2.3 抛物线(提升)同步练—2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

2.3 抛物线 1.某校科技节中，同学们设计了一个抛物线型的卫星信号接收器，其镜面的剖面轮廓符合抛物线.为提高信号接收的稳定性，需要在镜面剖面上安装三个信号源A，B，C，使得抛物线焦点F恰好是这三个信号源所组成的三角形的重心，则这三个信号源到焦点F的距离之和为( ) A.8 B.10 C.12 D.14 2.抛物线上任意两点A，B处的切线交于点P，称为“阿基米德三角形”，当线段AB经过抛物线的焦点F时，具有以下特征： ①点P必在抛物线的准线上；②. 若经过抛物线的焦点的一条弦为AB，“阿基米德三角形”为，且点P的纵坐标为4，则直线AB的方程为( ) A. B. C. D. 3.如图，一个工业凹槽的截面是某抛物线的一部分，抛物线方程是，，在凹槽内放入一个清洁钢球（规则的球体），要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为 A. B.1 C.2 D. 4.青花瓷是中国陶瓷烧制工艺的珍品，中国瓷器的主流品种之一.如图，一只内壁光滑的青花瓷碗水平放置在桌面上，瓷碗底座高为，碗口直径为，碗深.瓷碗的轴截面轮廓曲线可以近似看成抛物线，若碗里放置一根长度为的筷子，筷子过瓷碗轴截面轮廓曲线的焦点，且两端在碗的内壁上，则筷子的中点离桌面的距离为( ) A. B. C. D. 5.已知抛物线的焦点为F，过点F作倾斜角为的直线l交C于A，B两点，若线段AB中点的纵坐标为，则C的方程是( ) A. B. C. D. 6.过抛物线的焦点F的直线l与抛物线在第一象限内的交点为A，与抛物线准线的交点为B，点A在抛物线准线上的射影为C，若，，则抛物线的方程为( ) A. B. C. D. 7.如图，已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点，圆，过圆心的直线l与抛物线和圆分别交于P，Q，M，N，则的最小值为( ) A.36 B.42 C.49 D.50 8.设抛物线的焦点为F，过F的直线交C于，两点，过A，B分别作抛物线C的准线的垂线，垂足分别为M，N，则( ) A.32 B.28 C.20 D.16 （多选）9.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.已知抛物线的焦点为F，一束平行于x轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的是( ) A. B. C.与之间的距离为4 D. （多选）10.如图，已知点F是抛物线的焦点，AB，CD是经过点F的弦且，直线AB的斜率为，C，A两点在x轴上方，则下列结论中一定成立的有( ) A. B.若，则 C. D.四边形ACBD的面积的最小值为 （多选）11.抛物线的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则( ) A.l与相切 B.当P，A，B三点共线时， C.当时， D.满足的点P有且仅有2个 12.如图，过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若，且，则______. 13.过抛物线的焦点F的直线交抛物线于M，N两点（M，N的横坐标不相等），弦MN的垂直平分线交x轴于点H，若，则______. 14.已知抛物线的焦点为F，A为C上一点，B为C的准线与x轴的交点，.若O为坐标原点，则___________. 15.已知圆. （1）若直线平分圆M，求的最小值； （2）顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线C的准线与圆M相切，F为抛物线的焦点，A为抛物线上的动点，点，求的最大值. 答案以及解析 1.答案：C 解析：由题意可知，抛物线，焦点.因为A，B，C三点均在抛物线上，且F是的重心，所以，所以，根据抛物线定义可知. 2.答案：A 解析：设抛物线的焦点为F，由题意可知，抛物线的焦点为，准线方程为，由为“阿基米德三角形”，且线段AB经过抛物线的焦点，可得点P必在抛物线的准线上，所以点，所以直线PF的斜率为.又，所以直线AB的斜率为，所以直线AB的方程为，即，故选A. 3.答案：B 解析：如图，若小球触及凹槽的最底部，设小球圆心为，则小球半径.抛物线上的点到圆心距离的平方为.若小球触及凹槽的最底部，则的最小值在处取到，又，所以，即，所以，所以清洁钢球的最大半径为1. 4.答案：B 解析：建立平面直角坐标系，如图所示，设抛物线的方程为，其焦点为. 因为碗口直径为，碗深，所以抛物线过点，所以，解得，所以抛物线的方程为.设，，过AB的中点N作轴于点H.由抛物线的定义可得，解得，所以，所以筷子的中点离桌面的距离为. 5.答案：C 解析：方法一：设点，，则，，两式相减得，即，即，又，所以，解得，故抛物线C的方程是. 方法二：点.设点，，直线l的方程为，由得，，，所以，解得，所以抛物线C的方程是. 6.答案：A 解析：点，设点，.因为，所以F为AB的中点，所以所以所以，又点A在第一象限，所以，可得，，所以点，.点A在抛物线准线上的射影为C，则点，所以，，所以，解得或（舍去），所以抛物线的方程为.故选A. 7.答案：B 解析：设抛物线方程为.由抛物线过定点得，所以，所以抛物线方程为，其焦点为.圆的标准方程为，所以圆心为，半径.当过焦点的直线斜率不存在时，其方程为，则，，，，所以.当过焦点的直线斜率存在时，设其方程为，设，，，.由得，则.则，当且仅当，即，时，等号成立.综上所述，的最小值为42.故选B. 8.答案：A 解析：由题意画出图象，再由抛物线的定义，说明是等腰三角形，说明NF平分，同理，MF平分，从而得出，最后利用勾股定理得到结果. 如图，设抛物线C的准线与x轴的交点为P，结合抛物线的定义可知，，所以，，又，，所以，，所以，即是直角三角形，且.显然，所以，故选A. 9.答案：ABD 解析：如图所示，由抛物线的光学性质可知，直线PQ过焦点，，选项A正确； 由题意可得，点P的坐标为，点Q的坐标为，，选项B正确； 与平行，与之间的距离，选项C错误； 由抛物线的定义可知，，选项D正确.故选ABD. 10.答案：AC 解析：因为直线AB的斜率为，，所以.设，，由抛物线的定义可得焦点为，则直线AB的方程为.由可得，则，，所以，同理可得，则有，故A正确； 若，则，即，解得，故B错误； ，与k无关，同理，故，故C正确； 因为，所以四边形ACBD的面积，当且仅当，即时，等号成立，故D错误.故选AC. 11.答案：ABD 解析：如图，A选项，抛物线的准线为直线，的圆心到直线的距离显然是1，等于圆的半径，故准线l和相切，A选项正确；B选项，P，A，B三点共线时，即，则P的纵坐标，由，得到，故，此时切线长，B选项正确；C选项，当时，，此时，故或，当时，，，，，不满足；当时，，，，，不满足，所以不成立，C选项错误；D选项，设，由可得.又，，根据两点间的距离公式，得，整理得，，则关于t的方程有两个解，即存在两个这样的点P，D选项正确.故选ABD. 12.答案：3 解析：如图，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别为点E，D，记准线与x轴的交点为G.设，则.由抛物线的定义得，所以，所以.又，，所以，则，所以，则F为AC的中点，从而. 13.答案：20 解析：方法一：设，，弦MN的中点为，，则所以，所以，则，所以弦MN的垂直平分线为，令，则，所以.又，所以. 方法二：如图，设MN的中点为B，过M作x轴的垂线，过N作x轴的平行线，两直线交于点A.设，，不妨取，则.由抛物线的定义知.又，所以，所以. 14.答案： 解析：由题意知O为线段BF的中点，又，所以.设，则.由A为C上一点，得.将代入，可得，解得（负值已舍去），则.故答案为. 15.答案：（1）当且仅当时等号成立，所以的最小值是4 （2） 解析：（1）圆M的方程可化为，则圆心. 由题意知，直线过圆心M，则，即，，，由，当且仅当时等号成立，所以的最小值是4. （2）如图，由题意，抛物线的准线为直线，所以抛物线方程为，焦点. 设，当时，，，其中，所以， 当且仅当，即时等号成立； 当时，，，则. 综上，的最大值是. 学科网（北京）股份有限公司 $