盖水桶等；有的没有底面，如圆柱形水管、通风管等。 4. 在实际应用中，有时需要根据实际情况，不管被舍去的部分最高位上的数比5大还是比5小，都要向前一位进一，这种取近似值的方法叫做“进一法”。 知识点二：圆柱的切拼问题 1. 圆柱中高的增减变化引起的表面积变化。 高的增减变化引起的表面积变化问题，由于底面积没有改变，所以实际上发生变化的是侧面积，由此可以先求出底面周长，再进而求出表面积，即底面周长=变化的表面积÷变化的高度。 2. 圆柱中横切引起的表面积变化。 横切，即沿着底面或平行于底面将圆柱切一刀，此时表面积会多出两个面的面积，这两个面是底面，每多切一刀，便多增加两个面，即面数=刀数×2，相反，如果两段圆柱拼接在一起，则会减少两个底面。 3. 圆柱中竖切引起的表面积变化。 竖切，即沿着直径，垂直于底面切，此时多出的两个面是长方形，它是以底面圆的直径为长，以圆柱的高为宽的长方形。 4. 如果把正方体削成一个最大的圆柱，那么正方体的棱长是圆柱的高，也是圆柱底面的直径。 5. 圆柱与长方体的切拼引起的表面积变化。 将一个底面半径为r，高为h的圆柱沿着高切成若干等份，并将其拼成一个近似的长方体，此时这个圆柱和长方体的体积相等，拼成的长方体的表面积比圆柱多2个面积大小为hr的长方形。 知识点三：圆柱的体积 1. 圆柱的体积和容积。 （1）一个圆柱所占空间的大小，叫做这个圆柱的体积；一个圆柱所能容纳物体的体积，叫做这个圆柱的容积。 （2）圆柱形容器容积的求法和体积的求法是一样的，只是所需的数据要从容器的内部量。 2. 圆柱体积的推导方法。 将一个底面半径为r，高为h的圆柱沿着高切成若干等份，并将其拼成一个近似的长方体，此时这个圆柱和长方体的体积相等，拼成的长方体的表面积比圆柱多2个面积大小为hr的长方形，这个长方体的底面积和高与圆柱的底面积和高分别相等，由长方体体积公式（底×高）我们可以推导得出圆柱体体积公式。 如果用V表示圆柱的体积，用S表示圆柱的底面积，用h表示圆柱的高，则圆柱的体积=底面积×高，用字母表示为V=Sh=πr2h。 3. 体积和容积单位进率。 1m3＝1000dm3；1dm3＝1000cm3；1L＝1000mL；1L=1dm3；1mL＝1cm3。 4. 根据圆柱的体积公式=底面积×高，用字母表示为V=Sh，可将体积公式变形反求底面积或高，即： ①S底=V柱÷h ②h=V柱÷S底 知识点四：圆柱体积中的两种关系 其一：比例关系。 1. 当圆柱的底面积相等时，已知高之比，求体积之比：高之比就是体积之比。 2. 当圆柱的高相等时，已知底面积之比，求体积之比：底面积之比就是体积之比。 3. 已知底面积之比和高之比，求体积之比：分别用对应的底面积×对应的高求得对应体积，再求体积之比。 其二：倍数关系。 1. 当高不变时，底面积扩大几倍（或缩小为原来的几分之一），体积就扩大几倍（或缩小为原来的几分之一）； 2. 当底面积不变时，高扩大几倍（或缩小为原来的几分之一），体积就扩大几倍（或缩小为原来的几分之一）。 知识点五：长方体中的最大圆柱.圆柱中的最大长方体.正方体中的最大圆柱 1. 长方体中的最大圆柱。 在长a厘米，宽b厘米，高c厘米的长方体中切出一个体积最大的圆柱，求这个圆柱的体积是多少立方厘米，要以长方体底面的宽作为圆柱底面圆的直径，长方体的高作为圆柱的高，再来计算圆柱的体积。 2. 圆柱中的最大长方体。 圆柱中的最大的长方体，高和圆柱的高相等，长方体的底面是一个正方形，这个正方形的对角线恰好是圆柱的底面直径，因此，底面正方形的面积=对角线×对角线÷2，再根据“长方体体积=底面积×高”求出这个长方体的体积。 3. 正方体中的最大圆柱。 把正方体加工成一个最大的圆柱，圆柱的底面直径等于正方体的棱长，圆柱的高也等于正方体的棱长，再利用圆柱的体积公式V柱＝πr2h求圆柱的体积。 知识点六：排水法求不规则物体的体积 1. 转化法求不规则物体的体积。 在遇到不规则的物体计算体积或容积时，可以利用转化法把不规则物体的体积转化为规则物体的体积来计算， 2. 排水法求不规则物体的体积的步骤如下： （1）在容器中注入适量的水，记下水位。 （2）将不规则物体放入水中，再次记下水位。 （3）用尺子测量容器里现在水面的高度。 （4）用现在的体积减去水的体积得到不规则物体的体积 3. 排水法求不规则物体的体积公式。 形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式： ①V物体=V现在－V原来； ②V物体=S×(h现在- h原来)； ③V物体=S×h升高。 注意：使用排水法求不规则物体体积，一般用于不溶于水或不漂浮的物体。 知识点七：圆柱与圆锥的关系问题 1. 底面积和高均相等的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，反之，圆锥的体积是圆柱体积的。 2. 体积和高相等的圆锥与圆柱，圆锥的底面积是圆柱的三倍。 3. 体积和底面积相等的圆锥与圆柱，圆锥的高是圆柱的三倍。 题型一：一圆柱的展开图 【典例精讲】（24-25六年级上·吉林长春·期末）小宋正在学习圆柱的几何特性，他发现一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的底面直径是4分米，这个圆柱的高是多少分米？（    ） A．12.56分米 B．6.28分米 C．4分米 D．3.14分米 【答案】A 【思路引导】圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的底面周长和高相等，利用圆的周长公式“C＝πd”求出圆柱的高，据此解答.。 【规范解答】3.14×4＝12.56（分米） 这个圆柱的高是12.56分米。 故答案为：A 【变式训练】（2024六年级下·全国·专题练习）仓库里有以下几种规格的铁皮，王叔叔想从中选择两张铁皮正好制成一个无盖的圆柱形水桶。（焊接处忽略不计） 王叔叔应该选择( )号和( )号规格的铁皮。（在括号里填上正确答案的序号） 【答案】 ① ④ 【思路引导】先根据圆的周长，用3.14×4求出①号圆的周长是12.56分米；再根据圆的周长，用2×3.14×4求出②号圆的周长是25.12分米。通过观察发现：①号圆的周长等于④号长方形的长；②号圆的周长不等于③长方形和④长方形的长或宽。圆柱的侧面沿高剪开的展开图是一个长方形（或正方形），这个长方形（或正方形）的一边长等于圆柱的底面周长，另一边长等于圆柱的高。据此可知：①号是无盖圆柱形水桶的底，④号是无盖圆柱形水桶的侧面。 【规范解答】3.14×4＝12.56（分米）， 12.56≠9.42 12.56≠2 12.56＝12.56 12.56≠6 2×3.14×4＝25.12（分米） 25.12≠9.42 25.12≠2 25.12≠12.56 25.12≠6 因为①号圆的周长等于④号长方形的长，所以王叔叔应该选择①号和④号规格的铁皮。 题型二：圆柱的侧面积 【典例精讲】（25-26六年级·全国·随堂练习）在一年一度的校园文化节上，乐乐要把一顶帽子的外面贴上红布，帽子形状如下图所示，帽顶部分是圆柱形，帽檐部分是一个圆环，帽顶的半径、高与帽檐的宽都为20cm。请你帮她算一算，一共需要多少平方厘米的红布？ 【答案】7536平方厘米 【思路引导】帽顶部分是圆柱形，帽檐部分是一个圆环，帽子需要的红布的面积等于半径和高都是20厘米的圆柱侧面积加上半径是厘米的圆面积，根据圆柱的侧面积（r表示半径，h表示高），圆的面积（r表示半径），列式解答即可。 【规范解答】 （平方厘米） 答：一共需要7536平方厘米的红布。 【变式训练】（24-25六年级下·广东深圳·期中）白居易在《种柳三咏》中说“白头种松桂，早晚见成林”，可见我国自古以来就有大量种树保护树木的传承。每到冬季，街道两旁一些树木的树干部分都涂成白色以防止冻裂，防治病虫害。学校计划给校园里50棵大树刷白，每平方米的树干需要400克的石灰水，要求树干刷白的高度为1.5米。这批大树的平均直径是20厘米，请你计算至少需要多少千克的石灰水？ 【答案】18.84千克 【思路引导】根据题意可知：树干可看成一个圆柱，刷白部分是圆柱的侧面积。将数据代入圆柱的侧面积公式：S＝πdh求出一棵大树需要刷白的面积，再乘50求出50棵大树刷白的面积。用50棵大树刷白的面积×每平方米的树干需要的石灰水的质量求出需要多少克石灰水，最后根据1千克＝1000克换算成千克即可。 【规范解答】20厘米＝0.2米 3.14×0.2×1.5 ＝0.628×1.5 ＝0.942（平方米） 0.942×50＝47.1（平方米） 47.1×400＝18840（克） 18840克＝18.84千克 答：至少需要18.84千克的石灰水。 题型三：圆柱的表面积 【典例精讲】（25-26六年级·全国·随堂练习）妈妈给海海买了一个圆柱形水杯（如下图），为了不烫伤海海的手，妈妈特意在杯子中间套了一根宽5cm的橡胶带。 （1）求这个水杯的表面积。 （2）求这根橡胶带的面积。 【答案】（1）395.64平方厘米 （2）94.2平方厘米 【思路引导】(1)水杯的表面积包括侧面积和两个底面积，根据圆柱侧面积公式S=πdh（d为直径，h为高）和圆的面积公式S=πr²（r为半径）计算。 (2)橡胶带的面积即为圆柱侧面一部分的面积，宽度为5cm，所以面积为底面周长乘宽度。 【规范解答】(1)半径：（厘米） 底面积： （平方厘米） 两个底面积：（平方厘米） 侧面积：（平方厘米） 表面积：（平方厘米） 答：这个水杯的表面积是395.64平方厘米。 (2)底面周长：（厘米） 橡胶带面积：（平方厘米） 答：这根橡胶带的面积是94.2平方厘米。 【变式训练】（25-26六年级·全国·随堂练习）一张长方形纸可以沿长边或短边围成不同的圆柱形纸筒（如下图）。如果给两个纸筒都配上两个底面，那么将这两个纸筒的表面积相比，哪个纸筒的表面积更大？ 【答案】乙纸筒的表面积更大 【思路引导】一张长方形纸沿短边可以围成圆柱甲，圆柱的底面周长等于长方形的宽，即12.56厘米，根据圆的周长（r表示半径），可以求出底面圆的半径，再根据圆的面积，乘2后，可以求出圆柱2个底面圆的面积，而圆柱的侧面积就等于长方形的面积，最后用侧面积加上2个底面圆的面积，即可求出圆柱甲的表面积。 一张长方形纸沿长边可以围成圆柱乙，圆柱的底面周长等于长方形的长，即18.84厘米，根据圆的周长（r表示半径），可以求出底面圆的半径，再根据圆的面积，乘2后，可以求出圆柱2个底面圆的面积，而圆柱的侧面积就等于长方形的面积，最后用侧面积加上2个底面圆的面积，即可求出圆柱乙的表面积。 最后进行比较即可。 【规范解答】甲：（厘米） （平方厘米） 乙：（厘米） （平方厘米） 因为，所以乙纸筒的表面积更大。 答：乙纸筒的表面积更大。 题型四：组合体的表面积(圆柱) 【典例精讲】（2024·山西晋城·小升初真题）如图的博士帽是用黑色卡纸做成的，上面是边长30厘米的正方形，下面是底面直径16厘米、高10厘米的无底无盖的圆柱。制作一个这样的“博士帽”至少需要多少平方厘米的黑色卡纸？ 【答案】1402.4平方厘米 【思路引导】根据题意和图意可知，制作一个这样的“博士帽”至少需要黑色卡纸的面积＝正方形的面积＋圆柱的侧面积，根据正方形的面积公式S＝a2，圆柱的侧面积公式S侧＝πdh，代入数据计算求解。 【规范解答】30×30＋3.14×16×10 ＝900＋502.4 ＝1402.4（平方厘米） 答：制作一个这样的“博士帽”至少需要1402.4平方厘米的黑色卡纸。 【变式训练】（23-24六年级下·辽宁·课后作业）数学实践课上，六（1）班的同学做实验的容器从上面和正面看，得到如图所示的两个图形。求同学们做实验的这个容器的表面积。（单位：厘米） 【答案】120.48平方厘米 【思路引导】观察图形可以看出，这个容器的表面积为一个圆柱体的表面积加上长方体的侧面积，圆柱体的表面积＝，长方体的底面是边长为1厘米的正方形，长方体的侧面积＝边长×高×4，据此解答。 【规范解答】圆柱体的表面积： （平方厘米） 长方体的侧面积：（平方厘米） 容器的表面积：（平方厘米） 答：这个容器的表面积是120.48平方厘米。 题型五：圆柱的体积 【典例精讲】（2025·吉林长春·小升初真题）有关牙膏的数学问题： （1）小颖去买牙膏，同一品牌两种规格牙膏的售价情况如下：120克的，每支4.5元，160克的，每支5.6元，她买哪种规格的牙膏比较合算呢？请帮忙算一算。 （2）牙膏出口处直径为5毫米，小颖每次刷牙挤出1厘米长的牙膏，这样，一支牙膏可用36次，该品牌牙膏推出的新包装是将出口直径改为6毫米，小颖还是按习惯每次挤出1厘米长的牙膏，这样，这一支牙膏能用多少次？ 【答案】（1）买160克的每支5.6元规格的牙膏比较合算 （2）25次 【思路引导】（1）用两种规格牙膏的售价分别除以克数，求出两种规格的牙膏每克各是多少钱，然后把两种规格每克牙膏的价格进行比较，即可解答； （2）首先根据1厘米＝10毫米，把厘米转换成毫米，再根据圆柱的体积公式V＝πr2h，代入数据，求出原来每次使用牙膏的体积，再用原来每次使用牙膏的体积乘上使用次数，求出牙膏原包装的体积，然后再用牙膏原包装的体积除以新包装的每次用的体积，就是新包装的牙膏能用的次数。 【规范解答】（1）4.5÷120＝0.0375（元） 5.6÷160＝0.035（元） 0.035＜0.0375 答：她买160克的每支5.6元规格的牙膏比较合算。 （2）1厘米＝10毫米 3.14×（5÷2）2×10×36 ＝3.14×2.52×10×36 ＝3.14×6.25×10×36 ＝19.625×10×36 ＝196.25×36 ＝7065（立方毫米） 3.14×（6÷2）2×10 ＝3.14×32×10 ＝3.14×9×10 ＝28.26×10 ＝282.6（立方毫米） 7065÷282.6＝25（次） 答：这一支牙膏只能用25次。 【变式训练】（24-25六年级下·广东深圳·期中）中国古代有许多发明令人赞叹，如日晷、沙漏等计时工具。乐乐参加课外兴趣小组，制作了如下图所示的简易滴水计时器。经过测量，上方漏斗形容器每分钟滴水80滴（20滴水约为1毫升），下方为圆柱形透明容器。乐乐于10时测得下方容器中水面高度为2厘米，经过一段时间后测得下方容器中水面高度为6厘米，那么此时大约是几时？（取近似值3） 【答案】15时 【思路引导】根据题意，水面高度上升了6－2＝4厘米，先根据圆柱的体积公式V＝πr2h（π为3，r为20÷2＝10厘米，h为4厘米），算出上升部分的水的体积，并将单位换算为毫升（1立方厘米＝1毫升）；容器每分钟滴水80滴（20滴水约为1毫升），所以每分钟滴水80÷20＝4毫升，用上升部分的水的体积除以每分钟滴水多少毫升，即可算出一共用了多少分钟；开始时间为10时，加上经过的时间，即可算出此时为几时。 【规范解答】6－2＝4（厘米） 20÷2＝10（厘米） 3×102×4 ＝3×100×4 ＝300×4 ＝1200（立方厘米） 1立方厘米＝1毫升 1200立方厘米＝1200毫升 80÷20＝4（毫升） 1200÷4＝300（分钟） 1小时＝60分钟 300÷60＝5（小时） 10时＋5小时＝15时 答：此时大约是15时。 【考点点拨】本题主要考查圆柱的体积公式（V＝πr2h）的实际应用，通过圆柱体积公式求出上升水的体积，再结合滴水速度换算时间，最后推算时刻。 题型六：圆柱的容积 【典例精讲】．（25-26六年级·全国·假期作业）长方体包装盒的长是20cm，宽是4.6cm，高是1cm，圆柱形零件的底面直径是2cm，高是1cm。这个包装盒内最多能放（    ）个零件。 A．20 B．23 C．29 【答案】A 【思路引导】长方体包装盒的高是1cm，圆柱形零件的高是1cm。所以用包装盒的长和宽分别除以零件的底面直径，商取整数，把两个商相乘即可求出最多能放零件的个数。 【规范解答】根据分析得出： 20÷2＝10（个） 4.6÷2≈2（个） 10×2＝20（个） 这个包装盒内最多能放20个零件。 故答案为：A 【变式训练】（25-26六年级·全国·随堂练习）你听说过木桶原理吗？如果组成木桶的木板长短不一，那么这个木桶的最大盛水量便取决于最短的那块木板。下图是一个木桶（木桶平置），与其相关的信息如下。 ①占地面积是。    ②从里面量，底面直径是16cm。 ③最短的木板的长度是20cm。   ④最长的木板的长度是25cm。 解答“这个木桶最多能盛多少升水？”这个问题，需要的信息是（    ）。（填序号并列式解答） 【答案】②③ 4.0192升 【思路引导】要计算木桶的最大盛水量，即容积，需明确木桶是圆柱体，容积公式为“底面积×高”；木桶最大盛水量由最短木板决定，因此高取最短木板的长度；底面积可通过底面直径计算，或直接用占地面积。 【规范解答】需要的信息是：②（底面直径）、③（最短木板长度）。 计算底面半径：（cm）； 计算底面积：（cm2）； 计算容积：底面积×最短木板长度（高），即（cm3）； 单位转换：4019.2cm3＝4.0192升。 答：这个木桶最多能盛4.0192升水。 题型七：立体图形的切拼（圆柱) 【典例精讲】（25-26六年级·全国·随堂练习）如下图，把一个圆柱切拼成一个近似的长方体，它的表面积比原来圆柱多。圆柱的高是5dm，则原来圆柱的体积是多少立方分米？ 【答案】1004.8立方分米 【思路引导】把圆柱切拼成近似长方体后，表面积增加的部分是两个以圆柱的高为长、圆柱底面半径为宽的长方形的面积，因为表面积增加了80平方分米，且增加的是两个长方形的面积，所以一个这样的长方形面积是平方分米，又因为长方形的长是圆柱的高，根据长方形的宽＝面积长，这里的宽是圆柱的底面半径r，所以r为分米。圆柱的体积公式为（取3.14），将半径、高的数值代入公式，即可解答。 【规范解答】（平方分米） （分米） （立方分米） 答：原来圆柱的体积是1004.8立方分米。 【变式训练】（24-25六年级·辽宁·假期作业）如图所示，把一个底面直径是6厘米的圆柱，沿底面直径切成若干等份，拼成一个近似的长方体，这个长方体的表面积比原来增加60平方厘米，这个长方体的体积是多少立方厘米？ 【答案】282.6立方厘米 【思路引导】把圆柱沿底面直径切拼成近似长方体时，形状变化但体积不变，长方体体积等于圆柱体积。表面积增加的原因是多了两个长方形面，这两个面的长是圆柱的高h，宽是圆柱底面半径r。已知底面直径6厘米，可先得半径r＝6÷2＝3厘米；又知表面积增加60平方厘米，即两个长方形面积和为60，一个长方形面积是60÷2＝30平方厘米，根据长方形面积公式“面积＝长×宽”，这里宽是半径3厘米，所以长（即圆柱的高h）为30÷3＝10厘米。最后根据圆柱体积公式V＝πr2h计算体积，也就是长方体体积。 【规范解答】求圆柱底面半径：6÷2＝3（厘米） 求圆柱的高： 60÷2÷3 ＝30÷3 ＝10（厘米） 求长方体体积（圆柱体积）： 3.14×32×10 ＝3.14×9×10 ＝28.26×10 ＝282.6（立方厘米） 答：这个长方体的体积是282.6立方厘米。 题型八：圆柱与圆锥体积的关系 【典例精讲】（25-26六年级·全国·假期作业）如下图是一个上部为圆柱，下部为圆锥的密封容器，圆锥的高是18厘米，圆柱的高是20厘米，此时水面高度为24厘米。若将容器倒立放置，水面的高度是多少厘米？ 【答案】12厘米 【思路引导】体积和底面积相等时，圆锥的高是圆柱高的3倍，所以把圆锥部分的水倒入圆柱中，水面高度为18÷3＝6厘米；原来圆柱中水面高度为24－18＝6厘米，所以将容器倒立放置，水面高度是6＋6＝12厘米。 【规范解答】18÷3＝6（厘米） 24－18＝6（厘米） 6＋6＝12（厘米） 答：水面的高度是12厘米。 【考点点拨】圆柱和圆锥的底面积相等，将圆锥部分的水倒入圆柱中，高度会变为原来的。 【变式训练】（24-25六年级下·辽宁·假期作业）积木是一种常见的儿童玩具，一套积木中通常有不同的颜色和形状。其中圆锥形积木是在圆柱形积木的基础上加工制作而成的。将一个底面半径是4厘米，高是9厘米的圆柱形积木加工制作成一个等底等高的圆锥形积木，加工制作过程中削去木料的体积是多少？取 【答案】301.44立方厘米 【思路引导】把这个圆柱削成一个等底等高的圆锥形，因为等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，所以削求部分的体积相当于圆柱体积的。根据圆柱的体积公式：，把数据代入公式解答。 【规范解答】 （立方厘米） 答：加工制作过程中削去木料的体积是301.44立方厘米。 题型九：圆锥的体积（容积） 【典例精讲】（25-26六年级·全国·随堂练习）沙漏是两个完全相同的圆锥形容器的组合体，上面的圆锥形容器高6cm，原来里面装满细沙，漏口每秒可漏细沙，漏完全部细沙用时5分。这个沙漏的底面积是多少平方厘米？（沙漏厚度忽略不计） 【答案】9平方厘米 【思路引导】由题可知，沙漏上下两个圆锥形的体积相同，所以只需把一个圆锥的体积求出来即可。一个圆锥的体积等于细沙的体积，细沙的体积为，再根据圆锥的体积公式即可求出沙漏的底面积。 【规范解答】    （立方厘米）      （平方厘米） 答：这个沙漏的底面积是9平方厘米。 【变式训练】（25-26六年级·全国·随堂练习）《西游记》中，猪八戒自告奋勇要吃掉米山为凤仙郡求雨。米山形状近似于圆锥形，米山的底面周长是18.84m，高是4m。如果猪八戒用3分吃完一座米山，那么平均每分吃多少立方米的大米？ 【答案】12.56立方米 【思路引导】已知圆锥的底面周长，根据，求出圆锥的底面半径；再根据圆锥的体积公式，求出圆锥的体积；最后用体积÷3，求出平均每分钟吃多少立方米，据此解答。 【规范解答】底面半径： （米） 圆锥的体积： （立方米） 每分钟：（立方米） 答：平均每分钟吃12.56立方米的大米。 题型十：体积的等积变形（圆柱、圆锥） 【典例精讲】（24-25六年级下·四川成都·期末）古代匠人们打铁时，用火将铁烧红变软，然后用锤子击打成想要的形状，最后放到凉水里迅速冷却，以增加铁的硬度，这就是“淬火”。一铁匠将底面半径为10厘米圆柱形铁块烧红，击打成与它底面大小相同的圆锥形，然后完全没入一底面积为3000平方厘米的长方体容器里“淬火”，水面上升了1.8厘米。这个圆锥的高是多少厘米？（损耗忽略不计）（π取3） 【答案】54厘米 【思路引导】由题意知：“将底面半径为10厘米圆柱形铁块烧红，击打成与它底面大小相同的圆锥形”，则这个圆锥铁块的底面半径也是10厘米。又知：将铁块完全放入长方体容器中，则上升部分水的体积＝圆锥铁块的体积。长方体体积＝底面积×高，圆锥的体积＝×圆锥的底面积×圆锥的高，则圆锥的高＝3×圆锥的体积÷圆锥的底面积，据此计算即可。 【规范解答】上升部分水的体积＝圆锥的体积＝3000×1.8＝5400（立方厘米） 圆锥的高： （厘米） 答：这个圆锥的高是54厘米。 【变式训练】（24-25六年级下·辽宁营口·期中）一个底面内直径是20厘米的装有一些水的圆柱形容器，水中浸没着一个底面直径是8厘米，高18厘米的圆锥形铁锤，当把铁锤从水中完全取出时，容器中的水面下降了多少厘米？ 【答案】0.96厘米 【思路引导】铁锤取出后水面下降的体积等于圆锥形铁锤的体积。圆锥的体积公式为V＝πr2h（r为半径，h为高，π取3.14）。已知圆锥形铁锤底面直径是8厘米，则底面半径为8÷2＝4厘米，高为18厘米，代入公式可得：×3.14×42×18＝6×3.14×16＝301.44立方厘米。 圆柱形容器底面直径是20厘米，那么半径为20÷2＝10厘米，已知下降的水的体积是301.44立方厘米，根据圆柱体积公式：V＝πr2h（r为半径，h为高，π取3.14），则h＝V÷π÷r2，把数据代入公式计算即可得出水面下降了多少厘米。 【规范解答】8÷2＝4（厘米） ×3.14×42×18 ＝×3.14×16×18 ＝6×3.14×16 ＝301.44（立方厘米） 20÷2＝10（厘米） 301.44÷3.14÷102 ＝96÷100 ＝0.96（厘米） 答：容器中的水面下降了0.96厘米。 题型十一：立体图形的切拼（圆锥) 【典例精讲】（24-25六年级下·广东惠州·期中）一个圆锥的底面半径是5厘米，高是12厘米，这个圆锥的体积是( )立方厘米；把这个圆锥沿底面直径且经过顶点切成两半，表面积比原来增加( )平方厘米。 【答案】 314 120 【思路引导】根据圆锥的体积：V＝Sh＝πr2h，代入数据计算，即可求出这个圆锥的体积。把这个圆锥沿底面直径且经过顶点切成两半，增加的表面积是两个以底面直径为底，圆锥高为高的三角形的面积，根据公式：直径＝半径×2、三角形面积＝底×高÷2，代入数据计算，即可求出表面积比原来增加多少平方厘米。 【规范解答】×3.14×52×12 ＝×3.14×25×12 ＝314（立方厘米） 5×2＝10（厘米） 10×12÷2×2＝120（平方厘米） 即这个圆锥的体积是314立方厘米；把这个圆锥沿底面直径且经过顶点切成两半，表面积比原来增加120平方厘米。 【变式训练】（24-25六年级上·吉林长春·期末）一位木匠想要从一个棱长为6分米的正方体木块中削出一个最大的圆锥。他想知道这个圆锥的体积是多少立方分米。（    ） A．56.52 B．113.04 C．169.56 D．28.26 【答案】A 【思路引导】从一个棱长为6分米的正方体木块中能削出的最大圆锥，其底面圆是正方体底面正方形中的最大圆，即圆的直径等于6分米；圆锥的高等于正方形的边长6分米。根据V＝πr2h计算解答。 【规范解答】×[3.14×（6÷2）2]×6 ＝×（3.14×32）×6 ＝×（3.14×9）×6 ＝×28.26×6 ＝56.52（立方分米） 所以这个圆锥的体积是56.52立方分米。 故答案为：A 题型十二：组合体的体积（圆柱、圆锥) 【典例精讲】（25-26六年级·全国·假期作业）（1）已知圆柱底面周长是25.12厘米，高是20厘米，求圆柱的表面积。 （2）已知圆锥底面直径是8厘米，高是12厘米。求圆锥的体积。 （3）下图是圆柱中挖去一个圆锥后的剩余部分，请计算它的体积。（单位：厘米） 【答案】（1）602.88平方厘米 （2）200.96立方厘米 （3）1884立方厘米 【思路引导】（1）圆柱的表面积＝底面积×2＋侧面积，侧面积＝底面周长×高，通过底面周长求出底面半径后代入圆的面积公式（）求出底面积，两部分相加即可； （2）圆锥的体积＝底面积×高×，据此，代入数据计算即可； （3）剩余部分的体积等于圆柱的体积减去圆锥的体积，分别计算两部分面积，再相减即可。 【规范解答】（1）侧面积：25.12×20＝502.4（平方厘米） 底面半径：25.12÷3.14÷2 ＝8÷2 ＝4（厘米） 底面积：3.14×42×2 ＝3.14×16×2 ＝50.24×2 ＝100.48（平方厘米） 502.4＋100.48＝602.88（平方厘米） 答：圆柱的表面积为602.88平方厘米。 （2）×3.14×（8÷2）2×12 ＝×3.14×42×12 ＝×3.14×16×12 ＝3.14×64 ＝200.96（立方厘米） 答：圆锥的体积是200.96立方厘米。 （3）圆柱的体积： 3.14×（12÷2）2×20 ＝3.14×62×20 ＝3.14×36×20 ＝113.04×20 ＝2260.8（立方厘米） 圆锥的体积： ×3.14×（12÷2）2×10 ＝×3.14×62×10 ＝×3.14×36×10 ＝3.14×12×10 ＝376.8（立方厘米） 剩余体积： 2260.8－376.8＝1884（立方厘米） 答：剩余部分的体积是1884立方厘米。 【变式训练】（2024·安徽淮南·小升初真题）李红用橡皮泥做玩具小丑帽，造型如图1。 图1 图2 （1）这个帽子的体积是多少立方厘米？ （2）如果用纸板给这个帽子制作一个长方体的包装盒（如图2），至少需要多少平方厘米的纸板？（接头处忽略不计） 【答案】（1）87.92立方厘米； （2）448平方厘米 【思路引导】（1）这个帽子是由一个底面直径是（8－2－2）厘米、高是9厘米的圆锥体和一个底面直径是8厘米、高是1厘米的圆柱组成，根据圆柱的体积V＝πr2h，圆锥的体积＝πr2h代入数据列式计算即可； （2）从图中可知，长方体包装盒的长和宽都是8厘米，高是（9＋1）厘米，根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2列式计算即可。 【规范解答】（1）8÷2＝4（厘米） （8－2－2）÷2 ＝4÷2 ＝2（厘米） 3.14×42×1＋3.14×22×9× ＝3.14×16×1＋3.14×4×9× ＝50.24＋37.68 ＝87.92（立方厘米） 答：这个帽子的体积是87.92立方厘米。 （2）9＋1＝10（厘米） （8×8＋8×10＋8×10）×2 ＝（64＋80＋80）×2 ＝224×2 ＝448（平方厘米） 答：至少需要448平方厘米的纸板。 题型十三：不规则物体的体积算法(圆柱、圆锥) 【典例精讲】（24-25六年级下·陕西西安·期中）一个装有水的圆柱形容器，从里面量底面直径是12分米，高是8分米，水深7分米，现将一个底面积是62.8平方分米的圆锥完全沉入水中，溢出了3.14升水。这个圆锥的高是多少分米？ 【答案】5.55分米 【思路引导】把3.14升化为3.14立方分米，圆锥的体积等于溢出水的体积加上底面直径为12分米、高为8－7＝1分米的圆柱的体积；根据圆锥的体积＝×底面积×高，用圆锥的体积乘3，再除以底面积就是高。据此解答。 【规范解答】12÷2＝6（分米） 3.14升＝3.14立方分米 3.14××（8－7）＋3.14 ＝3.14×36×1＋3.14 ＝113.04＋3.14 ＝116.18（立方分米） 116.18×3÷62.8 ＝348.54÷62.8 ＝5.55（分米） 答：这个圆锥的高是5.55分米。 【变式训练】（23-24六年级下·山西吕梁·期中）在一个底面半径为1分米的圆柱形杯里装满水，一个底面半径为5厘米的圆锥形铅锤浸没在水里，当铅锤从水中取出后，杯里的水面下降了5厘米，这个铅锤的体积是多少立方厘米？ 【答案】1570立方厘米 【思路引导】由题意知：铅锤取出来后，下降的水的体积就是圆锥的体积；根据圆柱的体积V＝Sh可求出下降的水的体积，即铅锤的体积，注意单位换算，据此解答即可。 【规范解答】1分米＝10厘米 铅锤体积： （立方厘米） 答：这个铅锤的体积是1570立方厘米。 【考点点拨】本题考查圆柱的体积，解答本题的关键是掌握下降的水的体积就是圆锥的体积。 1．（25-26六年级·全国·假期作业）一个容积为500毫升的水杯中装有300毫升水。乐乐先放入4颗相同的小球，发现水未溢出；又放入了1颗，水就溢出了。那么1颗小球的体积范围是（    ）立方厘米。 A．大于20且小于或等于30 B．大于30且小于或等于40 C．大于40且小于或等于50 D．大于50且小于或等于60 【答案】C 【思路引导】先计算出杯子中空余部分的容积是200毫升。放入4个球水未溢出，说明4个球的体积最大共200毫升，由此用200除以4即可求出小球的最大体积。又放入了1颗，水就溢出了，说明5个球的体积最小也比200毫升大，用200除以5即可求出小球的最小体积。 【规范解答】500－300＝200（毫升） 200÷4＝50（毫升） 200÷5＝40（毫升）， 所以1颗小球的体积大于40且小于或等于50。 故答案为：C 2．（25-26六年级·全国·假期作业）如下图：一个装满水的瓶子，内直径8厘米。聪聪喝了一些后，水的高度还有12厘米，把瓶盖拧紧后倒置平放，无水部分高10厘米。聪聪喝了（    ）立方厘米水。 A．251.2 B．502.4 C．678.24 D．2009.6 【答案】B 【思路引导】瓶子装水部分是圆柱，底面就是圆，圆的直径÷2＝圆的半径，把瓶盖拧紧后倒置平放，无水部分的圆柱体积就是聪聪喝的水的体积。根据圆柱的体积公式，π×底面半径的平方×无水部分高＝聪聪喝的水的体积。 【规范解答】底面圆的半径：8÷2＝4（厘米） 3.14×42×10 ＝50.24×10 ＝502.4（立方厘米） 所以聪聪喝了502.4立方厘米水。 故答案为：B 3．（25-26六年级·全国·假期作业）自来水管的内直径是2cm，水管内水的流速是每秒8cm。一位同学去洗手，走时忘记关掉水龙头，半分钟浪费（    ）mL水。 A．3.14×22×8÷2 B．3.14×12×8÷2 C．3.14×22×8×30 D．3.14×12×8×30 【答案】D 【思路引导】根据1分＝60秒，把半分钟换算成30秒，再根据半分钟浪费水的体积＝π×r2×水的流速×时间（π取3.14），代入数值即可解答。 【规范解答】半分钟＝30秒 2÷2＝1（cm） 3.14×12×8×30 ＝3.14×1×8×30 ＝3.14×8×30 ＝25.12×30 ＝753.6（cm3） 753.6cm3＝753.6mL 半分钟浪费753.6mL水，列式为3.14×12×8×30。 故答案为：D 4．一个直角三角形的两条直角边分别是3cm和4cm，斜边是5cm，分别以三条边所在的直线为轴把三角形旋转一周，得到一个立体图形，比较这3个立体图形 的体积，（    ）的体积最大。 A．甲 B．乙 C．丙 D．无法判断 【答案】B 【解析】将直角三角形以4cm为轴旋转，得到立体图形甲，高为4cm，底面半径为3cm，再利用圆锥的体积公式代入数据解答；以3cm为轴旋转，得到立体图形乙，高为3cm，底面半径为4cm，再利用圆锥的体积公式代入数据解答；以5cm为轴旋转，得到立体图形丙，底面半径可以借助三角形的面积4×3÷2＝5×r÷2求出，进而求出底面积，进而求出两个圆锥的体积即可。分别算出体积后，进行比较即可得解。 【规范解答】甲的体积：×3.14×3×4 ＝×3.14×9×4 ＝37.68（立方厘米） 乙的体积：×3.14×4×3 ＝×3.14×16×3 ＝50.24（立方厘米） 丙的体积： r＝3×4÷5＝2.4（厘米） h＋h＝5（厘米） ×3.14×2.4×h＋×3.14×2.4×h ＝×3.14×2.4×（h＋h） ＝×3.14×2.4×5 ＝30.144（立方厘米） 50.24＞37.68＞30.144，即乙的体积＞甲的体积＞丙的体积，所以乙的体积最大。 故答案为：B。 【考点点拨】本题考查图形旋转的应用以及圆锥体积公式的应用。 5．把一段长1米，侧面积18.84平方米的圆柱体的木料，沿着和底面平行的方向截成两段，这时它的表面积增加了（ ） A．18.84平方米 B．28.26平方米 C．37.68平方米 D．56.52平方米 【答案】D 【解析】将一个圆柱体的木料，沿着和底面平行的方向截成两段，这时它的表面积增加了两个底面积，已知圆柱的侧面积和高，求底面周长，用圆柱的侧面积÷高=底面周长，然后用底面周长÷2÷π=底面半径，最后用公式：S=πr2求出圆柱的底面积，再乘2即可解答. 【规范解答】18.84÷1=18.84（米） 18.84÷2÷3.14 =9.42÷3.14 =3（米） 3.14×32×2 =3.14×9×2 =28.26×2 =56.52（平方米） 故答案为：D. 6．（25-26六年级·全国·假期作业）爸爸在家里喝茶时，拿出了一个底面直径是12cm、高是20cm的圆柱形铁制茶叶罐，做这样一个茶叶罐至少需要( )cm2铁皮。茶叶罐中原有1kg茶叶，现只剩下一半，爸爸想把剩下的茶叶装到密封袋里，每个密封袋可装茶叶80g，至少需要( )个这样的密封袋。 【答案】 979.68 7 【思路引导】已知圆柱形铁质茶叶罐的底面直径是12cm，高是20cm，可以得到圆柱形铁质茶叶罐的底面半径是6cm，根据圆柱的表面积公式：S＝πdh＋2πr2，计算得出需要铁皮的面积；茶叶罐中原有1kg茶叶，也就是1000g，剩下一半就是1000÷2＝500（g），再用500g除以80g，即可得到密封袋的个数，结果用进一法保留整数。 【规范解答】根据分析： 12÷2＝6（cm） 3.14×12×20＋3.14×62×2 ＝37.68×20＋3.14×36×2 ＝753.6＋113.04×2 ＝753.6＋226.08 ＝979.68（cm2） 所以，做这样一个茶叶罐至少需要979.68 cm2的铁皮。 1kg＝1000g 1000÷2＝500（g） 500÷80＝6.25≈7（个） 所以，至少需要7个这样的密封袋。 7．（25-26六年级·全国·假期作业）妈妈要做一个底面半径2分米，高5分米的圆柱形带盖的储物箱，底面用人造革，需要人造革( )平方分米；侧面用花布，需要花布( )平方分米。 【答案】 25.12 62.8 【思路引导】人造革的面积＝圆柱底面积×2＝圆周率×底面半径的平方×2；圆柱侧面积＝底面周长×高，据此列式计算。 【规范解答】3.14×22×2 ＝3.14×4×2 ＝25.12（平方分米） 2×3.14×2×5 ＝12.56×5 ＝62.8（平方分米）。 需要人造革25.12平方分米；侧面用花布，需要花布62.8平方分米。 8．（25-26六年级·全国·随堂练习）一个圆柱形玻璃杯，测得内直径是8cm，杯内豆浆的深度是16cm，正好占杯内容积的80%。这个玻璃杯的容积是( )mL。 【答案】1004.8 【思路引导】先根据圆柱的体积公式，圆的面积公式，求出豆浆的体积，再利用“对应数对应分率＝单位“1”量”求出杯子的容积；据此解答。 【规范解答】      （cm）   （cm） 1004.8cm＝1004.8mL 一个圆柱形玻璃杯，测得内直径是8cm，杯内豆浆的深度是16cm，正好占杯内容积的80%。这个玻璃杯的容积是1004.8mL。 9．（24-25六年级下·四川成都·期末）妙妙在解决“已知圆柱的底面直径为8cm，高为7cm，求这个圆柱的体积”这一问题时，没有直接用体积公式进行计算，而是根据圆柱体积公式的推导过程，想出了另外一种方法，分步计算圆柱的体积。你能看懂她的想法吗？请你补上妙妙的最后一步（第三步）算式，计算圆柱的体积。 第一步：3.14×8÷2＝12.56（cm） 第二步：8÷2＝4（cm） 第三步： 。 请你借助如图说妙妙这么做的理由： 长方体的长相当于圆柱的( )，宽相当于圆柱的( )，长方体的高等于圆柱的( )，所以，圆柱的体积等于( )。 【答案】 12.56×4×7＝351.68（cm3） 底面周长的一半 底面半径 高 长方体的体积 【思路引导】妙妙的计算步骤，第一步：3.14×8÷2＝12.56（cm），这一步计算的是圆柱底面圆周长的一半，因为圆的周长公式为C＝πd（d为直径），所以周长的一半为πd÷2。第二步：8÷2＝4（cm），这是求出圆柱的底面半径r，因为半径r＝d÷2。第三步：根据圆柱体积公式的推导，把圆柱切拼成近似的长方体后，长方体的体积等于长×宽×高，而长方体的长是圆柱底面圆周长的一半，宽是圆柱的底面半径，高是圆柱的高。所以第三步应该用长×宽×高来计算体积，即12.56×4×7＝351.68（cm3）。 长方体的长相当于圆柱的底面圆周长的一半。宽相当于圆柱的底面半径。长方体的高等于圆柱的高。因为长方体的体积＝长×宽×高，所以圆柱的体积等于长方体的体积。 【规范解答】第三步应该用长×宽×高来计算体积。 第三步：12.56×4×7＝351.68（cm3） 长方体的长相当于圆柱的底面圆周长的一半，宽相当于圆柱的底面半径，长方体的高等于圆柱的高，所以，圆柱的体积等于长方体的体积。 10．（24-25六年级下·四川成都·期末）自来水管的内直径是2厘米，水管内水的流速是每秒8厘米，一位同学去水池洗手，走时忘记关掉水龙头，1分钟会浪费( )毫升水。（） 【答案】1440 【思路引导】已知自来水管的内直径是2厘米，那么半径为2÷2＝1厘米。水在水管内的形状可看作圆柱体，根据圆柱体积公式V＝πr2h（π＝3，r为半径，h为高，这里即水流动的距离），已知水的流速是每秒8厘米，所以1秒钟流水的体积为3×12×8＝24立方厘米。因为1分钟＝60秒，所以1分钟流水的体积为24×60＝1440立方厘米。然后根据1立方厘米＝1毫升，把单位换算为毫升即可。 【规范解答】2÷2＝1（厘米） 3×12×8 ＝3×1×8 ＝3×8 ＝24（立方厘米） 1分钟＝60秒 24×60＝1440（立方厘米） 1440立方厘米＝1440毫升 1分钟会浪费1440毫升水。 11．（23-24六年级下·四川成都·期中）如果把一段底面半径为5厘米的圆柱形钢材完全浸没在一个圆柱形水桶里，桶里的水面会上升7厘米（水未溢出）；如果将圆柱形钢材露出水面15厘米（水中还有一部分），水面又会下降3厘米这段钢材的体积是( )。 【答案】2747.5立方厘米/2747.5cm3 【思路引导】当钢材露出水面15厘米时，露出部分钢材的体积与水桶中水面下降3厘米的水的体积相等。利用圆柱体积公式V＝Sh，用钢材底面积（3.14×52）乘露出长度（15厘米），得到露出钢材体积；再结合水面下降高度（3厘米），用“露出钢材体积÷水面下降高度”可求出水桶的底面积。当钢材完全浸没时，钢材的体积与水桶中水面上升7厘米的水的体积相等。用前面求出的水桶底面积乘水面上升高度（7厘米），就能算出钢材的体积。 【规范解答】计算露出钢材的体积（即水面下降3厘米的水的体积）： 钢材底面积为3.14×52＝3.14×25＝78.5（平方厘米） 露出钢材的长度为15厘米，根据圆柱体积公式V＝Sh，露出钢材的体积为78.5×15＝1177.5（立方厘米） 计算水桶的底面积：1177.5÷3＝392.5（平方厘米） 计算钢材的体积（即水面上升7厘米的水的体积）： 根据圆柱体积公式V＝Sh，392.5×7＝2747.5（立方厘米） 水面又会下降3厘米这段钢材的体积是2747.5立方厘米。 【考点点拨】利用 “水面升降体积＝钢材对应体积”，结合圆柱体积公式求解，关键是找体积对应关系。 12．（25-26六年级·全国·假期作业）一座粮仓的形状如右下图，王爷爷家今年共收水稻300立方米，如果全部运到这个粮仓中，那么能装下吗？请说明理由。（仓壁厚度忽略不计） 【答案】能；理由见详解 【思路引导】这个粮仓是由圆锥和圆柱两部分组成的。圆柱和圆锥的底面直径都是8米，求出底面半径是8÷2＝4米；圆柱的高是5米，根据圆柱的体积公式求出圆柱形部分的容积；圆锥的高是3米，根据圆锥的体积公式求出圆锥形部分的容积；然后将两部分的容积相加求出总容积，最后将总容积与300立方米作比较即可解答。 【规范解答】8÷2＝4（米） 3.14×42×5 ＝3.14×16×5 ＝50.24×5 ＝251.2（立方米） ×3.14×42×3 ＝3.14×16 ＝50.24（立方米） 251.2＋50.24＝301.44（立方米） 301.44＞300 答：能装下，因为粮仓的容积大于水稻的体积。 13．（25-26六年级·全国·随堂练习）一个装有水的圆柱形容器，底面直径是10cm，高是10cm。一块石头完全浸在水里（如下图），量得水深是8.5cm，将石头取出后，水深是7cm。这块石头的体积是多少立方厘米？ 【答案】117.75立方厘米 【思路引导】根据题意，石头的体积等于下降的那部分水的体积，首先求出下降的水的高度，再利用圆柱的底面积乘下降的水的高度就是石头的体积。 【规范解答】 （立方厘米） 答：这块石头的体积是117.75立方厘米。 14．（25-26六年级·全国·随堂练习）某木材加工厂新进200根杨树圆木，每根圆木的横截面直径为0.3m，长为4m。已知圆木的容重为（木料的质量叫作木料的容重），这批圆木大约重多少吨？（得数保留两位小数） 【答案】 24.30吨 【思路引导】圆木可看作圆柱体，先利用公式：体积=横截面的面积×长，计算单根圆木的体积，再求200根圆木的总体积， 然后根据容重计算总质量，最后将质量单位转换为吨并保留两位小数即可。 【规范解答】 （立方米） （千克） 答：这批圆木大约重24.30吨。 15．（25-26六年级·全国·随堂练习）蚁狮会挖出圆锥形洞穴做陷阱，躲在洞穴中等着取食掉进陷阱的蚂蚁和其他昆虫。右图是一个深3cm、口部宽6cm的近似圆锥形陷阱，做出这个陷阱至少挖出了多少体积的土？ 【答案】28.26立方厘米 【思路引导】题中深3厘米是圆锥的高、口部宽6厘米是圆锥的底面直径，先利用底面直径算出底面积，再用：圆锥体积＝×底面积×高，可算出圆锥体积，就是挖出土的体积。 【规范解答】（平方厘米） （立方厘米） 答：做出这个陷阱至少挖出了28.26立方厘米体积的土。 16．（25-26六年级·全国·随堂练习）故宫博物院馆藏“碧玉刻诗扳指”（如下图），器呈圆筒状，外直径是2.90cm，高2.20cm，厚0.50cm。外部雕填金地萱花一枝，花枝旁有山石，另一侧有填金《御题萱花诗》一首：“叶绿与花黄，无情自在芳。持将赠屈子，定是不能忘。”这枚扳指的体积是多少立方厘米？（得数保留两位小数） 【答案】8.29立方厘米 【思路引导】用外直径÷2求出外半径，用外半径－壁厚求出内半径，然后根据外半径算出底面积后乘高得圆柱体积、根据内半径算出内底面积后乘高得圆柱中间空心体积，两者相减得到空心扳指的体积。 【规范解答】（厘米） （厘米） （立方厘米） （立方厘米） （立方厘米） 答：这枚扳指的体积约是8.29立方厘米。 17．（25-26六年级·全国·假期作业）一个封闭的瓶子里装着一些水，已知：瓶子的底面积是25平方厘米，根据图中数据，请求出瓶子的容积。（瓶子厚度忽略不计）（单位：厘米） 【答案】425立方厘米 【思路引导】观察第一个瓶子，首先根据“圆柱的体积＝底面积×高”计算得出水的体积为25×13＝325（立方厘米），同样求出第二个瓶子未装水的体积为：25×（20－16），又已知水的体积加上瓶子未装水的体积即瓶子的体积，据此即可得出瓶子的容积。 【规范解答】25×13＝325（立方厘米） 25×（20－16） ＝25×4 ＝100（立方厘米） 325＋100＝425（立方厘米） 答：瓶子的容积是425立方厘米。 【考点点拨】瓶子的容积等于水的体积加上空白部分的体积，且水在瓶子里变换位置，水的体积是不变的。 18．（25-26六年级·全国·假期作业）莉莉将一个圆锥形甜筒里装了0.12升水，此时水面高度正好是圆锥高度的一半，（注：π取3.14） （1）莉莉还能往甜筒里装多少水；（单位化为立方厘米） （2）莉莉将装满水的甜筒倒入玻璃杯中，若这个玻璃杯的底面半径是4厘米，高是15厘米，请问水是否会溢出来。 【答案】（1）840立方厘米 （2）会 【思路引导】（1）由题可知，水面高度是圆锥高度的一半（），水底面半径是圆锥底面半径的一半（），根据圆锥体积公式可得水的体积是圆锥容积的＝，把圆锥容积看作单位“1”，已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算，求出圆锥的容积为0.12÷＝0.96升；最后用圆锥的容积减去水的体积，根据“1升＝1立方分米＝1000立方厘米”将单位换算为立方厘米。 （2）玻璃杯是底面半径4厘米、高15厘米的圆柱，根据圆柱体积公式求出玻璃杯的容积，然后比较甜筒中水的体积（装满水）和玻璃杯的容积即可解答。 【规范解答】（1）＝ 0.12÷＝0.12×8＝0.96（升） 0.96－0.12＝0.84（升） 0.84升＝840立方厘米 答：莉莉还能往甜筒里装840立方厘米水。 （2）0.96升＝960立方厘米 3.14×42×15 ＝3.14×16×15 ＝50.24×15 ＝753.6（立方厘米） 753.6＜960 答：水会溢出来。 【考点点拨】已知水面高度是圆锥高度的一半，同时需识别到水的底面半径是圆锥底面半径的一半（），然后根据圆锥体积公式推出水的体积是圆锥体积的。 19．（23-24六年级下·山西吕梁·期末）如图，一个圆柱形的玻璃容器，底面直径是12厘米，里面装满水，把容器里的水倒出60%后，还剩452.16毫升水。在里面放入等底等高的圆柱和圆锥（水完全浸没），已知它们的高均为6厘米，这时水面升高了0.5厘米。 （1）圆柱形容器的高是多少厘米？ （2）放到水里的圆柱和圆锥的体积分别是多少立方厘米？它们的底面积是多少平方厘米？ 【答案】（1）10厘米 （2）圆柱的体积：42.39立方厘米；圆锥的体积：14.13立方厘米；7.065平方厘米 【思路引导】（1）把圆柱形容器的体积看作单位“1”，已知把容器里的水倒出60%后，还剩452.16毫升水，则剩下的水占容器里的（1－60%），用剩下的水除以剩下的水占总体积的分率，即可求出圆柱形容器的体积，再根据圆柱的高＝V圆柱÷r2÷π，代入数据解答即可； （2）看图可知，水面上升的体积就是圆柱和圆锥的体积之和，圆柱容器的底面积×水面上升的高度＝圆柱和圆柱的体积之和，再等底等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍。以体积之和为单位“1”，圆柱的体积占体积之和的。根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，用圆柱和圆锥的体积之和乘，即可求出圆柱的体积，再用体积之和减去圆柱的体积，即可求出圆锥的体积；最后根据圆柱的底面积＝V圆柱÷h，代入数据求出圆柱和圆锥的底面积。 【规范解答】（1）452.16毫升＝452.16立方厘米 452.16÷（1－60%） ＝452.16÷40% ＝1130.4（立方厘米） 1130.4÷（12÷2）2÷3.14 ＝1130.4÷62÷3.14 ＝1130.4÷36÷3.14 ＝31.4÷3.14 ＝10（厘米） 答：圆柱形容器的高是10厘米。 （2）（12÷2）2×0.5×3.14 ＝62×0.5×3.14 ＝36×0.5×3.14 ＝18×3.14 ＝56.52（立方厘米） 56.52×＝42.39（立方厘米） 56.52－42.39＝14.13（立方厘米） 42.39÷6＝7.065（平方厘米） 答：放到水里的圆柱的体积是42.39立方厘米，圆锥的体积是14.13立方厘米，它们的底面积是7.065平方厘米。 20．一个5米高的圆柱形水池装满了水，每天平均用去的水是10吨，10天后水池里的水减少了40%。这个水池的底面积是多少平方米？ （1立方米水重1吨。） 【答案】50平方米 【思路引导】平均每天用水量×天数＝用水总量，据此先求出10天的用水量，除以1求出水的体积，对应的是40%，除以对应的百分率可求出装满水后水的体积，再除以水池的高即可。 【规范解答】10×10÷1÷40%÷5 ＝100÷40%÷5 ＝250÷5 ＝50（平方米） 答：这个水池的底面积是50平方米。 【考点点拨】此题考查了圆柱体积与百分数的综合应用，已知一个数的百分之几是多少，求这个数用除法，先求出装满水时水的体积是解题关键。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $