2026年中考数学复习备考专训02 整式与因式分解【核心考点常考题型专项训练】（全国通用）

专训02 整式与因式分解 （核心考点常考题型专项训练） 【核心考点常考题型梳理及命题猜押趋势】 【考点01】整式的概念（★） 【考点02】列代数式（★） 【考点03】求代数式的值（★★） 【考点04】整式的加减乘除运算（★★★） 【考点05】幂的运算（★★★） 【考点06】平方差与完全平方公式的应用（★★） 【考点07】整式与幂的运算综合（★★★★） 【考点08】整式的化简求值（★★★） 【考点09】用提公因式法和公式法分解因式（★★★★） 【考点10】整式运算中的规律和新定义问题（★★★） 【考点01】整式的概念 【1-1】（2024·四川内江·中考真题）下列单项式中，的同类项是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查的是同类项的定义，掌握同类项的定义是解题的关键．依据同类项的定义：所含字母相同，相同字母的次数相同，据此判断即可． 【解答】解：A．是同类项，此选项符合题意； B．字母a的次数不相同，不是同类项，故此选项不符合题意； C．相同字母的次数不相同，不是同类项，故此选项不符合题意； D．相同字母的次数不相同，不是同类项，故此选项不符合题意． 故选：A． 【1-2】（2023·河北·中考真题）代数式的意义可以是（  ） A．与x的和 B．与x的差 C．与x的积 D．与x的商 【答案】C 【分析】根据代数式赋予实际意义即可解答． 【解答】解：的意义可以是与x的积． 故选C． 【点评】本题主要考查了代数式的意义，掌握代数式和差乘除的意义是解答本题的关键． 【1-3】（2024·山东泰安·中考真题）单项式的次数是 ． 【答案】 【分析】根据单项式次数的定义进行解答即可． 【解答】解：单项式中，的指数是，的指数是， ∴此单项式的次数为：． 故答案为：． 【点评】本题考查单项式的次数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．理解和掌握单项式次数的定义是解题的关键． 【1-4】（2024·河南·中考真题）请写出的一个同类项： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的是同类项的含义，根据同类项的定义直接可得答案． 【解答】解：的一个同类项为， 故答案为： 【1-5】（2023·江西·中考真题）单项式的系数为 ． 【答案】 【分析】根据单项式系数的定义：单项式中的数字因数，得出结果即可． 【解答】解：单项式的系数是． 故答案是：． 【点评】本题考查单项式的系数，解题的关键是掌握单项式系数的定义． 【考点02】列代数式 【2-1】（2025·上海·中考真题）用代数式表示与差的平方，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题考查了列代数式，理解题中的数量关系是解题的关键； “a与b差的平方”指先求a减b的差，再将这个差整体平方，即． 【解答】解：A. ：这是平方差公式的结果，表示的平方减去的平方，而非差的平方，错误，不符合题意； B. ：表示先求差再平方，正确，符合题意； C. ：仅对平方后减去，未对差整体平方，错误，不符合题意； D. ：表示减去的平方，运算顺序错误，错误，不符合题意； 故选：B． 【2-2】（2025·湖南长沙·中考真题）智慧农业广泛应用智能机器人．某品牌智能机器人的一个机械手平均每分钟采摘10个苹果．若该机器人搭载m个机械手（），则该机器人平均每分钟采摘的苹果个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】本题主要考查了列代数式，每个机械手每分钟采摘10个苹果，m个机械手同时工作时，总采摘数为每个机械手的效率之和． 【解答】解：当机器人搭载m个机械手时，总效率为每个机械手效率的累加，即：总采摘数， 故选：D． 【2-3】（2025·四川广安·中考真题）一种商品每件标价为a元，按标价的8折出售，则每件商品的售价是 元． 【答案】 【分析】本题主要考查了列代数式，按标价的8折出售，即按原价的倍出售，据此求解即可． 【解答】解；一种商品每件标价为a元，按标价的8折出售，则每件商品的售价是元， 故答案为；． 【2-4】（2025·山西·中考真题）近年来，我省依托乡村e镇建设，打造农村电商新产业，提高了农民收入．某农户通过网上销售传统手工艺品布老虎，利润由原来的每个20元增加到80元．该农户通过网上售出a个布老虎，则他的利润增加了________元（用含a的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，正确理解题意是关键；求出售出一个布老虎增加的利润，即可求出售出a个布老虎增加的利润． 【解答】解：售出一个布老虎增加的利润为（元）， 则售出a个布老虎增加的利润为． 故答案为：． 【2-5】（2025·内蒙古·中考真题）冰糖葫芦是我国传统小吃，若大串冰糖葫芦每根穿5个山楂，小串冰糖葫芦每根穿3个山楂，则穿根大串和根小串冰糖葫芦需要的山楂总个数用代数式表示为________． 【答案】## 【分析】本题考查了列代数式的运用，理解数量关系，掌握代数式表示数或数量关系的计算是关键． 根据“大串冰糖葫芦每根穿5个山楂，小串冰糖葫芦每根穿3个山楂，则穿根大串和根小串冰糖葫芦”即可列代数式． 【解答】解：由题意得，山楂总个数用代数式表示为：， 故答案为：． 【2-6】（2024·新疆·中考真题）若每个篮球30元，则购买n个篮球需___________元． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，熟练掌握代数式的书写格式是解题的关键． 根据总价=数量×单价，进而求出篮球的总价即可． 【解答】解：若每个篮球30元，则购买n个篮球需元， 故答案为：． 【考点03】求代数式的值 【3-1】（2025·海南·中考真题）当时，代数式值为（ ） A. 1 B. 7 C. D. 【答案】A 【分析】本题考查了已知字母的值，求代数式的值，解题关键是掌握求代数式的值． 将字母代入代数式计算出结果即可． 【解答】解：当时， ， 所以代数式的值为1， 故选：A． 【3-2】（2024·广西·中考真题）如果，，那么的值为（   ） A．0 B．1 C．4 D．9 【答案】D 【分析】本题考查因式分解，代数式求值，先将多项式进行因式分解，利用整体代入法，求值即可． 【解答】解：∵，， ∴ ； 故选D． 【3-3】（2023·四川雅安·中考真题）若．则的值是（   ） A． B． C．5 D． 【答案】A 【分析】把所求代数式变形为，然后把条件整体代入求值即可． 【解答】解：∵ ∴， ∴ ． 故选：A． 【点评】此题主要考查了代数式求值以及“整体代入”思想，解题的关键是把代数式变形为． 【3-4】（2025·江苏苏州·中考真题）若，则代数式值为________． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，根据，得到，整体代入法求出代数式的值即可． 【解答】解：∵， ∴， ∴； 【3-5】（2025·吉林长春·中考真题）已知，则代数式的值为 ． 【答案】3 【分析】题主要考查了求代数式的值，掌握整体思想是解题的关键． 将化为，再整体代入求解即可． 【解答】解：∵， ∴ ， 故答案为：3． 故答案为：． 【3-6】（2025·河北·中考真题）甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为，．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为81的纸条，则 ．    【答案】99 【分析】本题主要考查了已知式子的值求代数式的值，一元一次方程的应用，由题意可知：重叠部分为： ，设叠部分的长度为k，则，，根据重叠后的总长度为81为等量关系列出关于k的一元一次方程，求解即可得出答案． 【解答】解：由题意可知：重叠部分为： ， 设重叠部分的长度为k，则，， 重叠后的总长度为：，即， 代入，得：， 解得：， ∴，， ∴， 故答案为：99． 【3-7】（2024·广东广州·中考真题）如图，把，，三个电阻串联起来，线路上的电流为，电压为，则．当，，，时，的值为 ．    【答案】220 【分析】本题考查了代数式求值，乘法运算律，掌握相关运算法则，正确计算是解题关键．根据，将数值代入计算即可． 【解答】解：， 当，，，时， ， 故答案为：220． 【3-8】（2024·四川成都·中考真题）若，为实数，且，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查非负数的性质，根据平方式和算术平方数的非负数求得m、n值，进而代值求解即可． 【解答】解：∵， ∴，， 解得，， ∴， 故答案为：1． 【3-9】（2023·四川德阳·中考真题）在初中数学文化节游园活动中，被称为“数学小王子”的王小明参加了“智取九宫格”游戏比赛，活动规则是：在九宫格中，除了已经填写的三个数之外的每一个方格中，填入一个数，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和分别相等，且均为m．王小明抽取到的题目如图所示，他运用初中所学的数学知识，很快就完成了这个游戏，则 ． 16 7 4 【答案】39 【分析】设第一列中间的数为，则三个数之和为，再一次把表格的每一个数据填好，从而可得答案． 【解答】解：如图，设第一列中间的数为，则三个数之和为，可得： 16 7 4 ∴， 故答案为：39 【点评】本题考查的是列代数式，整式的加减运算的应用，理解题意，设出合适的未知数是解本题的关键． 【3-10】（2023·四川凉山·中考真题）已知，则的值等于 ． 【答案】2023 【分析】把化为：代入降次，再把代入求值即可． 【解答】解：由得：，， ， 故答案为：． 【点评】本题考查的是代数式的求值，找到整体进行降次是解题的关键． 【3-11】（2023·河北·中考真题）现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示．某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形(不重叠无缝隙)，如图2和图3，其面积分别为． (1)请用含a的式子分别表示；当时，求的值； (2)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)，，当时， (2)，理由见解析 【分析】（1）根据题意求出三种矩形卡片的面积，从而得到，，将代入用a表示的等式中求值即可； （2）利用（1）的结果，使用作差比较法比较即可． 【解答】（1）解：依题意得，三种矩形卡片的面积分别为：， ∴，， ∴， ∴当时，； （2），理由如下： ∵， ∴ ∵， ∴， ∴． 【点评】本题考查列代数式，整式的加减，完全平方公式等知识，会根据题意列式和掌握做差比较法是解题的关键． 【考点04】整式的加减乘除运算 【4-1】（2025·陕西·中考真题）计算的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】本题主要考查单项式与单项式的乘法运算，根据系数相乘，同底数幂相乘，进行计算，即可作答． 【解答】解：， 故选：D． 【4-2】（2025·四川南充·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查合并同类项，单项式乘单项式，单项式除以单项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键；根据合并同类项，单项式乘单项式，单项式除以单项式的法则进行解答即可． 【解答】解：A、，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项正确，符合题意； D、，故本选项错误，不符合题意； 故选：C 【4-3】（2024·湖北·中考真题）的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】本题主要考查单项式与单项式的乘法．运用单项式乘单项式运算法则求出结果即可判断． 【解答】解：， 故选：D． 【4-4】（2024·贵州·中考真题）计算的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题主要考查合并同类项，根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变即可得． 【解答】解： ， 故选：A． 【4-5】（2024·青海·中考真题）计算的结果是（ ） A. 8x B. C. D. 【答案】B 【分析】此题考查了合并同类项．根据合并同类项法则计算即可． 【解答】解：， 故选：B． 【4-6】（2024·甘肃兰州·中考真题）计算：（ ） A. a B. C. D. 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，先计算单项式乘以多项式，再合并同类项即可． 【解答】解： 故选：D． 【4-7】（2024·河北·中考真题）“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是（ ） A. “20”左边的数是16 B. “20”右边的“□”表示5 C. 运算结果小于6000 D. 运算结果可以表示为 【答案】D 【分析】本题考查了整式的加法运算，整式的乘法运算，理解题意，正确的逻辑推理时解决本题的关键． 设一个三位数与一个两位数分别为和，则，即，可确定时，则，由题意可判断A、B选项，根据题意可得运算结果可以表示为：，故可判断C、D选项． 【解答】解：设一个三位数与一个两位数分别为和 如图： 则由题意得： ， ∴，即， ∴当时，不是正整数，不符合题意，故舍； 当时，则，如图： ， ∴A、“20”左边的数是，故本选项不符合题意； B、“20”右边的“□”表示4，故本选项不符合题意； ∴上面的数应为，如图： ∴运算结果可以表示为：， ∴D选项符合题意， 当时，计算的结果大于6000，故C选项不符合题意， 故选：D． 【4-8】（2023·陕西·中考真题）计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用单项式乘单项式的法则进行运算即可． 【解答】解： ． 故选：B． 【点评】本题主要考查单项式乘单项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 【4-9】（2025·河北·中考真题）计算：______． 【答案】 【分析】本题考查了合并同类项，掌握合并同类项法则是解题的关键． 直接根据合并同类项法则计算即可． 【解答】解：， 故答案为：． 【4-10】（2025·天津·中考真题）计算结果为____________． 【答案】 【分析】本题考查合并同类项，根据合并同类项的法则，进行计算即可． 【解答】解：； 故答案为：． 【4-11】（2024·河南·中考真题）请写出的一个同类项：_______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的是同类项的含义，根据同类项的定义直接可得答案． 【解答】解：的一个同类项为， 故答案为： 【4-12】（2023·青海西宁·中考真题）计算： ． 【答案】 【分析】根据积的乘方和单项式的乘法计算即可． 【解答】解：， 故答案为： 【点评】此题考查了积的乘方和单项式的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【4-13】（2025·广西·中考真题）（）计算： （）化简： 【答案】（）；（） 【分析】（）先算乘法，再进行加法运算即可； （）先算乘法，再合并同类项即可； 本题考查了有理数的混合运算，整式的混合运算，掌握有理数和整式的运算法则是解题的关键． 【解答】解：（）原式 ； （）原式 ． 【考点05】幂的运算 【5-1】（2025·湖南·中考真题）计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题考查同底数幂相乘的运算规则，掌握其运算法则是关键． 根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，由此即可求解． 【解答】解：根据同底数幂相乘的法则，底数不变，指数相加， ∴， 故选：B． 【5-2】（2025·江苏苏州·中考真题）下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据幂的运算性质，计算判断即可． 本题考查幂的运算性质，包括同底数幂的乘除法、幂的乘方以及积的乘方。需逐一验证各选项是否符合相关运算法则． 【解答】A. ，但选项A结果为，错误． B. ，但选项B结果为，错误． C. ，符合积的乘方法则，正确． D. ，但选项D结果为，错误． 故选：C． 【5-3】（2025·四川广安·中考真题）下列各式运算结果为的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方及合并同类项，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．逐一计算各选项的结果，即可得到答案． 【解答】A. ，故选项正确，符合题意；     B. ，故选项错误，不符合题意； C. ，故选项错误，不符合题意； D. ，故选项错误，不符合题意； 故选：A 【5-4】（2024·四川攀枝花·中考真题）计算的结果是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查积的乘方运算，可将括号内的视为，再根据计算求解即可． 【解答】解；， 故选：A． 【5-5】（2024·河南·中考真题）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是乘方的含义，幂的乘方运算的含义，先计算括号内的运算，再利用幂的乘方运算法则可得答案． 【解答】解：， 故选D 【5-6】（2024·河北·中考真题）若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的运算的应用，熟练掌握知识点是解题的关键． 由题意得：，利用同底数幂的乘法，幂的乘方化简即可． 【解答】解：由题意得：， ∴， ∴， 故选：A． 【5-7】（2023·四川德阳·中考真题）已知，则（   ） A．y B． C． D． 【答案】D 【分析】利用同底数幂的乘法的逆运算可得，再代入计算即可． 【解答】解：∵， ∴， 故选D 【点评】本题考查的是同底数幂的乘法运算的逆运算，熟记“”是解本题的关键． 【5-8】（2023·河北·中考真题）光年是天文学上的一种距离单位，一光年是指光在一年内走过的路程，约等于．下列正确的是（   ） A． B． C．是一个12位数 D．是一个13位数 【答案】D 【分析】根据科学记数法、同底数幂乘法和除法逐项分析即可解答． 【解答】解：A. ，故该选项错误，不符合题意； B. ，故该选项错误，不符合题意； C. 是一个13位数，故该选项错误，不符合题意； D. 是一个13位数,正确，符合题意． 故选D． 【点评】本题主要考查了科学记数法、同底数幂乘法和除法等知识点，理解相关定义和运算法则是解答本题的关键． 【5-9】（2024·上海·中考真题）计算：___________． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方以及幂的乘方，掌握相关运算法则是解题关键．先将因式分别乘方，再结合幂的乘方计算即可． 【解答】解：， 故答案为：． 【5-10】（2024·天津·中考真题）计算的结果为______． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的除法，掌握同底数幂的除法，底数不变，指数相减是解题的关键． 【解答】解：， 故答案为：． 【5-11】（2023·江苏南京·中考真题）计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方运算的逆用及积的乘方运算的逆用，根据幂的乘方运算的逆用及积的乘方运算的逆用进行运算，即可求得． 【解答】解： 故答案为：． 【考点06】平方差与完全平方公式的应用 【6-1】（2024·江苏南京·中考真题）任意两个奇数的平方差总能（ ） A 被3整除 B. 被5整除 C. 被6整除 D. 被8整除 【答案】D 【分析】设一个奇数为，另一个奇数为，且是较大一个，都是正整数，根据题意，得，分类解答即可． 本题考查了平方差公式的应用，整数的整除性质，熟练掌握公式是解题的关键． 【解答】解：设一个奇数为，另一个奇数为，且是较大一个，都是正整数， 根据题意，得 ， 当时，，都能成立； 当时，则，则， 故， 故， 故一定能被8整除， 故选：D． 【6-2】（2023·河北·中考真题）若k为任意整数，则的值总能（   ） A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除 【答案】B 【分析】用平方差公式进行因式分解，得到乘积的形式，然后直接可以找到能被整除的数或式． 【解答】解： ， 能被3整除， ∴的值总能被3整除， 故选：B． 【点评】本题考查了平方差公式的应用，平方差公式为通过因式分解，可以把多项式分解成若干个整式乘积的形式． 【6-3】（2024·上海·中考真题） 计算______． 【答案】 【分析】根据平方差公式进行计算即可． 【解答】解： ， 故答案为：． 【点评】本题考查平方差公式，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 【6-4】（2024·四川凉山·中考真题）已知，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用，先把的左边分解因式，再把代入即可求出的值． 【解答】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【6-5】（2024·四川乐山·中考真题）已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的变形．熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键． 根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 故答案为：． 【6-6】（2024·黑龙江大庆·中考真题）已知，则的值是 ． 【答案】3 【分析】根据，通过平方变形可以求得所求式子的值． 【解答】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是熟练掌握完全平方公式． 【6-7】（2023·四川雅安·中考真题）若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】先将代数式根据平方差公式分解为：= ，再分别代入求解． 【解答】∵，， ∴原式． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了平方差公式，熟记公式是解答本题的关键。 【6-8】（2023·四川凉山·中考真题）已知是完全平方式，则的值是 ． 【答案】 【分析】根据，计算求解即可． 【解答】解：∵是完全平方式， ∴， 解得， 故答案为：． 【点评】本题考查了完全平方公式．解题的关键在于熟练掌握：． 【6-9】（2023·江苏宿迁·中考真题）若实数m满足，则 ． 【答案】 【分析】根据完全平方公式得，再代值计算即可． 【解答】解： 故答案为：． 【点评】本题考查完全平方公式的应用，求代数式值，掌握完全平方公式及其变式是解题本题的关键． 【6-10】（2025·甘肃兰州·中考真题）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算．先计算平方差和单项式乘多项式，再合并同类项即可．熟练掌握整式的运算法则是解题的关键． 【解答】解： ． 【6-11】（2025·浙江·中考真题）【阅读理解】 同学们，我们来学习利用完全平方公式： 近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为， 所以， 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 小明以①的形式求的近似值的过程如图． 因为， 所以， 即． 因为比较小， 将忽略不计， 所以， 即， 得， 故． 【尝试探究】 （1）请用②的形式求的近似值（结果保留2位小数）． 【比较分析】 （2）你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高，请说明理由． 【答案】（1）；（2）用①的形式得出的的近似值的精确度更高，理由见解析 【分析】本题主要考查了算术平方根的估算，正确理解题意是解题的关键． （1）设，其中，则仿照题意可得，比较小，将忽略不计，则，据此可得，则； （2）可求出，据此可得结论． 【解答】解：（1）设，其中， ∴， ∴， ∵比较小，将忽略不计， ∴， ∴， ∴； （2）用①的形式得出的的近似值的精确度更高，理由如下； ∵，， ∴， ∴用①的形式得出的的近似值的精确度更高． 【6-12】（2024·福建·中考真题）已知实数满足． (1)求证：为非负数； (2)若均为奇数，是否可以都为整数？说明你的理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)不可能都为整数，理由见解析． 【分析】本小题考查整式的运算、因式分解、等式的性质等基础知识：考查运算能力、推理能力、创新意识等，以及综合应用所学知识分析、解决问题的能力． （1）根据题意得出，进而计算，根据非负数的性质，即可求解； （2）分情况讨论，①都为奇数；②为整数，且其中至少有一个为偶数，根据奇偶数的性质结合已知条件分析即可． 【解答】（1）解：因为， 所以． 则 ． 因为是实数，所以， 所以为非负数． （2）不可能都为整数． 理由如下：若都为整数，其可能情况有：①都为奇数；②为整数，且其中至少有一个为偶数． ①当都为奇数时，则必为偶数． 又，所以． 因为为奇数，所以必为偶数，这与为奇数矛盾． ②当为整数，且其中至少有一个为偶数时，则必为偶数． 又因为，所以． 因为为奇数，所以必为偶数，这与为奇数矛盾． 综上所述，不可能都为整数． 【6-13】（2023·甘肃兰州·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】先计算平方差公式及单项式乘以多项式，然后计算加减法即可． 【解答】解： ． 【点评】题目主要考查整式的乘法运算及加减运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 【考点07】整式与幂的运算综合 【7-1】（2025·山东·中考真题）已知，则下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题主要考查了合并同类项、幂的乘方、同底数幂除法等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂除法法则逐项判断即可解答． 【解答】解：A．，故该选项错误，不符合题意； B．，故该选项正确，符合题意； C．与不是同类项，无法合并为，故该选项错误，不符合题意； D．，故该选项错误，不符合题意． 故选：B． 【7-2】（2025·湖北·中考真题）下列运算的结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】本题考查的是合并同类项，同底数幂的乘法与除法运算，幂的乘方运算，根据合并同类项，同底数幂的乘法与除法运算，幂的乘方运算，逐一计算各选项的结果，判断是否为. 【解答】解：A. ，结果为，非， B. ，结果为，非， C. ，结果为，符合题意， D. ，结果为，非； 故选：C 【7-3】（2025·宁夏·中考真题）下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】本题主要考查了合并同类项法则，同底数幂相乘，积的乘方，完全平方公式，正确掌握运算法则是解题关键． 根据合并同类项的法则，同底数幂相乘，积的乘方，完全平方公式计算即可． 【解答】解：A. ，故此选项错误； B. ，故此选项错误； C. ，故此选项错误； D. ，故此选项正确； 故选：D． 【7-4】（2025·山西·中考真题）下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、完全平方公式、积的乘方等运算法则，根据相应法则，逐一进行计算判断即可． 【解答】A． 中的和不是同类项，无法合并，故错误． B．，正确． C． 应展开为 ，选项漏掉，故错误． D．，选项中结果为，计算错误． 故选：B． 【7-5】（2025·辽宁·中考真题）下列计算正确的是（　 　） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】本题主要考查了合并同类项、单项式乘法、积的乘方、幂的乘方等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 根据合并同类项、单项式乘法、积的乘方、幂的乘方逐项判断即可． 【解答】解：A． ，故该选项错误，不符合题意； B． ，故该选项错误，不符合题意； C． ，故该选项错误，不符合题意； D． ，故该选项正确，符合题意． 故选D． 【7-6】（2024·浙江·中考真题）下列式子运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】本题考查了合并同类项，幂的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 分别利用合并同类型法则，同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法分别判断即可． 【解答】解： A、与不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项符合题意． 故选：D． 【7-7】（2024·福建·中考真题）下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，解题的关键是掌握同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项运算法则． 利用同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项计算后判断正误． 【解答】解：，A选项错误； ，B选项正确； ，C选项错误； ，D选项错误； 故选：B． 【7-8】（2024·湖南·中考真题）下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方，根据以上运算法则逐项分析即可． 【解答】解：A、，故该选项不正确，不符合题意； B、，故该选项正确，符合题意； C、，故该选项不正确，不符合题意； D、，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 【7-9】（2024·四川成都·中考真题）下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】本题主要考查了积的乘方运算，同类项的合并，完全平方公式以及平方差公式，根据积的乘方运算法则，同类项的合并法则以及完全平方公式以及平方差公式一一计算判断即可． 【解答】解：A．，原计算错误，故该选项不符合题意； B．和不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； C．，原计算错误，故该选项不符合题意； D．，原计算正确，故该选项符合题意； 故选：D． 【7-10】（2024·西藏·中考真题）下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据合并同类项、单项式乘以多项式、幂的乘方与积的乘方、单项式乘以单项式的运算法则逐项判断即可得出答案． 【解答】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算正确，符合题意； D、，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了合并同类项、单项式乘以多项式、幂的乘方与积的乘方、单项式乘以单项式，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【7-11】（2024·宁夏·中考真题）下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据积的乘方的运算法则，合并同类项的方法，有理数的减法的运算方法，以及负整数指数幂的运算方法，逐项判断即可． 【解答】解：A、，故选项A不符合题意； B、，故选项B符合题意； C、，故选项C不符合题意； D、，故选项D不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了积的乘方的运算法则，合并同类项的方法，有理数的减法的运算方法，以及负整数指数幂的运算等知识点，掌握以上知识点是解答本题的关键． 【7-12】（2024·内蒙古·中考真题）下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】本题考查了积的乘方与幂的乘方、完全平方公式、合并同类项，熟练掌握运算法则是解题关键．根据积的乘方与幂的乘方、完全平方公式、合并同类项法则逐项判断即可得． 【解答】解：A、，则此项错误，不符合题意； B、，则此项错误，不符合题意； C、，则此项正确，符合题意； D、与不是同类项，不可合并，则此项错误，不符合题意； 故选：C． 【7-13】（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式的乘除法，多项式除以单项式，负整数指数幂，根据运算法则进行逐项计算，即可作答． 【解答】解：A、，故该选项是错误的； B、，故该选项是错误的； C、，故该选项是错误的； D、，故该选项是正确的； 故选：D． 【7-14】（2023·黑龙江绥化·中考真题）下列计算中，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据积的乘方与幂的乘方运算，同底数幂的乘法、合并同类项，算术平方根，进行计算即可求解． 【解答】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意；     C. ，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了积的乘方与幂的乘方运算，同底数幂的乘法、合并同类项，算术平方根，熟练掌握以上运算法则是解题的关键． 【考点08】整式的化简求值 【8-1】（2025·浙江·中考真题）化简求值：，其中． 【答案】，13 【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，掌握运算法则是解题的关键． 先计算单项式乘以多项式，再进行合并同类项，然后再代入求值即可． 【解答】解： ， 当时，原式． 【8-2】（2025·湖南·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】，2 【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 分别利用平方差公式和单项式乘以多项式法则计算，再合并，然后代入求值即可． 【解答】解： ， 当时，原式． 【8-3】（2024·吉林·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】，6 【分析】本题考查了整式的化简求值，平方差公式，先利用平方差公式化简，再进行合并同类项，最后代入求值即可． 【解答】解：原式 ， 当时， 原式 ． 【8-4】（2024·湖南长沙·中考真题）先化简，再求值：， 其中． 【答案】； 【分析】本题考查整式的混合运算及其求值，先根据整式的混合运算法则化简原式，再代值求解即可． 【解答】解： ． 当时，原式． 【8-5】（2024·陕西·中考真题）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，6 【分析】本题考查了整式的混合运算以及求值．根据完全平方公式和单项式乘以多项式法则进行运算，再合并同类项，最后代入即可求解． 【解答】解： ； 当，时， 原式． 【8-6】（2024·甘肃·中考真题）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据平方差公式和完全平方公式去小括号，然后合并同类项，再根据多项式除以单项式的计算法则化简，最后代值计算即可． 【解答】解： ， 当，时，原式． 【8-7】（2023·浙江金华·中考真题）已知，求的值． 【答案】 【分析】原式利用平方差公式、单项式乘多项式去括号合并得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值． 【解答】解： ． 当时，原式． 【点评】此题考查了整式的混合运算－化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【8-8】（2023·湖南·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】，6 【分析】先去括号、再合并同类项将原式进行化简，然后将代入计算即可解答． 【解答】解：， ， ； 当时，原式． 【点评】本题考查了整式的混合运算、化简求值等知识点，正确利用整式混合运算法则化简成为解题的关键． 【8-9】（2023·四川凉山·中考真题）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】根据，，单项式乘以多项式法则进行展开，再加减运算，代值计算即可． 【解答】解：原式 ． 当，时， 原式 ． 【点评】本题考查了化简求值问题，完全平方公式、平方差公式，单项式乘以多项式法则，掌握公式及法则是解题的关键． 【考点09】用提公因式法和公式法分解因式 【9-1】（2025·广西·中考真题） 因式分解：（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题主要考查了因式分解．利用平方差公式进行因式分解，即可求解． 【解答】解：． 故选：A 【9-2】（2024·云南·中考真题）分解因式：（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题考查了提取公因式和公式法进行因式分解，熟练掌握知识点是解题的关键． 将先提取公因式，再运用平方差公式分解即可． 【解答】解：， 故选：A． 【9-3】（2024·广西·中考真题）如果，，那么的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 4 D. 9 【答案】D 【分析】本题考查因式分解，代数式求值，先将多项式进行因式分解，利用整体代入法，求值即可． 【解答】解：∵，， ∴ ； 故选D． 【9-4】（2023·山东·中考真题）下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据因式分解的概念可进行排除选项． 【解答】解：A、，属于整式的乘法，故不符合题意； B、，不符合几个整式乘积的形式，不是因式分解；故不符合题意； C、，属于因式分解，故符合题意； D、因为，所以因式分解错误，故不符合题意； 故选C． 【点评】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的概念是解题的关键． 【9-5】（2025·上海·中考真题）分解因式：____________． 【答案】 【分析】原式提取ab进行分解即可． 【解答】解：原式= 故答案为： 【点评】此题考查了提公因式法的运用，熟练掌握因式分解的提公因式方法是解本题的关键． 【9-6】（2025·海南·中考真题）分解因式：=_____. 【答案】 【分析】用完全平方公式分解即可. 【解答】=. 故答案为. 【点评】本题考查了完全平方公式进行因式分解，熟练掌握a2±2ab+b2=(a±b)2是解答本题的关键．两项平方项的符号需相同；有一项是两底数积的2倍，是易错点． 【9-7】（2025·甘肃·中考真题）因式分解：__________． 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用．先提取公因式，再利用完全平方公式即可． 【解答】解： ． 故答案为：． 【9-8】（2025·四川成都·中考真题）多项式加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是________（填一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了用完全平方公式分解因式，根据题意可得多项式加上一个单项式后可以变为一个多项式的平方的展开式，据此根据完全平方公式的特点求解即可． 【解答】解：由题意得，加上单项式可以为，理由如下： ， ∴符合题意， 故答案为：（答案不唯一）． 【9-9】（2024·山东威海·中考真题）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了用完全平方公式分解因式，先按照多项式乘以多项式展开，然后利用完全平方公式分解因式即可． 【解答】解： 故答案为：． 【9-10】（2023·湖南永州·中考真题）与的公因式为 ． 【答案】 【分析】根据确定公因式的确定方法：系数取最大公约数；字母取公共字母；字母指数取最低次的，即可解答． 【解答】解：根据确定公因式的方法，可得与的公因式为， 故答案为：． 【点评】本题考查了公因式的确定，掌握确定公因式的方法是解题的关键． 【9-11】（2023·湖北黄石·中考真题）因式分解： ． 【答案】 【分析】将整式变形含有公因式，提取即可． 【解答】解： 故答案为：． 【点评】本题考查了整式中的分解因式，提取公因式是常用的分解因式的方法，解题的关键是找到公因式． 【9-12】（2023·甘肃兰州·中考真题）因式分解： ． 【答案】 【分析】直接利用平方差分解即可． 【解答】解：． 故答案为：． 【点评】本题考查因式分解，解题的关键是熟练掌握平方差公式． 【9-13】（2023·江苏无锡·中考真题）分解因式： ． 【答案】/ 【分析】利用完全平方公式进行因式分解即可． 【解答】解：； 故答案为：． 【点评】本题考查因式分解．熟练掌握完全平方公式法因式分解，是解题的关键． 【9-14】（2023·山东东营·中考真题）因式分解： ． 【答案】 【分析】根据因式分解中的提公因式法和完全平方公式即可求出答案． 【解答】解： 故答案为：． 【点评】本题考查了因式分解，涉及到提公因式法和完全平方公式，解题的关键需要掌握完全平方公式． 【9-15】（2023·黑龙江绥化·中考真题）因式分解： ． 【答案】 【分析】先分组，然后根据提公因式法，因式分解即可求解． 【解答】解：， 故答案为：． 【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 【9-16】（2023·山东·中考真题）已知实数满足，则 ． 【答案】8 【分析】由题意易得，然后整体代入求值即可． 【解答】解：∵， ∴， ∴ ； 故答案为8． 【点评】本题主要考查因式分解及整体思想，熟练掌握利用整体思维及因式分解求解整式的值． 【考点10】整式运算中的规律和新定义问题 【10-1】（2025·云南·中考真题）按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题主要考查了与单项式有关的规律探索，观察可知，每一个代数式都是只含有字母a的单项式，其中系数是从1开始的连续的奇数，据此规律求解即可． 【解答】解：第1个代数式为， 第2个代数式为， 第3个代数式， 第4个代数式为， 第5个代数式为， ……， 以此类推，可知，第n个代数式是， 故选：A． 【10-2】（2025·西藏·中考真题）观察下列一组数：，，，，，…按此规律，第n个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题考查了数字类规律探索，从整数和小数两个方面进行规律分析是解题关键．该组数的规律从两方面分析：①整数部分：每次增加2；②小数部分：每次增加一个9，据此即可得到答案． 【解答】解：根据题中规律可得整数部分每次增加2，则第n个数整数部分是， 小数部分每次增加一个9，则第n个数小数部分有n个9， ∴第n个数小数部分是， ∴第n个数是， 故选：A． 【10-3】（2024·重庆·中考真题）已知整式，其中为自然数，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的整式中有5个单项式； ②不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有3个； ③满足条件的整式共有16个． 其中正确的个数是（　 　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【分析】本题考查的是整式的规律探究，分类讨论思想的应用，由条件可得，再分类讨论得到答案即可． 【解答】解：∵为自然数，为正整数，且， ∴， 当时，则， ∴，， 满足条件的整式有， 当时，则， ∴，，，， 满足条件的整式有：，，，， 当时，则， ∴，，，，，， 满足条件的整式有：，，，，，； 当时，则， ∴，，，， 满足条件整式有：，，，； 当时，， 满足条件的整式有：； ∴满足条件的单项式有：，，，，，故①符合题意； 不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有3个；故②符合题意； 满足条件的整式共有个．故③符合题意； 故选D 【10-4】（2023·四川德阳·中考真题）在“点燃我的梦想，数学皆有可衡”数学创新设计活动中，“智多星”小强设计了一个数学探究活动：对依次排列的两个整式m，n按如下规律进行操作： 第1次操作后得到整式串m，n，； 第2次操作后得到整式串m，n，，； 第3次操作后… 其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，小强将这个活动命名为“回头差”游戏． 则该“回头差”游戏第2023次操作后得到的整式中各项之和是（   ） A． B．m C． D． 【答案】C 【分析】先逐步分析前面5次操作，可得整式串每四次一循环，再求解第四次操作后所有的整式之和为：，结合，从而可得答案． 【解答】解：第1次操作后得到整式串m，n，； 第2次操作后得到整式串m，n，，； 第3次操作后得到整式串m，n，，，； 第4次操作后得到整式串m，n，，，，； 第5次操作后得到整式串m，n，，，，，； 归纳可得：以上整式串每四次一循环， 第四次操作后所有的整式之和为：， ∵， ∴第2023次操作后得到的整式中各项之和与第3次操作后得到整式串之和相等， ∴这个和为， 故选C 【点评】本题考查的是整式的加减运算，代数式的规律探究，掌握探究的方法，并总结概括规律并灵活运用是解本题的关键． 【10-5】（2023·湖北宜昌·中考真题）在日历上，某些数满足一定的规律．如图是某年8月份的日历，任意选择其中所示的含4个数字的方框部分，设右上角的数字为a，则下列叙述中正确的是（   ）． 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 A．左上角的数字为 B．左下角的数字为 C．右下角的数字为 D．方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数 【答案】D 【分析】根据日历中的数字规律：同一行中后面的数字比它前面的大1，同一列中上一行比下一行的大7，然后用含a的式子表示其余三个数，表达规律即可． 【解答】解：日历中的数字规律：同一行中后面的数字比它前面的大1，同一列中上一行比下一行的大7， 任意选择其中所示的含4个数字的方框部分，设右上角的数字为a，则有： 左上角的数字为，故选项A错误，不符合题意； 左下角的数字为，故选项B错误，不符合题意； 右下角的数字为，故选项C错误，不符合题意； 把方框中4个位置的数相加，即：，结果是4的倍数，故选项D正确； 故选：D． 【点评】本题考查整式的混合运算和列代数式，解题的关键是掌握整式相关运算的法则． 【10-6】（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）定义新运算：，则的运算结果是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查新定义的题型和整式的乘法运算，解决此题的关键是正确的计算；将 和 代入公式 进行计算． 【解答】解：由题意得，； 故答案为 ． 【10-7】（2025·河南·中考真题）观察，根据这些式子的变化规律，可得第个式子为___________． 【答案】 【分析】本题是单项式规律题，根据给出的单项式发现一般规律是解题关键．分析已知式子，得到第个式子为，即可得到答案． 【解答】解：第1个式子：， 第2个式子：， 第3个式子：， 第4个式子：， …… 观察发现，第个式子为， 故答案为： 【10-8】（2025·浙江·中考真题） 【文化欣赏】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式： ． 【应用体验】 已知，则m的值为________ 【答案】 【分析】本题考查了整式规律探究，根据展开，即可求解． 【解答】解：， ， ， 故答案为：． 【10-9】（2025·陕西·中考真题）生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设计图案，如图②，第1个图案用了3个矩形，第2个图案用了5个矩形，第3个图案用了7个矩形，……则第10个图案需要用矩形的个数为______． 【答案】21 【分析】本题主要考查的是图案的变化，解题的关键是根据已知图案归纳出图案个数的变化规律．根据第1个图案中矩形的个数：；第2个图案中矩形的个数：；第3个图案中矩形的个数：；…第n个图案中矩形的个数：，算出第10个图案中矩形个数即可． 【解答】解：∵第1个图案中矩形的个数：； 第2个图案中矩形的个数：； 第3个图案中矩形的个数：； … 第n个图案中矩形的个数：， ∴则第10个图案中矩形的个数为：， 故答案为：21． 【10-10】（2025·重庆·中考真题）我们规定：一个四位数，若满足，则称这个四位数为“十全数”．例如：四位数1928，因为，所以1928是“十全数”．按照这个规定，最小的“十全数”是__________：一个“十全数”，将其千位数字与个位数字调换位置，百位数字与十位数字调换位置，得到一个新的数，记，．若与均是整数，则满足条件的M的值是__________． 【答案】 ①. ②. 【分析】此题考查了整式的加减的应用，根据要求最小的“十全数”，得到，，然后求出，，即可得到最小的“十全数”是；根据题意表示出，，然后表示出，，然后表示出，，然后根据题意得到与均是整数，得到能被13整除，能被17整除，然后由，求出，进而求解即可． 【解答】解：设四位数 ∵要求最小的“十全数”， ∴， ∴， ∴最小的“十全数”是； ∵一个“十全数”， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵与均是整数 ∴与均是整数 ∴能被13整除，能被17整除 ∵， ∴， ∴ ∴的值可以为13，26，39，52，65 ∴依次代入可得，当，时，，均是整数，符合题意 ∴， ∴满足条件的M的值是． 故答案为：，． 【10-11】（2024·江西·中考真题）观察a，，，，…，根据这些式子的变化规律，可得第100个式子为______． 【答案】 【分析】此题考查了单项式规律探究．分别找出系数和次数的规律，据此判断出第n个式子是多少即可． 【解答】解：∵a，，，，…， ∴第n个单项式的系数是1； ∵第1个、第2个、第3个、第4个单项式的次数分别是1、2、3、4，…， ∴第n个式子是． ∴第100个式子是． 故答案为：． 【10-12】（2024·四川成都·中考真题）在综合实践活动中，数学兴趣小组对这个自然数中，任取两数之和大于的取法种数进行了探究．发现：当时，只有一种取法，即；当时，有和两种取法，即；当时，可得；……．若，则的值为______；若，则的值为______． 【答案】 ①. 9 ②. 144 【分析】本题考查数字类规律探究，理解题意，能够从特殊到一般，得到当n为偶数或奇数时的不同取法是解答的关键．先根据前几个n值所对应k值，找到变化规律求解即可． 【解答】解：当时，只有一种取法，则； 当时，有和两种取法，则； 当时，有，，，四种取法，则； 故当时，有，，，，，六种取法，则； 当时，有，，，，，，，，九种取法，则； 依次类推， 当n为偶数时，， 故当时，， 故答案为：9，144． 【10-13】（2024·宁夏·中考真题）观察下列等式： 第1个： 第2个： 第3个： 第4个： 按照以上规律，第个等式为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，观察可知，序号的平方乘以序号加1减去序号加1的结果等于序号加1的平方乘以序号减1，据此可得答案． 【解答】解：观察算式可知，序号的平方乘以序号加1减去序号加1的结果等于序号加1的平方乘以序号减1， 所以第个等式为：， 故答案为： 【10-14】（2025·宁夏·中考真题）定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如，三位数，因为，所以它是“极差数”． 【理解定义】 三位数是否为“极差数”？___________． 【建模推理】 （1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为，则与的关系式为___________； （2）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？ 【答案】理解定义：不是；建模推理：（1）；（2）任意一个“极差数”都能被11整除．理由见解析． 【分析】本题考查数字类问题．旨在考查学生的信息处理能力． 理解定义：根据定义进行验证即可； 建模推理： （1）根据“极差数”的定义即可求出答案； （2）设任意一个“极差数”的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c，根据定义和（1）的结论即可求证． 【解答】理解定义：∵十位数字减去个位数字的差为，百位数字为， ∴十位数字减去个位数字的差不等于百位数字， ∴三位数不是“极差数” 故答案为：不是 建模推理： （1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为， 根据题意可得，， 故答案为：； （2）任意一个“极差数”都能被11整除． 证明：设任意一个“极差数”的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c， ∵， ∴， ∴能被11整除， ∴任意一个“极差数”都能被11整除． 【10-15】（2024·安徽·中考真题）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为（均为自然数）”的问题． （1）指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（为正整数）： 奇数 的倍数 表示结果 一般结论 ______ 按上表规律，完成下列问题： （）（ ）（ ）； （）______； （2）兴趣小组还猜测：像这些形如（为正整数）的正整数不能表示为（均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下： 假设，其中均自然数． 分下列三种情形分析： 若均为偶数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数． 若均为奇数，设，，其中均为自然数， 则______为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数． 若一个是奇数一个是偶数，则为奇数． 而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数． 由可知，猜测正确． 阅读以上内容，请在情形的横线上填写所缺内容． 【答案】（1）（），；（）； （2） 【分析】（）（）根据规律即可求解；（）根据规律即可求解； （）利用完全平方公式展开，再合并同类项，最后提取公因式即可； 本题考查了平方差公式，完全平方公式，掌握平方差公式和完全平方公式的运算是解题的关键． 【解答】【小问1详解】 （）由规律可得，， 故答案为：，； （）由规律可得，， 故答案为：； 【小问2详解】 解：假设，其中均为自然数． 分下列三种情形分析： 若均为偶数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数． 若均为奇数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数． 若一个是奇数一个是偶数，则为奇数． 而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数． 由可知，猜测正确． 故答案为：． 【10-16】（2023·浙江嘉兴·中考真题）观察下面的等式： (1)写出的结果． (2)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数） (3)请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）根据题干的规律求解即可； （2）根据题干的规律求解即可； （3）将因式分解，展开化简求解即可． 【解答】（1）； （2）； （3） ． 【点评】此题考查数字的变化规律，因式分解，整式乘法的混合运算，解题关键是通过观察，分析、归纳发现其中的变化规律． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专训02 整式与因式分解 （核心考点常考题型专项训练） 【核心考点常考题型梳理及命题猜押趋势】 【考点01】整式的概念（★） 【考点02】列代数式（★） 【考点03】求代数式的值（★★） 【考点04】整式的加减乘除运算（★★★） 【考点05】幂的运算（★★★） 【考点06】平方差与完全平方公式的应用（★★） 【考点07】整式与幂的运算综合（★★★★） 【考点08】整式的化简求值（★★★） 【考点09】用提公因式法和公式法分解因式（★★★★） 【考点10】整式运算中的规律和新定义问题（★★★） 【考点01】整式的概念 【1-1】（2024·四川内江·中考真题）下列单项式中，的同类项是（   ） A． B． C． D． 【1-2】（2023·河北·中考真题）代数式的意义可以是（  ） A．与x的和 B．与x的差 C．与x的积 D．与x的商 【1-3】（2024·山东泰安·中考真题）单项式的次数是 ． 【1-4】（2024·河南·中考真题）请写出的一个同类项： ． 【1-5】（2023·江西·中考真题）单项式的系数为 ． 【考点02】列代数式 【2-1】（2025·上海·中考真题）用代数式表示与差的平方，正确的是（ ） A. B. C. D. 【2-2】（2025·湖南长沙·中考真题）智慧农业广泛应用智能机器人．某品牌智能机器人的一个机械手平均每分钟采摘10个苹果．若该机器人搭载m个机械手（），则该机器人平均每分钟采摘的苹果个数为（ ） A. B. C. D. 【2-3】（2025·四川广安·中考真题）一种商品每件标价为a元，按标价的8折出售，则每件商品的售价是 元． 【2-4】（2025·山西·中考真题）近年来，我省依托乡村e镇建设，打造农村电商新产业，提高了农民收入．某农户通过网上销售传统手工艺品布老虎，利润由原来的每个20元增加到80元．该农户通过网上售出a个布老虎，则他的利润增加了________元（用含a的代数式表示）． 【2-5】（2025·内蒙古·中考真题）冰糖葫芦是我国传统小吃，若大串冰糖葫芦每根穿5个山楂，小串冰糖葫芦每根穿3个山楂，则穿根大串和根小串冰糖葫芦需要的山楂总个数用代数式表示为________． 【2-6】（2024·新疆·中考真题）若每个篮球30元，则购买n个篮球需___________元． 【考点03】求代数式的值 【3-1】（2025·海南·中考真题）当时，代数式值为（ ） A. 1 B. 7 C. D. 【3-2】（2024·广西·中考真题）如果，，那么的值为（   ） A．0 B．1 C．4 D．9 【3-3】（2023·四川雅安·中考真题）若．则的值是（   ） A． B． C．5 D． 【3-4】（2025·江苏苏州·中考真题）若，则代数式值为________． 【3-5】（2025·吉林长春·中考真题）已知，则代数式的值为 ． 【3-6】（2025·河北·中考真题）甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为，．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为81的纸条，则 ．    【3-7】（2024·广东广州·中考真题）如图，把，，三个电阻串联起来，线路上的电流为，电压为，则．当，，，时，的值为 ．    【3-8】（2024·四川成都·中考真题）若，为实数，且，则的值为 ． 【3-9】（2023·四川德阳·中考真题）在初中数学文化节游园活动中，被称为“数学小王子”的王小明参加了“智取九宫格”游戏比赛，活动规则是：在九宫格中，除了已经填写的三个数之外的每一个方格中，填入一个数，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和分别相等，且均为m．王小明抽取到的题目如图所示，他运用初中所学的数学知识，很快就完成了这个游戏，则 ． 16 7 4 【3-10】（2023·四川凉山·中考真题）已知，则的值等于 ． 【3-11】（2023·河北·中考真题）现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示．某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形(不重叠无缝隙)，如图2和图3，其面积分别为． (1)请用含a的式子分别表示；当时，求的值； (2)比较与的大小，并说明理由． 【考点04】整式的加减乘除运算 【4-1】（2025·陕西·中考真题）计算的结果为（ ） A. B. C. D. 【4-2】（2025·四川南充·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【4-3】（2024·湖北·中考真题）的值是（ ） A. B. C. D. 【4-4】（2024·贵州·中考真题）计算的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【4-5】（2024·青海·中考真题）计算的结果是（ ） A. 8x B. C. D. 【4-6】（2024·甘肃兰州·中考真题）计算：（ ） A. a B. C. D. 【4-7】（2024·河北·中考真题）“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是（ ） A. “20”左边的数是16 B. “20”右边的“□”表示5 C. 运算结果小于6000 D. 运算结果可以表示为 【4-8】（2023·陕西·中考真题）计算：（   ） A． B． C． D． 【4-9】（2025·河北·中考真题）计算：______． 【4-10】（2025·天津·中考真题）计算结果为____________． 【4-11】（2024·河南·中考真题）请写出的一个同类项：_______． 【4-12】（2023·青海西宁·中考真题）计算： ． 【4-13】（2025·广西·中考真题）（）计算： （）化简： 【考点05】幂的运算 【5-1】（2025·湖南·中考真题）计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【5-2】（2025·江苏苏州·中考真题）下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【5-3】（2025·四川广安·中考真题）下列各式运算结果为的是（  ） A． B． C． D． 【5-4】（2024·四川攀枝花·中考真题）计算的结果是（  ） A． B． C． D． 【5-5】（2024·河南·中考真题）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【5-6】（2024·河北·中考真题）若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【5-7】（2023·四川德阳·中考真题）已知，则（   ） A．y B． C． D． 【5-8】（2023·河北·中考真题）光年是天文学上的一种距离单位，一光年是指光在一年内走过的路程，约等于．下列正确的是（   ） A． B． C．是一个12位数 D．是一个13位数 【5-9】（2024·上海·中考真题）计算：___________． 【5-10】（2024·天津·中考真题）计算的结果为______． 【5-11】（2023·江苏南京·中考真题）计算的结果是 ． 【考点06】平方差与完全平方公式的应用 【6-1】（2024·江苏南京·中考真题）任意两个奇数的平方差总能（ ） A 被3整除 B. 被5整除 C. 被6整除 D. 被8整除 【6-2】（2023·河北·中考真题）若k为任意整数，则的值总能（   ） A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除 【6-3】（2024·上海·中考真题） 计算______． 【6-4】（2024·四川凉山·中考真题）已知，且，则 ． 【6-5】（2024·四川乐山·中考真题）已知，，则 ． 【6-6】（2024·黑龙江大庆·中考真题）已知，则的值是 ． 【6-7】（2023·四川雅安·中考真题）若，，则的值为 ． 【6-8】（2023·四川凉山·中考真题）已知是完全平方式，则的值是 ． 【6-9】（2023·江苏宿迁·中考真题）若实数m满足，则 ． 【6-10】（2025·甘肃兰州·中考真题）计算： ． 【6-11】（2025·浙江·中考真题）【阅读理解】 同学们，我们来学习利用完全平方公式： 近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为， 所以， 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 小明以①的形式求的近似值的过程如图． 因为， 所以， 即． 因为比较小， 将忽略不计， 所以， 即， 得， 故． 【尝试探究】 （1）请用②的形式求的近似值（结果保留2位小数）． 【比较分析】 （2）你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高，请说明理由． 【6-12】（2024·福建·中考真题）已知实数满足． (1)求证：为非负数； (2)若均为奇数，是否可以都为整数？说明你的理由． 【6-13】（2023·甘肃兰州·中考真题）计算：． 【考点07】整式与幂的运算综合 【7-1】（2025·山东·中考真题）已知，则下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【7-2】（2025·湖北·中考真题）下列运算的结果为的是（ ） A. B. C. D. 【7-3】（2025·宁夏·中考真题）下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【7-4】（2025·山西·中考真题）下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【7-5】（2025·辽宁·中考真题）下列计算正确的是（　 　） A. B. C. D. 【7-6】（2024·浙江·中考真题）下列式子运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【7-7】（2024·福建·中考真题）下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【7-8】（2024·湖南·中考真题）下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【7-9】（2024·四川成都·中考真题）下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【7-10】（2024·西藏·中考真题）下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【7-11】（2024·宁夏·中考真题）下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【7-12】（2024·内蒙古·中考真题）下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【7-13】（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【7-14】（2023·黑龙江绥化·中考真题）下列计算中，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【考点08】整式的化简求值 【8-1】（2025·浙江·中考真题）化简求值：，其中． 【8-2】（2025·湖南·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【8-3】（2024·吉林·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【8-4】（2024·湖南长沙·中考真题）先化简，再求值：， 其中． 【8-5】（2024·陕西·中考真题）先化简，再求值：，其中，． 【8-6】（2024·甘肃·中考真题）先化简，再求值：，其中，． 【8-7】（2023·浙江金华·中考真题）已知，求的值． 【8-8】（2023·湖南·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【8-9】（2023·四川凉山·中考真题）先化简，再求值：，其中，． 【考点09】用提公因式法和公式法分解因式 【9-1】（2025·广西·中考真题） 因式分解：（ ） A. B. C. D. 【9-2】（2024·云南·中考真题）分解因式：（ ） A. B. C. D. 【9-3】（2024·广西·中考真题）如果，，那么的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 4 D. 9 【9-4】（2023·山东·中考真题）下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【9-5】（2025·上海·中考真题）分解因式：____________． 【9-6】（2025·海南·中考真题）分解因式：=_____. 【9-7】（2025·甘肃·中考真题）因式分解：__________． 【9-8】（2025·四川成都·中考真题）多项式加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是________（填一个即可）． 【9-9】（2024·山东威海·中考真题）因式分解： ． 【9-10】（2023·湖南永州·中考真题）与的公因式为 ． 【9-11】（2023·湖北黄石·中考真题）因式分解： ． 【9-12】（2023·甘肃兰州·中考真题）因式分解： ． 【9-13】（2023·江苏无锡·中考真题）分解因式： ． 【9-14】（2023·山东东营·中考真题）因式分解： ． 【9-15】（2023·黑龙江绥化·中考真题）因式分解： ． 【9-16】（2023·山东·中考真题）已知实数满足，则 ． 【考点10】整式运算中的规律和新定义问题 【10-1】（2025·云南·中考真题）按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式是（ ） A. B. C. D. 【10-2】（2025·西藏·中考真题）观察下列一组数：，，，，，…按此规律，第n个数是（ ） A. B. C. D. 【10-3】（2024·重庆·中考真题）已知整式，其中为自然数，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的整式中有5个单项式； ②不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有3个； ③满足条件的整式共有16个． 其中正确的个数是（　 　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【10-4】（2023·四川德阳·中考真题）在“点燃我的梦想，数学皆有可衡”数学创新设计活动中，“智多星”小强设计了一个数学探究活动：对依次排列的两个整式m，n按如下规律进行操作： 第1次操作后得到整式串m，n，； 第2次操作后得到整式串m，n，，； 第3次操作后… 其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，小强将这个活动命名为“回头差”游戏． 则该“回头差”游戏第2023次操作后得到的整式中各项之和是（   ） A． B．m C． D． 【10-5】（2023·湖北宜昌·中考真题）在日历上，某些数满足一定的规律．如图是某年8月份的日历，任意选择其中所示的含4个数字的方框部分，设右上角的数字为a，则下列叙述中正确的是（   ）． 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 A．左上角的数字为 B．左下角的数字为 C．右下角的数字为 D．方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数 【10-6】（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）定义新运算：，则的运算结果是_____． 【10-7】（2025·河南·中考真题）观察，根据这些式子的变化规律，可得第个式子为___________． 【10-8】（2025·浙江·中考真题） 【文化欣赏】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式： ． 【应用体验】 已知，则m的值为________ 【10-9】（2025·陕西·中考真题）生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设计图案，如图②，第1个图案用了3个矩形，第2个图案用了5个矩形，第3个图案用了7个矩形，……则第10个图案需要用矩形的个数为______． 【10-10】（2025·重庆·中考真题）我们规定：一个四位数，若满足，则称这个四位数为“十全数”．例如：四位数1928，因为，所以1928是“十全数”．按照这个规定，最小的“十全数”是__________：一个“十全数”，将其千位数字与个位数字调换位置，百位数字与十位数字调换位置，得到一个新的数，记，．若与均是整数，则满足条件的M的值是__________． 【10-11】（2024·江西·中考真题）观察a，，，，…，根据这些式子的变化规律，可得第100个式子为______． 【10-12】（2024·四川成都·中考真题）在综合实践活动中，数学兴趣小组对这个自然数中，任取两数之和大于的取法种数进行了探究．发现：当时，只有一种取法，即；当时，有和两种取法，即；当时，可得；……．若，则的值为______；若，则的值为______． 【10-13】（2024·宁夏·中考真题）观察下列等式： 第1个： 第2个： 第3个： 第4个： 按照以上规律，第个等式为___________． 【10-14】（2025·宁夏·中考真题）定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如，三位数，因为，所以它是“极差数”． 【理解定义】 三位数是否为“极差数”？___________． 【建模推理】 （1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为，则与的关系式为___________； （2）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？ 【10-15】（2024·安徽·中考真题）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为（均为自然数）”的问题． （1）指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（为正整数）： 奇数 的倍数 表示结果 一般结论 ______ 按上表规律，完成下列问题： （）（ ）（ ）； （）______； （2）兴趣小组还猜测：像这些形如（为正整数）的正整数不能表示为（均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下： 假设，其中均自然数． 分下列三种情形分析： 若均为偶数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数． 若均为奇数，设，，其中均为自然数， 则______为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数． 若一个是奇数一个是偶数，则为奇数． 而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数． 由可知，猜测正确． 阅读以上内容，请在情形的横线上填写所缺内容． 【10-16】（2023·浙江嘉兴·中考真题）观察下面的等式： (1)写出的结果． (2)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数） (3)请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的． 学科网（北京）股份有限公司 $