2.1.2椭圆的简单几何性质（第2课时）课件-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

作课人：廉文杰 数学之王——欧拉 北师大版（2019）高中数学 选择性必修第一册 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 第二章 圆锥曲线 第1节 椭圆 1.2 椭圆的简单几何性质 第2课时（共2课时） 1 学 习 目 标 目 标 重 点 难 点 1、会判断平面内点与椭圆的位置关系。 2、会计算与椭圆上的点有关的距离的最值。 3、会判断直线与椭圆的位置关系； 4、掌握有关中点弦的问题解法。 5、会计算直线与椭圆相离时，椭圆上的点到直线的距离的最值。 1、会计算与椭圆上的点有关的距离的最值。 2、掌握有关中点弦的问题解法。 3、会计算直线与椭圆相离时，椭圆上的点到直线的距离的最值。 1、会计算与椭圆上的点有关的距离的最值。 2、掌握有关中点弦的问题解法。 3、会计算直线与椭圆相离时，椭圆上的点到直线的距离的最值。 2 新 知 引 入 数学王子——高斯 1、椭圆的定义是什么？ 平面内到两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫做椭圆。 焦点在x轴 焦点在y轴 不同点 标准方程 焦点坐标 相同点 定义 a,b,c的关系 F1 (-c,0),F2(c,0) F1 (0,-c),F2(0,c) |PF1|+|PF2|=2a a2=b2+c2 3 新 知 引 入 韦 达 方程 图形   范围 对称性 顶点 离心率 2、椭圆的简单几何性质 F1 F2 O A1 A2 B1 B2 -a≤x≤a -b≤y≤b 关于轴，轴，原点对称 A1(-a,0)、A2(a,0) B1(0,b)、B2(0,-b) e = (0＜e＜1) F1 F2 O A1 A2 B1 B2 -a≤y≤a -b≤x≤b 关于轴，轴，原点对称 A1(0,-a)、A2(0,a) B1(-b,0)、B2(b,0) e = (0＜e＜1) 4 学 习 新 知 欧几里得 （约公元前300年） 《几何原本》 1、点与椭圆的位置关系 P(x,y) P(x,y) P(x,y) 点在椭圆内 点在椭圆上 点在椭圆外 + _____1 + _____1 + _____1 ＜ = ＞ 5 典 例 引 路 柯 西 例1、若点P(0,1)在焦点在x轴上的椭圆 + =1内部，则m的取值范围是________ 解：因为椭圆 + = 1的焦点在x轴上，则0＜m＜5 又∵点P(0,1)在椭圆内部 ∴ + ＜1 所以m的取值范围是(1,5) 6 同 步 练 习 解析几何之父——笛卡尔 练1、若点P(1,-a)在椭圆 x2- = 2 的内部，则实数a的取值范围为________________ 解：椭圆方程 x2 - = 2化为 + = 1 ∴-4a＞0且-4a≠2且 + ＜1 ∴a＜0 且 a≠- 且 a＞-2 ∴a∈(-2,- )∪(- ,0) 7 学 习 新 知 阿基米德 （公元前287年—公元前212年） 《阿基米德全集》 2、与椭圆上的点有关的距离的最值问题 ①不在椭圆上的定点P与椭圆上的动点Q连线的长度的最值 ②椭圆上的动点Q到焦点的距离 用两点间的距离公式把PQ的长度表示出来，借助二次函数求出最值。 P P Q Q F1 F2 Q(x,y) 由两点间的距离公式可得 |QF2| =____________ 当x=_____，即Q为_________时,|QF2|min=_______ 当x=_____，即Q为_________时,|QF2|max=_______ a -a 左顶点 右顶点 a - c a + c 同理：当x=_____，即Q为_________时,|QF1|min=_______ 当x=_____，即Q为_________时,|QF1|max=_______ -a 左顶点 a - c a + c 右顶点 a ( - x) 8 典 例 引 路 牛 顿 例2、已知点P(x0,y0)是椭圆C:+y2=1上的动点，A点坐标为(1,0)，求|PA|的最小值。 解：依题意得 y0 2= 1 - , -≤x0≤ ∴|PA| = = = = ∴当 x0 = 时，|PA|min= 9 同 步 练 习 黎 曼 练2、若P是椭圆+y2=1上一动点，A(0,3),则|PA|的最大值为____________ 解：令P(x,y)，则x2=4(1-y2),-1≤y≤1 ∴|PA| = = = = ∴当 y = -1 时，|PA|max=4 10 典 例 引 路 狄利克雷 例3、设P是椭圆C: (a＞)上任意一点，F为C的右焦点，|PF|的最小值为,则椭圆C的长轴长为_______ 解：|PF|的最小值为 a - c = , 即 a- = 解得 a=2 所以长轴长为2a=4 11 同 步 练 习 庞加莱 练3、已知椭圆 ，则该椭圆上的点到焦点距离的最小值为____________ 解：由题意可知a=2,b= ∴c=1 ∴该椭圆上的点到焦点距离的最小值为a-c=1 12 学 习 新 知 阿波罗尼奥斯 （约公元前200年） 《圆锥曲线论》 3、直线与椭圆的位置关系 P Q P 相离 相交 相切 判断方法： 解方程组 无 解 一组解 两 组 解 13 典 例 引 路 皮 亚 诺 例4、若直线y=x+m与椭圆 +y2=1有两个不同的交点，则m的范围是__________ 解：由 得 5x2+8mx+4m2-4=0 ∵直线y=x+m与椭圆 + y2 = 1有两个不同的交点 ∴△=(8m)2-20(4m2-4)＞0 ∴-＜m＜ 14 同 步 练 习 莱布尼兹 练4、直线l:x+2y-4=0与椭圆 + = 1(m＞0)有且仅有一个公共点P，则m＝__________，点P的坐标是__________. 解：由 得（5m+1)y2-16my-m2+15m=0 ∵直线与椭圆有且仅有一个公共点 ∴△=(16m)2-4(5m+1)(15m-m2)=0 ∴m=3 ∴4y2-12y+9=0 ∴y = ∴ x = 1 ∴P的坐标是（1， ） 15 典 例 引 路 集合论之父——康托 例5、已知椭圆C: + =1和直线l:y=mx+1，若对任意的m∈R，直线l与椭圆C恒有公共点，则实数b的取值范围是_________ 解:∵直线l:y=mx+1恒过定点(0,1)， ∴要使直线l与椭圆C恒有公共点， 则(0,1)在椭圆内部或在椭圆上， 若椭圆C: + =1是焦点在x轴上的椭圆，则1≤b＜4 若椭圆C: + =1是焦点在y轴上的椭圆，则b＞4 ∴实数b的取值范围是：[1,4)∪(4,+∞) 16 同 步 练 习 无冕的数学之王——希尔伯特 练5、已知椭圆C: + =1,直线l:ax+by-4a+2b=0，则直线l与椭圆C的公共点有_________个. 解：直线l:ax+by-4a+2b=0可化为 a(x-4)+b(y+2)=0 ∴直线l过定点（4，-2） ∵ + ＜1 ∴定点（4，-2）在椭圆内， ∴直线l与椭圆C的公共点有两个. 17 学 习 新 知 拉格朗日 4、直线与椭圆相交时的中点弦 Q P M (1)直线PQ:Ax+By+C=0与椭圆 交 于 P(x1,y1)、Q(x2,y2)两点， 则__________________，___________________ 两式相减，得______________________________________ 又因为M(x0,y0)是弦PQ的中点，所以x0=__________，y0=_________ 所以①可化为____________________________,即____________________ + = 0 ① + = 0 = - Q P F (2)过抛物线的焦点可以作_____________弦， 其中______________________最短，长度为_____, 称为________. 无数 垂直于长轴的弦 通径 18 典 例 引 路 华罗庚 例6、已知椭圆C: =1,若直线l与椭圆相交于不同的两点A，B，且线段AB的中点坐标为(,),则直线l的斜率为__________ 解：设A(x1,y1)、B(x2,y2), 因为线段AB的中点坐标为(,),所以x1+x2=1,y1+y2=1 将点A，B代入椭圆方程可得： 两式相减得 + =0，即 + =0 所以 = - 设直线l的斜率为k，则k= = - 19 同 步 练 习 陈景润 练6、已知椭圆 =1，则以点M(1,1)为中点的弦所在直线方程为_______________ 解:设直线与椭圆的两个交点分别为A(x1,y1)、B(x2,y2) 则x1+x2=2,y1+y2=2 又∵ ∴ +=0,即+ =0 ∴ + =0 ∴ =- 所以直线方程为y-1=-(x-1)即x+2y-3=0 20 典 例 引 路 傅里叶 练7、过椭圆=1 的焦点的最长弦的长为________，最短弦的长为________． 解：过椭圆焦点的最长弦为长轴，其长度为2a=4； 最短弦为垂直于长轴的弦．把x=c=1代入椭圆方程，得y=± 所以最短弦的长为2×=3 21 同 步 练 习 洛必达 练7、已知过椭圆=1(5＞b＞0)的焦点的最短弦长为2，则b=_____________ 解：过椭圆焦点的最短弦即为通径， ∴2×=2 ∴b= 22 学 习 新 知 布 丰 5、直线与椭圆相离，椭圆上的动点到直线的距离的最值 Q P l l1 l2 已知直线l:Ax+By+C=0，椭圆 与直线l平行的直线可设为：_____________ 列方程组_________________________ 令其只有__________解，求出m的两个值， 从而得到椭圆的_____条切线l1、l2。 Ax+By+m=0 计算____________________，即为椭圆上的动点到直线l的距离最小值； 计算____________________，即为椭圆上的动点到直线l的距离最大值； 一组 两 l1与l的距离 l2与l的距离 23 典 例 引 路 贝叶斯 例8、已知椭圆C: =1，直线l:x-y-9=0，则椭圆C上的点P到直线l的距离的最小值为__________ 解：设l1:x-y+m=0，即y=x+m， 与椭圆C的方程联立，得25x2+18mx+9m2-144=0 ∴△=(18m)2-4×25(9m2-144)=0 ∴m=±5 当m=-5时，l1到l的距离为 = 2 当m=5时，l1到l的距离为 = 7 ∴椭圆C上的点P到直线l的距离的最小值为2 24 同 步 练 习 佩雷尔曼 练8、已知P为椭圆=1上一动点，则点P到直线 l:4x-5y+30=0距离的取值范围为____________ 解：设直线n的方程为：4x-5y+m=0 与椭圆C的方程联立得25x2+8mx+m2-225=0 ∴△=(8m)2-4×25×(m2-225)=0 ∴m=±25 ∴当m=25时，直线n到l得距离为 = 当m=-25时，直线n到l得距离为 = ∴点P到直线 l 距离的取值范围为[,] 25 全 课 总 结 一、判断平面内点与椭圆的位置关系 二、计算平面内的点与椭圆上的点的距离的最值 三、判断直线与椭圆的位置关系 四、中点弦 五、椭圆上的点到直线的距离的最值。 26 THANK YOU 谢谢！ 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 27 $