精品解析：陕西省渭南市韩城市2025-2026学年高一第一学期期末学业水平调研题数学试题

2025-2026学年度第一学期高一期末学业水平调研题 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：北师大版必修第一册第一章至必修第二册第一章第5节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 若某省2017年至2024年人均生产总值增速分别为4.49%，6.03%，5.87%，1.06%，6.40%，2.80%，5.90%，5.60%，则该组数据的60%分位数为（ ） A. 5.735% B. 5.60% C. 5.87% D. 5.90% 4. 已知且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 现从①，②，③，④这4个函数中随机抽取2个函数，则恰有1个函数是奇函数的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 若函数有2个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 甲、乙两个扇形的半径相等，圆心角之和为3弧度，扇形面积分别为和，周长分别为和.若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 平面直角坐标系中，若角的终边经过点，且，则下列各式的值一定大于0的是（ ） A. B. C. D. 10. 某省开展慈善文化进机关、进企业、进乡村、进社区、进家庭活动，通过讲座、公益市集、志愿服务等形式，重点帮扶特殊困难群体.现有，，共3场慈善知识竞赛和慰问活动需要安排志愿者，小林从右图中四张同样大小的卡片中随机抽取一张，卡片上的字母代表小林参加的活动场次，例如抽到写有字母的卡片代表小林参加场活动，若抽到写有3个字母的卡片代表小林参加3场活动，则（ ） A. “小林参加场活动”与“小林参加场活动”互斥 B. “小林参加场活动”与“小林参加场活动”相互独立 C. “小林不参加场活动”与“小林不参加场活动”相互独立 D. “小林不参加场活动”与“小林参加场或场活动”相互独立 11. 已知函数，则（ ） A. 为偶函数 B. 的一个周期为 C. 的最大值为 D. 在上单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的终边在第________象限. 13. 已知函数是上的减函数，则的取值范围是________. 14. 已知，则___________ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）化简：. （2）计算：. 16. 已知集合，. （1）当时，求； （2）若，求的取值范围. 17. 已知函数. （1）设的图象恒过点，求点的坐标； （2）试判断的奇偶性，并说明理由； （3）当时，不等式在上恒成立，求的取值范围. 18. 某地区举办“机器人创新大赛”，现从参加该比赛的所有参赛者中随机抽取200名参赛者，将这200名参赛者的比赛成绩（单位：分）按，，，，，分成6组，并绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）求的值； （2）用样本估计总体，估计该地区参加该比赛的所有参赛者比赛成绩的平均数；（每组数据用该区间的中间值作代表） （3）已知落在内比赛成绩的平均数为64.5，方差是14，落在内比赛成绩的平均数是70.5，落在内比赛成绩的方差是4，求落在内比赛成绩的平均数与落在内比赛成绩的方差. 附：若数据的平均数为，方差为，数据的平均数为，方差为，将这两组数据混合在一起得到一组新数据，设新数据的平均数为，则新数据的方差. 19. 定义：给定函数，若存在实数、，且、、有意义时，在定义域内恒成立，则称函数具有“”性质. （1）证明：函数不具有“”性质. （2）判断函数是否具有“”性质.若是，写出、的值；若不是，请说明理由. （3）设定义域为的奇函数具有“”性质，且当时，，若函数，试讨论在上的零点个数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期高一期末学业水平调研题 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：北师大版必修第一册第一章至必修第二册第一章第5节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数定义域求解方法，计算即可. 【详解】， 解得：， 的定义域为. 故选：A 2. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出集合，再利用交集的定义求出. 【详解】因为，则. 故选：B 3. 若某省2017年至2024年人均生产总值增速分别为4.49%，6.03%，5.87%，1.06%，6.40%，2.80%，5.90%，5.60%，则该组数据的60%分位数为（ ） A. 5.735% B. 5.60% C. 5.87% D. 5.90% 【答案】C 【解析】 【分析】将给定数据组由小到大排列，利用百分位数的步骤即可求出第60百分位数. 【详解】将该组数据从小到大排列为1.06%，2.80%，4.49%，5.60%，5.87%，5.90%，6.03%，6.40%， 由8×60%=4.8，得该组数据的60%分位数为第5个数据，即5.87%. 故选：C. 4. 已知且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】由，得或， 由得， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B． 5. 现从①，②，③，④这4个函数中随机抽取2个函数，则恰有1个函数是奇函数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，然后计算从这4个函数中随机抽取2个函数的选法总数，再计算恰有1个函数是奇函数的选法数，最后计算概率即可. 【详解】对于定义域为， 令，则， ， 是奇函数； 对于定义域为， 令，则， ， 是偶函数； 对于定义域为， 令，则， 是非奇非偶函数； 对于定义域为， 令，则， ， 是奇函数， 从这4个函数中随机抽取2个函数，①②、①③、①④、②③、②④、③④，共有种选法, 其中恰有1个函数是奇函数的选法：①②、①③、②④、③④，共有种， 所以，所求概率. 故选：D 6. 若函数有2个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先分析函数在不同区间上的零点情况，根据函数有2个零点确定的取值范围，进而求出的取值范围. 【详解】设函数，因为函数有2个零点，所以有两解. 有两解，即的图象与的图象有2个公共点. 作出的大致图象，如图所示： 由图可知，当时，直线与的图象有2个公共点. 所以的取值范围是. 故选：D 7. 甲、乙两个扇形的半径相等，圆心角之和为3弧度，扇形面积分别为和，周长分别为和.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由甲、乙两个扇形的半径相等，圆心角之和为3弧度，，求出圆心角，，再用半径和圆心角表示，计算即可. 【详解】甲、乙两个扇形的半径相等，圆心角之和为3弧度， 设甲、乙两个扇形的半径均为，圆心角分别为，，弧长分别为，. ， 又， 联立， 解得：，， ，， . 故选：B 8. 已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇偶性定义和求出周期，然后结合已知条件求解可得. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，， 又，所以， 所以，即， 所以是一个周期为4的周期函数， 所以， 因为当时，，所以， 又，所以， 所以. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 平面直角坐标系中，若角的终边经过点，且，则下列各式的值一定大于0的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用三角函数定义计算判断即得. 【详解】由三角函数的定义得，，， ， 由，得. 故选：BD 10. 某省开展慈善文化进机关、进企业、进乡村、进社区、进家庭活动，通过讲座、公益市集、志愿服务等形式，重点帮扶特殊困难群体.现有，，共3场慈善知识竞赛和慰问活动需要安排志愿者，小林从右图中四张同样大小的卡片中随机抽取一张，卡片上的字母代表小林参加的活动场次，例如抽到写有字母的卡片代表小林参加场活动，若抽到写有3个字母的卡片代表小林参加3场活动，则（ ） A. “小林参加场活动”与“小林参加场活动”互斥 B. “小林参加场活动”与“小林参加场活动”相互独立 C. “小林不参加场活动”与“小林不参加场活动”相互独立 D. “小林不参加场活动”与“小林参加场或场活动”相互独立 【答案】BC 【解析】 【分析】由互斥事件的定义即可判断A，由相互独立的定义若，则事件 相互独立即可判断BCD. 【详解】若选到第一张卡片，则小林同时参加3场活动，故A错误. “小林参加A场活动”的概率为，“小林参加B场活动”的概率为， “小林同时参加A场和B场活动”的概率为，因为， 所以“小林参加场活动”与“小林参加场活动”相互独立，故B正确. “小林不参加A场活动”的概率为，“小林不参加B场活动”的概率为， “小林同时不参加A场与B场活动”的概率为，因为， 所以“小林不参加场活动”与“小林不参加场活动”相互独立，C正确. “小林参加场或场活动”的概率为，“小林不参加场活动，参加场或场活动”的概率为， 因为，所以“小林不参加场活动”与“小林参加场或场活动”不相互独立， 故D错误. 故选：BC. 11. 已知函数，则（ ） A. 为偶函数 B. 的一个周期为 C. 的最大值为 D. 在上单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用函数奇偶性的定义可判断A选项；利用函数周期性的定义可判断B选项；利用正、余弦函数的有界性可判断C选项；利用复合函数的单调性可判断D选项. 【详解】对于A选项，函数的定义域为， 对任意的， ，故函数为偶函数，A对； 对于B选项， ， 故不是函数的一个周期，B错； 对于C选项，因为，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 函数在上单调递增， 所以，，则， 所以， 当且仅当时，即当时，函数取最大值，C对； 对于D选项，令，，当时，，， 因为函数在上单调递减，外层函数在时单调递减， 故函数在上单调递增， 函数在上单调递减，外层函数在上单调递增， 故函数在上单调递减， 故函数在上单调递增，D对. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的终边在第________象限. 【答案】四 【解析】 【分析】利用终边相同的角的关系求解. 【详解】， 所以与的终边相同，所以终边在第四象限. 故答案为：四 13. 已知函数是上的减函数，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数和直线的单调性，结合分割点处函数值之间的关系，列出不等式，求解即可. 【详解】依题意得，解得. 故答案为：. 14. 已知，则___________ 【答案】 【解析】 【分析】设，可将原式转化为，再通过分析函数的单调性可知，再代回原式即可得解. 【详解】由题可知，. 设， 则可转化为. 易知与均在上单调递增， 故在上单调递增. 因此由可得， 则有， 解得. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）化简：. （2）计算：. 【答案】（1）1；（2）17. 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式化简计算即得； （2）利用对数的运算性质和指数幂的运算法则计算即得. 【详解】（1）. （2）原式 . 16. 已知集合，. （1）当时，求； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出两个集合，借助数轴求解即可. （2）分，两种情况讨论即可. 【小问1详解】 当时，，所以， 又，所以. 【小问2详解】 当，即时，，此时，符合题意； 当时，，，， 因为，所以或，解得或. 综上，的取值范围为. 17. 已知函数. （1）设的图象恒过点，求点的坐标； （2）试判断的奇偶性，并说明理由； （3）当时，不等式在上恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2）函数是奇函数，理由： 由题意得函数的定义域为， 且， 因为，即， 所以函数是奇函数； （3） 【解析】 【分析】（1）由，代入计算即可求解. （2）根据奇函数定义判定即可； （3）由题意可得，根据函数单调性，计算即可求解， 【小问1详解】 令，则，可得， 故函数的图象恒过点； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时，函数， 不等式在上恒成立， 即当时，， 因为在区间上单调递增， 所以函数在区间上单调递减， 当时，函数有最大值，即， 所以的取值范围为. 18. 某地区举办“机器人创新大赛”，现从参加该比赛的所有参赛者中随机抽取200名参赛者，将这200名参赛者的比赛成绩（单位：分）按，，，，，分成6组，并绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）求的值； （2）用样本估计总体，估计该地区参加该比赛的所有参赛者比赛成绩的平均数；（每组数据用该区间的中间值作代表） （3）已知落在内比赛成绩的平均数为64.5，方差是14，落在内比赛成绩的平均数是70.5，落在内比赛成绩的方差是4，求落在内比赛成绩的平均数与落在内比赛成绩的方差. 附：若数据的平均数为，方差为，数据的平均数为，方差为，将这两组数据混合在一起得到一组新数据，设新数据的平均数为，则新数据的方差. 【答案】（1） （2）72.5 （3）平均数为74.5，方差为32. 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中各组频率之和为1求出. （2）根据平均数公式结合频率分布直方图计算即可. （3）根据平均数和方差公式进行计算即可. 【小问1详解】 由，得. 【小问2详解】 估计该地区参加该比赛的所有参赛者比赛成绩的平均数为. 【小问3详解】 由图可得的频率与的频率之比为， 的频率与的频率之比为. 设落在内比赛成绩的平均数为，则，解得. 落在内比赛成绩的方差， 所以落在内比赛成绩的平均数为74.5，落在内比赛成绩的方差为32. 19. 定义：给定函数，若存在实数、，且、、有意义时，在定义域内恒成立，则称函数具有“”性质. （1）证明：函数不具有“”性质. （2）判断函数是否具有“”性质.若是，写出、的值；若不是，请说明理由. （3）设定义域为的奇函数具有“”性质，且当时，，若函数，试讨论在上的零点个数. 【答案】（1）证明见解析 （2）具有，且， （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）利用“”性质的定义结合指数的运算性质计算即可证得结论成立； （2）根据“”性质可得出关于、的方程组，解之即可； （3）根据“”性质结合奇函数的性质推导出函数是周期为的周期函数，数形结合得出当在不同取值下，函数与在图象的公共点的个数，即可得出结论. 【小问1详解】 假设函数具有“”性质，则存在、使得， 即，所以， 因为是常数，而不是常数，故等式不成立， 所以函数不具有“”性质. 【小问2详解】 函数是否具有“”性质，理由如下： 由题意可知， 整理可得对任意的恒成立， 所以，解得. 【小问3详解】 因为函数具有“”性质，即对任意的，有， 即， 又因为函数为奇函数，故，可得， 故函数是周期为的周期函数，且有， 当时，，则，此时， 当时，，则，此时， 所以当时，， 作出函数在上的图象如下图所示： 当直线过点，则，可得， 当直线过点时，则，可得， 因为，当时，直线与函数在上的公共点个数为， 当时，直线与函数在上的公共点个数为， 当时，直线与函数在上的公共点个数为， 当时，直线与函数在上的公共点个数为， 当时，直线与函数在上的公共点个数为. 综上所述，当时，在上的零点个数为个， 当时，在上的零点个数为个， 当时，在上的零点个数为个， 当时，在上的零点个数为个， 当时，在上的零点个数为个. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $