2.3.2抛物线的简单几何性质 课件-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

作课人：廉文杰 数学之王——欧拉 北师大版（2019）高中数学 选择性必修第一册 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 第二章 圆锥曲线 第3节 抛物线 3.2 抛物线的简单几何性质 第1课时（共1课时） 1 学 习 目 标 目 标 重 点 难 点 1、了解抛物线的几何图形及简单几何性质。 2、进一步体会数形结合的思想，了解抛物线的简单应用。 1、了解抛物线的几何图形及简单几何性质。 1、进一步体会数形结合的思想，了解抛物线的简单应用。 2 新 知 引 入 数学王子——高斯 1、抛物线的定义及标准方程式什么？ 平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。 图 形 开口方向 焦 点 准 线 方 程 F L L F F 向右 向左 向上 向下 （ , 0 ) ( - , 0 ) ( 0 , ) ( 0 , - ) x = - x = y = - y = y2=2px y2= - 2px x2=2py x2= - 2py 3 学 习 新 知 欧几里得 （约公元前300年） 《几何原本》 抛物线y2=2px的简单几何性质 O F y l x 由方程可得抛物线上任意一点P(x,y)总满足: 2px=y2______ 0 ≥ 范 围 即 x≥0，y∈R 即：抛物线位于y轴的______侧，开口向_______ 当x的值增大时，|y|随之________,这说明抛物线向右上方和 右下方_______________ 右 右 无限延伸 增大 4 学 习 新 知 阿基米德 （公元前287年—公元前212年） 《阿基米德全集》 设点P是抛物线上任意一点，即y02=2px0 抛物线y2=2px的简单几何性质 O F y l x 点P关于x轴对称的点是______________, P1(x0,-y0) = (-y0)2_____2px0 对称性 抛物线y2=2px关于x轴对称。 P P1 5 学 习 新 知 阿波罗尼奥斯 （约公元前200年） 《圆锥曲线论》 抛物线y2=2px的简单几何性质 O F y l x 抛物线和它的对称轴的交点叫作抛物线的顶点。 在方程y2=2px中， 令y=0,则x=_______ 因此抛物线的顶点坐标为_______,即_________. 0 (0,0) 原点 6 学 习 新 知 拉格朗日 抛物线y2=2px的简单几何性质 O F y l x 离心率 抛物线上的点P到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫作抛物线的离心率。 抛物线的离心率e=1 P Q 7 学 习 新 知 布 丰 图 形 开口方向 焦 点 准 线 方 程 范 围 对称性 顶点 离心率 F L L F F 向右 向左 向上 向下 （ , 0 ) ( - , 0 ) ( 0 , ) ( 0 , - ) x = - x = y = - y = y2=2px y2= - 2px x2=2py x2= - 2py x≥0，y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R 关于x轴对称 关于y轴对称 (0,0)即原点 e=1 抛物线的简单几何性质 8 典 例 引 路 集合论之父——康托 (1)抛物线没有渐近线．(     ) (2)抛物线关于顶点对称.(     ) (3)抛物线是无中心的圆锥曲线. (      ) (4)抛物线既是轴对称图形也是中心对称图形.(     ) (5)抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心.(   ) 例1、判断正误： √ × √ √ × 9 同 步 练 习 无冕的数学之王——希尔伯特 练1、判断正误： (1)抛物线的顶点一定在过焦点且与准线垂直的直线上.(  ) (2)抛物线焦点到准线的距离等于p.(       ) (3)抛物线y2=2px过焦点且垂直于对称轴的弦长是2p. (    ) (4)抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相 同.(      ) (5)抛物线x2=4y ，y2=4x 的 x，y 的范围是不同的，但是其 焦点到准线的距离是相同的，离心率也相同.(     ) √ √ √ √ √ 10 典 例 引 路 柯 西 例2、求顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，且过点（,-6）的抛物线的标准方程。 解：∵点（,-6）在第四象限 ∴设抛物线方程为y2=2p1x(p1＞0)或x2=-2p2y(p2＞0) 又点（,-6）在抛物线上 ∴36=2p1 或 3=12p2 解得 p1=6 , p2= ∴抛物线的标准方程为 y2=12x 或 x2 = - y 11 同 步 练 习 解析几何之父——笛卡尔 练2、求顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，且过点（-2,3）的抛物线的标准方程。 解：∵点（-2,3）在第二象限 ∴设抛物线方程为y2= -2p1x(p1＞0)或x2=2p2y(p2＞0) 又点（-2,3）在抛物线上 ∴9=4p1 或 4=6p2 解得p1= , p2= ∴抛物线的标准方程为 y2= - x 或 x2 = y 12 典 例 引 路 牛 顿 例3、已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线y2=x(p＞0)上，则这个等边三角形的边长为_____ 解：由题意可知等边三角形的一个顶 点位于原点，另外两个顶点在抛物线 y2 = x上，则另外两个顶点关于x轴 对称，如图所示： 设等边三角形边长为a，a＞0， 则A点横坐标为a×cos30º= a, A点纵坐标为a×sin30º= a 则A（a,a),代入抛物线方程得（a）2=×a,所以a=6 所以这个等边三角形的边长为 6. 13 同 步 练 习 黎 曼 练3、已知A,B为抛物线y2=2px(p＞0)上的两点，若△OAB是边长为8,的等边三角形，O为坐标原点，则抛物线方程为______ 解:抛物线和其上的等边三角形都关于x轴对称，则A,B两点关于x轴对称，x轴是等边三角形边AB的垂直平分线，不妨取A在第一象限， 如图，由|OA|=8,∠AOx=30º,得A(12,4),代入抛物线方程得：（4）2=2p×12 所以 p=2 所以抛物线方程为y2=4x 14 典 例 引 路 狄利克雷 例4、已知直线l:3x-4y-12=0，若P为抛物线x2=4y上的动点，则点P到直线l的距离最小时点P的坐标为_______ 解:因为P为抛物线x2=4y上的动点， 所以可设P（x0,y0),则y0= ，则P到l的距离为： d = = = ∴当x0= 时，d最小，此时y0= ∴P的坐标为（，） 15 同 步 练 习 庞加莱 练4、已知点P到直线x=-2与到点F（2,0）的距离相等，点Q在圆(x-10)2+y2=25上，则|PQ|的最小值为_________ 解:设P(x,y)，因为点P到直线x=-2与到点F(2,0)的距离相等， 所以P点轨迹是以F(2,0)为焦点的抛物线，即y2=8x； 设圆(x-10)2+y2=25的圆心为M，则M(10,0)， |PM|= = = ≥8 当且仅当x=6时等号成立 所以|PQ|≥8-5=3 即|PQ|min=3 16 典 例 引 路 华罗庚 例5、设P是抛物线y2=16x 上的一个动点，F为抛物线的焦点，已知点A(5,2) ，则|PA|+|PF|的最小值为      . 解：如图，过点A做准线x=-4的垂线，垂足为A＇，交抛物线于点P＇，由抛物线的定义可知 |P＇F|=|P＇A＇|， 故|PA|+|PF|≥|P＇A|+|P＇A＇| =|AA＇|=5-(-4)=9 即当P、A＇、A三点共线时，距离之和最小为 9. 17 同 步 练 习 陈景润 练5、设抛物线C:y2=4x上一点P到直线l1:x=-1的距离为d1，到直线l2:3x+4y+7=0的距离为d2，则d1+d2的最小值为_____ 解:  抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0)， 则点P到直线x=-1的距离为|PF|， 作FM垂直l2:3x+4y+7=0于点M， 所以d1+d2的最小值为 |MF|==2 18 典 例 引 路 皮 亚 诺 例6、已知点M到点F(4,0)的距离比它到直线l:x+6=0的距离小2，求点M的轨迹方程. 解：如图,点M到点F(4,0)的距离比它到直线l:x+6=0的距离小2，即“点M到点F(4，0)的距离等于它到直线 的距离”.由此可知，点M的轨迹是以F(4，0)为焦点，以直线 为准线的抛物线.故点M的轨迹方程是y²=16x. 19 同 步 练 习 莱布尼兹 练6、点P到点F(3,0)的距离比它到直线l：x=1的距离大4，则点P的轨迹是（     ） A．抛物线 B．椭圆 C．双曲线 D．以上都不对 解：由点P到点F(3,0)的距离比它到直线l:x=1的距离大4，知点P既可以在直线l的左侧，也可以在直线l的右侧， 当点P在直线l:x=1及左侧时，点P到点F(3,0)的距离等于它到直线x=5的距离，则点P的轨迹是以F(3,0)为焦点，直线x=5为准线的抛物线在直线l及左侧部分； 当点P在直线l:x=1的右侧时，点P到点F(3,0)的距离等于它到直线x=-3的距离，则点P的轨迹是以F(3,0)为焦点，直线x=-3为准线的抛物线在直线l的右侧部分， 所以点P的轨迹包含以上两部分，选项ABC错误，D正确. D 20 典 例 引 路 傅里叶 例7、 某单行隧道横断面由一段抛物线及一个矩形的三边组成，尺寸如图(单位：m)，某卡车载一集装箱，车宽3m，车与集装箱总高4.5m，此车能否安全通过隧道?说明理由. 解：如图，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系,则点A的坐标为(3,-3). 设抛物线的标准方程为x²=-2py(p>0). 将点A的坐标代入上式,得9=6p,即2p=3.  所以抛物线的标准方程为x²=-3y.  将x=1.5代入抛物线的标准方程,得y=-0.75,则5-0.75=4.25<4.5.  这说明，即使集装箱处于隧道的正中位置，车与集装箱的总高也会高于BD，所以此车 不能安全通过隧道. 21 同 步 练 习 洛必达 练7、有一隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和一抛物线构成，如图所示.为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米.若行车道总宽度AB为8米。 （1）计算车辆通过隧道时的限制高度； （2）现有一辆载重汽车宽3.5米，高4.2米，试判断该车能否安全通过隧道？ 解：（1）建立如图所示坐标系，根据题意，抛物线经过点（5,-5），代入抛物线方程解得p = ,所以抛物线的方程为x2 = -5y 在此方程中令x = -4,得y = - 因此，7 - -0.5 = 3.3 所以车辆通过隧道时的限制高度为3.3米 （2）对于抛物线x2=-5y,令x=3.5,得y= - 因为7- - 0.5 = 4.05＜4.2 所以，该车不能安全通过隧道。 22 全 课 总 结 图 形 方 程 范 围 对称性 顶点 离心率 F L L F F y2=2px y2= - 2px x2=2py x2= - 2py x≥0 x≤0 y≥0 y≤0 关于x轴对称 关于y轴对称 (0,0)即原点 e=1 抛物线的简单几何性质 23 THANK YOU 谢谢！ 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 24 $