2.1.2椭圆的简单几何性质（第1课时）课件-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

作课人：廉文杰 数学之王——欧拉 北师大版（2019）高中数学 选择性必修第一册 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 第二章 圆锥曲线 第1节 椭圆 1.2 椭圆的简单几何性质 第1课时（共2课时） 1 学 习 目 标 目 标 重 点 难 点 1、掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等性质．　 2、明确椭圆标准方程中a、b、c、e的几何意义，a、b、c、e之间的相互关系．　 3、能利用椭圆的性质解决椭圆的简单问题． 1、掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等性质．　　 1、能利用椭圆的性质解决椭圆的简单问题． 2 新 知 引 入 数学王子——高斯 1、椭圆的定义是什么？ 平面内到两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫做椭圆。 焦点在x轴 焦点在y轴 不同点 标准方程 焦点坐标 相同点 定义 a,b,c的关系 F1 (-c,0),F2(c,0) F1 (0,-c),F2(0,c) |PF1|+|PF2|=2a a2=b2+c2 3 学 习 新 知 欧几里得 （约公元前300年） 《几何原本》 椭圆的简单几何性质 F1 F2 O P A1 A2 B1 B2 由方程可得椭圆上任意一点P(x,y)总满足: , ， ≤ ≤ 范 围 即 椭圆位于四条直线所围成的矩形区域内。 结论： x=a x= - a y= - b y=b 4 学 习 新 知 阿基米德 （公元前287年—公元前212年） 《阿基米德全集》 椭圆的简单几何性质 对称性 点P关于x轴对称的点是______________, 点P关于y轴对称的点是______________, 点P关于原点对称的点是_____________, 设点P是椭圆上任意一点，即 P1(x0,-y0) P2(-x0,y0) P3(-x0,-y0) = = = 椭圆既是关于x轴和y轴的轴对称图形， 也是关于原点的中心对称图形。 5 学 习 新 知 阿波罗尼奥斯 （约公元前200年） 《圆锥曲线论》 椭圆的简单几何性质 F1 F2 O P A1 A2 B1 B2 令x=0,则y=________ 所以B1坐标为________, B2坐标为__________ ±b (0,b) (0, - b) 令y=0,则x=________ 所以A1坐标为________, A2坐标为__________ ±a (-a,0) (a,0) 顶 点 (-a,0)、(a,0)、(0,b)、(0, - b)称为椭圆的四个顶点。 线段A1A2叫作椭圆的__________;线段B1B2 叫作椭圆的___________ a叫作椭圆的_____________，b叫作椭圆的_____________ 长轴 短轴 长半轴长 短半轴长 6 学 习 新 知 拉格朗日 椭圆的简单几何性质 规定椭圆的焦距与长轴长度的比叫作椭圆的离心率，用e表示。即 e = (0＜e＜1). 离心率是刻画椭圆扁平程度的量。 离心率 注意：1、 2、 3、 4、 5、 e越接近于1，椭圆就越扁。 e越接近于0，椭圆就越接近于圆。 当a=b时，它的方程为，这时c=0， 两个焦点重合，图形变为圆。 O 两个不同的椭圆可能离心率相同。 7 学 习 新 知 韦 达 方程 图形   范围 对称性 顶点 离心率 椭圆的简单几何性质 F1 F2 O A1 A2 B1 B2 -a≤x≤a -b≤y≤b 关于轴，轴，原点对称 A1(-a,0)、A2(a,0) B1(0,b)、B2(0,-b) e = (0＜e＜1) F1 F2 O A1 A2 B1 B2 -a≤y≤a -b≤x≤b 关于轴，轴，原点对称 A1(0,-a)、A2(0,a) B1(-b,0)、B2(b,0) e = (0＜e＜1) 8 典 例 引 路 集合论之父——康托 例1、求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标。 解：将已知方程化为椭圆的标准方程 则 因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是 离心率是 e = 两个焦点分别是(-4,0),(4,0) 椭圆的四个顶点分别是 9 同 步 练 习 无冕的数学之王——希尔伯特 练1、求椭圆9x2+y2=81的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标。 解：将已知方程化为椭圆的标准方程 则6 椭圆的长轴和短轴的长分别是 离心率是 e = 两个焦点分别是(0,6),(0,-6) 椭圆的四个顶点分别是 10 典 例 引 路 柯 西 例2、求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴在x轴上，长轴的长为12，离心率为； (2)经过点P(-6,0)和Q(0,8)。 解：由已知，，得 从而 所以椭圆的标准方程为 解：由椭圆的几何性质可知，P,A分别是椭圆的短轴和长轴的一个端点，于是有 又因为短轴、长轴分别在x轴和y轴上，所以椭圆的标准方程为 11 同 步 练 习 解析几何之父——笛卡尔 练2、求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）焦点在x轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到左顶点的距离为3。 解：依题意得a=2,a+c=3,所以c=1,b== 所以椭圆的方程为 （2）椭圆过点（3,0），离心率 e= 解：若焦点在x轴上，则a=3 ∵e = = ∴ c= ∴b2=a2-c2=9-6=3 ∴椭圆的方程为 若焦点在y轴上，则b=3 ∵e= = = = ∴ a2=27 ∴椭圆的方程为 12 典 例 引 路 牛 顿 例3、已知P为椭圆C: 上任意一点，A(0,1)，则|PA|的最小值为___________ 解：设P（x,y)，则 (-≤y≤) ∴x2 = 3 - ∴ |PA|= === ∴-≤y≤ ∴ y=2时取得最小值 ∴|PA|min== 13 同 步 练 习 庞加莱 练3、点P（x,y）在曲线3x2+4y2=12上运动，则x2-2y的最大值为___________ 解：∵ 3x2+4y2=12 ∴ x2 = 4 - y2 ( - ≤y≤) ∴ x2-2y = 4 - y2 -2y = - (y+)2 + ∴当y = - 时，x2-2y取得最大值，最大值为 14 典 例 引 路 狄利克雷 例4、如图，把椭圆 的长轴AB分成4等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1,P2,P3三个点，F是椭圆的一个焦点，则|P1F|+|P2F|+|P3F|=___________ 解：由题意得，a=5. 设椭圆的右焦点为F＇，连接P3F＇,P2F＇， 由图形对称得，|P1F|=|P3F＇|,|P2F|=|P2F＇|. 由椭圆定义得，|P3F|+|P3F＇|=|P3F|+|P1F|=2a=10 |P2F|+|P2F＇|=10，故|P2F|=5， 所以|P1F|+|P2F|+|P3F| =|P3F＇|+|P3F|+|P2F|=15 15 同 步 练 习 莱布尼兹 练4、如图，把椭圆 的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1,P2 , … ，P7七个点，F是椭圆的左焦点，则|P1F|+|P2F|+…+|P7F|=___________ 解:由题意得，a=5. 设椭圆的右焦点为F2，连接 P1F2,P2F2,P3F2,P4F2,P5F2,P6F2,P7F2， 根据椭圆的对称性，可知 |P1F2|=|P7F|，|P2F2|=|P6F|，|P3F2|=|P5F|， ∴|P1F|+|P2F|+ … +|P7F| =(|P1F|+|P7F|)+(|P2F|+|P6F|)+(|P3F|+|P5F|)+|P4F| =(|P1F|+|P1F2|)+(|P2F|+|P2F2|)+(|P3F|+|P3F2|)+|P4F|=7a=35 16 典 例 引 路 华罗庚 例5、已知椭圆 的左焦点为F,A和B是椭圆上关于x轴对称的两个动点，当△FAB周长最大时，△FAB的面积为______ 解：依题意得:a=4,b=2,c==2 F(-2,0)，E(2,0) △FAB的周长为 |FA|+|FB|+|AB|≤|FA|+|FB|+|AE|+|BE|=4a 当且仅当直线AB经过点E时取等号， 此时AB的方程为x=2,可得|AB|=4 ∴S△FAB = |EF|×|AB|= ×4×4 = 8 F E O A B 17 同 步 练 习 陈景润 练5、椭圆C: 的左右焦点为F1,F2，直线l过原点与椭圆C交于P,Q，则△PQF2面积的最大值为___________ 解：因为椭圆关于原点成中心对称， 所以△OQF2≌△OPF1 ∴S△PQF2=S△POF2+S△OQF2 =S△POF2+S△OPF1 =S△PF1F2 当P为短轴的顶点时,△PF1F2面积最大， 最大值为 ×2×= 18 典 例 引 路 傅里叶 例6、已知椭圆C:(a＞b＞0)的半焦距为c，原点O到经过两点(0,b),(c,0)的直线的距离为c,则椭圆C的离心率为________ 解：经过两点(0,b),(c,0)的直线的方程为 + = 1, 即bx+cy-bc=0 ∴ c = = ∴ a2=9b2，即 a = 3b ∴ c2 = a2-b2 = 8b2,即 c = 2b ∴ e = = 19 同 步 练 习 洛必达 练6、已知椭圆(a＞b＞0)F1,F2分别为椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使得|PF1|-|PF2|=2b，则该椭圆离心率的取值范围为_____________ 解：∵|PF1|-|PF2|≤|F1F2| ∴2b≤2c ∴b≤c ∴c2≥b2=a2-c2 ∴2c2≥a2 ∵c≥a ∴e≥ 又∵0＜e＜1 ∴≤e＜1 20 典 例 引 路 皮 亚 诺 例7、酒泉卫星发射中心将一颗人造卫星送入到距地球表面近地点(离地面最近的点)高度约200km，远地点(离地面最远的点)高度约350km的椭圆轨道(将地球看作一个球，其半径约为6371km)，求椭圆轨道的标准方程.(注：地心(地球的中心)位于椭圆轨道的一个焦点，且近地点、远地点与地心共线) 解：如图，设地心为椭圆轨道右焦点F₂， 近地点、远地点分别为 以直线 为x轴，线段 的垂直 平分线为y轴，建立平面直角坐标系， 则 三点都在x轴上，  | | 所以a=6646,c=75,  从而   所以椭圆轨道的标准方程为  21 同 步 练 习 黎 曼 练7、我国计划发射火星探测器，该探测器的运行轨道是以火星（其半径R=3400km)的中心F为一个焦点的椭圆.如图，已知探测器的近火星点（轨道上离火星表面最近的点）A到火星表面的距离为800km,远火星点（轨道上离火星表面最远的点）B到火星表面的距离为80000km.假定探测器由近火星点A第一次逆时针运行到与轨道中心O的距离为km时进行变轨，其中a,b分别为椭圆的长半轴、短半轴的长，求此时探测器与火星表面的距离（精确到100km) 22 同 步 练 习 佩雷尔曼 解：以O为坐标原点，AB为x轴建立平面直角坐标系。 设所求轨道方程为 (a＞b＞0) 由题意得a+c=800+34,a-c=8+34 解得a=438,c=396,从而b2=a2-c2=35028 故所求轨道方程为 设变轨时，探测器位于P(x0,y0), 则x02+y02=ab≈81975.1, 解得x0≈239.7 所以探测器变轨时与火星表面的距离为 -R=≈187 所以探测器在变轨时与火星表面的距离约为18700km 23 全 课 总 结 方程 图形   范围 对称性 顶点 离心率 椭圆的简单几何性质 F1 F2 O A1 A2 B1 B2 -a≤x≤a -b≤y≤b 关于轴，轴，原点对称 A1(-a,0)、A2(a,0) B1(0,b)、B2(0,-b) e = (0＜e＜1) F1 F2 O A1 A2 B1 B2 -a≤y≤a -b≤x≤b 关于轴，轴，原点对称 A1(0,-a)、A2(0,a) B1(-b,b0)、B2(b,0) e = (0＜e＜1) 24 THANK YOU 谢谢！ 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 25 $