精品解析：山西省咸阳市高新一中2025-2026学年高二上学期期末数学试题

高二数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自已的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效. 3.考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存.满分150分，考试用时120分钟. 一、单选题(本题共8小题，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 已知圆心为的圆与x轴相切，则该圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 2. 等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 3. 已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 函数，则函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 5. 已知为坐标原点，过抛物线焦点的直线与交于两点，其中在第一象限，若，的面积为，则（ ） A. 2 B. C. D. 6. 已知函数，若函数在处取得极小值，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 过作函数的切线恰好能作两条，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列满足：，，下列说法正确是（ ） A. 数列单调递增 B. 存在，使得 C. 的最小值为 D. 二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分) 9. 已知等差数列的前项和为，若，则下列一定为负数的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知双曲线的左右焦点分别为，过左焦点作直线交双曲线的渐近线于点（点在轴的右侧），若为直角三角形，则双曲线的离心率可能为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 11. 已知函数，若关于的方程恰有三个不同实根且满足，则下列说法正确的有（ ） A. 极小值为 B. C. 为定值 D. 的取值范围为 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12. 函数在处切线方程为___________ 13. 已知数列满足，则数列的通项公式为___________ 14. 设直线系，且，则在矩形区域内，直线系包络线外部的面积为___________ 四、解答题(本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题每题15分，第18、19小题每题17分，共77分.解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. 已知等比数列的前项和为，已知，且的公比 （1）求数列的通项公式 （2）令，数列前项和为，求证： 16. 在四棱锥中，平面，，，，，为的中点. （1）求证：平面 （2）求平面与平面所成夹角的余弦值 17. 已知函数令 （1）当时，求的单调区间及最值 （2）①讨论在上的单调性； ②当时，函数对任意的恒成立，求的取值范围？ 18. 已知数列满足：对任意的，，，正项递增等差数列中，为与的等比中项， （1）求、； （2）若对数列、，在与之间插入个，组成一个新数列，令的前项和为，求使得成立的的最小值； （3）令，求 19. 已知椭圆的长轴为8，动圆的圆心在直线上运动，半径为，过椭圆上一点作圆的两条切线（点在圆外），交椭圆于另一个交椭圆于另一个，设的斜率分别为 （1）求椭圆的标准方程 （2）①求证：为定值；②过点作直线的垂线，垂足为，求点到直线的距离的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自已的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效. 3.考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存.满分150分，考试用时120分钟. 一、单选题(本题共8小题，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 已知圆心为的圆与x轴相切，则该圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由圆心到x轴的距离求得圆的半径，由此得到该圆的标准方程. 【详解】因为圆心为的圆与x轴相切，而圆心到x轴的距离为， 所以该圆的半径为，故该圆的标准方程为. 故选：B. 2. 等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的项的性质与前项和的公式计算即得. 【详解】因数列是等差数列，由可得， 故 故选：B. 3. 已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的离心率求出，即得其渐近线方程. 【详解】由题意，的渐近线方程为， 由解得， 即双曲线的渐近线方程为. 故选：C. 4. 函数，则函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求导，根据，解不等式计算即可求解. 【详解】求导可得， 令，则，解得， 所以函数的单调递增区间为. 故选：C 5. 已知为坐标原点，过抛物线焦点的直线与交于两点，其中在第一象限，若，的面积为，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据焦半径公式求出点的横坐标，代入抛物线方程得到纵坐标，根据的面积为，列式即可求出答案. 【详解】设点， 根据焦半径公式可得，所以， 由于在第一象限，则， 由题意得， 解得. 故选：D. 6. 已知函数，若函数在处取得极小值，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对函数求导，根据的取值分成，和三类情况，讨论函数的单调性，根据极值情况分析判断即得. 【详解】因的定义域为， 求导得， 若，则，由可得，由，可得， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 即函数在处取得极小值，符合题意； 若，则由可得或，由，可得， 故函数在上单调递增，在上单调递减， 故函数在处取得极小值，符合题意； 若，则，函数在上单调递增，无极值点，不合题意； 若，则由可得或，由，可得， 即此时函数在上单调递增，在上单调递减， 故函数在处取得极大值，不合题意. 综上可得，实数的取值范围为. 故选：A. 7. 过作函数的切线恰好能作两条，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设切点为，求出切线方程，代入点，得，将问题转化成函数与函数有两个不同的交点，求导判断函数的单调区间，作出其图象，结合题意即可求得参数的取值范围. 【详解】设切点为，由求导得，则切线的斜率为，故切线方程为， 因切线经过点，则得，化简得，显然，则得， 又因过作函数的切线恰好能作两条，即函数与函数有两个不同的交点. 的定义域为，函数求导得， 则当时，，当时，，当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减，且， 当时，，当时，，当时，，当时，. 作出函数的图象如下： 由图知，过作函数切线恰好能作两条等价于或，解得或. 故选：D. 8. 已知数列满足：，，下列说法正确的是（ ） A. 数列单调递增 B. 存在，使得 C. 的最小值为 D. 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，作差得，构造函数，证明，再说明不符合题意即可证明，即可判断；对于B，利用反证法即可判断；对于C，，构造函数，判断的单调性，结合数列的单调性和的范围即可判断；对于D，利用的单调性即可判断. 【详解】选项A，，则， 令，，令，解得， 当时，，此时函数在上单调递增， 当时，，此时函数在上单调递减， 所以，即，当且仅当时，等号成立， 当时，，此时数列为常数列，则，与题干信息不符，故， 故，所以数列单调递减，故A错误； 选项B，假设存在，使得， 当时，，显然不成立， 当时，， 若，即，解得， 同理，，，，， 又，所以假设不成立，故B错误； 选项C，，令， ，令，解得， 当时，，此时函数在上单调递增， 当时，，此时函数在上单调递减， 由A知，数列单调递减，则的最大值为， 由B知，，又，所以， 由单调性可知，当时，取得最小值，故C正确； 选项D，，， 由AB知，，由C知，在上单调递减， 所以，即，故D错误. 故选：C. 二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分) 9. 已知等差数列的前项和为，若，则下列一定为负数的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据等差数列的前项和的基本量运算逐一判断即可. 【详解】由可得，故A正确； 又，因，，则，不能判断该项的正负，故B不合题意； 因，故C正确； 对于D，，因，故，即D正确. 故选：ACD. 10. 已知双曲线的左右焦点分别为，过左焦点作直线交双曲线的渐近线于点（点在轴的右侧），若为直角三角形，则双曲线的离心率可能为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意，分和两种情况，第一种情况时，将直线与联立求出点坐标，由推得，即可求得离心率；第二种情况，由题意易得，代入推理可得，即可求得离心率. 【详解】由题意，当时，如图1所示. 双曲线的一条渐近线方程为， 由，解得，即， 由可得， 化简得，即，故； 当时，如图2所示，因，则，代入，可得， 将点代入，可得，化简得， 则. 综上，双曲线的离心率可能为2或. 故选：AD. 11. 已知函数，若关于的方程恰有三个不同实根且满足，则下列说法正确的有（ ） A. 的极小值为 B. C. 为定值 D. 的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用导数直接求解函数极小值，判断选项A，根据函数图像，利用方程的根与图像交点转化，即可判断选项B，根据三次方程的韦达定理，化简即可判断选项C，构造函数，利用导数即可求出函数值域，判断选项D. 【详解】因为， 所以， 所以或时，，单调递增 当时，，单调递减， 所以的极小值为，A正确； 又，所以可得的图像如下， 则要使与图像有三个交点，则，B错误； 因为方程恰有三个不同实根且满足， 所以是即的三个实根， 所以， 所以， 所以，C正确； 由上式知，， 且，所以，， 令，， 所以， 所以时，，单调递增， 又，所以， 即的取值范围为，D正确. 故选：ACD 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12. 函数在处的切线方程为___________ 【答案】2 【解析】 【分析】先求出导数得出切线斜率，再点斜式得出切线方程. 【详解】因为函数，所以， 所以切线斜率为，且， 所以在处的切线方程为，即. 故答案为：. 13. 已知数列满足，则数列的通项公式为___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意,可得，令，则，再结合等差数列的定义求解即可. 【详解】∵，等式两边同除以，可得， ∴，又， ∴是以2首项，1为公差的等差数列， ∴， ∴，即. 故答案为：. 14. 设直线系，且，则在矩形区域内，直线系的包络线外部的面积为___________ 【答案】4 【解析】 【分析】先分析直线系的性质，确定其围成的图形，再结合给定的的取值范围，计算出阴影部分面积. 【详解】到直线的距离为， 又，， 故直线系所围成的图象是以为圆心，为半径的圆， 又，故所围成的阴影部分面积为. 故答案为：. 四、解答题(本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题每题15分，第18、19小题每题17分，共77分.解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. 已知等比数列的前项和为，已知，且的公比 （1）求数列的通项公式 （2）令，数列的前项和为，求证： 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设等比数列的首项为，公比为，由题意得方程组计算即可求解； （2）由题意可得，根据裂项相消法计算即可得证. 【小问1详解】 设等比数列的首项为，公比为， 由题意得， 解得或， 因为，所以，代入可得， 所以； 【小问2详解】 ， 则， . 16. 在四棱锥中，平面，，，，，为的中点. （1）求证：平面 （2）求平面与平面所成夹角的余弦值 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，证明四边形为平行四边形，从而得到，利用线面平行的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用向量法即可求解. 【小问1详解】 取的中点，连接， 因为分别为的中点，故，且， 又，且，则且， 则四边形为平行四边形，故， 又平面，平面，故平面. 【小问2详解】 由题意得，所以， 又因为，所以， 又因为平面，平面， 所以，， 以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系， ，，，，， 所以，，，， 设平面的法向量为， 则，令，则，， 则， 设平面的法向量为， 则，令，则，， 则， 设平面与平面所成夹角为， 则， 即平面与平面所成夹角的余弦值为. 17. 已知函数令 （1）当时，求的单调区间及最值 （2）①讨论在上的单调性； ②当时，函数对任意的恒成立，求的取值范围？ 【答案】（1）单调减区间为；单调增区间；最小值为0，无最大值 （2）①答案见解析；② 【解析】 【分析】（1）直接求导得，分析其单调性即可得到最值； （2）①求导得，再对分和讨论即可； ②分析的单调性即可得到其最值，则得到关于的不等式，解出即可. 【小问1详解】 当时，，，， 令， 当，，在单调递减； 当，，在单调递增， 所以其单调增区间为，单调减区间为， 所以，无最大值. 【小问2详解】 ①， ，， 当，，所以在上单调递增， 当，，当时，； 当，， 故在上单调递减，在上单调递增. ②当时，由①可知在上单调递增，且， 故当，； 当，故在上单调递减，在上单调递增， 故，所以. 18. 已知数列满足：对任意的，，，正项递增等差数列中，为与的等比中项， （1）求、； （2）若对数列、，在与之间插入个，组成一个新数列，令的前项和为，求使得成立的的最小值； （3）令，求 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分析可知数列是等比数列，确定该数列的首项和公比，可得出数列的通项公式，即可得出数列的通项公式；设等差数列的公差为，根据题意可得出，结合题意可得出关于的方程，解出的值，即可得出数列的通项公式； （2）将新数列进行分组：与个分为组，假设前组共有项，求出的表达式，令，分析数列的单调性，结合以及可得出的最小值； （3）求出的表达式，计算得出，可得出，令，利用错位相减法可求得的表达式，即为所求. 【小问1详解】 对任意的，，所以，又， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即， 设等差数列的公差为， 因为为与的等比中项，，由可得， 整理可得，解得或， 又因为等差数列递增，故， 所以. 【小问2详解】 将新数列进行分组：与个分为组， 则前组中包含中的前项，以及个， 假设一共有项，则 ， 令， 则，故单调递增， 当时，，当时，， 此时，即， 故使得的最小的值为. 【小问3详解】 由题意可得， 对任意的，， 所以， 令①， 则②， ①②：， 所以， 所以. 19. 已知椭圆的长轴为8，动圆的圆心在直线上运动，半径为，过椭圆上一点作圆的两条切线（点在圆外），交椭圆于另一个交椭圆于另一个，设的斜率分别为 （1）求椭圆标准方程 （2）①求证：为定值；②过点作直线的垂线，垂足为，求点到直线的距离的最大值． 【答案】（1） （2）①证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的长轴长和经过的点坐标求出，进而可求出椭圆方程. （2）①先列出直线的方程，列出圆心到直线的距离表达式，化简，结合韦达定理即可证明结论；②设直线，联立直线与椭圆方程，化简，根据①的结论，结合韦达定理求解计算即可. 【小问1详解】 由题意得，即椭圆方程为，将代入， 即，则椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 ①设圆心为，直线，直线， 将合并设为，则圆心到直线的距离 ，平方得： ，则， 且，由韦达定理：. ②设直线，联立， 得，所以， 由①可得：， 所以， 所以， 将代入，得， 化简得，即， 所以或. 当时，直线，过，舍去； 当时，直线， 此时直线过定点，则的轨迹是以的中点为圆心， 为半径的圆，其标准方程为：， 点到直线的距离为，故点到直线的距离的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $