精品解析：新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市新疆生产建设兵团第二中学2023-2024学年高一上学期奥赛班加试数学试题

兵团二中2025届高一年级2023-2024学年第一学期 奥赛班加试数学试卷 时间：100分钟 满分：100分 一、填空题（每小题8分，共64分） 1. 设集合，则的元素个数为___________. 【答案】24 【解析】 【分析】根据集合的特性即可求得结果. 【详解】因集合， ， 所以， 则的元素个数为24个. 故答案为：24 2. 已知x、y满足.则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据求出，再由求出，再利用二次函数的图像和性质求解. 【详解】由于故. 由,知 因此,当时, 有最小值-1,此时,y可以取; 当时, 有最大值此时，y可以取 由的值域为,知的取值范围是． 故答案为 【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质，考查二次函数的图像和性质，考查二次函数的值域的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力. 3. 在△ABC中,M为边BC的中点,N为线段BM的中点.若,则的最小值为______________． 【答案】 【解析】 【分析】先计算出，再求出和再利用基本不等式求得. 【详解】由条件知 故 由 当时，的最小值为． 故答案为 【点睛】本题主要考查平面向量的运算和数量积，考查三角形的面积和基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 4. 已知复数满足（表示的共轭复数），则的所有可能值的积为_______________. 【答案】 【解析】 【分析】设，结合题中条件复数相等解得的值，再计算所有可能值的积； 【详解】设，由，得， 整理得， 比较实部、虚部得，即 又知，从而有，进而， 于是，满足条件的复数的积为， 故答案为：. 5. 设为的外心，若，则的值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】设外接圆的半径为，由已知条件可得，即且，取的中点，连接可得，计算的值，再由余弦定理求出，在中，由正弦定理即可求解. 【详解】 设外接圆半径为， 因为，所以， 所以，且， 取的中点，连接，则， 因，所以，即， 所以， 在中由余弦定理可得： ， 在中，由正弦定理可得：， 故答案为：. 6. 已知定义在上的函数，设，，是三个互不相同的实数，满足，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】画出的图象，数形结合得到，，，由得，得到，又，则，最后求出即可. 【详解】不妨设，由于在上严格单调递减， 在上严格单调递增，在上严格单调递减， 又，，结合图象可知，，， 所以，由得，， 取，所以，所以，又， 所以，可得，则的取值范围为． 故答案为： 7. 设实数a满足.则a的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【详解】由. 则由原不等式得: . 又，故. 8. 祖暅（公元前世纪），字景烁，是我国南北朝时期的数学家.他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异.”这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晩一千一百多年.如图将某几何体（左侧图）与已被挖去了圆锥体的圆柱体（右侧图）放置于同一平面上.以平行于平面的平面于距平面任意高处可横截得到及两截面，若总成立，且图中圆柱体（右侧图）的底面半径为2，高为3，则该几何体（左侧图）的体积是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意给的原理可得该几何体的体积为，代入数据求解即可. 【详解】因为总有，圆柱的高为3，底面圆的半径为2， 所以该几何体的体积为， 故答案为：. 二、解答题（每小题12分，共36分） 9. 在中，已知. （1）将的长分别记为，证明：； （2）求的最大值. 【答案】（1）证明见详解. （2） 【解析】 【分析】（1）运用向量数量积的定义和三角形的余弦定理证明结论成立即可； （2）根据余弦定理以及基本不等式的性质，化简计算可得的最大值. 【小问1详解】 在中，设角所对的边为， 由向量数量积的定义可得， 再由余弦定理得， 化简得，故原命题成立. 【小问2详解】 由（1）可得，即， ， 当且仅当时，等号成立，的最小值为， 又，， 故的最大值为. 10. 函数是数学中重要的概念之一，同学们在初三、高一分别学习过，也知晓其发展过程.1692年，德国数学家莱布尼茨首次使用function这个词，1734年瑞士数学家欧拉首次使用符号f(x)表示函数.1859年我国清代数学家李善兰将function译作函数，“函”意味着信件，巧妙地揭示了对应关系.密码学中的加密和解密其实就是函数与反函数.对自变量恰当地赋值是处理函数问题，尤其是处理抽象函数问题的常用方法之一.请你解答下列问题. 已知函数f(x)满足：对任意的整数a，b均有f(a+b)=f(a) +f(b)+ab+2，且f(－2)=－3.求f(96)的值. 【答案】4750 【解析】 【详解】在f(a+b)=f(a)+f(b)+ab+2中，令a=b=a，得 f(0)=f(0)+f(0)+0+2，于是f(0)=－2. 在f(a+b)=f(a)+f(b)+ab+2中，令a=2，b=－2，得f(0)=f(2)+f(－2)－4+2. ∴－2=f(2)_3－4+2，f(2)=3. 在f(a+b)=f(a)+f(b)+ab+2中，令a=n－2，b=2，得 f(n)=f(n－2)+f(2)+2(n－2)+2=f(n－2)+3+2(n－2)+2=f(n－2)+2n+l. ∴f(n)－f(n－2)=2n+1. ∴f(96)－f(94)=2×96+1， f(94)－f(92)=2×94+1， f(94)－f(92)=2×94+1， …… 上述等式左右两边分别相加，得f(96)－f(2)=2(96+94+…+4)+47. ∴. 11 已知函数. （1）记，求在区间内最大值与最小值； （2）求的值.（例如：） 【答案】（1）在区间内的最大值为，最小值为 （2） 【解析】 【分析】利用诱导公式和二倍角公式结合三角函数的性质即可求出； 利用（1）的结论将原式进行分组，然后计算得结果. 【小问1详解】 由题意得， ， ，，， ， 故在区间内的最大值为，最小值为. 【小问2详解】 由（1）可得， ， ，， ， ， 故原式一共有44组再加上， ， 由诱导公式得，， 以此类推可知， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兵团二中2025届高一年级2023-2024学年第一学期 奥赛班加试数学试卷 时间：100分钟 满分：100分 一、填空题（每小题8分，共64分） 1. 设集合，则的元素个数为___________. 2. 已知x、y满足.则的取值范围是___________． 3. 在△ABC中,M为边BC的中点,N为线段BM的中点.若,则的最小值为______________． 4. 已知复数满足（表示共轭复数），则的所有可能值的积为_______________. 5. 设为的外心，若，则的值为___________. 6. 已知定义在上函数，设，，是三个互不相同的实数，满足，则的取值范围为______． 7. 设实数a满足.则a的取值范围是________. 8. 祖暅（公元前世纪），字景烁，是我国南北朝时期的数学家.他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异.”这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晩一千一百多年.如图将某几何体（左侧图）与已被挖去了圆锥体的圆柱体（右侧图）放置于同一平面上.以平行于平面的平面于距平面任意高处可横截得到及两截面，若总成立，且图中圆柱体（右侧图）的底面半径为2，高为3，则该几何体（左侧图）的体积是__________. 二、解答题（每小题12分，共36分） 9. 在中，已知. （1）将长分别记为，证明：； （2）求的最大值. 10. 函数是数学中重要的概念之一，同学们在初三、高一分别学习过，也知晓其发展过程.1692年，德国数学家莱布尼茨首次使用function这个词，1734年瑞士数学家欧拉首次使用符号f(x)表示函数.1859年我国清代数学家李善兰将function译作函数，“函”意味着信件，巧妙地揭示了对应关系.密码学中的加密和解密其实就是函数与反函数.对自变量恰当地赋值是处理函数问题，尤其是处理抽象函数问题的常用方法之一.请你解答下列问题. 已知函数f(x)满足：对任意的整数a，b均有f(a+b)=f(a) +f(b)+ab+2，且f(－2)=－3.求f(96)的值. 11 已知函数. （1）记，求在区间内最大值与最小值； （2）求的值.（例如：） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $