精品解析：江苏灌南县第二中学高二上学期期末模拟（二）数学试卷

灌南县第二中学高二上学期期末数学模拟（二） 姓名：___________班级：__________ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 点在椭圆上，是的两个焦点，若，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】首先得出椭圆得标准方程，计算出，再由由椭圆定义可知：，代入即可求得. 【详解】椭圆，即， 其中 由椭圆定义可知： 得， 故选：A 2. 已知为虚数单位，复数，则（ ） A. B. 的虚部为 C. D. 在复平面内对应的点在第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】由复数除法运算可求得复数，结合复数的模长、虚部、共轭复数和几何意义依次判断各个选项即可. 【详解】 所以，A错误； 因为，所以虚部为，B错误； ，C错误； 在复平面内对应的点为在第四象限，故D正确. 故选：D 3. 已知向量，满足，，若与的夹角为，则（ ）． A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件和算出答案即可. 【详解】因为，，与的夹角为， 所以，即 故选：D 4. 已知函数，其导函数的图象如图所示，则对于函数的描述正确的是（ ） A. 在上单调递减 B. 在处取得最大值 C. 在处取极小值 D. 在上至少有一个零点 【答案】C 【解析】 【分析】根据图像得的单调性，逐项验证即可求解. 【详解】由图可知：当时，，当时，，当时，，当时，， 所以的减区间为，增区间为，故A错误， 和为极大值点，不能确定的大小，为极小值点，故B错误，C正确；由于与0的大小不确定，故D错误. 故选：C. 5. 圆与圆的公共弦长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先两圆相减求公共弦所在直线方程，再代入弦长公式，即可求解. 【详解】圆与圆，相减得， 圆心到直线的距离，又 则公共弦长为． 故选：C． 6. 已知等差数列的公差，记该数列的前项和为，则的最大值为（ ） A. 66 B. 72 C. 132 D. 198 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列的公差，求得其通项公式求解. 【详解】因为等差数列公差, 所以，则 ， 所以 ， 由 ，得 ， 所以 或12时，该数列的前项和取得最大值， 最大值为， 故选：A 7. 已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案. 【详解】因为，由双曲线的定义可得， 所以，； 因为,由余弦定理可得， 整理可得，所以，即. 故选：A 【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立间的等量关系是求解的关键. 8. 光线沿直线射到直线上, 被反射后的光线所在的直线方程为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】考点：与直线关于点、直线对称的直线方程． 专题：计算题；综合题． 分析：先求出y=2x+11与y=x的交点（-1，-1），然后求出反射光线与X轴的交点（1，0），然后两点确定直线． 解答：解：直线y=2x+1与y=x的交点为（-1，-1）， 又直线y=2x+1与y轴的交点（0，1）被y=x反射后，经过（1，0） 所以反射后的光线所在的直线方程为：= 即 y=x- 故选B． 点评：本题考查与直线关于电、直线对称的直线方程，考查学生发现问题解决问题的能力，是基础题． 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 设抛物线，为其焦点，为抛物线上一点.则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若点到焦点的距离为3，则的坐标为 C. 若，则的最小值为 D. 抛物线的一条弦恰好以为中点，则弦所在直线方程是 【答案】AC 【解析】 【分析】由抛物线的方程及两点距离公式依次判断A、B、C，应用点差法求直线斜率，再由点斜式写出直线方程判断D. 【详解】抛物线，， A，，则，A正确； B，设且，则，得，，B错误； C，因为，所以点在抛物线开口外侧，如下图： 所以，C正确； D，由，则， 而，则，由题意直线的斜率一定存在， 所以，则，可得，D错误. 故选：AC 10. 已知数列的前项和为，且满足，则（ ） A. B. C. 为递减数列 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】令，计算可判断A；当，可得，两式相减可求得通项公式判断B；由，可判断C；利用错位相减法可求得可判断D. 【详解】当时，，故A正确； 当时，，又， 两式相减得，所以， 当时，适合上式，所以，故B错误； 所以， 所以，当时，，所以从第二项起是递减数列，故C错误； ， 所以， 两式相减得 所以，故D正确. 故选：AD. 11. 在平面直角坐标系中，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的焦点坐标是 B. 已知，，若直线与线段有公共点，则 C. 过点，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线的方程为 D. 若圆上恰有3个点到直线的距离等于1，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据抛物线的标准方程写出焦点坐标判断A；数形结合求的取值范围判断B；根据截距的概念判断C；转化为圆心到直线的距离求判断D. 【详解】A：由抛物线的标准方程为，则，故焦点，即为，错误. B：如图： 对直线表示过点且斜率为的直线， 且，， 由直线与线段有公共点，所以或，即或， 所以，正确； C：过点，若截距不为0，令直线为，则，若截距为0，则， 所以所求直线为或，错误； D：“圆上恰有3个点到直线距离等于1”可转化为“圆心到直线的距离等于1”，由，正确. 故选：BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则____________． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】根据导数的定义可知原式等于，通过求导可得结果. 【详解】∵，∴， ∴. 故答案为：. 13. 已知各项都是正数的等比数列中，，，成等差数列，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据等差中项的性质，可得，根据为等比数列，可求得q值，代入所求，即可得答案. 【详解】因为，，成等差数列， 所以，即， 因为为等比数列，且各项都是正数，设公比为， 所以，即， 解得或（舍）， 所以. 故答案为： 14. 若的顶点，的坐标分别是，，顶点在圆上运动，则的重心的轨迹方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】设的重心的坐标是，点的坐标是，根据重心的坐标公式得到，，再由点在圆上运动，即满足圆的方程，从而求出重心的轨迹方程. 【详解】设的重心的坐标是，点的坐标是. 已知点，的坐标分别是，， 则的重心的坐标满足，. 因此有，①. 因为点在圆上运动， 所以点的坐标满足方程， 即满足方程②. 将①代入②，得. 即所求轨迹方程为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知是函数的一个极值点. （1）求的单调区间； （2）求在区间上的最大值. 【答案】（1）减区间为，增区间为 （2）76 【解析】 【分析】（1）求导后根据极值点的定义与满足的关系式求解即可； （2）分析区间内的极大值点与左端点再判断大小即可 【小问1详解】 ，是函数的一个极值点 ， ， ， 令，解得或；令，解得. 所以函数的减区间为，增区间为. 【小问2详解】 由（1），又在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减 函数在的极大值为，又， 函数在区间上的最大值为. 16. 记为等比数列的前项和.已知. （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时，作差变形得，求得公比为4，再利用求得，利用等比数列通项公式求解即可； （2）根据（1）求得，再利用错位相减法求和即可. 【小问1详解】 当时，； 当时，，即， 所以等比数列的公比是4，所以，即，得， 故数列是首项为1，公比为4的等比数列，从而. 【小问2详解】 由（1）知，，故. 则， ， 两式相减得， ， 故. 17. 中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC. （1）求A； （2）若BC=3，求周长最大值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出的形式，进而求得； （2）方法一：利用余弦定理可得到，利用基本不等式可求得的最大值，进而得到结果. 【详解】（1）由正弦定理可得：， ， ，. （2）[方法一]【最优解】：余弦+不等式 由余弦定理得：， 即. （当且仅当时取等号）， ， 解得：（当且仅当时取等号）， 周长，周长的最大值为. [方法二]：正弦化角（通性通法） 设，则，根据正弦定理可知，所以，当且仅当，即时，等号成立．此时周长的最大值为． [方法三]：余弦与三角换元结合 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．由余弦定理得，即．令，得，易知当时，， 所以周长的最大值为． 【整体点评】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题； 方法一：求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值. 方法二采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围进行求解最值，如果三角形是锐角三角形或有限制条件的，则采用此法解决. 方法三巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦函数求最值问题. 18. 已知动点与两个定点，的距离的比是2. （1）求动点的轨迹的方程； （2）直线过点，且被曲线截得的弦长为，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）直接利用条件求出点的轨迹方程，所求方程表示一个圆； （2）直线的斜率分存在与不存在两种情况，当直线的斜率不存在时，检验不满足条件；当直线的斜率存在时，用点斜式设出直线的方程，根据弦长和点到直线的距离公式列出等式即可求出直线的斜率，进而求出直线的方程. 【小问1详解】 设点， 动点与两个定点，的距离的比是， ，即， 则， 化简得， 所以动点的轨迹的方程为； 【小问2详解】 由（1）可知点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 直线被曲线截得的弦长为， 圆心到直线的距离， ①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离是3，不符合条件； ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 所以圆心到直线的距离， 化简得，解得或， 此时直线的方程为或. 综上，直线的方程是或. 19. 已知椭圆上的点到其右焦点的最大距离为3． （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆的左、右顶点分别为，过点的直线与椭圆交于两点（异于）． ①若的面积为，求直线的方程； ②若直线与直线交于点，证明：点在一条定直线上． 【答案】（1） （2）① ；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据已知条件得出的值，进而得出求出椭圆方程； （2）①设直线的方程及，联立椭圆方程，利用韦达定理，表示出弦长，结合点到直线的距离公式和三角形面积公式建立方程求解； ②联立直线得出代数关系式，结合韦达定理构造方程，化简计算求解． 【小问1详解】 椭圆上的点到其右焦点的最大距离为3， ，故， ， 椭圆的方程为； 【小问2详解】 ①设过点的直线方程为，点， 联立，得， 则， 则， 又点到直线的距离， 令，化简整理得 ，，，解得， 直线方程为． ②由①知，， 直线，直线， 联立直线，整理得， 由①知，， ， 即，解得， 点在直线上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 灌南县第二中学高二上学期期末数学模拟（二） 姓名：___________班级：__________ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 点在椭圆上，是的两个焦点，若，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 2. 已知为虚数单位，复数，则（ ） A. B. 的虚部为 C. D. 在复平面内对应的点在第四象限 3. 已知向量，满足，，若与的夹角为，则（ ）． A. 1 B. C. D. 4. 已知函数，其导函数的图象如图所示，则对于函数的描述正确的是（ ） A. 上单调递减 B. 在处取得最大值 C. 在处取极小值 D. 在上至少有一个零点 5. 圆与圆的公共弦长为（ ） A B. C. D. 6. 已知等差数列的公差，记该数列的前项和为，则的最大值为（ ） A. 66 B. 72 C. 132 D. 198 7. 已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 光线沿直线射到直线上, 被反射后的光线所在的直线方程为 A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 设抛物线，为其焦点，为抛物线上一点.则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若点到焦点的距离为3，则的坐标为 C. 若，则的最小值为 D. 抛物线的一条弦恰好以为中点，则弦所在直线方程是 10. 已知数列的前项和为，且满足，则（ ） A B. C. 为递减数列 D. 11. 在平面直角坐标系中，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的焦点坐标是 B. 已知，，若直线与线段有公共点，则 C. 过点，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线的方程为 D. 若圆上恰有3个点到直线的距离等于1，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则____________． 13. 已知各项都是正数的等比数列中，，，成等差数列，则______． 14. 若顶点，的坐标分别是，，顶点在圆上运动，则的重心的轨迹方程为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知是函数的一个极值点. （1）求的单调区间； （2）求在区间上的最大值. 16. 记为等比数列的前项和.已知. （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和. 17. 中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC. （1）求A； （2）若BC=3，求周长的最大值. 18. 已知动点与两个定点，的距离的比是2. （1）求动点的轨迹的方程； （2）直线过点，且被曲线截得的弦长为，求直线的方程. 19. 已知椭圆上的点到其右焦点的最大距离为3． （1）求椭圆方程； （2）设椭圆的左、右顶点分别为，过点的直线与椭圆交于两点（异于）． ①若的面积为，求直线的方程； ②若直线与直线交于点，证明：点在一条定直线上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $