上海市华东师范大学附属东昌中学2025-2026学年高二第一学期期末考试数学试题

华东师范大学附属东昌中学 2025学年度第一学期期末考试高二数学试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1. 直线的倾斜角为__________. 2. 某校高一年级有1200名学生，高二年级有1000名学生，高三年级有800名学生．如果按照年级进行分层抽样，要抽取一个容量为180的样本，那么应抽取高二年级的学生人数为________． 3. 点在椭圆上，则点的横坐标的取值范围是________． 4. 点到直线上的距离为__________. 5. 曲线在点处的切线方程为___________. 6. 将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和大于10的概率为_______． 7. 某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01，02，…，50，从中抽取5个样本，下面提供随机数表的第1行到第2行： 66 67 40 37 14 64 05 71 11 05 65 09 95 86 68 76 83 20 37 90 57 16 03 11 63 14 90 84 45 21 75 73 88 05 90 52 23 59 43 10 若从表中第1行第7列开始向右依次读取数据，则得到的第5个样本编号是______． 8. 已知为抛物线上的任意一点，为抛物线的焦点，点坐标为，则的最小值为____________________. 9. 若存在单调递减区间，则实数的取值范围是__________. 10. “秋风起．月渐圆，桂树落叶，兔儿下凡间”．中秋节是中国传统节日，为了让更多的小朋友参与到中秋节的欢乐氛围中来，秦皇岛市青少年宫特别推出了“团圆中秋喜迎国庆”——中秋猜灯谜活动，欢迎小朋友们前来，感受传统文化的熏陶，品味传统习俗的趣味．现有甲，乙两位小朋友组成“快乐宝贝队”参加猜灯谜活动，每轮活动由甲，乙各猜一个灯谜，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则“快乐宝贝队”在两轮活动中猜对2个灯谜的概率为_________． 11. 双曲线具有如下光学性质:从一个焦点发出的光线经双曲线反射后，反射光线的反向延长线一定经过另一个焦点.已知双曲线，如图从的一个焦点射出的光线，经过两点反射后，分别经过点和.若，则的离心率为_________. 12. 对任意数集，满足表达式为且值域为的函数个数为.记所有可能的的值组成集合，则集合中元素之和为__________. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分，每题都给出四个结论，其中有且仅有一个结论是正确的.） 13. 已知一个总体含有N个个体，要用简单随机抽样方法从中抽取一个个体，则在抽样过程中，每个个体被抽取的概率（ ） A. 变小 B. 变大 C. 相等 D. 无法确定 14. 过点作圆的切线，则的方程为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 15. 为调研某地空气质量，连续10天测得该地的日均值（单位为），依次为，则下列四个结论中正确的个数为（ ） ①前4天的极差大于后4天的极差；②前4天的方差小于后4天的方差；③这组数据的中位数为31或33；④这组数据的第60百分位数与众数相同. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 16. 已知平面上一点到点的距离满足，设点的运动轨迹为曲线．有以下两个命题： 命题①：曲线关于原点对称； 命题②：当点不在坐标轴上时，点在椭圆内部． 则下列判断正确的是（　　） A. ①②均为真命题 B. ①为真命题②为假命题 C. ①为假命题②为真命题 D. ①②均为假命题 三、解答题（本大题共有5题，满分78分，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤）. 17. 已知向量，. （1）当时，求的值； （2）设函数，且，求的最大值以及对应的x的值. 18. 已知递增的等差数列的首项，且成等比数列. (1) 求数列的通项公式； (2) 设数列满足，为数列的前项和，求. 19. 为了让学生适应上海“3+3”的新高考模式，某校在高二期末考试中使用赋分制给等级考科目的成绩进行赋分.先按照考生原始分从高到低按比例划定A+、A、B+、B、B-、C+、C、C-、D+、D、E共5等11级，然后在相应赋分区间内利用转换公式进行赋分，A+和E级排名各占比5%，其余各级排名各占比10%.现从全年级的等级考化学成绩中随机取100名学生的原始成绩（满分100分）进行分析，其频率分布直方图如图所示： （1）求图中的值； （2）若采用分层抽样的方法，从原始成绩在和内的学生中共抽取6人查看他们的答题情况，再从中选取2人进行个案分析，求这2人中恰有一人原始成绩在内的概率； （3）已知落在的平均成绩，方差，落在的平均成绩，方差，求落在的平均成绩，并估计落在的成绩的标准差（结果精确到0.1）． 20. 已知椭圆：的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆相交于、两点． （1）求 的周长； （2）设点为椭圆的上顶点，点在第一象限，点在线段上．若，求点的横坐标； （3）设直线不平行于坐标轴，点为点关于轴的对称点，直线与轴交于点．求面积的最大值． 21. 若函数满足：对任意的实数，，有恒成立，则称函数为 “增函数” ． （1）求证：函数不是“增函数”； （2）若函数是“增函数”，求实数的取值范围； （3）设，若曲线在处的切线方程为，求的值，并证明函数是“增函数”． 华东师范大学附属东昌中学 2025学年度第一学期期末考试高二数学试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 【1题答案】 【答案】 【2题答案】 【答案】60 【3题答案】 【答案】 【4题答案】 【答案】## 【5题答案】 【答案】 【6题答案】 【答案】 【7题答案】 【答案】09 【8题答案】 【答案】4 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】643 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分，每题都给出四个结论，其中有且仅有一个结论是正确的.） 【13题答案】 【答案】C 【14题答案】 【答案】A 【15题答案】 【答案】C 【16题答案】 【答案】A 三、解答题（本大题共有5题，满分78分，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤）. 【17题答案】 【答案】（1）；（2）时，函数的最大值为. 【18题答案】 【答案】（1） （2） 【19题答案】 【答案】（1）0.03 （2） （3）， 【20题答案】 【答案】（1）8（2）（3） 【21题答案】 【答案】（1）取，则， 因为，故函数不是“增函数”； （2） （3）记， 根据题意，得，可得方程的一个解， 令，则， 令，则， 故在上是严格增函数， 又因为，故在恒成立，故， 故在上是严格增函数，所以是唯一解， 又，此时在处的切线方程即为，故成立； 设，其中，， 由在上是严格增函数以及，得， 即 ，所以在上是严格增函数， 因为，则, 故，即得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $