精品解析：广东省肇庆市端州中学2025-2026学年高二第一学期数学期中检测试题

2025-2026学年第一学期高二数学期中检测试题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 点关于平面对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系中点关于平面对称的特征写出对称点坐标即可. 【详解】由点关于平面对称的点为. 故选：B 2. 一梯形的直观图是如图的等腰梯形，且上底为1，下底为3，高为1，则原梯形的面积为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知确定原梯形的边长且是直角梯形，进而求出其面积. 【详解】由题意，且，则， 所以原梯形是上下底分别为，高为的直角梯形，则其面积为. 故选：D 3. 已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据，可得，再根据向量垂直的判定条件即可求出参数的值. 【详解】根据题干条件，可知，即满足， 解得：. 故选：A. 4. 如图，已知正方体中，点为上底面的中心，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理得到，求出，得到答案. 【详解】正方体中，点为上底面的中心， 所以， 故， 因为，所以，. 故选：B. 5. 将一个上底为2，下底为5，高为4的直角梯形绕着直角腰旋转一周得到一个几何体，则该几何体的侧面积为（ ） A. 14π B. 21π C. 28π D. 35π 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知确定几何体为圆台，再应用圆台的侧面积求法求几何体侧面积. 【详解】由题意，所得几何体上底是半径为2的圆，下底是半径为5的圆，高为4的圆台， 所以母线长，几何体的侧面积为. 故选：D 6. 《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．阳马中，若平面，且，则异面直线PC与BD所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将几何体补全为长方体，根据异面直线所成角的定义确定对应平面角，根据已知求该角的余弦值. 【详解】由题意，将补全为如下图所示的长方体，且， 所以异面直线PC与BD所成角，即为所成角， 由，则， 所以， 所以异面直线PC与BD所成角的余弦值为. 故选：C 7. 已知圆锥的侧面积（单位：cm2）为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为（单位：cm3）是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知求出圆锥的底面半径和母线长，进而求出高，再由圆锥的体积公式求体积. 【详解】若圆锥底面半径为，母线长为，则，可得， 所以圆锥的高为，则圆锥的体积为. 故选：A 8. 已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，满足，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】借助平面向量线性运算及空间中四点共面性质可得，再利用基本不等式“1”的活用计算即可得解. 【详解】，则， 因为四点共面，所以，即， 因为，从而， 当且仅当，即，时取等. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系一一判断即可. 【详解】对于A，若，，则或，故A错误； 对于B：若，，则，而，故，故B正确； 对于C，若，，，则或与是异面直线，故C错误； 对于D：若，，根据面面垂直的判定定理可得，故D正确； 故选：BD． 10. 如图，已知二面角的棱l上有A，B两点，，，，，若，，则（ ） A. 直线AB与CD所成角的大小为45° B. 二面角的大小为60° C. 三棱锥的体积为 D. 直线CD与平面所成角的正弦值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据异面直线所成角、二面角、线面角定义，在图形中作出直线AB与CD所成角、二面角的平面角、直线CD与平面所成角，结合已知条件计算判断各项正误. 【详解】过A作且，连接，则四边形ABDE是平行四边形，如图， 所以且，故是直线AB与CD所成角或其补角， 因，，则，而，面， 于是面，面，则， 故，则，A正确； 因，即，而，则是二面角的平面角，又， 因此，，即为正三角形，，B正确； 因面，，则面，在面内过C作于O，于是， 又，而， 所以，C错误； 连接而，则是直线CD与所成角，，D正确. 故选：ABD 11. 正方体棱长为2，动点在线段上，以下结论正确的为（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 过三点若可作正方体的截面，则截面图形为三角形或四边形 C. 当点和重合时，三棱锥的外接球体积为 D. 直线与平面所成角的正弦值的范围为 【答案】ABC 【解析】 【分析】A用等体积法求体积判断；B作出截面图形可判断；C当点P和重合时，三棱锥的外接球即为正方体的外接球可判断；D把问题转化为线段最值问题即可． 【详解】A，三棱锥的体积等于三棱锥的体积，又， 平面，平面，则， 又，，平面，所以平面， 故到平面的距离为，故三棱锥的体积为， 所以三棱锥的体积为定值，正确； B：当与棱相交时，截面为四边形，当与棱相交时，截面为三角形，正确； C：当点和重合时，三棱锥的外接球，即为正方体的外接球， 故外接球的半径为，故外接球的体积为，正确； D：设点到平面的距离为，由， 又，则， 知点到平面的距离， 当在线段上运动时，， 当为线段的端点时，， 设直线与平面所成角为，错误； 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 一个正方体的体积为8，若一个球内切于该正方体，则此球的体积是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知确定正方体的内切球半径，再由球体的体积公式求体积. 【详解】由题设，正方体的棱长为2，则内切于该正方体的球体半径为1， 所以球体的体积为. 故答案为： 13. 已知单位向量，，中，，，则_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由空间向量的模长公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，，且，，为单位向量， 则 . 故答案为： 14. 已知四边形为平行四边形，，，现将沿直线BD翻折，得到三棱锥，若，则三棱锥的外接球表面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意及余弦定理得，由三棱锥的对棱相等，故此三棱锥的三组对棱是一个长方体的六个面的对角线，利用长方体的性质求外接球半径，即可得表面积. 【详解】在中，， 故，即， 则折成的三棱锥中，，，， 即此三棱锥的对棱相等，故此三棱锥的三组对棱是一个长方体的六个面的对角线，如下图， 设长方体从同一个顶点出发的三条棱长分别为a，b，c，则，解得， 此长方体的外接球是三棱锥的外接球， 设外接球的直径，即， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点．求证： （1）B，C，H，G四点共面； （2）平面EFA1平面BCHG. 【答案】（1） ∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点 ∴GH是的中位线，∴GHB1C1， 又在三棱柱ABC－A1B1C1中，B1C1BC，∴GHBC， ∴B，C，H，G四点共面． （2） ∵E，F分别为AB，AC的中点， ∴EFBC， ∵平面BCHG，BC⊂平面BCHG， ∴EF平面BCHG， ∵在三棱柱ABC－A1B1C1中，，， ∴A1GEB，， ∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1EGB， ∵平面BCHG，GB⊂平面BCHG， ∴A1E平面BCHG， ∵A1E∩EF＝E，A1E，EF⊂平面EFA1， ∴平面EFA1平面BCHG. 【解析】 【分析】（1）利用中位线定理与空间平行线的传递性，推得，由此得证； （2）利用线面平行的判定定理证得EF平面BCHG，A1E平面BCHG，从而利用面面平行的判定定理即可得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为线段AB，的中点． （1）求F点到的距离； （2）求点F到平面的距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用点到直线距离公式进行求解； （2）求出平面的法向量，利用点到平面的向量距离公式进行求解. 【小问1详解】 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 已知正方体棱长为，则，，， 可得，， ，，， 设点到的距离为， 则； 【小问2详解】 设平面的法向量为，，，， 则，. 设， ，令，解得，，所以， 又，，， 点到平面的距离为. 17. 在中国传统文化中，灯笼作为节日和庆典的象征，常常蕴含着丰富的美学与数学设计.灯笼不仅要考虑美观，还要具备结构上的合理性和稳定性.现在有一盏独特的节庆灯笼，它的外形结构包括多个几何体，具体设计如下：顶部装饰：灯笼的顶部是一个正六棱台，上底边长为，下底边长为，高度为；中间结构：灯笼的中部是一个正六棱柱，底面边长为，高度为；底部基座：灯笼的底部是一个倒置的正六棱台，其形状、大小均与顶部的正六棱台相同. （1）求灯笼总体积. （2）灯笼所需纸张的总表面积.（备注：灯笼上下底不糊纸.） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据棱台与棱柱的体积公式计算即可； （2）利用等腰梯形的性质可求得正六棱台的侧棱长，进而求得侧面的斜高，进而可求得表面积. 【小问1详解】 . . . . 【小问2详解】 作出正六棱台的示意图所示： 由题意可得正方棱台的截面也是等腰梯形，过作于， 由题意可得，所以，所以， 由侧面是等腰梯形，且上底为，下底为，腰为， 所以梯形的高为 . . 18. 如图，在三棱锥中，，为线段的中点，为线段上一点. （1）求证：平面平面； （2）当//平面时，求与平面所成角的正弦值. 【答案】 （1）∵，，平面， ∴平面， 又∵平面， ∴， ∵，D为线段的中点， ∴， 又，平面， 平面， 又∵平面. ∴平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）先证直线垂直平面PAC，从而推出面面垂直； （2）求出点P到平面BDE的距离，则线面角的正弦值等于. 【详解】（1）略 （2）∵//平面，平面平面. ∴//PA，又D为中点， ∴E为中点. ∵//AP， 从而P到平面的距离h等于A到平面的距离. ∵， ∴平面， ∴. 又， 故与平面所成角的正弦值等于. 【点睛】本题考查由线面垂直推证面面垂直，以及线面角的求解；本题中求解线面角，转化为求解点到面的距离，是一种很好的方法，值得总结. 19. 如图，在三棱柱中，底面是边长为4的等边三角形，，分别是棱的中点，平面平面． （1）求证：． （2）在棱上是否存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 连接，如图，由题知四边形是菱形，则， 又分别为棱的中点，所以，故． 因为为等边三角形，为的中点，所以． 又平面平面，平面平面平面， 所以平面， 又平面，故． 又平面，所以平面， 因为平面，所以． （2）存在点，且为棱上靠近点的一个三等分点，理由如下： 连接，如图． 由，可知为等边三角形， 又是的中点，所以， 由(1)得平面，所以两两互相垂直． 故以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，． 假设在棱上存在符合要求的点，设， 则． 设平面的法向量为， 则即即 取，则，所以． 由(1)得是平面的一个法向量， 因为平面与平面的夹角的余弦值为， 所以，即，解得或（舍去）， 故存在点，且为棱上靠近点的一个三等分点，使得平面与平面的夹角的余弦值为． 【解析】 【分析】（1）应用面面垂直性质定理得出线面垂直平面，再应用线面垂直判定定理得出平面进而得出线线垂直； （2）建立空间直角坐标系设向量关系，再分别求出两个面的法向量，再应用二面角的余弦值求出参数. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛：设,再应用空间向量法计算平面与平面的夹角余弦值为求出参数即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期高二数学期中检测试题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 点关于平面对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 一梯形的直观图是如图的等腰梯形，且上底为1，下底为3，高为1，则原梯形的面积为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 3. 已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 4. 如图，已知正方体中，点为上底面的中心，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 5. 将一个上底为2，下底为5，高为4的直角梯形绕着直角腰旋转一周得到一个几何体，则该几何体的侧面积为（ ） A. 14π B. 21π C. 28π D. 35π 6. 《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．阳马中，若平面，且，则异面直线PC与BD所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆锥的侧面积（单位：cm2）为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为（单位：cm3）是（ ） A. B. C. D. 8. 已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，满足，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 10. 如图，已知二面角的棱l上有A，B两点，，，，，若，，则（ ） A. 直线AB与CD所成角的大小为45° B. 二面角的大小为60° C. 三棱锥的体积为 D. 直线CD与平面所成角的正弦值为 11. 正方体棱长为2，动点在线段上，以下结论正确的为（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 过三点若可作正方体的截面，则截面图形为三角形或四边形 C. 当点和重合时，三棱锥的外接球体积为 D. 直线与平面所成角的正弦值的范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 一个正方体的体积为8，若一个球内切于该正方体，则此球的体积是________． 13. 已知单位向量，，中，，，则_____________． 14. 已知四边形为平行四边形，，，现将沿直线BD翻折，得到三棱锥，若，则三棱锥的外接球表面积为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点．求证： （1）B，C，H，G四点共面； （2）平面EFA1平面BCHG. 16. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为线段AB，的中点． （1）求F点到的距离； （2）求点F到平面的距离. 17. 在中国传统文化中，灯笼作为节日和庆典的象征，常常蕴含着丰富的美学与数学设计.灯笼不仅要考虑美观，还要具备结构上的合理性和稳定性.现在有一盏独特的节庆灯笼，它的外形结构包括多个几何体，具体设计如下：顶部装饰：灯笼的顶部是一个正六棱台，上底边长为，下底边长为，高度为；中间结构：灯笼的中部是一个正六棱柱，底面边长为，高度为；底部基座：灯笼的底部是一个倒置的正六棱台，其形状、大小均与顶部的正六棱台相同. （1）求灯笼总体积. （2）灯笼所需纸张的总表面积.（备注：灯笼上下底不糊纸.） 18. 如图，在三棱锥中，，为线段的中点，为线段上一点. （1）求证：平面平面； （2）当//平面时，求与平面所成角的正弦值. 19. 如图，在三棱柱中，底面是边长为4的等边三角形，，分别是棱的中点，平面平面． （1）求证：． （2）在棱上是否存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $