广东省肇庆市端州中学2025-2026学年高二第一学期数学期中检测试题

2025-2026学年第一学期高二数学期中检测试题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 点关于平面对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 一梯形的直观图是如图的等腰梯形，且上底为1，下底为3，高为1，则原梯形的面积为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 3. 已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 4. 如图，已知正方体中，点为上底面的中心，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 5. 将一个上底为2，下底为5，高为4的直角梯形绕着直角腰旋转一周得到一个几何体，则该几何体的侧面积为（ ） A. 14π B. 21π C. 28π D. 35π 6. 《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．阳马中，若平面，且，则异面直线PC与BD所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆锥的侧面积（单位：cm2）为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为（单位：cm3）是（ ） A. B. C. D. 8. 已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，满足，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 10. 如图，已知二面角的棱l上有A，B两点，，，，，若，，则（ ） A. 直线AB与CD所成角的大小为45° B. 二面角的大小为60° C. 三棱锥的体积为 D. 直线CD与平面所成角的正弦值为 11. 正方体棱长为2，动点在线段上，以下结论正确的为（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 过三点若可作正方体的截面，则截面图形为三角形或四边形 C. 当点和重合时，三棱锥的外接球体积为 D. 直线与平面所成角的正弦值的范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 一个正方体的体积为8，若一个球内切于该正方体，则此球的体积是________． 13. 已知单位向量，，中，，，则_____________． 14. 已知四边形为平行四边形，，，现将沿直线BD翻折，得到三棱锥，若，则三棱锥的外接球表面积为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点．求证： （1）B，C，H，G四点共面； （2）平面EFA1平面BCHG. 16. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为线段AB，的中点． （1）求F点到的距离； （2）求点F到平面的距离. 17. 在中国传统文化中，灯笼作为节日和庆典的象征，常常蕴含着丰富的美学与数学设计.灯笼不仅要考虑美观，还要具备结构上的合理性和稳定性.现在有一盏独特的节庆灯笼，它的外形结构包括多个几何体，具体设计如下：顶部装饰：灯笼的顶部是一个正六棱台，上底边长为，下底边长为，高度为；中间结构：灯笼的中部是一个正六棱柱，底面边长为，高度为；底部基座：灯笼的底部是一个倒置的正六棱台，其形状、大小均与顶部的正六棱台相同. （1）求灯笼总体积. （2）灯笼所需纸张的总表面积.（备注：灯笼上下底不糊纸.） 18. 如图，在三棱锥中，，为线段的中点，为线段上一点. （1）求证：平面平面； （2）当//平面时，求与平面所成角的正弦值. 19. 如图，在三棱柱中，底面是边长为4的等边三角形，，分别是棱的中点，平面平面． （1）求证：． （2）在棱上是否存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． 2025-2026学年第一学期高二数学期中检测试题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】BD 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分． 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1） ∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点 ∴GH是的中位线，∴GHB1C1， 又在三棱柱ABC－A1B1C1中，B1C1BC，∴GHBC， ∴B，C，H，G四点共面． （2） ∵E，F分别为AB，AC的中点， ∴EFBC， ∵平面BCHG，BC⊂平面BCHG， ∴EF平面BCHG， ∵在三棱柱ABC－A1B1C1中，，， ∴A1GEB，， ∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1EGB， ∵平面BCHG，GB⊂平面BCHG， ∴A1E平面BCHG， ∵A1E∩EF＝E，A1E，EF⊂平面EFA1， ∴平面EFA1平面BCHG. 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】 （1）∵，，平面， ∴平面， 又∵平面， ∴， ∵，D为线段的中点， ∴， 又，平面， 平面， 又∵平面. ∴平面平面. （2） 【19题答案】 【答案】（1） 连接，如图，由题知四边形是菱形，则， 又分别为棱的中点，所以，故． 因为为等边三角形，为的中点，所以． 又平面平面，平面平面平面， 所以平面， 又平面，故． 又平面，所以平面， 因为平面，所以． （2）存在点，且为棱上靠近点的一个三等分点，理由如下： 连接，如图． 由，可知为等边三角形， 又是的中点，所以， 由(1)得平面，所以两两互相垂直． 故以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，． 假设在棱上存在符合要求的点，设， 则． 设平面的法向量为， 则即即 取，则，所以． 由(1)得是平面的一个法向量， 因为平面与平面的夹角的余弦值为， 所以，即，解得或（舍去）， 故存在点，且为棱上靠近点的一个三等分点，使得平面与平面的夹角的余弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $