第04讲 一元一次不等式（组）其应用（复习讲义，3考点+13题型）（天津专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第二章 方程（组）与不等式（组） 第04讲 不等式（组）及其应用 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 2 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 10 命题点一 不等式的基本性质 题型01利用不等式的基本性质判断等式是否成立 题型02利用等式的性质进行综合 命题点二 解一元一次不等式（组） 题型01在数轴上表示不等式（组）的解集 题型02解一元一次不等式（组）计算题 命题点三 一元一次不等式（组）中含参问题 题型01由不等式（组）的整数解求参数的取值 题型02由不等式（组）（有）无解求参数的取值 题型03由不等式（组）解的情况求参数 命题点四 一元一次不等式（组）的实际应用 题型01 列一元一次不等式（组） 题型02 不等式组中行程问题 题型03 不等式组中工程问题 题型04 不等式组中经济问题 题型05 不等式组中方案选择问题 题型06 不等式组中梯度收费问题 05·重难突破·思维进阶难 59 突破一 不等式组与方程的综合 突破二 不等式组中新定义类题型 06·优题精选·练能提分 69 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 解一元一次不等式（组） 天津卷 （第19题） 天津卷 （第19题） 天津卷 （第19题） 掌握不等式基本性质，能解一元一次不等式（组）并在数轴上表示解集，会用其刻画实际问题中的不等关系并解决简单实际问题，体会模型、数形结合思想。 命题预测 解一元一次不等式（组）是天津中考近三年的必考题，位于试卷第19题位置，所以在2026年的天津数学中考试卷中，解一元一次不等式（组）也是必考题型，其次一元一次不等式（组）仍以基础为主、中档为辅，侧重基础运算与简单综合，无难题偏题，核心在选择 / 填空固定考查基础求解，中档考含参数取值范围，解答题必与一次函数融合考查方案设计类实际应用，全程聚焦数轴表示、临界值判断及实际解的合理性三大核心考点 考点一 解一元一次不等式组 一、解一元一次不等式(5步核心，类比一元一次方程，仅系数化为1有差异) 通用步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1 关键注意点 1.去分母：两边同乘各分母最小公倍数，每一项都要乘(含常数项),不含分母的项切勿漏乘； 2.移项：移项要变号，与方程移项规则一致； 3.系数化为1：若系数为负数，两边同除/乘负数时，不等号方向必须改变(正数不变); 4.最终解集：规范书写(如x>2，而非2<x)，如需数轴表示：含等号画实心圆点，不含等号画空心圆圈，解集方向与不等号方向一致。 二、解一元一次不等式组(3步核心，“先独后公，数形结合”) 核心原则：先解每个不等式，再找解集公共部分，最后表示(数轴+代数形式)具体步骤 1.解单个不等式：按一元一次不等式解题步骤，分别求出组内每个不等式的解集； 2.找公共部分： 方法1(数轴法，推荐，不易错)：将每个不等式的解集画在同一数轴上，数轴上重叠的区域即为不等式组的解集； 方法2(口诀法)：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了； 3.定最终解集：用代数形式写出公共部分，如需整数解/正整数解，从解集中筛选符合条件的数即可。 1．解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得____________； (2)解不等式②，得____________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为____________． 【答案】(1) (2) (3)作图见解析 (4) 【分析】本题考查解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集， （1）根据移项，合并同类项即可得解； （2）根据移项，合并同类项即可得解； （3）根据不等式的解集在数轴上表示的方法：“”空心圆点向右画折线，“”实心圆点向右画折线，“”空心圆点向左画折线，“”实心圆点向左画折线，据此画出图形； （4）根据一元一次不等式组的解集确定的原则：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到，据此确定不等式组的解集； 解题的关键是掌握：①不等式的解集在数轴上表示的方法；②一元一次不等式组的解集确定的原则． 【详解】（1）解：移项，得：， 合并同类项，得：， ∴解不等式①，得：， 故答案为：； （2）移项，得：， 合并同类项，得：， ∴解不等式②，得：， 故答案为：； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来如图所示： （4）原不等式组的解集为：， 故答案为：． 2．解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得______； (2)解不等式②，得______； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为______． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，解一元一次不等式组； （1）根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、化系数为1可得出答案； （2）根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、化系数为1可得出答案； （3）根据前两问的结果，在数轴上表示不等式的解集； （4）根据数轴上的解集取公共部分即可． 【详解】（1）解：解不等式①得， 故答案为：； （2）解：解不等式②得， 故答案为：； （3）解：在数轴上表示如下： （4）解：由数轴可得原不等式组的解集为， 故答案为：． 3．解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得________________； (2)解不等式②，得________________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：    (4)原不等式组的解集为________________． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】分别解两个不等式，然后根据公共部分确定不等式组的解集，再利用数轴表示解集即可． 【详解】（1）解：解不等式①，得， 故答案为：； （2）解：解不等式②，得， 故答案为：； （3）解：把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：    （4）解：原不等式组的解集为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组并把解集在数轴上表示，熟练掌握一元一次不等式的解法是解决本题的关键． 4．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴表示见解析 【分析】本题主要考查了解不等式组以及在数轴上表示不等式组的解集，根据不等式组，分别求出两个不等式中的取值，然后画出数轴，数轴上相交的点的集合就是该不等式组的解集．若没有交点，则不等式组无解． 求一元一次不等式组的解，一般要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若较小的数、较大的数，那么解集为介于两数之间． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得：， 不等式组的解集为：， 在数轴上表示解集： 考点二 一元一次不等组中参数问题 题型1：已知不等式组的具体解集，求参数值/范围 步骤： 1.解出每个不等式的解集(含参数的保留参数，如； 2.根据已知解集(如)，对应相等确定参数具体值(如)； 3.若解集为(同大/同小)，结合数轴确定参数临界范围+验证等号。坑点：同大取大时，参数≤确定值；同小取小时，参数≥确定值(等号需验证)。 示例：已知解集为，则；若解集为，则 题型2：已知不等式组有解/无解，求参数范围 核心结论：数轴上两个解集有重叠→有解；无重叠→无解 ①有解：如，需满足(等号时无解，直接排除)； ②无解：如，需满足(重点验证等号，等号时无公共部分)。 题型3：已知不等式组整数解的个数，求参数范围 步骤： 1.解出无参数不等式的确定解集，找出已知整数解； 2.画出数轴，标记整数解，确定含参数不等式的临界端点(夹在两个整数之间); 3.定左闭右开/左开右闭范围，重点验证临界值(等号能取的情况：端点不包含整数解时取等，包含时不取)。示例：已知{有3个整数解(-1、0、1),则 坑点：左端点含等号，右端点只能夹在1和2之间，时仍包含1，时会多整数解2，时会少整数解1。 1．关于x的分式方程的解是正数，则k的取值范围是（  ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】A 【分析】此题考查了分式方程的解，注意在任何时候都要考虑分母不为0． 先解分式方程，得到x关于k的表达式，根据解为正数且分母不为零，确定k的取值范围． 【详解】解：， ∴， 去分母得， 即， ∴， ∵原方程的解为正数， ∴，即，∴， 又∵分母不为零， ∴且， 即且， ∴，， ∴且， 故选：A． 2．若关于的不等式组无解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式组的方法． 先解两个不等式，再依据不等式组无解可以得出a的取值范围． 【详解】解：∵不等式组为， 解不等式①，得 解不等式②，， ∵关于的不等式组无解， ∴时， 解得． ∴不等式组无解时，． 故选：A． 3．已知关于x的不等式组有且只有3个整数解，则a的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了一元一次不等式组的整数解，正确理解“不等式组有且只有3个整数解”是解本题的关键． 先解不等式组得到解集为，由有且只有3个整数解，确定整数解为，从而推导出的取值范围． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， ∵不等式组有解， ∴不等式组的解集为， ∵有且只有3个整数解， ∴整数解为， ∴的取值范围为， 故选：A． 4．若不等式组有且只有2个整数解，且关于y的一元一次方程的解为非正数，则符合条件的整数的和是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查不等式组的整数解与一元一次方程的解，分别求解不等式组的解集、方程的解，结合条件确定的取值范围，进而得到符合条件的整数并求和． 【详解】解：先解不等式组，解不等式①，得；解不等式②，得， 所以不等式组的解集为． ∵不等式组有且只有2个整数解，结合，可知整数解为2、1， ∴，解得． 再解关于的方程，得， ∵方程的解为非正数，即， ∴，解得． 结合与，得，符合条件的整数为2、3， ∵它们的和为， ∴符合条件的整数的和是5． 故选：C． 考点三 一元一次不等（组）实际应用 核心解题框架：审→设→列→解→验→答 核心关键：找准不等关系(比方程应用多1步“判断不等方向”),验证解的实际意义(人数、物品数等必为正整数，天津中考高频扣分点)。 1.审：审清题意，圈画关键，找2类核心信息 圈已知量/未知量：明确题目中给出的数量、需要求的量； 圈不等关系关键词：这是列不等式的核心，天津中考常考关键词分类： ①表示“≥”:至少、不少于、不低于、最少、保证； ②表示“≤”:至多、不超过、不高于、最多、限制； ③表示“>”:超过、多于、大于； ④表示“<”:不足、少于、低于。 补充：若题目有多个限制条件(如既要满足数量要求，又要满足成本限制)，则列不等式组。 2.设：设未知数，简洁明了 直接设：求什么设什么(如“求购买A商品的数量，设购买A商品x件”)，天津中考绝大多数用直接设； 间接设：若直接设不便列不等式，设与所求量相关的量； 注意：设未知数时不带单位，如“设x件”,而非“设x件商品”。 3.列：根据不等关系，列不等式(组) 步骤：先根据题目中的数量关系，用未知数表示相关量→再结合不等关键词，将文字语言转化为数学不等式语言； 关键：若有总量限制、配套要求、利润/成本范围等，先梳理数量关系式，再套不等符号； 4.解：按步骤解不等式(组),求代数解集 严格遵循一元一次不等式(组)解题步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1(注意不等号方 向);不等式组需先解每个不等式，再找公共部分，写出解集。 5.验：检验解集，贴合实际，筛选有效解 检验1：解集是否符合不等式（组）的求解逻辑（避免计算错误）； 检验2：解集是否符合实际问题的意义（核心）： 表示“个数、件数、人数”的量，需取正整数解（如x=3，4，5.）； 表示“长度、重量、金额”的量，若题目无要求，可取全体实数解，有要求则按要求筛选（如取非负数）； 1．2026年是中国农历马年，以生肖马为主题的玩偶凭借时尚可爱的形象“圈粉”无数．某超市销售甲、乙两种型号以马为主题的生肖玩偶，已知乙型玩偶的单价是甲型玩偶的单价的倍，用元购买甲型玩偶的数量比用元购买乙型玩偶的数量多个． (1)求甲、乙两种型号玩偶的单价各是多少元？ (2)某公司计划采购两种型号玩偶共个作为员工新年礼物，总费用不超过元，最多可以采购多少个乙型玩偶？ 【答案】(1)甲、乙两种型号玩偶的单价分别为元，元 (2)最多可以采购个乙型玩偶． 【分析】本题主要考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，熟练掌握根据实际问题中的等量关系或不等关系建立方程与不等式的方法是解题的关键． （1）通过设甲型玩偶的单价为未知数，根据“用元购买甲型玩偶的数量比用元购买乙型玩偶的数量多个”这一数量关系，列出分式方程求解单价． （2）通过设乙型玩偶的采购数量为未知数，根据“总费用不超过元”的限制条件，列出一元一次不等式求解采购数量的最大值． 【详解】（1）解：设甲种型号玩偶的单价为元，根据题意得： ， 解得． 经检验是分式方程的解． ． 答：甲、乙两种型号玩偶的单价分别为元，元． （2）解：设可以采购个乙型玩偶，根据题意得： ， 解得． 答：最多可以采购个乙型玩偶． 2．文体书店老板到批发市场选购A、B两类书籍共240本，B类书籍的进货单价比A类书籍进货单价多20元，当购进A类书籍80本时，购进A、B两类书籍共需9200元． (1)求A、B这两种书籍的进货单价． (2)若该文体书店每销售1本A类书籍可获利6元，每销售1本B类书籍可获利13元，根据学生需求，书店老板决定仍购进A、B两类书籍共240本，准备用不超过8600元购进A、B两类书籍，且这两种书籍全部售出后获利不低于2336元，问该文体书店有哪几种进货方案． (3)哪种方案能使获利最大，最大获利为多少元？ 【答案】(1)A类书籍进货单价为25元，B为45元 (2)有三种方案：A进110本，B进130本；A进111本，B进129本；A进112本, B进128本 (3)A进110本，B进130本能使获利最大，最大获利为2350元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用， （1）设A类书籍进货单价为 x元，B类书籍进货单价为 y元，利用两类书籍的本数和花费费用列方程组求解； （2）设进A 类书籍m本，B类书箱为本，利用金额范围及利润列不等式组求解； （3）列出一次函数关系式，再根据（2）可知结果． 【详解】（1）解：设A 类书籍进货单价为x元，B类书籍进货单价为y元，根据题意，得 ， 解得， 答：A类书籍进货单价为25元，B类书籍进货单价为45元； （2）解：设购进A类书籍m本，B类书箱为本， ， 解：①得，， 解：②得，， ∴， ∴有三种方案： 1．A进110本，B进130本． 2．A进111本，B进129本． 3. A进112本, B进128本； （3）解：设获利为w元，根据题意，得 ， ∵， ∴获利w随着m的增大而减小， 当时，获利w最大， 当时，即， 选第一种方案： 获利（元）， 所以最大获利为2350元． 3．学校计划租用客车送师生到金寨县某红色教育基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题． 材料一：租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，租用2辆A型客车和3辆B型客车共载客220人；租用4辆A型客车和1辆B型客车共载客240人． 材料二：A型客车租车费用为2400元/辆；B型客车租车费用为2000元/辆． 材料三：优惠方案：租用A型客车m辆，每辆车的费用减少元；租用B型客车，租车费用打七折． 材料四：租车公司最多提供6辆A型客车；学校参加研学活动师生共有430人，租用A，B两种型号客车共10辆． 任务一：A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少? 任务二：求m的取值范围； 任务三：若本次研学活动学校的租车费用为w元，求w与m之间的函数表达式，并求本次研学活动学校的最少租车费用是多少? 【答案】任务一：A型号的客车每辆载客量是50人，B型号的客车每辆载客量是40人 任务二：m的取值范围是，且m为整数 任务三：w与m之间的函数表达式是，本次研学活动学校的最少租车费用是16100元 【分析】本题主要考查了二次函数的利润问题，结合一元一次不等式求解是解题的关键． 任务一：设A，B两种型号的客车每辆载客量分别是x，y；根据题意列二元一次方程组即可解答； 任务二：根据租用A型客车m辆，则租用B型客车辆，学校参加研学活动师生共有430人，列不等式求解，结合租车公司最多提供6辆A型客车，即可解答； 任务三：根据租车费用公式计算总费用，利用二次函数的图像与性质解答即可． 【详解】解：任务一：设：A，B两种型号的客车每辆载客量分别是x，y． 根据题意得 解得 答：A型号的客车每辆载客量是50人，B型号的客车每辆载客量是40人 任务二：租用A型客车m辆，则租用B型客车辆，学校参加研学活动师生共有430人， 则即 解得 因为租车公司最多提供6辆A型客车， 所以m的取值范围是，且m为整数； 任务三：根据题意得 即 函数图像开口向下，关于对称， 因为 所以当时取最小值 答：w与m之间的函数表达式是，本次研学活动学校的最少租车费用是16100元． 4．为积极响应乡村振兴的号召，小李依托苍山洱海的旅游资源，开办了一个民族特色旅游纪念品加工厂．该厂生产A，B两种型号的扎染挂件，但每天只能生产这两种型号中的一种．如果生产2天A型号挂件和3天B型号挂件，那么一共可以生产2100个；如果生产1天A型号挂件和2天B型号挂件，那么一共可以生产1300个． (1)该工厂每天能生产A型号挂件和B型号挂件各多少个？ (2)该工厂接到一个来自大理古城旅游节的订单，要求用10天时间至少交付3800个扎染挂件，其中A型号挂件的数量不少于1200个．已知生产A型号挂件每个可获利8元，生产B型号挂件每个可获利6元．在完成订单任务的前提下，应该怎样安排生产A型号和B型号挂件的天数，才能使获得的总利润最大？最大利润是多少万元？ 【答案】(1)每天能生产A型号挂件300个，B型号挂件500个； (2)安排生产A型号挂件4天，生产B型号挂件6天，最大利润为万元． 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用,正确列出相关方程是解题的关键． (1)设该工厂每天能生产A型号挂件x个，B型号挂件y个，根据题意列方程组，求解即可； (2)设应安排生产A型号挂件a天，则生产B型号挂件天，根据用10天时间至少交付3800个挂件，再建立不等式组，可得：，且a为整数，根据题意可求总利润为：，根据一次函数性质求解即可． 【详解】（1）解：设该工厂每天能生产A型号挂件x个，B型号挂件y个， 根据题意列方程组：，解得：， 答：该工厂每天能生产A型号挂件300个，B型号挂件500个． （2）设应安排生产A型号挂件a天，则生产B型号挂件天， 根据题意得：，解得：，且a为整数， 根据题意可求总利润为：， 当时，利润最大为：（元）， 答：应安排生产A型号挂件4天，生产B型号挂件6天，最大利润为万元． 命题点一 不等式的基本性质 ►题型01 利用不等式的基本性质判断等式是否成立 性质1（加减性质） 不等式两边同时加/减同一个数（或代数式），不等号方向不变。 若； 性质2(乘除正数性质) 不等式两边同时乘/除以同一个正数，不等号方向不变。 性质3(乘除负数性质) 不等式两边同时乘/除以同一个负数，不等号方向必须改变。 【典例】已知实数满足，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式的性质在不等式大小比较中的应用，属于基础题．根据不等式的性质，时，加减相同数不等号方向不变，乘除正数不等号方向不变，乘除负数不等号方向改变． 【详解】解：∵， ∴ 对于A：，故A错误； 对于B：，故B错误； 对于C：∵，乘以负数，不等号方向改变，∴，故C错误； 对于D：∵，除以正数2，不等号方向不变，∴，故D正确， 故选：D． 【变式1】已知，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查不等式的性质，解答关键是熟知不等式的基本性质：不等式基本性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式基本性质2：不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变；不等式基本性质3：不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向变． 根据不等式的性质，逐一判断各选项是否成立即可． 【详解】解：∵， ∴对于A：给 两边加，得，故A错误，不符合题意； 对于B：给两边加a，得，即，故B正确，不符合题意； 对于C：给两边乘，得，故C错误，不符合题意； 对于D：给两边除以2，得，故D错误，不符合题意． 故选：B． 【变式2】下列不等式变形正确的是（   ） A．由，得 B．由，，得 C．由，得 D．由，得 【答案】D 【分析】依据不等式的基本性质，对每个选项逐一进行分析判断，重点关注不等号方向是否正确． 【详解】解：A、由，根据不等式的对称性，不等号方向应相反，得，而不是，不符合题意； B、由，，根据不等式的传递性，得，而不是，不符合题意； C、由，根据不等式的对称性，应得到，不符合题意； D、根据不等式的对称性，由可得，故该变形正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了不等式的基本性质，解题关键是熟练掌握不等式的传递性、以及在乘除正数时不等号方向不变的性质，同时注意恒为正数这一隐含条件． 【变式3】下列说法不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查不等式的基本性质，需逐项判断其正确性．选项A、B和D符合不等式性质，正确；选项C存在反例，不正确，从而可得答案． 【详解】解：A、两边同时加上2得，，不等号的方向不变，说法正确，故选项不符合题意； B、两边同时乘以得，，不等号的方向改变，说法正确，故选项不符合题意； C、若，当时，，原说法不正确，假命题，故选项符合题意； D、，两边同时除以2，则，不等号的方向不变，说法正确，故选项不符合题意． 故选：C． ►题型02 利用等式的性质进行综合 【典例】已知实数满足，则下列判断错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查整式的加减、一元一次方程的求解和一元一次不等式的求解，理解题意是解决本题的关键． 根据已知方程联立求解，得到和，再结合判断各选项正误即可． 【详解】解：∵，， 得： 解得， 将代入①得：， ∴， ∵，且，， ∴，即，， ∴选项A、B、D正确； C、，但，， ∴，该选项错误，符合题意． 故选C． 【变式1】已知，，则下列式子一定比大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的性质，有理数符号的判断及其利用分式的基本性质判断分式值的大小； 由且 ，可得，，故，比较各选项与的大小即可． 【详解】解：∵且 ， ∴，， 故， A、∵，， ∴， ∴比小，故此选项不符合题意； B、∵且， ∴， ∴一定比大，故此选项符合题意； C、∵，故此选项不符合题意； D、∵，但可能大于或小于，故与大小不确定， ∴不一定比大； 故选：B． 【变式2】若 则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查代数式比较大小，解题的关键在于代数式比较大小的掌握． 通过作差法来比较与的大小，即计算，然后判断其结果的正负性． 【详解】解：已知，， 将其代入可得：， 因为． 所以，也就是． 因为，移项可得． 故选：A． 【变式3】设，，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的大小比较（用作差法或化简变形），解题的关键是通过将分式变形为“1减一个分式”的形式，结合的范围判断分式的大小． 将、、分别变形为、、，结合判断、、的大小，进而比较、、的大小． 【详解】解：， ，，， ， 即， ， 即， 故选：C． 命题点二 解一元一次不等式（组） ►题型01 在数轴上表示不等式（组）的解集 【典例】不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是解不等式组的解集，在数轴上表示不等式的解集，在解答此类题目时一定要注意实心圆点与空心圆点的区别，这是解答此类题目的易错点； 分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来，选出符合条件的选项即可； 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， 故此不等式组的解集为：， 在数轴上表示为：    故选：D． 【变式1】不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式组及在数轴上表示不等式组的解集．熟练掌握一元一次不等式组的解法及在数轴上表示不等式组的解集是解题的关键．先分别解出不等式组的每一个不等式的解集，再找出其公共部分，即可得到不等式组的解集，最后数形结合在数轴上表示即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴解不等式①得：， ∴解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为：， ∴该不等式组的解集在数轴上表示，如图所示： 故选：C． 【变式2】不等式组的解集在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求不等式组的解集，在数轴上表示不等式的解集，先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集，定边界，定方向，在数轴上表示出不等式组的解集即可． 【详解】解：由，得， 故不等式组的解集为， 在数轴上表示不等式组的解集如图： ； 故选A． 【变式3】不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的解法，解题的关键是正确的计算；根据不等式的解法分别算出两个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小大小去中间，大大小小无解”得到不等式组解集，并表示在数轴上即可得到答案； 【详解】解：由，得：， 由，得：， 则不等式组的解集为， 将解集表示在数轴上如下： 故选：C． 【变式4】不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求不等式组的解集，在数轴上表示不等式组的解集，解题的关键是掌握解不等式组的步骤和数形结合的数学思想． 先求出不等式组的解集，然后在数轴上表示解集即可． 【详解】解： 解不等式①得，； 解不等式②得，； 该不等式组的解集为， 在数轴上表示不等式组的解集如下： 故选：D． ►题型02 解一元一次不等式（组）计算题 解一元一次不等式(组)计算题最易丢分的3个核心易错点，是中考实操中出错率最高、连锁影响最大的三类问题，精准规避这3点，能解决80%的计算错误，具体归纳如下： 1.系数化为1时，乘除负数忘记改变不等号方向(头号易错点) 这是解不等式独有的核心错误，也是单不等式计算的最大丢分点，常因照搬解方程思路忽略符号规则导致。 反例：解，直接除以—4错得; 正确：除以负数，不等号变向，得; 避坑：系数化为1前，先标记未知数系数的正负，负数必变号、正数不变号。 2.不等式组公共解集判断错误（专属高频错） 单不等式解集正确后，此错误直接导致最终答案错误，多因口诀混淆、忽略等号所致。 典型错因：把“大大小小找不到（无解）”判成“大小小大中间找”，或漏判等号的唯一公共解； 反例：解错得(实际无解)；解，错得无解(实际解为x=3); 避坑：简单题用口诀，拿不准时画简易数轴，标清空心/实心点，直观找公共区域。 3.去分母/去括号环节漏乘、漏变号（基础连锁错） 这是基础计算疏漏，但会导致后续步骤全部出错，属于“源头性错误”，出错率极高。 两类典型错：①去分母漏乘不含分母的常数项(如，乘2错得，漏乘1)；②括号前是负号，括号内部分项漏变号(,去括号错得，-5未变+5); 避坑：不跳步、分步算，去分母时“每一项都乘”，去括号时“负号进括号，各项都变号”。 【典例】解下列不等式和不等式组： (1)； (2) 【答案】(1)． (2)． 【分析】本题考查的是解一元一次不等式与不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小无解了”的原则是解答此题的关键． （1）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项，系数化为即可得； （2） 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集即可． 【详解】（1）解： 去分母得： 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 系数化为得：； （2）解： 解不等式 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 系数化为得： 解不等式 去分母得： 移项得： 合并同类项得： ∴不等式组的解集为． 【变式1】解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来，并求出它的所有整数解的和． 【答案】，数轴见解析，9． 【分析】先分别解出不等式组中的两个不等式，求出它们的公共解集，再在数轴上表示解集，最后找出所有整数解并计算它们的和． 【详解】解：①解不等式①： ． ②解不等式②： ． ③确定不等式组的解集： 两个不等式的解集分别为和 ∴不等式组的解集为． ④在数轴上表示解集： ⑤求整数解并求和： 解集中的整数解为：． 整数解的和为：． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法、数轴表示解集以及整数解的求和，解题关键是准确求解每个不等式，正确确定公共解集，并在数轴上规范表示． 【变式2】解不等式与不等式组，并把它们的解集表示在数轴上： (1)； (2) 【答案】(1)不等式解集是 ，在数轴上的表示见解析。 (2)不等式组的解集是 ，在数轴上的表示见解析。 【分析】本题考查了解不等式和解不等式组，明确解不等式的步骤和不等式组确定解集的方法是解题的关键； （1）利用去括号，移项，合并同类项，系数化为1，解不等式并将解集表示在数轴上即可； （2）不等式①先去括号再解不等式，不等式②先去分母再解不等式，最后利用同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了，得到不等式组的解集并将解集表示在数轴上即可． 【详解】（1）解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， ∴不等式的解集为， 将表示在数轴上为： （2）解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 不等式组的解集为， 将表示在数轴上为： 命题点三 一元一次不等式（组）中含参问题 ►题型01由不等式（组）的整数解求参数的取值 【典例】若关于的不等式组的整数解共有4个，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解一元一次不等式组的整数解，首先确定不等式组的解集，先利用含m的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于m的不等式，从而求出m的范围． 【详解】解：∵不等式组为 ， ∴解集为， ∵整数解共有4个， ∴整数解为3，4，5，6， ∴m的取值范围是， 故选：D． 【变式1】若关于x的不等式组恰有2个整数解，则所有符合条件的整数m的和为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次不等式组的解法，关键是根据整数解的个数确定参数的取值范围． 先解不等式组，得到解集的范围，根据恰有2个整数解的条件确定m的取值范围，然后求出所有整数m的和． 【详解】解：对于不等式组：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∵不等式组恰有2个整数解，且，整数解为和， ∴， ∵，得， 又∵，得， ∴m的取值范围为：， ∵为整数， ∴， 所有符合条件的整数m的和为：， 故选：D． 【变式2】关于x的不等式组有且只有2个偶数解，则符合条件的所有整数a的和为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】 本题考查一元一次不等式组整数解问题，先解不等式组，根据有2个偶数解列不等式组求解即可得到答案． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集是， ∵不等式组有且只有2个偶数解， ∴这2个偶数解为2，4， ∴，解得， ∵a为整数， ∴a为，，，， ∴符合条件的所有整数a的和为：． 故选：B． 【变式3】若关于的不等式组恰有三个整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，根据解集内恰好有三个整数解，确定参数的范围，即可求解． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为： ∵恰有三个整数解， ∴ 解得： 故选：B． ►题型02 由不等式（组）（有）无解求参数的取值 【典例】关于的方程的解是自然数，且关于的不等式组无解，则符合条件的整数的值的积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次不等式组，正确计算是解题的关键．先把方程的解用表示出来，再求出不等式组每个不等式的解集，根据不等式组无解求出的取值范围，结合方程的解为自然数确定整数的具体整数值，最后求出它们的积． 【详解】解：解方程， ， 为自然数， ，且为的倍数，为奇数 ， 解不等式组， 解不等式，得， 解不等式，得， 不等式组无解， ， ，即或或， 当 时，， 当时，， 当时，， ， 故答案为：． 【变式1】关于的不等式组有解，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据不等式组的解集求参数． 先分别解两个不等式，进而求出不等式组的解集，再根据不等式组有解判断即可． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为， ∵关于的不等式组有解， ∴， 故答案为：． 【变式2】若关于x的不等式组无解，则满足条件的正整数n有 个． 【答案】2 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，根据不等式的解集求参数，解题的关键是掌握解不等式组的步骤和解集的意义． 求出各个不等式的解集，然后根据不等式组的解集列出不等式，然后进行求解即可． 【详解】解： 解不等式①得，， ∵不等式组无解， ∴， 满足条件的正整数n有：1,2，共2个， 故答案为：2． 【变式3】若关于的一元一次不等式组无解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别求出每个不等式的解集，依据口诀“大大小小找不到”结合不等式组的解集可得的范围，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键． 【详解】解：由得：， 由得：， ∵一元一次不等式组无解， ∴， 解得， 故答案为：． ►题型03 由不等式（组）解的情况求参数 【典例】若不等式组的解集为，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的求解，分别求出不等式①②的解集，根据不等式组的解集为得到，即m的范围． 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∵已知不等式组的解集为， ∴， 故答案为：． 【变式1】不等式的解集为，则m的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查不等式的解集，由不等式的性质先求出原不等式的解集，再根据已知条件即可求得m的值． 【详解】解： 原不等式系数化1得，， 因为不等式的解集是， 所以可得， 解得：， 故答案为：2． 【变式2】若不等式组的解集为， 则的值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解，根据不等式组的解集得出故m，n的值，进而解答即可． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∵不等式组的解集为， ∴，， 解得， ． 故答案为：8． 【变式3】不等式组的解集是，实数a满足的条件是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式组的解集，解一元一次不等式组． 根据不等式组的解集与给定解集相等，通过比较边界条件得到关于的不等式组，即可确定实数的取值范围． 【详解】解：不等式组的解集是， ∴ 解①得， 解②得， 解③得， ∴不等式组的解集为， 故答案为：． 命题点四 一元一次不等式（组）的实际应用 ►题型01列一元一次不等式（组） 【典例】在“保护地球，爱护家园”活动中，校团委把一批树苗分给七年级（2）班的同学们去栽种．若每人分2棵，还剩42棵；若每人分3棵，则最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵）．若设七年级（2）班人数为人，则该班最少有多少名学生？以下列式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意是解题的关键．根据题意，总棵数在两种情况下保持不变，当每人植树3棵时，最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵），由此建立不等式组即可． 【详解】解：设该班同学人数为人，则植树的总棵数为棵，位同学植树棵数为， 最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵），可列不等式组为：． 故选：B． 【变式1】某超市花费2500元购进草莓100kg，销售中有10%的正常损耗．为避免亏本（其他费用不考虑），售价至少定为每千克多少元？设售价定为每千克x元，根据题意所列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 根据题意，草莓有损耗，实际销售量为，销售收入为元，为避免亏本，销售收入应不小于进货成本元，即可列出关于的一元一次不等式，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故选：A． 【变式2】小华同学现要在38min内完成4.1km的路程，已知她步行每分钟可走90m，跑步每分钟可跑210m．小华同学完成这段路程，至少要跑多少分钟？设要跑x min，则可列不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是根据题意找出不等关系列出不等式． 设要跑，则步行时间为，根据题意列出不等式解答即可． 【详解】解：设要跑，则步行时间为， ∵她步行每分钟可走，跑步每分钟可跑． ∴她跑步距离为，步行距离为， ∵总距离至少为，， ∴总距离需满足， 故选：B． 【变式3】将一些书分给九（1）班的所有学生，若每人分4本，则还剩77本书；若每人分6本，则有一名学生能分到书但少于5本，求这些书的本数与九（1）班学生的人数，设九（1）班有学生x人，则列出的不等式组是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了列一元一次不等式组，审清题意、找准不等关系是解题的关键． 设九（1）班有学生x人，由于“每人分4本，则还剩77本书”，则共有本书；由于“每人分6本，则有一名学生能分到书但少于5本每位学生分6本书”列出不等式组即可． 【详解】解：设九（1）班有学生x人，则共有本书， 若每位学生分6本书，则有一名学生能分到书但少于5本， 则． 故选：C． ►题型02 不等式组中行程问题 【典例】已知一列慢车与一列快车相继从泰州开往上海，慢车先出发，一小时后快车出发，设慢车行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示与之间的函数关系． (1)请解释图中点的实际意义； (2)分别求慢车和快车的速度、泰州与上海的距离； (3)如果两车都配有对讲机，并且二车相距不超过时，能相互通话，求两车均在行驶过程中能通话的时间． 【答案】(1)图中点的实际意义是：当慢车行驶时，快车追上慢车 (2)慢车每小时行驶，快车每小时行驶，泰州与上海的距离为 (3)两车均在行驶过程中能通话的时间为小时 【分析】本题考查了一次函数图象的应用，追及问题的运用，不等式组的解法，根据图象信息，运用函数图象解决实际问题，看懂图象是关键． （1）根据点得出两车距离为可知，两车相遇； （2）由图象可以知道慢车行驶小时时，快车到达终点，与慢车相距，就可以根据题意列出方程组从而可以求出慢车快车的速度及全程． （3）当慢车在前时和快车在前时求出通话时间范围就可以求出通话时间． 【详解】（1）解：图中点的实际意义是：当慢车行驶时，快车追上慢车； （2）解：设慢车每小时行驶，快车每小时行驶，由题意和图意得 ， 解得：， 则全程为：． 答：慢车每小时行驶，快车每小时行驶，泰州与上海的距离为． （3）解：设快车行驶小时后，两车之间的距离不超过，由题意得， ， 解得：． 小时． 答：两车均在行驶过程中能通话的时间为小时． 【变式1】小张骑自行车匀速从甲地到乙地，在途中休息了1小时后，仍然按原路行驶，他距乙地的距离y与时间x的关系如图中折线所示；小李骑摩托车匀速从乙地到甲地，比小张晚出发6小时，他距乙地的距离y与时间x的关系式如图中线段所示． (1)小李到达甲地后，小张再经过___小时到达乙地，小张骑自行车的速度是___千米/时． (2)小张出发几小时与小李相遇？ (3)若小李想在小张修休息期间与他相遇，则小李出发的时间应在什么范围？（直接写出答案） 【答案】(1) (2)小时 (3)时间范围是 【分析】本题考查一次函数的应用、一次函数的图象、一次函数的行程问、一元一次不等式组的应用题等知识点，掌握时间、速度和路程之间的关系及一元一次不等式组的解法是解题的关键． （1）根据图象以及速度与路程、时间得关系计算即可； （2）分别写出线段和对应的函数关系式，当二人相遇时离乙地的距离相等，据此列关于x的方程并求解即可； （3）设小李a小时的时候出发，写出小张距乙地的距离y与时间x的关系式，求出它的图象与交点的横坐标，令二者交点的横坐标位于点D和E的横坐标之间，从而求出a的取值范围即可． 【详解】（1）解：小李到达甲地后，小张再经过（小时）到达乙地， 小张骑自行车的速度是（千米/时）． 故答案为：1，15． （2）解：设线段的解析式为，则 ，解得：， 所以线段的解析式为， 设线段的解析式为，则，解得：， 所以线段的解析式为， 当小张与小李相遇时，得，解得． 答：小张出发小时与小李相遇． （3）解：设小李a小时的时候出发，则小张距乙地的距离y与时间x的关系式为， 当时，解得， 若小李想在小张修休息期间与他相遇，则，解得：， 所以小李出发的时间范围是． 【变式2】已知，两地相距，甲骑自行车，乙骑摩托车沿一条笔直的公路由地匀速行驶到地．设行驶时间为，甲、乙离开地的路程分别记为，，它们与的关系如图所示． （1）分别求出线段，所在直线的函数表达式． （2）试求点的坐标，并说明其实际意义． （3）乙在行驶过程中，求两人距离超过时的取值范围． 【答案】（1）所在直线的函数表达式，线段所在直线的函数表达式； （2）F 的坐标为，甲出发小时后，乙骑摩托车到达乙地； （3）或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式的运用，行程问题的数量关系的运用，解答时求出一次函数的解析式是关键． （1）利用待定系数法求出线段OD的函数表达式，进而求出点C的坐标，再利用待定系数法求出线段EF所在直线的函数表达式； （2）根据线段EF所在直线的函数表达式求出F的坐标，即可说明其实际意义； （3）根据两条线段的函数表达式列不等式解答即可． 【详解】解：（1）设线段所在直线的函数表达式， 将，代入， 得， ∴线段所在直线的函数表达式， 把代入，得， ∴点的坐标为， 设线段所在直线的函数表达式， 将，代入， 得， 解得：， ∴线段所在直线的函数表达式； （2）把代入，得， ∴的坐标为， 实际意义：甲出发4.5小时后，乙骑摩托车到达乙地； （3）由题意可得，或者, 当时，， 解得， 又∵当时，乙开始行驶， ∴当时，， ∴, ∴, 当时，， 解得, 又∵当时，乙骑摩托车沿一条笔直的公路由A地匀速行驶到B地． ∴当时，， ∴, ∴, 综上所述，乙在行驶过程中，两人距离超过时的取值范围是：或． 【变式3】某校八年级组织了一场趣味运动会，其中“背夹球竞走”项目的规则是：每组选出男、女同学各一名，背靠背中间夹一个气球，在直道上侧身走完规定的路程，气球不能落地．若途中气球掉落，须捡回并在掉落处继续前行．用时少者胜．甲、乙两组参加比赛，结果甲组在途中掉了球，乙组则顺利走完全程．比赛过程中，两组同学距离出发点的距离与比赛时间的函数关系如图．根据函数图象，回答下列问题： (1)点表示的实际意义是什么？ (2)求的函数表达式； (3)从甲组开始返回到两组走完全程，两组之间的距离不超过时，求的取值范围． 【答案】(1)点表示第14秒时乙组追上甲组； (2) (3)或 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，一次函数和一元一次不等式组的应用； （1）根据题意结合函数图象，即可求解； （2）根据点，点，待定系数法求解析式，即可求解； （3）先求得的函数表达式为，根据两组之间的距离不超过时，分两种情况：①当甲，乙都还没有到终点前；②当甲到终点，乙还没有到终点前；建立不等式，并根据函数图象，即可求解． 【详解】（1）解：点表示第14秒时乙组追上甲组； 或“乙组到第14秒时已经走了24米”， 或“甲组第14秒时途中已经掉球2秒”． （2）解：设的函数表达式为 点，点 ，解得， 的函数表达式为． （3）解：设的函数表达式为 ∵， ，解得， 的函数表达式为， 分两种情况：①当甲，乙都还没有到终点前 ， 可解得 ②当甲到终点，乙还没有到终点前 将代入， 解得：， ， 综合①②得的取值范围为：或 ►题型03 不等式组中工程问题 【典例】习近平总书记高度重视水污染防治工作，将其作为生态文明建设和环境保护的关键环节，提出一系列新理念、新思路和新举措，为解决污水问题提供了根本遵循．祁阳市某河流防污治理工程已正式启动，由甲队单独做5个月后，乙队再加入合作2个月就可以完成这项工程．已知若甲队单独做需要8个月可以完成． (1)乙队单独完成这项工程需要几个月？ (2)已知甲队每月施工费用为15万元，比乙队多6万元，按要求该工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工（包括12个月），为了确保经费和工期，采取甲队做个月（为整数），乙队做4个月分工合作的方式施工，请问有哪几种施工方案并求出最省钱的方案费用？ 【答案】(1)乙队需要16个月完成 (2)方案一：甲队作6个月，乙队作4个月；方案二：甲队作7个月，乙队作4个月．方案一最省钱，费用为126万元． 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，正确列出方程和不等式组是解答本题的关键． （1）设完成本项工程的工作总量为1，由题意可知，从而得出x=15． 即单独完成这项工程需要15个月． （2）根据工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工列出方程组，得出a的取值范围，确定工程方案，再求出费用即可． 【详解】（1）设乙队需要x个月完成，根据题意得：， 解得， 经检验是原方程的根 答：乙队需要16个月完成； （2）根据题意得：， 解得 方案一：甲队作6个月，乙队作4个月，万元； 方案二：甲队作7个月，乙队作4个月，万元； 所以方案一最省钱，费用为126万元． 【变式1】光伏发电是“中国智慧”和“中国建设”的体现，光伏发电既安全又绿色，为我们实现“碳达峰”“碳中和”的目标奠定了基础．2024年9月12日，京能宜昌高铁北站产业园（鸦鹊岭片区）分布式屋顶光伏项目（）总承包工程项目正式开工建设．项目部决定购进甲、乙两种不同型号的光伏板，甲种光伏板的单价比乙种光伏板的单价少200元，用7000元购进甲种光伏板的数量是用4500元购进乙种光伏板数量的2倍． (1)求甲种光伏板的单价是多少？ (2)若项目部购进乙种光伏板的数量比甲种光伏板的2倍还多50块，且乙种光伏板的数量不低于410块，购进两种光伏板的总费用不超过545000元，求项目部有几种购进方案？哪种方案的费用最低？最低费用是多少元？ 【答案】(1)700元 (2)一共有21种购买方案；甲种光伏板180块，乙种光伏板410块总费用最低；最低费用是495000元 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，理解题意，列出正确的方程是解体的关键． （1）设甲种光伏板的单价为元，则乙种光伏板的单价为元，根据题意得，解方程解答即可； （2）设甲种光伏板的数量为块，则乙种光伏板的数量为块，根据题意得，解不等式组，根据题意可得总费用，分析即可得到答案． 【详解】（1）解：设甲种光伏板的单价为元，则乙种光伏板的单价为元， 由题意得， 解得， 经检验，为原方程的根， ∴甲种光伏板的单价为700元． （2）解：设甲种光伏板的数量为块，则乙种光伏板的数量为块， 由题意得， 解得， ∵为正整数， ∴ 满足条件的有21种取值，所以一共有21种购买方案， 设总费用为元， 则， ∵，∴随的增大而增大． ∴越小，总费用越低， ∴ 当时，总费用越低， 即甲种光伏板为180块，则乙种光伏板为块总费用最低， 最低费用为元． 【变式2】某社区计划对面积为1800的区域进行绿化．经投标，由甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天绿化的面积是乙队的2倍，并且在独立完成400的绿化时，甲队比乙队少用4天． (1)分别求出甲队、乙队每天完成的绿化面积； (2)设甲队施工x天，乙队施工y天，刚好完成绿化任务，且甲、乙两队施工的总天数不超过26天，写出y与x的函数解析式和自变量x的取值范围； (3)在（2）条件下，若甲队每天绿化费用是0.6万元，乙队每天绿化费用为0.25万元，如何安排甲、乙两队施工的天数，使施工总费用最低？并求出最低费用． 【答案】(1)甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100、50 (2) (3)安排甲队施工10天，乙队施工16天时，施工总费用最低为10万元 【分析】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是，根据在独立完成面积为区域的绿化时，甲队比乙队少用4天，列方程求解； （2）根据题意得到，整理得：，再根据甲、乙两队施工的总天数不超过26天求出自变量取值范围即可解答． （3）由（2）可得，设施工总费用为元，得出与x的关系式，根据一次函数的性质，即可解答． 【详解】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是， 根据题意．得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 则甲工程队每天能完成绿化的面积是， 答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是、； （2）根据题意，得：， 整理得：， ∵甲、乙两队施工的总天数不超过26天， ∴，即 解得 ∴y与x的函数解析式为： ． （3）设施工总费用为w万元，根据题意得： ∵， ∴w随x减小而减小， ∵ ∴当时，w有最小值，最小值为， 此时． 答：安排甲队施工10天，乙队施工16天时，施工总费用最低为10万元． 【点睛】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程和不等式求解． 【变式3】锦潭社区计划对某区域进行绿化，经投标，由甲、乙两个工程队一起来完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的倍，并且在独立完成面积为区域的绿化时，甲队比乙队少用天． （1）求甲、乙两工程队每天各能完成的绿化面积； （2）若计划绿化的区域面积是，甲队每天绿化费用是万元，乙队每天绿化费用为万元． ①当甲、乙各施工几天，既能刚好完成绿化任务，又能使总费用恰好为万元； ②按要求甲队至少施工天，乙队至多施工天，当甲乙各施工几天，既能刚好完成绿化任务，又使得总费用最少（施工天数不能是小数）并求最少总费用． 【答案】（1）甲每天绿化，乙每天绿化；（2）①甲施工天，乙施天；②甲施工天，乙施工天时，费用最小为万元 【分析】（1）设乙队每天能完成绿化面积xm2，则甲队每天能完成绿化面积1.5xm2，则，解得x＝50，经检验，x＝50是该方程的根，即可得出结果； （2）①设甲施工天，乙施工天，得到 ，计算即可得到答案；②设甲施工天，乙施工天，可得， 由于乙队至多施工天，则，解得．故费用，再进行计算即可得到答案. 【详解】解：（1）设乙每天绿化面积为，则甲的绿化面积为，由题意得 ， 解得， 经检验是原分式方程的解， 甲每天绿化，乙每天绿化． （2）①设甲施工天，乙施工天， 解得 甲施工天，乙施天． ②设甲施工天，乙施工天， ， ． 乙队至多施工天， ，解得． 费用． ， 越大费用就越大 且天数不能是小数， 要为偶数， 最小为， 费用为（万元）， 即甲施工天，乙施工天时，费用最小为万元． 【点睛】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，解题的关键是掌握分式方程的应用，一元一次不等式组的应用. ►题型04 不等式组中经济问题 【典例】有、两家粮食种植基地往甲、乙两个粮食配送中心运送粮食，地可运出粮食80吨，地可运出粮食60吨甲地需要粮食90吨，乙地需要粮食50吨，每吨粮食运费如下：从基地运往甲、乙两中心的运费分别为每吨500元和400元，从基地运往甲、乙两中心的运费分别为每吨200元和300元，设地运送到甲中心粮食为吨． (1)设运送粮食的总费用为元，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)若运输公司要求总运费不超过51000元，且为了保障基地的运输效率，规定地运往甲中心的粮食吨数至少比地运往乙中心的粮食吨数多16吨，请求出所有符合条件的值．（为整数） (3)按照题（2）的调运方案，当取何值时，总运费最低？最低总运费是多少元？ 【答案】(1)，其中 (2)48，49，50 (3)当时，W最低，最低总运费为50600元 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据题意正确求出函数解析式是解题的关键，掌握一次函数的性质是解题的关键； （1）根据题意求出总费用即可求出关于的函数关系式，再根据粮食的质量是非负数列关于x的不等式组，即可求出自变量x的范围． （2）根据题意列不等式组，再求出整数解即可． （3）根据一次函数的性质可知，时，W取得最小值，求出W的最小值即可． 【详解】（1）解：已知A地运送到甲中心粮食为x吨，A地可运出粮食80吨，则A地运往乙中心的粮食为吨． 甲地需要粮食90吨，A地运往甲中心x吨，所以B地运往甲中心的粮食为吨． 乙地需要粮食50吨，A地运往乙中心吨， 所以B地运往乙中心的粮食为吨． 根据题意，得：， 根据题意，得：， 解得． W关于x的函数关系式为； （2）解：根据题意，得， 解得． x为整数， x的值为48，49，50． 符合条件的x值为48，49，50； （3）解：由（1）可知， ， W随x的增大而增大． ， 当时，W取得最小值． 此时(元) ， 当时，总运费W最低，最低总运费是50600元． 【变式1】某商店计划购进甲、乙两种商品，已知甲商品的单价比乙商品的单价少20元，用3000元购进甲商品的数量与用4000元购进乙商品的数量相同．甲商品售价为每件100元，乙商品售价为每件130元． (1)甲、乙两种商品的单价各是多少元？ (2)商店购进两种商品共150件，其中甲商品的数量不低于乙商品数量的2倍，且全部售出后获利不少于6480元，问商店有几种进货方案？ (3)在（2）的条件下，商店决定对甲商品售价进行调整，每件甲商品变动m元，乙商品售价不变，若要使所有进货方案获利都相同，请直接写出m的值． 【答案】(1)甲商品的单价是60元，乙商品的单价是80元 (2)有三种购买方案 (3) 【分析】（1）设乙商品单价为元，根据题意得到等量关系列出分式方程，求解即可， （2）设乙商品件，根据题意得到不等量关系，列出不等式组，求解即可， （3）根据题目所有进货方案获利都相同，即所得的值与无关，从而判断的系数为0，则可以得出的取值． 本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，找准等量关系和不等量关系是解此题的关键． 【详解】（1）解：乙商品的单价为元，则甲商品的单价为元， 根据题意得， 解得， 经检验是方程的解， 则 答：甲商品的单价是60元，乙商品的单价是80元． （2）解：购买乙商品件，则甲商品件， 根据题意得， 解得， 为正整数， 或或， 则方案一购买乙商品48件，则甲商品102件， 方案二购买乙商品49件，则甲商品101件， 方案三购买乙商品50件，则甲商品100件． 故商品共有三种购买方案． （3）解：设商品总获利为元， 所有进货方案获利都相同， 的取值与无关， 则的系数为0， ． 即答案为：． 【变式2】某超市要经营一种新上市的文具，进价为20元／件．试销阶段发现：当销售单价是28元时，每天的销售量为220件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．试销期间每天还要支付其他固定开销450元． (1)写出超市销售这种文具，每天净利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式； (2)求销售单价为多少元时，该文具每天的净利润最大？最大是多少元？ (3)实际销售时无法实现净利润最大，超市营销部结合实际情况，提出了A、B两种营销方案： 方案：该文具的销售单价高于进价且不超过30元； 方案：每天销售量不少于50件，且每件文具的利润至少为20元． 请比较哪种方案的最大净利润更高，并说明理由． 【答案】(1) (2)销售单价为35元时，最大净利润为1800元 (3)方案A和方案B的最大净利润相同，均为1550元 【分析】本题考查二次函数的实际应用，二次函数最值情况，一元一次不等式组的应用，解题的关键在于根据题意建立函数关系式，以及不等式组． （1）根据“每天净利润（销售单价进价）每天的销售量每天支付的其他固定开销”列出关系式即可； （2）将（1）中二次函数关系式化顶点式，再结合二次函数最值求解，即可解题； （3）由二次函数解析式可知二次函数对称轴为直线，结合二次函数的增减性，一元一次不等式组的应用，以及得到的方案A和方案B中销售单价取值范围进行求解，即可解题． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， 二次函数开口向下，在时，有最大值，且最大值为， 即销售单价为35元时，该文具每天最大净利润为1800元； （3）解： ， 二次函数对称轴为直线， 在对称轴左侧，随的增大而增大， 当时，净利润最大， 方案A的最大净利润为元； 每天销售量不少于50件，且每件文具的利润至少为20元， ， 解得， 在对称轴右侧，随的增大而减小， 当时，净利润最大， 方案B的最大净利润为元； ， 即方案A和方案B的最大净利润相同，均为1550元． 【变式3】超市经营一种新文具，进价为20元/件．试销阶段发现：当销售单价是28元时，每天的销售量为220件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．试销期间每天还要支付其他固定开销450元． (1)写出超市销售这种文具，每天净利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； (2)超市营销部结合实际情况，提出了每天销售量不少于50件，且每件文具的利润至少为20元的营销方案，求该方案销售单价为多少元时，每天的净利润最大？最大是多少元？ 【答案】(1)（） (2)销售单价为40元时，每天的净利润最大，最大是1550元 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意列出对应的函数关系式是解题的关键。 （1）根据题意可得每件文具的利润为元，销售量为件，根据每天的净利润等于每件文具的利润乘以销售量，再减去每天的固定开销列式求解即可； （2）根据每天销售量不少于50件，且每件文具的利润至少为20元列出不等式组求出x的取值范围，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， （）； （2）解：∵每天销售量不少于50件，且每件文具的利润至少为20元， ∴， 解得， ， ∵， ∴当时，w随x的增大而减小， ∴当时，w有最大值，最大值为， 答：销售单价为40元时，每天的净利润最大，最大是1550元． ►题型05 不等式组中方案选择问题 【典例】某商店准备购进，两种商品，种商品每件的进价比种商品每件的进价多元，用元购进种商品和用元购进种商品的数量相同． (1)种商品每件的进价和种商品每件的进价各是多少元？ (2)商店计划用不超过元的资金购进，两种商品共40件，其中种商品的数量不低于种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？哪种方案总费用最少？ 【答案】(1)种商品每件的进价为元，种商品每件的进价为元； (2)有种进货方案，当购进商品件、商品件时总费用最少． 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设种商品每件的进价是元，则种商品每件的进价是元，元购进种商品和用元购进种商品的数量相同，列出分式方程，解方程即可； （2）设购进种商品件，则购进种商品件，不超过元的资金购进，两种商品，其中种商品的数量不低于种商品数量的一半，列出一元一次不等式组，解不等式组，求出正整数解，并进行费用的比较，即可解决问题． 【详解】（1）解：设种商品每件的进价是元，则种商品每件的进价是元， 据题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：种商品每件的进价为元，种商品每件的进价为元． （2）设购进种商品件，则购进种商品件， 据题意得：， 解得：， ∵为正整数， ∴， ∴商店共有种进货方案； ∵总费用， ∵， ∴当时，总费用最少为（元）， ∴， ∴当购进商品件、商品件时总费用最少． 【变式1】小渝是一名建筑设计师，受甲方委托，负责为一栋建筑设计窗户．设计方案结合了平开窗和推拉窗两种形式．已确认项目总预算为14800元，其中推拉窗每平方米单价为平开窗的倍．若将10000元用于采购平开窗，余下资金全部用于购买推拉窗，则所购平开窗的面积将比推拉窗面积多出15平方米． (1)请分别求出平开窗和推拉窗的单价； (2)设计过程中，甲方进一步提出：窗户全部按整数平方米分配，且用于推拉窗的资金不低于4000元．如果窗户规划总计为35平方米，那么在总费用不超出预算的前提下，小渝共有哪几种可行的设计方案？ 【答案】(1)平开窗每平方米单价为400元，推拉窗每平方米单价为480元； (2)一共有两种可行的设计方案：方案一，平开窗面积为25平方米，则推拉窗面积为10平方米；方案二，平开窗面积为26平方米，则推拉窗面积为9平方米． 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式组是解题的关键． （1）设平开窗每平方米单价为x元，则推拉窗每平方米单价为元，根据将10000元用于采购平开窗，余下资金全部用于购买推拉窗，则所购平开窗的面积将比推拉窗面积多出15平方米建立方程求解即可； （2）设平开窗面积为a平方米，则推拉窗面积为平方米，根据用于推拉窗的资金不低于4000元且总费用不超预算建立不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设平开窗每平方米单价为x元，则推拉窗每平方米单价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：平开窗每平方米单价为400元，推拉窗每平方米单价为480元； （2）解：设平开窗面积为a平方米，则推拉窗面积为平方米， 由题意得，， 解得， ∵a为整数， ∴a的值可以为25或26， 当时，， 当时，， 答：一共有两种可行的设计方案：方案一，平开窗面积为25平方米，则推拉窗面积为10平方米；方案二，平开窗面积为26平方米，则推拉窗面积为9平方米． 【变式2】为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买两种型号的充电桩，已知型充电桩比型充电桩的单价少万元，且用万元购买型充电桩与用万元购买型充电桩的数量相等． (1)两种型号充电桩的单价各是多少万元？ (2)该停车场计划购买型充电桩共个，购买总费用不超过万元，且购买型充电桩的数量不少于型充电桩数量的．问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？最少费用是多少万元？ 【答案】(1)型充电桩的单价为万元，型充电桩的单价为万元 (2)该停车场有4种购买方案． 方案一：购买型充电桩个、型充电桩个； 方案二：购买型充电桩个、型充电桩个 ； 方案三：购买型充电桩个、型充电桩个； 方案四：购买型充电桩个、型充电桩个． 方案四所需购买总费用最少，最少费用为万元 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，理解题意，找准等量关系列出分式方程和一元一次不等式组是解决问题的关键． （1）根据“用万元购买型充电桩与用万元购买型充电桩的数量相等”列分式方程求解； （2）根据“购买总费用不超过万元， 且购买型充电桩的数量不少于型充电桩数量的”列不等式组确定取值范围从而分析计算求解． 【详解】（1）解：设型充电桩的单价为万元，则型充电桩的单价为万元． 根据题意，得， 解得． 经检验，是所列分式方程的解且符合题意． 则． 答：型充电桩的单价为万元，型充电桩的单价为万元． （2）解：设购买型充电桩个，则购买型充电桩个． 根据题意，得 解得． 为整数， ，，或． 该停车场有4种购买方案． 方案一：购买型充电桩个、型充电桩（个）； 方案二：购买型充电桩个、型充电桩（个）； 方案三：购买型充电桩个、型充电桩（个）； 方案四：购买型充电桩个、型充电桩（个）． 型充电桩的单价低于型充电桩的单价， 购买型充电桩越多，总费用越少． ， 方案四所需购买总费用最少，最少费用为（万元）． 【变式3】《哪吒之魔童降世2》自上映以来热度不减，哪吒、敖丙造型的钥匙扣也颇受青睐．已知一个敖丙钥匙扣的进价比一个哪吒钥匙扣的进价贵4元，用200元全部购买哪吒钥匙扣的数量与用280元全部购买敖丙钥匙扣的数量相同． (1)求哪吒、敖丙造型的钥匙扣的单价分别是多少元？ (2)某班级计划购买哪吒、敖丙两种造型的钥匙扣共150个来作为表现突出同学的奖品，现要求敖丙造型钥匙扣的数量不少于哪吒造型钥匙扣数量的3倍，且购买哪吒、敖丙造型钥匙扣总费用不超过1960元的情况下，有几种购买方案？如何购买总费用最少？ 【答案】(1)哪吒造型钥匙扣单价为10元，敖丙造型钥匙扣单价为14元 (2)有3种购买方案；购买哪吒造型钥匙扣37个，敖丙造型钥匙扣113个时总费用最少 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，准确找出等量关系和不等关系是解题的关键． （1）设哪吒造型钥匙扣的单价为x元，则敖丙造型钥匙扣的单价为元，根据购买的数量相等列出分式方程求解并检验即可； （2）设购买哪吒造型钥匙扣m个，则购买敖丙造型钥匙扣个，总费用为W元，先列不等式求出，且m为正整数，再列出W关于m的函数解析式，根据一次函数的增减性求解即可． 【详解】（1）解：设哪吒造型钥匙扣的单价为x元，则敖丙造型钥匙扣的单价为元， 由题意可得：， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则（元）， 答：哪吒造型钥匙扣单价为10元，敖丙造型钥匙扣单价为14元； （2）解：设购买哪吒造型钥匙扣m个，则购买敖丙造型钥匙扣个， 根据题意可得不等式组：， 解第一个不等式得：， 解第二个不等式得：， ∴， ∵m为正整数， ∴m可以为35，36，37． 则有3种购买方案： 方案一：购买哪吒造型钥匙扣35个，敖丙造型钥匙扣个； 方案二：购买哪吒造型钥匙扣36个，敖丙造型钥匙扣个； 方案三：购买哪吒造型钥匙扣37个，敖丙造型钥匙扣个． 设总费用为W元，则 ， ∵， ∴W随m的增大而减小， 所以当时，W最小， 答：购买哪吒造型钥匙扣37个，敖丙造型钥匙扣113个时总费用最少． ►题型06不等式组中梯度收费问题 【典例】为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，重庆市采用价格调控的方式达到节水的目的．重庆市自来水的收费价格见价目表．注：水费按月结算．若某户居民1月份用水8立方米，则应交水费：（元）． 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/立方米 超出6立方米不超出10立方米的部分 4元/立方米 超出10立方米的部分 8元/立方米 (1)若小明家2月份用水立方米，则应交水费________元； (2)若小明家3月用水量为立方米，当时，小明家应交水费______元，当时，小明家应交水费_______元；（请用含的代数式表示） (3)若小明家3月份，4月份共用水12立方米（4月份用水量多于3月份），共交水费38元，则小明家3，4月份各用水多少立方米？ 【答案】(1)； (2)，； (3)3月份用水立方米，4月份用水立方米． 【分析】本题主要考查了分段计费问题，涉及有理数运算、列代数式及一元一次方程的应用．熟练掌握分段计算费用的方法，根据不同用水量范围准确列出算式或方程是解题的关键． （1）根据价目表，将12.5立方米的用水量按不同单价分段计算，分别算出各段水费再求和． （2）当时，水费由6立方米按2元/立方米和超出6立方米部分按4元/立方米计算；当时，水费由6立方米按2元/立方米、4立方米（6到10立方米）按4元/立方米、超出10立方米部分按8元/立方米计算，据此列代数式． （3）分情况讨论3月用水量的范围，根据不同范围的水费计算方式列方程求解． 【详解】（1）解：应交水费：（元）， 故答案为：； （2）解：当时， 水费为（元） 当时， 水费为（元） 故答案为：，； （3）解：设3月份用水立方米，则4月份用水立方米，由题意得， ，即． 当，即时， 水费为． 令， 解得（舍去）． 若，即， 水费为． 令， 解得． ∴3月份用水立方米，4月份用水立方米． 【变式1】为践行“四季莫负春光日，人生不负少年时”的教育理念，我校七年级拟于5月29号组织60名老师和1160名学生前往浏阳博士村开展研学活动．活动前年级组准备租用A、B两种型号的客车(每种型号的客车至少租用5辆)．A型车每辆租金是500元，B型车每辆租金是600元，若2辆A型车和1辆B型车坐满后共载客140人，3辆A型车和4辆B型车坐满后共载客335人． (1)每辆A型车、B型车坐满后各载多少人？ (2)若年级组计划租用A型车和B型车共28辆，要求B型车数量不超过A型车数量的3倍，请问一共有多少种租车方案？哪种租车方案租金费用最少？最小租金费用为多少元？ 【答案】(1)每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人； (2)一共有种租车方案，当租用辆型车、辆型车时，租金费用最少，最小租金费用为元． 【分析】题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用； （1）设每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人，根据辆型车和辆型车坐满后共载客人，辆型车和辆型车坐满后共载客人”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租用辆型车，则租用辆型车，根据租用的两种客车的共载客量不少于人且租用型车数量不超过型车数量的倍，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，结合，均为不小于的正整数，可得出，进而可得出共有种租车方案，由即型车每辆租金小于型车每辆租金，可得出当租用型车越多时，总租金越小，结合的取值范围，即可找出租金最少的租车方案，再求出此时的总租金即可． 【详解】（1）解：设每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人， 根据题意得：， 解得：． 答：每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人； （2）设租用辆型车，则租用辆型车， 根据题意得：， 解得：， 又，均为不小于的正整数， ， 种， 一共有种租车方案． ， 即型车每辆租金小于型车每辆租金， 当租用型车越多时，总租金越小， 当时，辆，总租金为元． 答：一共有种租车方案，当租用辆型车、辆型车时，租金费用最少，最小租金费用为元． 【变式2】大连地铁票收费标准如下： 不超过，2元人次；超过到（含），元/人次； 超过到（含），4元/人次； 超过到（含），5元/人次； 超过到（含），6元/人次； 超过到（含），7元/人次； 超过到（含），8元/人次； 超过部分，票价每增加元可再乘坐． 一位乘客单次乘坐地铁购票花费了元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示的范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．根据“超过部分，票价每增加元可再乘坐”，结合一位乘客单次乘坐地铁购票花费了元，即按里程计算超过元且不超过元，可列出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为：． 突破一 不等式组与方程的综合 【典例】若数既使得关于的不等式组无解，又使得关于的分式方程的解为大于1的整数，则满足条件的所有整数的积为（   ） A． B． C．0 D．3 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式组的解，分式方程的解，熟练掌握一元一次不等式组的解法，分式方程的解法，先解不等式组，根据题意得到，解得，再解分式方程得到，再由题意可得且，为奇数，最后求整数的积即可． 【详解】解：， 由①得， 由②得， 不等式组无解， ， 解得， ， ， ， 方程的解大于1， ， ， ， ， 方程的解大于1的整数， 为奇数， 满足条件的所有整数为3，1，， ， 满足条件的所有整数的积是， 故选：B． 【变式1】若关于的不等式组有解，且关于的分式方程有正整数解，则满足条件的整数的值为（   ） A．2或3 B．3或4 C．2或5 D．2或3或5 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的解，分式方程的解，熟练掌握解一元一次不等式组和分式方程的方法，是解题的关键．先解不等式组，得到有解的条件是；再解分式方程，得到，要求y为正整数且，从而是4的正约数，但排除的情况，得到或；结合不等式组条件，和均满足． 【详解】解： 由不等式①得， 由不等式②得， ∵关于的不等式组有解， ∴， 解得：； 解分式方程得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵关于的分式方程有正整数解， ∴是4的正约数，即或2或4， ∴或或5， ∵， ∴或， 结合，满足条件的整数a为2或3． 故选：A． 【变式2】已知关于的方程组的解为非正数，且关于x的不等式组有且仅有1个偶数解，则所有满足条件的整数m的和为（    ） A．7 B．9 C．12 D．14 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的解法．求出方程组的解，根据其解小于或等于零求出m的范围及整数解，再求出不等式组的解，根据其有且仅有一个偶数解求出m的范围及整数解，根据两个范围即可得到m的取值，从而得到答案． 【详解】解： ①2②，得， 将代入①，得， ∵方程组的解为非正数，故，解得， 即，整数解为． ，解得，即，且， 要使不等式组有且仅有1个偶数解，则该偶数解为4， ∴，解得，整数解为． 联立方程组与不等式组的条件，，其和为． 故选：A． 【变式3】若整数使关于的不等式组至少有4个整数解，且使关于的方程组的解为正整数，那么所有满足条件的整数的值的和是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解一元一次不等式组，学生的计算能力以及推理能力，解题的关键是根据不等式组以及二元一次方程组求出的范围，本题属于中等题型． 根据不等式组求出的范围，然后再根据关于，的方程组的解为正整数得到或或，从而确定所有满足条件的整数的值的和． 【详解】解：， 不等式组整理得：， 由不等式组至少有4个整数解，则 得到， 解得：， 解方程组， 得， 又关于，的方程组的解为正整数， ∴是正整数，是正整数， 或或者， 解得或或（舍去）， 则或， ∴满足题意的整数的值为 则 所有满足条件的整数的值的和是． 故选：A． 【变式4】对于任意实数m，n，定义一种新运算，等式的右边是通常的定义一种新运算，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：，请根据上述定义解决问题：若，且解集中有3个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查解不等式，准确理解新定义是解题的关键．根据新定义将不等式转化为关于的一元一次不等式组，求出解集后根据整数解的个数确定的范围。 【详解】解：， 即， 解得， 解集中有3个整数解， 故整数解为， 故， 解得． 故选C． 突破二 不等式组中新定义类题型 【典例】对、定义一种新运算，记为：． (1)若，如：，则________； (2)若，（其中、为常数），且，． ①求、的值； ②若关于的不等式组，现定义一个新数，在不等式组恰好有3个整数解的条件下，求的取值范围． 【答案】(1)8 (2)①，；② 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，有理数的混合运算． （1）利用新运算所给的等式进行计算即可； （2）①利用新运算得到关于a，b的方程组，解得a，b的值即可； ②利用新运算得到关于m的不等式组，解得m的取值范围（含有k），根据不等式组有3个整数解的条件得到m，k的取值范围，进而求得新数n的取值范围． 【详解】（1）解：由题意得：， 故答案为：8； （2）解：①已知， 把和分别代入可得方程组： ， 解得； ②由①知，， 所以， 则不等式组可化为： ， 解第一个不等式： ， ， ， ， 解第二个不等式： ， ， ， 所以不等式组的解集为， 因为不等式组恰好有3个整数解，所以这3个整数解为0，1，2，则， 解得； 解得， 所以， 又因为 ， 由且，可得， 当时，； 当时，（取不到）． 所以， 即在不等式组恰好有3个整数解的条件下，n的取值范围是． 【变式1】定义：如果一元一次不等式组的解都是一元一次不等式组的解，那么称一元一次不等式组是一元一次不等式组的“相容不等式组”，如果一元一次不等式组的解都不是一元一次不等式组的解，那么称一元一次不等式组是一元一次不等式组的“相斥不等式组”． (1)根据上述定义，判断不等式组是不等式组的______填序号“相容不等式组”或“相斥不等式组”； (2)若关于的不等式组是的“相斥不等式组”，求的范围； (3)若关于的不等式组是的“相容不等式组”，且和的整数解相同，求的范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解、解一元一次不等式组，解题时要熟练掌握并能准确计算是关键． （1）依据题意，由不等式组的解集是，不等式组的解集是，进而可以判断得解； （2）依据题意，由关于的不等式组是的“相斥不等式组”，且不等式组的解集为，则或，进而计算可以得解； （3）依据题意，由是的“相容不等式组”，则，可得，又和的整数解相同，可得，进而可得，最后即可判断得解． 【详解】（1）解：由题意，不等式组的解集是，不等式组的解集是， 不等式组是不等式组的“相斥不等式组”． 故答案为：． （2）由题意，关于的不等式组是的“相斥不等式组”，且不等式组的解集为， 或． 或． （3）由题意，是的“相容不等式组”， ． ． 的整数解为，且和的整数解相同， ． ． ． 综上所述：． 【变式2】绝对值是初中数学最活跃的概念之一，能与数学中许多知识关联而生成新的问题，比如：绝对值方程，解决这类问题的关键就是去掉绝对值符号：①依定义去绝对值符号；②从数轴上读取相关信息去绝对值符号；③由分类讨论去绝对值符号等，现在让我们一起来解决以下绝对值问题． (1)利用绝对值的定义解关于x的方程； (2)已知关于x、y的方程组，满足方程组的未知数x的值为整数，系数k也为整数且．求满足条件的k和x的值； (3)当x在之间变化时，的值恰好取遍0到1之间的所有数（包括0和1），求出满足条件的所有整数对． 【答案】(1)或 (2)或，或 (3)或或或或 【分析】本题主要考查了绝对值方程的解法，绝对值的性质，关键是根据的性质把绝对值方程转化为常规方程进行解答． （1）根据绝对值的定义去年绝对值符号，把绝对值方程转化为一元一次方程进行解答； （2）将方程组中两方程相减，进而用|x+1|表示k，再结合未知数x的值为整数，系数k也为整数且，便可得出结果； （3）根据的值恰好取遍0到1之间的所有数（包括0和1），得不等式，进而得，最后根据当x在之间变化时，的值恰好取遍0到1之间的所有数（包括0和1），得出满足条件的所有整数对便可． 【详解】（1）∵， ∴或， 解得，或； （2）， 将方程组中两方程相减得，， ， ∴， ∵未知数x的值为整数，系数k也为整数且， ∴， ∴或，或； （3）∵的值恰好取遍0到1之间的所有数（包括0和1）， ∴， ∴， ∴， ∵当x在之间变化时，的值恰好取遍0到1之间的所有数（包括0和1），a、b为整数， ∴当时，或1或2； 当或0时，， ∴满足条件的所有整数对有或或或或． 【变式3】我们定义一种新的“坐标变换规则”：在平面直角坐标系中，点经过“▲”变换后得到点，其中为常数．同时定义“和谐点判定”：对于点，若满足（为常数），则称点为关于的“和谐点”；若，则称点为关于的“非和谐点”．已知点经过“▲”变换后得到，点经过“▲”变换后得到． (1)直接写出的值； (2)已知点和经过“▲”变换后分别得到和，若点和中至少有一个是关于的“非和谐点”，求的取值范围； (3)点在第二象限，经过“▲”变换后得到的是关于的“和谐点”，若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据新的“坐标变换规则”列出方程组，即可求解； （2）根据新的“坐标变换规则”，可得，然后根据“非和谐点”的定义，即可求解； （3）根据新的“坐标变换规则”，可得，再由“和谐点”的定义，可得，然后结合点在第二象限，，可得，从而得到关于y的不等式组，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得： 和， 解得：； （2）解：由题意得：， ， ， ， ∴， 当是关于的“非和谐点”时，， 当是关于的“非和谐点”时，， ∵点和中至少有一个是关于的“非和谐点”， ∴的取值范围为； （3）解：由题意可得，， ∵是关于的“和谐点”， ∴， ∵点在第二象限， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的取值范围为． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，坐标与图形，理解新定义是解题的关键． 1．使式子有意义的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件等知识点，掌握分式的分母不能为零以及二次根式的被开方数的非负性是解题的关键． 根据分式和二次根式有意义的条件列不等式组求解即可． 【详解】解：由题意可得：，解得：． 故选B． 2．已知关于的不等式组有解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解含参数的一元一次不等式组，熟练解一元一次不等式组是解决问题的关键． 先分别解两个不等式，得到的取值范围，再根据不等式组有解的条件，即两个不等式的解集有交集，确定的取值范围． 【详解】解：解第一个不等式，得； 解第二个不等式，得； 不等式组有解， 存在同时满足和， ， 故选：C． 3．已知点、点在一次函数的图象上，且，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数的增减性问题，解一元一次不等式；根据，可得y随x增大而减小，则一次项系数小于0，据此列出不等式求解即可． 【详解】解：∵点、点在一次函数的图象上且， 又∵， ∴y随x增大而减小， ∴， ∴， ∴四个选项中，只有A选项中的数符合题意， 故选：A． 4．一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小2．如果这个两位数大于24并且小于38，那么这个两位数是 ． 【答案】35 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，两位数的代数式表示，掌握用代数式表示两位数并根据范围列不等式是解题的关键． 设个位数字为，则十位数字为，两位数表示为，根据不等式求解的范围，结合x为整数得出，进而得到两位数． 【详解】解：设个位数字为，则十位数字为，这个两位数为． 由题意得， 解不等式组得，即， 为正整数， ， 则十位数字为，这个两位数为． 故答案为：． 5．若关于的不等式的负整数解为，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确确定关于的不等式组是解题的关键． 首先解不等式，然后根据不等式有负整数解是，，即可得到一个关于的不等式，即可求得的范围． 【详解】解：解不等式得：， ∵负整数解是，， ∴ 解得：． 故答案为：． 6．关于的方程的解为正数，则的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数，先解分式方程，得到，再根据解为正数且方程不能有增根，列式求解即可． 【详解】解： 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， ∵关于的方程的解为正数， ∴， ∴； 又∵原方程不能有增根， ∴， ∴， ∴， 综上所述，且， 故答案为：且． 7．解不等式（组），并把解集表示在数轴上． (1)； (2)解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，见解析，整数解为 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式和不等式组的解集，求不等式组的整数解，熟知解一元一次不等式和解一元一次不等式组的方法是解题的关键． （1）按照去分母，去括号，移项，合并同类项的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可； （2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集，进而求出不等式组的整数解即可． 【详解】（1）解： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 数轴表示如下： （2）解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为， 数轴表示如下： ∴原不等式组的整数解为． 8．如图是一排形状相同、大小相等的个长方形猪圈，总面积为平方米，一面靠墙（墙长米），其它各边用总长为米的木栅栏围成． (1)若，则和各为多少米？ (2)若，则和各为多少米？ 【答案】(1)米和米或米和米 (2)米和米 【分析】本题考查一元二次方程的应用，不等式的应用， （1）设的长度为米，则猪圈的另一边的长表示为米，再根据“总面积为平方米”得到关于的一元二次方程，求解后结合题意确定的值后可得答案； （2）根据题意列出方程，求解后结合题意确定的值后可得答案； 正确理解题意，列出方程和不等式是解题的关键． 【详解】（1）解：设的长度为米，则猪圈的另一边的长表示为米， 依题意，得：， 解得：或， ∵长方形猪圈一面靠墙（墙长米）， ∴， 当时，得：， ∴， 当时，（米）； 当时，（米）； ∴和各为米和米或米和米； （2）解：设的长度为米，则猪圈的另一边的长表示为米， 依题意，得：， 解得：或， ∵长方形猪圈一面靠墙（墙长米）， ∴， 当时，得：， ∴， ∴， 此时，（米）， ∴和各为米和米． 1．沪蓉高速由西向东依次经过、、三地，元旦假期小明一家驾车从地出发沿沪蓉高速匀速行驶到地游玩，途中未停留．同时小亮一家从地出发，也沿沪蓉高速驾车到地游玩，途中小亮家下高速并在某服务区休息后，又上高速，并提速后匀速驶往地，最终比小明一家提前分钟到达地．如图所示是小明家、小亮家出发后与地的距离关于时间的函数图象．请根据图象回答问题： (1)填空：、两地之间的距离为________， _______， _______； (2)求图中的交点的坐标： (3)若两家都带了无线对讲机，已知无线对讲机的有效通话范围不超过，那么两家人在途中可以用无线对讲机进行通话的时间有多长? 【答案】(1)，， (2)点坐标为 (3) 【分析】本题考查了一次函数的应用，不等式的应用等，掌握数形结合思想成为解题的关键． （1）根据题意可得小明一家从地到地的距离为，从地到地的距离为，即可求出、两地之间的距离；根据路程除以时间可得小明的速度，即可求出小明一家从地到地花费的时间，即可求解； （2）根据待定系数法求出小明一家从地到地的过程对应的函数的解析式，即可求解； （3）根据待定系数法求出小明一家和小亮一家的函数解析式，根据无线对讲机的有效通话范围不超过，列出不等式，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：小明一家从地到地的距离为，从地到地的距离为， 故、两地之间的距离； 小明一家从地到地用时，速度为； 即小明一家从地到地的速度为， 故小明一家从地到地用时； 即． ∵小亮家比小明一家提前分钟到达地，分钟 故． 故答案为：，，． （2）解：结合（1）可得：小明到达地时，对应点的坐标为， 设小明一家从地到地的过程对应的函数的解析式为：， 将，代入，得， 解得， 故小明一家从地到地的过程对应的函数的解析式为：； 根据题意可得点的纵坐标为， 故将代入，得， 解得：， 故点的坐标为． （3）解：设小明一家从地到地的过程对应的函数的解析式为：， 将，代入，得， 解得， 故小明一家从地到地的过程对应的函数的解析式为：； 即小明一家出发后与地的距离关于时间的函数解析式为． 设小亮一家从地出发，到休息的服务区，该过程对应的函数的解析式为：； 将，代入，得， 解得， 故小亮一家从地出发，到休息的服务区，该过程对应的函数的解析式为：； 设小亮一家从休息的服务区到地，该过程对应的函数的解析式为：； 将，代入，得， 解得， 故小亮一家从休息的服务区到地，该过程对应的函数的解析式为为：； 即小亮一家出发后与地的距离关于时间的函数解析式为． 当时，两家可以用无线对讲机进行通话， 解得：， 即两家可以用无线对讲机进行通话时长为：； 当时，两家可以用无线对讲机进行通话， 解得：， 即两家可以用无线对讲机进行通话时长为：； 当时，两家可以用无线对讲机进行通话， 解得：， 即两家可以用无线对讲机进行通话时长为：； 故两家可以用无线对讲机进行通话的总时长为． 2．已知数轴上的点A，B表示的数分别为，2，直线l垂直数轴于点M，设点M表示的数为m．以线段为一边作等腰直角．对于和直线l给出如下定义：若关于直线l对称的图形上的点到原点O的距离的最大值为p，则称p为关于直线l的“反射原距”． (1)如图，，，依题意画直线l和关于直线l的对称图形，并直接写出关于直线l的“反射原距”p的值； (2)若，关于直线l的“反射原距”为5，直接写出m的值； (3)若存在，使得关于直线l的“反射原距”p满足，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)图见解析， (2) (3)或 【分析】（1）按照题意作图，并根据图判断p的值即可； （2）根据离点最远的点分三类讨论，结合作图和勾股定理计算m的值即可； （3）根据，，分三类讨论．由轴对称的性质，用含的代数式表出点、、对称后的点、、所对应的数，进而表示出、、，根据三者的大小关系，并结合的取值范围，求出的取值范围． 【详解】（1）解：如图，和直线即为所求， 由图可知，点离原点最远， ∴； （2）解：设点、、对称后的点为点、、， 由图可知，离原点最远的点必定在三个顶点之中， ①当点的对称点离点最远时，根据题意，，即点表示的数是， 当点表示的数是时，点在右侧，即，与题意矛盾，故舍去； 当点表示的数是时，如图， ∵点是的中点， ∴由中点公式可知，； ②当点的对称点离点最远时，同理①可知，点表示的数是， 当点表示的数是时， ，与题意矛盾，故舍去； 当点表示的数是时，如图， 此时，，与题设矛盾，故舍去； ③当点的对称点离点最远时，则， 当点在原点左侧时，有，不符题意，故舍去； 当点在原点右侧时，如图， 由对称轴的性质可知，，， 在直角中，， ∴点表示的数为， ∵点是的中点， ∴由中点公式可知，； 综上所述，． （3）解：①当时，如图，作，垂足为， ∵是等腰直角三角形，， 又∵， ∴， ∴点表示的数为， 根据轴对称的性质可知， 点关于直线的对称点表示的数为，点关于直线的对称点表示的数为，点关于直线的对称点表示的数为， ∴，，， 由勾股定理可得，， 当时， ， 两边平方，得， 解得，； 当时， ， 两边平方，得， 解得，； 当时， ， 两边平方，得， 解得，； ∴当时，最大；当时，最大， 当时，， ∵， ∴，解得； 当时，， ∴，解得； 当，，此时，不符题意，故舍去； ②当时，如图， 同理①可得，，， 由勾股定理可得，， 由直角三角形的三边关系可知，， 当时， ， 两边平方，得， 解得，， 当时，最大，即， 由①可知，此时； 当时，最大，即， ∵， ∴， 两边平方，得， 配方，得， 开方，得， ∵， ∴， 解得，； 当，，不符题意，故舍去； ③当时，如图， 同理②可得，，， 由勾股定理可得，， 由直角三角形的三边关系可知，， 当时， ， 两边平方，得， 解得，， 当时，最远，即， 由①可得，此时； 当时，， ∵ ∴， 两边平方，得， 配方，得， 开方，得， ∵， ∴， 解得，； 当时，，不符题意，故舍去； 综上所述，若存在，使得关于直线l的“反射原距”p满足，则的取值范围为或． 【点睛】本题考查新定义，数轴的应用，数轴上两点之间的距离，绝对值的应用，轴对称作图与轴对称的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解不等式，熟练掌握相关知识并灵活运用数形结合思想是解题关键． 1．（2025·内蒙古·中考真题）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．先解一元一次不等式组，再在数轴上表示即可． 【详解】解：， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的解集在数轴上表示是： 故选：C． 2．（2025·湖南·中考真题）已知，，，是的三条边长，记，其中为整数． （1）若三角形为等边三角形，则 ； （2）下列结论正确的是 （写出所有正确的结论） ①若，，则为直角三角形 ②若，，，则 ③若，，，，为三个连续整数，且，则满足条件的的个数为7 【答案】 2 ①②/②① 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解一元一次不等式组，三角形三边的关系，等边三角形的性质等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质可得，据此求解即可； （2）当，时，可证明，由勾股定理的逆定理可判断①；当，，时，可得；当时，可得，当时，可得，则可求出，据此求出t的取值范围即可判断②；当时，则，则可得到；根据题意不妨设，则剩下两个数分别为（n为正整数），则可得，解不等式组求出整数n即可判断③． 【详解】解：（1）∵，，是的三条边长，且是等边三角形， ∴， ∴ ， 故答案为；2； （2）①当，时，∵， ∴， ∴， ∴， ∴为直角三角形，故①正确； ②当，，时， ∵， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴t随b的增大而增大， 当时，， 当时，， ∴，故②正确； ③当时，则， ∵， ∴， ∴； ∵a、b、c是三个相邻的正整数，， ∴不妨设，则剩下两个数分别为（n为正整数）， ∵， ∴， 解得， ∴符合题意的n的值有2、3、4、5、6、7，共6个， ∴符合题意的a、b、c的取值一共有6组， ∴满足条件的的个数为6，故③错误； 故答案为：①②． 3．（2025·山东东营·中考真题）（1）计算：； （2）解不等式组，并把它的解集表示在数轴上． 【答案】（1）；（2），数轴表示见解析 【分析】本题主要考查负整数指数幂，特殊角的三角函数值，实数的混合运算，求不等式组的解集，掌握实数的运算法则，不等式的性质是关键 （1）先计算负整数指数幂，求一个数的立方根，化简绝对值，代入特殊角的三角函数值，再计算有理数的乘方运算，最后再进行加减运算即可． （2）根据不等式的性质分别求出解集，表示在数轴上，根据公共部分即为不等式组解集即可． 【详解】解：（1） （2） 解不等式①，得． 解不等式②，得． 所以不等式组的解集为． 不等式组的解集在数轴上表示为： 4．（2025·四川资阳·中考真题）某社团计划开展手工制作活动，制作需使用A，B两款材料包，购买3份A款材料包和2份B款材料包需84元，购买2份A款材料包和3份B款材料包需86元． (1)问购买一份A款材料包和一份B款材料包各需多少元？ (2)该社团打算购买A，B两款材料包共50份，总费用不超过830元，则至少购买A款材料包多少份？ 【答案】(1)购买一份A款材料包和一份B款材料包各需元和元 (2)至少购买A款材料包份 【分析】（1）设购买一份A款材料包和一份B款材料包各是元和元，根据题意列方程组求解即可； （2）设购买A款材料包份，根据题意列出不等式求解即可． 本题主要考查了列二元一次方程组解应用题，列一元一次不等式解应用题，解题的关键是正确设元，并找到题目中的等量关系或不等关系列出方程或不等式． 【详解】（1）解：设购买一份A款材料包和一份B款材料包各需元和元， 则，解得， 答：购买一份A款材料包和一份B款材料包各需元和元． （2）解：设购买A款材料包份， ， 解得， ∵a为整数， ∴a最小为， 答：至少购买A款材料包份． 5．（2025·四川眉山·中考真题）国家卫健委在全民健康调查中发现，近年来的肥胖人群快速增长，为加强对健康饮食的重视，特发布各地区四季健康饮食食谱．现有A、B两种食品，每份食品的质量为，其核心营养素如下： 食品类别 能量（单位：） 蛋白质（单位：） 脂肪（单位：） 碳水化合物（单位：） A 240 12 7.5 29.8 B 280 13 9 27.6 (1)若要从这两种食品中摄入能量和蛋白质，应选用A、B两种食品各多少份？ (2)若每份午餐选用这两种食品共，从A、B两种食品中摄入的蛋白质总量不低于，且能量最低，应选用A、B两种食品各多少份？ 【答案】(1)选用A、B两种食品分别为份和2份； (2)应选用A、B两种食品分别为2份和份； 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设选用A、B两种食品分别为份和份，结合选用A、B两种食品分别为份和份，列出方程组，进行计算，即可作答． （2）结合每份食品的质量为，每份午餐选用这两种食品共，则选用B种食品份，再列出不等式，得，然后设能量为，则，运用一次函数的性质进行作答即可． 【详解】（1）解：设选用A、B两种食品分别为份和份， ∵这两种食品中摄入能量和蛋白质， ∴， ∴， ∴选用A、B两种食品分别为份和2份； （2）解：设选用A种食品份， 依题意，， 即选用B种食品份， 则 ， 解得， 设能量为， 则 ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时能量最低， 即， ∴应选用A、B两种食品分别为2份和份． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 方程（组）与不等式（组） 第04讲 不等式（组）及其应用 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 2 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 9 命题点一 不等式的基本性质 题型01利用不等式的基本性质判断等式是否成立 题型02利用等式的性质进行综合 命题点二 解一元一次不等式（组） 题型01在数轴上表示不等式（组）的解集 题型02解一元一次不等式（组）计算题 命题点三 一元一次不等式（组）中含参问题 题型01由不等式（组）的整数解求参数的取值 题型02由不等式（组）（有）无解求参数的取值 题型03由不等式（组）解的情况求参数 命题点四 一元一次不等式（组）的实际应用 题型01 列一元一次不等式（组） 题型02 不等式组中行程问题 题型03 不等式组中工程问题 题型04 不等式组中经济问题 题型05 不等式组中方案选择问题 题型06 不等式组中梯度收费问题 05·重难突破·思维进阶难 21 突破一 不等式组与方程的综合 突破二 不等式组中新定义类题型 06·优题精选·练能提分 23 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 解一元一次不等式（组） 天津卷 （第19题） 天津卷 （第19题） 天津卷 （第19题） 掌握不等式基本性质，能解一元一次不等式（组）并在数轴上表示解集，会用其刻画实际问题中的不等关系并解决简单实际问题，体会模型、数形结合思想。 命题预测 解一元一次不等式（组）是天津中考近三年的必考题，位于试卷第19题位置，所以在2026年的天津数学中考试卷中，解一元一次不等式（组）也是必考题型，其次一元一次不等式（组）仍以基础为主、中档为辅，侧重基础运算与简单综合，无难题偏题，核心在选择 / 填空固定考查基础求解，中档考含参数取值范围，解答题必与一次函数融合考查方案设计类实际应用，全程聚焦数轴表示、临界值判断及实际解的合理性三大核心考点 考点一 解一元一次不等式组 一、解一元一次不等式(5步核心，类比一元一次方程，仅系数化为1有差异) 通用步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1 关键注意点 1.去分母：两边同乘各分母最小公倍数，每一项都要乘(含常数项),不含分母的项切勿漏乘； 2.移项：移项要变号，与方程移项规则一致； 3.系数化为1：若系数为负数，两边同除/乘负数时，不等号方向必须改变(正数不变); 4.最终解集：规范书写(如x>2，而非2<x)，如需数轴表示：含等号画实心圆点，不含等号画空心圆圈，解集方向与不等号方向一致。 二、解一元一次不等式组(3步核心，“先独后公，数形结合”) 核心原则：先解每个不等式，再找解集公共部分，最后表示(数轴+代数形式)具体步骤 1.解单个不等式：按一元一次不等式解题步骤，分别求出组内每个不等式的解集； 2.找公共部分： 方法1(数轴法，推荐，不易错)：将每个不等式的解集画在同一数轴上，数轴上重叠的区域即为不等式组的解集； 方法2(口诀法)：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了； 3.定最终解集：用代数形式写出公共部分，如需整数解/正整数解，从解集中筛选符合条件的数即可。 1．解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得____________； (2)解不等式②，得____________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为____________． 2．解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得______； (2)解不等式②，得______； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为______． 3．解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得________________； (2)解不等式②，得________________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：    (4)原不等式组的解集为________________． 4．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 考点二 一元一次不等组中参数问题 题型1：已知不等式组的具体解集，求参数值/范围 步骤： 1.解出每个不等式的解集(含参数的保留参数，如； 2.根据已知解集(如)，对应相等确定参数具体值(如)； 3.若解集为(同大/同小)，结合数轴确定参数临界范围+验证等号。坑点：同大取大时，参数≤确定值；同小取小时，参数≥确定值(等号需验证)。 示例：已知解集为，则；若解集为，则 题型2：已知不等式组有解/无解，求参数范围 核心结论：数轴上两个解集有重叠→有解；无重叠→无解 ①有解：如，需满足(等号时无解，直接排除)； ②无解：如，需满足(重点验证等号，等号时无公共部分)。 题型3：已知不等式组整数解的个数，求参数范围 步骤： 1.解出无参数不等式的确定解集，找出已知整数解； 2.画出数轴，标记整数解，确定含参数不等式的临界端点(夹在两个整数之间); 3.定左闭右开/左开右闭范围，重点验证临界值(等号能取的情况：端点不包含整数解时取等，包含时不取)。示例：已知{有3个整数解(-1、0、1),则 坑点：左端点含等号，右端点只能夹在1和2之间，时仍包含1，时会多整数解2，时会少整数解1。 1．关于x的分式方程的解是正数，则k的取值范围是（  ） A．且 B．且 C．且 D．且 2．若关于的不等式组无解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．已知关于x的不等式组有且只有3个整数解，则a的取值范围是（  ） A． B． C． D． 4．若不等式组有且只有2个整数解，且关于y的一元一次方程的解为非正数，则符合条件的整数的和是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 考点三 一元一次不等（组）实际应用 核心解题框架：审→设→列→解→验→答 核心关键：找准不等关系(比方程应用多1步“判断不等方向”),验证解的实际意义(人数、物品数等必为正整数，天津中考高频扣分点)。 1.审：审清题意，圈画关键，找2类核心信息 圈已知量/未知量：明确题目中给出的数量、需要求的量； 圈不等关系关键词：这是列不等式的核心，天津中考常考关键词分类： ①表示“≥”:至少、不少于、不低于、最少、保证； ②表示“≤”:至多、不超过、不高于、最多、限制； ③表示“>”:超过、多于、大于； ④表示“<”:不足、少于、低于。 补充：若题目有多个限制条件(如既要满足数量要求，又要满足成本限制)，则列不等式组。 2.设：设未知数，简洁明了 直接设：求什么设什么(如“求购买A商品的数量，设购买A商品x件”)，天津中考绝大多数用直接设； 间接设：若直接设不便列不等式，设与所求量相关的量； 注意：设未知数时不带单位，如“设x件”,而非“设x件商品”。 3.列：根据不等关系，列不等式(组) 步骤：先根据题目中的数量关系，用未知数表示相关量→再结合不等关键词，将文字语言转化为数学不等式语言； 关键：若有总量限制、配套要求、利润/成本范围等，先梳理数量关系式，再套不等符号； 4.解：按步骤解不等式(组),求代数解集 严格遵循一元一次不等式(组)解题步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1(注意不等号方 向);不等式组需先解每个不等式，再找公共部分，写出解集。 5.验：检验解集，贴合实际，筛选有效解 检验1：解集是否符合不等式（组）的求解逻辑（避免计算错误）； 检验2：解集是否符合实际问题的意义（核心）： 表示“个数、件数、人数”的量，需取正整数解（如x=3，4，5.）； 表示“长度、重量、金额”的量，若题目无要求，可取全体实数解，有要求则按要求筛选（如取非负数）； 1．2026年是中国农历马年，以生肖马为主题的玩偶凭借时尚可爱的形象“圈粉”无数．某超市销售甲、乙两种型号以马为主题的生肖玩偶，已知乙型玩偶的单价是甲型玩偶的单价的倍，用元购买甲型玩偶的数量比用元购买乙型玩偶的数量多个． (1)求甲、乙两种型号玩偶的单价各是多少元？ (2)某公司计划采购两种型号玩偶共个作为员工新年礼物，总费用不超过元，最多可以采购多少个乙型玩偶？ 2．文体书店老板到批发市场选购A、B两类书籍共240本，B类书籍的进货单价比A类书籍进货单价多20元，当购进A类书籍80本时，购进A、B两类书籍共需9200元． (1)求A、B这两种书籍的进货单价． (2)若该文体书店每销售1本A类书籍可获利6元，每销售1本B类书籍可获利13元，根据学生需求，书店老板决定仍购进A、B两类书籍共240本，准备用不超过8600元购进A、B两类书籍，且这两种书籍全部售出后获利不低于2336元，问该文体书店有哪几种进货方案． (3)哪种方案能使获利最大，最大获利为多少元？ 3．学校计划租用客车送师生到金寨县某红色教育基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题． 材料一：租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，租用2辆A型客车和3辆B型客车共载客220人；租用4辆A型客车和1辆B型客车共载客240人． 材料二：A型客车租车费用为2400元/辆；B型客车租车费用为2000元/辆． 材料三：优惠方案：租用A型客车m辆，每辆车的费用减少元；租用B型客车，租车费用打七折． 材料四：租车公司最多提供6辆A型客车；学校参加研学活动师生共有430人，租用A，B两种型号客车共10辆． 任务一：A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少? 任务二：求m的取值范围； 任务三：若本次研学活动学校的租车费用为w元，求w与m之间的函数表达式，并求本次研学活动学校的最少租车费用是多少? 4．为积极响应乡村振兴的号召，小李依托苍山洱海的旅游资源，开办了一个民族特色旅游纪念品加工厂．该厂生产A，B两种型号的扎染挂件，但每天只能生产这两种型号中的一种．如果生产2天A型号挂件和3天B型号挂件，那么一共可以生产2100个；如果生产1天A型号挂件和2天B型号挂件，那么一共可以生产1300个． (1)该工厂每天能生产A型号挂件和B型号挂件各多少个？ (2)该工厂接到一个来自大理古城旅游节的订单，要求用10天时间至少交付3800个扎染挂件，其中A型号挂件的数量不少于1200个．已知生产A型号挂件每个可获利8元，生产B型号挂件每个可获利6元．在完成订单任务的前提下，应该怎样安排生产A型号和B型号挂件的天数，才能使获得的总利润最大？最大利润是多少万元？ 命题点一 不等式的基本性质 ►题型01 利用不等式的基本性质判断等式是否成立 性质1（加减性质） 不等式两边同时加/减同一个数（或代数式），不等号方向不变。 若； 性质2(乘除正数性质) 不等式两边同时乘/除以同一个正数，不等号方向不变。 性质3(乘除负数性质) 不等式两边同时乘/除以同一个负数，不等号方向必须改变。 【典例】已知实数满足，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】下列不等式变形正确的是（   ） A．由，得 B．由，，得 C．由，得 D．由，得 【变式3】下列说法不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ►题型02 利用等式的性质进行综合 【典例】已知实数满足，则下列判断错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知，，则下列式子一定比大的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】若 则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式3】设，，若，则（ ） A． B． C． D． 命题点二 解一元一次不等式（组） ►题型01 在数轴上表示不等式（组）的解集 【典例】不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】不等式组的解集在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 【变式3】不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4】不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． ►题型02 解一元一次不等式（组）计算题 解一元一次不等式(组)计算题最易丢分的3个核心易错点，是中考实操中出错率最高、连锁影响最大的三类问题，精准规避这3点，能解决80%的计算错误，具体归纳如下： 1.系数化为1时，乘除负数忘记改变不等号方向(头号易错点) 这是解不等式独有的核心错误，也是单不等式计算的最大丢分点，常因照搬解方程思路忽略符号规则导致。 反例：解，直接除以—4错得; 正确：除以负数，不等号变向，得; 避坑：系数化为1前，先标记未知数系数的正负，负数必变号、正数不变号。 2.不等式组公共解集判断错误（专属高频错） 单不等式解集正确后，此错误直接导致最终答案错误，多因口诀混淆、忽略等号所致。 典型错因：把“大大小小找不到（无解）”判成“大小小大中间找”，或漏判等号的唯一公共解； 反例：解错得(实际无解)；解，错得无解(实际解为x=3); 避坑：简单题用口诀，拿不准时画简易数轴，标清空心/实心点，直观找公共区域。 3.去分母/去括号环节漏乘、漏变号（基础连锁错） 这是基础计算疏漏，但会导致后续步骤全部出错，属于“源头性错误”，出错率极高。 两类典型错：①去分母漏乘不含分母的常数项(如，乘2错得，漏乘1)；②括号前是负号，括号内部分项漏变号(,去括号错得，-5未变+5); 避坑：不跳步、分步算，去分母时“每一项都乘”，去括号时“负号进括号，各项都变号”。 【典例】解下列不等式和不等式组： (1)； (2) 【变式1】解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来，并求出它的所有整数解的和． 【变式2】解不等式与不等式组，并把它们的解集表示在数轴上： (1)； (2) 命题点三 一元一次不等式（组）中含参问题 ►题型01由不等式（组）的整数解求参数的取值 【典例】若关于的不等式组的整数解共有4个，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】若关于x的不等式组恰有2个整数解，则所有符合条件的整数m的和为（    ） A．0 B． C． D． 【变式2】关于x的不等式组有且只有2个偶数解，则符合条件的所有整数a的和为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3】若关于的不等式组恰有三个整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． ►题型02 由不等式（组）（有）无解求参数的取值 【典例】关于的方程的解是自然数，且关于的不等式组无解，则符合条件的整数的值的积为 ． 【变式1】关于的不等式组有解，则的取值范围为 ． 【变式2】若关于x的不等式组无解，则满足条件的正整数n有 个． 【变式3】若关于的一元一次不等式组无解，则的取值范围是 ． ►题型03 由不等式（组）解的情况求参数 【典例】若不等式组的解集为，则m的取值范围是 ． 【变式1】不等式的解集为，则m的值为 ． 【变式2】若不等式组的解集为， 则的值为 ． 【变式3】不等式组的解集是，实数a满足的条件是 ． 命题点四 一元一次不等式（组）的实际应用 ►题型01列一元一次不等式（组） 【典例】在“保护地球，爱护家园”活动中，校团委把一批树苗分给七年级（2）班的同学们去栽种．若每人分2棵，还剩42棵；若每人分3棵，则最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵）．若设七年级（2）班人数为人，则该班最少有多少名学生？以下列式正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】某超市花费2500元购进草莓100kg，销售中有10%的正常损耗．为避免亏本（其他费用不考虑），售价至少定为每千克多少元？设售价定为每千克x元，根据题意所列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】小华同学现要在38min内完成4.1km的路程，已知她步行每分钟可走90m，跑步每分钟可跑210m．小华同学完成这段路程，至少要跑多少分钟？设要跑x min，则可列不等式为（    ） A． B． C． D． 【变式3】将一些书分给九（1）班的所有学生，若每人分4本，则还剩77本书；若每人分6本，则有一名学生能分到书但少于5本，求这些书的本数与九（1）班学生的人数，设九（1）班有学生x人，则列出的不等式组是（   ） A． B． C． D． ►题型02 不等式组中行程问题 【典例】已知一列慢车与一列快车相继从泰州开往上海，慢车先出发，一小时后快车出发，设慢车行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示与之间的函数关系． (1)请解释图中点的实际意义； (2)分别求慢车和快车的速度、泰州与上海的距离； (3)如果两车都配有对讲机，并且二车相距不超过时，能相互通话，求两车均在行驶过程中能通话的时间． 【变式1】小张骑自行车匀速从甲地到乙地，在途中休息了1小时后，仍然按原路行驶，他距乙地的距离y与时间x的关系如图中折线所示；小李骑摩托车匀速从乙地到甲地，比小张晚出发6小时，他距乙地的距离y与时间x的关系式如图中线段所示． (1)小李到达甲地后，小张再经过___小时到达乙地，小张骑自行车的速度是___千米/时． (2)小张出发几小时与小李相遇？ (3)若小李想在小张修休息期间与他相遇，则小李出发的时间应在什么范围？（直接写出答案） 【变式2】已知，两地相距，甲骑自行车，乙骑摩托车沿一条笔直的公路由地匀速行驶到地．设行驶时间为，甲、乙离开地的路程分别记为，，它们与的关系如图所示． （1）分别求出线段，所在直线的函数表达式． （2）试求点的坐标，并说明其实际意义． （3）乙在行驶过程中，求两人距离超过时的取值范围． 【变式3】某校八年级组织了一场趣味运动会，其中“背夹球竞走”项目的规则是：每组选出男、女同学各一名，背靠背中间夹一个气球，在直道上侧身走完规定的路程，气球不能落地．若途中气球掉落，须捡回并在掉落处继续前行．用时少者胜．甲、乙两组参加比赛，结果甲组在途中掉了球，乙组则顺利走完全程．比赛过程中，两组同学距离出发点的距离与比赛时间的函数关系如图．根据函数图象，回答下列问题： (1)点表示的实际意义是什么？ (2)求的函数表达式； (3)从甲组开始返回到两组走完全程，两组之间的距离不超过时，求的取值范围． ►题型03 不等式组中工程问题 【典例】习近平总书记高度重视水污染防治工作，将其作为生态文明建设和环境保护的关键环节，提出一系列新理念、新思路和新举措，为解决污水问题提供了根本遵循．祁阳市某河流防污治理工程已正式启动，由甲队单独做5个月后，乙队再加入合作2个月就可以完成这项工程．已知若甲队单独做需要8个月可以完成． (1)乙队单独完成这项工程需要几个月？ (2)已知甲队每月施工费用为15万元，比乙队多6万元，按要求该工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工（包括12个月），为了确保经费和工期，采取甲队做个月（为整数），乙队做4个月分工合作的方式施工，请问有哪几种施工方案并求出最省钱的方案费用？ 【变式1】光伏发电是“中国智慧”和“中国建设”的体现，光伏发电既安全又绿色，为我们实现“碳达峰”“碳中和”的目标奠定了基础．2024年9月12日，京能宜昌高铁北站产业园（鸦鹊岭片区）分布式屋顶光伏项目（）总承包工程项目正式开工建设．项目部决定购进甲、乙两种不同型号的光伏板，甲种光伏板的单价比乙种光伏板的单价少200元，用7000元购进甲种光伏板的数量是用4500元购进乙种光伏板数量的2倍． (1)求甲种光伏板的单价是多少？ (2)若项目部购进乙种光伏板的数量比甲种光伏板的2倍还多50块，且乙种光伏板的数量不低于410块，购进两种光伏板的总费用不超过545000元，求项目部有几种购进方案？哪种方案的费用最低？最低费用是多少元？ 【变式2】某社区计划对面积为1800的区域进行绿化．经投标，由甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天绿化的面积是乙队的2倍，并且在独立完成400的绿化时，甲队比乙队少用4天． (1)分别求出甲队、乙队每天完成的绿化面积； (2)设甲队施工x天，乙队施工y天，刚好完成绿化任务，且甲、乙两队施工的总天数不超过26天，写出y与x的函数解析式和自变量x的取值范围； (3)在（2）条件下，若甲队每天绿化费用是0.6万元，乙队每天绿化费用为0.25万元，如何安排甲、乙两队施工的天数，使施工总费用最低？并求出最低费用． 【变式3】锦潭社区计划对某区域进行绿化，经投标，由甲、乙两个工程队一起来完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的倍，并且在独立完成面积为区域的绿化时，甲队比乙队少用天． （1）求甲、乙两工程队每天各能完成的绿化面积； （2）若计划绿化的区域面积是，甲队每天绿化费用是万元，乙队每天绿化费用为万元． ①当甲、乙各施工几天，既能刚好完成绿化任务，又能使总费用恰好为万元； ②按要求甲队至少施工天，乙队至多施工天，当甲乙各施工几天，既能刚好完成绿化任务，又使得总费用最少（施工天数不能是小数）并求最少总费用． ►题型04 不等式组中经济问题 【典例】有、两家粮食种植基地往甲、乙两个粮食配送中心运送粮食，地可运出粮食80吨，地可运出粮食60吨甲地需要粮食90吨，乙地需要粮食50吨，每吨粮食运费如下：从基地运往甲、乙两中心的运费分别为每吨500元和400元，从基地运往甲、乙两中心的运费分别为每吨200元和300元，设地运送到甲中心粮食为吨． (1)设运送粮食的总费用为元，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)若运输公司要求总运费不超过51000元，且为了保障基地的运输效率，规定地运往甲中心的粮食吨数至少比地运往乙中心的粮食吨数多16吨，请求出所有符合条件的值．（为整数） (3)按照题（2）的调运方案，当取何值时，总运费最低？最低总运费是多少元？ 【变式1】某商店计划购进甲、乙两种商品，已知甲商品的单价比乙商品的单价少20元，用3000元购进甲商品的数量与用4000元购进乙商品的数量相同．甲商品售价为每件100元，乙商品售价为每件130元． (1)甲、乙两种商品的单价各是多少元？ (2)商店购进两种商品共150件，其中甲商品的数量不低于乙商品数量的2倍，且全部售出后获利不少于6480元，问商店有几种进货方案？ (3)在（2）的条件下，商店决定对甲商品售价进行调整，每件甲商品变动m元，乙商品售价不变，若要使所有进货方案获利都相同，请直接写出m的值． 【变式2】某超市要经营一种新上市的文具，进价为20元／件．试销阶段发现：当销售单价是28元时，每天的销售量为220件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．试销期间每天还要支付其他固定开销450元． (1)写出超市销售这种文具，每天净利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式； (2)求销售单价为多少元时，该文具每天的净利润最大？最大是多少元？ (3)实际销售时无法实现净利润最大，超市营销部结合实际情况，提出了A、B两种营销方案： 方案：该文具的销售单价高于进价且不超过30元； 方案：每天销售量不少于50件，且每件文具的利润至少为20元． 请比较哪种方案的最大净利润更高，并说明理由． 【变式3】超市经营一种新文具，进价为20元/件．试销阶段发现：当销售单价是28元时，每天的销售量为220件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．试销期间每天还要支付其他固定开销450元． (1)写出超市销售这种文具，每天净利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； (2)超市营销部结合实际情况，提出了每天销售量不少于50件，且每件文具的利润至少为20元的营销方案，求该方案销售单价为多少元时，每天的净利润最大？最大是多少元？ ►题型05 不等式组中方案选择问题 【典例】某商店准备购进，两种商品，种商品每件的进价比种商品每件的进价多元，用元购进种商品和用元购进种商品的数量相同． (1)种商品每件的进价和种商品每件的进价各是多少元？ (2)商店计划用不超过元的资金购进，两种商品共40件，其中种商品的数量不低于种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？哪种方案总费用最少？ 【变式1】小渝是一名建筑设计师，受甲方委托，负责为一栋建筑设计窗户．设计方案结合了平开窗和推拉窗两种形式．已确认项目总预算为14800元，其中推拉窗每平方米单价为平开窗的倍．若将10000元用于采购平开窗，余下资金全部用于购买推拉窗，则所购平开窗的面积将比推拉窗面积多出15平方米． (1)请分别求出平开窗和推拉窗的单价； (2)设计过程中，甲方进一步提出：窗户全部按整数平方米分配，且用于推拉窗的资金不低于4000元．如果窗户规划总计为35平方米，那么在总费用不超出预算的前提下，小渝共有哪几种可行的设计方案？ 【变式2】为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买两种型号的充电桩，已知型充电桩比型充电桩的单价少万元，且用万元购买型充电桩与用万元购买型充电桩的数量相等． (1)两种型号充电桩的单价各是多少万元？ (2)该停车场计划购买型充电桩共个，购买总费用不超过万元，且购买型充电桩的数量不少于型充电桩数量的．问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？最少费用是多少万元？ 【变式3】《哪吒之魔童降世2》自上映以来热度不减，哪吒、敖丙造型的钥匙扣也颇受青睐．已知一个敖丙钥匙扣的进价比一个哪吒钥匙扣的进价贵4元，用200元全部购买哪吒钥匙扣的数量与用280元全部购买敖丙钥匙扣的数量相同． (1)求哪吒、敖丙造型的钥匙扣的单价分别是多少元？ (2)某班级计划购买哪吒、敖丙两种造型的钥匙扣共150个来作为表现突出同学的奖品，现要求敖丙造型钥匙扣的数量不少于哪吒造型钥匙扣数量的3倍，且购买哪吒、敖丙造型钥匙扣总费用不超过1960元的情况下，有几种购买方案？如何购买总费用最少？ ►题型06不等式组中梯度收费问题 【典例】为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，重庆市采用价格调控的方式达到节水的目的．重庆市自来水的收费价格见价目表．注：水费按月结算．若某户居民1月份用水8立方米，则应交水费：（元）． 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/立方米 超出6立方米不超出10立方米的部分 4元/立方米 超出10立方米的部分 8元/立方米 (1)若小明家2月份用水立方米，则应交水费________元； (2)若小明家3月用水量为立方米，当时，小明家应交水费______元，当时，小明家应交水费_______元；（请用含的代数式表示） (3)若小明家3月份，4月份共用水12立方米（4月份用水量多于3月份），共交水费38元，则小明家3，4月份各用水多少立方米？ 【变式1】为践行“四季莫负春光日，人生不负少年时”的教育理念，我校七年级拟于5月29号组织60名老师和1160名学生前往浏阳博士村开展研学活动．活动前年级组准备租用A、B两种型号的客车(每种型号的客车至少租用5辆)．A型车每辆租金是500元，B型车每辆租金是600元，若2辆A型车和1辆B型车坐满后共载客140人，3辆A型车和4辆B型车坐满后共载客335人． (1)每辆A型车、B型车坐满后各载多少人？ (2)若年级组计划租用A型车和B型车共28辆，要求B型车数量不超过A型车数量的3倍，请问一共有多少种租车方案？哪种租车方案租金费用最少？最小租金费用为多少元？ 【变式2】大连地铁票收费标准如下： 不超过，2元人次；超过到（含），元/人次； 超过到（含），4元/人次； 超过到（含），5元/人次； 超过到（含），6元/人次； 超过到（含），7元/人次； 超过到（含），8元/人次； 超过部分，票价每增加元可再乘坐． 一位乘客单次乘坐地铁购票花费了元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示的范围为 ． 突破一 不等式组与方程的综合 【典例】若数既使得关于的不等式组无解，又使得关于的分式方程的解为大于1的整数，则满足条件的所有整数的积为（   ） A． B． C．0 D．3 【变式1】若关于的不等式组有解，且关于的分式方程有正整数解，则满足条件的整数的值为（   ） A．2或3 B．3或4 C．2或5 D．2或3或5 【变式2】已知关于的方程组的解为非正数，且关于x的不等式组有且仅有1个偶数解，则所有满足条件的整数m的和为（    ） A．7 B．9 C．12 D．14 【变式3】若整数使关于的不等式组至少有4个整数解，且使关于的方程组的解为正整数，那么所有满足条件的整数的值的和是（   ） A． B． C． D． 【变式4】对于任意实数m，n，定义一种新运算，等式的右边是通常的定义一种新运算，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：，请根据上述定义解决问题：若，且解集中有3个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 突破二 不等式组中新定义类题型 【典例】对、定义一种新运算，记为：． (1)若，如：，则________； (2)若，（其中、为常数），且，． ①求、的值； ②若关于的不等式组，现定义一个新数，在不等式组恰好有3个整数解的条件下，求的取值范围． 【变式1】定义：如果一元一次不等式组的解都是一元一次不等式组的解，那么称一元一次不等式组是一元一次不等式组的“相容不等式组”，如果一元一次不等式组的解都不是一元一次不等式组的解，那么称一元一次不等式组是一元一次不等式组的“相斥不等式组”． (1)根据上述定义，判断不等式组是不等式组的______填序号“相容不等式组”或“相斥不等式组”； (2)若关于的不等式组是的“相斥不等式组”，求的范围； (3)若关于的不等式组是的“相容不等式组”，且和的整数解相同，求的范围． 【变式2】绝对值是初中数学最活跃的概念之一，能与数学中许多知识关联而生成新的问题，比如：绝对值方程，解决这类问题的关键就是去掉绝对值符号：①依定义去绝对值符号；②从数轴上读取相关信息去绝对值符号；③由分类讨论去绝对值符号等，现在让我们一起来解决以下绝对值问题． (1)利用绝对值的定义解关于x的方程； (2)已知关于x、y的方程组，满足方程组的未知数x的值为整数，系数k也为整数且．求满足条件的k和x的值； (3)当x在之间变化时，的值恰好取遍0到1之间的所有数（包括0和1），求出满足条件的所有整数对． 【变式3】我们定义一种新的“坐标变换规则”：在平面直角坐标系中，点经过“▲”变换后得到点，其中为常数．同时定义“和谐点判定”：对于点，若满足（为常数），则称点为关于的“和谐点”；若，则称点为关于的“非和谐点”．已知点经过“▲”变换后得到，点经过“▲”变换后得到． (1)直接写出的值； (2)已知点和经过“▲”变换后分别得到和，若点和中至少有一个是关于的“非和谐点”，求的取值范围； (3)点在第二象限，经过“▲”变换后得到的是关于的“和谐点”，若，求的取值范围． 1．使式子有意义的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知关于的不等式组有解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知点、点在一次函数的图象上，且，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 4．一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小2．如果这个两位数大于24并且小于38，那么这个两位数是 ． 5．若关于的不等式的负整数解为，，则的取值范围是 ． 6．关于的方程的解为正数，则的取值范围为 ． 7．解不等式（组），并把解集表示在数轴上． (1)； (2)解不等式组：，并写出它的所有整数解． 8．如图是一排形状相同、大小相等的个长方形猪圈，总面积为平方米，一面靠墙（墙长米），其它各边用总长为米的木栅栏围成． (1)若，则和各为多少米？ (2)若，则和各为多少米？ 1．沪蓉高速由西向东依次经过、、三地，元旦假期小明一家驾车从地出发沿沪蓉高速匀速行驶到地游玩，途中未停留．同时小亮一家从地出发，也沿沪蓉高速驾车到地游玩，途中小亮家下高速并在某服务区休息后，又上高速，并提速后匀速驶往地，最终比小明一家提前分钟到达地．如图所示是小明家、小亮家出发后与地的距离关于时间的函数图象．请根据图象回答问题： (1)填空：、两地之间的距离为________， _______， _______； (2)求图中的交点的坐标： (3)若两家都带了无线对讲机，已知无线对讲机的有效通话范围不超过，那么两家人在途中可以用无线对讲机进行通话的时间有多长? 2．已知数轴上的点A，B表示的数分别为，2，直线l垂直数轴于点M，设点M表示的数为m．以线段为一边作等腰直角．对于和直线l给出如下定义：若关于直线l对称的图形上的点到原点O的距离的最大值为p，则称p为关于直线l的“反射原距”． (1)如图，，，依题意画直线l和关于直线l的对称图形，并直接写出关于直线l的“反射原距”p的值； (2)若，关于直线l的“反射原距”为5，直接写出m的值； (3)若存在，使得关于直线l的“反射原距”p满足，直接写出m的取值范围． 1．（2025·内蒙古·中考真题）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南·中考真题）已知，，，是的三条边长，记，其中为整数． （1）若三角形为等边三角形，则 ； （2）下列结论正确的是 （写出所有正确的结论） ①若，，则为直角三角形 ②若，，，则 ③若，，，，为三个连续整数，且，则满足条件的的个数为7 3．（2025·山东东营·中考真题）（1）计算：； （2）解不等式组，并把它的解集表示在数轴上． 4．（2025·四川资阳·中考真题）某社团计划开展手工制作活动，制作需使用A，B两款材料包，购买3份A款材料包和2份B款材料包需84元，购买2份A款材料包和3份B款材料包需86元． (1)问购买一份A款材料包和一份B款材料包各需多少元？ (2)该社团打算购买A，B两款材料包共50份，总费用不超过830元，则至少购买A款材料包多少份？ 5．（2025·四川眉山·中考真题）国家卫健委在全民健康调查中发现，近年来的肥胖人群快速增长，为加强对健康饮食的重视，特发布各地区四季健康饮食食谱．现有A、B两种食品，每份食品的质量为，其核心营养素如下： 食品类别 能量（单位：） 蛋白质（单位：） 脂肪（单位：） 碳水化合物（单位：） A 240 12 7.5 29.8 B 280 13 9 27.6 (1)若要从这两种食品中摄入能量和蛋白质，应选用A、B两种食品各多少份？ (2)若每份午餐选用这两种食品共，从A、B两种食品中摄入的蛋白质总量不低于，且能量最低，应选用A、B两种食品各多少份？ 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $