2.3.1抛物线及其标准方程 课件-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

作课人：廉文杰 数学之王——欧拉 北师大版（2019）高中数学 选择性必修第一册 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 第二章 圆锥曲线 第3节 抛物线 3.1 抛物线及其标准方程 第1课时（共1课时） 1 学 习 目 标 目 标 重 点 难 点 1、了解抛物线的实际背景，感受抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用 2、了解抛物线的定义、几何图形和标准方程 1、抛物线的定义、几何图形和标准方程 1、抛物线的定义、几何图形和标准方程 2 新 知 引 入 数学王子——高斯 1、抛物线形状在日常生活中会经常看到。 3 新 知 引 入 韦 达 (1)将一把尺子固定在画板上； (2)把一个直角三角板的一条直角边紧靠在直尺的边缘（记作直线l）； (3)取一根细绳，它的长度与另一条直角边AB相等； (4)细绳的一端固定在三角板顶点A处，另一端固定在画板上的点F处。 用铅笔尖(记作点P)扣紧绳子，并靠住三角板，然后将三角板沿着直尺上下滑动，可以发现铅笔尖就在画板上描出了一段曲线，即点P的轨迹。 2、本节课我们就来研究抛物线。 4 新 知 引 入 布 丰 观察铅笔尖随着三角板的移动过程，可以发现，点P始终满足 |PF| ______ |PB| = 即点P到定点F的距离和点P到定直线 l 的距离相等。 5 学 习 新 知 欧几里得 （约公元前300年） 《几何原本》 抛物线 平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。 定点F叫做抛物线的焦点。 定直线l叫做抛物线的准线。 注意：1、 2、 3、 当F∈l时， P点的轨迹是过点F 且垂直于直线l的一条直线. l F P 定直线 l 不经过定点F. 焦点不是抛物线上的点. 6 典 例 引 路 集合论之父——康托 例1、与直线 y=2 相切，且与圆 x2+(y+3)2=1 外切的圆的圆心轨迹为（     ） A．椭圆 B．双曲线的一支 C．抛物线 D．圆 解:记与圆x2+(y+3)2=1外切的圆为圆C， 设圆C的圆心为C(x,y)，半径为r， 圆x2+(y+3)2=1的圆心为A， 因为圆C与圆x2+(y+3)2=1外切，所以|CA|=r+1， 设圆C圆心到直线y=2的距离为d，则d=r，所以|CA|=d+1， 即动点C到定点A的距离等于到定直线y=3的距离， 由抛物线的定义知：动点C的轨迹为抛物线. C 7 同 步 练 习 无冕的数学之王——希尔伯特 练1、已知动点P(x,y)满足 5=|3x+4y+5|，则动点P的轨迹是（     ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 解：∵5 =|3x+4y+5| ∴ = ∴ = ∵ 表示P到F(1,2)的距离； 表示P到直线l:3x+4y+5=0的距离 ∴ P到F(1,2)的距离等于P到直线l：3x+4y+5=0的距离，且F不在l上 ∴P的轨迹是抛物线 D 8 学 习 新 知 阿基米德 （公元前287年—公元前212年） 《阿基米德全集》 抛物线的标准方程 第一步：建系 O F K x y l 取经过焦点F且垂直于准线 l 的直线为x轴，x轴与准线l相交于点K，以线段KF的垂直平分线为y轴，建立如图的平面直角坐标系. C P(x,y) 设P（x , y）是抛物线上任意一点。 第二步：设点 第三步：列式 设抛物线的焦点到准线的距离为p(p>0),即|KF|=p, 则焦点 准线l的方程为 根据抛物线的定义可知：|PF|=|PC| 即 = 9 学 习 新 知 阿波罗尼奥斯 （约公元前200年） 《圆锥曲线论》 O F K x y l C P(x,y) 第四步：化简 抛物线的标准方程 = 平方得： x2-px++y2 =x2+px+ 整理得： y2=2px (p＞0) 10 学 习 新 知 拉格朗日 抛物线的标准方程 y2=2px (p＞0) 注意：1、 2、 3、 这条抛物线的准线方程是  这条抛物线的焦点在x轴的正半轴上,焦点坐标为（,0) p为正常数，它的几何意义是焦点到准线的距离 11 学 习 新 知 伯努利 在建立直角坐标系时，由于焦点在平面直角坐标系中的位置不同，抛物线有四种不同的标准方程。 图 形 开口方向 焦 点 准 线 方 程 F L L F F 向右 向左 向上 向下 （ , 0 ) ( - , 0 ) ( 0 , ) ( 0 , - ) x = - x = y = - y = y2=2px y2= - 2px x2=2py x2= - 2py 注意：1、 2、 焦点在一次项变量对应的坐标轴上. 开口方向由一次项系数的符号确定． 12 学 习 新 知 皮 亚 诺 （1）当焦点位置确定时，可利用待定系数法，设出抛物线的标准 方程，由已知条件建立关于参数P的方程，求出p的值， 进而写出抛物线的标准方程. （2）当焦点位置不确定时，可设抛物线的方程为y2=mx(m≠0)或 x2=my(m≠0)利用已知条件求出m的值，进而写出抛物 线的标准方程. 求抛物线标准方程的两种方法： 13 典 例 引 路 柯 西 例1、根据下列条件，求抛物线的标准方程：   (1)焦点坐标为(2,0);   (2)焦点坐标为（0,1） 解:设抛物线的标准方程为y²=2px(p>0). 其焦点坐标为 根据题意有 故p=4. 所以所求抛物线的标准方程为y²=8x. 解:设抛物线的标准方程为x²=2py(p>0). 其焦点坐标为(0,),根据题意有 故p=2. 所以所求抛物线的标准方程为x²=4y. 14 同 步 练 习 解析几何之父——笛卡尔 练1、根据下列条件，求抛物线的标准方程：   (1)焦点坐标为(-1,0);   (2)焦点坐标为（0,-3） 解:设抛物线的标准方程为y²= -2px(p>0). 其焦点坐标为 根据题意有 - 故p=2. 所以所求抛物线的标准方程为y²=-4x. 解:设抛物线的标准方程为x²= -2py(p>0). 其焦点坐标为 根据题意有 - 故p=6. 所以所求抛物线的标准方程为x²=-12y. 15 典 例 引 路 华罗庚 例2、根据下列条件，求抛物线的标准方程： (1)准线方程为 (2)准线方程为x=2 解:设抛物线的标准方程为y²=2px(p>0). 则其准线方程为 根据题意有 故p=3. 所以所求抛物线的标准方程为y²=6x. 解:设抛物线的标准方程为y²=-2px(p>0). 则其准线方程为 根据题意有 故p=4. 所以所求抛物线的标准方程为y²=-8x. 16 同 步 练 习 陈景润 练2、根据下列条件，求抛物线的标准方程： (1)准线方程为 (2)准线方程为y=2 解:设抛物线的标准方程为x²=2py(p>0). 则其准线方程为 根据题意有 - 故p=4. 所以所求抛物线的标准方程为x²=8y. 解:设抛物线的标准方程为x²=-2py(p>0). 则其准线方程为 根据题意有 故p=4. 所以所求抛物线的标准方程为x²=-8y. 17 典 例 引 路 狄利克雷 例3、求过点A（-3，2）的抛物线的标准方程。 解：(1)当焦点在y轴上时，设方程为x2=my 把A（-3，2）代入x2 =my，得m = (2)当焦点在x轴上时，设方程为y2=mx 把A（-3，2）代入y2 =mx，得m= - ∴抛物线的标准方程为x2 = y 或y2 = - x 18 同 步 练 习 黎 曼 练3、求过点A（-2，-4）的抛物线的标准方程。 解：(1)当焦点在y轴上时，设方程为x2=my 把A（-2，-4）代入x2 =my，得m = (2)当焦点在x轴上时，设方程为y2=mx 把A（-2，-4）代入y2 =mx，得m= - 8 ∴抛物线的标准方程为x2 = - y 或y2 = - x 19 典 例 引 路 傅里叶 例4、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： (1)y2=-4x (2)x+y2=0 (3)4y2-x=0 解：标准方程为y2 = -2×2×x 所以焦点坐标为（-1,0），准线方程为x=1 解：标准方程为y2 = -2××x 所以焦点坐标为（- ,0），准线方程为x= 解：标准方程为y2 = 2××x 所以焦点坐标为（,0），准线方程为x = - 20 同 步 练 习 庞加莱 练4、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： (1)x2=3y (2)x2=-2y (3)y=2x2 解：标准方程为x2 = 2××y 所以焦点坐标为（0,），准线方程为y= - 解：标准方程为x2 = - 2××y 所以焦点坐标为（0,），准线方程为y= 解：标准方程为x2 = 2××y 所以焦点坐标为（0,），准线方程为y= - 21 典 例 引 路 牛 顿 例5、已知抛物线的焦点在x轴正半轴上，焦点到准线的距离为 求抛物线的标准方程、焦点坐标和准线方程.  解：因为抛物线的焦点到准线的距离 所以所求抛物线的标准方程为y²=x, 其焦点坐标为 准线方程是 22 同 步 练 习 莱布尼兹 练5、已知抛物线y2=2px(p＞0)上与焦点距离等于9的点的纵坐标为6，则该抛物线的标准方程为_____________ 解：设满足条件的点的坐标为（m，6）， 抛物线的准线方程为x= - , 由抛物线的定义得 m + = 9,即 m = 9 - ∴(6)2=2p(9 - ) ∴p=6或p=12 ∴抛物线的标准方程为y2=12x或y2=24x 23 全 课 总 结 一、抛物线的定义 二、抛物线的标准方程 图 形 开口方向 焦 点 准 线 方 程 F L L F F 向右 向左 向上 向下 （ , 0 ) ( - , 0 ) ( 0 , ) ( 0 , - ) x = - x = y = - y = y2=2px y2= - 2px x2=2py x2= - 2py 24 THANK YOU 谢谢！ 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 25 $