树德中学2025-2026学年高一上学期1月期末测试数学试题

树德中学高2025级高一上期期末测试数学试题 命题人赖富彬 审题人:叶强、洪晓蕾、严芬 考试时间;120分钟总分:150分 一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的。) 1.已知集合A={yy=3},B={xly=ln(x-1)},则A∩B=( A.(0,十∞) B.(0,1) C.(1,+∞) D.(-00,0 2.“cosc=0"是“sinx=1"的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.函数fo)=2*-三+a的一个号点在区间(1,3)内,则实数a的取值范围是( A.(1,+00) B.(-00,-7) C.(-00,-7)U(1,+o0 D.(-7,1) 4.函数f(x)= (1+x2)sina 的部分图象大致是( 1-x2 x>0 5.设函数f(c)= ,若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是() ln(-c),x<0 A.(-1,0)U(0,1)B.(-0,-1)U(0,1) C.(-1,0)U(1,+0) D.(-0∞,-1)U(1,+0) 6.已知点(5,号)在幂函数f(m)=x的图象上,设a=f(logo引,b=f(sin46,c=f(26), 则a,b,c的大小关系为() A.a>b>c B.c>b>a C.b>c>a D.c>a>b x已知eos(若+a=号且否<a<弩,则sin(g-aj= A.、 2W2 3 B. c. D.3② 3 高一数学期末20 3f)=sin(a+p)(o>0,-元<p<小,在[晋,音]上单调递增,且2=及为它的一条对称 轴,(号0)是它的一个对称中心,当x∈[0,晋]时,f)的最小值为( A.3 2 B.-② c.- D.0 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选 对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分 9.下列命题正确的是() A.函数f(x)=a-1-2(a>0且a≠1)的图象恒过定点(1,-1) B.若f(x)的值域为[-2,2],则f(x-1)的值域为[-3,1] C.x=号是函数f()=20o(2m+)的一条对称轴 D.“m<0是“关于x的方程x2-2x+m=0有一正根和一负根"的充要条件 10.下列说法正确的有( Atx∈(0,5)sinx<x B.VE0),+cos< tanx < D.V6∈(0,于),(sin6)ew<(cos)a 1.利用计算工具计算:当n=1时,(1+子)=2:当n=2时,1+号尸=号 =2.25;当n=3时, (1+方-(告=2.3704:当m-10时,1+b)”=110s2.5987:当m起来越大时,1+7》 也越来越大,无限的趋近于 ,那么下列说法正确的是( A.ln(1.5)>0.5 B.5ln(1.2)<1 C. D.1+号+号 十十 1 1 2025+2026 <1n2027 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.已知函数f()=sin(o+0+5)+ln(2+2)(6∈(-受,号)为偶函数,则tan0= 13.函数f(x)=2loga(x-1)+1(a>0且a≠1)过定点A,若A∈{(x,y)mac+4ny=4,m>0,n>-1}, 划n2十n十店的最小道为 14给出定义:若m一号<x≤m+号(其中m为整数),则m叫做离实数x最近的整数,记作(x),即 (x〉=m.已知f(x)=x-〈x): 1f(8)=: (2)若方程f(=log(如+2)恰有7个实数根,则实数a的取值范围是 26-01第2页共2页 四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)求下列各式的值: 06分l0g3-1og-1og27-1og4+。-1+(0.125)子 sin(x+a)+cos-a) (2)(7分)若角0终边经过点(1,-1),求 -tan(3 +)+ cos(2 -u)+sin(-&) sina.cosa 的值. 16.(15分)已知函数f()=√2sin(至-2x),x∈R. (1)(6分)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间; (2)(0分)若方程f)+a=0在区间[班,冬]上恰有两个不相等的实数根西,,求asin(a+】的取值 范围. 17.(15分)某学校为迎接校庆,拟建一个扇环形状的花坛(如图所示),按设计要求扇环的周长为36米,其 中小圆弧所在圆的半径为12米,设大圆弧所在圆的半径为x米,圆心角为8>0)(弧度) (1)(6分)求0关于x的函数解析式,并求出x的取值范围: (2)(9分)己知对花坛的边缘(实线部分)进行装饰时,直线部分的装饰费用为32元/米,弧线部分的装饰 费用为8元/米,设花坛的面积与装饰总费用之比为y (i)(5分)求y关于x的函数解析式; ( )(4分)求出y的最大值和y取最大值时的c的值 高一数学期末2026 18.(17分)(1)(10分)设f(c)=1og2x,f(x)=1og0.5c ①(5分)求函数y=f(4)(发),x∈[1,8]的最大值. ②(5分)当不等式f(4如)-mf(平)<0在[2,4上有解时,求m的取值范围。 (2)(7分)设()=2m+,是否存在常数k,使得h(四)小 h()≥k,对于任意正数x,2且四十2=2 恒成立?如果存在,求出k的最大值:如果不存在,请说明理由 19.(17分)己知两个函数y=∫(c),c∈D,y=F(c),x∈D2若对任意的x1∈D1,存在唯一的c2 ∈D2,使得f(x)F(x2)=1成立,则称Fx)为f(c)的“友好函数”. (1)(3分)判断函数G(x)=cosc,c∈[0, ]是否为g(c)=sinx,x∈[0, ]的“友好函数”,并说明理 由; (2)(5分)若函数H(c)=log2c,x∈[m,n]是h(x)=2,x∈[-2,-1]的“友好函数”,求n-m的 最小值: 30分例已知晒数Q)-1og(年1+量)eI0,ml,9-smu-音xe[-合小 若Q(c)是q(c)的“友好函数”,且q(c)也是Q(x)的“友好函数”,求实数t的值及m-k的最大值. -01第2页共2页 树德中学高2025级高一上期期末测试数学试题参考答案 1 2 3 4 5 6 8 9 10 11 C B D A B B A C ACD ABD BC 12. 3 140)-8 (2)(16,25) 15解:1)=1og3 )-og3)(og2)+1+8=2-2+1+4=5…6分 (2)因为角0终边经过点(1,-1),所以tana=-1 sin(xa)+cosa) 3 tan(3元+a)+ 1 -sina-sina -tana+ cos(2 -u)+sin(-a) sina.cosa cosa-sina sin2a+cos2a -2tand -tana+an2a+1=0…l3分 sina.cosa 1-tana tana 16,解:f(m)的最小正周期T=受=元 …2分, 因f(a)=V2sin(于-2x=-V2sin(2x-F), 所以:2kx-号≤2s-吾≤2x+号解得:版-晋≤e≤饭+,k∈2 所以减区间为:[x-否,k版+]k∈乙 …6分 (2:登≤云≤专看≤2一晋≤受当在区间[贤,否]上恰有两个不相等的实数根, 竖≤V2sim2z-)<反,当号≤a<2时, 恰有两个不相等的实数根D1,x2 ..…12分 此时2至+2-至=,a+=平im(十a)=号 2 ≤a sin(ag+x2)<1 :.2 .…15分 17.解:(1)由题可知2(x-12)+(x+12)0=36,解得日=60-2巴.…4 x+12 x>12 义60-2匹之0可得12<心<30.所以关于如的函数解析式为0一0,2∈2,30) 又由 x+12 …6分 (2)(i)花坛的面积为号0(x2-12)=(30-如)(x-12),装饰总费用为32 2(x-12)+8 (x+12)0=48(x-6), 高一数学期末2026 所以花坛的面积与装饰总费用之比为y=。 30-xg=12,x∈(12,30.11分 48(x-6) (i)令t=x-6,t∈(6,24), 则y玉:24-6-泰 40-4-表儿0-14月≤6 48 48 t (30-2 12)=8, 1 当且仅当t= 生,即无一12时取等号,此时2=18放y的侵大值为日此时z-18、15分 1s解:①①y-f(4)f(号)-log(4)log影(号)-(log0+2(-1ogc+3), 令t=log0,t∈[0,3],y=-8+t+6,对称轴为t=号函数在[0分]上单调递增,[分,3] 上单调递减,∴当t=号时,y= 25 …5分 ②由题可知,不等式f(4)+mf(圣)<0在x∈[2,1上有解,即log(4如)+mlog(华)<0,化 简得(1og2+2)+m(1og2x-2)<0,令n=log2x,n∈[1,2],则(n+2)+m(n-2)<0在n∈ [1,2]上有解. 解法1:∴.g(n)=(1+m)n+2-2m<0在n∈[1,2]上有解,g(2)=4>0,.g(1)=3-m< 0即m>3. 解法2:当n=2时,4<0.无解:当n∈[1,2时,m>(3品)y=公号=-1+元在n ∈[1,2)上单调增,∴.当n=1时,ymin=3,∴.m>3 综上:m>3. …10分 ②由题意可得h()=2z+至.hM-hM=(2a+武)2+式) ++)=+股+ C1C2 D12 =4+6+44)=4+ C1C2 X1C2 令t=>0,由5木不等式得t=西西,<(色-1y=42-)在tE0,刂上单调 递减, ∴.ymim=4 25=100,∴.k≤100,所以存在最大的常数k=100. .…17分 19.解:(1)G(x)=cosc,x∈[0, ]不是g(x)=sinx,x∈[0, ]的“友好函数”,理由如下: 取x=0∈[0, ],因为g(0)=0,所以不存在x2∈[0, ],使得G(c2)g(0)=1, 所以G(x)=cosx,x∈[0, ]不是g(x)=sinx,x∈[0, ]的“友好函数”:…3分 -01第2页共2页 (2)由题意,对任意x∈D,存在唯一x2∈D2使h(c)H(x2))=1成立, 即)=b,所以西数,石的值城是函数H口值域的子朱 h(x1) h(x) 因为h()=2,x∈[-2,-11,所以-e[2,4,其值域为[2,4, h(x)2" 而H(xc)=log2c在x∈[m,n]上单调递增,故值域为[log2m,log2n], 从而1ogn≥4,即f ogm≤2即0长14,所以(n-mmn=12: …8分 (3)当Q(x)是q(x)的“友好函数”时,由题意,对任意的∈D,存在唯一的x2∈D2,使q(c)Q(x2) =1成立,即Q()=1、,则,1的值域是Q()值域的子集当q(x)是Q(x)的“友好函数”时, q(c)q(x) 由题意,对任意的x2∈D2,存在唯一的x1∈D1使Q(2)q(c)=1成立, 即,-Q(),则Q(x)的值域是 值域的子集 值域相 q(cx) q(x) 所以Q(x)的值域与1 (x) 同(且值域中的数值一一对应) 当Q(如)是g(o)的“友好函数时,因为96)=sin-石晋)=-1, 若有在∈[-合,t]使得q)=0,则不存在∈[0.m小,使得ga)Q()=1, 所以当xe[-石小时,ge)=sin(xa-晋)<0.所以-6<t<行…10分 因为在吉上单时,所以天 1 ①当太=0时,Q=-2.不特合要求:②当k<0时,Q=1 年十生 ,x∈[0,m] 因为年10.片以Qe)-1e任十号)≤2.不符台装求: x2+4 @0n.Q国=hs三+ ,x∈(0,ml,若0<m≤2,则y=x+4在(0,ml上 单调递减,从而Q(c)在(0,m]上单调递增,故Q(c)∈(-2,Q(m)], 从前ei0,m]时.Q-1og4方)e-2,Qml: 1 =-2 因为Q(x)的值域与1 值域相同,所以 sin(rt-s)】 (x) 高一数学期末2026 t= 即 6 k=- + …13分, m 所以m-k=3m -1 m ,又y=3m-在(0,21上单调递增, 4 m 所以当m=2时,m-k的最大值为1.…15分 若m>2,则y=x十4在(0,2]上单调递减,在(2,m]上单调递增, 2 此时Q()值域与1、 值域中的数值不可能一一对应,不符合要求, 9(c 综上:t= 6,m-k的最大值为1 …17分 01第2页共2页