8.1一元二次方程 、8.2用配方法解一元二次方程讲义2025-2026学年鲁教版（五四制）数学八年级下册

第八章 一元二次方程 第一节 一元二次方程 【考点梳理】 考点1、一元二次方程概念 （1）一元二次方程的定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． （2）一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 考点2、一元二次方程的一般形式 （1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． （2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 考点3、一元二次方程的解 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）． 【重点题型】 题型一 一元二次方程的定义 【典例1】下列方程中，关于的一元二次方程是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】下列方程中，属于一元二次方程的是（    ）． A． B． C． D． 【变式1-2】若关于的方程是一元二次方程，则 ． 【变式1-3】已知关于x的方程为一元二次方程，则m的值是 ． 题型二 一元二次方程的一般形式 【典例2】方程的一次项系数和常数项分别是（   ） A．2，15 B．，15 C．6， D．， 【变式2-1】若一元二次方程（为常数），化成一般形式为，则的值分别是（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】若将关于x的一元二次方程化成一般形式后，其二次项系数为1，常数项为，则该方程中的一次项系数为（    ） A．5 B．3 C． D． 【变式2-3】将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项． (1)； (2)； (3)关于的方程． 题型三一元二次方程的解 【典例3】若关于的一元二次方程有一个根是，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】若a，b，c满足，则关于x的方程的两个根的平方和是（   ） A．2 B．3 C．5 D．8 【变式3-2】若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【变式3-3】已知关于x的一元二次方程的一个根是3，则 ． 【变式3-4】已知m是方程（n为常数）的一个根，代数式的值是 ． 题型四 一元二次方程的解的估算 【典例4】根据下列表格的对应值，估计方程的一个解的范围是（    ） x 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 A． B． C． D． 【变式4-1】根据下列表格的对应值：判断方程一个解的取值范围是（　　） x A． B． C． D． 【变式4-2】根据表格对应值： 1.1 1.2 1.3 1.4 0.76 判断关于x的方程的一个解x的范围是（    ） A． B． C． D．无法判定 【变式4-3】根据下表： x … 4 5 6 13 5 … 5 确定方程的解的取值范围是 ． 【基础练习】 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．关于的方程是一元二次方程，则的值是（    ） A． B．2 C． D．4 3．已知关于的方程（为常数，且），下列①～④选项中，哪两个一定不是方程的实数解（    ） ①；②；③；④ A．①④ B．②③ C．①② D．③④ 4．若是关于的方程的根，则的值为（    ） A． B．15 C． D．16 5．若方程是关于x的一元二次方程，则“□”可以是（    ） A． B． C． D． 6．已知关于x的一元二次方程 的常数项为0，则k的值为(   ) A． B．2 C．2或 D．4或 7．下表是某同学求代数式的值的情况，根据表格可知方程的根是（   ） x … 0 1 2 3 … … 10 4 0 0 … A． B． C．或 D．或 8．在欧几里得的《几何原本》中，形如的一元二次方程通过图解法能得到其中的一个正根：如图，先画，使，，，再在斜边上截取，连接，图中哪条线段的长是一元二次方程的一个正根（    ） A． B． C． D． 9．将一元二次方程化成一般形式是 ． 10．若m是方程的一个根，则代数式的值是 ． 【巩固练习】 1．请写出一个一元二次方程使它有一个根为， ． 2．若关于x的方程的一个根是，则m的值为 ． 3．若关于的一元二次方程（）的解是，则的值是 ． 4．若一元二次方程的两根也是方程的根，则的值为 ． 5．如果是一元二次方程的一个解，则的值是 ． 6．一元二次方程的一个根是1，且满足，则 ， ， ． 7．先化简，再求值：，其中a是方程的根． 8．已知a是关于x的一元二次方程的一个根，求代数式的值． 9．已知关于的一元二次方程． (1)若，求证：必是该方程的一个根； (2)当之间的关系是___________时，方程必有一个根是？ 10．已知关于x的一元二次方程，如果a，b，c满足，我们就称这个一元二次方程为波浪方程． (1)判断方程是否为波浪方程，并说明理由． (2)已知关于x的波浪方程的一个根是，求这个波浪方程． 【拔高练习】 1．若实数x满足，则的值为（   ） A． B． C．2024 D．2025 2．下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 3．一元二次方程的一次项系数是（    ） A． B． C． D． 4．已知m是方程的一个根．则代数式的值是（　　） A． B．1 C．5 D． 5．若方程的一个根为则，的值是 ． 6．若方程有一个根是a，则的值为 ． 7．如果关于 的一元二次方程 的一个解是，则代数式的值为 ． 8．若是关于的一元二次方程的根，求代数式的值． 9．已知t是方程的一个根，求代数式的值． 10．已知关于的一元二次方程，其中是的三边长，若是该方程的一个根，试判断的形状，并说明理由． 第二节 配方法解一元二次方程 【考点梳理】 考点1. 一元二次方程的解 使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解， 如：当时，所以是方程的解。 一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。一元二次方程有两个根（相等或不等） 考点2、直接开平方法 直接开平方法理论依据：平方根的定义。 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。 根据平方根的定义可知，是b的平方根，当时，，，当b<0时，方程没有实数根。 三种类型：（1）的解是； （2）的解是； 考点3、配方法 配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的看做未知数，并用代替，则有。 （一）用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤： （1） 把一元二次方程化成一般形式 （2） 在方程的左边加上一次项系数绝对值的一半的平方，再减去这个数； （3） 把原方程变为的形式。 （4） 若，用直接开平方法求出的值，若n﹤0，原方程无解。 （二）用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程 当一元二次方程的形式为时，用配方法解一元二次方程的步骤： （1）把一元二次方程化成一般形式 （2） 先把常数项移到等号右边，再把二次项的系数化为1：方程的左、右两边同时除以二项的系数； （3）在方程的左、右两边加上一次项系数绝对值的一半的平方把原方程化为的形式； （4）若，用直接开平方法或因式分解法解变形后的方程。 【重点题型】 题型一 直接开平方法求解 【典例1】方程的两个根是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式1-1】方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式1-2】已知方程，则此方程的解为 ． 【变式1-3】解方程：（开平方法）． 题型二 配方法求解 【典例2】已知方程配方后是，那么方程配方后是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】将一元二次方程配方后，变形成，则 ． 【变式2-2】方程的解是 ． 【变式2-3】解方程 (1) (2) 题型三 配方法应用—三角形问题 【典例3】已知三角形三边长为a、b、c，且满足， ， ，则此三角形的形状是（ ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．无法确定 【变式3-1】已知a，b，c是△ABC的三边，若a，b，c满足a2－6a＋b2－8b＋＋25＝0，则△ABC是 三角形；若a，b，c满足a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0，则△ABC是 三角形． 【变式3-2】我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为，，，记，则其面积．这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．若，，则此三角形面积的最大值是 ． 【变式3-3】先阅读，再解决问题，例题：若，求和的值． 解：， ， ，， ，． (1)若，求的值； (2)已知的三边长，，都是正整数，且满足，请问是怎样形状的三角形？ (3)根据以上的方法是说明代数式：的值一定是一个正数． 题型四 配方法应用—比较大小与求值 【典例4】已知（为任意实数），则关于P，Q的大小关系判断正确的是（ ） A． B． C． D．无法确定 【变式4-1】（1）若，求m、n的值． 解：因为，所以 由此，可求出______；______； 根据上面的观察，探究下面问题： （2），求的值； 【变式4-2】已知实数，，满足，，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 题型五 配方法应用—最值问题 【典例5】对于多项式，由于，所以有最小值3．已知关于x的多项式的最大值为10，则m的值为（　　） A．1 B． C． D． 【变式5-1】代数式可化为；无论a取何值，所以，即有最小值为4．仿照上述思路，代数式的最大值为 ． 【变式5-2】若，则x2+y2+z2可取得的最小值为（　　） A．3 B． C． D．6 【变式5-3】【材料阅读】 先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 我们知道，所以代数式的最小值为0，可以用公式来求一些多项式的最小值． 例题：求代数式的最小值． 解：． ∴代数式的最小值为4． 请应用上述思想方法，解决下列问题： (1)【类比探究】 的最小值为______； (2)【举一反三】 代数式有最______（填“大”或“小”）值为______； (3)【灵活运用】 某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为的矩形．已知栅栏的总长度为，则可设较小矩形的宽为，较大矩形的宽为（如图）．当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？ 【基础练习】 1．用配方法解方程，下列配方正确的是（    ） A． B． C． D． 2．一元二次方程x2=4的解为（ ） A．x1=x2=2 B．x1=x2= -2 C．x1=2，x2= -2 D．x1=2，x2=0 3．用配方法解方程，下列配方正确的是（    ） A． B． C． D． 4．已知，(m为任意实数)，则M、N的大小关系为（　　） A． B． C． D．不能确定 5．如果多项式p=a2+2b2+2a+4b+5，则p的最小值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 6．关于x的方程(x+m)2=n,下列说法正确的是(     ) A．有两个解x=± B．当n≥0时，有两个解x=±－m C．当n≥0时，有两个解x=± D．当n≤0时，方程无实根 7． P（x．y）为第二象限上的点．且x+y＝﹣．已知OP=1．则的值为（　　） A． B． C． D．或 8．已知下面三个关于的一元二次方程，，恰好有一个相同的实数根，则的值为（ ） A．0 B．1 C．3 D．不确定 9．方程的根是 ． 10．配方： = 【巩固练习】 1．方程配成的形式为 ． 2．如图，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC， ∠BAC=90°，O为BC的中点，D为AC斜下方一点，，则AD的长为 ． 3．（1）计算：； （2）求满足条件的x值：（x﹣1）2＝4． 4．解下列方程： （1）                  （2） 5．利用完全平方公式因式分解在数学中的应用，请回答下列问题： （1）因式分解：________． （2）填空： ①当时，代数式________； ②当________时，代数式； ③代数式的最小值是________． （3）拓展与应用：求代数式的最小值． 6．已知关于的方程是一元二次方程，则（    ） A． B． C． D． 7．定义为二阶行列式．规定它的运算法则为，那么当二阶行列式时， ． 8．对于实数p、q，我们用符号表示p，q两数中较大的数，如，若，则 ． 9．解方程 (1)； (2)． 10．解方程： (1)； (2)． 【拔高练习】 1．将方程的左边配成完全平方式后所得的方程是（   ） A． B． C． D． 2．公元9世纪，阿拉伯数学家阿尔·花拉子米在解方程时采用的方法是：构造如图所示图形，一方面，正方形的面积为；一方面，它又等于，据此可得方程的一个正数解．按照这种构造方法，我们在求方程的一个正数解时，可以构造如下图形（    ） A． B． C． D． 3．下列用配方法解方程的步骤中，开始出现错误的是（    ） 第①步：， 第②步：， 第③步：， 第④步：． A．第①步 B．第2步 C．第③步 D．第④步 4．把方程化成的形式，则m，n的值是（   ） A． B． C． D． 5．用配方法解方程，变形正确的是（    ） A． B． C． D． 6．定义：与，其中，这样的两个方程称为“互为友好方程”，其中一个方程称为另一个方程的友好方程． (1)的友好方程是___________； (2)互为友好方程的两个方程如果有相同的根．求出这个公共根； (3)如果的两个根为．求友好方程的两个根． 7．利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题．观察下列式子： ①， ．因此．代数式有最小值； ②． ． 因此，代数式有最大值4； 阅读上述材料并完成下列问题： (1)代数式的最小值为____________；代数式的最大值为____________． (2)求代数式的最小值． 8．阅读理解：求代数式的最小值． 解：因为， 所以当时，代数式有最小值，最小值是1． 仿照应用求值： (1)求代数式的最小值； (2)求代数式的最大值． 9．解下列一元二次方程： (1)； (2)．（用配方法解） 10．阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例：求多项式的最小值． 解：．因为所以 当时，，因此有最小值，最小值为1，即的最小值为1． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： (1)【理解探究】已知代数式，求A的最小值； (2)【类比应用】比较代数式与的大小，并说明理由； (3)【拓展升华】如图，中，，，，点，分别是线段和上的动点，点从A点出发以的速度向点运动；同时点从点出发以的速度向点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为，则当的值为多少时，的面积最大，最大值为多少？ 第 9 页 共 25 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章 一元二次方程 第一节 一元二次方程 【考点梳理】 考点1、一元二次方程概念 （1）一元二次方程的定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． （2）一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 考点2、一元二次方程的一般形式 （1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． （2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 考点3、一元二次方程的解 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）． 【重点题型】 题型一 一元二次方程的定义 【典例1】下列方程中，关于的一元二次方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，理解并掌握一元二次方程的定义是解题关键．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义，逐一分析四个选项中的方程，即可得出结论． 【详解】解：A．，不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意； B．，当时不是一元二次方程，不符合题意； C． ，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； D．，整理可得，是一元二次方程，符合题意． 故选：D． 【变式1-1】下列方程中，属于一元二次方程的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义判断即可． 【详解】解：A、，当时是一元二次方程，故A不正确； B、是分式方程，不是一元二次方程，故B不正确； C、是一元三次方程，故C不正确； D、是一元二次方程，故D正确； 故选：D． 【变式1-2】若关于的方程是一元二次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程，熟记定义是解题关键． 根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且未知数的最高次数2的整式方程，叫做一元二次方程）即可得． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式1-3】已知关于x的方程为一元二次方程，则m的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义，列出关于的一元二次方程和一元一次不等式，解之即可． 【详解】解：根据题意得： ， 解得：，， ， 解得：， 即， 故答案为：． 题型二 一元二次方程的一般形式 【典例2】方程的一次项系数和常数项分别是（   ） A．2，15 B．，15 C．6， D．， 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，即．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 【详解】解：方程的一次项系数和常数项分别是，． 故选D． 【变式2-1】若一元二次方程（为常数），化成一般形式为，则的值分别是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， 则， ∴， 由题意得：，， 解得：，， 故选：B． 【变式2-2】若将关于x的一元二次方程化成一般形式后，其二次项系数为1，常数项为，则该方程中的一次项系数为（    ） A．5 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，一元二次方程的一般式为，把原方程先去括号，然后移项，合并同类项，化为一般式，进而求出a的值，即可求出答案． 【详解】解：， ， ， 将关于x的一元二次方程化成一般形式后，其二次项系数为1， ， 解得：， ， 则该方程中的一次项系数为5， 故选A． 【变式2-3】将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项． (1)； (2)； (3)关于的方程． 【答案】(1)，二次项系数为3，一次项系数为，常数项为 (2)，二次项系数为3，一次项系数为，常数项为0 (3)，二次项系数为，一次项系数为，常数项为 【分析】本题考查的是一元二次方程的一般形式，掌握一般形式是解本题的关键； （1）先移项，把方程的右边化为0，从而可得答案； （2）先去括号，再移项，把方程的右边化为0，从而可得答案； （3）先移项，把方程的右边化为0，从而可得答案； 【详解】（1）解： 移项，得． 二次项系数为3，一次项系数为，常数项为． （2）， 去括号，得； 移项、合并同类项，得， 整理，得． 二次项系数为3，一次项系数为，常数项为0． （3） 移项、合并同类项，得． 二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 题型三一元二次方程的解 【典例3】若关于的一元二次方程有一个根是，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解，把代入一元一次方程得，然后解一次方程即可．解题的关键是理解和掌握：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了解一元一次方程． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根是， ∴， 解得：． 故选：D． 【变式3-1】若a，b，c满足，则关于x的方程的两个根的平方和是（   ） A．2 B．3 C．5 D．8 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的根，根据题意，得到方程的两个根为和，进而求出两个根的平方和即可． 【详解】解：∵a，b，c满足， ∴关于x的方程的两个根分别为和， ∴； 故选C． 【变式3-2】若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，理解一元二次方程根的定义是解题的关键．根据一元二次方程根的定义，可得一元二次方程中，满足该方程，进而即可求解． 【详解】解：设，则一元二次方程可化为， ， 关于x的一元二次方程有一根为， 一元二次方程有一个根为， 则，即， 一元二次方程必有一根为2025． 故选：B． 【变式3-3】已知关于x的一元二次方程的一个根是3，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解，把代入方程，解关于a的方程即可． 【详解】解：把3代入方程得：， 解得：， 故答案为：． 【变式3-4】已知m是方程（n为常数）的一个根，代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，根据m是方程（n为常数）的一个根，得，可得，即可得，进行计算即可得，掌握方程的根，能得出是解题的关键． 【详解】解：∵m是方程（n为常数）的一个根， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 题型四 一元二次方程的解的估算 【典例4】根据下列表格的对应值，估计方程的一个解的范围是（    ） x 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程解的范围，从表格中选择合适的数据是解题关键．应该在与之间，从表中选择合适的数据即可． 【详解】解：由表中数据得： 当时，， 当时，， 使方程成立的一个解应该在与之间， ． 故选C 【变式4-1】根据下列表格的对应值：判断方程一个解的取值范围是（　　） x A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解的估算．熟练掌握一元二次方程的解的估算是解题的关键． 由图象可知，，则方程一个解的取值范围为，然后判断作答即可． 【详解】解：∵， ∴方程一个解的取值范围为， 故选：C． 【变式4-2】根据表格对应值： 1.1 1.2 1.3 1.4 0.76 判断关于x的方程的一个解x的范围是（    ） A． B． C． D．无法判定 【答案】C 【分析】本题主要考查估算一元二次方程的近似解，关键观察函数值的变化． 【详解】解：当时，， 当时，， 所以方程的解的范围为， 故选C． 【变式4-3】根据下表： x … 4 5 6 13 5 … 5 确定方程的解的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】观察已知表格，根据代数式的值的变化确定出方程解的范围即可． 【详解】解：由表格得：时，，时，； 时，，时，， 可得方程的解取值范围是或． 故答案为：或． 【点睛】此题考查了估算一元二次方程的近似解，弄清表格中的数据变化规律是解本题的关键． 【基础练习】 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义：“含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程”进行判断即可求解． 【详解】解：A、含有两个未知数，未知数的最高次数是2，不是一元二次方程，故不符合题意； B、未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，故不符合题意； C、含有一个未知数，且未知数的最高次数是2，是一元二次方程，故符合题意； D、不是整式方程，故不符合题意； 故选：C． 2．关于的方程是一元二次方程，则的值是（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义解方程求解以及不等式即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得出且 解得：， 故选：A． 3．已知关于的方程（为常数，且），下列①～④选项中，哪两个一定不是方程的实数解（    ） ①；②；③；④ A．①④ B．②③ C．①② D．③④ 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的解，将各选项的的值代入方程，可得到关于、b的二元二次方程．若此二元二次方程有解，则的值为方程的解，反之，则的值一定不是方程的解． 【详解】①把代入方程，得 ，即， 方程无解， ∴不是方程的解． ①符合题意． ②把代入方程，得 即 方程有解， 所以，可能是方程的解． ②不符合题意． ③把代入方程，得 即 方程有解， 所以，可能是方程的解． ③不符合题意． ④把代入方程，得 即 此方程无解． 所以，一定不是方程的解． ④符合题意． 故①④一定不是方程的实数解， 故选：A． 4．若是关于的方程的根，则的值为（    ） A． B．15 C． D．16 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解、求代数式的值，由题意得出，从而得到，整体代入计算即可得出答案． 【详解】解：∵是关于的方程的根， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 5．若方程是关于x的一元二次方程，则“□”可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案： 【详解】A、，是一元一次方程，故此选项不符合题意； B、，是一元一次方程，故此选项不符合题意； C、，是一元二次方程，故此选项符合题意；     D、，不是一元二次方程，故此选项不符合题意． 故选：C． 6．已知关于x的一元二次方程 的常数项为0，则k的值为(   ) A． B．2 C．2或 D．4或 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程的定义，根据题意，得到且，求解即可． 【详解】解：由题意，得：且， 解得：； 故选A． 7．下表是某同学求代数式的值的情况，根据表格可知方程的根是（   ） x … 0 1 2 3 … … 10 4 0 0 … A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．能使成立的x的值即为所求． 【详解】解：由表格知，当或时，成立，即该方程的根是或． 故选：C． 8．在欧几里得的《几何原本》中，形如的一元二次方程通过图解法能得到其中的一个正根：如图，先画，使，，，再在斜边上截取，连接，图中哪条线段的长是一元二次方程的一个正根（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了勾股定理、一元二次方程的根等知识，理解题意，正确计算是解题的关键． 设，则，在中，由勾股定理得，整理得：，即可得到结论． 【详解】解：线段的长是一元二次方程的一个正根，理由如下： 设，则， 在中，由勾股定理得：， 整理得：， 线段的长是一元二次方程的一个正根． 故选：A． 9．将一元二次方程化成一般形式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式， ，根据题意移项，即可． 【详解】解：将一元二次方程化成一般形式是， 故答案为：． 10．若m是方程的一个根，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 先根据一元二次方程解的定义得到，则，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：是方程的一个根， ， ， ． 故答案为：． 【巩固练习】 1．请写出一个一元二次方程使它有一个根为， ． 【答案】(答案不唯一) 【分析】本题考查了一元二次方程的解；有一个根是的一元二次方程有无数个，只要含有因式的一元二次方程肯定有一个根是． 【详解】解：形如的一元二次方程都有一个根是， 当，时，可以写出一个一元二次方程：． 故答案可以是：(答案不唯一)． 2．若关于x的方程的一个根是，则m的值为 ． 【答案】15 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程求出的值即可． 【详解】解：∵关于x的方程的一个根是， ∴， ∴， 故答案为：． 3．若关于的一元二次方程（）的解是，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解，先根据一元二次方程解的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算．解题的关键是掌握一元二次方程解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了求代数式的值． 【详解】解：∵关于的一元二次方程（）的解是， ∴，即， ∴， ∴的值是． 故答案为：． 4．若一元二次方程的两根也是方程的根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解．设是方程的一个根．根据方程解的意义知，既满足方程，也满足方程，将代入这两个方程，并整理，得．从而可知：方程的两根也是方程的根，这两个方程实质上应该是同一个一元二次方程，然后根据同一个一元二次方程的定义找出相对应的系数间的关系即可． 【详解】解：设是方程的一个根，则，所以． 由题意，也是方程的根，所以， 把代入此式，得，整理得． 从而可知：方程的两根也是方程的根， 这两个方程实质上应该是同一个一元二次方程， 从而有（其中为常数）， 所以，． 因此，， 故答案为：． 5．如果是一元二次方程的一个解，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，将代入，即可求解． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个解， ∴ ∴ 故答案为：． 6．一元二次方程的一个根是1，且满足，则 ， ， ． 【答案】 2 1 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，也考查了二次根式有意义的条件．先根据二次根式有意义的条件得到，则可计算出，再根据一元二次方程解的定义得到，然后把a和b的值代入即可求出c的值． 【详解】解：∵a、b满足， ∴，， ∴， ∴， ∵一元二次方程的一个根是1， ∴， ∴， ∴． 故答案为：；； 7．先化简，再求值：，其中a是方程的根． 【答案】，5 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，一元二次方程的解．先把除法变形为乘法，再计算，然后根据一元二次方程的解的定义，可得，然后代入化简后的结果，即可求解． 【详解】解： ， ∵a是方程的根， ∴， ∴， ∴原式． 8．已知a是关于x的一元二次方程的一个根，求代数式的值． 【答案】9 【分析】本题考查了一元二次方程的解，已知代数式求值，先利用乘法公式展开、合并得到原式，利用一元二次方程根的定义得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解： ， ∵a是关于x的一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴原式 9．已知关于的一元二次方程． (1)若，求证：必是该方程的一个根； (2)当之间的关系是___________时，方程必有一个根是？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是一元二次方程的解的含义，理解解的含义是解本题的关键； （1）由，可得，从而可得答案； （2）由时，可得，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴当时，， ∴当时，方程成立， ∴是方程的一个解， （2）∵时，有， ∴当时，方程必有一个根是． 10．已知关于x的一元二次方程，如果a，b，c满足，我们就称这个一元二次方程为波浪方程． (1)判断方程是否为波浪方程，并说明理由． (2)已知关于x的波浪方程的一个根是，求这个波浪方程． 【答案】(1)该方程是波浪方程 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，理解题中所给波浪方程的定义及熟知一元二次方程解得定义是解题的关键． （1）根据波浪方程的定义对所给方程进行判断即可． （2）根据波浪方程的定义，结合方程的一个根为，得到关于a，c的方程组即可解决问题． 【详解】（1）解：，，， ， 故该方程是波浪方程； （2）解：由已知得： 解得， 这个波浪方程为． 【拔高练习】 1．若实数x满足，则的值为（   ） A． B． C．2024 D．2025 【答案】D 【分析】本题考查了代数式求值，等式的性质，由可得，，代入代数式，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 2．下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，象这样的方程叫做一元二次方程．根据一元二次方程的定义逐项分析即可． 【详解】解：A、的分母含未知数，不是一元二次方程； B、当时，不是一元二次方程； C、是一元二次方程；     D、化简得，不是一元二次方程； 故选C． 3．一元二次方程的一次项系数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的一般形式即可求解，解题的关键是理解一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且）特别要注意的条件，其中叫二次项，叫一次项，是常数项，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：一元二次方程的一次项是，一次项系数为， 故选：． 4．已知m是方程的一个根．则代数式的值是（　　） A． B．1 C．5 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、代数式求值等知识点，掌握一元二次方程解的定义解答即可． 根据一元二次方程的解的定义可得，然后对变形后，整体代入计算即可． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴，即， ∴． 故选：D． 5．若方程的一个根为则，的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查的是一元二次方程的解的含义，由方程的一个根为则，可得，再代入计算即可． 【详解】解：由题意可知：， ∴． 故答案为：1． 6．若方程有一个根是a，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值．熟练掌握一元二次方程的解，代数式求值是解题的关键． 由方程有一个根是a，可得，即，根据，代值求解即可． 【详解】解：∵方程有一个根是a， ∴，即， ∴， 故答案为：6． 7．如果关于 的一元二次方程 的一个解是，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，由题意可得，再代入代数式计算即可求解，掌握整体代入法是解题的关键． 【详解】解：∵关于 的一元二次方程 的一个解是， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．若是关于的一元二次方程的根，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查的是整式的混合运算化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．根据完全平方公式、单项式乘多项式、合并同类项把原式化简，整体代入计算得到答案． 【详解】解： ， 是关于的一元二次方程的根， ， ， 则原式． 9．已知t是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】5 【分析】本题考查了一元二次方程的解和代数式求值，解题关键是明确方程解的意义，整体代入求值; 把t代入方程，得出，再整体代入求值即可． 【详解】解：∵t是方程的根， ∴． ∴． ∴． 10．已知关于的一元二次方程，其中是的三边长，若是该方程的一个根，试判断的形状，并说明理由． 【答案】是等腰三角形，理由见解析 【分析】此题考查了一元二次方程的解的定义．把代入一元二次方程得到，即可判断三角形的形状． 【详解】解：是等腰三角形， 理由如下：把代入得到， ， 则， ∴是等腰三角形． 第二节 配方法解一元二次方程 【考点梳理】 考点1. 一元二次方程的解 使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解， 如：当时，所以是方程的解。 一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。一元二次方程有两个根（相等或不等） 考点2、直接开平方法 直接开平方法理论依据：平方根的定义。 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。 根据平方根的定义可知，是b的平方根，当时，，，当b<0时，方程没有实数根。 三种类型：（1）的解是； （2）的解是； 考点3、配方法 配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的看做未知数，并用代替，则有。 （一）用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤： （1） 把一元二次方程化成一般形式 （2） 在方程的左边加上一次项系数绝对值的一半的平方，再减去这个数； （3） 把原方程变为的形式。 （4） 若，用直接开平方法求出的值，若n﹤0，原方程无解。 （二）用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程 当一元二次方程的形式为时，用配方法解一元二次方程的步骤： （1）把一元二次方程化成一般形式 （2） 先把常数项移到等号右边，再把二次项的系数化为1：方程的左、右两边同时除以二项的系数； （3）在方程的左、右两边加上一次项系数绝对值的一半的平方把原方程化为的形式； （4）若，用直接开平方法或因式分解法解变形后的方程。 【重点题型】 题型一 直接开平方法求解 【典例1】方程的两个根是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据直接开平方法求解即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练运用直接开平方法是解题的关键． 【变式1-1】方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据直接开平方法可进行求解． 【详解】解：， ， 解得：； 故选C． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 【变式1-2】已知方程，则此方程的解为 ． 【答案】， 【分析】根据直接开平方法可进行求解． 【详解】解： ， ∴，； 故答案为，． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 【变式1-3】解方程：（开平方法）． 【答案】， 【分析】先移项，然后利用直接开平方法解方程，即可得到答案． 【详解】解：， ， ∴， ∴或， ∴，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握直接开平方法解一元二次方程． 题型二 配方法求解 【典例2】已知方程配方后是，那么方程配方后是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据完全平方公式展开，求出p的值，再代入求出即可． 【详解】解：∵方程配方后是， ∴， ∴， 解得：， 即， ∴， ∴， 即为，配方得， 即， 故选：D． 【点睛】本题考查了配方法，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 【变式2-1】将一元二次方程配方后，变形成，则 ． 【答案】11 【分析】将一元二次方程配方得出，从而得出，即可求出答案． 【详解】解：一元二次方程配方得：， ∵一元二次方程配方后得， ∴， ∴． 故答案为：11． 【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是将一元二次方程配方得出，比较系数，本题属于基础题型． 【变式2-2】方程的解是 ． 【答案】 【分析】利用配方法解方程即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了利用配方法解一元二次方程，正确掌握配方的方法是解题的关键． 【变式2-3】解方程 (1) (2) 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）用直接开平方法解一元二次方程即可； （2）用配方法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， 移项得：， 开平方得：或， 解得：，； （2）解：， 移项得：， 配方得：， 即， 开平方得：或， 解得：或． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法，准确计算． 题型三 配方法应用—三角形问题 【典例3】已知三角形三边长为a、b、c，且满足， ， ，则此三角形的形状是（ ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．无法确定 【答案】A 【详解】解：∵a2﹣4b=7，b2﹣4c=﹣6，c2﹣6a=﹣18，∴a2﹣4b+b2﹣4c+c2﹣6a=7﹣6﹣18，整理得：a2﹣6a+9+b2﹣4b+4+c2﹣4c+4=0，即（a﹣3）2+（b﹣2）2+（c﹣2）2=0，∴a=3，b=2，c=2，∴此三角形为等腰三角形．故选A． 点睛：本题考查了因式分解的应用，解题的关键是正确的进行因式分解． 【变式3-1】已知a，b，c是△ABC的三边，若a，b，c满足a2－6a＋b2－8b＋＋25＝0，则△ABC是 三角形；若a，b，c满足a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0，则△ABC是 三角形． 【答案】 直角; 等边. 【分析】把25分成9、16，利用配方法把a2－6a＋b2－8b＋＋25＝0改写为(a-3)2+(b-4)2+=0，利用非负数的性质求出a、b、c的值，根据勾股定理逆定理判断即可；利用配方法把a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0改写为(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0,再利用非负数的性质,可分别求出a、b、c的的关系. 【详解】∵a2－6a＋b2－8b＋＋25＝0， ∴(a-3)2+(b-4)2+=0， ∴a=3，b=4，c=5， ∵32+42=52， ∴△ABC是直角三角形； ∵a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0， ∴(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0, ∴a=b，b=c，a=c， ∴a=b=c， ∴△ABC是等边三角形. 故答案为直角；等边. 【点睛】此题考查了配方法的应用、勾股定理逆定理、非负数的性质,解题的关键是注意配方法的步骤,在变形的过程中不要改变式子的值. 【变式3-2】我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为，，，记，则其面积．这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．若，，则此三角形面积的最大值是 ． 【答案】 【分析】根据公式算出a+b的值，代入公式，根据完全平方公式的变形即可求出解． 【详解】解：∵，p=3，c=2， ∴， ∴a+b=4， ∴a=4−b， ∴ ∴当b=2时，S有最大值为． 【点睛】本题考查了二次根式与完全平方公式的应用，解答本题的关键是明确题意，表示出相应的三角形的面积． 【变式3-3】先阅读，再解决问题，例题：若，求和的值． 解：， ， ，， ，． (1)若，求的值； (2)已知的三边长，，都是正整数，且满足，请问是怎样形状的三角形？ (3)根据以上的方法是说明代数式：的值一定是一个正数． 【答案】(1)； (2)△ABC是等边三角形； (3)答案见解析． 【分析】（1）将原式配方得，求出，的值，进而求解． （2）将原式配方得，求出，，的值进而求解． （3）利用配方法可以对式子化简，从而可以解答本题． 【详解】（1）解：， ，， ， ． （2）解： ， ， 是等边三角形； （3）解： ， 故的值一定是一个正数． 【点睛】本题考查配方法的应用、非负数的性质：绝对值、偶次方，解题的关键是明确如何运用配方法化简题目中所求的问题，根据三角形的三边可以判断三角形的形状． 题型四 配方法应用—比较大小与求值 【典例4】已知（为任意实数），则关于P，Q的大小关系判断正确的是（ ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【详解】试题分析：根据题意可知P-Q===＞0，故P＞Q（也可以结合P、Q的图像来进行比较，当取相同的自变量x的值时，二次函数P=的图像始终在一次函数Q=的图像的上方，因此可判断）. 故选A 考点：代数式的大小比较 【变式4-1】（1）若，求m、n的值． 解：因为，所以 由此，可求出______；______； 根据上面的观察，探究下面问题： （2），求的值； 【答案】（1）4，4；（2） 【分析】（1）先把原式变形为，然后利用偶次方的非负性进行求解即可； （2）仿照（1）把原式变形为，然后利用偶次方的非负性求出x、y的值即可得到答案． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， 故答案为；4，4； （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了配方法的运用，偶次方的非负性，二次根式的加法等等，熟知配方法是解题的关键． 【变式4-2】已知实数，，满足，，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由变形得，代入中得到，再进行配方，根据非负数的性质即可得到答案． 【解析】 故选：A． 【点睛】本题主要考查了配方法的应用，涉及非负数的性质、偶次方，熟练运用上述知识是解题的关键． 题型五 配方法应用—最值问题 【典例5】对于多项式，由于，所以有最小值3．已知关于x的多项式的最大值为10，则m的值为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】原式配方后，利用非负数的性质确定出m的值即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为， ∴， ∴ 故选：B． 【点睛】本题主要考查了配方法的应用，正确将原式配方是解题的关键． 【变式5-1】代数式可化为；无论a取何值，所以，即有最小值为4．仿照上述思路，代数式的最大值为 ． 【答案】 【分析】仿照题意进行求解即可． 【详解】解： ， ∵无论a取何值，都有， ∴， ∴，即有最大值， ∴的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了配方法的应用，正确理解题意是解题的关键． 【变式5-2】若，则x2+y2+z2可取得的最小值为（　　） A．3 B． C． D．6 【答案】B 【分析】设，把x，y，z用k的代数式表示，则x2+y2+z2转化为关于k的二次三项式，运用配方法求其最小值． 【解析】设， 则，，， ∴x2+y2+z2 =14k2+10k+6， ． 故最小值为：． 故选：B． 【点睛】本题考查了完全平方公式，配方法的应用，关键是把x2+y2+z2转化为关于k的二次三项式，运用配方法求其最小值． 【变式5-3】【材料阅读】 先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 我们知道，所以代数式的最小值为0，可以用公式来求一些多项式的最小值． 例题：求代数式的最小值． 解：． ∴代数式的最小值为4． 请应用上述思想方法，解决下列问题： (1)【类比探究】 的最小值为______； (2)【举一反三】 代数式有最______（填“大”或“小”）值为______； (3)【灵活运用】 某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为的矩形．已知栅栏的总长度为，则可设较小矩形的宽为，较大矩形的宽为（如图）．当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？ 【答案】(1)2 (2)大，16 (3)当时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为 【分析】(1)根据材料内容即可解答； (2)根据材料内容即可解答； (3)根据矩形的面积公式及配方法，即可列出代数式，再根据完全平方式的非负性，即可解答． 【详解】（1）解： ， 的最小值为2， 故答案为：2； （2）解：，， 代数式有最大值为16， 故答案为：大，16； （3）解：根据题意知：较大矩形的宽为，长为， ∵墙的长度为， ， 矩形养殖场的总面积为：， ， ∴当时，y取最大值，最大值为48， 答：当时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为． 【点睛】本题考查了完全平方式的非负性，配方法，熟练掌握和运用完全平方式的非负性是解决本题的关键． 【基础练习】 1．用配方法解方程，下列配方正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在方程的左右两边同时加上一次项系数-4的一半的平方，把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数，判断出配方结果正确的是哪个即可． 【详解】 故选D． 【点睛】本题考查配方法解一元二次方程，解题关键是熟练掌握配方法的基本步骤． 2．一元二次方程x2=4的解为（ ） A．x1=x2=2 B．x1=x2= -2 C．x1=2，x2= -2 D．x1=2，x2=0 【答案】C 【详解】试题分析：本题可以用直接开平方法直接解题，求得. 故选C 考点：直接开平方法解一元二次方程 3．用配方法解方程，下列配方正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在等式的两边同时加上一次项系数的绝对值一半的平方，配成完全平方的形式，从而可得答案． 【详解】解：方程两边同时加上一次项系数的绝对值一半的平方得：， ∴； 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法——配方法，熟练掌握配方的步骤是解题的关键；配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数的绝对值一半的平方． 4．已知，(m为任意实数)，则M、N的大小关系为（　　） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】求出的结果，再判断即可． 【详解】根据题意，可知， 所以． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了整式的加减运算，配方法的应用，掌握配方法是解题的关键． 5．如果多项式p=a2+2b2+2a+4b+5，则p的最小值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：p=a2+2b2+2a+4b+5=（a+1）2+2（b+1）2+2≥2，故选B． 点睛：本题考查配方法的应用、非负数的性质．解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用配方法和非负数的性质解答． 6．关于x的方程(x+m)2=n,下列说法正确的是(     ) A．有两个解x=± B．当n≥0时，有两个解x=±－m C．当n≥0时，有两个解x=± D．当n≤0时，方程无实根 【答案】B 【分析】根据一个数的平方是非负数，可得n≥0，用直接开平方法求得x=±-m，然后对照四个选项即可解答． 【详解】解：∵（x+m）2≥0， ∴n≥0． ∴当n≥0时，方程（x+m）2=n有两个根x=±-m， 故选B． 【点睛】本题考查了用直接开方法求一元二次方程的解，基本形式有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）． 7． P（x．y）为第二象限上的点．且x+y＝﹣．已知OP=1．则的值为（　　） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据P（x．y）为第二象限上的点，可知0，y＞0，根据OP=1，可知，则，根据x+y＝﹣，可得，且x＝﹣y﹣进而可得，则，则， 解得：或（舍去），进而可知，则可求出的值． 【详解】解：∵P（x．y）为第二象限上的点， ∴x＜0，y＞0， ∵OP=1， ∴，则， ∵x+y＝﹣， ∴，且x＝﹣y﹣ ∴， ∴， ∴，化简得：， 则，解得：或（舍去）， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题查平面直角坐标系中点的坐标特征，点到原点的距离，完全平方公式的变形，解一元二次方程，能够熟练掌握数形结合思想是解决本题的关键 ． 8．已知下面三个关于的一元二次方程，，恰好有一个相同的实数根，则的值为（ ） A．0 B．1 C．3 D．不确定 【答案】A 【分析】把x=a代入3个方程得出a•a2+ba+c=0，ba2+ca+a=0，ca2+a•a+b=0，3个方程相加即可得出（a+b+c）（a2+a+1）=0，即可求出答案． 【详解】把x=a代入ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0得：a•a2+ba+c=0，ba2+ca+a=0，ca2+a•a+b=0，相加得：（a+b+c）a2+（b+c+a）a+（a+b+c）=0， ∴（a+b+c）（a2+a+1）=0． ∵a2+a+1=（a+）2+＞0， ∴a+b+c=0． 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解． 9．方程的根是 ． 【答案】． 【详解】试题分析：由可得x-5=0，所以． 考点：一元二次方程的解法． 10．配方： = 【答案】 【分析】由完全平方公式的一次项可得，，则利用配方法得到，求解即可. 【详解】∵， ∴， 利用完全平方公式： ， 可得： 故答案为 【点睛】此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握解法是解本题的关键． 【巩固练习】 1．方程配成的形式为 ． 【答案】 【分析】根据配方法的一般步骤计算：(1)把常数项移到等号的右边；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 【详解】解：∵3x2−8x−3=0， ∴3x2−8x=3， ∴， ∴， 即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 2．如图，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC， ∠BAC=90°，O为BC的中点，D为AC斜下方一点，，则AD的长为 ． 【答案】10 【分析】连接，由等腰直角三角形的性质得，，利用旋转变换将绕点顺时针旋转得到，由旋转的性质得，，，，过作，交于，利用平行线的性质，推出，过作于，，利用余角性质得，在中，解直角三角形，求出的值，在中由勾股定理求出的值，在中用勾股定理，构造关于的方程，即可求出． 【详解】解：连接， ，，为的中点， ，， 将绕点顺时针旋转得到， ，，，， 过作，交于， 则，， ， 过作于， 则， ， 在中，，， ． 在中，． 在中，，即， 解得或（舍去） 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，三角形旋转，解直角三角形，勾股定理的应用，掌握等腰直角三角形的性质创造旋转的条件，利用三角形旋转转移线段与角的相等关系，利用勾股定理构造方程是解题关键． 3．（1）计算：； （2）求满足条件的x值：（x﹣1）2＝4． 【答案】（1）﹣1；（2）x1＝3，x2＝﹣1． 【分析】（1）根据立方根、算术平方根的定义计算； （2）根据平方根的定义解方程． 【详解】解：（1）＝﹣3+2＝﹣1； （2）（x﹣1）2＝4， x﹣1＝±2， x＝±2+1， x1＝3，x2＝﹣1． 【点睛】本题考查的是实数的运算、一元二次方程的解法，掌握立方根、算术平方根的定义、直接开平方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． 4．解下列方程： （1）                  （2） 【答案】（1）x1=-8，x2=8；（2）x1=，x2=． 【分析】（1）移项，再用直接开平方法求解即可； （2）利用配方法求解即可. 【详解】解：（1）移项，得x2=64    根据平方根的意义，得 x1=-8，x2=8． （2）移项，得x2-4x=3    配方x2-4x+4=7 得（x-2）2=7    由此可得 x-2=， ∴x1=，x2=． 【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是掌握直接开平方法和配方法. 5．利用完全平方公式因式分解在数学中的应用，请回答下列问题： （1）因式分解：________． （2）填空： ①当时，代数式________； ②当________时，代数式； ③代数式的最小值是________． （3）拓展与应用：求代数式的最小值． 【答案】（1）；（2）①0；②3；③－5；（3）5 【分析】（1）直接利用完全平方公式进行分解因式，即可得到答案； （2）①先进行分解因式，再把代入计算，即可得到答案； ②利用完全平方公式进行分解因式，再根据，即可求出x的值； ③利用完全平方公式进行配方，结合完全平方式的非负性，即可得到答案； （3）先把原式进行分解因式，在根据完全平方式的非负性，即可求出式子的最小值. 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2）①， 当时， 原式=； ②∵， ∴， ∴； ③ = =， ∵， ∴， ∴原式的最小值为：； 故答案为：①0；②3；③－5； （3） = =， ∵，， ∴， 代数式的最小值是5. 6．已知关于的方程是一元二次方程，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，解题的关键是掌握一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）只含有一个未知数．根据一元二次方程的定义进行求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴，， 解得：， 故选：B． 7．定义为二阶行列式．规定它的运算法则为，那么当二阶行列式时， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义运算，解一元二次方程，熟练掌握相关方法是解题关键． 根据题中的新定义将所求式子转化为我们熟悉的一元二次方程，求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 整理得：， 解得：， 故答案为：． 8．对于实数p、q，我们用符号表示p，q两数中较大的数，如，若，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查解一元二次方程，根据新定义，分和，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当，则：， 解得：或（舍去）； 当，则：， 解得：（舍去）或； ∴或； 故答案为：或． 9．解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）移项，然后利用配方法解一元二次方程即可； （2）移项，然后利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】（1） 解得，； （2） 解得． 10．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元二次方程，灵活选用一元二次方程的解法是解答本题的关键． （1）移项后运用直接开平方法求解即可； （2）运用配方法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ∴； （2）解：， ， ， ， ， ∴． 【拔高练习】 1．将方程的左边配成完全平方式后所得的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程配方法，属于基础题型．将方程常数项移到右边，再左右两边加上4左边即可配成完全平方，即可得出答案． 【详解】解：， 移项得：， 配方得：，即 故选：A． 2．公元9世纪，阿拉伯数学家阿尔·花拉子米在解方程时采用的方法是：构造如图所示图形，一方面，正方形的面积为；一方面，它又等于，据此可得方程的一个正数解．按照这种构造方法，我们在求方程的一个正数解时，可以构造如下图形（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，利用配方法将原方程变形，结合图形即可解答． 【详解】解：， ； 按照这种构造方法，一方面，正方形的面积为；一方面，它又等于，据此可得方程的一个正数解． 故选：B 3．下列用配方法解方程的步骤中，开始出现错误的是（    ） 第①步：， 第②步：， 第③步：， 第④步：． A．第①步 B．第2步 C．第③步 D．第④步 【答案】C 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方．按照配方法的步骤逐步分析即可． 【详解】解：第③步出现错误，配方时，方程的左、右两边应同时加上一次项系数一半的平方，即方程的左、右两边应同时加上， 故选：C． 4．把方程化成的形式，则m，n的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了解一元二次方程配方法，解题的关键是首先将二次项系数化为1，常数项移到方程右边，然后方程两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个常数，开方即可求出解． 将方程常数项移到方程右边，左右两边都加上9，左边化为完全平方式，右边合并即可得到所求的结果． 【详解】解：， 移项得：， 配方得：，即． ∴，， 故选A． 5．用配方法解方程，变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得，掌握配方的步骤是解题的关键． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 6．定义：与，其中，这样的两个方程称为“互为友好方程”，其中一个方程称为另一个方程的友好方程． (1)的友好方程是___________； (2)互为友好方程的两个方程如果有相同的根．求出这个公共根； (3)如果的两个根为．求友好方程的两个根． 【答案】(1) (2)1或 (3) 【详解】（1）解：根据定义的友好方程是； 故答案为：； （2）设这个公共根为， 则， ∴， ∵， ∴， 解得或； （3）∵的两个根为， ∴， ∵， ∴， ∴，， 即，， ∴的两根为． 7．利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题．观察下列式子： ①， ．因此．代数式有最小值； ②． ． 因此，代数式有最大值4； 阅读上述材料并完成下列问题： (1)代数式的最小值为____________；代数式的最大值为____________． (2)求代数式的最小值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了配方法的应用； （1）先配方，再根据非负数的性质求解； （2）先配方，再根据非负数的性质求解． 【详解】（1）解：∵，， 故答案为：，； （2）∵， ∴代数式的最小值为． 8．阅读理解：求代数式的最小值． 解：因为， 所以当时，代数式有最小值，最小值是1． 仿照应用求值： (1)求代数式的最小值； (2)求代数式的最大值． 【答案】(1)6 (2)19 【分析】本题考查代数式配方及根据非负性求最值，解题的关键是配方． （1）先配方，再根据完全平方的非负性即可得到答案； （2）先配方，再根据完全平方的非负性即可得到答案． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴当时，代数式有最小值，最小值是6； （2）解：由题意可得， ， ∵， ∴， ∴当时，代数式有最大值，最大值为． 9．解下列一元二次方程： (1)； (2)．（用配方法解） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，熟练掌握一元二次方程的求解方法为解题关键． （1）利用直接开平方根的方法解方程即可； （2）方程移项后，左边分解因式化为积的形式，利用两数相乘积为0，两因式中至少有为0转化为两个一元一次方程来求解． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ． 10．阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例：求多项式的最小值． 解：．因为所以 当时，，因此有最小值，最小值为1，即的最小值为1． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： (1)【理解探究】已知代数式，求A的最小值； (2)【类比应用】比较代数式与的大小，并说明理由； (3)【拓展升华】如图，中，，，，点，分别是线段和上的动点，点从A点出发以的速度向点运动；同时点从点出发以的速度向点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为，则当的值为多少时，的面积最大，最大值为多少？ 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)当t的值为2时，的面积最大，最大值为． 【详解】（1）解：∵ ， ∵， ∴， ∴当时，有最小值，最小值为，即A的最小值为． （2）解：，理由如下： ∵， ∵， ∴， ∴ （3）解：由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为4．即：当t的值为2时，的面积最大，最大值为． 第 1 页 共 56 页 学科网（北京）股份有限公司 $