专训01 实数及其运算 【核心考点常考题型专项训练】2026年中考数学复习备考（全国通用）

专训01 实数及其运算 （核心考点常考题型专项训练） 【核心考点常考题型梳理及命题猜押趋势】 【考点01】正数和负数的意义（★） 【考点02】有理数的概念及大小比较（★） 【考点03】相反数、绝对值、倒数的求值（★★★） 【考点04】与数轴有关的求解（★★★） 【考点05】有理数的运算及应用（★★） 【考点06】科学记数法表示较大的数或较小的数（★★★★） 【考点07】平方根、算术平方根、立方根的计算（★） 【考点08】实数的分类及大小比较（★★） 【考点09】无理数的概念及估算（★★） 【考点10】实数的运算及应用（★★★） 【考点11】含特殊三角函数值的实数混合运算（★★★★） 【考点12】实数运算中的非负性问题（★） 【考点13】实数运算中的规律和新定义问题（★） 【题型01】正数和负数的意义 【1-1】（2025·四川德阳·中考真题）下列数是正数的是（   ） A．1 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正数的概念，熟知正数的概念是解题的关键． 根据正数的定义判断各选项是否符合条件． 【解答】A．1大于0，是正数，故本选项符合题意； B．0既不是正数也不是负数，故本选不项符合题意； C．小于0，属于负数，故本选不项符合题意； D．小于0，属于负数，故本选不项符合题意． 故选：A． 【1-2】（2025·吉林长春·中考真题）中国是最早使用正、负数表示具有相反意义的量的国家．如果水位下降记作，那么水位上升记作（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了具有相反意义的量，正负数是一对具有相反意义的量，若水位下降用“”表示，那么水位上升就用“”表示，据此求解即可． 【解答】解：如果水位下降记作，那么水位上升记作， 故选：B． 【1-3】（2025·湖南长沙·中考真题）在实际生活中，常用正数、负数表示具有相反意义的量．如果把向东走80米记作米，那么向西走60米记作（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题考查正负数表示相反意义的量．根据正负数表示相反意义的量，向东记为正数，则向西记为负数，据此即可求解． 【解答】解：将向东走80米记作米，说明“向东”为正方向，与之相反的“向西”应为负方向．因此，向西走60米应记作米． 故选：A． 【1-4】（2025·广东·中考真题）某品牌乒乓球产品质量参数是，如果一只乒乓球的质量高于标准质量记作，那么低于标准质量记作（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题主要考查了正数和负数．根据正数和负数表示具有相反意义的量，即可解答． 【解答】解：∵一只乒乓球的质量高于标准质量记作， ∴那么低于标准质量记作． 故选：A． 【1-5】（2024·江苏南京·中考真题）下列四个数中，是负数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正数和负数，掌握在正数前面加负号叫做负数是解题的关键．先利用绝对值，相反数的定义及有理数乘方的运算法则，计算各数，再根据正负数的定义判断即可． 【解答】解：A.是负数，故选项A符合题意； B. 是正数，故选项B不符合题意； C. 是正数，故选项C不符合题意； D.是正数，故选项D不符合题意； 故选：A． 【1-6】（2023·四川雅安·中考真题）在0，，，2四个数中，负数是（   ） A．0 B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据负数的定义∶ 比0小的数叫做负数，即可得出答案． 【解答】解：0既不是正数也不是负数，是负数，和2是正数， 故选：C． 【点评】本题考查了正数和负数，掌握在正数前面加负号是负数是解题的关键． 【1-7】（2023·湖南永州·中考真题）我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”、如：粮库把运进30吨粮食记为“”，则“”表示（   ） A．运出30吨粮食 B．亏损30吨粮食 C．卖掉30吨粮食 D．吃掉30吨粮食 【答案】A 【分析】根据题意明确“正”和“负”所表示的意义，再根据题意即可求解． 【解答】解：粮库把运进30吨粮食记为“”，则“”表示运出30吨粮食． 故选：A 【点评】本题考查了正负数的意义，理解“正”和“负”分别表示相反意义的量是解题关键． 【1-8】（2025·福建·中考真题）为响应“体重管理年”有关倡议，小敏对自己的体重进行了跟踪统计．为方便记录，他将体重增加记作，那么体重减少应记作 ． 【答案】 【分析】本题考查正负数的意义，根据正负数表示一对相反意义的量，增加为正，则减少为负，进行作答即可． 【解答】解：体重增加记作，那么体重减少应记作； 故答案为：． 【1-9】（2024·江苏连云港·中考真题）如果公元前121年记作年，那么公元后2024年应记作 年． 【答案】 【分析】本题考查正负数的意义，根据正负数表示一对相反意义的量，公元前为负，则公元后为正，进行作答即可． 【解答】解：公元前121年记作年，那么公元后2024年应记作年； 故答案为：． 【题型02】有理数的概念及大小比较 【2-1】（2025·江苏苏州·中考真题）下列实数中，比2小的数是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 【答案】D 【分析】比较各选项与2的大小关系，选出比2小的数即可． 本题考查了实数的大小比较，熟练掌握实数大小比较的方法是解题的关键． 【解答】解： A、 ，不符合条件． B、 ，不符合条件． C、 ，不符合条件． D、 ，符合条件． 故选：D． 【2-2】（2025·安徽·中考真题）在，0，2，5这四个数中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. 2 D. 5 【答案】A 【分析】解题思路为：依据有理数大小比较规则，即负数小于，小于正数，来比较这四个数的大小，找出最小数 ．本题主要考查了有理数的大小比较，熟练掌握“负数小于，小于正数”的大小比较规则是解题的关键． 【解答】解：有理数大小比较规则：负数正数． 对于、、、这四个数， 是负数，是零，、是正数， ， 即最小的数是． 故选：． 【2-3】（2025·山西·中考真题）下列各数中比小的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小进行比较即可判断求解，掌握有理数的大小比较方法是解题的关键． 【解答】解：∵正数大于负数， ∴比小的数在，，中， ∵两个负数，绝对值大的数反而更小， 又∵， ∴， ∴比小的数是， 故选：． 【2-4】（2025·江西·中考真题）在1个标准大气压下，四种晶体的熔点如下表所示，则熔点最高的是（ ） 晶体 固态氢 固态氧 固态氮 固态酒精 熔点（单位：） A. 固态氢 B. 固态氧 C. 固态氮 D. 固态酒精 【答案】D 【分析】本题考查负数的知识，负数大小的比较．分别比较几个凝固点的大小，即可得到解答．． 【解答】解：由表格可知，固态氢的熔点为，固态氧的熔点为，固态氮的熔点为，固态酒精的熔点为， ∵， ∴熔点最高的是固态酒精． 故选：D． 【2-5】（2024·重庆·中考真题）下列四个数中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. 3 D. 【答案】A 【分析】本题考查了有理数比较大小，解题的关键是掌握比较大小的法则．根据正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，即可得到答案． 【解答】解：∵， ∴最小的数是； 故选：A． 【2-6】（2024·新疆·中考真题）下列实数中，比0小的数是（ ） A. B. 0.2 C. D. 1 【答案】A 【分析】本题考查了正数、负数的大小比较，正数大于一切负数和0，0大于一切负数．正数大于负数和0，0大于负数，也就是负数小于0，据此即可求解． 【解答】解：因为小于0的数是负数， 所以比0小， 故选：A． 【2-7】（2024·浙江·中考真题） 以下四个城市中某天中午12时气温最低的城市是（ ） 北京 济南 太原 郑州 A. 北京 B. 济南 C. 太原 D. 郑州 【答案】C 【分析】此题主要考查了有理数比较大小．有理数比较大小时，正数大于0，0大于负数；两个负数时，绝对值大的反而小，据此判断即可． 【解答】解：∵， ∴四个城市中某天中午12时气温最低的城市是太原． 故选：C． 【2-8】（2024·广西·中考真题） 下列选项记录了我国四个直辖市某年一月份的平均气温，其中气温最低的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题考查了温度的比较以及正负数的概念，掌握比较有理数大小的方法是解决本题的关键．以下记为负数，以上记为正数，温度都小于时，绝对值最大的，温度最低． 【解答】解：∵，，， ∴， ∴气温最低的是北京． 故选：A． 【2-9】（2024·辽宁·中考真题）亚洲、欧洲、非洲和南美洲的最低海拔如下表： 大洲 亚洲 欧洲 非洲 南美洲 最低海拔 其中最低海拔最小的大洲是（ ） A. 亚洲 B. 欧洲 C. 非洲 D. 南美洲 【答案】A 【分析】此题主要考查了负数的大小比较，掌握负数比较大小，绝对值大的反而小是解题关键．比较各负数的绝对值，绝对值最大的，海拔就最低，故可得出答案． 【解答】，，， ∵， ∴， ∴海拔最低的是亚洲． 故选：A． 【2-10】（2024·河北·中考真题） 如图显示了某地连续5天的日最低气温，则能表示这5天日最低气温变化情况的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题考查了正负数的大小比较，熟练掌握正负数大小比较的方法解题的关键． 由五日气温为得到，，，则气温变化为先下降，然后上升，再上升，再下降． 【解答】解：由五日气温为得到，， ∴气温变化为先下降，然后上升，再上升，再下降． 故选：A． 【2-11】（2024·湖北·中考真题）写一个比大的数______． 【答案】0 【分析】本题考查了有理数比较大小．根据有理数比较大小的方法即可求解． 【解答】解：． 故答案为：0（答案不唯一）． 【2-12】（2024·江苏南京·中考真题）比较大小：____（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．据此解答即可． 【解答】解：∵， ， 又， ∴． 故答案：． 【2-13】（2023·湖南永州·中考真题），3，三个数中最小的数为 ． 【答案】 【分析】根据有理数比较大小的法则即可求出答案． 【解答】解：，，3三个数中，只有3是正数， 3最大． ，， ， ． 最小． 故答案为：． 【点评】本题考查了有理数比较大小，解题的关键在于熟练掌握有理数比较大小的方法：正数始终大于负数；两个负数比较，绝对值大的反而小． 【题型03】相反数、绝对值、倒数的求值 【3-1】（2025·浙江·中考真题）的相反数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相反数，根据只有符号相反的两个数互为相反数，进行判断即可． 【解答】解：的相反数是 故选A． 【3-2】（2025·新疆·中考真题）的相反数是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【分析】本题考查相反数的概念，直接根据相反数的定义求解即可． 【解答】解：的相反数是2， 故选D． 【3-3】（2025·青海·中考真题）-（-2）的值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【分析】本题考查相反数的概念，涉及多重符号的化简，根据相反数的定义可得答案. 【解答】解：∵， ∴的值是， 故选：B 【3-4】（2025·江苏连云港·中考真题）的绝对值是（   ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查绝对值的概念，根据绝对值的定义直接求解即可．绝对值表示一个数在数轴上到原点的距离，非负性是其核心性质．对于负数，其绝对值等于它的相反数． 【解答】解：， 因此，的绝对值为5， 故选：A． 【3-5】（2025·西藏·中考真题） 18的绝对值是（ ） A. 18 B. C. D. 【答案】A 【分析】该题考查了绝对值，根据一个正数的绝对值等于它本身，一个负数的绝对值等于它的相反数，求解即可． 【解答】解：18的绝对值是18， 故选：A． 【3-6】（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题） 的倒数是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【分析】本题主要考查了倒数定义，熟练掌握“若两个数的乘积为1，则这两个数互为倒数”是解题的关键．根据倒数的定义，求与相乘得1的数． 【解答】解：， 的倒数是2 故选：D． 【3-7】（2025·山东烟台·中考真题）的倒数是（   ） A．3 B． C．-3 D． 【答案】B 【分析】本题考查的是倒数的含义，绝对值的含义，先计算绝对值，再求其倒数即可. 【解答】解：∵， ∴3的倒数是， ∴ 的倒数是， 故选：B 【3-8】（2024·陕西·中考真题）-3的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】由互为倒数的两数之积为1，即可求解． 【解答】解：∵， ∴的倒数是. 故选C 【3-9】（2024·宁夏·中考真题）已知，则的取值范围在数轴上表示正确的是（　　 ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题主要考查了绝对值的性质，解一元一次不等式．根据绝对值的性质，可得，从而得到，即可求解． 【解答】解：∵， ∴， 解得：， 则的取值范围在数轴上表示正确的是： 故选：A． 【3-10】（2023·吉林长春·中考真题）实数、、、伍数轴上对应点位置如图所示，这四个数中绝对值最小的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据绝对值的意义即可判断出绝对值最小的数. 【解答】解：由图可知，，，，， 比较四个数的绝对值排除和， 根据绝对值的意义观察图形可知，离原点的距离大于离原点的距离， ， 这四个数中绝对值最小的是. 故选：B. 【点评】本题考查了绝对值的意义，解题的关键在于熟练掌握绝对值的意义，绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离，离原点越近说明绝对值越小. 【3-11】（2024·湖南·中考真题） 计算：________． 【答案】2024 【分析】本题考查了求一个数的相反数，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．根据相反数的定义，即可求解． 【解答】解：， 故答案为：2024． 【3-12】（2024·江苏南京·中考真题） 如果实数满足___________，那么互为相反数． 【答案】 【分析】本题考查了相反数的定义，掌握互为相反数的两个数和为0是解题的关键，根据相反数的定义，可得相反数的两数相加为0，据此作答． 【解答】解：如果实数满足，那么互为相反数， 故答案为：． 【题型04】与数轴有关的求解 【4-1】（2025·山东·中考真题）如图，数轴上表示的点是（   ） A．M B．N C．P D．Q 【答案】A 【分析】本题主要考查了数轴，弄清数轴上表示数的位置是解题的关键． 观察数轴得到表示的点即可． 【解答】解：如图，在数轴上的点M、N、P、Q中，表示的点是M． 故选：A． 【4-2】（2025·吉林·中考真题）如图，点A表示的数是1．若将点A向左移动3个单位长度得到点，则点表示的数为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，用点A表示的数减去移到的距离即可得到答案． 【解答】解；∵点A表示的数是1．将点A向左移动3个单位长度得到点， ∴点表示的数为， 故选：B． 【4-3】（2025·宁夏·中考真题）如图，数轴上点表示的数可能是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上数的表示及有理数的大小比较，解题的关键是根据点在数轴上的位置确定其表示的数的取值范围，再与选项对比．明确数轴上数的分布特点：原点左侧为负数，右侧为正数，且离原点越近数值的绝对值越小；由题意知点A在0与之间，因此点A表示的数是大于且小于0的负数；分析各选项，找出符合该取值范围的数． 【解答】解：∵点A在数轴上0与中间， 结合四个选项可得：数轴上点表示的数可能是 故选：B． 【4-4】（2025·湖北·中考真题）数轴上表示数的点如图所示，下列判断正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上数的大小比较，掌握数轴的特点是关键． 根据数轴的特点得到，由此即可求解． 【解答】解：根据题意，， ∴， 故选：A ． 【4-5】（2025·北京·中考真题）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，绝对值的意义，利用数轴表示有理数的大小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先由数轴得，，且，再逐项分析即可． 【解答】解：由数轴得，，且 ∴，， 故A，B，C均错误，不符合题意，D正确，符合题意， 故选：D． 【4-6】（2024·河南·中考真题）如图，数轴上点P表示的数是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【分析】本题考查了数轴，掌握数轴的定义是解题的关键． 根据数轴的定义和特点可知，点P表示的数为，从而求解． 【解答】解：根据题意可知点P表示的数为， 故选：A． 【4-7】（2024·北京·中考真题）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】本题考查了是实数与数轴，绝对值的意义，实数的运算，熟练掌握知识点是解题的关键． 由数轴可得，，根据绝对值的意义，实数的加法和乘法法则分别对选项进行判断即可． 【解答】解：A、由数轴可知，故本选项不符合题意； B、由数轴可知，由绝对值的意义知，故本选项不符合题意； C、由数轴可知，而，则，故，故本选项符合题意； D、由数轴可知，而，因此，故本选项不符合题意． 故选：C． 【4-8】（2023·湖北恩施·中考真题）如图，数轴上点A所表示的数的相反数是（ ） A．9 B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据数轴得到A表示的数，再求其相反数即可． 【解答】解：由数轴可知，点A表示的数是9，相反数为， 故选：D． 【点评】本题考查数轴和相反数，掌握相反数的定义是解题的关键． 【4-9】（2023·江苏徐州·中考真题）如图，数轴上点分别对应实数，下列各式的值最小的是（   ）        A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴可直接进行求解． 【解答】解：由数轴可知点C离原点最近，所以在、、、中最小的是； 故选C． 【点评】本题主要考查数轴上实数的表示、有理数的大小比较及绝对值，熟练掌握数轴上有理数的表示、有理数的大小比较及绝对值是解题的关键． 【4-10】（2023·山东·中考真题）实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴可得，，再根据逐项判定即可． 【解答】由数轴可知， ∴，故A选项错误； ∴，故B选项错误； ∴，故C选项正确； ∴，故D选项错误； 故选：C． 【点评】本题考查实数与数轴，根据进行判断是解题关键． 【4-11】（2023·浙江杭州·中考真题）已知数轴上的点分别表示数，其中，．若，数在数轴上用点表示，则点在数轴上的位置可能是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】先由，，，根据不等式性质得出，再分别判定即可． 【解答】解：∵，， ∴ ∵ ∴ A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查用数轴上的点表示数，不等式性质，由，，得出是解题的关键． 【4-12】（2025·青海·中考真题）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则______．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了根据点在数轴上的位置判断式子的正负，根据实数在数轴上对应点的位置，判定出符号以及绝对值的大小，即可进行判断即可，解题的关键是根据实数在数轴上的位置，正确判断出实数的符号和绝对值的大小． 【解答】解：由实数在数轴上对应点的位置可知：，，且， ∴， ∴， 故答案为：． 【4-13】（2025·四川遂宁·中考真题）实数m在数轴上对应点的位置如图所示，则 0． （填“>”“=”或“<”） 【答案】< 【分析】本题考查了实数与数轴，先结合数轴的信息，得，且，故，即可作答． 【解答】解：观察数轴，得，且， ∴ 即， 故答案为：<． 【4-14】（2023·湖南·中考真题）数轴上到原点的距离小于的点所表示的整数有 ．（写出一个即可） 【答案】2（答案不唯一） 【分析】根据实数与数轴的对应关系，得出所求数的绝对值小于，且为整数，再利用无理数的估算即可求解． 【解答】解：设所求数为a，由于在数轴上到原点的距离小于，则，且为整数， 则， ∵，即， ∴a可以是或或0． 故答案为：2（答案不唯一）． 【点评】本题考查了实数与数轴，无理数的估算，掌握数轴上的点到原点距离的意义是解题的关键． 【题型05】有理数的运算及应用 【5-1】（2025·陕西·中考真题） 计算：（ ） A. 1 B. C. 9 D. 【答案】B 【分析】本题考查有理数的加法运算，根据有理数的加法运算法则进行计算，即可作答． 【解答】解：， 故选：B． 【5-2】（2025·天津·中考真题）计算的结果等于（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】B 【分析】本题考查有理数的除法运算，利用除法的运算法则进行计算即可． 【解答】解：； 故选B． 【5-3】（2025·四川成都·中考真题）如果某天中午的气温是，傍晚比中午下降了，那么傍晚的气温是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题考查有理数减法的实际应用，用中午的气温减去下降的气温进行计算即可． 【解答】解：； 故选B． 【5-4】（2025·河北·中考真题）从上升了后的温度，在温度计上显示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加法的应用，根据题意计算得出，找到显示为的即可求解． 【解答】解： 故选：B． 【5-5】（2025·湖南长沙·中考真题）中国式现代化取得了彪炳史册的伟大成就，极大地提升了我国的综合国力与国际影响力．据世界银行公布的2024年各国GDP数据，可知2024年中国GDP总量为万亿美元． 附：世界银行公布的2024年GDP排名前20名的部分国家数据表 国家 GDP总量（单位：万亿美元） 国家 GDP总量（单位：万亿美元） 德国 4.59 巴西 2.33 印度 3.93 俄罗斯 2.05 英国 3.49 韩国 1.76 法国 3.13 瑞士 0.93 预计2025年中国GDP总量的增长率为左右，请你根据以上信息估算： 2025年中国GDP的增长量与下列哪个国家2024年GDP总量最接近？（ ） A. 法国 B. 瑞士 C. 巴西 D. 英国 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的运算，计算2025年中国GDP的增长量即可求解； 【解答】解：2025年中国GDP的增长量为：万亿美元． ∴瑞士的GDP总量万亿美元与增长量万亿美元最接近； 故选：B 【5-6】（2024·天津·中考真题）计算3-（-3）的结果是（ ） A. 6 B. 3 C. 0 D. －6 【答案】A 【分析】见解析 【解答】试题解析：根据有理数减法法则计算，减去一个数等于加上这个数的相反数得：3-（-3）=3+3=6． 故选A． 【5-7】（2024·吉林·中考真题）若的运算结果为正数，则内的数字可以为（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，根据有理数的乘法计算法则，分别计算出与四个选项中的数的乘积即可得到答案． 【解答】解：，，，， 四个算式的运算结果中，只有3是正数， 故选：D． 【5-8】（2024·湖南长沙·中考真题）“玉兔号”是我国首辆月球车，它和着陆器共同组成“嫦娥三号”探测器．“玉兔号”月球车能够耐受月球表面的最低温度是、最高温度是，则它能够耐受的温差是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】本题考查了温差的概念和有理数的运算，解决本题的关键是气温最高值与最低值之差，计算解决即可． 【解答】解：能够耐受的温差是， 故答案为：D． 【5-9】（2023·山东临沂·中考真题）计算的结果是（   ） A． B．12 C． D．2 【答案】C 【分析】直接利用有理数的减法法则进行计算即可． 【解答】解：； 故选C． 【点评】本题考查有理数的减法，熟练掌握减一个负数等于加上它的相反数，是解题的关键． 【5-10】（2023·山西·中考真题）计算的结果为（   ）． A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据有理数乘法运算法则计算即可． 【解答】解：． 故选A． 【点评】本题主要考查了有理数乘法，掌握“同号得正、异号得负”的规律是解答本题的关键． 【5-11】（2023·浙江杭州·中考真题）（   ） A．0 B．2 C．4 D．8 【答案】D 【分析】先计算乘方，再计算加法即可求解． 【解答】解：， 故选：D． 【点评】本题考查有理数度混合运算，熟练掌握有理数乘方运算法则是解题的关键． 【5-12】（2023·湖南常德·中考真题）下面算法正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据有理数的加减法则计算即可． 【解答】A、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题主要考查有理数的加减法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 【5-13】（2025·安徽·中考真题）计算：________． 【答案】6 【分析】本题主要考查了有理数的减法计算，求一个数的绝对值，先计算绝对值，再根据减去一个数等于加上这个数的相反数求解即可． 【解答】解：， 故答案为：． 【5-14】（2024·江西·中考真题） 计算：____． 【答案】1 【分析】根据乘方运算法则进行计算即可． 【解答】解：． 故答案为：1． 【点评】本题主要考查了有理数的乘方运算，熟练掌握乘方运算法则，是解题的关键． 【5-15】（2024·陕西·中考真题）小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将0，，，1，2这五个数分别填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数可以是________．（写出一个符合题意的数即可） 【答案】0 【分析】本题考查有理数的运算，根据横向三个数之和与纵向三个数之和相等，进行填写即可得出结果． 【解答】解：由题意，填写如下： ，满足题意； 故答案为：0． 【5-16】（2024·北京·中考真题）联欢会有A，B，C，D四个节目需要彩排.所有演员到场后节目彩排开始。一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始.每个节目的演员人数和彩排时长（单位：min）如下： 节目 A B C D 演员人数 10 2 10 1 彩排时长 30 10 20 10 已知每位演员只参演一个节目.一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）。 若节目按“”的先后顺序彩排，则节目D的演员的候场时间为________min； 若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按___________的先后顺序彩排 【答案】 ①. 60 ②. 【分析】本题考查了有理数的混合运算，正确理解题意，熟练计算是解题的关键． ①节目D的演员的候场时间为；②先确定C在A的前面，B在D前面，然后分类讨论计算出每一种情况下，所有演员候场时间，比较即可． 【解答】解：①节目D的演员的候场时间为， 故答案为：60； ②由题意得节目A和C演员人数一样，彩排时长不一样，那么时长长的节目应该放在后面，那么C在A的前面，B和D彩排时长一样，人数不一样，那么人数少的应该往后排，这样等待时长会短一些，那么B在D前面， ∴①按照顺序，则候场时间为：分钟； ②按照顺序，则候场时间为：分钟； ③按照顺序，则候场时间为：分钟； ④按照顺序，则候场时间为：分钟； ⑤按照顺序，则候场时间为：分钟； ⑥按照顺序，则候场时间为：分钟． ∴按照顺序彩排，候场时间之和最小， 故答案：． 【5-17】（2023·山东滨州·中考真题）计算的结果为 ． 【答案】 【分析】化简绝对值，根据有理数的运算法则进行计算即可． 【解答】， 故答案为：． 【点评】本题考查有理数的加减法则，熟练掌握有理数的加减法则是解题的关键． 【5-18】（2024·广西·中考真题）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算．先算乘法和乘方，再算加法即可． 【解答】解：原式 ． 【题型06】科学记数法表示较大的数或较小的数 【6-1】（2025·安徽·中考真题）安徽省2025年第一季度工业用电量为521.7亿千瓦时，其中521.7亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【解答】解：将数据521.7亿用科学记数法表示为； 故选C． 【6-2】（2025·湖南长沙·中考真题）人类探索浩瀚宇宙的步伐从未停止，天文学家已经探明一年之中地球与太阳之间的距离随时间变化而变化，地球与太阳之间的平均距离约为，用科学记数法将数据表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．熟记相关结论即可． 【解答】解：∵， 故选：B． 【6-3】（2025·重庆·中考真题）下列四个数中，最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】此题考查了科学记数法的应用能力，运用科学记数法知识将各选项数字还原，再进行比较、求解．关键是能准确理解并运用以上知识． 【解答】解：，， ，， ， ， ∴四个数中，最大的是， 故选：D． 【6-4】（2025·北京·中考真题）2025年5月29日，行星探测工程天问二号探测器在西昌卫星发射中心成功发射，开启对近地小行星2016HO3的探测与采样返回之旅．已知该小行星与地球的最近距离约为月球远地点距离的45倍，月球远地点距离约为，则该小行星与地球的最近距离约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】此题考查了科学记数法表示较大的数．根据题意，小行星与地球的最近距离为月球远地点距离的45倍，月球远地点距离已知为，直接计算两者的乘积并用科学记数法表示即可． 【解答】解：月球远地点距离为，小行星距离是该值的45倍，即： ． 故选：C 【6-5】（2025·河南·中考真题）通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有，比蜗牛爬行的速度还慢．数据“”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法表示绝对值小于1的正数的一般形式为，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．n的值由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【解答】解：， 故选：C． 【6-6】（2025·山东威海·中考真题）据央视网2025年4月19日消息，复旦大学集成芯片与系统全国重点实验室、片与系统前沿技术研究院科研团队成功研制出半导体电荷存储器“破哓”．“破晓”存储器擦写速度提升至400皮秒实现一次擦或者写．一皮秒仅相当于一万亿分之一秒．400皮秒用科学记数法表示为（　　 ） A．秒 B．秒 C．秒 D．秒 【答案】A 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，首先得到400皮秒秒，然后根据科学记数法的表示方法求解即可． 【解答】∵1皮秒秒， ∴400皮秒秒． ∴秒． 故选：A． 【6-7】（2024·江苏南京·中考真题）水由氢、氧两种元素组成．一个水分子包含两个氢原子和一个氧原子．一个氢原子的质量约为，一个氧原子的质量约为，一个水分子的质量大约是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】此题考查了有理数的混合运算，科学记数法表示较小的数，关键是理解运用科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．根据题意列出算式求解，然后运用科学记数法表示即可． 【解答】解： ∴一个水分子的质量大约是． 故选：C． 【6-8】（2024·北京·中考真题）为助力数字经济发展，北京积极推进多个公共算力中心的建设.北京数字经济算力中心日前已部署上架和调试的设备的算力为Flops（Flops是计算机系统算力的一种度量单位），整体投产后，累计实现的算力将是日前已部署上架和调试的设备的算力的5倍，达到Flops，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】用移动小数点的方法确定a值，根据整数位数减一原则确定n值，最后写成的形式即可．本题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a，运用整数位数减去1确定n值是解题的关键． 【解答】， 故选D． 【6-9】（2025·上海·中考真题）据报道，我国某科研团队近期成功研制出一种新闪存器件，其快速擦写速度全球领先．已知一皮秒等于秒，该器件执行一次擦写需要400皮秒，则该器件一秒可以擦写______次（科学记数法表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法，根据题意可得1秒等于皮秒，再由该器件执行一次擦写需要400皮秒列式求解即可． 【解答】解：， ∴该器件一秒可以擦写次， 故答案为：． 【6-10】（2024·宁夏·中考真题）地球上水（包括大气水，地表水和地下水）的总体积约为亿．请将数据用科学记数法表示为___________． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法，解题的关键是掌握科学记数法的定义：将一个数表示成的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数．据此解答即可． 【解答】解：， 故答案为：． 【6-11】（2024·上海·中考真题）科学家研发了一种新的蓝光唱片，一张蓝光唱片的容量约为，一张普通唱片的容量约为25，则蓝光唱片的容量是普通唱片的________倍． （用科学记数法表示） 【答案】 【分析】本题考查科学记数法，按照定义，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，按要求表示即可得到答案，确定与的值是解决问题的关键． 【解答】解：蓝光唱片的容量是普通唱片的倍， 故答案为：． 【题型07】平方根、算术平方根、立方根的计算 【7-1】（2023·江苏无锡·中考真题）实数9的算术平方根是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果． 【解答】解：， 故选：A． 【点评】本题考查了平方根和算术平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 【7-2】（2023·山东·中考真题）面积为9的正方形，其边长等于（　 　） A．9的平方根 B．9的算术平方根 C．9的立方根 D．5的算术平方根 【答案】B 【分析】根据算术平方根的定义解答即可． 【解答】解：∵面积等于边长的平方， ∴面积为9的正方形，其边长等于9的算术平方根． 故选B． 【点评】本题考查了算术平方根的意义，一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根． 【7-3】（2025·青海·中考真题）的算术平方根是______． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的定义，根据算术平方根的定义解答即可，掌握算术平方根的定义是解题的关键． 【解答】解：∵， ∴的算术平方根是， 故答案为：． 【7-4】（2025·宁夏·中考真题）计算：___． 【答案】3 【分析】求数a的立方根，也就是求一个数x，使得x3=a，则x就是a的一个立方根，根据立方根的定义计算可得． 【解答】解： ∵33=27， ∴． 故答案为3． 【点评】此题考查了求一个数的立方根，熟记立方根定义是解题的关键． 【7-5】（2025·吉林长春·中考真题）8的立方根是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键．根据立方根的定义即可求解． 【解答】解：， 8的立方根是2． 故答案为：2． 【7-6】（2024·青海·中考真题）的立方根是__________． 【答案】-2 【分析】根据立方根的定义进行求解即可得． 【解答】解：∵（﹣2）3=﹣8， ∴﹣8的立方根是﹣2， 故答案为﹣2． 【点评】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 【7-7】（2023·山东滨州·中考真题）一块面积为的正方形桌布，其边长为 ． 【答案】/米 【分析】由正方形的边长是其面积的算术平方根可得答案． 【解答】解：一块面积为的正方形桌布，其边长为， 故答案为： 【点评】本题考查的是算术平方根的含义，理解题意，利用算术平方根的含义表示正方形的边长是解本题的关键． 【题型08】实数的分类及大小比较 【8-1】（2025·福建·中考真题）下列实数中，最小的数是（   ） A． B．0 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查比较实数的大小，首先确定各数的正负性，再按负数小于0小于正数的顺序比较大小即可． 【解答】解：∵， ∴最小的数为； 故选：A 【8-2】（2025·湖南·中考真题）下列四个数中，最大的数是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】A 【分析】本题主要考查实数比较大小，掌握实数大小的比较方法是关键. 根据零大于负数，正数大于零，比较各数的大小，先排除负数与零，再比较正数的大小. 【解答】解：1. 确定数的正负性： D选项为，是负数；C选项为，非正非负；A选项和B选项均为正数， 负数一定小于非负数，则D和C均小于A和B， 2. 比较正数的大小： ，显然， 故A选项大于B选项， 故选：A. 【8-3】（2023·湖北恩施·中考真题）下列实数：，0，，，其中最小的是（　　） A． B．0 C． D． 【答案】A 【分析】根据实数大小比较的法则解答． 【解答】解：∵， ∴最小的数是， 故选：A． 【点评】此题考查了实数的大小比较：正数大于零，零大于负数，两个负数绝对值大的反而小，熟练掌握实数的大小比较法则是解题的关键． 【8-4】（2023·山东临沂·中考真题）在实数中，若，则下列结论：①，②，③，④，正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据相反数的性质即可判断①，根据已知条件得出，即可判断②③，根据，代入已知条件得出，即可判断④，即可求解． 【解答】解：∵ ∴，故①错误， ∵ ∴， 又 ∴，故②③错误， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴，故④正确 或借助数轴，如图所示， 故选：A． 【点评】本题考查了不等式的性质，实数的大小比较，借助数轴比较是解题的关键． 【8-5】（2025·贵州·中考真题）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则与的大小关系是______b．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，实数与数轴，熟练掌握数轴上右边的点表示的数总比左边的大是解题的关键． 根据在数轴上，右边的点表示的数总比左边的大即可得到答案． 【解答】解：由数轴得：， ∴， 故答案为：． 【8-6】（2024·山西·中考真题）比较大小： _____2（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查实数的大小比较，根据即可推出． 【解答】解：∵， ∴， 故答案为：． 【8-7】（2024·安徽·中考真题）我国古代数学家张衡将圆周率取值为，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为．比较大小：______（填“>”或“<”）． 【答案】> 【分析】本题考查的是实数的大小比较，先比较两个正数的平方，从而可得答案． 【解答】解：∵，， 而， ∴， ∴； 故答案为： 【8-8】（2024·广西·中考真题） 写一个比大的整数是__________． 【答案】2(答案不唯一) 【分析】本题考查实数大小比较，估算无理数的大小是解题的关键． 先估算出大小，再找出符合条件的整数即可． 【解答】解：， ， 符合条件的数可以是：2(答案不唯一)． 故答案为：2． 【8-9】（2023·四川巴中·中考真题）在四个数中，最小的实数是 ． 【答案】 【分析】先计算出，再根据比较实数的大小法则即可． 【解答】解：，， 故， 故答案为：． 【点评】本题考查了平方的定义及比较实数的大小法则，熟练运用比较实数的大小法则是解题的关键． 【题型09】无理数的概念及估算 【9-1】（2025·江西·中考真题）下列各数中，是无理数的是（   ） A．0 B． C．3.14 D． 【答案】B 【分析】本题考查无理数的定义，根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．结合选项逐一判断即可． 【解答】解：A、0是整数，属于有理数，本选项不符合题意； B、是开方开不尽的数，属于无理数，本选项不符合题意； C、3.14是有限小数，属于有理数，本选项不符合题意； D、是分数，属于有理数，本选项不符合题意； 故选：B． 【9-2】（2025·天津·中考真题）估计的值在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】C 【分析】本题考查无理数的估算，夹逼法求出无理数的范围，进行判断即可． 【解答】解：∵， ∴， ∴， ∴的值在3和4之间； 故选C． 【9-3】（2025·江苏扬州·中考真题）如图，数轴上点表示的数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实数与数轴，无理数的估算，设点表示的数为，根据点在数轴上的位置，判断出的范围，夹逼法求出无理数的范围进行判断即可． 【解答】解：设点表示的数为，由图可知：， ∵，即：，故选项A不符合题意； ∵，即：，故选项B不符合题意； ∵，即：，故选项C符合题意； ∵，即：，故选项D不符合题意； 故选C． 【9-4】（2024·宁夏·中考真题）下列各数中，无理数是（　　 ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】本题考查无理数的识别．熟练掌握无理数的定义是解题关键．无限不循环小数是无理数，分数，整数属于有理数． 利用无理数的定义逐个分析判断即可． 【解答】A、是有理数，不合题意； B、是有理数，不合题意； C、，是有理数，不合题意； D、是无理数，符合题意． 故选：D． 【9-5】（2024·宁夏·中考真题）估计的值在（ ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 【答案】A 【分析】本题主要考查无理数的估算，掌握无理数的估算方法是解题的关键．根据无理数的估算方法计算即可． 【解答】解：∵， ∴，即， 故选：A． 故选：C 【9-6】（2024·天津·中考真题）估计的值在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】C 【分析】本题主要查了无理数的估算．根据无理数的估算方法解答即可． 【解答】解：∵， ∴， ∴的值在3和4之间． 故选：C 【9-7】（2023·山东·中考真题）实数中无理数是（  ） A． B．0 C． D．1.5 【答案】A 【分析】根据无理数的概念求解． 【解答】解：实数中，是无理数，而是有理数； 故选A． 【点评】本题主要考查无理数，熟练掌握无理数的概念是解题的关键． 【9-8】（2023·四川巴中·中考真题）下列各数为无理数的是（   ） A．0.618 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据无理数是无限不循环小数进行判断即可． 【解答】解：由题意知，0.618，，，均为有理数， 是无理数， 故选：C． 【点评】本题考查了无理数，立方根．解题的关键在于熟练掌握无理数是无限不循环小数． 【9-9】（2023·内蒙古赤峰·中考真题）如图，数轴上表示实数的点可能是(   )    A．点P B．点Q C．点R D．点S 【答案】B 【分析】根据先估算的大小，看它介于哪两个整数之间，从而得解． 【解答】解：∵ ∴，即， ∴数轴上表示实数的点可能是Q， 故选：B． 【点评】本题考查无理数的大小估算，推出介于哪两个整数之间是解题的关键． 【9-10】（2025·海南·中考真题）写出一个比大实数：_______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的是估算无理数的大小，熟练掌握其估算方法是解题的关键．根据，可得，因此，即可写出比大的实数． 【解答】解：， ， ， 比大的实数可以是：， 故答案为：（答案不唯一）． 【9-11】（2025·重庆·中考真题）若为正整数，且满足，则__________． 【答案】 【分析】本题考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键．先估算的取值范围，得出，又因为n为正整数，且满足，即可得出． 【解答】解：∵， ∴， ∴， ∵为正整数，且满足， ∴， 故答案为：． 【9-12】（2025·陕西·中考真题）满足的整数可以是______（写出一个符合题意的数即可）． 【答案】3（答案不唯一） 【分析】本题考查了无理数的估算，先整理得，结合，即可作答． 【解答】解：∵， ∴， ∵， ∴整数可以是， 故答案为：3（答案不唯一） 【9-13】（2023·湖北武汉·中考真题）写出一个小于4的正无理数是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据无理数估算的方法求解即可． 【解答】解：∵， ∴． 故答案为：（答案不唯一）． 【点评】本题主要考查了无理数的估算，准确计算是解题的关键． 【9-14】（2023·内蒙古·中考真题）若为两个连续整数，且，则 ． 【答案】3 【分析】根据夹逼法求解即可． 【解答】解：∵，即， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3． 【点评】题目主要考查无理数的估算，熟练掌握估算方法是解题关键． 【题型10】实数的运算及应用 【10-1】（2023·湖北宜昌·中考真题）下列运算正确的个数是（   ）． ①；②；③；④． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据，，、，进行逐一计算即可． 【解答】解：①，，故此项正确； ②，，故此项正确； ③，此项正确； ④，故此项正确； 正确的个数是个． 故选：A． 【点评】本题考查了实数的运算，掌握相关的公式是解题的关键． 【10-2】（2025·浙江·中考真题） ________． 【答案】2 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，掌握立方根的定义是解题的关键． 分别计算绝对值和立方根，再进行加法计算即可． 【解答】解：， 故答案为：2． 【10-3】（2024·重庆·中考真题）计算：______． 【答案】 【分析】本题考查了零指数幂和负整数指数幂的运算法则，根据零指数幂和负整数指数幂即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【解答】解：， 故答案为：． 【10-4】（2023·山东烟台·中考真题）如图，利用课本上的计算器进行计算，其按键顺序及结果如下：    ①按键的结果为4； ②按键的结果为8； ③按键的结果为； ④按键的结果为25． 以上说法正确的序号是 ． 【答案】①③ 【分析】根据计算器按键，写出式子，进行计算即可． 【解答】解：①按键的结果为；故①正确，符合题意； ②按键的结果为；故②不正确，不符合题意； ③按键的结果为；故③正确，符合题意； ④按键的结果为；故④不正确，不符合题意； 综上：正确的有①③． 故答案为：①③． 【点评】本题主要考查了科学计算器是使用，解题的关键是熟练掌握和了解科学计算器各个按键的含义． 【10-5】（2025·江苏苏州·中考真题）计算：． 【答案】10 【分析】本题考查实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．先去绝对值，进行乘方和开方运算，再进行加减运算即可． 【解答】解：原式． 【10-6】（2025·湖南长沙·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及了零指数幂、负整数指数幂，注意计算的准确性即可． 【解答】解：原式 【10-7】（2025·河北·中考真题）（1）一道习题及其错误的解答过程如下：请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程． 计算：． 解： 第一步 第二步 ．第三步 （2）计算： 【答案】（1）原计算第一步开始出错；；（2） 【分析】本题考查了有理数混合运算，实数的混合运算，掌握运算法则是解题的关键； （1）第一步计算分配律时符号出错； （2）按照实数的混合运算法则进行，先计算括号里面的，再从左到右依次计算乘除． 【解答】解：（1）原计算第一步开始出错； ； （2） 【10-8】（2024·浙江·中考真题）计算： 【答案】7 【分析】此题考查了负整数指数幂，立方根和绝对值，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算负整数指数幂，立方根和绝对值，然后计算加减． 【解答】 ． 【10-9】（2024·湖北·中考真题） 计算： 【答案】3 【分析】本题主要考查了实数混合运算，根据零指数幂运算法则，算术平方根定义，进行计算即可． 【解答】解： ． 【10-10】（2024·广东·中考真题）计算：． 【答案】2 【分析】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，先计算零指数幂，负整数指数幂和算术平方根，再计算乘法，最后计算加减法即可． 【解答】解： ． 【10-11】（2024·陕西·中考真题） 计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算．根据算术平方根、零次幂、有理数的乘法运算法则计算即可求解． 【解答】解： ． 【题型11】含特殊三角函数值的实数混合运算 【11-1】（2025·广东·中考真题）计算的结果是_____． 【答案】0 【分析】本题考查了特殊角三角函数值以及零指数幂，熟练记忆特殊角的三角函数值是解题的关键． 分别计算零指数幂以及代入特殊角的三角函数值计算即可． 【解答】解： ， 故答案为：0． 【11-2】（2025·西藏·中考真题）计算：． 【答案】1 【分析】本题主要考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，零次幂，平方根等，解题的关键是熟练掌握各运算法则．利用特殊角的三角函数值，零次幂，平方根的运算法则进行计算即可． 【解答】解： ． 【11-3】（2025·湖南·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了求特殊角三角函数值，零指数幂，先计算特殊角三角函数值，再计算零指数幂和绝对值，最后计算加减法即可得到答案． 【解答】解： ． 【11-4】（2024·湖南·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】题目主要考查实数的混合运算，特殊角的三角函数、零次幂的运算等，先化简绝对值、零次幂及特殊角的三角函数、算术平方根，然后计算加减法即可，熟练掌握各个运算法则是解题关键． 【解答】解： ． 【11-5】（2024·云南·中考真题） 计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，掌握零指数幂，负整指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的性质，绝对值化简是解题的关键．根据相关运算法则分别进行计算，再进行加减运算，即可解题． 【解答】解：， ， ． 【11-6】（2024·山东济南·中考真题）计算：． 【答案】6 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂的性质是解题的关键． 根据负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂的性质进行化简，然后根据实数运算法则进行计算即可 【解答】解：原式． 【题型12】实数运算中的非负性问题 【12-1】（2025·四川凉山·中考真题）若，则的平方根是（   ） A．8 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查非负性，解二元一次方程组，求一个数的平方根，利用二次根式的性质进行化简，先根据非负性，得到关于的二元一次方程组，两个方程相减后求出的值，再根据平方根的定义，进行求解即可．熟练掌握非负性，平方根的定义，是解题的关键． 【解答】解：∵， ∴， ，得：， ∴的平方根是； 故选：C． 【12-2】（2023·山东·中考真题）的三边长a，b，c满足，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】由等式可分别得到关于a、b、c的等式，从而分别计算得到a、b、c的值，再由的关系，可推导得到为直角三角形． 【解答】解∵ 又∵ ∴， ∴ 解得 ， ∴，且， ∴为等腰直角三角形， 故选：D． 【点评】本题考查了非负性和勾股定理逆定理的知识，求解的关键是熟练掌握非负数的和为0，每一个非负数均为0，和勾股定理逆定理． 【12-3】（2025·重庆·中考真题）若实数x，y同时满足，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的非负性，解一元一次方程，负整数指数幂，根据绝对值的非负性，得到，，进而得到，进而得到关于的一元一次方程，求出的值，进而求出的值，再根据负整数指数幂的法则，进行计算即可． 【解答】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， 当时，方程无解， 当时，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【12-4】（2024·四川成都·中考真题）若，为实数，且，则的值为______． 【答案】1 【分析】本题考查非负数的性质，根据平方式和算术平方数的非负数求得m、n值，进而代值求解即可． 【解答】解：∵， ∴，， 解得，， ∴， 故答案为：1． 【12-5】（2023·湖北荆州·中考真题）若，则 ． 【答案】 【分析】根据绝对值的非负性，平方的非负性求得的值进而求得的算术平方根即可求解． 【解答】解：∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了求一个数的算术平方根，熟练掌握绝对值的非负性，平方的非负性求得的值是解题的关键． 【12-6】（2023·湖南·中考真题）已知实数a，b满足，则 ． 【答案】 【分析】由非负数的性质可得且，求解a，b的值，再代入计算即可． 【解答】解：∵， ∴且， 解得：，； ∴； 故答案为：． 【点评】本题考查的是绝对值的非负性，偶次方的非负性的应用，负整数指数幂的含义，理解非负数的性质，熟记负整数指数幂的含义是解本题的关键． 【题型13】实数运算中的规律和新定义问题 【13-1】（2025·重庆·中考真题）按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有8个圆点，第③个图中有12个圆点，第④个图中有16个圆点……按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是（ ） A. 32 B. 28 C. 24 D. 20 【答案】C 【分析】本题属于规律猜想题型的图形变化类，第①个图案中有4个黑色圆点，第②个图案中有8个黑色圆点，第③个图案中有12个黑色圆点，则可以总结出第n个图形中黑色圆点的个数，代入计算即可．解题的关键是通过图形的变化得出图形中圆点个数的数字变化规律． 【解答】解：第①个图案中有4个黑色圆点， 第②个图案中有8个黑色圆点， 第③个图案中有12个黑色圆点， 第④个图案中有16个黑色圆点， 则第个图案中有个黑色圆点， 所以第⑥个图中圆点的个数是个， 故选：C． 【13-2】（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，用棋子摆出一组形如正方形的图形，按照这种方法摆下去，摆第5个图形需要棋子（ ） A. 16枚 B. 20枚 C. 24枚 D. 25枚 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，观察前3个图形可知每个图形需要的棋子数为序号的4倍，据此规律求解即可． 【解答】解：第1个图形需要枚棋子， 第2个图形需要枚棋子， 第3个图形需要枚棋子， ……， 以此类推，可知第5个图形需要枚棋子， 故选：B． 【13-3】（2024·重庆·中考真题）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，……按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（ ） A. 20 B. 22 C. 24 D. 26 【答案】B 【分析】本题考查数字的变化类，根据图形，可归纳出规律表达式的特点，再解答即可． 【解答】解：由图可得， 第1种如图①有4个氢原子，即 第2种如图②有6个氢原子，即 第3种如图③有8个氢原子，即 ， 第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：； 故选：B． 【13-4】（2025·青海·中考真题）下图是谢尔宾斯基地毯图案的形成过程．按此规律下去，第⑥个图形中黑色三角形的个数是__________． 【答案】或243（两个答案均可得分） 【分析】本题考查了图形的变化类问题，找到图形的变化规律，即可得出答案． 【解答】解：∵第1个图案中有个， 第2个图案中有个， 第3个图案中有个， 第4个图案中有个， …， 按此规律，第⑥个图案中有个涂有阴影的三角形． 故答案为：或243． 【13-5】（2025·安徽·中考真题）对于正整数n，根据n除以3的余数，分以下三种情况得到另一个正整数m：若余数为0．则；若余数为1，则；若余数为2，则．这种得到m的过程称为对n进行一次“变换”．对所得的数m再进行一次变换称为对n进行二次变换，依此类推．例如，正整数，根据4除以3的余数为1，由知，对4进行一次变换得到的数为8；根据8除以3的余数为2，由知，对4进行二次变换得到的数为9；根据9除以3的余数为0，由知，对4进行三次变换得到的数为3． （1）对正整数15进行三次变换，得到的数为________； （2）若对正整数n进行二次变换得到的数为1，则所有满足条件的n的值之和为________． 【答案】 ①. 2 ②. 11 【分析】本题主要考查了新定义，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据15除以3的余数为0可得第一次变换后的数为5，再根据5除以3的余数为2可得第二次变换后的数，同理可得第三次变换后的数； （2）第二次变换后的结果为1，那么第一次变换后的结果为3或或，再验证这三个数是否可经过变换后得1即可确定第一次变换后得到的数，据此根据第一次变换得到的数可推出n的三个值，再同理可验证符合题意的n，据此可得答案． 【解答】解；（1）∵， ∴15进行一次变换后得到的数为； ∵， ∴15进行二次变换后得到的数为； ∵， ∴15进行三次变换后得到的数为2， 故答案为：2； （2）当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为0时，则第一次变换后的数为，此时符合题意； 当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为1时，则第一次变换后的数为，此时不符合题意； 当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为2时，则第一次变换后的数为，此时不符合题意； 综上所述，第一次变换后所得的数为3， 当n除以3的余数为0时，则，符合题意； 当n除以3的余数为1时，则，不符合题意； 当n除以3的余数为2时，则，符合题意； ∴符合题意的n的值是9或2， ∴所有满足条件的n的值之和为， 故答案为；11． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专训01 实数及其运算 （核心考点常考题型专项训练） 【核心考点常考题型梳理及命题猜押趋势】 【考点01】正数和负数的意义（★） 【考点02】有理数的概念及大小比较（★） 【考点03】相反数、绝对值、倒数的求值（★★★） 【考点04】与数轴有关的求解（★★★） 【考点05】有理数的运算及应用（★★） 【考点06】科学记数法表示较大的数或较小的数（★★★★） 【考点07】平方根、算术平方根、立方根的计算（★） 【考点08】实数的分类及大小比较（★★） 【考点09】无理数的概念及估算（★★） 【考点10】实数的运算及应用（★★★） 【考点11】含特殊三角函数值的实数混合运算（★★★） 【考点12】实数运算中的非负性问题（★） 【考点13】实数运算中的规律和新定义问题（★） 【题型01】正数和负数的意义 【1-1】（2025·四川德阳·中考真题）下列数是正数的是（   ） A．1 B．0 C． D． 【1-2】（2025·吉林长春·中考真题）中国是最早使用正、负数表示具有相反意义的量的国家．如果水位下降记作，那么水位上升记作（ ） A． B． C． D． 【1-3】（2025·湖南长沙·中考真题）在实际生活中，常用正数、负数表示具有相反意义的量．如果把向东走80米记作米，那么向西走60米记作（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【1-4】（2025·广东·中考真题）某品牌乒乓球产品质量参数是，如果一只乒乓球的质量高于标准质量记作，那么低于标准质量记作（ ） A. B. C. D. 【1-5】（2024·江苏南京·中考真题）下列四个数中，是负数的是（   ） A． B． C． D． 【1-6】（2023·四川雅安·中考真题）在0，，，2四个数中，负数是（   ） A．0 B． C． D．2 【1-7】（2023·湖南永州·中考真题）我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”、如：粮库把运进30吨粮食记为“”，则“”表示（   ） A．运出30吨粮食 B．亏损30吨粮食 C．卖掉30吨粮食 D．吃掉30吨粮食 【1-8】（2025·福建·中考真题）为响应“体重管理年”有关倡议，小敏对自己的体重进行了跟踪统计．为方便记录，他将体重增加记作，那么体重减少应记作 ． 【1-9】（2024·江苏连云港·中考真题）如果公元前121年记作年，那么公元后2024年应记作 年． 【题型02】有理数的概念及大小比较 【2-1】（2025·江苏苏州·中考真题）下列实数中，比2小的数是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 【2-2】（2025·安徽·中考真题）在，0，2，5这四个数中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. 2 D. 5 【2-3】（2025·山西·中考真题）下列各数中比小的数是（ ） A. B. C. D. 【2-4】（2025·江西·中考真题）在1个标准大气压下，四种晶体的熔点如下表所示，则熔点最高的是（ ） 晶体 固态氢 固态氧 固态氮 固态酒精 熔点（单位：） A. 固态氢 B. 固态氧 C. 固态氮 D. 固态酒精 【2-5】（2024·重庆·中考真题）下列四个数中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. 3 D. 【2-6】（2024·新疆·中考真题）下列实数中，比0小的数是（ ） A. B. 0.2 C. D. 1 【2-7】（2024·浙江·中考真题） 以下四个城市中某天中午12时气温最低的城市是（ ） 北京 济南 太原 郑州 A. 北京 B. 济南 C. 太原 D. 郑州 【2-8】（2024·广西·中考真题） 下列选项记录了我国四个直辖市某年一月份的平均气温，其中气温最低的是（ ） A. B. C. D. 【2-9】（2024·辽宁·中考真题）亚洲、欧洲、非洲和南美洲的最低海拔如下表： 大洲 亚洲 欧洲 非洲 南美洲 最低海拔 其中最低海拔最小的大洲是（ ） A. 亚洲 B. 欧洲 C. 非洲 D. 南美洲 【2-10】（2024·河北·中考真题） 如图显示了某地连续5天的日最低气温，则能表示这5天日最低气温变化情况的是（ ） A. B. C. D. 【2-11】（2024·湖北·中考真题）写一个比大的数______． 【2-12】（2024·江苏南京·中考真题）比较大小：____（填“”“”或“”） 【2-13】（2023·湖南永州·中考真题），3，三个数中最小的数为 ． 【题型03】相反数、绝对值、倒数的求值 【3-1】（2025·浙江·中考真题）的相反数是（   ） A． B． C． D． 【3-2】（2025·新疆·中考真题）的相反数是（ ） A. B. C. D. 2 【3-3】（2025·青海·中考真题）-（-2）的值为（ ） A. B. 2 C. D. 【3-4】（2025·江苏连云港·中考真题）的绝对值是（   ） A．5 B． C． D． 【3-5】（2025·西藏·中考真题） 18的绝对值是（ ） A. 18 B. C. D. 【3-6】（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题） 的倒数是（ ） A. B. C. D. 2 【3-7】（2025·山东烟台·中考真题）的倒数是（   ） A．3 B． C．-3 D． 【3-8】（2024·陕西·中考真题）-3的倒数是（ ） A. B. C. D. 【3-9】（2024·宁夏·中考真题）已知，则的取值范围在数轴上表示正确的是（　　 ） A. B. C. D. 【3-10】（2023·吉林长春·中考真题）实数、、、伍数轴上对应点位置如图所示，这四个数中绝对值最小的是（   ）    A． B． C． D． 【3-11】（2024·湖南·中考真题） 计算：________． 【3-12】（2024·江苏南京·中考真题） 如果实数满足___________，那么互为相反数． 【题型04】与数轴有关的求解 【4-1】（2025·山东·中考真题）如图，数轴上表示的点是（   ） A．M B．N C．P D．Q 【4-2】（2025·吉林·中考真题）如图，点A表示的数是1．若将点A向左移动3个单位长度得到点，则点表示的数为（   ） A． B． C．2 D．4 【4-3】（2025·宁夏·中考真题）如图，数轴上点表示的数可能是（ ） A. B. C. D. 1 【4-4】（2025·湖北·中考真题）数轴上表示数的点如图所示，下列判断正确的是（  ） A． B． C． D． 【4-5】（2025·北京·中考真题）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【4-6】（2024·河南·中考真题）如图，数轴上点P表示的数是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【4-7】（2024·北京·中考真题）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【4-8】（2023·湖北恩施·中考真题）如图，数轴上点A所表示的数的相反数是（ ） A．9 B． C． D． 【4-9】（2023·江苏徐州·中考真题）如图，数轴上点分别对应实数，下列各式的值最小的是（   ）        A． B． C． D． 【4-10】（2023·山东·中考真题）实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（   ）    A． B． C． D． 【4-11】（2023·浙江杭州·中考真题）已知数轴上的点分别表示数，其中，．若，数在数轴上用点表示，则点在数轴上的位置可能是（   ） A．   B．   C．   D．   【4-12】（2025·青海·中考真题）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则______．（填“”“”或“”） 【4-13】（2025·四川遂宁·中考真题）实数m在数轴上对应点的位置如图所示，则 0． （填“>”“=”或“<”） 【4-14】（2023·湖南·中考真题）数轴上到原点的距离小于的点所表示的整数有 ．（写出一个即可） 【题型05】有理数的运算及应用 【5-1】（2025·陕西·中考真题） 计算：（ ） A. 1 B. C. 9 D. 【5-2】（2025·天津·中考真题）计算的结果等于（ ） A. B. 3 C. D. 【5-3】（2025·四川成都·中考真题）如果某天中午的气温是，傍晚比中午下降了，那么傍晚的气温是（ ） A. B. C. D. 【5-4】（2025·河北·中考真题）从上升了后的温度，在温度计上显示正确的是（ ） A. B. C. D. 【5-5】（2025·湖南长沙·中考真题）中国式现代化取得了彪炳史册的伟大成就，极大地提升了我国的综合国力与国际影响力．据世界银行公布的2024年各国GDP数据，可知2024年中国GDP总量为万亿美元． 附：世界银行公布的2024年GDP排名前20名的部分国家数据表 国家 GDP总量（单位：万亿美元） 国家 GDP总量（单位：万亿美元） 德国 4.59 巴西 2.33 印度 3.93 俄罗斯 2.05 英国 3.49 韩国 1.76 法国 3.13 瑞士 0.93 预计2025年中国GDP总量的增长率为左右，请你根据以上信息估算： 2025年中国GDP的增长量与下列哪个国家2024年GDP总量最接近？（ ） A. 法国 B. 瑞士 C. 巴西 D. 英国 【5-6】（2024·天津·中考真题）计算3-（-3）的结果是（ ） A. 6 B. 3 C. 0 D. －6 【5-7】（2024·吉林·中考真题）若的运算结果为正数，则内的数字可以为（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 【5-8】（2024·湖南长沙·中考真题）“玉兔号”是我国首辆月球车，它和着陆器共同组成“嫦娥三号”探测器．“玉兔号”月球车能够耐受月球表面的最低温度是、最高温度是，则它能够耐受的温差是（ ） A. B. C. D. 【5-9】（2023·山东临沂·中考真题）计算的结果是（   ） A． B．12 C． D．2 【5-10】（2023·山西·中考真题）计算的结果为（   ）． A．3 B． C． D． 【5-11】（2023·浙江杭州·中考真题）（   ） A．0 B．2 C．4 D．8 【5-12】（2023·湖南常德·中考真题）下面算法正确的是(   ) A． B． C． D． 【5-13】（2025·安徽·中考真题）计算：________． 【5-14】（2024·江西·中考真题） 计算：____． 【5-15】（2024·陕西·中考真题）小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将0，，，1，2这五个数分别填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数可以是________．（写出一个符合题意的数即可） 【5-16】（2024·北京·中考真题）联欢会有A，B，C，D四个节目需要彩排.所有演员到场后节目彩排开始。一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始.每个节目的演员人数和彩排时长（单位：min）如下： 节目 A B C D 演员人数 10 2 10 1 彩排时长 30 10 20 10 已知每位演员只参演一个节目.一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）。 若节目按“”的先后顺序彩排，则节目D的演员的候场时间为________min； 若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按___________的先后顺序彩排 【5-17】（2023·山东滨州·中考真题）计算的结果为 ． 【5-18】（2024·广西·中考真题）计算： 【题型06】科学记数法表示较大的数或较小的数 【6-1】（2025·安徽·中考真题）安徽省2025年第一季度工业用电量为521.7亿千瓦时，其中521.7亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【6-2】（2025·湖南长沙·中考真题）人类探索浩瀚宇宙的步伐从未停止，天文学家已经探明一年之中地球与太阳之间的距离随时间变化而变化，地球与太阳之间的平均距离约为，用科学记数法将数据表示为（ ） A. B. C. D. 【6-3】（2025·重庆·中考真题）下列四个数中，最大的是（ ） A. B. C. D. 【6-4】（2025·北京·中考真题）2025年5月29日，行星探测工程天问二号探测器在西昌卫星发射中心成功发射，开启对近地小行星2016HO3的探测与采样返回之旅．已知该小行星与地球的最近距离约为月球远地点距离的45倍，月球远地点距离约为，则该小行星与地球的最近距离约为（ ） A. B. C. D. 【6-5】（2025·河南·中考真题）通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有，比蜗牛爬行的速度还慢．数据“”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【6-6】（2025·山东威海·中考真题）据央视网2025年4月19日消息，复旦大学集成芯片与系统全国重点实验室、片与系统前沿技术研究院科研团队成功研制出半导体电荷存储器“破哓”．“破晓”存储器擦写速度提升至400皮秒实现一次擦或者写．一皮秒仅相当于一万亿分之一秒．400皮秒用科学记数法表示为（　　 ） A．秒 B．秒 C．秒 D．秒 【6-7】（2024·江苏南京·中考真题）水由氢、氧两种元素组成．一个水分子包含两个氢原子和一个氧原子．一个氢原子的质量约为，一个氧原子的质量约为，一个水分子的质量大约是（ ） A. B. C. D. 【6-8】（2024·北京·中考真题）为助力数字经济发展，北京积极推进多个公共算力中心的建设.北京数字经济算力中心日前已部署上架和调试的设备的算力为Flops（Flops是计算机系统算力的一种度量单位），整体投产后，累计实现的算力将是日前已部署上架和调试的设备的算力的5倍，达到Flops，则的值为（ ） A. B. C. D. 【6-9】（2025·上海·中考真题）据报道，我国某科研团队近期成功研制出一种新闪存器件，其快速擦写速度全球领先．已知一皮秒等于秒，该器件执行一次擦写需要400皮秒，则该器件一秒可以擦写______次（科学记数法表示）． 【6-10】（2024·宁夏·中考真题）地球上水（包括大气水，地表水和地下水）的总体积约为亿．请将数据用科学记数法表示为___________． 【6-11】（2024·上海·中考真题）科学家研发了一种新的蓝光唱片，一张蓝光唱片的容量约为，一张普通唱片的容量约为25，则蓝光唱片的容量是普通唱片的________倍． （用科学记数法表示） 【题型07】平方根、算术平方根、立方根的计算 【7-1】（2023·江苏无锡·中考真题）实数9的算术平方根是（   ） A．3 B． C． D． 【7-2】（2023·山东·中考真题）面积为9的正方形，其边长等于（　 　） A．9的平方根 B．9的算术平方根 C．9的立方根 D．5的算术平方根 【7-3】（2025·青海·中考真题）的算术平方根是______． 【7-4】（2025·宁夏·中考真题）计算：___． 【7-5】（2025·吉林长春·中考真题）8的立方根是 ． 【7-6】（2024·青海·中考真题）的立方根是__________． 【7-7】（2023·山东滨州·中考真题）一块面积为的正方形桌布，其边长为 ． 【题型08】实数的分类及大小比较 【8-1】（2025·福建·中考真题）下列实数中，最小的数是（   ） A． B．0 C． D．2 【8-2】（2025·湖南·中考真题）下列四个数中，最大的数是（ ） A. B. C. 0 D. 【8-3】（2023·湖北恩施·中考真题）下列实数：，0，，，其中最小的是（　　） A． B．0 C． D． 【8-4】（2023·山东临沂·中考真题）在实数中，若，则下列结论：①，②，③，④，正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【8-5】（2025·贵州·中考真题）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则与的大小关系是______b．（填“”“”或“”） 【8-6】（2024·山西·中考真题）比较大小： _____2（填“”、“”或“”）． 【8-7】（2024·安徽·中考真题）我国古代数学家张衡将圆周率取值为，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为．比较大小：______（填“>”或“<”）． 【8-8】（2024·广西·中考真题） 写一个比大的整数是__________． 【8-9】（2023·四川巴中·中考真题）在四个数中，最小的实数是 ． 【题型09】无理数的概念及估算 【9-1】（2025·江西·中考真题）下列各数中，是无理数的是（   ） A．0 B． C．3.14 D． 【9-2】（2025·天津·中考真题）估计的值在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【9-3】（2025·江苏扬州·中考真题）如图，数轴上点表示的数可能是（   ） A． B． C． D． 【9-4】（2024·宁夏·中考真题）下列各数中，无理数是（　　 ） A. B. C. D. 【9-5】（2024·宁夏·中考真题）估计的值在（ ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 【9-6】（2024·天津·中考真题）估计的值在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【9-7】（2023·山东·中考真题）实数中无理数是（  ） A． B．0 C． D．1.5 【9-8】（2023·四川巴中·中考真题）下列各数为无理数的是（   ） A．0.618 B． C． D． 【9-9】（2023·内蒙古赤峰·中考真题）如图，数轴上表示实数的点可能是(   )    A．点P B．点Q C．点R D．点S 【9-10】（2025·海南·中考真题）写出一个比大实数：_______． 【9-11】（2025·重庆·中考真题）若为正整数，且满足，则__________． 【9-12】（2025·陕西·中考真题）满足的整数可以是______（写出一个符合题意的数即可）． 【9-13】（2023·湖北武汉·中考真题）写出一个小于4的正无理数是 ． 【9-14】（2023·内蒙古·中考真题）若为两个连续整数，且，则 ． 【题型10】实数的运算及应用 【10-1】（2023·湖北宜昌·中考真题）下列运算正确的个数是（   ）． ①；②；③；④． A．4 B．3 C．2 D．1 【10-2】（2025·浙江·中考真题） ________． 【10-3】（2024·重庆·中考真题）计算：______． 【10-4】（2023·山东烟台·中考真题）如图，利用课本上的计算器进行计算，其按键顺序及结果如下：    ①按键的结果为4； ②按键的结果为8； ③按键的结果为； ④按键的结果为25． 以上说法正确的序号是 ． 【10-5】（2025·江苏苏州·中考真题）计算：． 【10-6】（2025·湖南长沙·中考真题）计算：． 【10-7】（2025·河北·中考真题）（1）一道习题及其错误的解答过程如下：请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程． 计算：． 解： 第一步 第二步 ．第三步 （2）计算： 【10-8】（2024·浙江·中考真题）计算： 【10-9】（2024·湖北·中考真题） 计算： 【10-10】（2024·广东·中考真题）计算：． 【10-11】（2024·陕西·中考真题） 计算：． 【题型11】含特殊三角函数值的实数混合运算 【11-1】（2025·广东·中考真题）计算的结果是_____． 【11-2】（2025·西藏·中考真题）计算：． 【11-3】（2025·湖南·中考真题）计算：． 【11-4】（2024·湖南·中考真题）计算：． 【11-5】（2024·云南·中考真题） 计算：． 【11-6】（2024·山东济南·中考真题）计算：． 【题型12】实数运算中的非负性问题 【12-1】（2025·四川凉山·中考真题）若，则的平方根是（   ） A．8 B． C． D． 【12-2】（2023·山东·中考真题）的三边长a，b，c满足，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 【12-3】（2025·重庆·中考真题）若实数x，y同时满足，，则的值为 ． 【12-4】（2024·四川成都·中考真题）若，为实数，且，则的值为______． 【12-5】（2023·湖北荆州·中考真题）若，则 ． 【12-6】（2023·湖南·中考真题）已知实数a，b满足，则 ． 【题型13】实数运算中的规律和新定义问题 【13-1】（2025·重庆·中考真题）按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有8个圆点，第③个图中有12个圆点，第④个图中有16个圆点……按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是（ ） A. 32 B. 28 C. 24 D. 20 【13-2】（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，用棋子摆出一组形如正方形的图形，按照这种方法摆下去，摆第5个图形需要棋子（ ） A. 16枚 B. 20枚 C. 24枚 D. 25枚 【13-3】（2024·重庆·中考真题）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，……按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（ ） A. 20 B. 22 C. 24 D. 26 【13-4】（2025·青海·中考真题）下图是谢尔宾斯基地毯图案的形成过程．按此规律下去，第⑥个图形中黑色三角形的个数是__________． 【13-5】（2025·安徽·中考真题）对于正整数n，根据n除以3的余数，分以下三种情况得到另一个正整数m：若余数为0．则；若余数为1，则；若余数为2，则．这种得到m的过程称为对n进行一次“变换”．对所得的数m再进行一次变换称为对n进行二次变换，依此类推．例如，正整数，根据4除以3的余数为1，由知，对4进行一次变换得到的数为8；根据8除以3的余数为2，由知，对4进行二次变换得到的数为9；根据9除以3的余数为0，由知，对4进行三次变换得到的数为3． （1）对正整数15进行三次变换，得到的数为________； （2）若对正整数n进行二次变换得到的数为1，则所有满足条件的n的值之和为________． 学科网（北京）股份有限公司 $