精品解析：广东省肇庆市第一中学2025-2026学年高一上学期第二次段考（12月月考）数学试题

肇庆市第一中学2025-2026学年第一学期 高一年级数学学科第二阶段考试题 本试题共4页，考试时间120分钟，满分150分 一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由交集的定义求解即可 【详解】因为， 所以， 故选：C 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意得，解得且， 故函数的定义域为 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用集合的包含关系来判断充要关系即可. 【详解】因为的解集为， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 4. 快到2026年元旦假期了，是（ ）角 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】利用终边相同角的集合来分析即可判断. 【详解】因为，而是第三象限角， 所以是第三象限角， 故选：C. 5. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质及利用特例对各项进行判断，从而求解． 【详解】对于A项：因为：，所以得：， 又因为：，所以得：，故A项错误； 对于B项：令，所以得：，但，故B项错误； 对于C项：若，则，所以C选项错误； 对于D项：由，得：， 所以得：，故D项正确. 故选：D. 6. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得函数定义域，然后由复合函数单调性可得答案. 【详解】令，求得，故函数的定义域为 ，且.要求函数的单调递增区间 ，即求函数在内的增区间，因在上单调递增， 则函数的单调递增区间是. 故选：B. 7. 已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用分段函数为增函数的性质并结合一次函数与二次函数性质列出不等式求解即可． 【详解】因为函数在上是增函数， 所以，，解得，所以实数的取值范围是． 故选：A. 8. 已知函数，若（），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，可知由可得 根据基本不等式可求的取值范围. 【详解】 若由，则 与矛盾；同理 也可导出矛盾，故 而 即 故选B 【点睛】本题考查分段函数的性质以及基本不等式的应用，属中档题. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表： 1 3 5 7 24 13 1 则一定包含的零点的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据零点存在性定理结合表中的数据分析判断即可 【详解】因为的图象是一条连续不断的曲线， 且， 所以一定包含的零点的区间是． 故选：BCD 10. 下列命题中的真命题有（ ） A. 函数的零点是 B. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为 C. 当时，的最小值是2 D. 角的顶点在原点，始边在轴的非负半轴，若角的终边上有一点，则 【答案】BD 【解析】 【分析】解方程求得函数的零点判断A；利用扇形面积公式求得扇形面积判断B；利用基本不等式求得的最小值判断C；利用三角函数的定义求得判断D. 【详解】对于A：令，解得， 所以函数的零点是和2．故A错误； 对于B：因为圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的半径为， 因此，该扇形的面积为，故B正确； 对于C：当时，， 当且仅当，即时取得等号，故C错误； 对于D：由三角函数的定义可得，故D正确. 故选：BD. 11. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（ ） A. B. 的值域为 C. 当时， D. 的解集为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据奇函数性质可得，即可判断A；根据奇函数的定义求函数的解析式，即可判断C；作出函数的图象，结合图象判断BD. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，则，故A正确； 且当时，， 当时，则，可得，故C正确； 所以，作出函数的图象，如图所示： 可知的值域为，故B正确； 的解集为，故D错误； 故选：ABC. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若角的终边经过点，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数的定义，即可求解. 【详解】. 故答案为： 13. 若命题“”为假命题，则实数的取值范围是____． 【答案】[2，6] 【解析】 【分析】写出命题的否定，利用不等式对应的二次函数的图像与性质建立不等关系，即可求出实数m的取值范围. 【详解】由命题“”的否定为“”， 因为命题“”为假命题，则“”为真命题， 所以，解得， 则实数的取值范围是. 故答案为：. 14. 定义域为的函数满足条件： ①，，恒有； ②； ③， 则不等式的解集是___________. 【答案】 【解析】 【分析】结合函数的单调性、奇偶性求得正确答案. 【详解】①，，，恒有， 所以在上单调递增； ②，， 所以是偶函数；所以在上递减； ③，； 不等式可转化为或， 所以不等式的解集是. 故答案为： 【点睛】 四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （1）求值：； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据指数幂的运算性质计算即可； （2）根据指数与对数互化可得，，再由对数的运算性质计算即可． 【详解】（1） ； （2）由，得，， 所以． 16. 设函数（且）． （1）判断的奇偶性，并给出证明； （2）若，求的值． 【答案】（1） 函数为定义域上的偶函数． 证明如下： 因为， 要使得函数有意义，则满足，解得， 所以函数的定义域为，关于原点对称， 又由，即， 所以函数为定义域上的偶函数． （2）2 【解析】 【分析】（1）先求定义域并验证对称性，满足奇偶性判断前提，代入 化简，对比 与 判定奇偶性； （2）用结合对数运算求底数 ，代入，用对数运算法则与平方差公式计算函数值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，可得， 所以，解得，所以， 则. 17. （1）求不等式的解集； （2）解关于的不等式：． 【答案】（1）； （2） 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． 【解析】 【分析】（1）将不等式二次项系数化正后直接求解即可； （2）因式分解，结合分类讨论，根据一元二次不等式的解的性质即可求解. 【详解】（1）因， 故原不等式的解集为． （2）由不等式，得， 又因为，所以原不等式等价于， 当时，，此时不等式无解； 当时，，解得； 当时，，解得； 综上：当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． 18. 随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． （1）写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润＝销售收入－成本）； （2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）； （2）年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元 【解析】 【分析】（1）分和两种情况，进行求解利润； （2）时，可利用二次函数的特点求最大利润值，时，利用基本不等式求最值，最后要对两个最值比较，得出最大利润． 【小问1详解】 当时，； 当时，， ． 【小问2详解】 若，当时，万元； 若， ， 当且仅当时，即时，万元， 由于，故该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大， 最大利润是1680万元． 19. 已知函数，． （1）若函数的定义域为，求实数的取值范围； （2）若函数在上单调递减，求实数的取值范围； （3）用表示中的最小值，设函数，讨论零点的个数. 【答案】（1） （2） （3） 当或时，有一个零点； 当或时，有两个零点； 当时，有三个零点. 【解析】 【分析】（1）由对数函数的性质及函数的定义域为，利用判别式，列出不等式，即可求解； （2）由函数，结合对数函数的性质和复合函数的单调性的判定方法，列出不等式组，即可求解； （3）根据函数，先分，和三种情况讨论，再结合二次函数的性质，分，和三种情况讨论，即可求解. 【小问1详解】 由题意，函数， 因为该函数的定义域为，则对任意恒成立， 可得，解得， 即实数的取值范围. 【小问2详解】 由函数，若在上单调递减， 则问题等价于在上恒成立，且在上单调递增， 即，解得，所以实数的取值范围是． 【小问3详解】 当时，，所以当时，， 所以在上没有零点； 当时，，， 若即时，， 此时是函数的一个零点； 若即时，， 此时不是函数的一个零点； 当时，因为，则函数的零点个数等价于函数的零点个数， ①当，即时，，则， 函数在上没有零点； ②当即时，函数有且只有一个零点， 若，由可得，则函数在上没有零点； 若，由可得，则函数在上有1个零点； ③当，即或时，函数有两个零点， 不妨设为且， 当时，，， 所以，则在上没有零点； 当时，，，所以， 当即时，，所以，则，， 所以此时在上有且只有一个零点； 当，即时，对称轴，且， 所以，在上有两个零点， 综上所述： 当或时，有一个零点； 当或时，有两个零点； 当时，有三个零点. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 肇庆市第一中学2025-2026学年第一学期 高一年级数学学科第二阶段考试题 本试题共4页，考试时间120分钟，满分150分 一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 快到2026年元旦假期了，是（ ）角 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若（），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表： 1 3 5 7 24 13 1 则一定包含的零点的区间是（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题中的真命题有（ ） A. 函数的零点是 B. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为 C. 当时，的最小值是2 D. 角的顶点在原点，始边在轴的非负半轴，若角的终边上有一点，则 11. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（ ） A. B. 的值域为 C. 当时， D. 的解集为 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若角的终边经过点，则______. 13. 若命题“”为假命题，则实数的取值范围是____． 14. 定义域为的函数满足条件： ①，，恒有； ②； ③， 则不等式的解集是___________. 四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （1）求值：； （2）已知，求的值． 16. 设函数（且）． （1）判断的奇偶性，并给出证明； （2）若，求的值． 17. （1）求不等式的解集； （2）解关于的不等式：． 18. 随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． （1）写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润＝销售收入－成本）； （2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 19. 已知函数，． （1）若函数的定义域为，求实数的取值范围； （2）若函数在上单调递减，求实数的取值范围； （3）用表示中的最小值，设函数，讨论零点的个数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $