专题7.2.4 诱导公式（高效培优讲义）数学人教B版高一必修第三册

函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题7.2.4诱导公式 内容概览 教学目标、教学重难点 知识清单 三角函数的诱导公式 利用诱导公式给角求值 利用诱导公式给值求值 诱导公式 利用诱导公式化简求值 题型精讲 利用诱导公式进行证明 诱导公式的综合 利用互补互余关系求值 强化训练 教学目标、教学重难点 1.掌握四组三角函数诱导公式，牢记公式内容与适用条件 教学目标 2.理解“奇变偶不变，符号看象限”口诀，会用其判断函数符号 3.能运用诱导公式完成三角函数的求值、化简等基础运算 重点：四组诱导公式的记忆与精准应用；“奇变偶不变，符号看象限”口诀的理解与 使用 教学重难点 难点：依据“符号看象限”准确判断诱导公式的函数符号；结合诱导公式灵活进行三 角函数的化简与求值 知识清单 三角函数的诱导公式 诱导公式一：sin(a+2kπ)=sina,cos(a+2kπ)=cosa,tan(a+2kπ)=tana,其中keZ 诱导公式二：sin(-a)=-sina，cos(-a)=cosu,tan(-a)=-tana,其中keZ 诱导公式三：sin[(a+(2k+1)π]=-sina,cos[a+(2k+1)π]=-cosa,tan[a+(2k+1)π]=tana,其中 keZ 1123 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 诱导公式四：sin k∈Z 知识点诠释：(1)要化的角的形式为k.90°±α(k为常整数)； (2)记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”： (3)必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”： (wsm+引=o(任-小=cos-到：esx+=sn年-月 【即学即练】 1 1.已知sina 3， 则cosa+刀 =() 2 B. 3 c.22 3 D 【答案】D 【详解】由cosa+到 =-sina=-1, 故选：D 2.c0s135°=() A. 2 B.-1 2 【答案】C 【详解】c0s135°=cos180°-45)=-cos45°=- 故选：C 题型精讲 题型01利用诱导公式给角求值 【例1】tan+sin 6 =() A.号 1 B.2 C.1 D. 【答案】A 4 2/23 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 故选：A 【例2】化简N1+2sin(π-2)cos(π-2)得() A.sin2+cos2 B.cos2-sin2 C.sin2-cos2 D.-cos2-sin2 【答案】C 【详解】因为V1+2sin(π-2)cos(π-2)=V1+2sin2(-cos2)=V1-2sin2cos2 =sin2 2-2sin 2.cos2+cos22=(sin 2-cos 2)2=sin 2-cos 2 又因为2为第二象限角，所以sin2>0,cos2<0 所以sin2-cos2=sin2-cos2 故选：C 4 5 3π的值是() 4 【变式1-】sin写co πtan 6 A.-35 B.3V5 4 C.、3 D.3 4 4 【答案】A 【详解1nmm(…引（}同-35 4 3 6 故选：A 【变式1-2】cosl80°+tan45°+sin(-210)=」 【答案】05 【详解】由诱导公式sin(-210）=-sin210=-sim(180+30)=sin30° 2 故原式=-1+1+22 11 故答案为： 【变式1-3】下面四个数中，与-sin2028最接近的是() A.-1 B. C.② D.0 2 【答案】C 【详解】-sin2028°=-sin5×360°+228）=-sin228°=-sin(180°+48）=sin48°， 因为s血48非常接近sin45-,所以-6加2028最接近互 2 故选：C 3/23 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型02利用诱导公式给值求值 【例3】已知角Q的始边为x轴的预半箱，角南终边与单位圆的交点为P，·则 A.tana=√2 B.sin(-a)=6 C.cos(x-a)-- 3 【答案】C 【详解】依题意，角α的终边与单位圆的交点为P 3 由三角函数的定义得cosa= ，sin= ,则tana=sina=-V2 3 cosa 对于A,由上可知显然错误；对于B,sin(-a)=-sina= 6, 故B错误； 对于C,cos红-a)=-cosu=-5,故C正确； 3 发于D,oa孕=co号-)=通a=9放D销谈 故选：C 3 【例4】已知tanx+π)= 42-以2sinx+Cosx =() sinx-cosx 50 50 A.50或-50 B. 或3引 C. 37或-50 D. 50或50 3 【答案】C 【详解】因为tan(x+)=tanx= 4 所以可设sinx=3k,cosx=4k(k≠0)， 由sin2x+c0s2x=25k2=1,可得k=士 所以c0sx=土 4 3 所以 2sinx+cosx 2tanx+1 10 sinx-cos2x tanx-cosx 3 4-cosx 3-4cosx 10 当co5x=时，原式34 4 4=-50 5 4/23 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 10 50 4 cosx全时，原武3-4x 31, 故选：C 【变式2】已红角9的终边过点P5,则e0+}一 【答案】05 【详解】因为角的终边过点P5,, 1 sin= 根据任意角三角函数的定义， V5+ 2 3π 由诱导公式可得：cos0+ =sin0=2 2 故答案为：号 7 4 【变式2-2】已知sin π+ 则sina=() 2 5 A号 B. 3 5 C. 5 D号 【答案】C 7 1 【详解】由sin +a 2π+a 所以cos0= 4 所以cosa=-{,所以sina=±V-cos'a=±3 4 5 故选：C 【变式2-3】在平面直角坐标系中，若角a的终边经过点Psin 11π 3则cosa= 【答案】-515 2 2 【详解】因为角a的终边经过点 3cos1） sin 3,sin2 3 11 所以coso=sin =sim4-3 = sinπ--V5 3 2 故答案为： 、3 2 题型3利用诱导公式化简求值 5/23 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1 【例5】已知sin0+cos0=50e(0,, (1)求sin0-cos0的值； 5π cos +0sin(-π-0】 (2)已知f(0)= (2 sin(3π-0】 sin2π-0)sin si血(5-)+cos(-9,先化简f9)再求值. 2 【答案】0 @9 【分析】 【详解】D因为sn0+cos0-兮 icos)-sinc+2sin cos1+simn cos0-5 1 所以sin0cos0=-12 5 因为0e(0,π，所以sin0>0,又sin0cos0<0,所以cos0<0, 所以sin0-cos0>0, sine-cos =sin20+cos20-2sin0 cos0 cos 5π+0sin(-r-0) (2)f(0)= ( sin(3π-0) sin(2-)sin sin(5π-0)+cos-0)】 sinπ-0j sin(-0)cose sin(π-0)+cos0 -sinesin0 sine = -sine cos0 sin0+cos0 sine sin0 sin20 5sin20 cose sin+cose cos(sin+cose)cos0' 1 sin0+cos0= sin0=4 联立 ’解得 sine-cos0- cos0=- 3 5 所以f10)=5sin95x6 5=-16 cos0 3 3 6/23 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【例6】（多选）已知函数f(x)=sinr-cosr, 且f(0=2,0e[0,π]，则() sinx+cosx A.f(4π-0=-2 B.tan=-3 C.sin0-2sin0cos0=3 【答案】BC 【详解】对于B,由题意，得函数f(=six=cosr=anx-,又f(0)=2,0∈0，， sinx+cosx tanx+1 ÷f0)=am8-12. tan+1 解得tan0=-3，故B正确， 对于A,f14r-0)=sn4r-0)-cos(4红-0-sin0-cos0-sin0+cos0_am9+11 sin(4r-0)+cos(4r-0-sin0+cos0sin0-cos日an6-2,故A错误， 对于cm9-n9a0.0-2地6oa0.如08g8.旧0-号：片-}放c正毫 1 对于D.s经0c{-0j-0r+smj=os0+sm0 =(sin20+cos)-2sin20cos20=1-2sin20cos20=1-2(sin0cos0)2 又sin0cos0= sinθcosθ_sinecosθ tan-3 3 1 sin20+cos20tan20+19+110 .'sin 故选：BC 【变式3-1】已知a是第三象限角，且fa)= n不-aos(2x-ama+r cos-a-π (1)化简f(a); 3)1 ②)若cosa-5,求f@)的值. 【答案】(I)f(a)=-cosa 2236 5 【分析】 【详解】(1)因为sin(π-a)=sina,cos2π-a)=cos-a)=cosa, 7/23 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 sin 3 -a+2 -u+2 -cosa cosa tan ,cos-a-π=-c0sa, cos-a+2 3 -sina sina cosa 所以fa)= sina·cosa sina=-cosa' -cosa (2)cos a-2 3π ,得sina= 1 =-sin a 51 因为a是第三象限角，所以cosa<0, 24_26 262W6 所以fa)=-5) 5 【变式3-2】已知tana=2. )求ina+cosa的值： sina -cosa ②若a为第三象限角.a=na-列al5r+ecos红+a 3π tan(2-a)cos- ，求f(a)的值. 【答案】(1)3 26 5 【分析】 【详解】(1) sina+cosa tana+12+1=3 sina-cosa tana-1 2-1 (2)f(a) sin(a-πtan(5π+a)cos(π+a）（-sina)tana(-cosa) tan2π-a)cos （-tana)(-sina）=coso, :tana=2,且o为第三象限角，cosa<0 tana= sina=2 1 cosa ,则4cos2a+cos2a=1,即cos2a= sin2a+cos2a =1 .cosa5f(a)-cosa=-5 5 【变式3-3】角O的终边经过点M(-3,-2),则 8/23 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 cos2π-0 cosπ-0 【答案】 13 2 2 2 【详解】由于角O的终边经过点M(-3,-2),故sin6= V-3)2+(-223 cos2π-0） cosπ-θ 故cosπ+0)sin)+日sm 3π +0 2 cos0 -c0sθ 1 1 2 2 13 -cos0.cos0+cos0 cos(-cos0-1)-cos0+1 cos0+1 sin20 2 2 13 故答案为： 13 2 题型04利用诱导公式进行证明 sin(a-3r）+cos(π-a）_tana+l 【例7】证明： sin-a)-cosπ+a) tana-1' 【答案】见解析 【详解】证明：左边= in(a-3r)+cos(π-a)_sin(-4π+a+π)-cosa_sin(π+oa)-cosa sin(-a)-cos(π+a) -sina cosa -sina +cosa =-sina-cosa_sina+cosa_tana+l=右边 -sina+cosa sina-cosa tana-1 故原等式成立. 【点晴】本题主要考查了三角函数的诱导公式的化简与真命题，其中解答中熟记三角函数的诱导公式，合 理准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题， 【例8】求证：snar+-君-co2nr+(-引neZ. 【答案】证明见解析 【详解】证明：①当n=2k,keZ时， 等式左边=sin 2k+(-124.交 6 621 等式右边=cos +-引 cos π1 3=2 即左边=右边； ②当n=2k+1,k∈Z时， 9/23 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 等式左边=sin 2k+元+(-2 6 =sin(r-)=sin= 62 等式右边=cos 22k+m+-l]=co-9=os号- π1 即左边=右边； 综上可得sin 故命题得证 【点晴】本题考查了诱导公式，主要考查了分为奇数、偶数讨论，重点考查了分类讨论的数学思想方法， 属中档题 2sina+nπcosa-nπ)】 【变式4-1】证明： =(-1)"cosa,nEZ. sin(a+nπ)+sina-nr】 【答案】证明见解析 【详解】证明：当n为偶数时，令n=2k,keZ, 2 sin(a+2kπ)cos(a-2kπ）_2 sina cosa_2 sina cosa 左边= .cosa sina+2kπ）+sin(a-2kπ） sina+sina 2sina 右边=(-1)2cosa=cosa,左边=右边. 当n为奇数时，令n=2k-1,k∈Z, 2sin(a+2kπ-πcos(a-2kπ+π) 左边= sina+2kπ-π)+sina-2kπ+π 2sina-πcosa+π sin(a-π)+sina+π) 2(-sina)(-cosa)2sina cosa =-cosa. （-sina）+(-sina) -2sina 右边=(-1)24cosa=-cosa,左边=右边. 2sina+nm)cosa-nπ） 综上所述， =(-1)“cos,neZ成立. sina+nπ+sinc-nπ 1 -sin180°+au 1 【变式4-2】求证 sin(-a） 1 、+cos360°-a） tan'a c0s(540°- 【答案】证明见解析 1 -sin180°+a） 1 1-sina -+sin a 【详解】 sin(-a) =-sina sina cos'a 1 1 、+cos360°-a 、1 +cosa 1-cos2a sina tana cos(540°-a) cosa cosa 10/23命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题7.2.4诱导公式 内容概览 教学目标、教学重难点 知识清单 三角函数的诱导公式 利用诱导公式给角求值 利用诱导公式给值求值 诱导公式 利用诱导公式化简求值 题型精讲 利用诱导公式进行证明 诱导公式的综合 利用互补互余关系求值 强化训练 教学目标、教学重难点 1.掌握四组三角函数诱导公式，牢记公式内容与适用条件 教学目标 2.理解“奇变偶不变，符号看象限”口诀，会用其判断函数符号 3.能运用诱导公式完成三角函数的求值、化简等基础运算 重点：四组诱导公式的记忆与精准应用；“奇变偶不变，符号看象限”口诀的理解与 使用 教学重难点 难点：依据“符号看象限”准确判断诱导公式的函数符号；结合诱导公式灵活进行三 角函数的化简与求值 知识清单 三角函数的诱导公式 诱导公式一：sin(a+2kπ)=sina,cos(a+2k元)=，tan(a+2kπ)=tana,其中keZ 诱导公式二：sin(-a)=-sina,cos(-a)=,tan(-a)=-tana,其中keZ 诱导公式三：sin[(a+(2k+1)π]=-sina,cos[a+(2k+l)π]=，tan[a+(2k+I)π]=tana,其中keZ 号公式四：sm+a,m任+小-ma,m=oam,其中ez 1/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 知识点诠释：(1)要化的角的形式为k·90°±(k为常整数)； (2)记忆方法：“奇偶，看象限”： (3)必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”； (sm+引=co任cox-到引：cosr+sm任- 【即学即练】 1.己知sina= 3则cosa+ =() 2 A B. 3 C.22 3 2.c0s135°=() A空 B.-1 C.-2 2 题型精讲 题型01利用诱导公式给角求值 【例1】tan+sin 4 =() 、6 A B.一2 C.1 D.2 【例2】化简V1+2sin(π-2)cosπ-2)得() A.sin2+cos2 B.cos2-sin2 C.sin2-cos2 D.-cos2-sin2 5 4 【变式l-l】sin.πcos二πtan-π的值是（) 3 6 3 A.-35 B.3V5 D.3 × C.-3 4 4 【变式1-2】cosl80°+tan45°+sin(-210)= 【变式1-3】下面四个数中，与-sin2028最接近的是() A.-1 B. C.② D.0 2 题型02利用诱导公式给值求值 【例3】已知角a的始边为x轴的非负半轴，角a的终边与单位圆的交点为P5,-6,则() 3, 3 2/10 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.tana=√2 B.sin(-a)= 3 C.cos(r-a)=- πV6 3 D.cos a-23 例4已知anx+三名，则2snx十cos) 'sin x-cos2x A.50或-50 B.0或0 D.50或50 31 31 c.50或-50 31 311 【变式2】已知角6降边过点P5小，则e0+}— 7 4 【变式2-2】已知sin 2π+a 则sina=() 4 A.5 B. 3-5 11π11π） 【变式2-3】在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点P sin- 3,cos- 3,则cosa= 题型3利用诱导公式化简求值 1 【例5】已知sin6+cos9=5,6e(0,a. (I)求sin0-cos0的值； cos (5π+0]sin(--6) (2 sin3π-0) (2)已知f(0)= sin(2π-0)sin 3- sin(5-0)+cos(-9'先化简f10)再求值. 【例6】（多选）已知函数f(x)-sinx-cosx,且f0=2,0e0,,则() sinx+cosx A.f(4π-0）=-2 B.tan0=-3 C.sin0-2sinecos0=3 n.smr经jros经-p小0 3/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式3-1】已知a是第三象限角，且f)= in(π-a)cos(2π-a)tan -a+2π cos-a-π (1)化简f(a): a若片求@的直 【变式3-2】己知tana=2. )求na+cosa的值； sina -cosa ②若a为第三象限角，fa=sna-到anl5+a)oos(+al 3π tam(2r-网co2-a ,求f(a)的值. 【变式3-3】角O的终边经过点M(-3,-2),则 c0s2π-0) cosπ-θ) cos+0sin+0 3π -sin 2 +0 sin 题型04利用诱导公式进行证明 sin(a-3π)+cos(π-a)_tana+l 【例7】证明：sin(-a-cosπ+a)ana- 4/10 ©品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【例8】求证：smar+-八引-co时2r+-小引aez 2sin(a+)cos(a-m)=(-1)"cosa,neZ. 【变式4-1】证明：sin(a+nr)+sina-n) 1 【变式42】求证s sin(a)-sin(1+a) 1 cos(540-a)+cos(360-a)tana 【变式43】求证： 2sin0-5ow0+5-1-tam0r+0+1 1-2sin2(π+0) tan(π+0)-l· 题型05诱导公式的综合 【例9】已知a、B∈R,则a+2-T+mkeZ)"是sin(a+B)=sina的() 22 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 5/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【例10】如图所示，在平面直角坐标系x0y中，角0与角B的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半 5 轴重合，终边分别是射线OA和射线OB,若射线OA与单位圆的交点为Am, 3 射线OB与单位圆的交 点为B,且OA⊥OB, 3sina+2cos3的值是(） 2cosa -3sinB A.⑤ B.、5 C.25 2 D.-25 2 【变式5-1】在平面直角坐标系xOy中，角以Ox为始边，终边与单位圆O0交于点P(点P位于第三象 限)，且cosa=- ，点P在该羊位圆上按逆时针方向微圆周运动到达点Q,若经过的圆弧PQ的长为受 1 则点Q的横坐标为() A.- 1 B. 15 C.- 4 4 D.4 cos T+0cos(π+9)co 3+ 【变式5-2】已知函数f(θ)= ,其中≠，k∈Z -0sin(x-0)sin 2 sin (2 2 (1)化简f(0): (2)若f(0=3,求1 1 。的值； cos20 cosesine 3)若2sin0·f日+） +引+sm0+引fo)=-1,求f0的他 【变式5-3】在单位圆中，已知锐角0的终边与单位圆交于点A(x,y),将角的终边绕原点0按照逆时针 方向旋转分交单位圆于点B小，点B关于x轴的对称点为C(,小， 6/10 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B 0 0嗜求os-am经+口 的值； cos2π+a)sin-a o冰-小 ,求tana. 题型06利用互补互余关系求值 【例1】已知sm25”-a)=写且-270<a<-90,则sn165°+a)的值为() A B月 c.26 D.-2v6 5 5 【121已a君则m(轻+小— 【变式61】己知0是第一象限角， o0到9则mr总-0小(y A.±9 40 B.± 1 41 D.40 41 【变式6-3】已知cos(30°+a)=且0°<a<90°，则sin150°-a= 3 强化训练 一、单选题 C ,在ABC中，下列关系式：①cos4+B=c0sC;②sin4+B=sinC;③cos4十日sin),恒成立的 2 7/10 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 是() A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 2.已知角a的终边经过点P(3,4),则sinπ-a)=() B.-4 5 C.3 5 D. cosa+3π+cos 3.若tanπ-a=-3, ,3π 2sina+2 +sina+10π） A.2 C.2 D.-2 5 A B c.-22 D.22 3 3 5.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A为单位圆上一点，以原点O为顶点，x轴正半轴为始边，OA为 终边的角为0，且终边不在坐标轴上若将0A绕0点顺时针旋转至OB,则点B的坐标为〈）， A.(-cos0,sin0) B.(cos0,-sin0) C.(-sin0,cos0) D.(sin0,-cos0) 6.若tan(a+B)=-l,tan(a-B)=1,则tanB=() A.0 B.1 C.-1 D.1或-1 二、多选题 7.己知sina= 5.ae 2则() π A.sin(a)=5 4 Bme-号 c.m经 D.cos( 8.已知行小则下列特式成立的是《) B.sin 1 5 后*a 2π， D.cos 2 1 3+aF5 三、填空题 8/10 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 sinπ+a)+cos(π-a) 9.已知tana=2,则sin hta +cos 2+a 10.已知角α、B的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边分别交单位圆（圆心在原点） 43 于A、B两点，点4坐标为5)则tana=一：若点B在第一象限，且4B=V2,则cosB=一 11.f(sinx)=tan3x0°<x<90),则f(cos20）=, 四、解答题 12.在平面直角坐标系：x0y中，角a以0x为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点Pm,13 12 (1)求sino,cosa,tana; 2sin(π+u)+cosa 的值； tanπ-0)co (3-6 2 13.己知f(0)= sin +0tan(元+0） 2 (1)化简f(0); 2)若f(0)=2,求1 1 。的值 cos20 cosesine 14.已知fa)=sina+cosa sina-cosa (1)若α的始边为x轴的非负半轴，终边过点 求f(a)的值； 9/10 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)若sina+cosa= √2 ,且0<a<π，求f(a)的值： (3)若m= tan0+_1） tan0 w2a-叭y-sm任0,9(0小，果/m8》r]的值 10/10