第一单元 圆柱和圆锥（易错笔记)（易错知识梳理+十三大易错考点讲练+优选真题拔尖练 共41题）-2025-2026学年北师大版数学六年级下册培优讲练

该小学数学讲义针对北师大版六年级下册“圆柱和圆锥”单元，通过易错知识梳理框架图系统呈现核心知识，涵盖圆柱圆锥的特征、表面积与体积计算等10个易错点，用对比表格区分圆柱圆锥的高、侧面展开图等易混概念，清晰展现知识内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于“高频易错考点讲练”的分层设计，如“圆柱的表面积”考点通过判断展开图典例与计算侧面展开长宽的变式训练，强化空间观念与几何直观。精选近两年名校易错题和15道真题拔尖练，基础学生可巩固解题技巧，培优学生能深化推理意识，助力教师实施精准教学与学生自主复习提升。

第一单元 圆柱和圆锥 【原卷版】 同学你好，该份讲义用于北师大版六年级下册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 易错知识梳理：强化巩固细节知识，给出常考易错点，解题技巧以及提分方法，助你正确理解运用知识点，查漏补缺； 2. 易错考点讲练：优选高频考察易错题，汇编整理，精选近两年各地名校易错题类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 3. 易错真题拔尖练：结合本专题内容精选15题历年常考易错题目，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 1.圆柱上、下两个底面是完全相同的两个圆，不是椭圆。 2.圆锥的高是指从圆锥的顶点到底面圆心的距离。 3圆柱有无数条高，圆锥只有一条高。 4圆柱的侧面只有沿高剪开时，其展开图才是一个长方形（或正方形）。 5.圆柱的侧面展开图如果是正方形，那么圆柱的高和底面周长相等。 6.半圆能围成圆锥，但整个圆不能围成圆锥。 7.求通风管、下水管、烟囱这类圆柱形物体的表面积其实就是求它们的侧面积。 8只有等底等高的圆柱和圆锥的体积才存在3倍的关系。 9.瓶子倒置前后，瓶中水的体积不变，所以无水部分的体积也不变。 10.当把一个物体完全浸没在一个盛水的容器中时（水未溢出），上升的水的体积就是这个物体的体积。反 之，取出时下降的水的体积就是这个物体的体积。同时，该体积是由水的变化算出的，与物体的形状无关。 高频易错考点一：圆柱的表面积 【典例精讲】（25-26二年级下·辽宁·课前预习）下面（    ）图形是圆柱的展开图。（单位：cm） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25六年级下·广东清远·期中）下边圆柱侧面沿虚线剪开，得到一个( )形，这个图形的长是( )cm，宽是( )cm。 高频易错考点二：圆柱的展开图 【典例精讲】（25-26六年级·全国·假期作业）妈妈要做一个底面半径2分米，高5分米的圆柱形带盖的储物箱，底面用人造革，需要人造革( )平方分米；侧面用花布，需要花布( )平方分米。 【变式训练】（25-26六年级·全国·随堂练习）妈妈给海海买了一个圆柱形水杯（如下图），为了不烫伤海海的手，妈妈特意在杯子中间套了一根宽5cm的橡胶带。 （1）求这个水杯的表面积。 （2）求这根橡胶带的面积。 高频易错考点三：圆柱的侧面积 【典例精讲】（25-26六年级·全国·随堂练习）在一年一度的校园文化节上，乐乐要把一顶帽子的外面贴上红布，帽子形状如下图所示，帽顶部分是圆柱形，帽檐部分是一个圆环，帽顶的半径、高与帽檐的宽都为20cm。请你帮她算一算，一共需要多少平方厘米的红布？ 【变式训练】25-26六年级·全国·随堂练习）一张长方形纸可以沿长边或短边围成不同的圆柱形纸筒（如下图）。如果给两个纸筒都配上两个底面，那么将这两个纸筒的表面积相比，哪个纸筒的表面积更大？ 高频易错考点四：组合体的表面积(圆柱) 【典例精讲】（24-25六年级下·陕西西安·期中）计算下面图形的表面积。 【变式训练】（23-24六年级下·山西晋城·期末）“博士帽”被视为博学的象征，如图所示的“博士帽”是用黑色卡纸做成的，上面是边长为30厘米的正方形，下面是底面直径为16厘米、高为10厘米的无底无盖圆柱。制作这样的一顶“博士帽”至少需要多少平方厘米的黑色卡纸？ 高频易错考点五：圆柱的体积 【典例精讲】（25-26六年级·全国·假期作业）圆柱的底面直径是3厘米，沿着底面直径竖着切开，表面积增加了60平方厘米。原来圆柱的体积是多少立方厘米？ 【变式训练】（2025·吉林长春·小升初真题）一个盖着瓶盖的瓶子里面装着一些水（如图所示），请你根据图中标明的数据，计算瓶子的容积。 高频易错考点六：圆柱的容积 【典例精讲】（25-26六年级·全国·随堂练习）一个玻璃瓶里有饮料250mL，饮料高度为10cm（如图①）。小明喝掉50mL后将玻璃瓶倒过来放，此时空余部分的高度是6cm（如图②）。这个玻璃瓶的容积是多少毫升？ 【变式训练】有一张长方形铁皮，如图剪下阴影部分制成铁桶，求这个铁桶的容积。（单位：分米） 高频易错考点七：立体图形的切拼（圆柱) 【典例精讲】（25-26六年级·全国·假期作业）木匠林叔叔把一根圆柱体形状的原木（如下图）锯成两段，表面积增加了50平方分米，这根原木的体积是（    ）立方分米。 A．50 B．100 C．500 D．1000 【变式训练】（25-26六年级·全国·随堂练习）如下图，把一个圆柱切拼成一个近似的长方体，它的表面积比原来圆柱多。圆柱的高是5dm，则原来圆柱的体积是多少立方分米？ 高频易错考点八：圆柱与圆锥体积的关系 【典例精讲】（25-26六年级·全国·假期作业）等底等高的圆锥和圆柱叠在一起体积是144cm3，求圆锥的体积。下列算式正确的是（    ）。 A．144÷4×3 B．144× C．144÷（1＋） D．144× 【变式训练】（23-24六年级下·山西吕梁·期末）如图，一个圆柱形的玻璃容器，底面直径是12厘米，里面装满水，把容器里的水倒出60%后，还剩452.16毫升水。在里面放入等底等高的圆柱和圆锥（水完全浸没），已知它们的高均为6厘米，这时水面升高了0.5厘米。 （1）圆柱形容器的高是多少厘米？ （2）放到水里的圆柱和圆锥的体积分别是多少立方厘米？它们的底面积是多少平方厘米？ 高频易错考点九：圆锥的体积（容积） 【典例精讲】（25-26六年级·全国·假期作业）（1）已知圆柱底面周长是25.12厘米，高是20厘米，求圆柱的表面积。 （2）已知圆锥底面直径是8厘米，高是12厘米。求圆锥的体积。 （3）下图是圆柱中挖去一个圆锥后的剩余部分，请计算它的体积。（单位：厘米） 【变式训练】直角梯形ABCD如图所示，请根据图中信息回答下列问题。 （1）如果以AB所在直线为轴进行旋转，所形成的立体图形是（    ）（填序号，下同）；如果以CD所在直线为轴进行旋转，所形成的立体图形是（    ）。 （2）请选择其中一个立体图形计算它的体积。 高频易错考点十：体积的等积变形(圆柱、圆锥） 【典例精讲】（2025·广东深圳·小升初模拟）把一个长、宽、高分别为2米，1.57米，0.5米且装满沙粒的长方体沙坑内的沙子挖出来，堆成一个圆锥形的沙堆，圆锥形状的沙堆底面周长是6.28米，则这个沙堆的高是( )米。 【变式训练】（24-25六年级下·陕西西安·期中）一个从里面量底面直径是10厘米的圆柱形容器中装有一些水，将一个高是9厘米，底面半径是4厘米的圆锥形铅锤完全浸没在水中，当铅锤从水中取出后，这时水面下降了多少厘米？ 高频易错考点十一：立体图形的切拼（圆锥) 【典例精讲】（24-25六年级下·河北邯郸·期中）把一个棱长是6厘米的正方体削成一个最大的圆锥，这个圆锥的底面半径是( )厘米，高是( )厘米，体积是( )立方厘米。 【变式训练】把一个圆锥沿高垂直切开后，表面积增加了72平方厘米，而且切面是一个等腰直角三角形，这个圆锥的体积是( )。 高频易错考点十二：组合体的体积(圆柱、圆锥) 【典例精讲】（25-26六年级·全国·假期作业）一座粮仓的形状如右下图，王爷爷家今年共收水稻300立方米，如果全部运到这个粮仓中，那么能装下吗？请说明理由。（仓壁厚度忽略不计） 【变式训练】一个直角三角形的两条直角边分别是3cm和4cm，斜边是5cm，分别以三条边所在的直线为轴把三角形旋转一周，得到一个立体图形，比较这3个立体图形 的体积，（    ）的体积最大。 A．甲 B．乙 C．丙 D．无法判断 高频易错考点十三：不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥） 【典例精讲】（23-24六年级下·陕西咸阳·期中）一个底面半径是6厘米的圆柱形容器，装一部分水，水中浸没着一个高9厘米的圆锥体铅锤。当铅锤从水中取出后，水面下降了2厘米。这个圆锥体的铅锤的底面积是多少平方厘米？ 【变式训练】（2022·广东茂名·小升初真题）在一只底面半径是30厘米，高50厘米的圆柱形水桶里，装有水和一个半径为10厘米的圆锥形钢材（钢材完全浸没在水中），如果把钢材从水中完全取出后桶里的水面下降了1厘米，这个圆锥形钢材的高是多少厘米？ 1．（23-24六年级下·四川成都·期中）下列说法中错误的有（    ）。 ①比值可以用分数表示，也可以用小数或整数表示。②100减少，再增加，结果还是100。③一个正方体和一个圆锥底面积相等，高也相等，那么正方体的体积是圆锥体积的3倍。④周长相等的两个圆，它们的面积一定相等。⑤一个奇数和一个偶数（0除外），它们的最大公因数一定是奇数，最小公倍数一定是偶数。 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（23-24六年级下·安徽淮南·期末）如图，一个圆锥形容器里面装满了水。如果把水倒在一个与这个圆锥等底等高的圆柱形容器里，则圆柱形容器中的水面高度是容器高度的（    ）。 A． B． C． D． 3．（24-25六年级下·广东湛江·期中）一个圆柱体积是942m3，比与它等底等高的圆锥的体积多（    ）m3。 A．188.4 B．314 C．628 4．下面各说法中，不正确的是（  ）。 A．图形①、④都可以通过一个平面图形旋转而成 B．图形①、②、③的体积都可以用“底面积×高”来计算 C．图形①、②、③、④的侧面展开图都是长方形 5．两块正方体花岗岩的体积之差为25立方分米，如果把这两块花岗岩分别加工成两个最大的圆柱（如图所示），这两个圆柱的体积相差（    ）立方分米。 A．大于25 B．等于25 C．小于25 D．无法确定 6．（25-26六年级·全国·假期作业）一个圆柱从上面看到的图形如图1，从正面看到的图形如图2（小正方形边长是1cm），这个圆柱的底面直径是( )cm，高是( )cm，表面积是( )dm2。 7．（25-26六年级·全国·假期作业）爸爸在家里喝茶时，拿出了一个底面直径是12cm、高是20cm的圆柱形铁制茶叶罐，做这样一个茶叶罐至少需要( )cm2铁皮。茶叶罐中原有1kg茶叶，现只剩下一半，爸爸想把剩下的茶叶装到密封袋里，每个密封袋可装茶叶80g，至少需要( )个这样的密封袋。 8．（25-26六年级·全国·假期作业）一个圆柱和一个圆锥，它们的底面积和高都相等，已知圆锥的体积比圆柱少24立方分米，则圆柱的体积是( )立方分米。 9．（25-26六年级·全国·假期作业）下图是一个圆柱的展开图。 （1）把“底面”“底面的周长”“高”分别填入圆柱侧面展开图中的合适位置。 （2）如果圆柱的底面半径是2cm，高是5cm，那么图中长方形的长是（    ）cm，宽是（    ）cm，面积是（    ）cm2。 10．（25-26六年级·全国·假期作业）一个底面半径是5厘米，高为18厘米的圆锥，它的体积是( )立方厘米，如果沿高切成两半，表面积增加了( )平方厘米。 11．（25-26六年级·全国·随堂练习）下图是一个圆柱的展开图，求这个圆柱的表面积和体积。 12．下图是圆柱形木料被削去一半后的形状，计算出它的体积。（单位：cm） 13．（25-26六年级·全国·假期作业）如下图是一个上部为圆柱，下部为圆锥的密封容器，圆锥的高是18厘米，圆柱的高是20厘米，此时水面高度为24厘米。若将容器倒立放置，水面的高度是多少厘米？ 14．（25-26六年级·全国·随堂练习）一个装有水的圆柱形容器，底面直径是10cm，高是10cm。一块石头完全浸在水里（如下图），量得水深是8.5cm，将石头取出后，水深是7cm。这块石头的体积是多少立方厘米？ 15．（25-26六年级·全国·假期作业）莉莉将一个圆锥形甜筒里装了0.12升水，此时水面高度正好是圆锥高度的一半，（注：π取3.14） （1）莉莉还能往甜筒里装多少水；（单位化为立方厘米） （2）莉莉将装满水的甜筒倒入玻璃杯中，若这个玻璃杯的底面半径是4厘米，高是15厘米，请问水是否会溢出来。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一单元 圆柱和圆锥 【解析版】 同学你好，该份讲义用于北师大版六年级下册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 易错知识梳理：强化巩固细节知识，给出常考易错点，解题技巧以及提分方法，助你正确理解运用知识点，查漏补缺； 2. 易错考点讲练：优选高频考察易错题，汇编整理，精选近两年各地名校易错题类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 3. 易错真题拔尖练：结合本专题内容精选15题历年常考易错题目，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 1.圆柱上、下两个底面是完全相同的两个圆，不是椭圆。 2.圆锥的高是指从圆锥的顶点到底面圆心的距离。 3圆柱有无数条高，圆锥只有一条高。 4圆柱的侧面只有沿高剪开时，其展开图才是一个长方形（或正方形）。 5.圆柱的侧面展开图如果是正方形，那么圆柱的高和底面周长相等。 6.半圆能围成圆锥，但整个圆不能围成圆锥。 7.求通风管、下水管、烟囱这类圆柱形物体的表面积其实就是求它们的侧面积。 8只有等底等高的圆柱和圆锥的体积才存在3倍的关系。 9.瓶子倒置前后，瓶中水的体积不变，所以无水部分的体积也不变。 10.当把一个物体完全浸没在一个盛水的容器中时（水未溢出），上升的水的体积就是这个物体的体积。反 之，取出时下降的水的体积就是这个物体的体积。同时，该体积是由水的变化算出的，与物体的形状无关。 高频易错考点一：圆柱的表面积 【典例精讲】（25-26二年级下·辽宁·课前预习）下面（    ）图形是圆柱的展开图。（单位：cm） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】根据圆柱侧面展开图的特征，圆柱的侧面沿高展开是一个长方形（特殊情况下是正方形），长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高；已知圆柱的底面直径或半径，根据圆柱的底面周长公式C＝πd，代入数据计算求出底面周长，再与长方形的长相比较，如果相等，就是圆柱的展开图；反之，如果不相等，就不是圆柱的展开图。 【规范解答】A．3×3.14＝9.42（cm），是圆柱的展开图； B．4×3.14＝12.56（cm），不是圆柱的展开图； C．2×3.14＝6.28（cm），不是圆柱的展开图； D．3×2×3.14 ＝6×3.14 ＝18.84（cm），不是圆柱的展开图。 故答案为：A 【变式训练】（24-25六年级下·广东清远·期中）下边圆柱侧面沿虚线剪开，得到一个( )形，这个图形的长是( )cm，宽是( )cm。 【答案】 长方 18.84 3 【思路引导】圆柱的侧面沿虚线（圆柱的高）剪开后，得到的图形是长方形。长方形的长等于圆柱的底面周长，已知圆柱底面直径为6cm，根据圆的周长公式C＝πd可计算出圆柱的底面周长，即为长方形的长；长方形的宽等于圆柱的高，由图可知圆柱的高为3cm，所以长方形的宽是3cm。 【规范解答】将圆柱侧面沿虚线剪开，得到一个长方形。 3.14×6＝18.84（cm） 因此，这个图形的长是18.84cm，宽是3cm。 高频易错考点二：圆柱的展开图 【典例精讲】（25-26六年级·全国·假期作业）妈妈要做一个底面半径2分米，高5分米的圆柱形带盖的储物箱，底面用人造革，需要人造革( )平方分米；侧面用花布，需要花布( )平方分米。 【答案】 25.12 62.8 【思路引导】人造革的面积＝圆柱底面积×2＝圆周率×底面半径的平方×2；圆柱侧面积＝底面周长×高，据此列式计算。 【规范解答】3.14×22×2 ＝3.14×4×2 ＝25.12（平方分米） 2×3.14×2×5 ＝12.56×5 ＝62.8（平方分米）。 需要人造革25.12平方分米；侧面用花布，需要花布62.8平方分米。 【变式训练】（25-26六年级·全国·随堂练习）妈妈给海海买了一个圆柱形水杯（如下图），为了不烫伤海海的手，妈妈特意在杯子中间套了一根宽5cm的橡胶带。 （1）求这个水杯的表面积。 （2）求这根橡胶带的面积。 【答案】（1）395.64平方厘米 （2）94.2平方厘米 【思路引导】(1)水杯的表面积包括侧面积和两个底面积，根据圆柱侧面积公式S=πdh（d为直径，h为高）和圆的面积公式S=πr²（r为半径）计算。 (2)橡胶带的面积即为圆柱侧面一部分的面积，宽度为5cm，所以面积为底面周长乘宽度。 【规范解答】(1)半径：（厘米） 底面积： （平方厘米） 两个底面积：（平方厘米） 侧面积：（平方厘米） 表面积：（平方厘米） 答：这个水杯的表面积是395.64平方厘米。 (2)底面周长：（厘米） 橡胶带面积：（平方厘米） 答：这根橡胶带的面积是94.2平方厘米。 高频易错考点三：圆柱的侧面积 【典例精讲】（25-26六年级·全国·随堂练习）在一年一度的校园文化节上，乐乐要把一顶帽子的外面贴上红布，帽子形状如下图所示，帽顶部分是圆柱形，帽檐部分是一个圆环，帽顶的半径、高与帽檐的宽都为20cm。请你帮她算一算，一共需要多少平方厘米的红布？ 【答案】7536平方厘米 【思路引导】帽顶部分是圆柱形，帽檐部分是一个圆环，帽子需要的红布的面积等于半径和高都是20厘米的圆柱侧面积加上半径是厘米的圆面积，根据圆柱的侧面积（r表示半径，h表示高），圆的面积（r表示半径），列式解答即可。 【规范解答】 （平方厘米） 答：一共需要7536平方厘米的红布。 【变式训练】25-26六年级·全国·随堂练习）一张长方形纸可以沿长边或短边围成不同的圆柱形纸筒（如下图）。如果给两个纸筒都配上两个底面，那么将这两个纸筒的表面积相比，哪个纸筒的表面积更大？ 【答案】乙纸筒的表面积更大 【思路引导】一张长方形纸沿短边可以围成圆柱甲，圆柱的底面周长等于长方形的宽，即12.56厘米，根据圆的周长（r表示半径），可以求出底面圆的半径，再根据圆的面积，乘2后，可以求出圆柱2个底面圆的面积，而圆柱的侧面积就等于长方形的面积，最后用侧面积加上2个底面圆的面积，即可求出圆柱甲的表面积。 一张长方形纸沿长边可以围成圆柱乙，圆柱的底面周长等于长方形的长，即18.84厘米，根据圆的周长（r表示半径），可以求出底面圆的半径，再根据圆的面积，乘2后，可以求出圆柱2个底面圆的面积，而圆柱的侧面积就等于长方形的面积，最后用侧面积加上2个底面圆的面积，即可求出圆柱乙的表面积。 最后进行比较即可。 【规范解答】甲：（厘米） （平方厘米） 乙：（厘米） （平方厘米） 因为，所以乙纸筒的表面积更大。 答：乙纸筒的表面积更大。 高频易错考点四：组合体的表面积(圆柱) 【典例精讲】（24-25六年级下·陕西西安·期中）计算下面图形的表面积。 【答案】653.12cm2 【思路引导】据图可知，这个立体图形的表面积等于一个底面直径是14cm高是5cm的圆柱的表面积加上一个底面直径是8cm高是5cm的圆柱的侧面积，据此结合圆柱的表面积＝2π（d÷2）2＋πdh，圆柱的侧面积＝πdh代入数据列式计算即可。 【规范解答】3.14×（14÷2）2×2＋3.14×14×5＋3.14×8×5 ＝3.14×72×2＋43.96×5＋25.12×5 ＝3.14×49×2＋219.8＋125.6 ＝153.86×2＋219.8＋125.6 ＝307.72＋219.8＋125.6 ＝653.12（cm2） 图形的表面积是653.12cm2。 【变式训练】（23-24六年级下·山西晋城·期末）“博士帽”被视为博学的象征，如图所示的“博士帽”是用黑色卡纸做成的，上面是边长为30厘米的正方形，下面是底面直径为16厘米、高为10厘米的无底无盖圆柱。制作这样的一顶“博士帽”至少需要多少平方厘米的黑色卡纸？ 【答案】1402.4平方厘米 【思路引导】根据题意，这种“博士帽”的上面是正方形，下面是无盖无底的圆柱，所以制作一顶“博士帽”至少需要卡纸的面积＝正方形的面积＋圆柱的侧面积；根据正方形的面积公式S＝a2，圆柱的侧面积公式S＝πdh，代入数据计算，求出制作一顶“博士帽”至少需要卡纸的面积。 【规范解答】3.14×16×10＋30×30 ＝50.24×10＋900 ＝502.4＋900 ＝1402.4（平方厘米） 答：制作这样的一顶“博士帽”至少需要1402.4平方厘米的黑色卡纸。 高频易错考点五：圆柱的体积 【典例精讲】（25-26六年级·全国·假期作业）圆柱的底面直径是3厘米，沿着底面直径竖着切开，表面积增加了60平方厘米。原来圆柱的体积是多少立方厘米？ 【答案】70.65立方厘米 【思路引导】把圆柱沿着底面直径竖着切开，表面积增加了两个长方形的面积，长方形的其中一条边正好是圆柱的底面直径，它的邻边正好是圆柱的高。先求出一个长方形的面积，再根据“长方形的面积＝长×宽”求出长方形的长，也就是圆柱的高，最后根据圆柱的体积公式进行计算。 【规范解答】长方形的长：60÷2÷3＝10（厘米） 圆柱的体积： 3.14×（3÷2）2×10 ＝3.14×1.5×1.5×10 ＝70.65（立方厘米） 答：原来圆柱的体积是70.65立方厘米。 【变式训练】（2025·吉林长春·小升初真题）一个盖着瓶盖的瓶子里面装着一些水（如图所示），请你根据图中标明的数据，计算瓶子的容积。 【答案】60毫升 【思路引导】根据题意，正放和倒放水的体积和无水部分的体积不变。右图水的体积＝左图水的体积，左图水的体积是标准的圆柱体体积，右图空的部分高是7－5＝2（厘米），右图空的部分体积是标准的圆柱体体积，那么瓶子的容积＝左图水的体积＋右图空的部分体积，相当于是两个圆柱体体积之和。，把数据代入圆柱体体积公式计算即可解答。 【规范解答】10×4＋10×（7－5） ＝10×4＋10×2 ＝40＋20 ＝60（立方厘米） 60立方厘米=60毫升 答：瓶子的容积的是60毫升。 【考点点拨】正放和倒放水的体积和无水部分的体积不变，把瓶子分为两个标准圆柱进行计算，瓶子的容积＝左图水的体积＋右图空的部分体积，相当于是两个圆柱体体积之和。 高频易错考点六：圆柱的容积 【典例精讲】（25-26六年级·全国·随堂练习）一个玻璃瓶里有饮料250mL，饮料高度为10cm（如图①）。小明喝掉50mL后将玻璃瓶倒过来放，此时空余部分的高度是6cm（如图②）。这个玻璃瓶的容积是多少毫升？ 【答案】350mL 【思路引导】玻璃瓶正放时，已知饮料体积和饮料高度，用饮料体积除以饮料高度，可求出玻璃瓶的底面积；喝掉50mL后将玻璃瓶倒放时，底面积不变，已知空余部分的高度，用玻璃瓶的底面积乘空余部分的高度，可求出空余部分的体积；现有饮料的体积＋空余部分的体积，即可求出玻璃瓶的容积。 【规范解答】250mL＝250cm3；50mL＝50cm3 玻璃瓶的底面积：（cm2） 空余部分的体积：（cm3） 现有饮料：（cm3） 玻璃瓶容积：（cm3） 350cm3＝350mL 答：这个玻璃瓶的容积是350毫升。 【变式训练】有一张长方形铁皮，如图剪下阴影部分制成铁桶，求这个铁桶的容积。（单位：分米） 【答案】113.04立方分米 【思路引导】由图可知：铁桶的底面周长是18.84，带入圆的周长公式求出底面直径。再用长方形的宽减去底面直径求出铁桶的高，最后带入圆柱的容积公式即可解答。 【规范解答】18.84÷3.14＝6（分米） 10－6＝4（分米） 3.14×（6÷2）2×4 ＝3.14×9×4 ＝3.14×36 ＝113.04（立方分米） 答：这个铁桶的容积是113.04立方分米。 【考点点拨】本题主要考查圆柱的容积公式，求出铁桶的底面直径及高是解题的关键。 高频易错考点七：立体图形的切拼（圆柱) 【典例精讲】（25-26六年级·全国·假期作业）木匠林叔叔把一根圆柱体形状的原木（如下图）锯成两段，表面积增加了50平方分米，这根原木的体积是（    ）立方分米。 A．50 B．100 C．500 D．1000 【答案】C 【思路引导】已知：将一根圆柱形原木锯成两段，增加了两个底面积，已知表面积增加了50平方分米，可以求出一个底面积，然后用底面积×高＝圆柱的体积，其中圆柱的高是2米，注意单位换算，1米＝10分米，据此列式解答。 【规范解答】2米＝20分米 50÷2＝25（平方分米） 25×20＝500（立方分米） 所以木匠林叔叔把一根圆柱体形状的原木（如下图）锯成两段，表面积增加了50平方分米，这根原木的体积是500立方分米。 故答案为：C 【变式训练】（25-26六年级·全国·随堂练习）如下图，把一个圆柱切拼成一个近似的长方体，它的表面积比原来圆柱多。圆柱的高是5dm，则原来圆柱的体积是多少立方分米？ 【答案】1004.8立方分米 【思路引导】把圆柱切拼成近似长方体后，表面积增加的部分是两个以圆柱的高为长、圆柱底面半径为宽的长方形的面积，因为表面积增加了80平方分米，且增加的是两个长方形的面积，所以一个这样的长方形面积是平方分米，又因为长方形的长是圆柱的高，根据长方形的宽＝面积长，这里的宽是圆柱的底面半径r，所以r为分米。圆柱的体积公式为（取3.14），将半径、高的数值代入公式，即可解答。 【规范解答】（平方分米） （分米） （立方分米） 答：原来圆柱的体积是1004.8立方分米。 高频易错考点八：圆柱与圆锥体积的关系 【典例精讲】（25-26六年级·全国·假期作业）等底等高的圆锥和圆柱叠在一起体积是144cm3，求圆锥的体积。下列算式正确的是（    ）。 A．144÷4×3 B．144× C．144÷（1＋） D．144× 【答案】B 【思路引导】根据“圆柱体积＝底面积×高”“圆锥体积＝底面积×高×”，可知一个圆锥与一个圆柱等底等高，则圆锥的体积等于这个圆柱体积的，圆柱体积等于这个圆锥体积的3倍，故可得出圆柱和圆锥的体积和为4倍的圆锥的体积，用圆锥和圆柱叠在一起的体积144cm3除以4，进而得出圆锥的体积。 【规范解答】圆锥的体积＝×圆柱的体积 4×圆锥的体积＝144cm3 圆锥的体积＝144×。 故答案为：B 【变式训练】（23-24六年级下·山西吕梁·期末）如图，一个圆柱形的玻璃容器，底面直径是12厘米，里面装满水，把容器里的水倒出60%后，还剩452.16毫升水。在里面放入等底等高的圆柱和圆锥（水完全浸没），已知它们的高均为6厘米，这时水面升高了0.5厘米。 （1）圆柱形容器的高是多少厘米？ （2）放到水里的圆柱和圆锥的体积分别是多少立方厘米？它们的底面积是多少平方厘米？ 【答案】（1）10厘米 （2）圆柱的体积：42.39立方厘米；圆锥的体积：14.13立方厘米；7.065平方厘米 【思路引导】（1）把圆柱形容器的体积看作单位“1”，已知把容器里的水倒出60%后，还剩452.16毫升水，则剩下的水占容器里的（1－60%），用剩下的水除以剩下的水占总体积的分率，即可求出圆柱形容器的体积，再根据圆柱的高＝V圆柱÷r2÷π，代入数据解答即可； （2）看图可知，水面上升的体积就是圆柱和圆锥的体积之和，圆柱容器的底面积×水面上升的高度＝圆柱和圆柱的体积之和，再等底等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍。以体积之和为单位“1”，圆柱的体积占体积之和的。根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，用圆柱和圆锥的体积之和乘，即可求出圆柱的体积，再用体积之和减去圆柱的体积，即可求出圆锥的体积；最后根据圆柱的底面积＝V圆柱÷h，代入数据求出圆柱和圆锥的底面积。 【规范解答】（1）452.16毫升＝452.16立方厘米 452.16÷（1－60%） ＝452.16÷40% ＝1130.4（立方厘米） 1130.4÷（12÷2）2÷3.14 ＝1130.4÷62÷3.14 ＝1130.4÷36÷3.14 ＝31.4÷3.14 ＝10（厘米） 答：圆柱形容器的高是10厘米。 （2）（12÷2）2×0.5×3.14 ＝62×0.5×3.14 ＝36×0.5×3.14 ＝18×3.14 ＝56.52（立方厘米） 56.52×＝42.39（立方厘米） 56.52－42.39＝14.13（立方厘米） 42.39÷6＝7.065（平方厘米） 答：放到水里的圆柱的体积是42.39立方厘米，圆锥的体积是14.13立方厘米，它们的底面积是7.065平方厘米。 高频易错考点九：圆锥的体积（容积） 【典例精讲】（25-26六年级·全国·假期作业）（1）已知圆柱底面周长是25.12厘米，高是20厘米，求圆柱的表面积。 （2）已知圆锥底面直径是8厘米，高是12厘米。求圆锥的体积。 （3）下图是圆柱中挖去一个圆锥后的剩余部分，请计算它的体积。（单位：厘米） 【答案】（1）602.88平方厘米 （2）200.96立方厘米 （3）1884立方厘米 【思路引导】（1）圆柱的表面积＝底面积×2＋侧面积，侧面积＝底面周长×高，通过底面周长求出底面半径后代入圆的面积公式（）求出底面积，两部分相加即可； （2）圆锥的体积＝底面积×高×，据此，代入数据计算即可； （3）剩余部分的体积等于圆柱的体积减去圆锥的体积，分别计算两部分面积，再相减即可。 【规范解答】（1）侧面积：25.12×20＝502.4（平方厘米） 底面半径：25.12÷3.14÷2 ＝8÷2 ＝4（厘米） 底面积：3.14×42×2 ＝3.14×16×2 ＝50.24×2 ＝100.48（平方厘米） 502.4＋100.48＝602.88（平方厘米） 答：圆柱的表面积为602.88平方厘米。 （2）×3.14×（8÷2）2×12 ＝×3.14×42×12 ＝×3.14×16×12 ＝3.14×64 ＝200.96（立方厘米） 答：圆锥的体积是200.96立方厘米。 （3）圆柱的体积： 3.14×（12÷2）2×20 ＝3.14×62×20 ＝3.14×36×20 ＝113.04×20 ＝2260.8（立方厘米） 圆锥的体积： ×3.14×（12÷2）2×10 ＝×3.14×62×10 ＝×3.14×36×10 ＝3.14×12×10 ＝376.8（立方厘米） 剩余体积： 2260.8－376.8＝1884（立方厘米） 答：剩余部分的体积是1884立方厘米。 【变式训练】直角梯形ABCD如图所示，请根据图中信息回答下列问题。 （1）如果以AB所在直线为轴进行旋转，所形成的立体图形是（    ）（填序号，下同）；如果以CD所在直线为轴进行旋转，所形成的立体图形是（    ）。 （2）请选择其中一个立体图形计算它的体积。 【答案】（1）①；② （2）150.72立方厘米（答案不唯一） 【思路引导】（1）判断旋转得到的立体图形时，要知道：以直角三角形的直角边为轴旋转时，所形成的立体图形是圆锥，以其斜边为轴旋转时，所形成的立体图形是沙漏模型。 （2）①立体图形的体积是圆柱的体积与圆锥的体积的和；②立体图形的体积是圆柱的体积与圆锥的体积的差。利用圆柱和圆锥的体积公式，代入数据即可得解。 【规范解答】（1）如果以AB所在直线为轴进行旋转，所形成的立体图形是①；如果以CD所在直线为轴进行旋转，所形成的立体图形是②。 （2）求图形①的体积： （立方厘米） 立体图形①的体积是150.72立方厘米。 高频易错考点十：体积的等积变形(圆柱、圆锥） 【典例精讲】（2025·广东深圳·小升初模拟）把一个长、宽、高分别为2米，1.57米，0.5米且装满沙粒的长方体沙坑内的沙子挖出来，堆成一个圆锥形的沙堆，圆锥形状的沙堆底面周长是6.28米，则这个沙堆的高是( )米。 【答案】1.5 【思路引导】根据长方体体积＝长×宽×高，求出长方体的体积。长方体的体积与圆锥的体积相等，圆锥底面是个圆，根据C＝2πr，先求出r，再根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，求出圆锥的高即可。 【规范解答】2×1.57×0.5＝1.57（立方米） 6.28÷2÷3.14＝1（米） 1.57×3÷（3.14×12） ＝1.57×3÷3.14 ＝4.71÷3.14 ＝1.5（米） 这个沙堆的高是1.5米。 【变式训练】（24-25六年级下·陕西西安·期中）一个从里面量底面直径是10厘米的圆柱形容器中装有一些水，将一个高是9厘米，底面半径是4厘米的圆锥形铅锤完全浸没在水中，当铅锤从水中取出后，这时水面下降了多少厘米？ 【答案】1.92厘米 【思路引导】根据题意，先根据圆锥体积公式V＝πr2h算出铅锤体积，因为铅锤体积等于下降的水的体积，再用该体积÷圆柱形容器底面积，得到水面下降高度，据此解答。 【规范解答】计算圆锥体积：圆锥体积公式V＝πr2h，其中r＝4厘米，h＝9厘米 则V圆锥＝×（3.14×42×9） ＝×（3.14×16×9） ＝×（50.24×9） ＝×452.16 ＝150.72（立方厘米） 计算圆柱形容器底面积： 圆柱底面直径10厘米，半径r＝5厘米， 底面积S＝πr2 ＝3.14×52 ＝3.14×25 ＝78.5（平方厘米）。 计算水面下降高度：下降的水的体积等于圆锥体积， 根据h＝V÷S，则水面下降高度h＝150.72÷78.5＝1.92（厘米）。 答：这时水面下降了1.92厘米。 高频易错考点十一：立体图形的切拼（圆锥) 【典例精讲】（24-25六年级下·河北邯郸·期中）把一个棱长是6厘米的正方体削成一个最大的圆锥，这个圆锥的底面半径是( )厘米，高是( )厘米，体积是( )立方厘米。 【答案】 3 6 56.52 【思路引导】以正方体的棱长为底面直径和高的圆锥是正方体内最大的圆锥，则圆锥的底面直径是6厘米，高是6厘米，最后利用“”求出这个圆锥的体积，据此解答。 【规范解答】6÷2＝3（厘米） ＝ ＝ ＝56.52（立方厘米） 分析可知，这个圆锥的底面半径是3厘米，高是6厘米，体积是56.52立方厘米。 【变式训练】把一个圆锥沿高垂直切开后，表面积增加了72平方厘米，而且切面是一个等腰直角三角形，这个圆锥的体积是( )。 【答案】226.08立方厘米/226.08cm3 【思路引导】圆锥沿高切开，会增加两个切面的面积，由于增加了72平方厘米，则一个切面的面积是72÷2＝36（平方厘米），这个等腰直角三角形以斜边为底，则它的底是圆锥的底面直径，高是圆锥的高，由于这是一个等腰直角三角形，等腰直角三角形的底是高的2倍，可以设高是r厘米，则底是2r厘米，根据三角形的面积公式：底×高÷2，即2r×r÷2＝36，据此即可求出r2＝36，由此即可知道r＝6，根据圆锥的体积公式：V＝πr2h×，把数代入公式即可求解。 【规范解答】72÷2＝36（平方厘米） 设圆锥的底面半径是r厘米，则高也是r厘米。 2r×r÷2＝36 r2＝36 r＝6 体积：3.14×62×6×＝226.08（立方厘米） 所以圆锥的体积是226.08立方厘米。 【考点点拨】本题主要考查圆锥的体积公式，关键是要清楚等腰直角三角形以斜边为底，那么它的长度是斜边上的高的2倍。 高频易错考点十二：组合体的体积(圆柱、圆锥) 【典例精讲】（25-26六年级·全国·假期作业）一座粮仓的形状如右下图，王爷爷家今年共收水稻300立方米，如果全部运到这个粮仓中，那么能装下吗？请说明理由。（仓壁厚度忽略不计） 【答案】能；理由见详解 【思路引导】这个粮仓是由圆锥和圆柱两部分组成的。圆柱和圆锥的底面直径都是8米，求出底面半径是8÷2＝4米；圆柱的高是5米，根据圆柱的体积公式求出圆柱形部分的容积；圆锥的高是3米，根据圆锥的体积公式求出圆锥形部分的容积；然后将两部分的容积相加求出总容积，最后将总容积与300立方米作比较即可解答。 【规范解答】8÷2＝4（米） 3.14×42×5 ＝3.14×16×5 ＝50.24×5 ＝251.2（立方米） ×3.14×42×3 ＝3.14×16 ＝50.24（立方米） 251.2＋50.24＝301.44（立方米） 301.44＞300 答：能装下，因为粮仓的容积大于水稻的体积。 【变式训练】一个直角三角形的两条直角边分别是3cm和4cm，斜边是5cm，分别以三条边所在的直线为轴把三角形旋转一周，得到一个立体图形，比较这3个立体图形 的体积，（    ）的体积最大。 A．甲 B．乙 C．丙 D．无法判断 【答案】B 【解析】将直角三角形以4cm为轴旋转，得到立体图形甲，高为4cm，底面半径为3cm，再利用圆锥的体积公式代入数据解答；以3cm为轴旋转，得到立体图形乙，高为3cm，底面半径为4cm，再利用圆锥的体积公式代入数据解答；以5cm为轴旋转，得到立体图形丙，底面半径可以借助三角形的面积4×3÷2＝5×r÷2求出，进而求出底面积，进而求出两个圆锥的体积即可。分别算出体积后，进行比较即可得解。 【规范解答】甲的体积：×3.14×3×4 ＝×3.14×9×4 ＝37.68（立方厘米） 乙的体积：×3.14×4×3 ＝×3.14×16×3 ＝50.24（立方厘米） 丙的体积： r＝3×4÷5＝2.4（厘米） h＋h＝5（厘米） ×3.14×2.4×h＋×3.14×2.4×h ＝×3.14×2.4×（h＋h） ＝×3.14×2.4×5 ＝30.144（立方厘米） 50.24＞37.68＞30.144，即乙的体积＞甲的体积＞丙的体积，所以乙的体积最大。 故答案为：B。 【考点点拨】本题考查图形旋转的应用以及圆锥体积公式的应用。 高频易错考点十三：不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥） 【典例精讲】（23-24六年级下·陕西咸阳·期中）一个底面半径是6厘米的圆柱形容器，装一部分水，水中浸没着一个高9厘米的圆锥体铅锤。当铅锤从水中取出后，水面下降了2厘米。这个圆锥体的铅锤的底面积是多少平方厘米？ 【答案】75.36平方厘米 【思路引导】由题意可知，下降的水的体积就是圆锥的体积，根据圆柱的体积公式，代入数据计算下降的水的体积，即圆锥的体积，再根据的逆运算，用圆锥的体积除以再除以高，即可得解。 【规范解答】 （平方厘米） 答：这个圆锥体的铅锤的底面积是75.36平方厘米。 【变式训练】（2022·广东茂名·小升初真题）在一只底面半径是30厘米，高50厘米的圆柱形水桶里，装有水和一个半径为10厘米的圆锥形钢材（钢材完全浸没在水中），如果把钢材从水中完全取出后桶里的水面下降了1厘米，这个圆锥形钢材的高是多少厘米？ 【答案】27厘米 【思路引导】根据题意，把圆锥形钢材从水中完全取出后桶里的水面下降了1厘米，那么水下降的体积等于这个圆锥形钢材的体积；水下降部分是一个底面半径为30厘米、高1厘米的圆柱体，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出水下降部分的体积，也就是圆锥的体积； 已知圆锥形钢材的底面半径为10厘米，根据圆的面积公式S＝πr2，求出钢材的底面积；再根据圆锥的高h＝3V÷S，求出这个圆锥形钢材的高。 【规范解答】水下降部分的体积（圆锥的体积）： 3.14×302×1 ＝3.14×900×1 ＝2826（立方厘米） 圆锥的底面积： 3.14×102 ＝3.14×100 ＝314（平方厘米） 圆锥的高： 2826×3÷314 ＝8478÷314 ＝27（厘米） 答：这个圆锥形钢材的高是27厘米。 1．（23-24六年级下·四川成都·期中）下列说法中错误的有（    ）。 ①比值可以用分数表示，也可以用小数或整数表示。②100减少，再增加，结果还是100。③一个正方体和一个圆锥底面积相等，高也相等，那么正方体的体积是圆锥体积的3倍。④周长相等的两个圆，它们的面积一定相等。⑤一个奇数和一个偶数（0除外），它们的最大公因数一定是奇数，最小公倍数一定是偶数。 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【思路引导】①比值是指比的前项除以后项所得的商，所以比值可以用分数表示，也可以用小数或整数表示； ②100减少10%，就是100×（1－10%）＝90；然后90增加10%，是90×（1＋10%）＝99，将99和100作比较； ③正方体体积＝底面积×高，圆锥体积＝×底面积×高，已知正方体和圆锥底面积和高相等，假设底面积和高都是1，分别计算出正方体和圆锥的体积，用正方体体积除以圆锥体积； ④根据圆的周长公式C＝2πr可知，如果两个圆周长相等，那么它们的半径相等；再根据圆的面积公式S＝πr2可知半径相等时，面积一定相等； ⑤奇数的因数一定是奇数，偶数（0除外）的因数包含奇数和偶数，但一个奇数和一个偶数（0除外）的最大公因数，是它们公有的因数中最大的，因为奇数的因数都是奇数，所以最大公因数一定是奇数，因为偶数本身是2的倍数，所以最小公倍数一定是偶数。 【规范解答】①比值既可以用分数表示，也可以用小数或整数表示，例如2∶1的比值是2（整数），1∶2的比值是0.5（小数），3∶4的比值是（分数），该说法正确； ②100×（1－10%） ＝100×90% ＝100×0.9 ＝90 90×（1＋10%） ＝90×110% ＝90×1.1 ＝99 99＜100，所以该说法错误； ③1×1＝1，×1×1＝，1÷＝1×3＝3，即正方体体积是圆锥体积的3倍，该说法正确； ④若两个圆的周长相等，则它们的半径相等，所以它们的面积一定相等，该说法正确； ⑤奇数的因数都是奇数，偶数（0除外）的因数包含奇数和偶数，则奇数与偶数（0除外）的最大公因数一定是奇数，而偶数（0除外）的倍数一定是偶数，所以奇数与偶数（0除外）的最小公倍数一定是偶数，该说法正确。 所以只有②错误。 故答案为：B 2．（23-24六年级下·安徽淮南·期末）如图，一个圆锥形容器里面装满了水。如果把水倒在一个与这个圆锥等底等高的圆柱形容器里，则圆柱形容器中的水面高度是容器高度的（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，假设圆锥形容器的底面积是1，则圆柱形容器的底面积也是1，圆锥形容器的高是3，圆锥形容器的水倒入圆柱后的体积不变，根据圆锥的体积＝底面积×高÷3求出水的体积，用水的体积除以圆柱的底面积即可求出圆柱形容器中的水面高度，再用水面高度除以3即可解答。 【规范解答】1×3÷3÷1 ＝3÷3÷1 ＝1 1÷3＝ 所以圆柱形容器中的水面高度是容器高度的。 故答案为：C 3．（24-25六年级下·广东湛江·期中）一个圆柱体积是942m3，比与它等底等高的圆锥的体积多（    ）m3。 A．188.4 B．314 C．628 【答案】C 【思路引导】等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍，用圆柱的体积除以3求出圆锥的体积，再求出二者体积之差即可解答。 【规范解答】942－942÷3 ＝942－314 ＝628（m3） 一个圆柱体积是942m3，比与它等底等高的圆锥的体积多628m3。 故答案为：C 4．（19-20六年级下·辽宁·单元测试）下面各说法中，不正确的是（  ）。 A．图形①、④都可以通过一个平面图形旋转而成 B．图形①、②、③的体积都可以用“底面积×高”来计算 C．图形①、②、③、④的侧面展开图都是长方形 【答案】C 5．（19-20六年级下·辽宁·期中）两块正方体花岗岩的体积之差为25立方分米，如果把这两块花岗岩分别加工成两个最大的圆柱（如图所示），这两个圆柱的体积相差（    ）立方分米。 A．大于25 B．等于25 C．小于25 D．无法确定 【答案】C 【思路引导】根据题意，假设两个正方体的棱长分别为a分米，b分米。那么两个圆柱体的底面半径分别为分米，分米。然后根据圆柱体积公式：即可解答。 【规范解答】解：设两个正方体的棱长分别为a分米，b分米，且a＞b，则：a3﹣b3＝25，两个圆柱体的底面半径分别为分米，分米。 体积差为：π×（）2×a﹣π×（）2×b ＝π×（－） ＝π×（） ＝3.14×（25÷4） ＝19.625（立方分米） 19.625＜25 故答案为：C。 【考点点拨】此题主要考查了学生对圆柱体积公式的灵活应用。 6．（25-26六年级·全国·假期作业）一个圆柱从上面看到的图形如图1，从正面看到的图形如图2（小正方形边长是1cm），这个圆柱的底面直径是( )cm，高是( )cm，表面积是( )dm2。 【答案】 4 6 1.0048 【思路引导】从上面看到的圆是圆柱的底面，这个圆的直径就是圆柱的底面直径；从正面看到的长方形的长＝圆柱的高，据此分别数出底面直径和高。根据圆柱表面积＝侧面积＋底面积×2，侧面积＝底面周长×高，计算出表面积。注意统一单位。 【规范解答】圆柱的底面直径是4格，是4cm。 圆柱的高是6格，是6cm。 表面积：3.14×4×6＋3.14×（4÷2）2×2 ＝3.14×4×6＋3.14×4×2 ＝75.36＋25.12 ＝100.48（cm2） 100.48cm2＝1.0048dm2 这个圆柱的底面直径是4cm，高是6cm，表面积是1.0048dm2。 7．（25-26六年级·全国·假期作业）爸爸在家里喝茶时，拿出了一个底面直径是12cm、高是20cm的圆柱形铁制茶叶罐，做这样一个茶叶罐至少需要( )cm2铁皮。茶叶罐中原有1kg茶叶，现只剩下一半，爸爸想把剩下的茶叶装到密封袋里，每个密封袋可装茶叶80g，至少需要( )个这样的密封袋。 【答案】 979.68 7 【思路引导】已知圆柱形铁质茶叶罐的底面直径是12cm，高是20cm，可以得到圆柱形铁质茶叶罐的底面半径是6cm，根据圆柱的表面积公式：S＝πdh＋2πr2，计算得出需要铁皮的面积；茶叶罐中原有1kg茶叶，也就是1000g，剩下一半就是1000÷2＝500（g），再用500g除以80g，即可得到密封袋的个数，结果用进一法保留整数。 【规范解答】根据分析： 12÷2＝6（cm） 3.14×12×20＋3.14×62×2 ＝37.68×20＋3.14×36×2 ＝753.6＋113.04×2 ＝753.6＋226.08 ＝979.68（cm2） 所以，做这样一个茶叶罐至少需要979.68 cm2的铁皮。 1kg＝1000g 1000÷2＝500（g） 500÷80＝6.25≈7（个） 所以，至少需要7个这样的密封袋。 8．（25-26六年级·全国·假期作业）一个圆柱和一个圆锥，它们的底面积和高都相等，已知圆锥的体积比圆柱少24立方分米，则圆柱的体积是( )立方分米。 【答案】36 【思路引导】已知一个圆柱和一个圆锥底面积和高都相等，圆锥的体积比圆柱少24立方分米，根据等底等高的圆锥和圆柱，圆锥的体积是圆柱体积的，把圆柱的体积看作单位“1”，圆锥的体积比圆柱的体积少的部分占圆柱体积的（1－），根据已知比一个数少几分之几的数是多少，求这个数是多少用除法，列式解答即可。 【规范解答】24÷（1－） ＝24÷ ＝24× ＝36（立方分米） 所以，一个圆柱和一个圆锥，它们的底面积和高都相等，已知圆锥的体积比圆柱少24立方分米，则圆柱的体积是36立方分米。 9．（25-26六年级·全国·假期作业）下图是一个圆柱的展开图。 （1）把“底面”“底面的周长”“高”分别填入圆柱侧面展开图中的合适位置。 （2）如果圆柱的底面半径是2cm，高是5cm，那么图中长方形的长是（    ）cm，宽是（    ）cm，面积是（    ）cm2。 【答案】（1）见详解 （2）12.56；5；62.8 【思路引导】（1）圆柱有两个完全一样的圆形底面和侧面组成，因此两个圆是底面，侧面沿高展开是个长方形，长方形的长＝圆柱底面周长，长方形的宽＝圆柱的高，据此填空。 （2）根据圆柱底面周长＝2×圆周率×底面半径，计算出圆柱底面周长，即长方形的长，圆柱的高是长方形的宽，根据长方形面积＝长×宽，列式计算即可。 【规范解答】 （1） （2）2×3.14×2＝12.56（cm） 长方形的宽就是圆柱的高，即5 cm。 12.56×5＝62.8（cm2） 如果圆柱的底面半径是2cm，高是5cm，那么图中长方形的长是12.56cm，宽是5cm，面积是62.8cm2。 10．（25-26六年级·全国·假期作业）一个底面半径是5厘米，高为18厘米的圆锥，它的体积是( )立方厘米，如果沿高切成两半，表面积增加了( )平方厘米。 【答案】 471 180 【思路引导】已知圆锥的底面半径是5厘米，高是18厘米，根据圆锥的体积公式即可求出圆锥的体积； 沿圆锥的高切成两半，增加的是两个切面的面积，切面是三角形，三角形的底是圆锥的底面直径（5×2＝10厘米），高是圆锥的高（18厘米），根据“三角形面积＝底×高÷2”求出一个三角形的面积，再乘2求出两个这样的三角形面积，即为增加的表面积。 【规范解答】×3.14×52×18 ＝3.14×25×6 ＝78.5×6 ＝471（立方厘米） 5×2＝10（厘米） 10×18÷2×2 ＝180÷2×2 ＝90×2 ＝180（平方厘米） 所以该圆锥的体积是471立方厘米，如果沿高切成两半，表面积增加了180平方厘米。 【考点点拨】切面是两个三角形，三角形的底是圆锥底面直径、高是圆锥的高，通过三角形面积公式算出单个切面面积后，再乘2即可得到增加的表面积。 11．（25-26六年级·全国·随堂练习）下图是一个圆柱的展开图，求这个圆柱的表面积和体积。 【答案】表面积：131.88dm2；体积：113.04dm3 【思路引导】根据圆柱的展开图，已知圆柱的底面半径和圆柱的高，根据圆柱的表面积公式、圆柱的体积公式，即可求出圆柱的表面积和体积。 【规范解答】圆柱的表面积：（dm2） 圆柱的体积：（dm3） 答：这个圆柱的表面积是131.88dm2，体积是113.04dm3。 12．下图是圆柱形木料被削去一半后的形状，计算出它的体积。（单位：cm） 【答案】15700立方厘米 【思路引导】如图，将木料分成两部分，先求出高40厘米的圆柱体积，再加上高是60－40厘米圆柱体积的一半即可。 【规范解答】20÷2＝10（厘米） 3.14×10×40＋3.14×10×（60－40）÷2 ＝12560＋314×20÷2 ＝12560＋3140 ＝15700（立方厘米） 【考点点拨】本题考查了组合体的体积，分割后右边部分是圆柱的一半。 13．（25-26六年级·全国·假期作业）如下图是一个上部为圆柱，下部为圆锥的密封容器，圆锥的高是18厘米，圆柱的高是20厘米，此时水面高度为24厘米。若将容器倒立放置，水面的高度是多少厘米？ 【答案】12厘米 【思路引导】体积和底面积相等时，圆锥的高是圆柱高的3倍，所以把圆锥部分的水倒入圆柱中，水面高度为18÷3＝6厘米；原来圆柱中水面高度为24－18＝6厘米，所以将容器倒立放置，水面高度是6＋6＝12厘米。 【规范解答】18÷3＝6（厘米） 24－18＝6（厘米） 6＋6＝12（厘米） 答：水面的高度是12厘米。 【考点点拨】圆柱和圆锥的底面积相等，将圆锥部分的水倒入圆柱中，高度会变为原来的。 14．（25-26六年级·全国·随堂练习）一个装有水的圆柱形容器，底面直径是10cm，高是10cm。一块石头完全浸在水里（如下图），量得水深是8.5cm，将石头取出后，水深是7cm。这块石头的体积是多少立方厘米？ 【答案】117.75立方厘米 【思路引导】根据题意，石头的体积等于下降的那部分水的体积，首先求出下降的水的高度，再利用圆柱的底面积乘下降的水的高度就是石头的体积。 【规范解答】 （立方厘米） 答：这块石头的体积是117.75立方厘米。 15．（25-26六年级·全国·假期作业）莉莉将一个圆锥形甜筒里装了0.12升水，此时水面高度正好是圆锥高度的一半，（注：π取3.14） （1）莉莉还能往甜筒里装多少水；（单位化为立方厘米） （2）莉莉将装满水的甜筒倒入玻璃杯中，若这个玻璃杯的底面半径是4厘米，高是15厘米，请问水是否会溢出来。 【答案】（1）840立方厘米 （2）会 【思路引导】（1）由题可知，水面高度是圆锥高度的一半（），水底面半径是圆锥底面半径的一半（），根据圆锥体积公式可得水的体积是圆锥容积的＝，把圆锥容积看作单位“1”，已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算，求出圆锥的容积为0.12÷＝0.96升；最后用圆锥的容积减去水的体积，根据“1升＝1立方分米＝1000立方厘米”将单位换算为立方厘米。 （2）玻璃杯是底面半径4厘米、高15厘米的圆柱，根据圆柱体积公式求出玻璃杯的容积，然后比较甜筒中水的体积（装满水）和玻璃杯的容积即可解答。 【规范解答】（1）＝ 0.12÷＝0.12×8＝0.96（升） 0.96－0.12＝0.84（升） 0.84升＝840立方厘米 答：莉莉还能往甜筒里装840立方厘米水。 （2）0.96升＝960立方厘米 3.14×42×15 ＝3.14×16×15 ＝50.24×15 ＝753.6（立方厘米） 753.6＜960 答：水会溢出来。 【考点点拨】已知水面高度是圆锥高度的一半，同时需识别到水的底面半径是圆锥底面半径的一半（），然后根据圆锥体积公式推出水的体积是圆锥体积的。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $