福建莆田市2026届高三上学期1月质量检测数学试题

福建省2026届高三上学期1月质量检测数学试题 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：高考范围． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知为虚数单位，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知抛物线：的焦点为，点在上，且，为原点，则（ ） A. 6 B. C. 4 D. 3. 印刷电路板（PCB）是支撑数字产业的核心组件，中国在全球已形成显著竞争优势.某机构调研得到2021—2025年度中国PCB市场规模（单位：千亿元）依次为3.88，3.84，4.16，4.46，4.71，则这5个数据的40%分位数是（ ） A. 4.02 B. 4.00 C. 3.88 D. 3.84 4. 若向量，记，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知正数，满足，则的最小值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 6. 在中，内角，，的对边分别为，，.若，，，则（ ） A. B. 20 C. 16 D. 7. 已知正四面体各条棱的中点都在球的表面上，则球的表面积与该正四面体的表面积之比为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数存在极大值点和极小值点，，其中，都是实数，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合，若集合满足，则可以是（ ） A. B. C. D. 10. 若，则（ ） A. （） B. C. 从，，…，这8个数中任取2个，这两个数的积为正数的取法有12种 D. 从，，，…，这8个数中任取3个，这三个数的和等于，，，…，中某数的取法有28种 11. 已知定义域与值域均为的函数满足，，，且，则（ ） A. B. C. ，是奇函数 D. ，满足 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，用，表示______. 13. 已知双曲线：（，），记，经过点，（），且（为原点），则的离心率为______. 14. 若函数有零点，则实数的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前项和. （1）证明：是等比数列； （2）若，分别是等差数列的第1项与第3项，求的公差. 16. 已知椭圆的短轴长为2，点在椭圆上． （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线与椭圆相交于A，B两点．是坐标原点，的面积是，求实数的值． 17. 如图，四棱锥的底面是边长为4的正方形，是正三角形，，三棱锥的体积是四棱锥体积的． （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 18. 春节期间，某商家开展购物抽奖活动，部分活动规则如下：在一个不透明的抽奖箱中放入张大小形状完全相同的卡片，其中有张卡片上标有“恭喜中奖”，其余都标有“谢谢参与”． （1）若每位顾客可以一次性抽取2张卡片，每张“恭喜中奖”卡片可以兑换精美礼品1份，现顾客甲参加抽奖活动． （ⅰ）在顾客甲抽中“恭喜中奖”卡片的前提下，顾客甲抽中“谢谢参与”卡片的概率； （ⅱ）设顾客甲获得的精美礼品的份数为求的分布列与方差； （2）商家根据购物次序给每位顾客编号，编号的个位数字是8的顾客的抽取规则如下：顾客每次抽取1张卡片，抽到“谢谢参与”卡片就放回抽奖箱，继续抽取，抽中“恭喜中奖”卡片就停止抽取，赠送精美礼品1份，如果抽取次仍然没有抽到“恭喜中奖”卡片，那么停止抽取，顾客不能获得精美礼品.若顾客乙编号的个位数字是8，记顾客乙抽取的次数是求的数学期望． 19. 已知函数. （1）求曲线在处的切线方程； （2）设，证明：对任意，都有； （3）若数列满足，证明：. 福建省2026届高三上学期1月质量检测数学试题 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：高考范围． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】AC 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1） 数列的前项和，当时，， 即，而，解得， 所以是以为首项，为公比的等比数列. （2）. 【16题答案】 【答案】（1） （2）或 【17题答案】 【答案】（1） 取 中点 ，连接 ， 因为 是边长为 的正三角形，所以 ，且 ， 在 中，，，由勾股定理得： ， 因为，，所以， 又因为，，平面，故平面， 而平面，故平面平面，同理平面平面， 设，则到平面的距离为，到平面的距离为， 则， ， 由题意 ，故，故， 故，而平面，平面，故， 而，平面，故平面， 而，故平面， 又 平面 ，故 平面 平面 . （2） 【18题答案】 【答案】（1）（ⅰ）； （ⅱ）分布列为 （2） 【19题答案】 【答案】（1） （2）因为，所以 时，递减； 时， 递增； 因为，所以，或， 若，由 在 上递增得； 若，因为 在 上递减，所以， 要证， 只要证. 设， 则， 所以在 上单调递增， 所以，所以. 故. （3）由（2）知， 在 上单调递增，， 因为对任意， 所以存在唯一，使得， 由得， 首先证明：.① 设， 则递增，所以， 当时，，，所以单调递增； 当时，，，所以单调递减， 则，当且仅当 时取“=”. 所以，即. 其次证明：.② 设， 则，所以在 上单调递增，所以， 令，得. 由①②得， 综上，原不等式得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $