2.4.2直线与圆锥曲线的综合问题课件-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

作课人：廉文杰 数学之王——欧拉 北师大版（2019）高中数学 选择性必修第一册 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 第二章 圆锥曲线 第4节 直线与圆锥曲线的位置关系 4.2 直线与圆锥曲线的综合问题 第1课时（共1课时） 1 学 习 目 标 目 标 重 点 难 点 1、掌握弦长公式。 2、掌握弦长公式的应用。 3、了解特殊的焦点弦。 1、弦长公式。 1、弦长公式的应用。 2 新 知 引 入 数学王子——高斯 1、如何求圆的弦长呢？ r d P Q |PQ|=_________________ 圆锥曲线中有弦么？ 3 新 知 引 入 韦 达 O P O P O Q Q M N P Q 连接圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦. 图中的PQ、MN均为圆锥曲线的弦。 如何计算弦长呢？ 4 学 习 新 知 欧几里得 （约公元前300年） 《几何原本》 求弦长的方法 方法一： 1、把直线方程与圆锥曲线方程联立方程组 ； 2、求出交点坐标； 3、利用两点间的距离公式求出弦长。 方法二： 用弦长公式求弦长。 5 学 习 新 知 阿基米德 （公元前287年—公元前212年） 《阿基米德全集》 设圆锥曲线的一条弦所在直线的方程为y=kx+b, 弦的两个端点P、Q的坐标分别为（x1,y1)、(x2,y2), 则|PQ|= = = =· = 弦长公式： |PQ|= 弦长公式： |PQ|= 6 典 例 引 路 集合论之父——康托 例1 、已知斜率为-2的直线经过椭圆 的左焦点F₁，与椭圆相交于A，B两点，求： (1)线段AB的中点M的坐标；  (2)|AB|的值. 解：∵椭圆C的左焦点F1的坐标为(-1，0)， ∴直线AB的方程为y=-2(x+1). 由，得   (1)设线段AB的中点M的坐标为(x,y),则  所以线段AB的中点M的坐标为   7 同 步 练 习 无冕的数学之王——希尔伯特 练1、已知椭圆的两个焦点坐标分别为（-2,0），（2,0）,并且经过点（ ，- ）， （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线y=x+1与椭圆交于A,B两点，求弦AB的长度。 解：（1）依题意设标准方程为 + =1, 由椭圆的定义知c=2 2a= + = 2 ∴ a= ∴ b2=a2-c2=10-4=6 ∴椭圆的标准方程为 + = 1 （2）由，得 , |AB|= = 8 典 例 引 路 柯 西 例2、已知直线l过椭圆 的中心，且交椭圆C于A,B两点,求|AB|的取值范围. 解：(1)当直线l的斜率不存在时,直线l:x=0, 代入椭圆方程解得 所以   (2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx. 由 ， 得 设A(xA,yA),B(xB,yB),则xA+xB= 0，xAxB= ∴ 因为4k²+2≥2,由不等式的性质可得 所以 综上所述，|AB|的取值范围为 9 同 步 练 习 解析几何之父——笛卡尔 练2、已知椭圆C:+=1（a＞b＞0)的长轴长为6，离心率为， （1）求椭圆的方程 （2）若直线y=x+m与椭圆C交于A,B两点，求|AB|的最大值。 解：(1)依题意由 ，得a=3,c=2 ∴b2=a2-c2=5 ∴椭圆的方程为 + = 1 （2）由 ，得14x2+18mx+9m2-45=0 由△=（18m)2-4×14×(9m2-45)＞0,得m2＜14 设A(x1,y1),B(x2,y2) 则x1+x2= - , x1x2 = ∴|AB|= = ≤ ∴m=0时，|AB|max= 10 典 例 引 路 狄利克雷 例3、已知F1(-1,0),F2(1,0)分别是椭圆C: + =1（a＞b＞0)的左、右焦点，点P是C的上顶点，且直线PF2的斜率为 - ， （1）求椭圆C的方程 （2）过点F2作直线l，若l与C交于两点A,B，求|AB|的取值范围。 解：（1）由题意知c=1,- = - ,则b= ,a2=b2+c2=4 所以椭圆C的方程为 + = 1 （2）当l的斜率为0时，|AB|=4 当l的斜率不为0时，设l的方程为x=my+1 由，得（3m2+4)y2+6my-9=0, △＞0恒成立 设A（x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2= ,y1y2= ∴|AB|== = 令3m2+4=t(t≥4),则m2 = ，从而|AB|=4(1- ),此时3≤|AB|＜4 综上所述：|AB|的取值范围是[3,4]. 11 同 步 练 习 庞加莱 练3、过点（0,2）的直线l与椭圆C: + y2=1交于P,Q两点，|PQ|的最大值是_______。 解：设直线l的方程为x=k(y-2) 由，得(k2+6)y2-4k2y+4k2-6=0 由△＞0得k2＜2 ,设P(x1,y1),Q(x2,y2) 则y1+y2= y1y2= ∴|PQ|== = 6= ≤× = 当且仅当=，即k2=时，等号成立 ∴|PQ|的最大值是 12 学 习 新 知 拉格朗日 在直线与圆锥曲线的综合问题中，经常会遇到面积问题、过定点问题。 13 典 例 引 路 皮 亚 诺 例4、已知点A(0,3)和点P(3, )为椭圆 + = 1（a＞b＞0) 上两点.若过点P的直线l交椭圆C于另一点B，则△ABP的最大面积为____. 解：由，得,所以椭圆C的方程为 + =1 设B（2cosθ,3sinθ),其中θ∈[0,2π) 又因为直线AP的方程为 = ,即x+2y-6=0， 且|AP|= = 则点B到直线AP的距离d= = ≤ 当且仅当sin(θ+ )= -1,即θ= 时，等号成立。 所以△ABP的最大面积为 × × = 14 同 步 练 习 莱布尼兹 练4、已知椭圆E:+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2，经过点F1的直线与E相交于A,B两点，则△ABF2的面积的最大值为_____. 解:由题意可知，直线AB的斜率不为0，F1(-,0),F2(,0) 设AB:x = my - , A(x1,y1), B(x2,y2) 由，得(m2+4)y2-2my-1=0 则△＞0,y1+y2= ,y1y2= S△ABF2=×|F1F2|×|y1-y2|=×2× ==4 令t= (t≥1),则S△ABF2= = ≤ =2 当且仅当t= 即t=即m=±时，等号成立 ∴△ABF2的面积的最大值为 15 典 例 引 路 华罗庚 例5、若过椭圆 + = 1右焦点F2作两条斜率不为0且互相垂直的直线分别交椭圆于A,B和C,D，线段AB的中点为M，线段CD的中点为N，则直线MN过x轴上一定点_______ 解：设直线AB的方程为x=my+1，其中m≠0,设点A(x1,y1)、B(x2,y2), 由，得（3m2+4)y2+6my-9=0,则 y1+y2= ∴ = +1= , 故 M(,) 由直线CD的方程为x=- y+1,同理可得 N(,) ∴kMN = = 所以直线MN的方程为y- = (x- ) 即y = (x- ) 因此直线MN过定点( ,0) 16 同 步 练 习 陈景润 练5、已知点F为椭圆C: + =1 的左焦点，垂直于x轴的动直线l与椭圆C相交于不同两点P，Q，直线PF与椭圆C的另一个交点为M（异于点Q），直线QM恒过定点B，则点B的坐标为_______ 解：由题可知直线PF的斜率存在，设直线PF的方程为：y=k(x+) 设P(x1,y1),M(x2,y2)，则Q(x1,-y1)， 由，得(1+2k2)x2+4k2x+4k2-4=0 x1+x2= ,x1x2= 所以直线QM的方程为：y-y2= (x-x2),整理得y= (x- ) 又 = = = -2 所以直线QM的方程为y= (x+2) 所以直线QM恒过点B的坐标为（-2，0） 17 学 习 新 知 阿波罗尼奥斯 （约公元前200年） 《圆锥曲线论》 焦点弦 焦点弦长：|PQ|=xP+xQ+p= (θ为直线PQ的倾斜角） 最短的焦点弦为通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）,长度为2p O P Q F y2=2px O P F Q 最长的焦点弦为长轴，长度为2a; 最短的焦点弦为通径（过焦点且垂直于x轴的弦）， 长度为 O P Q F 同支最短的焦点弦是通径（过焦点且垂直于x轴的弦）， 长度为。 两支最短的弦是实轴，长度为2a. 18 典 例 引 路 牛 顿 例6、已知直线l经过抛物线y2=2px(p＞0)的交点F，与抛物线交于A,B两点，若|AB|=7,且线段AB的中点到x=-3的距离为5，则p=________ 解：设A(x1,y1),B(x2,y2)， 则AB的中点坐标为（，) 由线段AB的中点到直线x=-3的距离为5，得 = -3+5 =2 ∴ x1+x2=4 ∴ |AB| = x1+x2+p = 4+p = 7 ∴ p=3 19 同 步 练 习 黎 曼 练6、抛物线C的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，抛物线C过点A(4,4),过抛物线C的焦点F作倾斜角为45º的直线l，直线l交抛物线C于M,N两点。 （1）求抛物线C的方程；（2）求线段|MN|的长。 解：（1）依题意，设抛物线C的方程为y2=2px 因为抛物线C过点A(4,4),所以42=8p,解得p=2 所以抛物线C的方程为y2=4x (2)由（1）可得抛物线的焦点为F（1,0）,则直线l的方程为y=x-1 由,得x2-6x+1=0 设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1+x2=6 ∴|MN|=x1+x2+p=6+2=8 20 全 课 总 结 |PQ|= |PQ|= 弦长公式 21 THANK YOU 谢谢！ 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 22 $