精品解析：天津河西区2025-2026学年上学期高二年级数学（二）期末试卷

天津市河西区2025-2026学年上学期高二数学期末试卷（二） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至7页． 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 2．本卷共9小题，每小题4分，共36分． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 数列 的一个通项公式为（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 函数在区间上的平均变化率为（ ） A. 0.21 B. 0.21 C. 2.1 D. 2.1 4. 已知抛物线：上一点到轴距离是5，则该点到抛物线焦点的距离是（ ） A. B. C. D. 5. 函数的导数为（ ） A. B. C. D. 6. 已知是双曲线上一点，点分别是双曲线的左、右焦点，若，则（ ） A. 9 B. 1或9 C. 7 D. 3或7 7. 已知等差数列的前项和为，，当取得最大值时的值为（ ） A. 4 B. 4或5 C. 5 D. 5或6 8. 已知是双曲线的左焦点，为圆上一点，直线的倾斜角是，直线与双曲线的两条渐近线交于、两点，且恰为的中点，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 9. 已知函数满足，，集合，若，则ab的值为（ ） A. B. 0 C. D. 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共9小题，共64分． 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 10. 已知数列的通项公式为，则是该数列的第__________项． 11. 抛物线的离心率为__________． 12. 已知等比数列前项和为，若，则__________． 13. 已知函数的图象在点处的切线方程是，则______. 14. 已知直线与双曲线交于、两点，点是弦的中点，则双曲线的渐近线方程是__________． 15. 已知数列的通项公式，在其相邻两项和之间插入个3，得到新数列，记的前项和为，则使成立的的最小值为__________． 三、解答题：本大题共3小题，共34分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 已知函数． （1）若，求及的值（为自然对数的底数）； （2）若在处切线与直线垂直，求实数的值． 17. 已知双曲线的虚轴长为，离心率． （1）求双曲线的标准方程； （2）求与双曲线的焦点相同的等轴双曲线的标准方程； （3）设点是双曲线的右焦点，过点作倾斜角为的直线，交双曲线于两点，求． 18. 已知等差数列前项和为，公差，且，，，成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）设是首项为1，公比为3等比数列， ①求数列的前项和； ②若不等式对一切恒成立，求实数的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市河西区2025-2026学年上学期高二数学期末试卷（二） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至7页． 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 2．本卷共9小题，每小题4分，共36分． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 数列 的一个通项公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据观察法，结合选项直接得出结果. 【详解】由题意知，数列，可改写为， 该数列的奇数项为正值，偶数项为负数， 前4项的分母为，分子为， 所以数列的通项公式为. 故选：B 2. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将抛物线方程化为标准方程，再写出准线方程． 【详解】因为抛物线，化为标准方程为，，故， 故抛物线准线方程为. 故选：C. 3. 函数在区间上的平均变化率为（ ） A. 0.21 B. 0.21 C. 2.1 D. 2.1 【答案】D 【解析】 【分析】直接求解即可. 【详解】平均变化率. 故选：D 4. 已知抛物线：上一点到轴的距离是5，则该点到抛物线焦点的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出抛物线的准线方程，由焦半径公式求出答案. 【详解】由题意得：抛物线：的准线方程为， 由焦半径公式得：该点到抛物线焦点的距离等于. 故选：B 5. 函数的导数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数的运算法则以及复合函数求导法则可求出原函数的导数. 【详解】 ． 故选：B. 6. 已知是双曲线上一点，点分别是双曲线左、右焦点，若，则（ ） A. 9 B. 1或9 C. 7 D. 3或7 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的定义及双曲线上的点到焦点的距离的范围求解. 【详解】因为双曲线方程为，所以，所以， 所以，由双曲线的定义可得，即， 可得或，又当点在双曲线左支上时，， 当点在双曲线右支上时，，所以不成立， 所以， 故选：A. 7. 已知等差数列的前项和为，，当取得最大值时的值为（ ） A. 4 B. 4或5 C. 5 D. 5或6 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式和前项和公式，即可求得，再利用正项数列的项数可判断取得最大值时的值. 【详解】由等差数列可知：， 联立解得：，所以， 由， 即当时，，当时，， 所以当取得最大值时的值为4或5， 故选：B 8. 已知是双曲线左焦点，为圆上一点，直线的倾斜角是，直线与双曲线的两条渐近线交于、两点，且恰为的中点，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据倾斜角求出直线斜率，进而得到直线方程，联立圆的方程求出点坐标；直线方程与渐近线方程联立求出点、坐标，结合点为中点得到与的关系，代入离心率公式计算即可. 【详解】双曲线的左焦点，，渐近线为. 圆的半径为，点在圆上，所以. 直线的倾斜角是，直线的方程为. 联立，整理得，即， 解得或（对应点），，所以. 联立，解得，即. 联立，解得，即. 因为恰为的中点，所以，整理得，， 所以. 故选：A. 9. 已知函数满足，，集合，若，则ab的值为（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用累加法求得，进而确定的周期，设，即为，，，，因为，分类讨论可求得的值. 【详解】由， 可得， … ， ， 相加得， 所以， 所以，其周期为， 前4项为，， ，， 设，即为，，， 因为集合，且， ①若， 则，则 （i）若， 则，矛盾； （ii）若， 则，即 若k为奇数，则，， 则 若k为偶数，则，， 则 ②若， 则， 则，得，即； 当k为奇数，则，， 则 ③若， 若，得，则， 则，矛盾. ④若， 则， 则，同理可得 ⑤若，同理可得出矛盾. ⑥当， 则，则，同理可得 综上所述，. 【点睛】关键点点睛：关键在于运用累加法求得，进而得到，确定周期，进而分类讨论求得，有一定难度，分类讨论是数学方法中一种重要的思想方法. 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共9小题，共64分． 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 10. 已知数列的通项公式为，则是该数列的第__________项． 【答案】12 【解析】 【分析】根据给定的通项公式，列式求出值即可. 【详解】依题意，，而，解得， 所以146是该数列的第12项. 故答案为： 11. 抛物线的离心率为__________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据抛物线的性质求解即可. 【详解】由抛物线的性质可知，. 故答案为：1. 12. 已知等比数列的前项和为，若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】由已知条件求出等比数列的公比，再利用等比数列的求和公式即可求解. 【详解】因为数列为等比数列，且，， 所以，解得， 所以. 故答案为：. 13. 已知函数的图象在点处的切线方程是，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由导数的几何意义可得的值，将点的坐标代入切线方程可得，即可得解. 【详解】由导数的几何意义可得，将点的坐标代入切线方程可得， 因此，. 故答案：. 14. 已知直线与双曲线交于、两点，点是弦的中点，则双曲线的渐近线方程是__________． 【答案】 【解析】 【分析】设出两点的坐标，利用点差法进行求解. 【详解】设，，则，，， 因为两点在双曲线上，所以， 两式相减得，则， ，故双曲线渐近线方程是，经验证此时直线与双曲线有两个交点. 故答案为：. 15. 已知数列的通项公式，在其相邻两项和之间插入个3，得到新数列，记的前项和为，则使成立的的最小值为__________． 【答案】29 【解析】 【分析】根据题意分析得的项的情况，求出当时和当时的，找出的最小值. 【详解】由题意得数列的结构为：在和之间插入个3， 即数列由，个3，，个3，等依次构成， 当时， ， 当时， ， 所以使成立的的最小值为. 故答案为： 三、解答题：本大题共3小题，共34分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 已知函数． （1）若，求及的值（为自然对数的底数）； （2）若在处的切线与直线垂直，求实数的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）对求导，代入求值即可. （2）对求导，根据导数的意义与已知条件列方程求解即可. 【小问1详解】 当时，，所以， ． 【小问2详解】 ，， 由题意，，解得或， 因为，所以． 17. 已知双曲线的虚轴长为，离心率． （1）求双曲线的标准方程； （2）求与双曲线的焦点相同的等轴双曲线的标准方程； （3）设点是双曲线的右焦点，过点作倾斜角为的直线，交双曲线于两点，求． 【答案】（1） （2） （3）6 【解析】 【分析】（1）由虚轴长和离心率条件，结合求出，得到双曲线的标准方程； （2）设等轴双曲线方程为，利用与已知双曲线焦点相同的条件，求出参数，得到所求标准方程； （3）先写出过右焦点且倾斜角为的直线方程，与双曲线方程联立，由韦达定理和弦长公式求出. 【小问1详解】 由题意，虚轴长为，即， 离心率，即，由，所以，解得， 双曲线的标准方程为． 【小问2详解】 设等轴双曲线的方程为， 因为与双曲线的焦点相同，所以，解得， 所以等轴双曲线的标准方程为． 【小问3详解】 双曲线的右焦点， 则过点倾斜角为的直线方程为，与双曲线方程联立， ，消去，得，则， ， 所以等于6． 18. 已知等差数列的前项和为，公差，且，，，成等比数列. （1）求数列通项公式； （2）设是首项为1，公比为3的等比数列， ①求数列的前项和； ②若不等式对一切恒成立，求实数的最大值. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【小问1详解】 依题意得，解得 ，即； 【小问2详解】 ①由， ， ， 所以 ， ②由（1）易求得，所以不等式对一切恒成立， 即转化为对一切恒成立， 令，则 又 当时，；时， 所以，且， 则 所以实数的最大值为. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是参变分离构造函数，差比判断函数的单调性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $