精品解析：山东省济南市2026届高三第一次模拟考试数学试题

济南市2026届高三第一次模拟考试 数学试题 本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】找出集合中满足集合条件的元素，确定交集后选择最匹配的选项. 【详解】逐一检查集合中各元素，其中只有、 满足 ，所以. 故选：A 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由已知条件结合复数的四则运算法则可得复数，再求. 【详解】复数满足，则有， 得，所以 . 故选：B 3. 在平面直角坐标系中，角与角均以 为始边，已知角的终边在第一象限，且，将角的终边按照逆时针方向旋转，得到角的终边，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由平方关系求出，根据两角和的正弦公式求解. 【详解】因为是第一象限角，所以，所以， 又由题意可知， 所以， 故选：C. 4. 若圆与抛物线的准线相切，则的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出圆的圆心坐标及半径，抛物线的准线方程，再根据准线和圆相切即可得到答案. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为2， 抛物线的准线方程为， 圆与抛物线的准线相切， 则有，解得，所以抛物线的焦点坐标为. 故选：B 5. 我国2016-2024年科幻产业营收（单位：亿元）如下表所示： 年份 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 时间变量 1 2 3 4 5 6 7 8 9 营收 100.0 140.0 456.4 658.7 551.1 829.6 877.5 1132.9 1089.6 根据表中数据建立与的线性回归方程，预测我国2025年科幻产业营收约为（）（参考数据：） A. 1222.1亿元 B. 1310.9亿元 C. 1339.1亿元 D. 1443.4亿元 【答案】B 【解析】 【分析】先利用样本中心点在回归直线上的性质，求出截距，再代入2025年对应的时间变量计算预测值. 【详解】， 所以样本中心点为满足回归方程， 代入得：，计算得： 所以回归方程为. 2025年对应的时间变量，代入回归方程： 因此，预测我国2025年科幻产业营收为1310.9亿元. 故选：B 6. 已知函数的图象上存在不同的两点关于轴对称，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象上存在不同的两点关于轴对称，得到关于的表达式，然后通过函数的单调性和最大值，进而确定的取值范围. 【详解】设函数图象上关于轴对称的两点分别为， 因为这两点都在函数的图象上，所以有， 两式相减得：， 整理并化简得：，即， 因为 ，所以，即， 令，所以在 上单调递增，在 上单调递减， 所以， 又因为 ，所以， 所以 ， 故选：D 7. 已知椭圆的左､右焦点分别为是的左顶点，为所在平面内一点，且.若与均为等腰三角形，则的离心率为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据与均为等腰三角形，结合，分情况讨论三角形的腰长，进而求出椭圆的离心率. 【详解】已知椭圆 的左、右焦点为，，左顶点. 因为为等腰三角形且，所以是等边三角形，边长为，故，点坐标为. 又为等腰三角形，，，. 由等腰三角形性质， 若，则，则，离心率. 若，可得，即，则，因为，所以此情况不成立. 若，可得，则， 化简得，因为，所以，不满足，此情况不成立. 因此，椭圆的离心率为. 故选：D 8. 若存在，对任意的，都有，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】问题转化为在上恒成立，令，利用导数求出，则存在，使，令，利用导数求出的最大值即可得到的最大值. 【详解】任意的，都有， 则有在上恒成立， 令，函数定义域为， ，令，解得， 时，，在上单调递减； 时，，在上单调递增， ， 因此存在，使， 令，，令，解得， 时，在上单调递增； 时，在上单调递减， 有， 所以时，的最大值为. 故选：C 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知实数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】举反例判断AD，利用不等式的性质判断BC. 【详解】因为，所以， 对于A，若 ，则，故A错误； 对于B，， 又，所以， 所以，所以，故B正确； 对于C，因为，所以，所以， 所以，故C正确； 对于D，当时，，不成立， 故D错误； 故选：BC 10. 已知函数的图象关于直线对称，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 为奇函数 C. 在上单调递增 D. 在内恰有3个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】由函数关于直线对称得到，则，根据三角函数性质逐项判断. 【详解】对于A：因为函数关于直线对称，所以，等价于， 由得，即， 所以，则，A正确； 对于B：因为， 所以是奇函数，B正确； 对于C：由得，若，则单调递增， 若，则单调递减，C错误； 对于D：令，则，解得， 由得，又 ， 所以，即在内恰好有个零点，D正确； 故选：ABD. 11. 现进行如下试验：从中任选一个数，记为，若，则试验结束；否则再从中任选一个数，记为，若 ，则试验结束；否则再从中任选一个数，依次类推，直至选中1为止.记事件“试验过程中，数字被选到”，表示事件发生的概率（ ），则（ ） A. B. C. D. 且 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于选项A，可根据试验过程直接计算；对于选项B，需要根据试验过程分析表达式；对于选项C，根据条件概率公式判断与是否相等；对于选项D，时，有，得，可知，，则有，可得. 【详解】对于A，若数字9被选到，有两种情况： 第一次选数时，从1到10中选到9，概率为， 第一次选到10，第二次从1到9中选到9，概率为， 所以，选项A错误； 对于B，若数字8被选到，有以下几种情况：第一次就选到8，概率为； 发生后，下一次从1到8中选到8，概率为， 发生后，下一次从1到9中选到8，概率为， 这几种情况彼此互斥，所以，选项B正确； 对于C，根据条件概率公式，， 若发生，即数字9被选到，那么在选到9的情况下， 下一次从1到8中选到8的概率为，即， 若发生，即数字10被选到，那么在选到10的情况下，可以下一次从1到9中选到8， 也可以是下一次从1到9中选到9，再下一次从1到8中选到8， 即， 所以，选项C正确； 对于D，对于即选中 的情况，设为选中数当中不小于 的最小整数， 则 ， 当时，有，，， 结合知，， 所以最大数选取是任意的，始终有， 对于 同时选中情况，不妨设 ，可理解为从中按规则取数， 选中的概率，则有， 可得，选项D正确. 故选：BCD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若向量满足，且，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】先利用向量的数量积的运算律得，然后再利用数量积的运算律及模长公式求解即可. 【详解】因为，所以两边平方得，则， 因为，所以. 故答案为： 13. 若，则的值为__________. 【答案】0 【解析】 【分析】通过赋值，代入即可求解. 【详解】由，令， 则有， 即. 故答案为：0 14. 已知正方体的棱长为2，点均在某圆锥的侧面上，点均在该圆锥的底面上，则该圆锥的体积的最小值为__________. 【答案】 . 【解析】 【分析】设圆锥底面半径为，高为，过正方体的一组对棱作圆锥 的截面，利用三角形相似对应边成比例列方程得到与关系，把圆锥的体积表示为关于的函数，利用导数求最小值． 【详解】设圆锥底面半径为，高为，则， 过正方体的一组对棱作圆锥 的截面，如图所示： 由题意可得：，， 正方体的棱长为2，则， 面对角线，所以， 由，可得，， 即，解得：， 所以圆锥的体积， 令，则， 时，，单调递减， 时，，单调递增， 所以， 时，圆锥的体积有最小值. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和为，且 . （1）求的通项公式； （2）设，记为数列的前项和，证明： . 【答案】（1） （2） ， ， 所以 ， 所以 ， 命题得证. 【解析】 【分析】（1）利用的关系，结合等比数列的定义和通项公式进行求解即可； （2）根据对数的运算性质，结合等差数列前 项和公式，利用裂项相消法进行运算证明即可. 【小问1详解】 当时， ， 当 时， ，作差得： ， 即 ， 所以是首项为2，公比为2的等比数列，所以. 【小问2详解】 略 16. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，，点分别是棱 的中点. （1）证明：平面； （2）若 ，平面 平面，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）取中点，连接 . 因为 为 中点， 所以为 的中位线， 所以 且. 在正方形中，为中点， 所以 且 ， 所以 且 ， 所以四边形是平行四边形. 所以 . 又 平面 平面， 所以平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）通过构造辅助线取中点，连接 ，利用中位线定理证明四边形是平行四边形，从而证得线面平行； （2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，再利用向量夹角公式计算二面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由于平面 平面，平面 平面 ， 平面 平面. 以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 不妨设 ，则有 . 设平面的法向量 ， ，所以，不妨令， 得 ； 设平面的法向量 ， ，所以，不妨令， 得 ； 设平面与平面夹角为 ， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 17. 已知分别是内角的对边，. （1）若，求的面积； （2）若，求的正切值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由及余弦定理求出，再由正弦定理求出，由内角和求出，由面积公式求解； （2）在中，有，在中，有，两式相比化简求值. 【小问1详解】 因为， 所以. 因为，所以， 因为，所以. 所以，又，所以，所以， ， 所以. 【小问2详解】 因为，所以为中点. 由题设及余弦定理可得，因为，所以. . 设，在中，有①， 在中，有②， ①②相除，得： ，所以， 所以，即， 所以的正切值为. 18. 已知双曲线的实轴长为4，且经过点. （1）求的方程； （2）记的右顶点为，点在线段（不含端点）上运动，垂直于轴的直线交于点（在第一象限），点满足，设直线 与的另一个交点为. （i）用表示直线 的斜率； （ii）证明直线过定点. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）由（i）可知， 即. 由题意可知，直线的斜率显然存在， 设直线，联立，消得 ， ， ， 所以， 所以直线， 所以直线过定点. 【解析】 【分析】（1）由已知列方程组求出 ，得到双曲线方程； （2）（i）先由点求出直线方程，得到的坐标，再根据向量得到的坐标，由斜率公式求解；（ii）先结合（i）的结论推出，再设出直线的方程并与双曲线方程联立，通过韦达定理和斜率关系推导出直线方程中的参数关系，进而确定直线所过的定点。 【小问1详解】 由题意可知， 解得， 故的方程为. 【小问2详解】 （i）因为，所以直线方程为， 由于，故， 因为，所以， 所以. （ii）略 19. 已知函数的定义域为，导函数.将所有的极值点按照从小到大的顺序排列构成数列. （1）若，比较与的大小； （2）从下列两个命题中任选一个证明： ①数列为递减数列； ②数列为递增数列； （若两个命题均选，按照第一个解答计分） （3）若 为正整数，且对任意的，都有，求 的最小值. 【答案】（1） （2）选择①， 令， 则， 当时，即时，， ， 故， 由（1）知，. 故单调递减，从而有， 即， 即，从而数列为递减数列. 选择②， 令， 则， 当时，即时，， ， 故， 由（1）知，， 故单调递增，从而有， 即， 即，从而数列为递增数列. （3）1 【解析】 【分析】（1）先根据导函数确定极值点，再通过作差法比较 与 的大小； （2）选择①，构造函数，选择②，构造函数求导计算可得 ，结合（1）中可得的正负，通过分析函数的单调性来判断相邻两项的差值； （3）先分析函数在给定区间上的单调性，再根据单调性求出函数在该区间上的最值，可得，构造函数，通过单调性判断进而得出，确定 的最小值. 【小问1详解】 令，得， 因为 为的变号零点，所以. 当时，，且. ， . 故. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知，在区间上，的最大值为，的最小值为. 对任意，都有成立， 当且仅当. 因为 为正整数，所以当时，令， 则， 注意到，且， 从而有， 故单调递增. 故，即，故. 从而 的最小值为1. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 济南市2026届高三第一次模拟考试 数学试题 本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 3. 在平面直角坐标系中，角 与角均以 为始边，已知角 的终边在第一象限，且，将角 的终边按照逆时针方向旋转，得到角的终边，则（ ） A. B. C. D. 4. 若圆与抛物线的准线相切，则的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 我国2016-2024年科幻产业营收（单位：亿元）如下表所示： 年份 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 时间变量 1 2 3 4 5 6 7 8 9 营收 100.0 140.0 456.4 658.7 551.1 829.6 877.5 1132.9 1089.6 根据表中数据建立与的线性回归方程，预测我国2025年科幻产业营收约为（）（参考数据：） A. 1222.1亿元 B. 1310.9亿元 C. 1339.1亿元 D. 1443.4亿元 6. 已知函数的图象上存在不同的两点关于轴对称，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆的左､右焦点分别为是的左顶点，为所在平面内一点，且.若与均为等腰三角形，则的离心率为（） A. B. C. D. 8. 若存在，对任意的，都有，则 的最大值为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知实数满足，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的图象关于直线对称，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 为奇函数 C. 在上单调递增 D. 在内恰有3个零点 11. 现进行如下试验：从中任选一个数，记为，若，则试验结束；否则再从中任选一个数，记为，若 ，则试验结束；否则再从中任选一个数，依次类推，直至选中1为止.记事件“试验过程中，数字被选到”，表示事件发生的概率（ ），则（ ） A. B. C. D. 且 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若向量满足，且，则的值为______. 13. 若，则的值为__________. 14. 已知正方体的棱长为2，点均在某圆锥的侧面上，点均在该圆锥的底面上，则该圆锥的体积的最小值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和为，且 . （1）求的通项公式； （2）设，记为数列的前项和，证明： . 16. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，，点分别是棱 的中点. （1）证明：平面； （2）若 ，平面 平面，求平面与平面夹角的余弦值. 17. 已知分别是内角的对边，. （1）若，求的面积； （2）若，求的正切值. 18. 已知双曲线的实轴长为4，且经过点. （1）求的方程； （2）记的右顶点为，点在线段（不含端点）上运动，垂直于 轴的直线交于点（在第一象限），点满足，设直线 与的另一个交点为. （i）用表示直线 的斜率； （ii）证明直线过定点. 19. 已知函数的定义域为，导函数.将所有的极值点按照从小到大的顺序排列构成数列. （1）若，比较与的大小； （2）从下列两个命题中任选一个证明： ①数列为递减数列； ②数列为递增数列； （若两个命题均选，按照第一个解答计分） （3）若 为正整数，且对任意的，都有，求 的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $