模块五 数列（综合训练）（全国通用）2026年高考数学二轮复习讲练测

模块五 数列综合训练 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．记为等比数列的前项和，已知，若的公比小于零，则（    ） A．15 B． C．31 D．61 2．在等差数列中，若，则（    ） A． B．8 C．16 D．24 3．已知等差数列的前n项和为，设事件，事件是正项递增数列，则p是q的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 4．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中讨论过高阶等差数列，高阶等差数列是指逐项差数之差或者高次差相等的数列，例如数列1，3，6，10，15，…的逐项差，，，，，…构成一个等差数列，则数列1，3，6，10，15，…是一个高阶等差数列（二阶等差数列），现有一个高阶等差数列，其前5项为2，3，6，11，18，则其第8项是（   ） A．38 B．51 C．66 D．83 5．已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．已知数列满足，，，则的第2025项为（   ） A． B． C． D． 7．已知数列的前项和为，，若对任意的恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．已知数列满足：，，令，数列的前项和，则（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．记数列的前项和为，若，且，则（    ） A． B．是等差数列 C． D． 10．已知数列的通项公式为，若为递减数列，为递增数列，则t的可能取值为（    ） A． B． C． D． 11．将所有正整数按照如下规律形成如下数阵M： 第1行  1  2  3  ……  7  8  9 第2行  10  11  12  ……  97  98  99 第3行  100  101  102  ……  997  998  999 第4行  1000  1001  1002  ……  9997  9998  9999 ………… 将上述M数阵中的数进行如下操作，如果该正整数中相邻两位数字（从左到右）出现12，则将该正整数去掉，其余数保持原有顺序不变，得到一个新数阵Q，记新数阵Q第行正整数的个数为，则以下说法正确的有（   ） A． B． C．是等差数列 D．将数列与数列的公共项按照从小到大的顺序排列得到数列，则位于数阵M中的第2行第7个位置（从左向右数） 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知数列是首项和公差均为1的等差数列，数列是首项和公比均为2的等比数列，则 . 13．欧拉函数表示不大于正整数且与互素（互素：公约数只有1）的正整数的个数.知，其中，是的所有不重复的质因数（质因数：因数中的质数）.例如.若数列是首项为3，公比为2的等比数列，则 . 14．连续抛掷一枚质地均匀的硬币（正面向上和反面向上的概率均为），当向上的结果出现“正面-反面”或“反面-正面”时，游戏结束.若抛掷50次，向上的结果没有出现“正面-反面”或“反面-正面”，游戏也结束.游戏结束时，记抛掷总次数为，若（为正整数），则的最小值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）设等比数列的公比，，且 (1)求的值； (2)若，，成等差数列，求的值； (3)设数列的前项和为，证明：． 16．（15分）已知各项均不为的数列的前项和为，，当时，． (1)证明：数列为等差数列； (2)数列是首项和公比均为的等比数列，设，若对于任意正整数，均有，求正整数的值． 17．（15分）已知数列的前项和为，，且． (1)证明：数列为等差数列； (2)设，求数列的前项和； (3)在（2）的条件下，中是否存在三项构成等差数列？若存在，求满足条件的三项；若不存在，请说明理由． 18．（17分）已知等差数列的前项和为，，对任意正整数，均有. (1)求和； (2)若数列满足，且，求数列的通项公式； (3)记数列的前项和为，证明：. 19．（17分）若对于给定的正整数 正整数数列 同时满足① ②其中 ，则称数列 为 数列． (1)若数列 为 数列，证明： (2)若数列 为 数列，请写出所有满足条件的数列 (3)已知 数列 为 数列，求 的所有可能的值． 10 / 10学 学科网（北京）股份有限公司 $ 模块五 数列综合训练 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．记为等比数列的前项和，已知，若的公比小于零，则（    ） A．15 B． C．31 D．61 【答案】D 【详解】设等比数列的公比为，， 因为，则， 即，得或（舍去）， 所以. 故选：D. 2．在等差数列中，若，则（    ） A． B．8 C．16 D．24 【答案】B 【详解】依题意可得，因此； 又，可得； 因为，所以. 故选：B 3．已知等差数列的前n项和为，设事件，事件是正项递增数列，则p是q的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【详解】若，公差，则，，满足， 显然为递增数列，但不是正项数列，充分性不成立； 若等差数列是正项递增数列，即，，则，必有，必要性成立； 所以p是q的必要非充分条件. 故选：B 4．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中讨论过高阶等差数列，高阶等差数列是指逐项差数之差或者高次差相等的数列，例如数列1，3，6，10，15，…的逐项差，，，，，…构成一个等差数列，则数列1，3，6，10，15，…是一个高阶等差数列（二阶等差数列），现有一个高阶等差数列，其前5项为2，3，6，11，18，则其第8项是（   ） A．38 B．51 C．66 D．83 【答案】B 【详解】由， ， ， ，可知： ，即 ，即 ，即， 即第8项是， 故选：B 5．已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为数列为等比数列，且， 即，解得， 所以； 又因为是等差数列，且， 即，解得， 所以， 所以， 所以. 故选：C. 6．已知数列满足，，，则的第2025项为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，则，可得，且， 所以，，，，， 所以 . 故选：B 7．已知数列的前项和为，，若对任意的恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，当时，，则， 整理得，即，而，解得， 于是，数列是首项为，公比为的等比数列， 因此，即，由，得， 当为奇数时，，即，显然为递增数列， 当时，，于是， 当为偶数时，，即，显然恒有，于是， 所以实数的取值范围为. 故选：B 8．已知数列满足：，，令，数列的前项和，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为数列满足：，， 当时，， 当时，由可得， 两个等式作差得，所以，可得， 当时，，满足， 故当时，， 所以 ， 因此，. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．记数列的前项和为，若，且，则（    ） A． B．是等差数列 C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，在中，取时，，故A正确； 对于B，当时，由①，得②， 则①②得，即，所以． 又，所以是以2为首项，2为公差的等差数列，故B正确； 对于C，由B项，可得，故C错误； 对于D，因， 故，故D正确． 故选：ABD. 10．已知数列的通项公式为，若为递减数列，为递增数列，则t的可能取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】当为正偶数时，，则， 因为递增数列，则对任意的正偶数恒成立， 则，解得， 当为正奇数时，，则， 因为递减数列，则对任意的正奇数恒成立， 则，解得， 所以的取值范围是，故的可能取值为，． 故选：CD 11．将所有正整数按照如下规律形成如下数阵M： 第1行  1  2  3  ……  7  8  9 第2行  10  11  12  ……  97  98  99 第3行  100  101  102  ……  997  998  999 第4行  1000  1001  1002  ……  9997  9998  9999 ………… 将上述M数阵中的数进行如下操作，如果该正整数中相邻两位数字（从左到右）出现12，则将该正整数去掉，其余数保持原有顺序不变，得到一个新数阵Q，记新数阵Q第行正整数的个数为，则以下说法正确的有（   ） A． B． C．是等差数列 D．将数列与数列的公共项按照从小到大的顺序排列得到数列，则位于数阵M中的第2行第7个位置（从左向右数） 【答案】ABD 【详解】对于A，因第2行的正整数有 个，依题意去掉 ，即得，故A正确； 对于B，当时，显然．当时，第2行2位数有90个，其中只有12去掉，故 当时，第3行3位数有900个，其中有两种情况去掉：百位和十位分别为12， 此时有10个符合，十位和个位分别为12个符合，此时有9个，故． 当时，将第行个符合条件的位正整数分为两类： ①个位数字不等于2时，个位数字有9种取法，前面位数有种取法，这时位正整数中有个； ②个位数字等于2时，前面位数有种取法，但这个位正整数中十位数字等于1的个正整数要去掉． 故个位数字等于2且十位数字不等于1的位正整数有个． 综上，由分类加法计数原理知．B正确； 对于C，由前面分析，可得，，，， 记， 则， ， ， 则， 故不是等差数列，即C错误； 对于D，因数列展开为：，而数列展开为：， 依题意可知则，位于数阵M中的第2行第7个位置（从左向右数），故D正确. 故选：ABD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知数列是首项和公差均为1的等差数列，数列是首项和公比均为2的等比数列，则 . 【答案】68 【详解】由等差数列的定义可得，则，故， 由等比数列的定义可得，故，所以. 故答案为：68 13．欧拉函数表示不大于正整数且与互素（互素：公约数只有1）的正整数的个数.知，其中，是的所有不重复的质因数（质因数：因数中的质数）.例如.若数列是首项为3，公比为2的等比数列，则 . 【答案】 【详解】由题意可得， 则， 当时，， 则. 故答案为： 14．连续抛掷一枚质地均匀的硬币（正面向上和反面向上的概率均为），当向上的结果出现“正面-反面”或“反面-正面”时，游戏结束.若抛掷50次，向上的结果没有出现“正面-反面”或“反面-正面”，游戏也结束.游戏结束时，记抛掷总次数为，若（为正整数），则的最小值为 . 【答案】3 【详解】抛掷总次数 ，其中， . 所以 相减得 . 所以，所以正整数的最小值为3． 故答案为：3. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）设等比数列的公比，，且 (1)求的值； (2)若，，成等差数列，求的值； (3)设数列的前项和为，证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】 【详解】（1）因为，所以． 又，所以． （2）因为，，成等差数列，所以， 所以． 因为，，所以，解得． （3）因为，所以，， 则数列是首项为，公比为的等比数列， 所以． 16．（15分）已知各项均不为的数列的前项和为，，当时，． (1)证明：数列为等差数列； (2)数列是首项和公比均为的等比数列，设，若对于任意正整数，均有，求正整数的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）因为当时，，， 所以， 可得当时，， 因为， 所以当时，等式两边同除可得， 数列是公差为的等差数列． （2）因为，当时，，所以， 故， 因为数列是首项和公比均为的等比数列，则， 所以， ， 所以当时，，当时，， 即， 所以数列的最小项为，所以对任意正整数，均有，． 17．（15分）已知数列的前项和为，，且． (1)证明：数列为等差数列； (2)设，求数列的前项和； (3)在（2）的条件下，中是否存在三项构成等差数列？若存在，求满足条件的三项；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】 【详解】（1）由已知， ， 所以数列为首项，公差的等差数列． （2）由（1），且时，， ，也符合，所以 所以， 所以， 因为， 所以， ，所以， 记数列的前项和为， 则， ， 所以， 所以. （3）不存在，显然数列为递增数列， 若存在正整数，使得成等差数列，不妨设， 则， 即， 因为，所以，显然不成立， 所以数列中不存在不同的三项构成等差数列． 18．（17分）已知等差数列的前项和为，，对任意正整数，均有. (1)求和； (2)若数列满足，且，求数列的通项公式； (3)记数列的前项和为，证明：. 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析 【分析】 【详解】（1）因为数列为等差数列，不妨设，由可得，故，解得， 所以， ，即，即， 所以，解得， 故，. （2）方法一：由（1）得：， 当且时，， ， 当时，满足， 综上所述：. 方法二：由（1）得：， ，，， ， 令，则数列为常数列， ， ； （3）由（1）知，，下面证明， 设，， 则，当时，，单调递增， 所以， 所以，即， 所以 ， 所以． 19．（17分）若对于给定的正整数 正整数数列 同时满足① ②其中 ，则称数列 为 数列． (1)若数列 为 数列，证明： (2)若数列 为 数列，请写出所有满足条件的数列 (3)已知 数列 为 数列，求 的所有可能的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)有1，2，1和2，1，2； (3){6，10}． 【分析】 【详解】（1）由数列为数列，知 当 时， 故 或 ， 这与题中条件矛盾，故． （2）由数列 为 数列，知 即 由 且 知 故 当 时， 可得 (舍去)或 ， 当 时， 则 ， 综上可知，满足条件的数列有1，2，1和2，1，2这两个． （3）由题意可知 则 两式相减可得 若 则 则 矛盾； 若 则 又 则 易得 或 或 ，即 或6； 若 则 矛盾． 综上， 的取值范围是{6，10}． 10 / 10学 学科网（北京）股份有限公司 $