2.2.1双曲线及其标准方程 课件-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

作课人：廉文杰 数学之王——欧拉 北师大版（2019）高中数学 选择性必修第一册 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 第二章 圆锥曲线 第2节 双曲线 2.1 双曲线及其标准方程 第1课时（共1课时） 1 学 习 目 标 目 标 重 点 难 点 1、掌握双曲线的定义及其应用． 2、掌握双曲线的标准方程及其推导过程． 3、会求双曲线的标准方程． 1、掌握双曲线的定义及其应用． 2、会求双曲线的标准方程． 1、掌握双曲线的标准方程及其推导过程． 2、会求双曲线的标准方程． 2 新 知 引 入 数学王子——高斯 平面内与两定点 的距离的和 等于常数 的点 的轨迹. 1、椭圆的定义是什么？ P F1 F2 O 如果平面内到两个定点F1,F2的距离之差也是一个常数，这样的点的轨迹是什么图形呢？ 3 学 习 新 知 欧几里得 （约公元前300年） 《几何原本》 取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在F1，F2上，拉动拉链，观察拉链头（M) 运动的轨迹是什么图形？ 4 学 习 新 知 阿基米德 （公元前287年—公元前212年） 《阿基米德全集》 |MF1|-|MF2|=_____________ |MF2|-|MF1|=_____________ |F2F|=|F1F|=2a |F2F|=2a |F1F|=2a | |MF1|-|MF2| | = 2a 5 学 习 新 知 阿波罗尼奥斯 （约公元前200年） 《圆锥曲线论》 平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数 （大于零且小于︱F1F2︱）的点的集合（或轨迹）叫作双曲线.(符号表示：||MF1|-|MF2||=2a) 双曲线 “常数”记为2a(0＜a＜c). 注意：1、 2、 3、 4、 定点F1,F2叫做双曲线的焦点， 距离|F1F2|叫做焦距，记为2c. 两条曲线合起来叫做一条双曲线, 每条曲线叫做双曲线的一支. 当|MF1|-|MF2|=2a时，点M的轨迹是双曲线的右支； 当|MF2|-|MF1|=2a时，点M的轨迹是双曲线的左支. 6 学 习 新 知 拉格朗日 平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数 （大于零且小于︱F1F2︱）的点的集合（或轨迹）叫作双曲线.(符号表示：||MF1|-|MF2||=2a) 双曲线 注意：1、 2、 3、 若2a=0,M的轨迹是_________________________. 若2a=2c,M的轨迹是______________. 若2a＞2c,M的轨迹___________. 线段F1F2的垂直平分线 两条射线 不存在 7 （1）平面内到点F1(0,3),F2(0,-3)距离之差的绝对值等于6的点的轨迹是双曲线．(      )   （2）平面内到点F1(0,3),F2(0,-3)距离之差等于4的点的轨迹是双曲线．(      )   （3）到两定点的距离差的绝对值等于常数的点的轨迹是双曲线．(        ) 典 例 引 路 集合论之父——康托 例1、判断正误： × × × 8 （1）平面内到点F1(4,0),F2(-4,0)的距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．(        )      （2）平面内到点F1(4,0),F2(-4,0)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(        ) （3）平面内到两定点的距离的差等于常数（小于两定点间的距离）的点的轨迹是双曲线.(        ) 同 步 练 习 无冕的数学之王——希尔伯特 × 练1、判断正误： × × 9 O x y 学 习 新 知 韦 达 双曲线的标准方程 F1 F2 第一步：建系 以F1，F2所在的直线为x轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系. 则F1(-c,0)，F2(c,0). 设M（x , y）是双曲线上任意一点。 第二步：设点 第三步：列式 M(x,y) 由 得 10 学 习 新 知 布 丰 O x y F1 F2 M(x,y) 双曲线的标准方程 第四步：化简 由定义可知:c>a,不妨令 (b＞0) 则上式可化为：_______________________________ _______________________________ __________________________ 平方、整理得_______________________________   11 学 习 新 知 伯努利 双曲线的标准方程 O x y F1 F2 M(x,y) 把方程 称为焦点 在x轴的双曲线的标准方程。 注意：1、 2、 3、 4、 5、 6、 方程的左端两分式用“-”连接，右端是1。 方程左端各个分子、分母都是平方项。 b2=c2-a2即c2=a2+b2即a2=c2-b2 焦点在x轴，焦点坐标F1 (-c,0),F2(c,0)。 c＞a,c＞b，a与b的大小不确定。 焦点不是双曲线上的点。 12 学 习 新 知 注意：1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 方程的左端两分式用“-”连接，右端是1。 方程左端各个分子、分母都是平方项。 b2=c2-a2即c2=a2+b2即a2=c2-b2 焦点在y轴，焦点坐标F1 (0,-c),F2(0,c)。 c＞a,c＞b，a与b的大小不确定。 焦点不是双曲线上的点。 狄利克雷 同理可得，焦点在y轴的双曲线的标准方程为： 判断双曲线的焦点在哪个轴上的准则：x2,y2谁的系数是正数，焦点就在哪个轴上。 O x y F1 F2 M(x,y) 13 典 例 引 路 傅里叶 例2、已知双曲线C: 的右焦点为F，点P在双曲线C的左支上，M为线段FP的中点，O为坐标原点，若|OM|=6，则|PF|=____ 解:设双曲线的C左焦点为 E，连接PE， 如右图所示： 因为O、M分别为EF、PF的中点， 所以|PE|=2|OM|=2×6=12， 在双曲线C中，a=4， 由双曲线的定义可得|PF|-|PE|=2a=8， 故|PF|=|PE|+8=12+8=20. 14 同 步 练 习 莱布尼兹 练2、已知F为双曲线C: 的左焦点，P，Q为C右支上的两点.若|PQ|=10，点A(5,0)在直线PQ上，则△PQF的周长为_____ 解:由已知a=4,b=3，则c=5， 所以A(5,0)是双曲线的右焦点， |PF|-|PA|=2a=8，|QF|-|QA|=2a=8， 则16 =(|PF|-|PA|)+(|QF|-|QA|) =|PF|+|QF|-(|PA|+|QA|) =|PF|+|QF|-|PQ| =|PF|+|QF|-10 所以 |PF|+|QF|=26 所以△PQF的周长为|PF|+|QF|+|PQ|=36. O x y F A P Q 15 典 例 引 路 贝叶斯 例3、已知动圆M与两圆(x+3)2+y2=4，(x-3)2+y2=4中的一个内切，与另一个外切，则动圆M的圆心的轨迹方程为     ． 解：设(x+3)2+y2=4，(x-3)2+y2=4的圆心分别为F1，F2，圆M的半径为r． 因为|F1F2|=6，所以当动圆的半径小于2时，与其中一圆内切后，不可能与另一圆外切，所以r＞2， 当圆M与圆(x+3)2+y2=4内切、与圆(x-3)2+y2=4外切时，有 则|MF2|-|MF1|=4＜6，圆M的圆心轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的左支； 当圆M与圆(x+3)2+y2=4外切、与圆(x-3)2+y2=4内切时，有 则|MF1|-|MF2|=4＜6，圆M的圆心轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的左支； 因此圆M的圆心的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线，2a=4,2c=6， 则a=2，c=3，b=,方程为： 16 同 步 练 习 佩雷尔曼 练3、已知圆O1:(x-2)2+y2=4，圆O2:(x+2)2+y2=1，动圆M与圆O1,O2都外切，则动圆圆心M的轨迹方程为          . 解：对圆O1:r1=2，圆心为(2,0)；对圆O2:r2=1，圆心为(-2,0). 设动圆M的半径为r，则|MO1|-|MO2|=2-1=1＜|O1O2|， 所以点M的运动轨迹为以O1,O2为焦点的双曲线的左支. 易知2c=4，解得c=2； 又2a=1，解得a= ∴b2=c2-a2 = 所以动圆圆心M的轨迹方程为(x＜0) 17 典 例 引 路 柯 西 例4、 已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上一点到焦点的距离差的绝对值等于6， 求双曲线的标准方程. 解： 因为双曲线的交点在x轴上， 所以设它的标准方程为 由2c=10，2a=6，得c=5，a=3， 因此b2=c2-a2=52-32=16， 所以双曲线的标准方程为 18 同 步 练 习 解析几何之父——笛卡尔 练4、若中心为原点的双曲线的焦点在x轴上，焦距为4，且过点P（2，3），则双曲线的标准方程为　　 　　. 解：设双曲线的标准方程为 - ＝1（a>0，b>0）， 由题意知:c=2 该双曲线的左、右焦点分别为F1（-2，0），F2（2，0）. 由双曲线的定义可得 2a＝||PF1|-|PF2||＝＝2， ∴ a＝1，则b=， 因此双曲线的标准方程为- ＝1. 19 典 例 引 路 皮 亚 诺 例5、相距2km的两个哨所A，B听到远处传来的炮弹爆炸声，在A哨所听到爆炸声的时间比在B哨所迟4a.已知当时的声速为340m/s，试判断爆炸点在什么样的曲线上，并求出曲线的方程. 解：设爆炸点为P， 由已知，得|PA|-|PB|=340×4=1360(m).  因为|AB|=2km=2000m>1360m,|PA|>|PB|, 所以点P在以点A,B为焦点的双曲线并 靠近点B的那一支上. 以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴， 建立平面直角坐标系(如图). 由2a=1360,2c=2000, 得a=680,c=1000,    因此，点P所在曲线是双曲线的右支，它的方程是    20 解：如图，以AB所在的直线为x轴，AB的垂直 平分线为y轴建立平面直角坐标系， 设M是分界线上的点，则|MA|+|AP|＝|MB|+|BP|， 即|MA|-|MB|＝|BP|-|AP|＝150-100＝50（m）， 这说明分界线是以A，B为焦点的双曲线的右支，且a＝25. 在△APB中， |AB|2＝|AP|2+|BP|2-2|AP|·|BP|cos 60°＝17 500， 从而c2＝＝4375，b2＝3750， 故所求分界线的方程为＝1（x≥25）. 即在运土时，将此分界线左侧的土沿道路AP运到P处，右侧的土沿道路BP运到P处最省工. 同 步 练 习 庞加莱 练5、某工程队需要开挖一个横截面为半圆的柱形隧道，挖出的土只能沿道路AP，BP运到P处（如右图），|AP|＝100 m，|BP|＝150 m，∠APB＝60°，试说明怎样运土才能最省工. 21 典 例 引 路 牛 顿 例6、判断下列双曲线的焦点在哪条轴上，并指明a、b,写出焦点坐标。 (1) (2) (3) 解：焦点x轴上，a=4,b=3,焦点坐标：(-5,0)、(5,0) 解：焦点在y轴上，a=12,b=5,焦点坐标：(0,-13)、(0,13) 解：方程可化为： 所以焦点在y轴上，a=3,b=4,焦点坐标：(0,-5)、(0,5) 22 同 步 练 习 黎 曼 练6、判断下列双曲线的焦点在哪条轴上，并指明a、b,写出焦点坐标。 (1) 3x2-5y2=30 (2) 解：方程可化为： 所以焦点在y轴上，a=2,b=2,焦点坐标：(0,-2)、(0,2) 解：方程可化为： 所以焦点在x轴上，a=,b=,焦点坐标：(-4,0)、(4,0) 23 典 例 引 路 华罗庚 例7、已知方程（1+k）x2+（k-1）y2＝1表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围为（ ） A.（-1，1） B.（1，+∞） C.（-∞，-1） D.（-∞，-1）∪（1，+∞） 解：方程可化为： ∵双曲线的焦点在x轴上 ∴ ∴ -1＜k＜1 A 24 同 步 练 习 陈景润 练7、已知双曲线＝1的焦点在x轴上，若焦距为4， 则a＝（ ） A. B.7 C. D . 解： 由双曲线＝1的焦点在x轴上，焦距为4， 可得 解得a＝. C 25 典 例 引 路 丘成桐 例8、已知双曲线的方程为 点F1(0,5)，点Q(5,7)，点P为双曲线上的一个动点，则|PQ|+|PF1|的最小值为_______. 解:由题意得双曲线的焦点在y轴上， 且a=3,b=4,c=5，所以点F1(0,5)为双曲 线的上焦点， 设下焦点为F2(0,-5)，结合图形可知点P 为上支上的点时才可能取得最小值， 由双曲线的定义可得|PF2|-|PF1|=2a=6， 所以|PF1|=|PF2|-6， 所以|PQ|+|PF1|=|PQ|+|PF2|-6≥|QF2|-6 = 13-6 = 7 当且仅当P,Q,F2三点共线时取等号.故|PQ|+|PF1|的最小值为7 26 解:依题意得 a=2,b=,c=3 设双曲线的右焦点为F2. 因为点P在双曲线的右支上， 所以|PF|-|PF2|=2a=4， 即|PF|=|PF2|+4. 则|PA|+|PF|=|PA|+|PF2|+4. 根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，可得|PA|+|PF2|≥|AF2|，当且仅当A，P，F2三点共线时取等号. 已知F2(3,0)，A(0,4)，根据两点间距离公式，可得|AF2|=5 ∴|PA|+|PF|=|PA|+|PF2|+4≥|AF2|+4=5+4=9 同 步 练 习 洛必达 练8、双曲线C: 的左焦点为F，点A(0,4)，若P为C右支上的一个动点，则|PA|+|PF|的最小值为___________ O x y F F2 P A 27 全 课 总 结 焦点在x轴 焦点在y轴 不同点 图形 标准方程 焦点坐标 F1 (-c,0),F2(c,0) F1 (0,-c),F2(0,c) 相同点 定义 ||PF1|-|PF2||=2a ||PF1|-|PF2||=2a a,b,c的关系 c2=a2+b2 c2=a2+b2 O x y F1 F2 P(x,y) O x y F1 F2 P(x,y) 一、双曲线的定义 二、双曲线的标准方程 28 THANK YOU 谢谢！ 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 29 $