精品解析：河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）2025-2026学年高二上期01月测试（二）数学试题

河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2025-2026学年高二上期01月测试（二） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 若为等比数列，则“”是“（s，t，p，）”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 已知数列中，，，则（ ） A. 1 B. C. －1 D. －2 4. 如图所示，已知三棱锥，点M，N分别为，的中点，且，，，用，，表示，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线：，：若，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 3或 6. 设数列的前项之积为，满足，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线的焦点为，过作两条斜率分别为的直线，且，直线与交于、两点，直线与交于、两点，则的最小值为（ ） A. 16 B. 14 C. 12 D. 10 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列的前n项和为，下列说法正确的是（ ） A. 若，则是等差数列 B. 若，则是等比数列 C. 若是等差数列，则 D. 若是等比数列，则，，成等比数列 10. 已知方程表示的曲线为，则下列四个结论中正确的是（ ） A. 当时，曲线是椭圆 B. 当或时，曲线是双曲线． C. 当时，双曲线的渐近线方程为 D. 当曲线的离心率为时，的值为 11. 已知椭圆C：的左右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是（ ） A. 离心率的取值范围为 B. 当离心率为时，的最大值为 C. 不存在点Q，使得 D. 的最小值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数是上奇函数，若数列的项满足：（）.则数列的通项公式为：____________. 13. 已知点，点在圆上运动，则的取值范围是___________. 14. 如图，已知，且边OA，OB有无限长，按下面操作：在边OA，OB上分别取，沿剪去一个，再在边，上分别取，沿剪去一个梯形，依次操作，在边，上分别取，沿剪去一个梯形，使得每一个梯形的面积都等于的面积的一半，则________（用含的式子表示）． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 直线与直线垂直，且经过点. （1）若圆截直线所得弦长为4，求实数的值； （2）若点在圆上运动，求线段MN中点的轨迹方程. 16. 已知数列的前项和为，且满足，数列是等差数列，，且、、成等比数列． （1）求数列和数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和； 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，为中点． （1）求证：平面； （2）求三棱锥的外接球的体积； （3）线段上（不含端点）是否存在点，使得与平面所成角为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由. 18. 在信息论中，熵(entropy)是接收的每条消息中包含的信息的平均量，又被称为信息熵､信源熵､平均自信息量.1948年，克劳德•艾尔伍德•香农将热力学的熵，引入到信息论，因此它又被称为香农滳.而正是信息熵的发现，使得1871年由英国物理学家詹姆斯•麦克斯韦为了说明违反热力学第二定律的可能性而设想的麦克斯韦妖理论被推翻. 对于正整数，定义的信息熵，（，）. （1）若，求； （2）若数列满足：，（）. ①求此时的信息熵； ②若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知双曲线，，分别为左、右焦点，点在双曲线C上． （1）求双曲线的方程； （2）如图，在双曲线的右支上任取一点，以为切点作双曲线右支的切线，交两渐近线于，两点，过，两点分别作两渐近线的平行线交于点，过作直线的平行线分别交两渐近线于，两点，再过，两点分别作两渐近线的平行线交于点，一直反复操作，可得,,…,． ①证明：点O，，，，，……，在同一条直线上，并求该直线方程； ②记的面积为，记，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2025-2026学年高二上期01月测试（二） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将抛物线的方程化为标准方程，即可得出该抛物线的准线方程. 【详解】由题意知抛物线C的标准方程为，所以其准线方程为． 故选：C． 2. 若为等比数列，则“”是“（s，t，p，）”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用等比数列的性质，分别从充分性、必要性两方面判断题设条件间的推出关系，进而确定它们充分、必要关系. 【详解】充分性：若，当时，，，此时与不一定相等，不充分． 必要性：若，则，，所以， 综上，“”是“”的必要不充分条件． 故选：C 3. 已知数列中，，，则（ ） A. 1 B. C. －1 D. －2 【答案】D 【解析】 【分析】由题目所给的递推公式可得周期，从而可得答案. 【详解】因为，， 所以，，， 所以是以3为周期的数列， 所以. 故选：D. 4. 如图所示，已知三棱锥，点M，N分别为，的中点，且，，，用，，表示，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算即可得到结果. 【详解】结合图形，易得 又因为点M，N分别为，的中点， 故，，， 所以. 故选：A. 5. 已知直线：，：若，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 3或 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线平行的性质列出等式，求解出的值，再进行验证即可. 【详解】因为，所以，整理得，解得或. 当时，为，为，此时两直线平行； 当时，为，即，为，即，此时两直线重合，应舍去. 故选：B. 6. 设数列的前项之积为，满足，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件先判断出是等差数列，然后求解出，结合已知条件可求. 【详解】因为，所以，即，所以， 又因为，显然， 所以，所以， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以，即， 所以， 故选：D. 7. 已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出圆心到直线的距离，然后结合图象，即可得出结论. 【详解】由题意， 在圆中，圆心，半径为， 到直线的距离为的点有且仅有 个， ∵圆心到直线的距离为：， 故由图可知， 当时， 圆上有且仅有一个点（点）到直线的距离等于； 当时， 圆上有且仅有三个点（点）到直线的距离等于； 当则的取值范围为时， 圆上有且仅有两个点到直线的距离等于. 故选：B. 8. 已知抛物线的焦点为，过作两条斜率分别为的直线，且，直线与交于、两点，直线与交于、两点，则的最小值为（ ） A. 16 B. 14 C. 12 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线的斜率关系，直线与抛物线方程联立，利用韦达定理，再结合抛物线的焦点弦长公式，即可求的最小值. 【详解】设，，，，直线的方程为， 联立方程，得， ∴，同理直线与抛物线的交点满足， 由抛物线定义可知， 当且仅当（或）时，取等号. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列的前n项和为，下列说法正确的是（ ） A. 若，则是等差数列 B. 若，则是等比数列 C. 若是等差数列，则 D. 若是等比数列，则，，成等比数列 【答案】BC 【解析】 【分析】对选项A，利用特值法判断即可得到A错误，对选项B，利用与的关系判断即可得到B正确，对选项C，根据等差数列公式即可判断C正确，对选项D，利用特值法判断即可判断D. 【详解】对选项A，，，， ，不满足是等差数列，故A错误. 对选项B，当时，， 当时，， 检验：时，，所以，即是等比数列，故B正确. 对选项C，，故C正确. 对选项D，当时，是等比数列， ，，， 不满足，，成等比数列，故D错误. 故选：BC. 10. 已知方程表示的曲线为，则下列四个结论中正确的是（ ） A. 当时，曲线是椭圆 B. 当或时，曲线是双曲线． C. 当时，双曲线的渐近线方程为 D. 当曲线的离心率为时，的值为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用椭圆，双曲线的标准方程的特点依次判断A,B；当时，双曲线：，双曲线的渐近线方程为；分两种情况讨论，即可求解. 【详解】当时，即且时，曲线为椭圆，故A错误； 当时，即或时曲线为双曲线，故B正确； 当时，双曲线：，双曲线的渐近线方程为，故C正确； 当曲线的离心率为时,,所以，或，解得或. 经检验或符合题意.故D错误 故选：BC 11. 已知椭圆C：的左右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是（ ） A. 离心率的取值范围为 B. 当离心率为时，的最大值为 C. 不存在点Q，使得 D. 的最小值为 【答案】CD 【解析】 【分析】由题设，可得，， 对于A,由离心率公式可判断； 对于B，由即可判断； 对于C，由，即，即可判断； 对于D，由椭圆的定义有，然后利用基本不等式求解即可判断. 【详解】由题设，，则，又在椭圆内部，则，即， 对A：，故选项A错误； 对B：当时，有，则，故选项B错误； 对C：由，即，所以以原点为圆心，c为半径的圆与椭圆无交点， 所以椭圆上不存在点Q使得，故选项C正确； 对D：由椭圆的定义有， 所以，当且仅当时等号成立， 当时，,由于，则能取到，满足条件； 当时，,由于，则不能取到，此时, 综上选项D正确. 故选：CD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数是上奇函数，若数列的项满足：（）.则数列的通项公式为：____________. 【答案】 【解析】 【分析】首先由奇函数的性质，得到，再根据结论，利用倒序相加法，即可求解. 【详解】因为函数是上奇函数，所以 ， 所以， ， 两式相加得：， 即. 故答案为： 13. 已知点，点在圆上运动，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】设点，则根据两点间的距离公式可得到关于表达式，然后三角函数的有界性即可求解. 【详解】依题意，设， 则， 因为，所以，所以，即的取值范围是. 故答案为：. 14. 如图，已知，且边OA，OB有无限长，按下面操作：在边OA，OB上分别取，沿剪去一个，再在边，上分别取，沿剪去一个梯形，依次操作，在边，上分别取，沿剪去一个梯形，使得每一个梯形的面积都等于的面积的一半，则________（用含的式子表示）． 【答案】 【解析】 【分析】设，根据三角形相似，列出等式，化简得到，由累乘法可得，进而求出结果. 【详解】，设， 在梯形中，，所以， 则，所以，即， 所以， 故． 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 直线与直线垂直，且经过点. （1）若圆截直线所得弦长为4，求实数的值； （2）若点在圆上运动，求线段MN中点的轨迹方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出圆心到直线的距离，利用弦长可求答案； （2）设出动点坐标，找出两动点间的关系，把的坐标代入可求轨迹方程. 【小问1详解】 因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为， 又因为经过点，所以方程为，即. 圆化为标准型为， 圆心到直线的距离为， 因为圆截直线所得弦长为4，所以，解得. 【小问2详解】 设线段MN中点的坐标为，， 则，即， 因为点在圆上运动， 所以， 所以， 即， 所以线段MN中点的轨迹方程为. 16. 已知数列的前项和为，且满足，数列是等差数列，，且、、成等比数列． （1）求数列和数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和； 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知求的方法求通项公式，利用等差数列和等比中项性质求的通项公式； （2）化简，利用裂项相消法求数列的前项和. 【小问1详解】 当时，，解得， 当时，，整理得, 又∵，∴，， ∴数列是首项为3、公比为3的等比数列，， 设等差数列的公差为 ，∵ ，且、、成等比数列, ∴，即， ，解得，∴. 【小问2详解】 由（1）可知， 则 . 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，为中点． （1）求证：平面； （2）求三棱锥的外接球的体积； （3）线段上（不含端点）是否存在点，使得与平面所成角为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明：若是的中点，连接，又为中点，则，， 由且，所以，， 所以四边形为平行四边形，则， 平面，平面，则平面； （2）； （3）存在为靠近的处或中点，满足要求. 【解析】 【分析】（1）若是的中点，连接，易得四边形为平行四边形，则，再由线面平行的判定证明结论； （2）首先注意是长宽高分别为的长方体的一部分，再求出外接球的半径，即可求球体的体积； （3）构建合适的空间直角坐标系，标出相关点坐标并设且，再求出与平面的方向向量、法向量，应用向量法求线面角得到方程，即可得结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由平面，即平面，平面，则 由，，则， 且都在平面内， 所以平面，易知是长宽高分别为的长方体的一部分， 所以为长方体的体对角线，且与该长方体的外接球重合，故， 所以外接球半径，则外接球的体积为； 【小问3详解】 构建如上图示的空间直角坐标系，则且， 所以， 若是平面的一个法向量，则，取，则， 由与平面所成角为，则， 所以，可得，可得或， 综上，存在为靠近的处或中点时，与平面所成角为. 18. 在信息论中，熵(entropy)是接收的每条消息中包含的信息的平均量，又被称为信息熵､信源熵､平均自信息量.1948年，克劳德•艾尔伍德•香农将热力学的熵，引入到信息论，因此它又被称为香农滳.而正是信息熵的发现，使得1871年由英国物理学家詹姆斯•麦克斯韦为了说明违反热力学第二定律的可能性而设想的麦克斯韦妖理论被推翻. 对于正整数，定义的信息熵，（，）. （1）若，求； （2）若数列满足：，（）. ①求此时的信息熵； ②若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）1； （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）直接代入公式计算得解. （2）①根据给定条件，求出的表达式，再利用错位相减求和即可；②由①的结论及已知建立恒成立的不等式，分段求解即得范围. 【小问1详解】 当时，由，，得， 所以. 【小问2详解】 ①，， 则当时，，， 而， 于是， ，令， 则，两式相减得 ，因此， 所以. ②由①，知， 对任意的，不等式， 当时，恒成立，因此； 当时，，而当时，，当时，，因此； 当时，，， 数列单调递增，且恒有，因此， 所以实数的取值范围是. 19. 已知双曲线，，分别为左、右焦点，点在双曲线C上． （1）求双曲线的方程； （2）如图，在双曲线的右支上任取一点，以为切点作双曲线右支的切线，交两渐近线于，两点，过，两点分别作两渐近线的平行线交于点，过作直线的平行线分别交两渐近线于，两点，再过，两点分别作两渐近线的平行线交于点，一直反复操作，可得,,…,． ①证明：点O，，，，，……，在同一条直线上，并求该直线方程； ②记的面积为，记，证明：． 【答案】（1）； （2）①证明：当直线斜率存在时，设直线， 联立，得， ， 即， 又，即为， ， ，即，， 当直线斜率不存在时，也满足． 直线方程：， 双曲线的渐近线：， 分别联立得和. 则交点， ， ， 可得三点共线且方程为：， 由于， ， ， 又， ， 共线，共线， 共线，共线且轨迹方程为； ②证明：，直线方程：， 则， 由于，且且， 由， 则， ， 设，直线， 与分别联立得和. 则交点， . 即， ， 又， 所以， 因为， . 得证.. 【解析】 【分析】（1）根据焦点坐标和已知点即可得到方程组，解出即可； （2）①设直线，将其与双曲线方程联立得到一元二次方程，再根据判别式等于0即可得到，则得到方程，再将其与双曲线渐近线方程联立即可得到交点坐标，最后根据三点共线即可得到轨迹方程； ②根据点到直线距离公式和两点距离公式即可得到，设，写出直线的方程，再将其与双曲线渐近线方程联立即可，再利用等比数列求和公式得到，最后再裂项求和即可证明. 【小问1详解】 得 双曲线的方程为：. 【小问2详解】 ①略 ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $