宁夏平罗中学2025-2026学年高三上学期第一次适应性考试（期末）数学试题

平罗中学2025-2026学年度第一次适应性考试试题 高三数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A C D C B C B 题号 9 10 11 答案 BCD ACD BC 12． 13． 14． 15.【详解】（1）因，则， 又，所以，……………………4分. 从而，则是以为首项，公比为4的等比数列.………………6分. （2）由（1）可得：.…………………8分. 则 …………………11分. .……………………13分. 16.【详解】（1）未参加过培训的90人中, 心理健康和有心理障碍的人数之比为， 故分层抽样抽取的5人中，心理健康和有心理障碍的人数分别为和， X的可能取值为0,1,2，……………………3分. ，，，………………6分. 故分布列为 0 1 2 数学期望为；……………………9分. （2）， 故有95％的把握认为心理健康与参与培训有关.……………………15分. 17.【详解】（1）如图，连接，      由题意易得为的中点，，所以， 又因为平面，所以平面， 因为平面，所以．……………………4分. （2）以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，过点作平面，建立如图所示的空间直角坐标系，    由已知可得，因为，所以是等边三角形， 则，……………………6分. 所以． 设平面的法向量为，……………………8分. 则，即，令，则， 所以平面的一个法向量为，……………………10分. 设平面的法向量为，则，即， 令，则，所以平面的一个法向量为，……………………12分. 设二面角的平面角为，则， 所以，故二面角的正弦值为．…………………15分. 18.【详解】（1）解：椭圆和双曲线的焦距相同，． 将代入椭圆方程：可得． 或（舍），故所求椭圆方程为：……………………5分. （2）解：如图1，不妨设，则． ，易知， ，当且仅当，即时等号成立．………………10分. （3）解：不妨设直线联立可得 ，可知直线． 同理可得：可知直线．……………………13分. 可知：． ，解得.……………………17分. 19.【详解】（1）由，，得 因为，则，即 所以在区间递减，即值域为……………………5分. （2）在区间上，由恒成立，得， 设，当时，，故只需研究时的情形 ，设，…………………8分. 在区间上，， 所以，在区间上递减，所以，……………………10分. 即在区间上递减，所以， 所以，解得，故的最小值为1.……………………12分. （3）由，，得即， 所以 由（1）可知，当时，，即， 所以当，，. 当时，有，……………………14分 又由（2）知时，，所以 所以，故， 所以 所以.……………………17分. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 平罗中学2025-2026学年度第一次适应性考试试题 高三数学 一､单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分. 每道题只有一个选项符合题目要求.） 1．复数（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3．立德中学高三某班有男生人，女生人.在某次数学定时练习中，男生的平均分为分，女生的平均分为分，则该班本次数学成绩的平均分为（    ） A． B． C． D． 4．定义在上的函数满足，当时，则（     ） A． B． C．2 D． 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 6．预测人口变化趋势有多种方法，直接推算法使用的公式是，其中为预测期人口数，为初期人口数，为预测期内人口增长率，为预测期间隔年数，则下列说法不正确的为（     ） A．若在某一时期内，则这期间人口数呈下降趋势 B．若在某一时期内，则这期间人口数呈摆动变化 C．若在某一时期内，则这期间人口数呈上升趋势 D．若在某一时期内，则这期间人口数不变 7．已知双曲线的左､右焦点分别为、，是的渐近线上的一点，点在轴上且为线段的中点.若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，若曲线上任意一点P处切线的斜率非负，则m的最小值为（    ） A． B． C．1 D．e 二、多选题：（每小题6分，共18分. 全部选对得6分，部分选对得部分分，选错的得0分.） 9．已知，且第6项与第7项的二项式系数相等，则（   ） A． B．展开式的二项式系数和为 C．展开式的各项系数和为 D． 10．已知抛物线的焦点，，为抛物线上的两个动点，为线段的中点，，则（ ） A. B. 若，则点到准线的距离为4 C. 的最小值为4 D.若，则 11．已知函数，则（     ） A．在内单调递增 B．当方程有三个不等的实根时， C．当不等式恰有三个不等的正整数解时， D．当过点可作曲线的三条切线时， 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，满分15分.） 12．已知向量，，则 13．已知曲线在处的切线与曲线相切，则 14．已知球内切于正四棱台（即球与该正四棱台的上､下底面以及侧面均相切），且该正四棱台的上､下底面棱长之比为，则球与该正四棱台的体积之比为 四、解答题：（本大题共5小题，每道题应写出必要的演算步骤和解题过程.） 15．已知数列 的首项 且满足 (1)求证: 是等比数列； (2)求数列 的前n项和 16．据国家权威机构统计，中国有3000万青少年具有不同程度的心理障碍，中小学生心理障碍患病率高达21.6％-42％，心理治疗专家表示，现在很多家庭只关注孩子的文化课学习，却往往忽略了青少年时期最重要的人格形成因子-------心理健康的培养和矫正.现随机调查了200名青少年是否参加过心理健康培训及其心理健康问题得到如下结果 参加过培训 未参过培训 合计 心理健康 64 36 100 有心理障碍 46 54 100 合计 110 90 200 (1)从未参加过培训的90人中按心理是否健康分层抽样抽取5人，再从这5人中任选3人做一次心理疏导，求3人中心理健康人数X的分布列和期望. (2)判断是否有95％的把握认为心理健康与参与培训有关. 附 0.150 0.100 0.050 0.010 2.072 2.706 3.841 6.635 17．已知是圆的两条互相垂直的直径，若将圆绕沿顺时针方向旋转一周后得到球，点（异于点）是圆旋转过程中点所形成的轨迹上的一点．   (1)证明：； (2)若，求二面角的正弦值． 18. 已知椭圆和双曲线的焦距相同，且椭圆经过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)如图1，椭圆的长轴两个端点为，垂直于轴的直线与椭圆交于两点（在的上方），记，求证：为定值，并求的最小值； (3)如图2，已知过的动直线与椭圆相交于两点，求证：直线的交点在一条定直线上运动． 19. 设函数. (1)求函数的值域； (2)当时，恒成立，求的最小值； (3)若，证明：. 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $