第04讲 二次根式（复习讲义，3考点6题型）（天津专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第一章 数与式 第04讲 二次根式 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 6 命题点一 二次根式的基础 题型01 二次根式有意义的条件 题型02 利用二次根式的性质化简 题型03 二次根式与数轴 命题点二 二次根式的运算 题型01 二次根式的加减运算 题型02 二次根式的乘除运算 题型03 二次根式的混合运算 05·重难突破·思维进阶 7 突破一 二次根式的化简求值问题 突破二 比较二次根式的大小 06·优题精选·练能提分 9 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 二次根式的混合运算（含特殊角三角函数值） T6 T6 T6 1. 掌握二次根式的加、减、乘、除运算法则； 2. 能结合特殊角（30°、45°、60°）的三角函数值进行混合运算； 3. 运算结果需化为最简二次根式。 命题预测 2026 年仍会以 T6（填空题 / 选择题）的形式考查，大概率结合平方差公式、特殊角三角函数值，难度保持基础题水平。 备考建议 1. 熟练记忆特殊角三角函数值，强化二次根式与整式运算（如平方差、完全平方公式）的结合练习； 2. 重点训练 “先化简再运算” 的步骤，确保结果为最简形式； 3. 针对 T6 题型进行专项限时训练，提升正确率 考点一 二次根式的有关概念 1.二次根式的有关概念 二次根式 一般地，我们把形如的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，a叫做被开方数． 最简二次根式 同时满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式： 1）被开方数不含； 2）被开方数中不含能开得尽方的. 同类二次根式 把几个二次根式化为最简二次根式后，若相同，则这几个二次根式叫做同类二次根式. 2.二次根式有意义 在二次根式中，要求被开方数a必须满足条件，即被开方数是非负的，所以当a≥0时，有意义，当a＜0时，无意义. 常见类型： 1）单个二次根式，如有意义的条件是； 2）二次根式相加，如有意义的条件是； 3）二次根式作为分母时，如有意义的条件是； 1．（2025塘沽三模）估计的值在（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 2．（2025天津模拟预测）若二次根式有意义，则x的取值范围是 ． 3．（2025·河西区·模拟预测）已知，则的平方根为 ． 考点二 二次根式的性质 性质 文字语言 应用 一个非负数的算术平方根是非负数 若则 一个非负数的算术平方根的平方等于它本身 正用公式： 逆用公式： 一个数平方的算术平方根等于它本身的绝对值 正用公式： 逆用公式： 1．（2025·和平区·二模）计算： ． 2．（2025·南开区·一模）若，则实数的取值范围是 ． 3．（2025·西青区模拟预测）是某三角形三边的长，则等于（    ） A． B． C．10 D．4 考点三 二次根式的运算 加减运算 一般地，二次根式加减时，先把各个二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并，即. 乘法运算 除法运算 混合运算 二次根式的混合运算实质上就是实数的混合运算和无理式的混合运算. 1．（2025·天津·中考真题）的值等于（   ） A．0 B．1 C． D． 2．（2024·天津·中考真题）的值等于（    ） A． B． C． D． 3．（2025·天津·中考真题）计算的结果为 ． 命题点一 二次根式的基础 ►题型01二次根式有意义的条件 1）二次根式：被开方数为非负数； 2）分式：分母不等于0； 3）“复合型”式子：取使各部分都有意义的字母的取值范围的公共部分. 【典例1】（2025天津一模）若二次根式有意义，则x的值不可能是（   ） A． B． C．0 D．2 【变式1-1】（2025天津模拟预测）下列各式一定是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·天津红桥·模拟预测）下列各式中无论x为任何数都没有意义的是（     ） A． B． C． D． ►题型02 利用二次根式的性质化简 1）在实数范围内，式子表示非负数a的算术平方根，它具有双重非负性. 2）“若几个非负数的和等于0，则表示这几个非负数都等于0”可以解决一些与算术平方根有关的问题. 【典例2】（2025津南区模拟预测）下列各等式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2025和平区模拟预测）已知b>0,化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025·天津津南·模拟预测） = ． ►题型03 二次根式与数轴 【典例3】（2025·天津和平·一模）实数a，b，c在数轴上的对应点如图，化简的值是（ ）    A． B．c-b C． D． 【变式3-1】（2025·南开区一模）如图，在数轴上有三个点，其中两个点分别表示，，点表示的是位于这两点之间的整数，则这个整数为（    ） A． B．5 C． D． 【变式3-2】（2025滨河新区模拟）实数在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简 ． 命题点二 二次根式的运算 ►题型01 二次根式加减运算 1）合并同类二次根式与合并同类项类似，即只把“系数”相加减，而根号部分不变. [注意]“系数”的结果若不是整数，则应写成假分数的形式，不能写成带分数形式，也不能写成小数形式. 2）二次根式加减运算的实质：合并被开方数相同的二次根式，被开方数不同的二次根式不能合并． 【典例4】（2025·天津南开·一模）估计的值在（   ） A．4和5之间 B．3和4之间 C．2和3之间 D．1和2之间 【变式4-1】（2025·北辰区·一模）若，则表示实数的点会落在数轴的（ ） A．段①上 B．段②上 C．段③上 D．段④上 【变式4-2】（2025·武清区·一模）计算：； 题型02 二次根式乘除运算 1）只有当a≥0，b≥0时，才成立. 2）只有当a≥0，b＞0时，才成立. 3）若被开方数是带分数的，则要先将其化为假分数. 4）二次根式运算时的注意事项： ①结果要化为最简二次根式或整式； ②如果含有字母，要注意字母的取值范围是否能使式子成立，以及其中的隐藏条件. 【典例5】（2025·天津·模拟预测）计算： ． 【变式5-1】（2025·江苏·中考真题）计算： ． 【变式5-2】（2025·天津市·模拟预测）计算： ． 题型03 二次根式混合运算 二次根式混合运算的“四注意” 1）确定运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内的； 2）灵活运用运算律. 3）正确使用乘法公式. 4）有些运算中约分可使运算简便. 【典例6】（2025·天津河北·一模）的值等于（　　） A． B． C． D． 【变式6-1】（2025西青区四模）已知，则 ． 【变式6-2】（2025静海区模拟预测）计算的结果是 ． 【变式6-3】（2025天津一中模拟）估计的值应在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 突破一 二次根式的化简求值问题 1．（2025·天津市·模拟预测）化简求值：，其中， 2．（2025·道外区·二模）先化简，再求代数式的值，其中． 21．（2025福田区二模）已知：，，求下列各式的值． (1)； (2)． 突破二 比较二次根式的大小 1．（2025天津模拟预测）已知：，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．（2025天津模拟预测）比较大小： （填“”、“”或“”） 1．（2025·天津河西·一模）的值等于（   ） A．0 B．2 C． D． 2．（2025天津市模拟预测）某市在招商引资期间，把已倒闭的机床厂租给外地某投资商，该投资商为减小固定资产投资，将原有的场地改建成800平方米的长方形场地，且其长、宽的比为5：2，如果把一些金属栅栏围墙全部利用，来作为新场地的围墙，下列长度的栅栏够用并节省材料的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·天津·三模）的值为（   ） A．1 B． C． D． 4．（2025天津市模拟预测）估算的值在（    ） A．0到1之间 B．1到2之间 C．2到3之间 D．3到4之间 5．（2025·天津北辰·一模）下列计算，正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·西青区一模）使得式子有意义的x的取值范围是（　　） A．x≥4 B．x＞4 C．x≤4 D．x＜4 7．（2025南开区模拟）下列运算中：①=；②；③；④；错误的个数为(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 8．（2015·四川内江·中考真题）函数中自变量x的取值范围是（ ） A． B．且 C．x＜2且 D． 9．（2025东丽区一模）请用“>，=，<”符号比较大小： ； 10．（2025·天津西青·一模）计算的结果等于 ． 1．（2024·天津·模拟预测）的小数部分是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·天津市模拟预测）如图，已知线段，按以下步骤作图：①过点B作，使，连接；②以点C为圆心，以长为半径画弧，交于点D；③以点A为圆心，以长为半径画弧，交于点E．若，则m的值为（    ）    A． B． C． D． 3．（2025·天津西青·二模）阅读理解材料：把分母中的根号化掉叫做分母有理化，例如：①；②等运算都是分母有理化，根据上述材料，计算： ． 4．（2025南开区模拟）计算： ． 5．（2025天津·模拟预测）计算： ． 6．（2025天津南开·一模）已知的值为0，则 . 7．（2025和平区模拟）无论x取任何实数，代数式都有意义，则m的取值范围为　 　． 8．（2025·全国·一模）计算： （要求：分步书写，体现分母有理化过程） 9．（2025·山东·模拟预测）（1）计算：． （2）先化简，再求值：，并从，0，1，2四个数中，选一个合适的数代入求值． 1．（2025·江苏徐州·中考真题）下列运算错误的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·青海西宁·中考真题）当时，下列代数式在实数范围内有意义的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·四川凉山·中考真题）若，则的平方根是（    ） A．8 B． C． D． 4．（2025·河北·中考真题）计算：（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 5．（2025·山东威海·中考真题）计算： ． 6．（2025·四川南充·中考真题）计算：． 7．（2025·福建·中考真题）先化简，再求值：，其中． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 数与式 第04讲 二次根式 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 8 命题点一 二次根式的基础 题型01 二次根式有意义的条件 题型02 利用二次根式的性质化简 题型03 二次根式与数轴 命题点二 二次根式的运算 题型01 二次根式的加减运算 题型02 二次根式的乘除运算 题型03 二次根式的混合运算 05·重难突破·思维进阶 12 突破一 二次根式的化简求值问题 突破二 比较二次根式的大小 06·优题精选·练能提分 18 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 二次根式的混合运算（含特殊角三角函数值） T6 T6 T6 1. 掌握二次根式的加、减、乘、除运算法则； 2. 能结合特殊角（30°、45°、60°）的三角函数值进行混合运算； 3. 运算结果需化为最简二次根式。 命题预测 2026 年仍会以 T6（填空题 / 选择题）的形式考查，大概率结合平方差公式、特殊角三角函数值，难度保持基础题水平。 备考建议 1. 熟练记忆特殊角三角函数值，强化二次根式与整式运算（如平方差、完全平方公式）的结合练习； 2. 重点训练 “先化简再运算” 的步骤，确保结果为最简形式； 3. 针对 T6 题型进行专项限时训练，提升正确率 考点一 二次根式的有关概念 1.二次根式的有关概念 二次根式 一般地，我们把形如（𝑎≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，a叫做被开方数． 最简二次根式 同时满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式： 1）被开方数不含分母； 2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 同类二次根式 把几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式叫做同类二次根式. 2.二次根式有意义 在二次根式中，要求被开方数a必须满足条件a≥0，即被开方数是非负的，所以当a≥0时，有意义，当a＜0时，无意义. 常见类型： 1）单个二次根式，如有意义的条件是𝑎≥0； 2）二次根式相加，如有意义的条件是𝑎≥0且b≥0； 3）二次根式作为分母时，如有意义的条件是𝑎>0； 1．（2025塘沽三模）估计的值在（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】D 【分析】寻找小于26的最大平方数和大于26的最小平方数即可. 【详解】解：小于26的最大平方数为25，大于26的最小平方数为36，故，即： ，故选择D. 【点睛】本题考查了二次根式的相关定义. 2．（2025天津模拟预测）若二次根式有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件．二次根式有意义，被开方数为非负数，列不等式求解． 【详解】解：根据二次根式的意义，得， 解得． 故答案为：． 3．（2025·河西区·模拟预测）已知，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的平方根，二次根式的性质，根据二次根式的被开方数是非负数，确定的取值范围，从而求出和y的值，再计算的值，最后求其平方根，即可作答． 【详解】解：∵， ∴ 故， ∴， ∴， ∴4的平方根为， 故答案为：． 考点二 二次根式的性质 性质 文字语言 应用 一个非负数的算术平方根是非负数 若则a=b=0 一个非负数的算术平方根的平方等于它本身 正用公式： 逆用公式： 一个数平方的算术平方根等于它本身的绝对值 正用公式： 逆用公式： 1．（2025·和平区·二模）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的性质，零指数幂，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．先计算的化简结果和的值，然后相减． 【详解】解：． 故答案为：． 2．（2025·南开区·一模）若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的非负性可得，解不等式即可求解，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（2025·西青区模拟预测）是某三角形三边的长，则等于（    ） A． B． C．10 D．4 【答案】D 【分析】先根据三角形三边的关系求出的取值范围，再把二次根式进行化解，得出结论． 【详解】解：是三角形的三边， ， 解得：， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是：先根据题意求出的范围，再对二次根式化简． 考点三 二次根式的运算 加减运算 一般地，二次根式加减时，先把各个二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并，即. 乘法运算 除法运算 混合运算 二次根式的混合运算实质上就是实数的混合运算和无理式的混合运算. 1．（2025·天津·中考真题）的值等于（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的计算，代入各特殊角的三角函数值后按运算顺序计算，即可求解． 【详解】解： 故选：A． 2．（2024·天津·中考真题）的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，熟记特殊的三角函数值是解题的关键；根据代入即可求解. 【详解】， 故选：A. 3．（2025·天津·中考真题）计算的结果为 ． 【答案】60 【分析】本题主要考查了利用平方差公式进行二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握平方差公式． 利用平方差公式进行计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：60． 命题点一 二次根式的基础 ►题型01二次根式有意义的条件 1）二次根式：被开方数为非负数； 2）分式：分母不等于0； 3）“复合型”式子：取使各部分都有意义的字母的取值范围的公共部分. 【典例1】（2025天津一模）若二次根式有意义，则x的值不可能是（   ） A． B． C．0 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式，根据二次根式有意义求出的取值范围，然后判断即可．熟知被开方数为非负数是解题的关键． 【详解】解：若二次根式有意义， 则， 解得， 所以的值不可能是， 故选：A． 【变式1-1】（2025天津模拟预测）下列各式一定是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的概念和性质，逐一判断． 【详解】解：A、二次根式无意义，故错误，不符合题意； B、是三次根式，故错误，不符合题意； C、被开方数是正数，故正确，符合题意； D、当或、异号时，根式无意义，故错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．当二次根式在分母上时还要考虑分母不等于零，此时被开方数大于0． 【变式1-2】（2025·天津红桥·模拟预测）下列各式中无论x为任何数都没有意义的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案． 【详解】A、-7x≥0， ∴x≤0，故A不符合题意； B、≥0， ∴≤0， ∴x≤0，故B不符合题意； C、≥0， ∴≤-10，此不等式对于任何实数都不能够成立，故C符合题意； D、只要是任何一个实数都可以成立，此时x可取任意的值，故D不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． ►题型02 利用二次根式的性质化简 1）在实数范围内，式子表示非负数a的算术平方根，它具有双重非负性. 2）“若几个非负数的和等于0，则表示这几个非负数都等于0”可以解决一些与算术平方根有关的问题. 【典例2】（2025津南区模拟预测）下列各等式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式的性质可得结果． 【详解】解：A、，故正确，符合； B、，故错误，不符合； C、被开方数是非负数，故错误，不符合； D、，故错误，不符合； 故选A． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，注意开平方的被开方数是非负数． 【变式2-1】（2025和平区模拟预测）已知b>0,化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据二次根式有意义的条件，判断a≤0，再根据二次根式的性质进行化简． 【详解】∵b>0, ∴ ∴原式 故选C. 【点睛】考查二次根式有意义的条件以及二次根式的化简，得到a≤0是解题的关键. 【变式2-2】（2025·天津津南·模拟预测） = ． 【答案】 【分析】先算乘积，再利用二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：原式= = = 故答案为：． 【点睛】此题考查二次根式的性质与化简，解题关键是熟记二次根式的非负性． ►题型03 二次根式与数轴 【典例3】（2025·天津和平·一模）实数a，b，c在数轴上的对应点如图，化简的值是（ ）    A． B．c-b C． D． 【答案】B 【分析】先判断式子的正负，化简绝对值、得出算术平方根，再加减即可． 【详解】由数轴可知，，， ∴ = =． 故选B． 【点睛】本题考查了代数式的化简，涉及绝对值化简和算术平方根的定义，解题关键是掌握，以及负数的绝对值等于它的相反数等相关概念． 【变式3-1】（2025·南开区一模）如图，在数轴上有三个点，其中两个点分别表示，，点表示的是位于这两点之间的整数，则这个整数为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的化简、无理数的估算、实数与数轴，熟练掌握无理数的估算是解题关键．先根据二次根式的化简可得，，再根据无理数的估算可得，，由此即可得． 【详解】解：，， ∵，， ∴，， ∴，， 即，， ∴， ∵点表示的是位于这两点之间的整数， ∴这个整数为， 故选：D． 【变式3-2】（2025滨河新区模拟）实数在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简 ． 【答案】0 【分析】判断出绝对值里面的数的符号，进而去掉绝对值化简即可． 【详解】解：， ，，， 原式． 故答案为：． 【点睛】考查绝对值的化简问题；判断出绝对值里面的式子的符号是解决本题的关键；用到的知识点为：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数． 命题点二 二次根式的运算 ►题型01 二次根式加减运算 1）合并同类二次根式与合并同类项类似，即只把“系数”相加减，而根号部分不变. [注意]“系数”的结果若不是整数，则应写成假分数的形式，不能写成带分数形式，也不能写成小数形式. 2）二次根式加减运算的实质：合并被开方数相同的二次根式，被开方数不同的二次根式不能合并． 【典例4】（2025·天津南开·一模）估计的值在（   ） A．4和5之间 B．3和4之间 C．2和3之间 D．1和2之间 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式运算、无理数估算大小等知识，熟练掌握二次根式运算法则和无理数估算大小方法是解题关键． 首先计算得，结合，即可获得结果． 【详解】解：， 又∵，即， ∴的值在3和4之间． 故选：B． 【变式4-1】（2025·北辰区·一模）若，则表示实数的点会落在数轴的（ ） A．段①上 B．段②上 C．段③上 D．段④上 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次根式的化简，减法运算及估算，先化简二次根式，计算出a的值，再估算出a的范围，再结合数轴即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ，， ， 即， 故实数a的点会落在数轴的段②上， 故选：B． 【变式4-2】（2025·武清区·一模）计算：； 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、零指数幂等知识． 利用二次根式的性质化简、求绝对值、零指数幂、二次根式的加法等知识计算即可． 【详解】解： ． 题型02 二次根式乘除运算 1）只有当a≥0，b≥0时，才成立. 2）只有当a≥0，b＞0时，才成立. 3）若被开方数是带分数的，则要先将其化为假分数. 4）二次根式运算时的注意事项： ①结果要化为最简二次根式或整式； ②如果含有字母，要注意字母的取值范围是否能使式子成立，以及其中的隐藏条件. 【典例5】（2025·天津·模拟预测）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法，平方差公式，掌握运算法则是解题的关键． 根据平方差公式即可化简计算． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式5-1】（2025·江苏·中考真题）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据二次根式的乘法运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式5-2】（2025·天津市·模拟预测）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键．根据二次根式的乘除运算求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 题型03 二次根式混合运算 二次根式混合运算的“四注意” 1）确定运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内的； 2）灵活运用运算律. 3）正确使用乘法公式. 4）有些运算中约分可使运算简便. 【典例6】（2025·天津河北·一模）的值等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了涉及特殊角的三角函数值的计算，二次根式的乘法计算，正确记忆特殊角的三角函数值是解题的关键．分别代入特殊角的三角函数值，再计算即可． 【详解】解： ， 故选：A． 【变式6-1】（2025西青区四模）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，同时考查了因式分解，注意灵活应用．把的因式分解，再代入计算． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式6-2】（2025静海区模拟预测）计算的结果是 ． 【答案】/ 【分析】利用积的乘方的逆运算和同底数幂乘法的逆运算解答． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】此题考查积的乘方的逆运算和同底数幂乘法的逆运算，平方差计算公式，二次根式的混合运算，熟记运算公式是解题的关键． 【变式6-3】（2025天津一中模拟）估计的值应在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】B 【详解】【分析】先利用分配律进行计算，然后再进行化简，根据化简的结果即可确定出值的范围. 【详解】 =， =， 而， 4<<5， 所以2<<3， 所以估计的值应在2和3之间， 故选B. 【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算及估算无理数的大小，熟练掌握运算法则以及“夹逼法”是解题的关键. 突破一 二次根式的化简求值问题 1．（2025·天津市·模拟预测）化简求值：，其中， 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式化简求值，熟练掌握分式混合运算法则，是解题的关键．根据分式混合运算法则，进行化简，然后代入数据求值即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 2．（2025·道外区·二模）先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】 【分析】本题考查分式的化简求值，二次根式的运算，特殊角三角函数值的混合运算．先将括号内式子通分，变分式除法为分式乘法，将分子、分母因式分解，再约分化简，再代入特殊角的三角函数值求出a，将a的值代入化简后的式子求值即可． 【详解】解： ， ， 原式． 21．（2025福田区二模）已知：，，求下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，熟练掌握二次根式的混合运算及分母有理化是解题的关键， （1）根据，，，代入求值即可； （2）先由，，求得，，再将化为后代入求值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∴ ． 突破二 比较二次根式的大小 1．（2025天津模拟预测）已知：，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的大小比较，分母有理化， 先分别表示出，再比较分母即可. 【详解】解：，，， ， ， 即. 故选：D. 2．（2025天津模拟预测）比较大小： （填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】先求出两个数的差，然后根据求出的差的正负，即可求解． 【详解】解：∵， 又∵，，， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了实数的大小比较，利用作差法解答是解本题的关键． 1．（2025·天津河西·一模）的值等于（   ） A．0 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查实数的运算，特殊锐角三角函数值，二次根式加减运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 先将特殊角三角函数值代入，再根据二次根式运算法则计算即可． 【详解】解： ． 故选：D． 2．（2025天津市模拟预测）某市在招商引资期间，把已倒闭的机床厂租给外地某投资商，该投资商为减小固定资产投资，将原有的场地改建成800平方米的长方形场地，且其长、宽的比为5：2，如果把一些金属栅栏围墙全部利用，来作为新场地的围墙，下列长度的栅栏够用并节省材料的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程的简单应用，二次根式的估值，根据题目设出未知数是基础，依据等量关系列写一元二次方程是解题关键． 设长方形围场长为米，则其宽为米，根据长方形面积列出方程求出x的值，进而可知长方形长与宽，再求出长方形周长即可解答． 【详解】解：设长方形围场长为米，则其宽为米， ， 解得米（负值已舍去）， 长方形周长为：米， 而A，B，C，D四个选项中大于且与最接近的是C选项：126m， 故选：C． 3．（2025·天津·三模）的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查特殊角的三角函数的混合运算．熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 把特殊角的三角函数值代入计算即可． 【详解】解：原式 ． 故选：D． 4．（2025天津市模拟预测）估算的值在（    ） A．0到1之间 B．1到2之间 C．2到3之间 D．3到4之间 【答案】C 【分析】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 先根据二次根式的乘法运算法则进行计算，然后利用估算无理数的方法得出接近无理数的整数进而得出答案． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴ ∴的值在2到3之间， 故选：C． 5．（2025·天津北辰·一模）下列计算，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式的加减法计算法则，先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并，如果被开方数不同，不能合并，由此判断即可． 【详解】A．，故A正确     B．=5，故B错误 C．无法计算，故C错误     D．，故D错误 故选：A 【点睛】本题考查了二次根式加减运算法则，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并． 6．（2025·西青区一模）使得式子有意义的x的取值范围是（　　） A．x≥4 B．x＞4 C．x≤4 D．x＜4 【答案】D 【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案． 【详解】解：使得式子有意义，则：4﹣x＞0， 解得：x＜4 即x的取值范围是：x＜4 故选D． 【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键． 7．（2025南开区模拟）下列运算中：①=；②；③；④；错误的个数为(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据算术平方根的定义即可得到结论． 【详解】解：①=，故错误； ②==4，故错误； ③==2，故错误； ④=，故错误； 所以这4个都是错的． 故选D． 【点睛】本题考查了算术平方根的定义，熟记算术平方根的定义是解题的关键． 8．（2015·四川内江·中考真题）函数中自变量x的取值范围是（ ） A． B．且 C．x＜2且 D． 【答案】B 【详解】根据被开方数为非负数和分式的分母不能为0得：，且， 解得：且． 故选B． 9．（2025东丽区一模）请用“>，=，<”符号比较大小： ； 【答案】> 【分析】本题考查了算术平方根和实数的大小比较，求出，，再比较大小即可． 【详解】解：，， ∵， ∴， 故答案为： 10．（2025·天津西青·一模）计算的结果等于 ． 【答案】8 【分析】本题考查了利用平方差公式进行计算、二次根式的混合运算，利用平方根公式去括号，再根据二次根式的性质计算即可得出答案． 【详解】解： ， 故答案为：8． 1．（2024·天津·模拟预测）的小数部分是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分母有理化、无理数的大小估计，先将二次根式分母有理化，判断无理数部分的范围，然后根据不等式的性质，求出整个式子值的范围，求出其整数部分，最后即可求出其小数部分得到答案． 【详解】解： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的整数部分为0，小数部分为， 故选：A． 2．（2025·天津市模拟预测）如图，已知线段，按以下步骤作图：①过点B作，使，连接；②以点C为圆心，以长为半径画弧，交于点D；③以点A为圆心，以长为半径画弧，交于点E．若，则m的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，根据垂直定义可得，再根据，设，然后在中，利用勾股定理可得，再根据题意可得：，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵，设 ∴， ∴， 由题意得：， ∴， ∵， ∴， 故选：A 3．（2025·天津西青·二模）阅读理解材料：把分母中的根号化掉叫做分母有理化，例如：①；②等运算都是分母有理化，根据上述材料，计算： ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关运算的法则．先分母有理化，再合并同类二次根式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 4．（2025南开区模拟）计算： ． 【答案】 【分析】利用平方差公式，完全平方公式将式子化简求值即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式和完全平方公式，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 5．（2025天津·模拟预测）计算： ． 【答案】 【分析】利用积的乘方法则把原式变形，根据平方差公式计算即可． 【详解】 ； 故答案为：. 【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握积的乘方法则和平方差公式是解题的关键． 6．（2025天津南开·一模）已知的值为0，则 . 【答案】-1． 【分析】利用分式值为0的条件和二次根式有意义的条件求解即可． 【详解】解：∵ 值为0 ∴=0且1-x＞0， 解得：x=2或x=-1，且x＜1， ∴x=-1， 故答案为-1． 【点睛】本题主要考查了分式值为0的条件，和二次根式的意义及分式的意义，注意分母不为0是解答此题的关键． 7．（2025和平区模拟）无论x取任何实数，代数式都有意义，则m的取值范围为　 　． 【答案】 【分析】二次根式的被开方数是非负数，即x2-6x+m=（x-3）2-9+m≥0，所以（x-3）2≥9-m．通过偶次方（x-3）2是非负数可求得9-m≤0，则易求m的取值范围． 【详解】由题意，得 x2-6x+m≥0，即（x-3）2-9+m≥0， ∵（x-3）2≥0，要使得（x-3）2-9+m恒大于等于0， ∴m-9≥0， ∴m≥9， 故答案为m≥9． 8．（2025·全国·一模）计算： （要求：分步书写，体现分母有理化过程） 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、分母有理化、负整数指数幂、零次幂等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． 先根据二次根式的性质、分母有理化、负整数次幂化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 9．（2025·山东·模拟预测）（1）计算：． （2）先化简，再求值：，并从，0，1，2四个数中，选一个合适的数代入求值． 【答案】（1）（2）， 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，分式的化简求值，包括零指数幂，特殊角的三角函数值，去绝对值，二次根式的除法，负整数指数幂等，解题的关键是熟练掌握以上运算法则． （1）利用零指数幂，特殊角的三角函数值，去绝对值，二次根式的除法，负整数指数幂等运算法则进行求解即可； （2）先对分式进行化简，然后根据分式有意义的条件判断的取值，然后代入求解即可． 【详解】解：（1） ； （2） ∵， ∴， ∴可取值为1， 当时，代入上式得， 原式． 1．（2025·江苏徐州·中考真题）下列运算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的运算法则分别判断即可． 【详解】解：A．与不是同类二次根式，不能合并，运算错误； B．，运算正确； C．，运算正确； D．，运算正确； 故选：A． 2．（2025·青海西宁·中考真题）当时，下列代数式在实数范围内有意义的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查代数式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，分式有意义的条件：分式的分母不为零，逐一进行判断即可． 【详解】解：当时，，，故、和没有意义，不符合题意，有意义，符合题意； 故选B． 3．（2025·四川凉山·中考真题）若，则的平方根是（    ） A．8 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查非负性，解二元一次方程组，求一个数的平方根，利用二次根式的性质进行化简，先根据非负性，得到关于的二元一次方程组，两个方程相减后求出的值，再根据平方根的定义，进行求解即可．熟练掌握非负性，平方根的定义，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ，得：， ∴的平方根是； 故选：C． 4．（2025·河北·中考真题）计算：（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用平方差公式直接计算，即可求解． 【详解】解： 故选：B． 5．（2025·山东威海·中考真题）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，根据负整数指数幂，零指数幂，二次根式的化简求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ． 6．（2025·四川南充·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 原式利用二次根式性质，零指数幂，负整数指数幂，以及特殊角的三角函数值法计算即可求出值． 【详解】解：原式 ． 7．（2025·福建·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的混合运算、分母有理化等知识．先把括号内通分，并把除法转化为乘法，然后约分化简，再把代入即可即可． 【详解】解： ． 当时， 原式． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $