广东汕头市金山中学2025-2026学年高二第一学期期末考试数学试题

报告查询：登录zhi xue.com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) ■ 回回 2024级高二第一学期期末考试 数学科 姓名： 班级： 考场/座位号： 考号 I 注意事项 1.答题前请将姓名、班级、考场、准考证 号填写清楚。 [o] [0] [0] [o] [o] 2.客观题答题，必须使用2B铅笔填涂，修 [1] [1] [1] [1] [1] 改时用橡皮擦干净。 [2] [2] [2] [2] [2] 3.必须在题号对应的答题区域内作答，超出 [3] [3] [3] 3 [3] 答题区域书写无效。 [4] [4] [4] [5] [5] [5] [5 [6] [6] [6] [6] 6] 正确填涂 ■ 缺考标记 [7] [7] [ [8] [8] 81 [9] [9] [9] [9] [9 客观题(18为单选题；911为多选题 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] T[A][B][C][D] 11[A][B][c][D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 填空题 12. 13. 14. 解答题 15. 囚囚囚■ 第1页共5页 ■ ■ 口 16. 1 D B M B ■ 囚囚■囚 ■ 第2页共5页 报告查询：登录zhi xue.com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) ■ 2024级高二第一学期期末考试 数学科 姓名： 班级： 考场/座位号： 考 号 注意事项 1.答题前请将姓名、班级、考场、准考证 号填写清楚。 o] [o] [o] [o] [o] 2.客观题答题，必须使用2B铅笔填涂，修 [1] [1] 改时用橡皮擦干净 [2] [2] [2] 3.必须在题号对应的答题区域内作答，超出 [3] [3] [3] [31 答题区域书写无效。 [4] [4] [4] [4 正确填涂 缺考标记 口 [7j I [81 [91 [9] [91] [91 [91 17. I I I ㄖ囚■■ 第3页共5页 ■ a ▣ 18. y个 M ■ 囚■囚囚 a 第4页共5页 ▣ 报告查询：登录zhixue.com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) a 2024级高二第一学期期末考试 数学科 姓名： 班级： 考场/座位号： 号 注意事项 1.答题前请将姓名、班级、考场、准考证 号填写清楚。 [o] [o] [o] 2.客观题答题，必须使用B铅笔填涂，修 [] [1] [ [ 改时用橡皮擦干净。 [2] [2] 3.必须在题号对应的答题区域内作答，超出 DS国 答题区域书写无效。 周 [5] [51 [6] 正确填涂 缺考标记 ▣ 23E9E0 [9] [9] [9] [91 [9] 19. I 1 1 囚■囚■ 第5页共5页 期末考试详解版 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.集合，则(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：因为，， 所以 ． 故选：． 2.已知复数满足，则(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：由 ，可得， 所以 ． 故选：． 3.已知双曲线的虚轴长为实轴长的倍，则的离心率为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：由题意知，即， 双曲线离心率为， 故选D． 4.已知点，，，则在上的投影向量的坐标为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查向量的坐标运算和投影向量的概念，属于基础题． 先求出，，利用在方向上的投影向量为即可求解． 【解答】解：由点，，，得，， 所以在方向上的投影向量为 ． 故选C． 5.已知，，且，则的最小值是(     ) A. B. C. D. 【答案】  【解析】【分析】 本题考查由基本不等式求最值或取值范围，属于基础题． 根据题意，分析可得，结合基本不等式的性质分析可得答案． 【解答】 解：根据题意，若，，且， 则， 当且仅当时，等号成立，故的最小值是． 故选：． 6.已知等差数列和的前项和分别为、，若，则(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题主要考查等差数列前项和的性质，等差数列的前项和公式，，属于中等题． 计算出，由等差数列的性质得，，从而得到答案． 【解答】 解：因为等差数列和的前项和分别为、，满足， 所以， 又，故， 故选：． 7.已知圆上到直线的距离为的点有且仅有个，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：由题的圆心为，半径为． 圆心到直线的距离为 与直线距离为的平行线有两条： 外侧平行线：，圆心到该线的距离为． 内侧平行线：，圆心到该线的距离为． 圆与这两条平行线的相交情况： 当时，圆与外侧平行线相交于两点，与内侧平行线也相交于两点，总共有个点不符合条件； 当时，圆与外侧平行线相切，有一个点，与内侧平行线相交于两点，总共有个点不符合条件； 当时，圆与内侧平行线相交于两点，与外侧平行线不相交，总共有个点，符合条件； 当时，圆与内侧平行线相切，有一个点，与外侧平行线不相交，总共有个点，不符合条件； 当时，圆与两条平行线都不相交，没有点，不符合条件． 因此，的取值范围是， 故选B． 8.已知函数，关于的方程有个不同的实数根，则实数的取值范围是(    ) A. B. C.   D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查根据方程根的个数求解参数范围，属于难题． 利用分段函数的解析式，作出的图象，将方程有个不同的实数根，转化为方程必有一正一负两个根，即可得到，，再根据函数的性质计算可得． 【解答】 解：因为，函数图象如下所示： 要使关于的方程有个不同的实数根，即有个不同的实数根， 令，，， 则或或 因为，所以， 所以方程必有一正一负两个根，所以 且， 所以， 函数在上单调递增，当时，， 所以，即 故选：． 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知函数，则 A. 函数的图象关于点对称 B. 函数的图象关于直线对称 C. 若，则函数的值域为 D. 函数的单调递减区间为 【答案】AD  【解析】【分析】 本题考查的知识要点：正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题． 直接利用正弦型函数的性质的应用判断、、、的结论． 【解答】 解：已知函数， 对于：当时，，故A正确； 对于：当时，，故B错误； 对于：由于，故，故． 故的值域为，故C错误； 对于：令，整理得， 函数的单调递减区间为故D正确． 故选：． 10.已知数列满足，则(    ) A. B. 的前项和为 C. 的前项和为 D. 的前项和为 【答案】AD  【解析】【分析】 本题考查数列的递推式和等差数列的通项公式、求和公式，属于中档题． 由数列的递推式推得，可判断；由等差数列的求和公式可判断；由并项求和可判断；由等差数列的求和公式可判断． 【解答】 解：当时，；当时，由，可得， 即有对也成立，故A正确； 的前项和为，故B错误； 的前项和为，故C错误； ，可得的前项和为，故D正确． 故选：． 11.如图，棱长为的正方体中，，分别为棱，的中点，为面对角线上一个动点，则下列选项中正确的有(    ) A. 三棱锥的体积为定值 B. 无论点在线段的什么位置，都有平面平面 C. 线段上存在点，使平面平面 D. 为上靠近的四等分点时，直线与所成角最小 【答案】ABD  【解析】【分析】 本题考查直线与直线所成角的向量求法，面面平行的向量表示，棱锥的体积，面面平行的判定，面面垂直的判定，二次函数的最值，面面平行的性质，属于中档题． 利用锥体的体积公式可判断选项的正误；选项B，根据条件，可得面，利用面面垂直的判定定理可得平面平面，即可作出判断，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断和选项的正误． 【解答】 解：对于选项A，因为平面平面，平面， 所以点到平面的距离等于， 所以的面积为 ， 所以 ，故A正确； 对于选项B，连接，， 易知平面， 所以， 又，分别为棱，的中点， 所以，又， 所以，又， 所以平面，又面， 所以平面平面，故选项B正确； 对于选项C，以为坐标原点，，，所在直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， ，，， ，， 、， 设平面的法向量为， ，， 由， 令，得， 故平面的一个法向量为， 设， 可得点，其中， 则， 所以， 解得， 所以平面与平面不平行，故C错误， 对于选项D，由选项C知： ，， 设直线与所成角为， 则 ， 当时，取得最大值， 此时最小，故D正确． 故选：． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.抛物线的顶点到焦点的距离为，则           ． 【答案】  【解析】解：因为抛物线的顶点到焦点的距离为，故，故． 故答案为． 13.已知为等比数列的前项和，，，则的值为           ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查等比数列的前项和，属于基础题． 根据题意，可得，计算可得答案． 【解答】 解：根据题意，设等比数列的公比为， 若，即， 又由，则， 可得， 则， 故答案为：． 14.是双曲线右支在第一象限内一点，，分别为其左、右焦点，为右顶点，如图圆是的内切圆，设圆与，分别切于点，，当圆的面积为时，直线的斜率为            ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查双曲线的定义，考查三角函数二倍角公式，考查直观想象和数学运算的核心素养，属于难题． 先根据定义得到点即为圆与轴的切点，再求出，再利用求出即可得到直线的斜率． 【解答】 解：设圆与轴相切于， 由题意可知，，， 所以， 则， 即， 所以点即为圆与轴的切点， 设圆的半径为，因为圆的面积为，则， 因为，所以， 于是， 因为是的角平分线， 所以， 所以，即直线的斜率为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 等比数列中，已知，． Ⅰ求数列的通项公式； Ⅱ若，分别为等差数列的第项和第项，求数列的通项公式及前项和． 【答案】解：Ⅰ设的公比为， 由已知得，解得， 故； Ⅱ由Ⅰ得，，则，， 设的公差为，则有， 解得， 从而； 所以数列的前项和．  【解析】本题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力，考查归化与转化思想． Ⅰ由，直接求出公比再代入等比数列的通项公式即可； Ⅱ利用题中条件求出，，又由数列是等差数列求出，再代入求出通项公式及前项和． 16.本小题分 如图，已知直四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中．是的中点，是的中点．   求证平面； 求平面与平面的夹角余弦值； 求点到平面的距离． 【答案】证明：取中点，连接，， 由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且， 则有、， 故四边形是平行四边形，故， 又平面，平面， 故平面； 解：以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 有、、、、、， 则有、、， 设平面与平面的法向量分别为、， 则有 分别取，则有、、，， 即、， 则， 故平面与平面的夹角余弦值为； 解：由，平面的法向量为， 则有， 即点到平面的距离为．   【解析】本题考查线面平行的判定，考查平面与平面所成交的向量求法，点面距离的向量求法，属于中档题． 取中点，连接，，借助中位线的性质与平行四边形性质可得，结合线面平行判定定理即可得证； 建立适当空间直角坐标系，计算两平面的空间向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得解； 借助空间中点到平面的距离公式计算即可得解． 17.本小题分 已知数列的前项和为，，． 证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； 求数列的前项和为； 若对任意恒成立．求实数的取值范围． 【答案】解：由，则，又， 所以数列是首项、公差均为的等差数列，则， 所以． 由，则， 所以， 所以． 由，则，整理得恒成立， 令，则， 当时，当时，当时， 所以，即的最小值为， 综上，．   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 18.本小题分 如图，已知椭圆过点，焦距为，斜率为的直线与椭圆相交于异于点的，两点，且直线，均不与轴垂直． 求椭圆的方程； 若，求的方程； 记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值． 【答案】解：由题意得，解得， 故椭圆的方程为． 设直线的方程为，，， 联立，消去得， 由，得， 则． ， 解得或， 当时，直线的方程为； 当时，直线经过点，不符合题意，舍去． 所以当时，的方程为． 证明：直线，均不与轴垂直，所以，，则且， 所以 ， 所以为定值．  【解析】本题考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系及其应用，椭圆中的定值问题，属于较难题． 根据条件列方程组求解即可； 设直线的方程为，与椭圆方程联立，由弦长公式求得的方程； 将韦达定理代入中计算结果，即可判定为定值． 19.本小题分 若函数满足：对任意的正数，，都有，则称函数为“函数”． 分别判断函数和函数是否为“函数”，并说明理由； 若函数为“函数”，，且当时，，证明： ，； ，． 【答案】对于，取， 则，． 因为，不满足， 故不是“函数”； 对于，对任意的正数，， 有 ， 因为，则，所以函数是“函数”． 令，， ， ． 因为当时，， 所以对任意，有， 又，则， 又， 所以， 由知，则， 所以， 则， 故．   【解析】详细解答和解答过程见【答案】 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $2024级高二第一学期期末考试数学试卷 命题：高二数学备课组 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1.集合M={x2x-1>5),N={1,2,3},则MnN=() A.{1,2,3} B.{2,3} C.3 D.中 2.已知复数z满足i·z+2=2i,则z=() A.V2 B.2W2 C.4 D.8 3.已知双曲线C的虚轴长为实轴长的V7倍，则C的离心率为() A.V2 B.2 C.√7 D.2v2 4.已知点A(1,0),B(0,2),C3,2),则AB在AC上的投影向量的坐标为() A(-2) B.(2-) c.(2) D.(-2-) 5.已知x>0,y>0,且+=1，则x+2y的最小值是( X1 A.7 B.8 C.9 D.10 6已知等差数列a和，尚前n项和分别为5、T:号节哈=（） A出 B昭 c罗 D器 7.已知圆x2+(y+2)2=2(r>0)上到直线y=V3x+2的距离为1的点有且仅有2个，则r的取 值范围是() A.(0,1) B.(1,3) C.(3,+) D.(0,+o) 8.已知函数f(x)= g。。0,关于x的方程P=m四+1有4个不同的实数根，则实 lx+2,x≤0 数m的取值范围是() A(1) B(∞，引 c.(1 D.(∞，-引 第1页，共4页 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知函数f(x)=2sin(2x-),则() A.函数f)的图象关于点（侣，0）对称 B函数f)的图象关于直线x=号对称 c.若xe[o, ,则函数f(x)的值域为[-√3，V3 D.函数f,)的单调递减区间为kn+亚，km+](keZ刀 10.已知数列{an满足a1+2a2+…+2n-1am=n·2n,则() A.an =n+1 B.{anJ的前n项和为n+2) 2 C.{(-1)"a,}的前100项和为100 D.{a-5l}的前30项和为357 11.如图，棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别为棱A1D1,AA1的中点，G为面对角 线B1C上一个动点，则下列选项中正确的有() D E B D B A.三棱锥A1一EFG的体积为定值 B.无论点G在线段B1C的什么位置，都有平面EFG⊥平面A1B1CD C.线段B1C上存在G点，使平面EFG/平面BDC1 D.G为B1C上靠近B1的四等分点时，直线EG与BC1所成角最小 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.抛物线y2=2px(p>0)的顶点到焦点的距离为3，则p=__ 13.已知Sn为等比数列{an}的前n项和，S5=5,S10=15,则a16+a17+a18+a19+a20的值为 第2页，共4页 14.P是双曲线-上=1右支在第一象限内一点，F1,F2分别为其左、 45 右焦点，A为右顶点，如图圆C是△PF1F2的内切圆，设圆与PF1,PF2 分别切于点D,E,当圆C的面积为4π时，直线PF2的斜率为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题13分) 等比数列{an}中，已知a1=2,a4=16. (I)求数列{a}的通项公式： (IⅡ)若a3,a5分别为等差数列bn}的第3项和第5项，求数列bn}的通项公式及前n项和Sn· 16.(本小题15分) 如图，己知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AB/CD,A1A1平面ABCD,AD⊥AB, 其中AB=AA1=2,AD=DC=1.N是B1C1的中点，M是DD1的中点. A B B (1)求证D1N/平面CB1M; (2)求平面CB1M与平面BB1CC1的夹角余弦值： (3)求点B到平面CB1M的距离， 第3页，共4页 17.(本小题15分) 己知数列{am}的前n项和为Sn,an+1=2an+2”(n∈N),a1=1. (1)证明：数列贸为等差数列，并求数列[a,的通项公式： (2)求数列{a的前n项和为Sn: (3)若Sn≤2a,-4n-1对任意n∈N*恒成立，求实数的取值范围. 18.(本小题17分) 如图，已知椭圆c: y2 之+京=1(a>b>0)过点P(3,1),焦距为4W2,斜率为-的直线与椭圆C 相交于异于点P的M,N两点，且直线PM,PN均不与x轴垂直， (1)求椭圆C的方程； (2)若MN=V10,求MN的方程； (3)记直线PM的斜率为k1,直线PN的斜率为k2,证明：k1k2为定值. N 19.(本小题17分) 若函数f(x)满足：对任意的正数a,b,都有f(a+b)>f(a)+f(b),则称函数f(x)为“N函数”. (1)分别判断函数y=lnx和函数y=2x+x-1是否为“N函数”，并说明理由； (2)若函数f(x)为“N函数”，f(1)=1,且当x>0时，f(x)>0,证明： ()f(2)>2,k∈N: (0xe(2,2k+1)k∈W,fw-f(月)>三-是 第4页，共4页