广东惠州市第一中学2025-2026学年九年级上学期期末考试数学试题

惠州一中教育集团2020一一2026学年第一学期期末质量检测 九年级数学参考答案 一、选择题BCBBC DABCB 二、填空题11.9012.313.(2，-4)14.16一 15. -1 三、解答题 16.解：原式 3-4x5+5x1 …3分 2 2 _322+5 Γ4 …5分 …7分 4 17.(1)解：把点C(2,c)代入y=x+2,得c=2+2=4, 点C(2,4)…1分 把点C(2,4)代入y=,得k=2x4=8 8 ∴.反比例函数的解析式为y=9 …2分 y=x+2 联立 & 解相化=或化一主 点D(4,-2）…4分 (2)解：由图象可得，不等式x+2<的解集为<-4或0<r<2, 1 故答案为：X<-4或0<x<2.…7分 18.(1)解：连接OO、BB1并延长交于点P,如图： 则点P的坐标为(-5，-1)：…3分 (2)解：△OA,B2即为所求.…7分 6 19.(1)解：过点C作CH⊥AD,垂足为H,如图， --N 在RtAACH中，∠AHC=90°，∠CAH=20°，AC=100, 'sin∠CAH- CH 4G cos∠CAH=4H AC .CH=ACx sin∠CAH=100×sin20°≈100x0.34≈34(m),…2分 AH=AC×c0s∠CAH=100×c0s20°≈100x0.94≈94(m).…4分 答：坡面AC的水平距离和垂直距离分别是94m和34m;…5分 (2)解：如图，延长CN交BD于点G,设CG=x, D M 则四边形CHDG是矩形， HD=CG=X,GD=CH=34,…6分 .AD=AH+HD=94+x, ∠BAM=45°， ..BD=AD=94+x, .BG=BD-DG=BD-CH=94+x-34=60+x, 在Rt△BCG中，∠CGB=90°，∠BCG=50°， 'tan∠BCG= BG CG tan50°= BG CG ,即60+119,…7分 解得x≈316 .BD=AD≈94+316=410(m),…8分 答：山的高度为410.…9分 20.解：（1)法一： ,AB是⊙O的直径， ∠ADB=∠ADC=90°，…1分 ,'∠B=∠CAD,∠C=∠C, △ADC∽△BAC,…2分 .∴.∠BAC=∠ADC=90°， BALAC,…3分 又A0是⊙0的半径， AC是⊙0的切线.…4分 法二： ,AB是⊙O的直径， ∠ADB=90°，…1分 ∴.∠B+∠BAD=90°， ,∠B=∠CAD, ∠CAD+∠BAD=90°，…2分 即∠BAC=90°， .BALAC,… …3分 又AO是⊙O的半径， ∴AC是⊙0的切线，…4分 (2)在REAACD中，cD=4,tanC=AD-V5 CD 2 AD=4X5=2⑤，…5分 4c=J(252+42=6: …6分 ,点E是弧BD的中点， ∠BAE=∠DAE,…7分 ,∠CAF=∠CAD+∠DAE=∠ABF+∠BAE=∠AFD, 即∠CAf=∠AFD…8分 .∴.CA=CF=6, ∴.DF=CA-CD=2, 在Rt△AFD中，AF=VDF2+AD2=26. …9分 m=100-25.75 -5 21.(1)解：由题意可知， 15 15 ,…1分 当0≤x≤5时，y与x成一次函数关系， 设y=kx+b,将x=0,y=25;x=5,y=100代入表达式得 [25=b 100=5k+b k=15 解得 b=25 ∴y=15x+25;…2分 (或者由题意得y=15x+25也给2分) 当5<x≤b时，y与x成反比例关系， 设y=在，将x=5,y=100代入表达式得 10号 解得k,=500 .y= 500 …4分 15x+25(0≤x≤5) (综上所述，y= 500 (5<x≤b) …4分) (2)解：将x=b,y=25代入反比例函数的表达式得 25-50 解得b=20…6分 (3)解：由题意可知，该饮水机的工作周期（加热阶段+降温阶段）是20分钟， 工作人员于7：58通电，第一批游客9：10到达，总通电时间为910-7：58=72mi,…7分 72÷20=3…12 即72min对应第4个周期的第12min,处于5<X≤20的降温阶段，…8分 当x=12时，y= 500,.2 -=41-≈41.67 12 3 该温度在32C~48℃范围内，因此能喝到符合要求的温水.…9分 22.(1)解：设AB=1,AC=x,则CB=1-x, CB、AC ACAB ..I-x_x x1' …2分 解得：=5-1. 2’2 -1-5 (舍)， 2 4C=5-1 AB 2 黄金比为5-14分 2 (2)证明：，四边形ACDE是正方形，四边形CBFD是矩形， ∴.∠EAB=∠BCD=90°，AC=CD=AE=DE=BF,BC=DF,…5分 ,点C为线段AB的黄金分割点， AC_Bc ，……6分 AB AC .CD BC AB AE 又，∠EAB=∠BCD=90°， △EAB∽△BCD…8分 (3)证明：，五边形ABCDE是正五边形， ·∠BAE=∠4BD=5-2)X×180 J =108,…9分 又AB=AE=DE, ∴∠ABB=2ABM=∠D4B=∠ADB=(Ls0-108)=36, ∴.∠DME=∠AEM+∠DAE=36°+36°=72°， ∴.∠DEM=∠AED-∠AEM=108°-36°=72°， ∴.∠DME=∠DEM, .'DM=DE=AF, ,∠DAE=∠DAE,∠ADE=∠AEM=36°， △AE△AED,…11分 :AE AM …12分 AD AE DM AM ·ADDM ∴点M是AD的黄金分割点.…13分 a-b+3=0 23.（1)由题意，得 16a+4b+3=0 3 d=- 解得 4 9 b= 4 抛物线的函数表达式为y=3+9+3:…3分 4 4 YA (2)法一： 设直线BC的解析式为y=kx+h, 则 4k+h=0 1h=3 解得 图1 (h=3 直线BC的解析式为y=-3 无+3，“4 陵-+1-.0c10 如图1，过点D作DMLx轴交BC于M点，则M(红， t+3) 9 DM二(4+43（在3）+3,5分 4 4 .'∠DME=∠OCB,∠DEM=∠BOC, .△DEM∽△BOC,…6分 DE OB DM BC ,OB=4,OC=3, .BC=5, DM DB=-3+ 1=-0-2y'+12 123 …7分 55 3 <0,对称轴t=2 5 当=2时，0E取最大值，最大值是12。 …8分 5 法二 解：如图，连接CD、BD,过点D作DM⊥x轴交BC于M点， 设直线BC的解析式为y=kx+h, 则财30 M h=3 解得k、 4 (h=3 直线BC的解析式为y=-3 ? 设D6,3+21+3》,0<t<0,则，-t+3 44 DM=（-2+t+3)-（-t+3)=32+3t,…5分 4 S0D=SaMc+SaNB=×(-t2+3)×(4-0)=-22+6t=-2-2)2+6, .当t=2时，S么BcD取最大值，最大值为6，…6分 又BC=√42+32=5，……7分 :25ABcD=2x6=2 BC 5 5 故DM最大值为亏 12 …8分 (本题方法较多，合理均可) (3)存在。…9分 :点F为AB的中点， 2 tm-CPo-OC-2, OF 过点B作BG⊥BC,交CD的延长线于G点，过点G作GH⊥x轴，垂足为H,如图2， VA B 图2 ∠DCE=∠CFO, tan∠DcE=GB 2, …10分 BC ..BG=10, ,AGBH∽ABCO, GH HB GB BO-OC-BC' ∴GH=8,BH=6, G(10,8),…12分 设直线CG的解析式为y=+b', b'=3 10k+b'=8 解得 2 b=3 直线CG的解析式为y=2+3,…13分 〔1 V=- 联立 *3 3 9 J=- x2+x+3 4 4 1 解得x=3或x=0（舍去) 所以点D的横坐标为3 ……14分惠州一中教育集团2025-2026学年第一学期期末质量监测 九年级数学试卷 注意事项： 1.全卷共6页，满分为120分.考试用时为120分钟. 2.答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自已的姓名、考生号和座号填写在答题卡和试卷规 定的位置上. 3选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效 4.非选择题必须用黑色字迹签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置： 如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个选项符合题目要求 1.绿色环保，人人参与.下列环保标志中，是中心对称图形的是() 2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10,BC=6,则SinA的值为( ) B青 c D.} 3.如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转60°后得到△A'OB',若LA0B=25°，则LAOB的度数是() A.25° B.35° C.40° D.85 B 第2题图 第3题图 4.由二次函数y=3(x-4)2-2可知() A.其图象的开口向下 B.其图象的对称轴为直线x=4 C.其顶点坐标为(4,2) D.当x>3时，y随x的增大而增大 5.已知点A(-3,y),B(-2,y2),C(1,y)均在反比例函数y=-4的图象上，则() A.y1<y2<y3B.y2<y3<y1C.y3<y1<y2 D.无法确定 数学科试题第1页（共6页) 6.已知OO的半径为5，则⊙O中弦AB的长度不可能是() A.1 B.5 C.10 D.11 7.如图，点P在反比例函数y=二(x>0)的图象上，PQ1x轴于点Q,连接0P,若△OPQ的面积为2，则k 的值为() A.4 B.-4 C.2 D.-2 8.如图，小温将三角板30°角的顶点P落在圆上，量出另两个交点的距离AB=6cm,则⊙O的半径为() A.4cm B.6cm C.8cm D.2v3cm 9.如图，在6×6的正方形网格中，连接小正方形中两个顶点A、B,如果线段AB与网格线的其中两个交 点为MN,那么AM:MN:WB的值是() A.3:5:4 B.3:6:5 C.1:3:2 D.1:4:2 10.《九章算术》中记载：“今有勾五步，股一十二步.问勾中容圆径几何？”译文：今有一个直角三角形 (如图)，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形内切圆的直径是多少？ 求得该直径等于()步（注：“步”为古代长度单位）· A.3 B.4 C.5 D.6 弦 股12 B 勾5 第7题图 第8题图 第9题图 第10题图 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分，只要求写出最后结果 11.若一个山坡的坡度为3：4，则在水平方向上每前进120米，就升高 米 12.如图1，这是中国古建筑中的正六边形窗户设计图，图2是由其抽象而成的正六边形ABCDEF,己知 正六边形的外接圆半径为2cm,则该正六边形的边心距是 cm. D 图1 图2 数学科试题第2页（共6页） 13.如图，平行四边形ABCD的对角线交点在原点.若A(-2,4),则点C的坐标是 14.如图，小聪在某一时刻测得1m长的竹竿竖直放置时影长1.5m,在同一时刻测量旗杆的影长时，因旗 杆靠近一楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上的影长BD=21m,留在墙 上的影高CD=2m,则旗杆的高度为m. 15.如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，以OA为直径在扇形OAB内部作半圆，圆心为点E,C为AB的 中点，连接OC交半圆于点D.若OA=2,则阴影部分的面积为 Q C 口口 D 第13题图 第14题图 第15题图 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分. 16.计算：sin260°-4cos45°+√2tan45° 17.如图，一次函数=x+2的图象与x轴、y轴分别交于4、B两点，与反比例函数y=的图象分别 交于C,D两点，点C(2,c): (1)求反比例函数y=二的解析式及点D的坐标： (2)观察图象，不等式x+2<二的解集为 18.在如图的方格纸中，△OAB1与△OAB是以点P为位似中心的位似图形. y◆ (1)点P的坐标为： (2)以原点O为位似中心，在第三象限画出△OAB的一 个位似△OA,B2,使它与△OAB的相似比为2：1. 数学科试题第3页（共6页） 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分。 19.某数学小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动 活动主题 测算某景区山的高度 测量工具 皮尺，测角仪，水平仪等 如图，AM是山脚的水平线，大山高BD垂 直于水平线AM于点D. B 模型抽象 C D 1.在山脚A处测出山顶B的仰角 ∠BAM=45°： 测量过程与 2.沿着山坡前进100m到达C处： 数据信息 3.在C处测出山顶B的仰角∠BCN=50°， 山坡的坡角∠CAM=20°.（图中所有点 均在同一平面内) (参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin50°≈0.77，c0s50°≈0.64，tan50°≈1.19) 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）： (1)求坡面AC的水平距离和垂直距离： (2)求山的高度，即求线段BD的长.（注：请用(1）中坡面AC的水平距离和垂直距离的整数值进行计 算) 20.如图，AB是⊙O的直径，∠B=∠CAD. (1)求证：AC是⊙O的切线： F D (四若点8是BD的中点，连按迟交5C于点人，当amC- 2 CD=4时，求AF的值. 数学科试题第4页（共6页） 21.某景区游客服务中心为游客休息室配备了智能饮水机，该饮水机放满水后，初始温度25℃.接通电 源自动加热，水温每分钟上升15℃，加热至100C时停止加热，此后水温y(℃)与通电时间x(in)成 反比例关系，直至降至25℃后再次自动加热，其水温与时间的关系如图，回答以下问题： 100 25----- 6 (I)分别求出0≤x≤m和m<x≤b时，y关于x的函数表达式（需先推导m的值）· (2)计算图中b的数值. (3)景区开放时间为8：00，且工作人员需在游客进入景区前完成水温调控(8：00前可操作)，如果工作 人员在7：58接通电源，第一批游客预计9：10到达休息室，请问他们能否喝到32℃~48℃之间的温水？ 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分。 22.两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将一条线段AB分割成长、短两条线段AC、CB,若 与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即。-6则这种分制称为黄金分数，这个 称为黄金比，点C叫做线段AB的黄金分割点， B 图1 图2 图3 【问题初探】 (I)如图1，己知点C为线段AB的黄金分割点(AC>BC),求黄金比 解：设AB=1,AC=x,则CB=1-x. CB AC AC AB 请补全以上解题过程： 数学科试题第5页（共6页） 【知识迁移】 (2)如图2，点C为线段AB的黄金分割点(AC>BC),分别以AC、BC为边在线段AB同侧作正方形 ACDE和矩形CBFD,连接BD、BE.求证：△EAB∽△BCD: 【延伸拓展】 (3)如图3，在正五边形ABCDE中，对角线AD与BE交于点M.求证：点M是AD的黄金分割点. 23.如图，抛物线y=ax2+bx+3经过A(-1,0),B(4,0)两点，与y轴交于点C,D为直线BC上方抛 物线上一动点，且DE⊥BC于点E. VA 图1 图2 (1)求抛物线的解析式： (2)如图1，求线段DE长度的最大值； (3)如图2，设AB的中点为F,连接CD,CF,是否存在点D,使得∠DCE=∠CFO？若存在，求点D的 横坐标：若不存在，请说明理由. 数学科试题第6页（共6页）