精品解析：上海市华东师范大学附属东昌中学2025-2026学年高二第一学期期末考试数学试题

华东师范大学附属东昌中学 2025学年度第一学期期末考试高二数学试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1. 直线的倾斜角为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据倾斜角的定义求解. 【详解】因为直线与轴垂直，所以倾斜角为， 故答案为：. 2. 某校高一年级有1200名学生，高二年级有1000名学生，高三年级有800名学生．如果按照年级进行分层抽样，要抽取一个容量为180的样本，那么应抽取高二年级的学生人数为________． 【答案】60 【解析】 【分析】利用分层抽样比来计算即可. 【详解】应抽取的高二年级的学生人数为． 故答案为：60 3. 点在椭圆上，则点的横坐标的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆的性质求解即可. 【详解】因为椭圆， 所以椭圆上的点的横坐标取值范围为， 故答案为：. 4. 点到直线上的距离为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】由点到直线的距离公式求解即可． 【详解】直线，即， 所以点到直线的距离． 故答案为：． 5. 曲线在点处的切线方程为___________. 【答案】 【解析】 【分析】求导，再根据导数的几何意义即可得解. 【详解】解：， 当时，， 所以曲线在点处的切线方程为. 故答案为：. 6. 将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和大于10的概率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先写出所有的基本事件个数36个，利用列举法写出满足题意的有3个，由此能求出满足题意的概率． 【详解】所有的基本事件可能如下： 共有36种，点数之和大于10的有（5,6），（6,5），（6,6），共3种，所求概率为：P＝. 故答案为 【点睛】本题考查古典概型概率的求法、考查运算求解能力，是基础题． 7. 某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01，02，…，50，从中抽取5个样本，下面提供随机数表的第1行到第2行： 66 67 40 37 14 64 05 71 11 05 65 09 95 86 68 76 83 20 37 90 57 16 03 11 63 14 90 84 45 21 75 73 88 05 90 52 23 59 43 10 若从表中第1行第7列开始向右依次读取数据，则得到的第5个样本编号是______． 【答案】09 【解析】 【分析】结合随机数表法定义，按照题意依次读出前个数即可. 【详解】从随机数表第1行的第7列数字开始由左向右每次连续读取2个数字， 删除超出范围及重复的编号，符合条件的编号有37，14，05，11，09， 所以选出来的第5个个体的编号为09. 故答案为：09. 8. 已知为抛物线上的任意一点，为抛物线的焦点，点坐标为，则的最小值为____________________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据抛物线的定义将问题转化为点到准线的距离. 【详解】抛物线的准线方程为，过点作，垂足为， 由抛物线定义可知，所以， 当时取取得最小值，又点到准线的距离， 故的最小值为4. 故答案为： 9. 若存在单调递减区间，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】问题即在有解，可分离参数转化为最值问题求解. 【详解】函数的定义域为， ，因为存在单调递减区间， 所以在有解，即在有解， 令，则， 因为，所以， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 10. “秋风起．月渐圆，桂树落叶，兔儿下凡间”．中秋节是中国传统节日，为了让更多的小朋友参与到中秋节的欢乐氛围中来，秦皇岛市青少年宫特别推出了“团圆中秋喜迎国庆”——中秋猜灯谜活动，欢迎小朋友们前来，感受传统文化的熏陶，品味传统习俗的趣味．现有甲，乙两位小朋友组成“快乐宝贝队”参加猜灯谜活动，每轮活动由甲，乙各猜一个灯谜，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则“快乐宝贝队”在两轮活动中猜对2个灯谜的概率为_________． 【答案】 【解析】 【分析】分甲两轮猜对个，个，个和乙两轮猜对个，个，个，结合独立事件乘法和互斥加法求解. 【详解】设分别表示甲两轮猜对个，个，个灯谜的事件，分别表示乙两轮猜对个，个，个灯谜的事件．根据独立事件的性质，可得 ， ， 设“两轮活动‘快乐宝贝队’猜对2个灯谜”，则，且互斥，与，与，与分别相互独立，所以 ，因此，“快乐宝贝队”在两轮活动中猜对2个灯谜的概率是． 故答案为： 11. 双曲线具有如下光学性质:从一个焦点发出的光线经双曲线反射后，反射光线的反向延长线一定经过另一个焦点.已知双曲线，如图从的一个焦点射出的光线，经过两点反射后，分别经过点和.若，则的离心率为_________. 【答案】 【解析】 【分析】作出,的反向延长线交于双曲线的左焦点,由已知可得，，设可得由勾股定理可求得进而可求C的离心率. 【详解】由双曲线的光学性质可知,的反向延长线交于双曲线的左焦点,如图所示： 由, 两边平方可得, 所以，所以，所以， 又，所以， 设则， 设，则， 根据双曲线定义，可得， 所以，解得，所以 在中，所以 所以C的离心率为. 故答案为：. 12. 对任意数集，满足表达式为且值域为的函数个数为.记所有可能的的值组成集合，则集合中元素之和为__________. 【答案】643 【解析】 【分析】根据给定条件，探讨函数的性质并作出图象，求出集合B，进而求得答案作答. 【详解】，当或时，，当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，函数取得极大值0，当时，该函数取得极小值，图象如图： 观察图象知，当与图像有一个公共点时，相应的有1种取法； 当与图像有两个公共点时，相应的有种取法； 当与图像有三个公共点时，相应的有种取法， 直线与函数图象的交点个数可能的取值如下： ， 对应的函数个数为， . 所以集合中元素之和为643. 故答案为：643 【点睛】关键点睛：涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义，结合相关的其它知识，分类讨论，进行推理判断解决. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分，每题都给出四个结论，其中有且仅有一个结论是正确的.） 13. 已知一个总体含有N个个体，要用简单随机抽样方法从中抽取一个个体，则在抽样过程中，每个个体被抽取的概率（ ） A. 变小 B. 变大 C. 相等 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】由简单随机抽样的定义可知每个个体被抽取的概率相等. 【详解】一个总体含有N个个体，要用简单随机抽样方法从中抽取一个个体， 则在抽样过程中，每个个体被抽取的概率为. 故选：C. 14. 过点作圆的切线，则的方程为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用切线定义结合点到直线距离公式，分斜率存在与不存在讨论即可得. 【详解】当斜率不存在时，，圆的圆心到的距离为， 故此时是圆的切线，符合； 当斜率存在时，设，即， 则圆的圆心到的距离， 解得，则； 综上所述：的方程为或. 故选：A. 15. 为调研某地空气质量，连续10天测得该地的日均值（单位为），依次为，则下列四个结论中正确的个数为（ ） ①前4天的极差大于后4天的极差；②前4天的方差小于后4天的方差；③这组数据的中位数为31或33；④这组数据的第60百分位数与众数相同. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】计算该组数据前四个和后四个的极差，及方差，中位数，第60百分位数，众数来判断命题的正误. 【详解】前4天的极差为，后4天的极差为，所以①正确； 前4天的平均数为，方差为，后4天的平均数为，方差为，所以②错误； 数据从小到大排列为17，23，26，30，31，33，33，36，42，106，中位数为，所以③错误； 数据的第60百分位数为，众数也为33，所以④正确，正确的有两个. 故选：C. 16. 已知平面上一点到点的距离满足，设点的运动轨迹为曲线．有以下两个命题： 命题①：曲线关于原点对称； 命题②：当点不在坐标轴上时，点在椭圆内部． 则下列判断正确的是（　　） A. ①②均为真命题 B. ①为真命题②为假命题 C. ①为假命题②为真命题 D. ①②均为假命题 【答案】A 【解析】 【分析】通过设点坐标，根据点的对称、三角形的性质、椭圆的性质，逐个判断即可. 【详解】设点，则关于原点的对称点为，根据两点间距离公式. 所以. 又因为， 所以. 又，所以. 所以曲线关于原点对称，所以①正确； 当点与点不共线时，根据三角形性质可得 ，由得， 解得. 所以. 根据椭圆的性质可知点在椭圆的内部. ②正确， 故选：A 三、解答题（本大题共有5题，满分78分，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤）. 17. 已知向量，. （1）当时，求的值； （2）设函数，且，求的最大值以及对应的x的值. 【答案】（1）；（2）时，函数的最大值为. 【解析】 【分析】 （1）根据即可求出，然后根据二倍角的正切公式即可求出的值； （2）进行数量积的坐标运算，并根据二倍角的正余弦公式和两角和的正弦公式得出，从而可求出的最大值，以及对应的的值． 【详解】（1）因为，所以， 因为（否则与矛盾），所以， 所以. （2） ， 因为，所以， 所以当，即时，函数的最大值为. 【点睛】本题考查了平行向量的坐标关系、二倍角的正弦、余弦和正切公式、两角和的正弦公式和数量积的坐标运算，考查了计算能力，属于基础题． 18. 已知递增的等差数列的首项，且成等比数列. (1) 求数列的通项公式； (2) 设数列满足，为数列的前项和，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)由已知列式求得公差，代入等差数列的通项公式得答案； （2）把数列的通项公式代入，分组后利用等差数列与等比数列前项和公式求解． 【详解】由题可知，且 即 可得 【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查等比数列的性质，训练了等差数列与等比数列前项和的求法，是中档题． 19. 为了让学生适应上海“3+3”的新高考模式，某校在高二期末考试中使用赋分制给等级考科目的成绩进行赋分.先按照考生原始分从高到低按比例划定A+、A、B+、B、B-、C+、C、C-、D+、D、E共5等11级，然后在相应赋分区间内利用转换公式进行赋分，A+和E级排名各占比5%，其余各级排名各占比10%.现从全年级的等级考化学成绩中随机取100名学生的原始成绩（满分100分）进行分析，其频率分布直方图如图所示： （1）求图中的值； （2）若采用分层抽样的方法，从原始成绩在和内的学生中共抽取6人查看他们的答题情况，再从中选取2人进行个案分析，求这2人中恰有一人原始成绩在内的概率； （3）已知落在的平均成绩，方差，落在的平均成绩，方差，求落在的平均成绩，并估计落在的成绩的标准差（结果精确到0.1）． 【答案】（1）0.03 （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）借助频率之和为1即可得； （2）根据分层抽样，计算出每个区间中的人数，结合概率公式即可得； （3）借助平均数、方差与标准差的定义计算即可. 【小问1详解】 ，解得； 【小问2详解】 由原始分在和中的频率之比为， 故抽取的6人中，原始分在中的有人，记为、， 原始分在中的有人，记为、、、， 则从人中抽取人所有可能的结果有： ，，，，，，，， ，，，，，，， 共个基本事件， 其中抽取这2人中恰有一人原始成绩在内的结果有， ，，，，，，，， 共个基本事件， 故这2人中恰有一人原始成绩在内的概率； 【小问3详解】 ， ， 故其估计值为. 20. 已知椭圆：的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆相交于、两点． （1）求 的周长； （2）设点为椭圆的上顶点，点在第一象限，点在线段上．若，求点的横坐标； （3）设直线不平行于坐标轴，点为点关于轴的对称点，直线与轴交于点．求面积的最大值． 【答案】（1）8（2）（3） 【解析】 【分析】（1）由椭圆定义可得结果； （2）设，利用及点在椭圆上，即可解得点的横坐标； （3）设，直线的方程为，联立方程利用韦达定理可得结果. 【详解】解:（1） 椭圆的长轴长为 由椭圆定义知，的周长为； （2）由椭圆方程得， 设， 由，得， ① 点线段上，所以满足方程为② 将①式代入②，得， 代入椭圆方程，得， 因为，所以 （3）设，直线的方程为， 则点的坐标为，直线的方程为， ， 将直线方程代入椭圆方程得： ， 则， 所以， ， 所以面积的最大值为 【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查了转化思想与计算能力，是中档题． 21. 若函数满足：对任意的实数，，有恒成立，则称函数为 “增函数” ． （1）求证：函数不是“增函数”； （2）若函数是“增函数”，求实数的取值范围； （3）设，若曲线在处的切线方程为，求的值，并证明函数是“增函数”． 【答案】（1）取，则， 因为，故函数不是“增函数”； （2） （3）记， 根据题意，得，可得方程的一个解， 令，则， 令，则， 故在上是严格增函数， 又因为，故在恒成立，故， 故在上是严格增函数，所以是唯一解， 又，此时在处的切线方程即为，故成立； 设，其中，， 由在上是严格增函数以及，得， 即 ，所以在上是严格增函数， 因为，则, 故，即得证. 【解析】 【分析】（1）取反例即可证明； （2）若该函数是“增函数”，设出任意的，，则有恒成立，运算即可得； （3）借助导数的几何意义，对该函数求导后令导函数值为1，可得该方程有根，且是其中一个根，结合导数可证明该函数为严格增函数，故有且仅有一个根，即可得的值，而后设出，结合前面得出的在上是严格增函数，可得在上是严格增函数，又，则，即可得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为函数是“增函数”，故任意的，， 有恒成立， 即恒成立 ， 所以恒成立， 又，，故，则， 则，即； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查函数新定义，理解新定义是关键，难点在最后一问中的的计算与“增函数”的证明，需要多次求导以得到函数的单调性，结合导数的几何意义帮助计算的值，证明为“增函数”要结合对新定义的理解，设出函数以帮助证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华东师范大学附属东昌中学 2025学年度第一学期期末考试高二数学试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1. 直线的倾斜角为__________. 2. 某校高一年级有1200名学生，高二年级有1000名学生，高三年级有800名学生．如果按照年级进行分层抽样，要抽取一个容量为180的样本，那么应抽取高二年级的学生人数为________． 3. 点在椭圆上，则点的横坐标的取值范围是________． 4. 点到直线上的距离为__________. 5. 曲线在点处的切线方程为___________. 6. 将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和大于10的概率为_______． 7. 某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01，02，…，50，从中抽取5个样本，下面提供随机数表的第1行到第2行： 66 67 40 37 14 64 05 71 11 05 65 09 95 86 68 76 83 20 37 90 57 16 03 11 63 14 90 84 45 21 75 73 88 05 90 52 23 59 43 10 若从表中第1行第7列开始向右依次读取数据，则得到的第5个样本编号是______． 8. 已知为抛物线上的任意一点，为抛物线的焦点，点坐标为，则的最小值为____________________. 9. 若存在单调递减区间，则实数的取值范围是__________. 10. “秋风起．月渐圆，桂树落叶，兔儿下凡间”．中秋节是中国传统节日，为了让更多的小朋友参与到中秋节的欢乐氛围中来，秦皇岛市青少年宫特别推出了“团圆中秋喜迎国庆”——中秋猜灯谜活动，欢迎小朋友们前来，感受传统文化的熏陶，品味传统习俗的趣味．现有甲，乙两位小朋友组成“快乐宝贝队”参加猜灯谜活动，每轮活动由甲，乙各猜一个灯谜，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则“快乐宝贝队”在两轮活动中猜对2个灯谜的概率为_________． 11. 双曲线具有如下光学性质:从一个焦点发出的光线经双曲线反射后，反射光线的反向延长线一定经过另一个焦点.已知双曲线，如图从的一个焦点射出的光线，经过两点反射后，分别经过点和.若，则的离心率为_________. 12. 对任意数集，满足表达式为且值域为的函数个数为.记所有可能的的值组成集合，则集合中元素之和为__________. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分，每题都给出四个结论，其中有且仅有一个结论是正确的.） 13. 已知一个总体含有N个个体，要用简单随机抽样方法从中抽取一个个体，则在抽样过程中，每个个体被抽取的概率（ ） A. 变小 B. 变大 C. 相等 D. 无法确定 14. 过点作圆的切线，则的方程为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 15. 为调研某地空气质量，连续10天测得该地的日均值（单位为），依次为，则下列四个结论中正确的个数为（ ） ①前4天的极差大于后4天的极差；②前4天的方差小于后4天的方差；③这组数据的中位数为31或33；④这组数据的第60百分位数与众数相同. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 16. 已知平面上一点到点的距离满足，设点的运动轨迹为曲线．有以下两个命题： 命题①：曲线关于原点对称； 命题②：当点不在坐标轴上时，点在椭圆内部． 则下列判断正确的是（　　） A. ①②均为真命题 B. ①为真命题②为假命题 C. ①为假命题②为真命题 D. ①②均为假命题 三、解答题（本大题共有5题，满分78分，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤）. 17. 已知向量，. （1）当时，求的值； （2）设函数，且，求的最大值以及对应的x的值. 18. 已知递增的等差数列的首项，且成等比数列. (1) 求数列的通项公式； (2) 设数列满足，为数列的前项和，求. 19. 为了让学生适应上海“3+3”的新高考模式，某校在高二期末考试中使用赋分制给等级考科目的成绩进行赋分.先按照考生原始分从高到低按比例划定A+、A、B+、B、B-、C+、C、C-、D+、D、E共5等11级，然后在相应赋分区间内利用转换公式进行赋分，A+和E级排名各占比5%，其余各级排名各占比10%.现从全年级的等级考化学成绩中随机取100名学生的原始成绩（满分100分）进行分析，其频率分布直方图如图所示： （1）求图中的值； （2）若采用分层抽样的方法，从原始成绩在和内的学生中共抽取6人查看他们的答题情况，再从中选取2人进行个案分析，求这2人中恰有一人原始成绩在内的概率； （3）已知落在的平均成绩，方差，落在的平均成绩，方差，求落在的平均成绩，并估计落在的成绩的标准差（结果精确到0.1）． 20. 已知椭圆：的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆相交于、两点． （1）求 的周长； （2）设点为椭圆的上顶点，点在第一象限，点在线段上．若，求点的横坐标； （3）设直线不平行于坐标轴，点为点关于轴的对称点，直线与轴交于点．求面积的最大值． 21. 若函数满足：对任意的实数，，有恒成立，则称函数为 “增函数” ． （1）求证：函数不是“增函数”； （2）若函数是“增函数”，求实数的取值范围； （3）设，若曲线在处的切线方程为，求的值，并证明函数是“增函数”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $