专题3.1 条件概率与事件的独立性（高效培优讲义）高二数学湘教版选择性必修第二册

专题3.1 条件概率与事件的独立性 教学目标 1.结合古典概型，理解条件概率的定义，掌握条件概率公式 P(A∣B)=（P(B)>0），能运用公式解决简单条件概率问题。 2. 理解事件独立性的概念，掌握独立性的判定方法（P(AB)=P(A)P(B) 或 P(A∣B)=P(A) 且 P(B∣A)=P(B)），能利用独立性计算事件概率。 3.掌握乘法公式、全概率公式的推导与应用，初步了解贝叶斯公式的内涵，构建概率知识体系。 教学重难点 1.重点： （1）条件概率的定义、公式及核心应用，结合古典概型理解条件概率的本质。 （2）事件独立性的概念、判定准则及概率计算，区分独立事件与互斥事件。 （3）乘法公式、全概率公式的推导与实际应用，搭建条件概率与多步随机事件的计算桥梁。 2.难点： （1）条件概率的本质理解：区分 “事件B发生后A发生的概率” 与 “A、B同时发生的概率”，避免概念混淆。 （2）事件独立性的灵活判定：在复杂情境中准确判断事件独立性，区分独立性与互斥性的差异（互斥不一定独立，独立不一定互斥）。 （3）全概率公式与贝叶斯公式的应用场景：合理划分完备事件组，解决多阶段、多因素的概率问题，理解 “由果索因” 的逆向思维。 （4）从实际问题中抽象概率模型：准确识别样本空间、事件关系，将生活语言转化为数学语言。 知识点01 条件概率 1.定义：如果事件 A，B 是两个随机事件，且 P (A) > 0，则在事件 A 发生的条件下事件 B 发生的概率叫作条件概率，记为P (B|A)。 2.计算公式：在事件 A 发生的条件下事件 B 发生的概率为： 3.样本点计算法：在事件 A 发生的条件下事件 B 发生的概率为其中n(A),n(AB)分别表示A、AB中的样本点个数. 【即学即练】 （24-25高二下·全国·课后作业）一盒子中装有只产品，其中有只一等品、只二等品．从中任取产品两次，每次取只，不放回．事件表示“第一次取到的是一等品”，事件表示“第二次取到的是一等品”，试用两种方法求． 知识点02 事件的独立性 1.两个事件独立：P(AB)=P(A)P(B)等价形式（当P(A)>0,P(B)>0时）：P(B∣A)=P(B),P(A∣B)=P(A) 2.三个事件独立：设A,B,C是三个随机事件，若同时满足： （1）两两独立：P(AB)=P(A)P(B), P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C) （2）三三独立：P(ABC)=P(A)P(B)P(C)，则称A,B,C 相互独立。 注意：两两独立 ≠ 相互独立，必须同时满足 “两两独立” 和 “三三独立”。 3.n 个事件：当n(n>2）个事件A1​,A2​,…,An是n(n>2）相互独立时，则有 但上式并不意味着A1​,A2​,…,An是n(n>2）相互独立！ 【即学即练】 （24-25高二上·上海长宁·期末）有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中有放回的随机取两次，每次取1个球. (1)写出这个试验的样本空间Ω； (2)事件A表示“第一次取出的球的数字是1”，事件B表示“两次取出的球的数字之和是5”.判断事件A和事件B是否相互独立，并说明理由. 知识点03 乘法公式 1.对于事件A，B,P（AB）=P(A)P(B|A) （1） 2.若P(B)>0， （2） 3.概率的乘法公式： 4.相互独立事件是概率乘法公式： 【即学即练】 （2022高二下·河南南阳·专题练习）4个射手独立地进行射击，设每人中靶的概率都是0.9.求下列各事件的概率 (1)4人都中靶； (2)4人都不中靶. (3)4人中至少2人中靶. 知识点04 全概率公式 1.概率计算常用公式： 2.全概率公式： 【即学即练】 （24-25高二上·宁夏固原·期末）甲箱的产品中有6个正品和2个次品，乙箱的产品中有5个正品和2个次品. (1)从甲､乙箱中各随机取出1个产品，求其中至少有1个次品的概率； (2)若先从甲箱中任取2个产品放入乙箱，再从乙箱中任取1个产品，求取出的这个产品是正品的概率. 知识点05 贝叶斯公式（逆概率公式） 1.贝叶斯公式： 2.贝叶斯公式的推广形式：若 【即学即练】 （24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期末）已知一批产品是由甲、乙、丙三名工人生产的，三人生产的产品分别占总产量的，.已知三人生产产品的次品率分别为. (1)现从这批产品中按等比例分层抽样抽出10件产品，再从这10件产品中不放回地任取两件进行检测，记事件“第一次取出的产品是乙生产的”，“第二次抽出的产品是甲生产的产品”，分别求； (2)现从这批产品中任取一件产品，已知它是次品，求这件产品是由丙生产的概率. 题型01 计算条件概率 【典例1】（25-26高二下·全国·单元测试）某校从学生文艺部6名成员（4男2女）中，挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动． (1)在已知男生甲被选中的条件下，求女生乙被选中的概率； (2)在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率． 【变式1-1】（25-26高二下·全国·课堂例题）高二（1）班共有30名男生，20名女生，其中男生中共有8名共青团员，女生中共有10名共青团员． (1)从该班学生中任意抽取1人，其是女生的概率是多少？ (2)已知抽出的是女同学的条件下，该同学是共青团员的概率又是多少？ 【变式1-2】（25-26高二下·全国·课堂例题）考虑恰有两个小孩的家庭． (1)若已知某家有男孩，求这家有两个男孩的概率； (2)若已知某家第一个是男孩，求这家有两个男孩（相当于第二个也是男孩）的概率（假定生男生女为等可能）． 【变式1-3】（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）一个不透明的盒子中装有个红球和个白球，共个球，它们除了颜色外完全相同.从中随机地连续取两个球，每次取一个球且不放回. (1)求第一次摸出红球的概率； (2)求第一次和第二次都摸出红球的概率； (3)已知第二次摸出的是红球，求第一次摸出白球的概率. 题型02 独立事件的判断 【典例2】（24-25高二下·上海·月考）一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1、2、3，这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机地抽取3次，每次抽取1张. (1)若抽取是放回的，将抽取的卡片上的数字依次记为a、b、c.求“抽取的卡片上的数字a、b、c不完全相同”的概率； (2)若抽取是不放回的，记事件A为第一次取出标记为1的卡片，事件B为第二次取出标记为2的卡片，判断事件A，B是否独立. 【变式2-1】（25-26高二上·浙江温州·期中）已知随机事件，满足，，． (1)判断与是否相互独立，并说明理由； (2)求与都不发生的概率． 【变式2-2】（24-25高二上·云南曲靖·月考）一个袋子中有标号分别为1、2、3、4的4个球，除标号外没有其他差异. (1)若一次摸出两个球，求摸出两球标号互质的概率； (2)若采用不放回方式从中任意摸球两次，每次摸出一个球，设事件“第一次摸出球的标号小于3”，事件“第二次摸出球的标号小于3”，判断事件与事件是否相互独立. 【变式2-3】（24-25高二上·上海·月考）有个相同的球，分别标有数字，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．用表示样本点，其中表示第一次取出球的数字，表示第二次取出球的数字． (1)写出这个试验的样本空间； (2)设事件“第一次取出的球的数字是1”，事件“两次取出的球的数字之和是4”．计算，，并判断事件和事件是否相互独立，并说明理由． 题型03 独立事件的概率计算 【典例3】（24-25高二上·上海·假期作业）掷两颗骰子，试用独立性求： (1)它们的点数都是偶数概率； (2)它们的点数是一奇一偶的概率. 【变式3-1】（23-24高二上·广东深圳·月考）某校园设置了智力答题闯关游戏，每位闯关者共有四次机会，一旦某次答对抽到的题目，则闯关成功，否则就一直抽题、答题到第4次为止.用表示答对题目，用表示没有答对题目，例如事件表示第三次才闯关成功，假设闯关者对抽到不同题目能否答对是独立的且每道题答对的概率都是0.3. (1)在下面的树状图中填写样本点，并写出样本空间； (2)求某闯关者第三次成功闯关的概率. 【变式3-2】（2024高一下·全国·专题练习）作为世界乒坛本赛季收官战，首届世界乒乓球职业大联盟世界杯总决赛年月日在新加坡结束男女单打决赛的较量，国乒包揽双冠成为最大赢家．我市男子乒乓球队为备战下届市运会，在某训练基地进行封闭式训练，甲、乙两位队员进行对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢个球者获胜，通过分析甲、乙过去对抗赛的数据知，甲发球甲赢的概率为，乙发球甲赢的概率为，不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球．求该局打个球甲赢的概率； 【变式3-3】（24-25高二下·上海浦东新·期中）生产零件需要经过两道工序，在第一、二道工序中生产出废品的概率分别为0.01、0.03．生产过程中，第一道工序产生的废品也会投入第二道工序，但是两道工序中有一道产出废品时，成品即判定为废品．已知每道工序生产废品相互独立． (1)求经过两道工序后得到的零件不是废品的概率； (2)现有经过这两道工序生产的1个废品．求生产该件废品的过程中，第二道工序产出废品的概率．（结果写成最简分数） 题型04 独立事件的乘法公式的应用 【典例4】 （25-26高二上·湖北省直辖县级单位·期末）某旅游景区停车场的收费标准为：1小时以内（含）不收费，1小时2小时（含）按5元收费．超出2小时的部分按每小时6元收费（不足1小时的按1小时计算）．现有甲、乙两人临时停车，两人停车都不超过4小时． (1)若甲停车不超过1小时的概率为，超过2小时的概率为，求甲停车1小时以上且不超过2小时的概率； (2)若甲乙两人停车的时长是相互独立的，且每个人停车费为0元、5元、11元的概率分别为，求甲、乙两人停车费之和为22元的概率． 【变式4-1】（23-24高一下·湖南邵阳·期末）已知甲、乙两人独立地破译一份密码，甲破译成功的概率为，甲、乙都破译成功的概率为．求： (1)乙破译密码成功的概率p； (2)恰有1人破译成功的概率； (3)密码破译成功的概率． 【变式4-2】（23-24高二下·贵州毕节·月考）某社区举办“闹元宵，猜灯谜”活动.甲、乙、丙三个家庭同时参加此活动．某一灯谜，已知甲家庭猜对的概率是，甲、丙两个家庭都猜错的概率是，乙、丙两个家庭都猜对的概率是．若各家庭是否猜对互不影响． (1)求乙、丙两个家庭各自猜对此灯谜的概率； (2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭猜对此灯谜的概率． 【变式4-3】（23-24高二上·江西赣州·期末）甲、乙、丙三位同学进行乒乓球比赛，每局比赛两人对战，另一人轮空，没有平局．每局胜者与此局轮空者进行下一局的比赛．约定先赢两局者获胜，比赛随即结束．已知每局比赛甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为． (1)若第一局由乙丙对战，求甲获胜的概率； (2)判断并说明由哪两位同学进行首场对战才能使甲获胜的概率最大． 题型05 利用全概率公式求概率 【典例5】（25-26高二上·吉林长春·期末）现有两张演艺节目单，第一张节目单中有6首歌曲和4个小品，第二张节目单中有5首歌曲和5个小品. (1)若从第1张节目单中依次不放回地随机抽取2个节目，求在第1次抽到歌曲的条件下，第2次抽到歌曲的概率； (2)掷一枚质地均匀的骰子，若点数为1或2，则从第1张节目单中随机抽取1个节目；若点数为3，4，5，6，则从第2张节目单中随机抽取1个节目，求取到歌曲的概率. 【变式5-1】（25-26高三上·四川绵阳·期中）某社区实施垃圾分类投放，居民主要在早、中、晚三个时间段投放垃圾，且早、中、晚三个时间段垃圾投放量占比分别为、、.环保部门监测发现，各时段因监管力度不同，出现垃圾混投情况：在已知垃圾是早上投放的条件下，违规混投的概率为是中午投放的条件下，违规混投的概率为是晚上投放的条件下，违规混投的概率为现随机抽查一袋垃圾，求： (1)这袋垃圾来自中午时段且违规混投的概率; (2)这袋垃圾存在违规混投的概率; (3)若已知该垃圾违规混投，求它来自晚上时段投放的概率. 【变式5-2】（25-26高二下·全国·课后作业）小张从家到公司上班总共有三条路可以走，如图，但是每条路每天拥堵的可能性不太一样，由于远近不同，选择每条路的概率分别为，，，每天上述三条路不拥堵的概率分别为，，． 假设遇到拥堵会迟到，那么： (1)小张从家到公司不迟到的概率是多少？ (2)已知到达公司未迟到，选择道路的概率是多少？ 【变式5-3】（24-25高二下·重庆渝中·月考）某电子设备制造厂所用的元件是由甲、乙、丙三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有下表所示的数据.设这三家制造厂的产品在仓库中是均匀混合的且无区别标志. 元件制造厂 次品率 提供元件的份额 甲 0.02 0.2 乙 0.01 0.7 丙 0.03 0.1 (1)在仓库中随机取一只元件，求它是次品的概率； (2)在仓库中随机地取一只元件，若已知取到的是次品，求该次品是由丙制造厂提供的概率. 题型06 利用贝叶斯公式求概率 【典例6】（25-26高二上·河南南阳·期末）有三个外观相同的箱子，编号分别为1，2，3，其中1号箱装有1个红球和4个白球，2号箱装有2个红球和3个白球，3号箱装有3个红球，这些球除颜色外完全相同． (1)某人先从三个箱子中任取一箱，再从中任意摸出一球，求取到红球的概率； (2)某人先从三个箱子中任取一箱，再从中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自1号箱的概率以及该球取自几号箱的可能性最大． 【变式6-1】（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）2025年11月呼和浩特市有甲､乙､丙三个地区甲流比较严重，这三个地区分别有，，的人是阳性患者，已知这三个地区的人口数之比为，现从这三个地区中任选一人. (1)求这个人是阳性患者的概率； (2)若此人是阳性患者，求此人是选自甲地区的概率. 【变式6-2】（25-26高二下·全国·课堂例题）某工厂有四条流水线生产同一种产品，该四条流水线的产量分别占总产量的15%、20%、30%、35%，又这四条流水线的不合格品率依次为0.05、0.04、0.03及0.02，现在从该厂产品中任取一件，问恰好抽到不合格品的概率为多少？该不合格品是由第四条流水线上生产的概率为多少？ 【变式6-3】（24-25高二下·广东广州·期末）有3台车床加工同一型号的零件，第台车床加工的次品率分别为加工出来的零件混放在一起.已知第台车床加工的零件数分别占总数的 (1)任取一个零件，计算它是次品的概率； (2)如果取到的零件是次品，试问该次品来自第几台车床的概率最大？ 一、单选题 1．（25-26高二下·全国·课后作业）若，则为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·湖南湘潭·期末）若事件相互独立，，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·全国·课堂例题）某班学生的考试成绩中，数学不及格的占，语文不及格的占，两门都不及格的占，已知一学生数学不及格，则他的语文也不及格的概率是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·广西桂林·期末）学校举行羽毛球、乒乓球和跳绳三项比赛，学生甲只能参加其中一项比赛，他参加羽毛球、乒乓球和跳绳比赛的概率分别为0.4、0.3、0.3，若他在羽毛球、乒乓球和跳绳比赛中获得冠军的概率分别为0.6、0.4、0.5，则该生获得冠军的概率为（   ） A．0.67 B．0.58 C．0.51 D．0.37 5．（25-26高二下·全国·课堂例题）质量调查发现，某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如下表： 品牌 甲 乙 其他 市场占有率 50% 30% 20% 优质率 95% 90% 70% 在该市场中任意购买一部智能手机，则买到的是优质品的概率为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·山东东营·一模）在2025年10月19日举行的黄河口马拉松比赛活动中，甲、乙、丙、丁四位志愿者被派往A、B、C三个服务站，若每个服务站至少派一位志愿者，且每位志愿者只能被派往一个服务站，则在甲被派去B服务站的条件下，甲、乙被派去同一个服务站的概率为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·江西赣州·开学考试）2023年12月30日，在江西省第四届县域社会足球赛（江西“县超”）总决赛上，上犹县队战胜南昌县队，成功捧起冠军奖杯体育赛事的持续火爆，带动了县域特色产业发展，“跟着赛事游上犹”成为响亮名片．根据以往的数据统计，甲球员能够胜任前锋、中锋和后卫三个位置，且出场率分别为0.2，0.5，0.3，当甲球员担当前锋、中锋以及后卫时，球队输球的概率依次为0.4，0.2，0.8．请问当甲球员参加比赛时，该球队这场比赛不输球的概率为（   ） A．0.42 B．0.68 C．0.58 D．0.64 8．（25-26高二上·安徽淮北·期末）2024年某地文旅部门积极探索政策，带动旅游消费，推出文旅一卡通旅游年卡，凡是购买文旅一卡通旅游年卡的市民可在合作影院免费观影两次.小明同学购买旅游年卡后，在家附近有甲、乙两家合作影院可供选择，小明第一次去甲、乙两家影院观影的概率分别为0.4和0.6.如果他第一次去甲影院，那么第二次去甲影院的概率为0.6，如果他第一次去乙影院，那么第二次去甲影院的概率为0.5.现已知小明同学第二次去了甲影院，则第一次去的是乙影院的概率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高二下·全国·课后作业）（多选）下列说法不正确的是（   ） A． B．是可能的 C． D． 10．（25-26高二上·江西南昌·期末）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（   ） A．甲与乙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互独立 D．乙与丁相互独立 11．（25-26高二上·江西九江·期末）设A、B、C为随机事件，且，，，则下列说法正确的是（    ） A．，则A，B相互独立 B．若，则A，B相互独立 C．是A、B、C两两独立的充分条件 D．若，则与相等 三、填空题 12．（25-26高二上·四川资阳·期末）假设，，且相互独立，则________． 13．（25-26高二下·全国·课后作业）从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张，将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞，则第2张也是假钞的概率为________． 14．（25-26高二下·全国·课后作业）某学校只有三个学院：理学院、工学院和商学院．各学院今年毕业的学生人数分别为180人、180人和240人，考上硕士研究生的概率分别为，，．现从该校毕业的学生中随意抽查一人，则该学生考上硕士研究生的概率为________． 四、解答题 15．（24-25高二·上海·课堂例题）一个袋子中有标号分别为1、2、3、4、5的5个球，除标号外没有其他差异． (1)采用不放回方式从中任意摸球两次，设事件A：第一次摸出球的标号小于3，事件B：第二次摸出球的标号小于3，那么事件A与事件B是否相互独立？ (2)采用放回方式从中任意摸球两次，求事件C：两次摸出球的标号奇偶性不同的概率． 16.（24-25高二下·山东临沂·期中）在甲、乙、丙三个地区爆发了流感，这三个地区分别有、、的人患了流感，假设这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取一个人. (1)求这个人患流感的概率； (2)如果此人患流感，求此人选自甲地区的概率. 17.（25-26高三上·河北·期中）某市为推广新能源汽车，对购买不同品牌新能源汽车的消费者实施差异化补贴政策.根据市场调研，品牌A和品牌B在该市新能源汽车市场中占据主导地位，购买品牌A，B的新能源汽车均有补贴.假设该市选择品牌A的消费者占60%，选择品牌B的消费者占40%.通过研究发现选择品牌A的消费者中，80%因补贴而购车；选择品牌B的消费者中，60%因补贴而购车. (1)从该市随机选取一位购买新能源汽车的消费者，求其因补贴而购车的概率. (2)已知某位消费者因补贴而购车，求其购买的车是品牌A的概率. (3)该市通过对购买新能源汽车的消费者进行二次调研发现，若消费者因补贴购买品牌A的新能源汽车，那么其推荐他人购买新能源汽车的概率为0.6；若消费者因补贴购买品牌B的新能源汽车，那么其推荐他人购买新能源汽车的概率为0.4；若消费者不是因补贴购车，无论购买哪个品牌，推荐他人购买新能源汽车的概率均为0.2.现随机选取一位购买新能源汽车的消费者，求该消费者推荐他人购买新能源汽车的概率. 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.1 条件概率与事件的独立性 教学目标 1.结合古典概型，理解条件概率的定义，掌握条件概率公式 P(A∣B)=（P(B)>0），能运用公式解决简单条件概率问题。 2. 理解事件独立性的概念，掌握独立性的判定方法（P(AB)=P(A)P(B) 或 P(A∣B)=P(A) 且 P(B∣A)=P(B)），能利用独立性计算事件概率。 3.掌握乘法公式、全概率公式的推导与应用，初步了解贝叶斯公式的内涵，构建概率知识体系。 教学重难点 1.重点： （1）条件概率的定义、公式及核心应用，结合古典概型理解条件概率的本质。 （2）事件独立性的概念、判定准则及概率计算，区分独立事件与互斥事件。 （3）乘法公式、全概率公式的推导与实际应用，搭建条件概率与多步随机事件的计算桥梁。 2.难点： （1）条件概率的本质理解：区分 “事件B发生后A发生的概率” 与 “A、B同时发生的概率”，避免概念混淆。 （2）事件独立性的灵活判定：在复杂情境中准确判断事件独立性，区分独立性与互斥性的差异（互斥不一定独立，独立不一定互斥）。 （3）全概率公式与贝叶斯公式的应用场景：合理划分完备事件组，解决多阶段、多因素的概率问题，理解 “由果索因” 的逆向思维。 （4）从实际问题中抽象概率模型：准确识别样本空间、事件关系，将生活语言转化为数学语言。 知识点01 条件概率 1.定义：如果事件 A，B 是两个随机事件，且 P (A) > 0，则在事件 A 发生的条件下事件 B 发生的概率叫作条件概率，记为P (B|A)。 2.计算公式：在事件 A 发生的条件下事件 B 发生的概率为： 3.样本点计算法：在事件 A 发生的条件下事件 B 发生的概率为其中n(A),n(AB)分别表示A、AB中的样本点个数. 【即学即练】 （24-25高二下·全国·课后作业）一盒子中装有只产品，其中有只一等品、只二等品．从中任取产品两次，每次取只，不放回．事件表示“第一次取到的是一等品”，事件表示“第二次取到的是一等品”，试用两种方法求． 【答案】 【知识点】计算条件概率、计算古典概型问题的概率、实际问题中的组合计数问题 【分析】解法一：记从只一等品、只二等品中任取只的所有取法，利用组合计数原理结合古典概型的概率公式可求得的值； 解法二：记从只一等品、只二等品中取只所有取法，事件表示“从只一等品、只二等品中取只，第一次取只一等品，第二次取到只一等品”，结合条件概率公式可求得的值. 【详解】解法一：样本空间改变法： 从只一等品、只二等品中任取只的所有取法，所以； 解法二：从只一等品、只二等品中取只所有取法， 所以中所含的基本事件数为， 事件表示“从只一等品、只二等品中取只，第一次取只一等品，第二次取到只一等品”， 所以中所含的基本事件为， 事件表示“从只一等品、只二等品中取2只，第一次取只一等品，第二次任取”， 所以中所含的基本事件为，故. 知识点02 事件的独立性 1.两个事件独立：P(AB)=P(A)P(B)等价形式（当P(A)>0,P(B)>0时）：P(B∣A)=P(B),P(A∣B)=P(A) 2.三个事件独立：设A,B,C是三个随机事件，若同时满足： （1）两两独立：P(AB)=P(A)P(B), P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C) （2）三三独立：P(ABC)=P(A)P(B)P(C)，则称A,B,C 相互独立。 注意：两两独立 ≠ 相互独立，必须同时满足 “两两独立” 和 “三三独立”。 3.n 个事件：当n(n>2）个事件A1​,A2​,…,An是n(n>2）相互独立时，则有 但上式并不意味着A1​,A2​,…,An是n(n>2）相互独立！ 【即学即练】 （24-25高二上·上海长宁·期末）有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中有放回的随机取两次，每次取1个球. (1)写出这个试验的样本空间Ω； (2)事件A表示“第一次取出的球的数字是1”，事件B表示“两次取出的球的数字之和是5”.判断事件A和事件B是否相互独立，并说明理由. 【答案】(1)答案见解析 (2)事件A和事件B相互独立，理由见解析 【知识点】写出样本空间、有放回与无放回问题的概率、独立事件的判断 【分析】（1）根据题意，用列举法进行求解即可； （2）根据相互独立事件的定义，结合古典概型公式进行求解即可. 【详解】（1）依题意试验的样本空间为： （2）事件A和事件B相互独立，理由如下： 因为，， 所以，， 因为，所以， 因为，所以事件A和事件B相互独立. 知识点03 乘法公式 1.对于事件A，B,P（AB）=P(A)P(B|A) （1） 2.若P(B)>0， （2） 3.概率的乘法公式： 4.相互独立事件是概率乘法公式： 【即学即练】 （2022高二下·河南南阳·专题练习）4个射手独立地进行射击，设每人中靶的概率都是0.9.求下列各事件的概率 (1)4人都中靶； (2)4人都不中靶. (3)4人中至少2人中靶. 【答案】(1) (2)0.0001 (3)0.9963 【知识点】独立事件的乘法公式、利用对立事件的概率公式求概率、互斥事件的概率加法公式 【分析】（1）由独立乘法公式即可得解. （2）由对立事件公式、独立乘法公式即可得解. （3）由互斥加法公式、独立乘法公式即可得解. 【详解】（1）设“第个人射击中靶”，则. 4人都中靶，即事件发生， 故所求概率. （2），∵4个射手独立地进行射击， ∴4人都不中靶，即事件发生， 故所求概率. （3）∵4个射手独立地进行射击， ∴4人有1人中靶，即事件、、、发生， 故， 因为事件“4人中至少2人中靶”的对立事件为“4人都不中靶或4人有1人中靶”， 故事件“4人中至少2人中靶”的概率为. 知识点04 全概率公式 1.概率计算常用公式： 2.全概率公式： 【即学即练】 （24-25高二上·宁夏固原·期末）甲箱的产品中有6个正品和2个次品，乙箱的产品中有5个正品和2个次品. (1)从甲､乙箱中各随机取出1个产品，求其中至少有1个次品的概率； (2)若先从甲箱中任取2个产品放入乙箱，再从乙箱中任取1个产品，求取出的这个产品是正品的概率. 【答案】(1) (2) 【知识点】利用全概率公式求概率、计算古典概型问题的概率、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】（1）由独立乘法公式、对立事件的概率即可求解； （2）令事件 “从甲箱中取出两个正品”，事件 “从甲箱中取出一个正品、一个次品”，事件 “从甲箱中取出两个次品”，然后利用古典概型的概率公式求出对应的概率，再结合全概率公式可求得结果. 【详解】（1）从甲､乙箱中各随机取出1个产品，求其中至少有1个次品的概率为； （2）令事件“从乙箱中取出一个正品”，事件 “从甲箱中取出两个正品”， 事件 “从甲箱中取出一个正品、一个次品”，事件 “从甲箱中取出两个次品”， 则两两互斥，且， 则，，， 则 . 知识点05 贝叶斯公式（逆概率公式） 1.贝叶斯公式： 2.贝叶斯公式的推广形式：若 【即学即练】 （24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期末）已知一批产品是由甲、乙、丙三名工人生产的，三人生产的产品分别占总产量的，.已知三人生产产品的次品率分别为. (1)现从这批产品中按等比例分层抽样抽出10件产品，再从这10件产品中不放回地任取两件进行检测，记事件“第一次取出的产品是乙生产的”，“第二次抽出的产品是甲生产的产品”，分别求； (2)现从这批产品中任取一件产品，已知它是次品，求这件产品是由丙生产的概率. 【答案】(1)； (2) 【知识点】利用贝叶斯公式求概率、利用全概率公式求概率、计算条件概率 【分析】（1）根据条件概率公式及全概率公式计算求解； （2）应用全概率公式及贝叶斯公式计算求解. 【详解】（1）抽出的10件产品中，甲、乙、丙三名工人分别生产了3，4和3件， 事件“第一次取出的产品是乙生产的”，“第二次抽出的产品是甲生产的产品”， 所以； （2）分别记事件A、B、C表示抽取的一个零件为甲、乙、丙生产的，记事件：抽取的一个零件为次品， 由题意可得，， 由全概率公式可得， 所以， 即任取一个零件，已知它是次品，这件产品是由丙生产的概率为. 题型01 计算条件概率 【典例1】（25-26高二下·全国·单元测试）某校从学生文艺部6名成员（4男2女）中，挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动． (1)在已知男生甲被选中的条件下，求女生乙被选中的概率； (2)在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率． 【答案】(1) (2) 【知识点】计算古典概型问题的概率、计算条件概率 【分析】（1）先确定已知“男生甲被选中”的概率，再计算“女生乙被选中”的概率，用条件概率公式求解； （2）先计算“一男一女”的概率，再计算“女生乙被选中”的概率，用条件概率公式求解. 【详解】（1）从6名成员中挑选2名成员，共有15种情况， 记“男生甲被选中”为事件，事件所包含的基本事件数为5种，故． 记“女生乙被选中”为事件，则，故． （2） 记“被选中的2人一男一女”为事件，则，“女生乙被选中”为事件，，故． 【变式1-1】（25-26高二下·全国·课堂例题）高二（1）班共有30名男生，20名女生，其中男生中共有8名共青团员，女生中共有10名共青团员． (1)从该班学生中任意抽取1人，其是女生的概率是多少？ (2)已知抽出的是女同学的条件下，该同学是共青团员的概率又是多少？ 【答案】(1) (2) 【知识点】计算条件概率、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）古典概型即可求解. （2）条件概率公式即可求解. 【详解】（1）设“从该班学生中任意抽取1人，其是女生”为事件，则 （2）“该同学是共青团员”为事件，则. 【变式1-2】（25-26高二下·全国·课堂例题）考虑恰有两个小孩的家庭． (1)若已知某家有男孩，求这家有两个男孩的概率； (2)若已知某家第一个是男孩，求这家有两个男孩（相当于第二个也是男孩）的概率（假定生男生女为等可能）． 【答案】(1) (2) 【知识点】计算条件概率、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）先设事件写出样本空间，再应用条件概率公式计算求解； （2）应用条件概率公式计算求解. 【详解】（1）（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）． 设“有男孩”，则（男，男），（男，女），（女，男）． “有两个男孩”，则（男，男）， “第一个是男孩”，则（男，男），（男，女）， 于是得， 所以； （2）（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）． “有两个男孩”，则（男，男）， “第一个是男孩”，则（男，男），（男，女）， 于是， 所以． 【变式1-3】（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）一个不透明的盒子中装有个红球和个白球，共个球，它们除了颜色外完全相同.从中随机地连续取两个球，每次取一个球且不放回. (1)求第一次摸出红球的概率； (2)求第一次和第二次都摸出红球的概率； (3)已知第二次摸出的是红球，求第一次摸出白球的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】计算古典概型问题的概率、有放回与无放回问题的概率、计算条件概率 【分析】（1）根据古典概型求解即可； （2）根据事件同时发生的概率公式及古典概型求解； （3）由条件概率公式求解即可. 【详解】（1）设事件表示“第次取球时，取到红球”， 则. （2）由题意知，同时发生的概率. （3）设事件表示“第次取球时，取到白球”， 则，, 所以. 题型02 独立事件的判断 【典例2】（24-25高二下·上海·月考）一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1、2、3，这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机地抽取3次，每次抽取1张. (1)若抽取是放回的，将抽取的卡片上的数字依次记为a、b、c.求“抽取的卡片上的数字a、b、c不完全相同”的概率； (2)若抽取是不放回的，记事件A为第一次取出标记为1的卡片，事件B为第二次取出标记为2的卡片，判断事件A，B是否独立. 【答案】(1)； (2)不独立，理由见详解 【知识点】独立事件的判断、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）先根据古典概型，计算“抽取的卡片上的数字a，b，c完全相同”的概率，再由对立事件的概率求解即可； （2）列出样本空间，分别求出事件A,B及AB发生的概率，验证与是否相等即可. 【详解】（1）依题意，放回的随机地抽取3次，每次抽取1张共有种结果， 其中满足“抽取的卡片上的数字a，b，c完全相同”的有： ，共计3个， 故“抽取的卡片上的数字a，b，c完全相同”的概率为， ∴“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为. （2）根据题意，全体样本空间为，， 事件，，故， 事件，，故， 事件，,故， 因为，所以事件不相互独立. 【变式2-1】（25-26高二上·浙江温州·期中）已知随机事件，满足，，． (1)判断与是否相互独立，并说明理由； (2)求与都不发生的概率． 【答案】(1)与不相互独立；理由见解析 (2) 【知识点】独立事件的判断、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】（1）由独立事件的定义即可判断； （2）先求或发生的概率，然后求出与都不发生的概率. 【详解】（1）∵，∴，故与不相互独立； （2）或发生的概率， 故与都不发生的概率． 【变式2-2】（24-25高二上·云南曲靖·月考）一个袋子中有标号分别为1、2、3、4的4个球，除标号外没有其他差异. (1)若一次摸出两个球，求摸出两球标号互质的概率； (2)若采用不放回方式从中任意摸球两次，每次摸出一个球，设事件“第一次摸出球的标号小于3”，事件“第二次摸出球的标号小于3”，判断事件与事件是否相互独立. 【答案】(1)； (2)事件与事件不独立. 【知识点】独立事件的判断、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）根据题意，利用列举法求得样本空间的总数，得出所求事件中所包含的基本事件的个数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解； （2）根据题意，求得样本空间的总数，分别得出事件与事件所包含基本事件的个数，以及，利用古典摡型的概率计算公式，结合，即可得到答案. 【详解】（1）解：记事件：摸出两球标号互质， 由每个样本点出现的可能性相同，样本空间为，共6个样本点， 其中事件，共5个样本点，故， 所以，摸出两球标号互质的概率为. （2）解：采用不放回方式从中任意摸球两次，其中样本空间为： ，共12个样本点， 其中第一次摸出球的标号小于，可得， 第二次摸出球的标号小于，可得， 所以，则，， 所以，所以事件与事件不独立. 【变式2-3】（24-25高二上·上海·月考）有个相同的球，分别标有数字，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．用表示样本点，其中表示第一次取出球的数字，表示第二次取出球的数字． (1)写出这个试验的样本空间； (2)设事件“第一次取出的球的数字是1”，事件“两次取出的球的数字之和是4”．计算，，并判断事件和事件是否相互独立，并说明理由． 【答案】(1)答案见解析 (2)，，相互独立，理由见解析 【知识点】独立事件的判断、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）依题意逐一列出基本事件即可得到样本空间； （2）根据古典概型的概率公式求出，，，再根据独立事件的定义判断． 【详解】（1）依题意试验的样本空间，，，，，，，，； （2）事件和事件相互独立，理由如下： 因为，，，，，， 所以，， 因为， 所以， 因为， 所以事件和事件相互独立． 题型03 独立事件的概率计算 【典例3】（24-25高二上·上海·假期作业）掷两颗骰子，试用独立性求： (1)它们的点数都是偶数概率； (2)它们的点数是一奇一偶的概率. 【答案】(1) (2) 【知识点】独立事件的乘法公式 【分析】根据题意，结合相互独立事件的概率乘法公式，准确计算，即可求解. 【详解】（1）解：设事件“第一颗骰子的点数为偶数”，事件“第二颗骰子的点数为偶数”， 可得，且事件与相互独立， 所以点数都是偶数概率. （2）解：设事件“第一颗骰子的点数为偶数”，事件“第二颗骰子的点数为偶数”， 可得，且事件与相互独立， 所以点数是一奇一偶的概率为. 【变式3-1】（23-24高二上·广东深圳·月考）某校园设置了智力答题闯关游戏，每位闯关者共有四次机会，一旦某次答对抽到的题目，则闯关成功，否则就一直抽题、答题到第4次为止.用表示答对题目，用表示没有答对题目，例如事件表示第三次才闯关成功，假设闯关者对抽到不同题目能否答对是独立的且每道题答对的概率都是0.3. (1)在下面的树状图中填写样本点，并写出样本空间； (2)求某闯关者第三次成功闯关的概率. 【答案】(1)样本点填写见解析，样本空间为 (2) 【知识点】独立事件的乘法公式、写出样本空间 【分析】（1）根据树状图求得样本点并求得样本空间； （2）根据相互独立事件概率计算公式求得正确答案. 【详解】（1）由题意得： 样本空间为； （2）因为抽到不同题目能否答对是相互独立的， 所以. 【变式3-2】（2024高一下·全国·专题练习）作为世界乒坛本赛季收官战，首届世界乒乓球职业大联盟世界杯总决赛年月日在新加坡结束男女单打决赛的较量，国乒包揽双冠成为最大赢家．我市男子乒乓球队为备战下届市运会，在某训练基地进行封闭式训练，甲、乙两位队员进行对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢个球者获胜，通过分析甲、乙过去对抗赛的数据知，甲发球甲赢的概率为，乙发球甲赢的概率为，不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球．求该局打个球甲赢的概率； 【答案】 【知识点】独立事件的乘法公式 【分析】先设甲发球甲赢为事件，乙发球甲赢为事件，然后分析这4个球的发球者及输赢者，即可得到所求事件的构成，利用相互独立事件的概率计算公式即可求解； 【详解】设甲发球甲赢为事件，乙发球甲赢为事件，该局打4个球甲赢为事件， 由题知，，， ∴， ∴， ∴该局打4个球甲赢的概率为． 【变式3-3】（24-25高二下·上海浦东新·期中）生产零件需要经过两道工序，在第一、二道工序中生产出废品的概率分别为0.01、0.03．生产过程中，第一道工序产生的废品也会投入第二道工序，但是两道工序中有一道产出废品时，成品即判定为废品．已知每道工序生产废品相互独立． (1)求经过两道工序后得到的零件不是废品的概率； (2)现有经过这两道工序生产的1个废品．求生产该件废品的过程中，第二道工序产出废品的概率．（结果写成最简分数） 【答案】(1) (2) 【知识点】独立事件的乘法公式、计算条件概率 【分析】（1）利用对立事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法公式能求出经过两道工序后得到的零件不是废品的概率． （2）根据条件概率公式计算即可． 【详解】（1）由题意得，经过两道工序后得到的零件不是废品的概率为 （2）设“经过这两道工序判定为废品”为事件，“第二道工序中生产出废品”为事件，则， ， 所以生产该件废品的过程中，第二道工序产出废品的概率为． 题型04 独立事件的乘法公式的应用 【典例4】 （25-26高二上·湖北省直辖县级单位·期末）某旅游景区停车场的收费标准为：1小时以内（含）不收费，1小时2小时（含）按5元收费．超出2小时的部分按每小时6元收费（不足1小时的按1小时计算）．现有甲、乙两人临时停车，两人停车都不超过4小时． (1)若甲停车不超过1小时的概率为，超过2小时的概率为，求甲停车1小时以上且不超过2小时的概率； (2)若甲乙两人停车的时长是相互独立的，且每个人停车费为0元、5元、11元的概率分别为，求甲、乙两人停车费之和为22元的概率． 【答案】(1) (2) 【知识点】独立事件的乘法公式、利用对立事件的概率公式求概率、利用互斥事件的概率公式求概率 【分析】（1）根据对立事件概率公式进行求解即可； （2）根据独立事件的乘法公式进行求解即可. 【详解】（1）设甲停车1小时以上且不超过2小时的事件为A， 则； （2）由题意可知，每个人停车时间超过3小时，即停车费为17元的概率为. 设甲乙两人停车费之和为22元的事件为M， 甲要付0元、5元、11元、17元停车费的事件分别为， 乙要付0元、5元、11元、17元停车费的事件分别为， 则. 因为每人停车的时长是相互独立的，所以， . 【变式4-1】（23-24高一下·湖南邵阳·期末）已知甲、乙两人独立地破译一份密码，甲破译成功的概率为，甲、乙都破译成功的概率为．求： (1)乙破译密码成功的概率p； (2)恰有1人破译成功的概率； (3)密码破译成功的概率． 【答案】(1) (2) (3)． 【知识点】独立事件的乘法公式、利用对立事件的概率公式求概率、互斥事件的概率加法公式 【分析】（1）利用相互独立事件的概率乘法公式即可； （2）利用相互独立事件的概率乘法公式即可； （3）利用对立事件求解思路更简洁. 【详解】（1）记甲、乙成功破译密码分别记作事件A，B， 则，解得． （2）记恰有1人破译成功为事件C， 则． （3）记密码破译成功为事件D， 则． 【变式4-2】（23-24高二下·贵州毕节·月考）某社区举办“闹元宵，猜灯谜”活动.甲、乙、丙三个家庭同时参加此活动．某一灯谜，已知甲家庭猜对的概率是，甲、丙两个家庭都猜错的概率是，乙、丙两个家庭都猜对的概率是．若各家庭是否猜对互不影响． (1)求乙、丙两个家庭各自猜对此灯谜的概率； (2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭猜对此灯谜的概率． 【答案】(1)甲家庭猜对的概率为，乙家庭猜对的概率为 (2) 【知识点】独立事件的乘法公式、利用互斥事件的概率公式求概率 【分析】（1）记甲家庭猜对此灯谜为事件，乙家庭猜对此灯谜为事件，丙家庭猜对此灯谜为事件，根据相互独立事件的概率公式得到方程组，解得即可； （2）根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得. 【详解】（1）记甲家庭猜对此灯谜为事件，乙家庭猜对此灯谜为事件，丙家庭猜对此灯谜为事件， 则，，， 又、、两两相互独立，所以， 解得，即甲家庭猜对的概率为，乙家庭猜对的概率为. （2）记甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭猜对此灯谜为事件， 则 . 【变式4-3】（23-24高二上·江西赣州·期末）甲、乙、丙三位同学进行乒乓球比赛，每局比赛两人对战，另一人轮空，没有平局．每局胜者与此局轮空者进行下一局的比赛．约定先赢两局者获胜，比赛随即结束．已知每局比赛甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为． (1)若第一局由乙丙对战，求甲获胜的概率； (2)判断并说明由哪两位同学进行首场对战才能使甲获胜的概率最大． 【答案】(1) (2)第一局甲乙对战才能使甲获胜的概率最大 【知识点】独立事件的乘法公式、互斥事件的概率加法公式 【分析】（1）甲获胜有两种情况，分别计算出概率，再相加即可； （2）分别计算第一局乙丙对战甲获胜的概率，第一局甲乙对战甲获胜的概率，及第一局甲丙对战甲获胜的概率，比较大小，作出判断即可. 【详解】（1）第一局由乙丙对战，甲获胜有两种情况： ①乙丙对战乙胜，乙甲对战甲胜，甲丙对战甲胜，则概率为 ②乙丙对战丙胜，丙甲对战甲胜，甲乙对战甲胜，则概率为 综上，甲获胜的概率为. （2）若第一局乙丙对战，由（1）知甲获胜的概率为 若第一局甲乙对战，则甲获胜有三种情况： ①甲乙对战甲胜，甲丙对战甲胜，概率为， ②甲乙对战甲胜，甲丙对战丙胜，丙乙对战乙胜，乙甲对战甲胜的概率为， ③甲乙对战乙胜，乙丙对战丙胜，丙甲对战甲胜，乙甲对战甲胜的概率为， 所以最终甲获胜的概率为； 若第一局甲丙对战，则甲获胜也有三种情况： ①甲丙对战甲胜，甲乙对战甲胜的概率为， ②甲丙对战甲胜，甲乙对战乙胜，乙丙对战丙胜，丙甲对战甲胜的概率为， ③甲丙对战丙胜，丙乙对战乙胜，乙甲对战甲胜，甲丙对战甲胜的概率为， 所以最终甲获胜的概率为， 因为， 所以第一局甲乙对战才能使甲获胜的概率最大． 题型05 利用全概率公式求概率 【典例5】（25-26高二上·吉林长春·期末）现有两张演艺节目单，第一张节目单中有6首歌曲和4个小品，第二张节目单中有5首歌曲和5个小品. (1)若从第1张节目单中依次不放回地随机抽取2个节目，求在第1次抽到歌曲的条件下，第2次抽到歌曲的概率； (2)掷一枚质地均匀的骰子，若点数为1或2，则从第1张节目单中随机抽取1个节目；若点数为3，4，5，6，则从第2张节目单中随机抽取1个节目，求取到歌曲的概率. 【答案】(1) (2) 【知识点】计算古典概型问题的概率、计算条件概率、利用全概率公式求概率 【分析】（1）根据条件概率公式计算即可； （2）假设相应的事件并求出其概率，然后根据全概率公式即可求解. 【详解】（1）设事件“第次抽到歌曲”（），则，， 所以； 故在第1次抽到歌曲的条件下，第2次抽到歌曲的概率为； （2）设事件“取到歌曲”，事件“掷出的点数为1或2”，则事件“掷出的点数为3，4，5，6”，显然与为对立事件； 所以，，，； 由全概率公式得. 所以取到歌曲的概率为 【变式5-1】（25-26高三上·四川绵阳·期中）某社区实施垃圾分类投放，居民主要在早、中、晚三个时间段投放垃圾，且早、中、晚三个时间段垃圾投放量占比分别为、、.环保部门监测发现，各时段因监管力度不同，出现垃圾混投情况：在已知垃圾是早上投放的条件下，违规混投的概率为是中午投放的条件下，违规混投的概率为是晚上投放的条件下，违规混投的概率为现随机抽查一袋垃圾，求： (1)这袋垃圾来自中午时段且违规混投的概率; (2)这袋垃圾存在违规混投的概率; (3)若已知该垃圾违规混投，求它来自晚上时段投放的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】利用全概率公式求概率、计算条件概率 【分析】（1）设相应事件，结合计算求解即可； （2）根据全概率公式可得，代入计算即可； （3）根据条件概率公式，结合计算即可. 【详解】（1）设垃圾来自早、中、晚时段分别为事件 A， B，；垃圾违规混投为事件V ， 由题意可知：，， 可得， 所以这袋垃圾来自中午时段且违规混投的概率为. （2）由题意可得： ， 所以这袋垃圾存在违规混投的概率为. （3）由题意可得：， 所以已知该垃圾违规混投，它来自晚上时段投放的概率为 【变式5-2】（25-26高二下·全国·课后作业）小张从家到公司上班总共有三条路可以走，如图，但是每条路每天拥堵的可能性不太一样，由于远近不同，选择每条路的概率分别为，，，每天上述三条路不拥堵的概率分别为，，． 假设遇到拥堵会迟到，那么： (1)小张从家到公司不迟到的概率是多少？ (2)已知到达公司未迟到，选择道路的概率是多少？ 【答案】(1)0.36 (2)0.28． 【知识点】计算条件概率、利用全概率公式求概率 【分析】（1）根据全概率公式计算可直接求出结果； （2）由（1）中的结果，由条件概率乘法公式计算即可； 【详解】（1）由题意知不迟到就意味着不拥堵， 设事件表示到公司不迟到，则 ； （2）易知； 所以已知到达公司未迟到，选择道路的概率约为0.28． 【变式5-3】（24-25高二下·重庆渝中·月考）某电子设备制造厂所用的元件是由甲、乙、丙三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有下表所示的数据.设这三家制造厂的产品在仓库中是均匀混合的且无区别标志. 元件制造厂 次品率 提供元件的份额 甲 0.02 0.2 乙 0.01 0.7 丙 0.03 0.1 (1)在仓库中随机取一只元件，求它是次品的概率； (2)在仓库中随机地取一只元件，若已知取到的是次品，求该次品是由丙制造厂提供的概率. 【答案】(1)0.014 (2) 【知识点】利用全概率公式求概率、计算条件概率 【分析】（1）根据已知条件和全概率公式可求得结果. （2）根据条件概率公式即可求出答案. 【详解】（1）A表示“取到的是一只次品”，表示“所取到的元件是由甲制造厂提供的”， 表示“取到的元件是由乙制造厂提供的”，表示“取到的元件是由丙制造厂提供的”， 则，，， ，，， 由全概率公式得： ． （2）该元件出自丙工厂的概率为. 题型06 利用贝叶斯公式求概率 【典例6】（25-26高二上·河南南阳·期末）有三个外观相同的箱子，编号分别为1，2，3，其中1号箱装有1个红球和4个白球，2号箱装有2个红球和3个白球，3号箱装有3个红球，这些球除颜色外完全相同． (1)某人先从三个箱子中任取一箱，再从中任意摸出一球，求取到红球的概率； (2)某人先从三个箱子中任取一箱，再从中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自1号箱的概率以及该球取自几号箱的可能性最大． 【答案】(1) (2)该球是取自1号箱的概率为，该球取自3号箱的可能性最大 【知识点】利用贝叶斯公式求概率、利用全概率公式求概率、计算条件概率 【分析】（1）设相应事件，结合全概率公式运算求解即可； （2）根据（1）中数据，结合条件概率公式以及贝叶斯公式运算求解即可. 【详解】（1）设事件表示“球取自号箱”（），事件表示“取到红球”， 则，， 可得， 所以取到红球的概率为. （2）由条件概率知：， ， ， 因为，故该球是取自1号箱的概率为，该球取自3号箱的可能性最大． 【变式6-1】（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）2025年11月呼和浩特市有甲､乙､丙三个地区甲流比较严重，这三个地区分别有，，的人是阳性患者，已知这三个地区的人口数之比为，现从这三个地区中任选一人. (1)求这个人是阳性患者的概率； (2)若此人是阳性患者，求此人是选自甲地区的概率. 【答案】(1) (2) 【知识点】利用贝叶斯公式求概率、利用全概率公式求概率 【分析】（1）应用全概率公式求概率即可； （2）应用贝叶斯公式求概率即可. 【详解】（1）设选的人是阳性患者为事件，来自甲、乙、丙三个地区分别为事件，，， 则 （2）. 【变式6-2】（25-26高二下·全国·课堂例题）某工厂有四条流水线生产同一种产品，该四条流水线的产量分别占总产量的15%、20%、30%、35%，又这四条流水线的不合格品率依次为0.05、0.04、0.03及0.02，现在从该厂产品中任取一件，问恰好抽到不合格品的概率为多少？该不合格品是由第四条流水线上生产的概率为多少？ 【答案】， 【知识点】利用贝叶斯公式求概率、利用全概率公式求概率 【分析】根据全概率公式和贝叶斯概率公式，即可求解. 【详解】设第条流水线生产的产品，；抽到不合格品， 则， ． ①． ②． 所以恰好抽到不合格品的概率为，该不合格品是由第四条流水线上生产的概率为. 【变式6-3】（24-25高二下·广东广州·期末）有3台车床加工同一型号的零件，第台车床加工的次品率分别为加工出来的零件混放在一起.已知第台车床加工的零件数分别占总数的 (1)任取一个零件，计算它是次品的概率； (2)如果取到的零件是次品，试问该次品来自第几台车床的概率最大？ 【答案】(1)； (2)2. 【知识点】利用贝叶斯公式求概率、利用全概率公式求概率 【分析】(1)利用全概率公式来求解即可； (2)利用贝叶斯公式来求解即可得到最大概率的判断. 【详解】（1）利用全概率公式可知，任取一个零件，它是次品的概率为： ； （2）利用贝叶斯公式可知， 如果取到的零件是次品，该次品来自第1台车床的概率为： 如果取到的零件是次品，该次品来自第2台车床的概率为： 如果取到的零件是次品，该次品来自第3台车床的概率为： 通过比较，如果取到的零件是次品，该次品来自第2台车床的概率最大. 一、单选题 1．（25-26高二下·全国·课后作业）若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】计算条件概率 【分析】由，求解即可. 【详解】因为. 故选：A． 2．（25-26高二上·湖南湘潭·期末）若事件相互独立，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】独立事件的乘法公式 【详解】由题意得， 由独立事件性质得， 则，而， 可得，故C正确. 3．（25-26高二下·全国·课堂例题）某班学生的考试成绩中，数学不及格的占，语文不及格的占，两门都不及格的占，已知一学生数学不及格，则他的语文也不及格的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】计算条件概率 【分析】根据条件概率公式直接计算可得. 【详解】设为事件“数学不及格”，为事件“语文不及格”，则 由条件概率公式， 所以当数学不及格时，该学生语文也不及格的概率为． 故选：A 4．（25-26高二上·广西桂林·期末）学校举行羽毛球、乒乓球和跳绳三项比赛，学生甲只能参加其中一项比赛，他参加羽毛球、乒乓球和跳绳比赛的概率分别为0.4、0.3、0.3，若他在羽毛球、乒乓球和跳绳比赛中获得冠军的概率分别为0.6、0.4、0.5，则该生获得冠军的概率为（   ） A．0.67 B．0.58 C．0.51 D．0.37 【答案】C 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】根据已知条件，结合全概率公式、条件概率公式即可求出结果. 【详解】设“参加羽毛球比赛”，“参加乒乓球比赛”，“参加跳绳比赛”， 则. 设“获得冠军”，则. 由全概率公式 . 故选：C. 5．（25-26高二下·全国·课堂例题）质量调查发现，某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如下表： 品牌 甲 乙 其他 市场占有率 50% 30% 20% 优质率 95% 90% 70% 在该市场中任意购买一部智能手机，则买到的是优质品的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】根据题意结合全概率公式，即可求解. 【详解】设分别表示买到的智能手机为甲品牌、乙品牌、其他品牌，：是优质品， 则，，，且，，， 所以，由全概率公式可知， ． 故选：B 6．（2026·山东东营·一模）在2025年10月19日举行的黄河口马拉松比赛活动中，甲、乙、丙、丁四位志愿者被派往A、B、C三个服务站，若每个服务站至少派一位志愿者，且每位志愿者只能被派往一个服务站，则在甲被派去B服务站的条件下，甲、乙被派去同一个服务站的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】计算古典概型问题的概率、计算条件概率 【分析】先求出甲被安排到服务站的方法数，再求出甲，乙被派去同一个服务站的方法数，然后求其概率即可. 【详解】先求甲被派去服务站的方法数； 第一种情况：甲一个人去服务站，则有种； 第二种情况：甲和其中一人去服务站，则有种； 故甲被派去服务站的方法数共种； 再求甲乙被派去同一个服务站的方法数：有种； 故概率为. 7．（25-26高二下·江西赣州·开学考试）2023年12月30日，在江西省第四届县域社会足球赛（江西“县超”）总决赛上，上犹县队战胜南昌县队，成功捧起冠军奖杯体育赛事的持续火爆，带动了县域特色产业发展，“跟着赛事游上犹”成为响亮名片．根据以往的数据统计，甲球员能够胜任前锋、中锋和后卫三个位置，且出场率分别为0.2，0.5，0.3，当甲球员担当前锋、中锋以及后卫时，球队输球的概率依次为0.4，0.2，0.8．请问当甲球员参加比赛时，该球队这场比赛不输球的概率为（   ） A．0.42 B．0.68 C．0.58 D．0.64 【答案】C 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】根据全概率公式结合条件计算，即得答案. 【详解】设事件表示“甲球员担当前锋”，事件表示“甲球员担当中锋”， 事件表示“甲球员担当后卫”，事件B表示“当甲球员参加比赛时，球队输球” ． 则 ， 所以当甲球员参加比赛时，该球队这场比赛不输球的概率为． 8．（25-26高二上·安徽淮北·期末）2024年某地文旅部门积极探索政策，带动旅游消费，推出文旅一卡通旅游年卡，凡是购买文旅一卡通旅游年卡的市民可在合作影院免费观影两次.小明同学购买旅游年卡后，在家附近有甲、乙两家合作影院可供选择，小明第一次去甲、乙两家影院观影的概率分别为0.4和0.6.如果他第一次去甲影院，那么第二次去甲影院的概率为0.6，如果他第一次去乙影院，那么第二次去甲影院的概率为0.5.现已知小明同学第二次去了甲影院，则第一次去的是乙影院的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用全概率公式求概率、计算条件概率 【详解】设事件表示“第一次去甲影院”，事件表示“第二次去甲影院”，事件表示“第一次去乙影院”，事件表示“第二次去乙影院”， 所以，，，, 由全概率公式得, 由贝叶斯公式得==. 二、多选题 9．（25-26高二下·全国·课后作业）（多选）下列说法不正确的是（   ） A． B．是可能的 C． D． 【答案】ACD 【知识点】条件概率性质的应用 【分析】根据条件概率公式与概率性质，逐项判断. 【详解】对于A：由条件概率公式及知，故A错误； 对于B：当事件包含事件时，有，此时，故正确； 对于C：由条件概率性质，故C错误； 对于D：由条件概率公式可知，故D错误； 故选：ACD. 10．（25-26高二上·江西南昌·期末）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（   ） A．甲与乙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互独立 D．乙与丁相互独立 【答案】ABD 【知识点】独立事件的乘法公式、独立事件的判断、计算古典概型问题的概率 【分析】根据独立事件概率关系，求出每个事件的概率，并逐一判断即可. 【详解】设甲，乙，丙，丁事件分别为,则， 事件“两次取出的球的数字之和是6”的样本点有， 样本总量为，故， 事件“两次取出的球的数字之和是7” 的样本点有， 故， 对于A，，故正确； 对于B，，故正确； 对于C，，故错误； 对于D，，故正确， 故选：ABD. 11．（25-26高二上·江西九江·期末）设A、B、C为随机事件，且，，，则下列说法正确的是（    ） A．，则A，B相互独立 B．若，则A，B相互独立 C．是A、B、C两两独立的充分条件 D．若，则与相等 【答案】AB 【知识点】条件概率性质的应用、独立事件的判断、独立事件的乘法公式 【分析】利用相互独立事件的概念可判断ABC，由条件概率公式可判断D. 【详解】对于A：由相互独立事件的概念知，若，则事件A，B是相互独立事件，正确； 对于B：及，得，即，所以A，B相互独立，正确； 对于C：对于事件，，，若，，，及成立， 则，，相互独立，缺一不可，故，不能推出，，两两独立，错误； 对于D：，， 而，所以等式不成立，错误. 故选：AB 三、填空题 12．（25-26高二上·四川资阳·期末）假设，，且相互独立，则________． 【答案】 【知识点】独立事件的乘法公式 【分析】利用独立事件的概率乘法公式计算即可. 【详解】由题意可知. 故答案为： 13．（25-26高二下·全国·课后作业）从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张，将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞，则第2张也是假钞的概率为________． 【答案】 【知识点】计算古典概型问题的概率、计算条件概率、实际问题中的组合计数问题、互斥事件的概率加法公式 【分析】先定义“两张都是假钞”和“至少一张是假钞”两个事件，再用组合数算出它们的概率，最后代入条件概率公式求解. 【详解】将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞，即抽出的2张钞票中至少有1张假钞， 设事件表示“抽到2张都是假钞”，事件为“2张中至少有一张假钞”， 而，． 所以． 故答案为：. 14．（25-26高二下·全国·课后作业）某学校只有三个学院：理学院、工学院和商学院．各学院今年毕业的学生人数分别为180人、180人和240人，考上硕士研究生的概率分别为，，．现从该校毕业的学生中随意抽查一人，则该学生考上硕士研究生的概率为________． 【答案】0.285 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】根据全概率公式求解即可. 【详解】设该学生考上硕士研究生，该学生来自理学院，该学生来自工学院，该学生来自商学院}， 则两两互不相容， 故由全概率公式知所求概率为 ． 故答案为：0.285. 四、解答题 15．（24-25高二·上海·课堂例题）一个袋子中有标号分别为1、2、3、4、5的5个球，除标号外没有其他差异． (1)采用不放回方式从中任意摸球两次，设事件A：第一次摸出球的标号小于3，事件B：第二次摸出球的标号小于3，那么事件A与事件B是否相互独立？ (2)采用放回方式从中任意摸球两次，求事件C：两次摸出球的标号奇偶性不同的概率． 【答案】(1)事件A与事件B不独立； (2) 【知识点】有放回与无放回问题的概率、独立事件的判断 【分析】（1）根据事件独立定义计算概率验证即可； （2）根据分类分步计算得出结果； 【详解】（1）因为样本空间，且， ， ， ， 所以，， 此时，因此，事件A与事件B不独立； （2） 16.（24-25高二下·山东临沂·期中）在甲、乙、丙三个地区爆发了流感，这三个地区分别有、、的人患了流感，假设这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取一个人. (1)求这个人患流感的概率； (2)如果此人患流感，求此人选自甲地区的概率. 【答案】(1) (2) 【知识点】利用贝叶斯公式求概率、利用全概率公式求概率 【分析】（1）记事件选取的这个人患了流感，记事件此人来自甲地区，记事件此人来自乙地区，记事件此人来自丙地区，利用全概率公式可求得的值； （2）利用条件概率公式可求得的值. 【详解】（1）记事件选取的这个人患了流感，记事件此人来自甲地区， 记事件此人来自乙地区，记事件此人来自丙地区， 则，且、、彼此互斥， 由题意可得，，， ，，， 由全概率公式可得 . （2）由条件概率公式可得. 17.（25-26高三上·河北·期中）某市为推广新能源汽车，对购买不同品牌新能源汽车的消费者实施差异化补贴政策.根据市场调研，品牌A和品牌B在该市新能源汽车市场中占据主导地位，购买品牌A，B的新能源汽车均有补贴.假设该市选择品牌A的消费者占60%，选择品牌B的消费者占40%.通过研究发现选择品牌A的消费者中，80%因补贴而购车；选择品牌B的消费者中，60%因补贴而购车. (1)从该市随机选取一位购买新能源汽车的消费者，求其因补贴而购车的概率. (2)已知某位消费者因补贴而购车，求其购买的车是品牌A的概率. (3)该市通过对购买新能源汽车的消费者进行二次调研发现，若消费者因补贴购买品牌A的新能源汽车，那么其推荐他人购买新能源汽车的概率为0.6；若消费者因补贴购买品牌B的新能源汽车，那么其推荐他人购买新能源汽车的概率为0.4；若消费者不是因补贴购车，无论购买哪个品牌，推荐他人购买新能源汽车的概率均为0.2.现随机选取一位购买新能源汽车的消费者，求该消费者推荐他人购买新能源汽车的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】利用全概率公式求概率、利用贝叶斯公式求概率 【分析】（1）设事件表示“选择品牌A”，事件表示“选择品牌B”，事件表示“因补贴而购车”，利用全概率公式即可求解； （2）利用贝叶斯公式即可求解 （3）设事件表示“推荐他人购买新能源汽车”，利用全概率公式即可求解. 【详解】（1）设事件表示“选择品牌A”，事件表示“选择品牌B”，事件表示“因补贴而购车”， 则， 所以． （2）结合（1）由贝叶斯公式得 （3）设事件表示“推荐他人购买新能源汽车”， 因补贴买品牌A的概率，； 因补贴买品牌B的概率，； 非补贴买品牌A的概率，； 非补贴买品牌B的概率，； 则由全概率公式得 ． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $