精品解析：福建莆田市校联考2026届高三上学期1月质量检测数学试题

福建省2026届高三上学期1月质量检测数学试题 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：高考范围． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知为虚数单位，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法运算求解即得. 【详解】由，得. 故选：C 2. 已知抛物线：的焦点为，点在上，且，为原点，则（ ） A. 6 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线定义可得，代入方程可得，即可得结果. 【详解】由题意可知：抛物线的焦点为，准线为， 因为，即， 且，所以. 故选：B. 3. 印刷电路板（PCB）是支撑数字产业的核心组件，中国在全球已形成显著竞争优势.某机构调研得到2021—2025年度中国PCB市场规模（单位：千亿元）依次为3.88，3.84，4.16，4.46，4.71，则这5个数据的40%分位数是（ ） A. 4.02 B. 4.00 C. 3.88 D. 3.84 【答案】A 【解析】 【分析】将给定的5个数据由小到大排列，利用第40%分位数的定义求解即得. 【详解】5个数据由小到大排列为：3.84，3.88，4.16，4.46，4.71， 由，得这5个数据的40%分位数是. 故选：A 4. 若向量，记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量线性关系及夹角的坐标运算求得，再由二倍角余弦公式求值. 【详解】由题设， 所以， 所以. 故选：C. 5. 已知正数，满足，则的最小值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】整理可得，利用乘“1”法结合基本不等式运算求解. 【详解】因为正数，满足，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为9. 故选：D. 6. 在 中，内角，，的对边分别为，，.若，，，则（ ） A. B. 20 C. 16 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦定理、余弦定理求解即可. 【详解】因为，，所以. 由正弦定理可知，，所以，， 又，所以，所以 . 由余弦定理知， ，所以，即. 又， 所以，所以. 故选：D. 7. 已知正四面体 各条棱的中点都在球的表面上，则球的表面积与该正四面体的表面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令正四面体 的棱长为6，根据给定条件，结合正四面体的结构特征确定球心的位置，再利用球面性质求出球半径，进而求出它们表面积之比. 【详解】取正四面体 各棱中点，如图， 可得平面平面，且，作平面于点，交平面于， 则为中点，且球心是的中点，即，令正四面体 的棱长为6， ，，， 而，因此球的半径， 所以球的表面积与该正四面体的表面积之比为. 故选：C. 8. 若函数存在极大值点和极小值点，，其中，都是实数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将极值点个数，转化为导数零点个数，再转变为图像交点个数，求出，再分别讨论当与的情况，找到满足题意的即可求出最终的范围. 【详解】由可得， 因为函数存在极大值点和极小值点， 故方程有两个不相等的实根， 当时，方程不存在两个根，故，从而可知有两个不相等的实根，令，， 故当和，，均单调递减； 当，，单调递增， 所以，进而可以画出图像如下： 根据有两个不相等的实根可知，函数与有两个不同的交点，故，接下来分析的正负情况. 当时，则，，令，， 令，解得， 当，，单调递减， 当，，单调递增， 所以在处取最小值， ，而，故， 所以根据零点存在定理易知存在两个不同的零点， 即存在两个不同的零点， 而，，单调递增，，，单调递减， 故分别为函数的极大值点和极小值点，且，满足题意. 此时由可得， 而，故，故A正确； 当时，则，令，， 令，解得， 当，，单调递增， 当，，单调递减，所以在处取最大值， ，而，故， 所以根据零点存在定理易知存在两个不同的零点， 即存在两个不同的零点，而，，单调递减， ，，单调递增， 故分别为函数的极小值点和极大值点，且，不满足题意. 由此当时，则，，不能确定，B不正确； 同理也不能确定，，CD不正确； 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合，若集合满足，则可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意化简集合，结合交集运算逐项分析判断. 【详解】对于选项A：若， 满足，符合题意，故A正确； 对于选项B：若， 则，不符合题意，故B错误； 对于选项C：若， 满足，符合题意，故C正确； 对于选项D：因为， 则，不符合题意，故D错误； 故选：AC. 10. 若，则（ ） A. （） B. C. 从，，…，这8个数中任取2个，这两个数的积为正数的取法有12种 D. 从，，，…，这8个数中任取3个，这三个数的和等于，，，…，中某数的取法有28种 【答案】ACD 【解析】 【分析】分析可知，，进而列举.对于A：可知的最大值为，即可判断；对于B：结合二项式性质分析判断即可；对于C：分析数的正负性结合组合数分析求解；对于D：分类讨论和项是否为0，结合组合数运算求解即可. 【详解】因为的展开式的通项为，， 则，， 可得依次为. 对于选项A：因为的最大值为，所以，，故A正确； 对于选项B：，故B错误； 对于选项C：若两个数的积为正数，则从任取两项或从任取两项， 所以不同的取法共有种，故C正确； 对于选项D：因为，共有4组， 若从选择一组，再从剩余的数中选择1个，不同的取法共有种； 检验可知，不同的取法共有种； 综上所述：不同的取法共有种，故D正确； 故选：ACD. 11. 已知定义域与值域均为 的函数满足，，，且，则（ ） A. B. C. ，是奇函数 D. ，满足 【答案】ACD 【解析】 【分析】令，得到，由于 的定义域与值域均为，令，得，则解析式为，逐个选项判断即可. 【详解】令，则， 由于 的定义域与值域均为，则令， 有，即； ，A正确； ，，B错误； ，是奇函数，C正确； ，，满足，D正确； 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，用，表示______. 【答案】 【解析】 【分析】对给定的等式两边取常用对数，再利用对数运算法则，结合方程的思想求解. 【详解】由，得，则； 由，得，则， 因此，所以. 故答案为： 13. 已知双曲线：（，），记，经过点，（），且（为原点），则的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，结合双曲线的对称性可得，将代入双曲线方程即可求出离心率. 【详解】依题意，是双曲线：的半焦距，令右焦点为， 由经过点，（），得点 关于轴对称，即， 则，于是，而 ，则， 由点在双曲线上，得，即，整理得， 因此，即，则，而， 所以的离心率. 故答案为： 14. 若函数有零点，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】换元令，可得在内有零点，分、和三种情况，结合绝对值的性质分析求解即可. 【详解】令，可得在内有零点， （i）若，则， 令，解得，不合题意； （ⅱ）若，则， 令，解得，不合题意； （ⅲ）若，根据绝对值的性质可得， 又因为，则， 因为在内有零点，则， ①当时，则，解得； ②当 时，则，解得； 综上所述：实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前项和. （1）证明：是等比数列； （2）若，分别是等差数列的第1项与第3项，求的公差. 【答案】（1） 数列的前项和，当时，， 即，而，解得， 所以是以为首项，为公比的等比数列. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定的递推公式，利用，结合等比数列定义推理得证. （2）由（1）的结论求出，进而求出并求出公差. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，则，， 所以等差数列的公差. 16. 已知椭圆的短轴长为2，点在椭圆上． （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线与椭圆相交于A，B两点．是坐标原点，的面积是，求实数的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用椭圆短轴长，可求得 ，利用点在椭圆上，进而可求，可得椭圆方程； （2）联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理可求得，求解即可. 【小问1详解】 由椭圆的短轴长为2，得，解得 ， 所以椭圆方程为 ，又点在椭圆上． 所以，解得，所以椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 设点， 联立直线与椭圆方程，得， 则，即， 且， 又直线与轴的交点， 所以 ， 因为的面积是，所以，所以， 解得 或 ，均符合题意. 故实数的值为或． 17. 如图，四棱锥 的底面是边长为4的正方形，是正三角形，，三棱锥的体积是四棱锥 体积的． （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面 所成角的正弦值． 【答案】（1）答案见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）先取 中点 连接 ，由正三角形性质得 ；再通过体积比例确定 底面 ；接着结合 与 ，证得 平面 ；最后由 平面 ，推出平面 平面 ； （2）先按题意建立空间直角坐标系，再设平面法向量，利用向量垂直条件列方程求解，最后代入线面角向量公式求出正弦值即可. 【小问1详解】 取 中点 ，连接 ， 因为 是边长为 的正三角形，所以 ，且 ， 在 中，，，由勾股定理得： ， 因为， ，所以 ， 又因为，，平面 ，故平面 ， 而平面 ，故平面平面 ，同理平面平面， 设，则到平面的距离为，到平面 的距离为， 则， ， 由题意 ，故 ，故， 故 ，而平面 ，平面 ，故， 而，平面，故平面， 而，故 平面， 又 平面 ，故 平面 平面 . 【小问2详解】 以为坐标原点，分别为 轴，过点平行于直线 的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， ，， 设平面 的法向量为 ，则： 解得 ，令 ，则 ，故 ， 设直线 与平面 所成角为 ，则： 因此，直线 与平面 所成角的正弦值为. 18. 春节期间，某商家开展购物抽奖活动，部分活动规则如下：在一个不透明的抽奖箱中放入张大小形状完全相同的卡片，其中有张卡片上标有“恭喜中奖”，其余都标有“谢谢参与”． （1）若每位顾客可以一次性抽取2张卡片，每张“恭喜中奖”卡片可以兑换精美礼品1份，现顾客甲参加抽奖活动． （ⅰ）在顾客甲抽中“恭喜中奖”卡片的前提下，顾客甲抽中“谢谢参与”卡片的概率； （ⅱ）设顾客甲获得的精美礼品的份数为求的分布列与方差； （2）商家根据购物次序给每位顾客编号，编号的个位数字是8的顾客的抽取规则如下：顾客每次抽取1张卡片，抽到“谢谢参与”卡片就放回抽奖箱，继续抽取，抽中“恭喜中奖”卡片就停止抽取，赠送精美礼品1份，如果抽取次仍然没有抽到“恭喜中奖”卡片，那么停止抽取，顾客不能获得精美礼品.若顾客乙编号的个位数字是8，记顾客乙抽取的次数是求的数学期望． 【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ）分布列见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）根据条件概率求解； （ⅱ）由题意知的可能取值为，再求对于概率，列出分布列并求期望即可； （2）由题意知的可能取值为，则，，再计算即可． 【小问1详解】 解：（ⅰ）记顾客甲抽中“恭喜中奖”卡片为事件，顾客甲抽中“谢谢参与”卡片为事件， 则 所以， 即在顾客甲抽中“恭喜中奖”卡片的前提下，顾客甲抽中“谢谢参与”卡片的概率为， （ⅱ）由题意知的可能取值为， 则. 的分布列为 所以， ； 【小问2详解】 由题意知的可能取值为， 则， ， 所以 设， 则 两式相减，得 所以， 所以 ． 19. 已知函数 . （1）求曲线在 处的切线方程； （2）设 ，证明：对任意 ，都有 ； （3）若数列满足，证明：. 【答案】（1） （2）因为，所以 时，递减； 时， 递增； 因为 ，所以 ，或 ， 若 ，由 在 上递增得 ； 若 ，因为 在 上递减，所以 ， 要证 ， 只要证 . 设 ， 则 ， 所以在 上单调递增， 所以 ，所以 . 故 . （3）由（2）知， 在 上单调递增， ， 因为对任意 ， 所以存在唯一 ，使得， 由 得， 首先证明：.① 设 ， 则 递增，所以 ， 当 时， ， ，所以单调递增； 当 时， ， ，所以单调递减， 则 ，当且仅当 时取“=”. 所以 ，即. 其次证明：.② 设 ， 则 ，所以 在 上单调递增，所以 ， 令，得. 由①②得， 综上，原不等式得证. 【解析】 【分析】（1）先求导，利用导数的几何意义求出含参的切线方程； （2）利用函数单调性证明不等式即可； （3）构造函数可证明结论. 【小问1详解】 因为， 所以 ， 所以曲线在 处的切线方程为 . 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建省2026届高三上学期1月质量检测数学试题 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：高考范围． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知为虚数单位，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知抛物线：的焦点为，点在上，且，为原点，则（ ） A. 6 B. C. 4 D. 3. 印刷电路板（PCB）是支撑数字产业的核心组件，中国在全球已形成显著竞争优势.某机构调研得到2021—2025年度中国PCB市场规模（单位：千亿元）依次为3.88，3.84，4.16，4.46，4.71，则这5个数据的40%分位数是（ ） A. 4.02 B. 4.00 C. 3.88 D. 3.84 4. 若向量，记，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知正数，满足，则的最小值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 6. 在中，内角，，的对边分别为，，.若，，，则（ ） A. B. 20 C. 16 D. 7. 已知正四面体各条棱的中点都在球的表面上，则球的表面积与该正四面体的表面积之比为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数存在极大值点和极小值点，，其中，都是实数，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合，若集合满足，则可以是（ ） A. B. C. D. 10. 若，则（ ） A. （） B. C. 从，，…，这8个数中任取2个，这两个数的积为正数的取法有12种 D. 从，，，…，这8个数中任取3个，这三个数的和等于，，，…，中某数的取法有28种 11. 已知定义域与值域均为 的函数满足，，，且，则（ ） A. B. C. ，是奇函数 D. ，满足 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，用，表示______. 13. 已知双曲线：（，），记，经过点，（），且（为原点），则的离心率为______. 14. 若函数有零点，则实数的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前项和. （1）证明：是等比数列； （2）若，分别是等差数列的第1项与第3项，求的公差. 16. 已知椭圆的短轴长为2，点在椭圆上． （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线与椭圆相交于A，B两点．是坐标原点，的面积是，求实数的值． 17. 如图，四棱锥 的底面是边长为4的正方形，是正三角形，，三棱锥的体积是四棱锥 体积的． （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面 所成角的正弦值． 18. 春节期间，某商家开展购物抽奖活动，部分活动规则如下：在一个不透明的抽奖箱中放入张大小形状完全相同的卡片，其中有张卡片上标有“恭喜中奖”，其余都标有“谢谢参与”． （1）若每位顾客可以一次性抽取2张卡片，每张“恭喜中奖”卡片可以兑换精美礼品1份，现顾客甲参加抽奖活动． （ⅰ）在顾客甲抽中“恭喜中奖”卡片的前提下，顾客甲抽中“谢谢参与”卡片的概率； （ⅱ）设顾客甲获得的精美礼品的份数为求的分布列与方差； （2）商家根据购物次序给每位顾客编号，编号的个位数字是8的顾客的抽取规则如下：顾客每次抽取1张卡片，抽到“谢谢参与”卡片就放回抽奖箱，继续抽取，抽中“恭喜中奖”卡片就停止抽取，赠送精美礼品1份，如果抽取次仍然没有抽到“恭喜中奖”卡片，那么停止抽取，顾客不能获得精美礼品.若顾客乙编号的个位数字是8，记顾客乙抽取的次数是求的数学期望． 19. 已知函数 . （1）求曲线在 处的切线方程； （2）设 ，证明：对任意 ，都有 ； （3）若数列满足，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $