第02讲 一次函数的性质及应用（复习讲义，3考点13题型7重难）（天津专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦“一次函数的性质及应用”，覆盖图像性质、实际应用及与方程不等式关系等中考核心考点，通过“考情剖析-知识网络-考点解析-题型预测-分层练习”系统架构，结合考点梳理、方法指导和真题训练，帮助学生突破平移变换、分段函数应用等难点。 亮点在于融合数学思维与模型意识，如“重难突破”中通过一次函数与几何综合题的变式训练，培养学生推理能力和空间观念。分层设计“基础-能力-新趋势”练习，配合中考真题即时反馈，确保高效复习，助力教师精准把控节奏，提升学生应考能力。

第三章 函数 第02讲 一次函数的性质及应用 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 2 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 4 命题点一 一次函数的图像与性质 题型01 根据一次函数的定义求参数 题型02 正比例函数的图像与性质 题型03 探究一次函数经过的象限与系数之间的关系 题型04 探究一次函数的增减性与系数之间的关系 题型05 根据增减性比较函数值 题型06 待定系数法求函数解析式 题型07 一次函数与平移变换 题型08 一次函数与坐标轴交点问题 题型09 与一次函数性质有关的开放性问题 题型10 求直线围成的图形面积 命题点二 一次函数的应用 题型01 行程问题 题型02 最大利润问题 题型03 分配问题 05·重难突破·思维进阶难 6 突破一 一次函数与规律探索问题 突破二 一次函数与新定义问题 突破三 一次函数与反比例函数、二次函数综合 突破四 一次函数与图形变换综合 突破五 一次函数与几何综合 突破六 新情境问题 突破七 新考法问题 06·优题精选·练能提分 6 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 一次函数的图像与性质 T16 T16 T16 掌握一次函数的图像（直线）、斜率k（增减性）、截距b（与y轴交点）的性质；能根据条件画一次函数图像。 一次函数的应用 T23 T23 T23 能从实际问题中抽象出变量，建立一次函数关系式y=kx+b，明确参数的实际意义 一次函数与方程（组）、不等式（组） 理解一次函数与一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式的关系，能利用函数图像求解方程 / 不等式的解。 命题预测 一次函数在天津中考中会保持 16 题（填空）和 23 题（解答）的稳定考查。填空题侧重图像平移、系数与象限等基础考点；解答题则以分段函数实际应用为主，常与不等式结合，未来可能加强与几何或其他函数的综合。 备考建议 先夯实基础，牢记平移规律和系数意义；再突破中档解答题，多练分段函数实际应用；同时注意规避平移符号、区间端点等易错点。 考点一 一次函数的图像与性质 正比例函数的定义：一般地，形如的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数. 一次函数的定义：一般地，形如的函数，叫做一次函数.当b=0时，即，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. 【小技巧】判断一个函数是不是一次函数，就是判定它能不能化成的形式，其特征为：1）k_______0；2）x的次数为_______；3）常数b可以取______________. 【注意】一般地，一次函数中自变量x的取值范围是任意实数，但在实际问题中x的取值范围要根据具体问题的实际意义来确定. 一次函数的图像与性质（含正比例函数） k＞0 k＜0 图像 b＞0 b＝0 b＜0 b＞0 b＝0 b＜0 趋势 从左向右看图像呈_______趋势 从左向右看图像呈_______趋势 增减性 y随x增大而_______ y随x增大而_______ 与y轴交点的位置 经过 的象限 拓展 1）直线与直线平行_______ 2）直线与直线垂直_______ 【补充说明】一次函数的性质主要是指函数的增减性，即y随x的变化情况，它只与k的符号有关，与b的符号无关. 待定系数法求一次函数解析式一般步骤： 1）设：设一次函数的解析式为； 2）列：将已知条件代入解析式，列出关于k、b的二元一次方程组； 3）解：解二元一次方程组，求出k、b； 4）代：将k、b的值代回所设的函数解析式中. 一次函数的平移变换 平移变换 平移方式（m＞0） 函数解析式 向上平移m个单位 _______ 向下平移m个单位 _______ 向左平移m个单位 _______ 向右平移m个单位 _______ 平移口诀：左加有减（只改变x），上加下减（只改变y）. 【总结】一次函数图象平移后，k值不变因此可求出原函数图象上任意一点平移后得到的点的坐标，再利用待定系数法即可求出平移后的解析式. 1．（2025·天津·中考真题）将直线向上平移个单位长度，若平移后的直线经过第三、第二、第一象限，则的值可以是 （写出一个即可）． 2．（2024·天津·中考真题）若正比例函数的图象经过第一、第三象限，则的值可以等于 （填一个即可）． 3．（2023·天津·中考真题）若直线向上平移3个单位长度后经过点，则的值为 ． 考点二 一次函数与方程、不等式 图示 与一次方程的关系 方程的解直线与x轴交点的_______. 与二元一次方程组的关系 方程组​​的解直线与直线的_______. 与一元一次不等式的关系 1）不等式的解集直线位于x轴_______的部分对应的x的取值范围； 2）不等式的解集直线位于x轴_______的部分对应的x的取值范围； 3）不等式______________的解集直线位于直线上方的部分 对应的x的取值范围. 1（2025武清区模拟）已知一次函数的图像如图所示，则不等式的解集为 ． 2．（2023·天津红桥·一模）如图，直线与（）的交点的横坐标为，则关于x的不等式的整数解是 ． 3．（2025河北区模拟）已知一次函数（a、b为常数），x与y的部分对应值如下表： x 0 1 2 3 y 6 4 2 0 那么方程的解是 ，不等式的解集是 . 考点三 一次函数与实际应用 1.判断两个变量之间是不是一次函数关系的步骤： 1）通过实验、测量获得数量足够多的两个变量的对应值； 2）建立适当的平面直角坐标系，画出图像； 3）观察图像特征，判断函数的类型. 2.建立一次函数解析式的常用方法 1）根据基本的量之间存在的关系列函数解析式； 2）若题目中已明确给出两个变量的函数关系，则可用待定系数法求出函数解析式； 用一次函数解决问题的关键是建立数学模型，数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型. 3.一次函数应用问题的求解思路： 1）建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质求解； 2）在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图像求解.要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点； 3）分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图像，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用. 4.利用一次函数的图像解决实际问题的一般步骤： 1）观察图像，获取有效信息； 2）对获取的信息进行加工、处理，理清各数量之间的关系； 3）选择适当的数学工具(如函数、方程、不等式等)，通过建模解决问题. 【提示】时刻注意根据实际情况确定变量的取值范围. 1．（2025·天津·中考真题）已知小华的家、书店、公园依次在同一条直线上，书店离家，公园离家．小华从家出发，先匀速步行了到书店，在书店停留了，之后匀速步行了到公园，在公园停留后，再用匀速跑步返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 小华离开家的时间 1 6 18 50 小华离家的距离 ②填空：小华从公园返回家的速度为____________； ③当时，请直接写出小华离家的距离关于时间的函数解析式； (2)若小华的妈妈与小华同时从家出发，小华的妈妈以的速度散步直接到公园．在从家到公园的过程中，对于同一个的值，小华离家的距离为，小华的妈妈离家的距离为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 2．（2024·天津·中考真题）已知张华的家、画社、文化广场依次在同一条直线上，画社离家，文化广场离家．张华从家出发，先匀速骑行了到画社，在画社停留了，之后匀速骑行了到文化广场，在文化广场停留后，再匀速步行了返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中张华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 张华离开家的时间 1 4 13 30 张华离家的距离 ②填空：张华从文化广场返回家的速度为______； ③当时，请直接写出张华离家的距离关于时间的函数解析式； (2)当张华离开家时，他的爸爸也从家出发匀速步行了直接到达了文化广场，那么从画社到文化广场的途中两人相遇时离家的距离是多少？（直接写出结果即可） 3．（2025·天津和平·一模）甲、乙两人骑自行车从A地到B地．甲先出发骑行3km时，乙才出发；开始时，两人骑行速度相同，后来甲改变骑行速度，乙骑行速度始终保持不变；乙出发后，甲到达B地．如图，x表示乙骑行时间，y表示骑行的距离，图象反映了甲、乙两人骑行的距离与时间之间的对应关系． (1)乙比甲提前______h到达B地，乙的骑行速度为_____， ； (2)求甲骑行过程中，y关于x的函数表达式； (3)乙到达B地时，甲离B地的路程为 km； (4)在甲到达B地前，当 h时，甲、乙两人相距2km； (5)乙出发 h时两人相遇，此时距离A地 km． 命题点一 一次函数的图像及其应用 ►题型01 根据一次函数的定义求参数 【典例1】（2024·天津河西·一模）若点在一次函数的图象上，则这个点可以是 （任意写出一个具体的点即可）， 【变式1】（2024蓟州模拟预测）已知是关于的一次函数，则 ． 【变式2】（2024天津模拟预测）已知函数． （1）当 时，该函数为一次函数： （2）当 时，该函数为二次函数． ►题型02 正比例函数的图像与性质 对于正比例函数，只要知道比例系数k的正负，不需画出图像就能判断其图像的大致位置以及函数的增减性.反之，若知道正比例函数的增减性，也可以推断出函数的比例系数k的正负. 【典例2】（2025蓟州模拟）如图是四个正比例函数的图象，则，，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2024南开区模拟）若正比例函数的图象过第二、四象限，则关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【变式2】（2025和平区模拟），是正比例函数的图上的两个点，则，的大小关系是（    ）． A． B． C． D．不能确定 ►题型03 探究一次函数经过的象限与系数之间的关系 图像如果过第一、三象限，那么k＞0；图像如果过第二、四象限，那么k＜0 【典例3】（2025·天津·模拟预测）一次函数经过第一、三、四象限，则的取值范围为 ． 【变式1】（2025·天津西青·一模）函数（是常数）的图象不经过第二象限，则的值可以是 ．（写出一个即可） 【变式2】（2025·天津河东·一模）如果一次函数的图象一定经过第二、三象限，那么常数的值可以是 （写出一个即可）． ►题型04 探究一次函数的增减性与系数之间的关系 若x增大y也增大，则k＞0；若x增大y反而减小，则k＜0 【典例4】（2023·天津河西·三模）若一次函数的函数值y随着自变量x值的增大而减小，则 （写出一个满足条件的值）． 【变式1】（2023·天津和平·三模）若一次函数的图象经过点（1，3），且y随着x的增大而增大，则一次函数的解析式为 （写出一个即可）． 【变式2】（2023·天津河北·一模）若一次函数中，y随x的增大而增大，则m的值可以是 （写出一个即可）． ►题型05 根据增减性比较函数值 【典例5】（2023河西区模拟预测）在平面直角坐标系中，已知一次函数 y＝2x+1 的图象经过 P1（-1，y1），P2（2，y2）两点， 则 y1 y2（填“＞”或“＜”或“＝”） 【变式1】（2024·天津南开·一模）已知一次函数（为常数，），点和点是其图象上的两个点，且满足，写出一个符合条件的的值为 . ►题型06 待定系数法求函数解析式 【典例6】（2025·天津北辰·一模）若一次函数（k、b是常数，）的图像与直线平行，且过点，则一次函数的解析式为 ． 【变式1】（2024·天津红桥·三模）若直线（k为常数，）经过点，则该直线与x轴的交点坐标为 ． 【变式2】（2024·天津南开·三模）全世界大部分国家都采用摄氏温标预报天气，但也有一部分国家仍然采用华氏温标．某校数学兴趣小组同学通过查阅资料，得到两种温标计量值的对应关系如下表所示，其中x（单位：）表示摄氏温度的值，y（单位：）表示华氏温度的值，分析知y是x的某种函数． 摄氏温度值x（单位：） … 0 10 20 30 40 50 … 摄氏温度值y（单位：） … 32 50 68 86 104 122 … (1)写出y关于x的函数关系式； (2)在下面的直角坐标系中，画出y关于x的函数图象； (3)根据函数图象填空： ①与对应的华氏温度值为__________； ②与对应的摄氏温度值为__________； ③摄氏温度值与华氏温度值相等的温度值为__________． ►题型07 一次函数与平移变换 1）平移口诀：左加有减（只改变x），上加下减（只改变y） 2) 翻折口诀：关于谁对称谁不变，关于原点对称都改变. 【典例7】（2025天津模拟预测）一次函数向上平移个单位后，经过点，则平移后的解析式为 ． 【变式1】（2025·天津河东·二模）将正比例函数的图象向上平移1个单位，所得直线解析式为 ． 【变式2】（2025塘沽模拟预测）在平面直角坐标系中，将直线沿轴向下平移2个单位长度后与轴交于，则的值为 ． 【变式3】（2022·天津河东·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点 ，沿轴向右平移，得，直线与直线相交于点，设，以点，，，为顶点的四边形面积记为. (1)求的长和与的函数关系式；（用相似） (2)用含 的式子表示； (3)当，求点的坐标（直接写出结果）. ►题型08 一次函数与坐标轴交点问题 【典例8】（2025宝坻区模拟）如图所示的平面直角坐标系中，点A坐标为（4，2），点B坐标为，在y轴上有一点P使的值最小，则点P坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·天津南开·一模）将直线向下平移1个单位长度得到直线，则直线与轴的交点坐标为 ． 【变式2】（2024·天津红桥·二模）若直线（为常数）与轴相交于点，与轴相交于点，则的长为 ． ►题型09 与一次函数性质有关的开放性问题 【典例9】（2024·天津·一模）写出一个过点且随的增大而增大的一次函数解析式 ．（写出一个即可） 【变式1】（2022·天津·二模）如图，一次函数的图象经过第一、二、三象限，侧b的值可以是 ．（写一个即可） 【变式2】（2025·天津·一模）若一次函数（是常数，）的图象经过第二、一、四象限，则的值可以是 （写出一个即可）． 【变式3】（2025·天津河西·一模）将直线向右平移，且平移后不过第三象限，写出一个符合条件的平移后的直线解析式 ． ►题型10 求直线围成的图形面积 【典例10】（2025蓟州区模拟）如果直线与两坐标轴所围成的三角形的面积是9，那么的值为 ． 【变式1】（2025天津市模拟）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．与y轴交于点． (1)在图中画出关于y轴对称的，并写出点的坐标（点A，B，C的对应点分别是点）； (2)在平面直角坐标系中，若点，，那么点是线段的中点．判断点P （填“是”或“不是”） 的中点，写出中点Q的坐标及（1）题中和重叠部分的面积． 【变式2】（2025·河北区·二模）一个数学兴趣小组尝试探究一次函数图象与两坐标轴所围成三角形面积的问题．为了较为全面地研究这个问题，他们准备把它分成两种类型问题来分别进行研究： 类型I：一条直线（、都不为0）与两条坐标轴所围成的三角形面积大小； 类型II：两条直线和（、，且都不为零）与坐标轴所围成的三角形的面积、直线与两条坐标轴所围成的三角形面积、直线与两条坐标轴所围成的三角形面积之间的关系． 小组成员认为第一类问题只要将直线与两坐标轴的交点坐标分别求出来，就能解决；而第二类的问题需要根据两个函数和符号的不同情况，分别进行研究，才能得出相应的结论． (1)如图1，请你帮助小组求出的面积（用含和的式子表示）． (2)将直线与两条坐标轴所围成的三角形面积记为，直线与两条坐标轴所围成的三角形面积记为，直线、和轴所围成的三角形面积记为，它们和轴所围成的三角形面积记为． ①在图2中已经画出了直线和大致图象的一种情况，那么关于这两个一次函数的和符号选项正确的是______． A．，，，        B．，，， C．，，，        D．，，， 此时、、和之间的关系式是______． ②如图3，保持直线不变，改变直线中和的符号（不考虑和的大小），请在图中画出直线的大致图象，此时、、和之间的关系式是______． 命题点二 一次函数的实际应用 ►题型01 行程问题 【典例1】（2025·天津·一模）甲、乙两人骑自行车同时从A地出发沿同一路线去B地，甲骑行后因事停留了，然后继续按原速骑行到达B地；乙骑行直接到达B地，已知A，B两地相距．下面图中x表示时间，y表示离A地的距离，图象反映了这个过程中甲离A地的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)填空： ①图中_______，_______； ②甲出发离A地的距离是______； ③乙骑行的速度为______． (2)请直接写出甲离A地的距离y关于时间x的函数解析式，并指出x的取值范围； (3)当甲乙相距时，甲出发的时间是多少？（直接写出结果即可） 【变式1】（2025·天津南开·三模）某县在实施“村村通”工程中，决定在，两村之间修筑一条公路，甲、乙两个工程队分别从，两村同时相向开始修筑，施工期间，乙队因另有任务提前离开，余下的任务由甲队单独完成，直到道路修通．下图是甲、乙两个工程队各自修筑道路的长度（单位：）与修筑时间（单位：天）之间的函数图象． 请根据相关信息，回答下列问题． (1)填表： 甲工程队修筑道路的时间（单位：天） 2 4 8 甲工程队修筑道路的长度（单位：） 360 (2)填空：①乙工程队提前离开了______（天）； ②乙工程队修筑道路的速度为______（m/天）； ③乙工程队一共修筑道路的长度为______（m）； ④该公路的总长度为______（m）； (3)当时，请直接写出甲工程队修筑道路的长度关于时间的函数解析式； (4)甲、乙工程队都施工期间，他们修筑道路的长度相差时，修筑道路的时间的值为多少？（直接写出结果） ►题型02 最大利润问题 一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图像为射线或线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数解析式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值． 【典例2】（2021·天津河东·二模）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展，小明计划给朋友快递一部分物品，经了解有甲乙两家快递公司比较合适．甲公司表示：快递物品不超过1千克的，按每千克22元收费；超过1千克，超过的部分按每千克15元收费，乙公司表示：按每千克16元收费，另加包装费3元，设小明快递物品x千克． （1）根据题意，填写下表： 快递物品重量（千克） 0.5 1 3 4 甲公司收费（元） ______ 22 ______ ______ 乙公司收费（元） 11 ______ 51 67 （2）设甲快递公司收费元，乙快递公司收费元，分别写出关于x的函数关系式； （3）若小明在两家快递公司花费相同，则他的快递物品重量是________千克； 若他快递物品6千克，应选择_________快递公司（选填“甲”或“乙”）； 若他快递物品3.5千克，则选择___________快递公司（选填“甲”或“乙”）． 【变式1】（2021·天津红桥·二模）4月23日是“世界读书日”，甲、乙两个书店在这一天举行了购书优惠活动，在甲书店，所有书籍按标价总额的8折出售．在乙书店，一次购书的标价总额不超过100元的按标价总额计费，超过100元后的部分打6折．设在同一家书店一次购书的标价总额为x（单位：元，）． （Ⅰ）根据题意，填写下表： 一次购书的标价总额/元 50 150 300 … 在甲书店应支付金额/元 120 … 在乙书店应支付金额/元 130 … （Ⅱ）设在甲书店应支付金额元，在乙书店应支付金额元，分别写出关于x的函数关系式； （Ⅲ）根据题意填空： ①若在甲书店和在乙书店一次购书的标价总额相同，且应支付的金额相同，则在同一个书店一次购书的标价总额_______元； ②若在同一个书店一次购书应支付金额为280元，则在甲、乙两个书店中的_______书店购书的标价总额多； ③若在同一个书店一次购书的标价总额120元，则在甲、乙两个书店中的_______书店购书应支付的金额少． 【变式2】（2021·天津和平·一模）A市和B市分别有库存某种机器12台和6台，现决定支援C市10台，D市8台．已知从A市调运一台机器到C市、D市的运费分别为130元和200元；从B市调运一台机器到C市、D市的运费分别为100元和150元． （1）填空： 若从A市运往C市机器5台， ①从A市运往D市机器_______台； ②从B市运往C市机器_______台； ③从B市运往D市机器_______台． （2）填空： 设从A市运往C市机器x台，总运费为y元， ①从A市运往D市机器_______台； ②从B市运往C市机器_______台； ③从B市运往D市机器_______台； ④总运费y关于x的函数关系式为_______ ⑤若总运费不超过2650元，共有________种不同的调运方案． （3）求使总运费最低的调运方案，最低总运费是多少？ ►题型03 分配问题 方案的选取就是在自变量的不同取值范围内比较多个函数值的大小，同时也是利用一次函数解决实际问题的典型题目，它的实质是将比较函数值大小的问题转化为解方程或解不等式的问题. 【典例3】（2021·天津河西·一模）在“新冠病毒”防控期间，某益康医疗器械公司分两次购进酒精消毒液与测温枪两种商品进行销售，两次购进同一商品的进价相同，具体情况如表所示： （1）求酒精消毒液和测温枪两种商品每件的进价分别是多少元？ （2）公司决定酒精消毒液以每件20元出售，测温枪以每件240元出售．为满足市场需求，需购进这两种商品共1000件，且酒精消毒液的数量不少于测温枪数量的4倍，求该公司销售完上述1000件商品获得的最大利润． 项目 购进数量（件） 购进所需费用（元） 酒精消毒液 测温枪 第一次 30 40 8300 第二次 40 30 6400 【变式1】（2021·天津河北·模拟预测）某种商品的进价为40元/件，以获利不低于20%的价格销售时，商品的销售单价y（元/件）与销售数量x（件）（x是正整数）之间的关系如下表： x（件） … 5 10 15 20 … y（元/件） … 75 70 65 60 … （1）当销售单价不低于最低销售单价时，y是x的一次函数．求出y与x的函数关系式及x的取值范围； （2）在（1）的条件下，当销售单价为多少元时，所获销售利润最大，最大利润是多少元？ 【变式2】（2020·天津红桥·三模）某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，成本为25元．由于在生产过程中，平均每生产1件产品，有污水排出，所以为了净化环境，工厂设计两种方案对污水进行处理，并准备实施． 方案甲：工厂将污水排到污水厂统一处理，每处理需付14元的排污费； 方案乙：工厂将污水进行净化处理后再排出，每处理污水所用原料费为2元，且每月净化设备的损耗费为30000元．设工厂每月生产x件产品（x为正整数，）． （1）根据题意填写下表： 每月生产产品的数量/件 3500 4500 5500 … 方案甲处理污水的费用/元 31500 … 方案乙处理污水的费用/元 34500 … （2）设工厂按方案甲处理污水时每月获得的利润为元，按方案乙处理污水时每月获得的利润为元，分别求，关于x的函数解析式； （3）根据题意填空： ①若该工厂按方案甲处理污水时每月获得的利润和按方案乙处理污水时每月获得利润相同，则该工厂每月生产产品的数量为_______件； ②若该工厂每月生产产品的数量为7500件时，则该工厂选用方案甲、方案乙中的方案_______处理污水时所获得的利润多； ③若该工厂每月获得的利润为81000元，则该工厂选用方案甲、方案乙中的方案________处理污水时生产产品的数量少． 突破一 一次函数与规律探索问题 【易错点】 1）自变量 x 的起始值：若序号从 0 开始，注意 x=0 时 y=b，避免代入错误。 2）验证环节不可省略：部分规律前几组符合等差，后续可能变化，需验证确保正确性。 3）区分一次函数与其他规律：若 y 的差值不是定值，则不是一次函数，可能是二次函数或等比数列。 【典例1】（2025·山东烟台·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，的顶点的坐标为．以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧；以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧……按照以上规律作图，点的坐标为 ． 【变式1】（2025平邑县二模）观察规律，运用你观察到的规律解决以下问题：如图，分别过点作轴的垂线，交的图象于点，交直线于点．则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024河西区模拟）如图，，，，…，都是面积为的等边三角形，边AO在y轴上，点，，，…，，都在直线上，点，，，…，都在直线的上方，观察图形的构成规律，用你发现的规律直接写出点的坐标为 ． 突破二 一次函数与新定义问题 【典例1】（2025天津模拟预测）实数和，若，我们定义，比如．已知关于的函数，下列结论：①函数图象经过原点；②若，则方程有三个不等实根；③若，则时，有最小值3；④若时，的值随的值增大而增大，则．其中正确的结论是 （填写序号）． 【变式1】（2024天津押题预测）定义：对于给定的一次函数（，k、b为常数），把形如（，k、b为常数）的函数称为一次函数（，k、b为常数）的衍生函数．已知的顶点坐标分别为． (1)请写出的衍生函数，并直接写出若点在一次函数的衍生函数图象上，则 ； (2)如图，一次函数的衍生函数图象与平行四边形交于M、N、P、Q四点，其中P点坐标是； ①用含k的式子表示b； ②求出点M、N、Q的坐标（用含k的式子表示）； ③如果，求k的值 突破三 一次函数与反比例函数、二次函数综合 【典例3】（2025滨河新区模拟预测）如图，一次函数和反比例函数的图像交于点与点B． (1)a的值为_______；反比例函数关系式_______． (2)若，结合图像直接写出x的取值范围________． (3)连接，求的面积． 【变式1】（2025南开区模拟）已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，. (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)填空： ①直接写出不等式的解集______； ②点，，都在反比例函数的图象上，若，比较，，的大小（用号连接），其结果是______. 【变式2】（2023·天津河东·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为P，与x轴交于点和点B，与y轴交于点C． (1)求点P的坐标； (2)点K是抛物线上的动点，当时，求出点K的坐标； (3)直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E．若点Q为x轴上方二次函数图象上一动点，过点Q作直线，分别交直线l于点M，N，在点Q的运动过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【变式3】（2025河北区模拟）如图，二次函数的图象交轴于点，点与点关于该二次函数图象的对称轴对称，已知一次函数的图象经过该二次函数图象上的点及点． (1)求二次函数与一次函数的解析式、 (2)点P是该抛物线上一动点，点从点沿抛物线向点运动（点不与、重合），过点作轴，交直线于点．请求出点在运动的过程中，线段的长度的最大值以及此时点的坐标： (3)抛物线上是否存在点，使，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 突破四 一次函数与图形变换综合 【典例4】（2025·天津·一模）将平行四边形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点在第一象限，且． (1)填空：如图1，点的坐标为_____，点的坐标为_____； (2)若为轴的正半轴上一动点，过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在轴的正半轴上，点的对应点为．设． ①如图2，若直线与边相交于点，当折叠后四边形与重叠部分为五边形时，与相交于点．试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； ②设折叠后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【变式1】（2025·天津·一模）在平面直角坐标系中，O为原点，点，点B在y轴的正半轴上，，是等边三角形，点C在第二象限． (1)填空：如图①，点B的坐标为 ，点C的坐标为 ； (2)将沿x轴向右平移得到，点B，C，O的对应点分别为． ①如图②，设与重叠部分的面积为S．当与重叠部分为五边形时，分别与相交于点E，F，G，H，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②连接，当取得最小值时，求点的坐标（直接写出结果即可）． 【变式2】（2025·天津·一模）在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，点在轴的负半轴上，点在第二象限，矩形的顶点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上．将沿轴向右平移，得到，点的对应点分别为． (1)如图1，当经过点时，求直线的函数表达式； (2)设，与矩形重叠部分的面积为； ①如图②，当与矩形重叠部分为五边形时，与相交于点，分别与，交于点，用含有的式子表示　　；直接写出的取值范围 ； ②请直接写出满足的所有t的值 ． 突破五 一次函数与几何综合 【典例5】（2025·天津河东·二模）将一个直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点．P是边上的一点（点P不与点A，O重合），沿着折叠该纸片，得点O的对应点C． (1)填空：如图①，当点C在边上时，点P的坐标为________，的面积为________； (2)如图②，当轴时，与交于点D，求点D的坐标； (3)设点A到直线的距离为d，在折叠过程中，当时，求的长（直接写出结果即可）． 【变式1】（2025·天津和平·一模）在平面直角坐标系中，O为原点，，，点，点B在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上，点D是的中点，连接． (1)填空：如图，点B的坐标为______，点C的坐标为______，线段的长为_______； (2)以点A为中心，顺时针旋转，得到，点C，D的对应点分别为E，F． ①连接，当轴时，求点F的坐标： ②连接，记M为线段的中点，S为的面积，求S的最大值（直接写出结果即可）． 【变式2】（2025·天津北辰·一模）在平面直角坐标系中，O为原点，是等边三角形，点，点B在第一象限，矩形的顶点，点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限，射线经过边的中点． (1)如图①，点B的坐标为_______；点D的坐标为_______； (2)将矩形沿x轴向右平移，得到矩形点O，C，D，E的对应点分别为，，，，设，矩形与重叠部分的面积为S． ①如图②，当点在的外部，且矩形与重叠部分为五边形时，，与分别相交于点F和点G，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围．（直接写出结果即可） 突破六 新情境问题 【典例6】（2025·天津西青·二模）某校八年级（1）班共有学生人，据统计原来每人每年用于购买饮料的平均支出是元．经测算和市场调查，若该班学生集体改饮某品牌的桶装纯净水，则年总费用由两部分组成，一部分是购买纯净水的费用，另一部分是其它费用元，其中，纯净水的销售价（元桶）与年购买总量（桶）之间满足如图所示关系． (1)求与的函数关系式； (2)若该班每年需要纯净水桶，且为时，请你根据提供的信息分析一下：该班学生集体改饮桶装纯净水与个人买饮料，哪一种花钱更少？ (3)当至少为多少时，该班学生集体改饮桶装纯净水一定合算，从计算结果看，你有何感想？（不超过字） 【变式1】（2025·天津南开·二模）已知学生宿舍、文具店、图书馆依次在同一条直线上，文具店距离宿舍，图书馆距离宿舍．张强从宿舍出发，匀速骑行到图书馆，在图书馆中查阅资料停留了一段时间；接着他匀速骑行到达了文具店，在文具店停留了购买文具；最后，他又匀速骑行回到宿舍．下图中（单位：）．表示张强离开宿舍的时间，（单位：）表示张强离宿舍的距离．图象反映了这个过程中张强离宿舍的距离与张强离开宿舍的时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)填表： 张强离开宿舍的时间（单位：） 0.5 1.8 2.3 2.4 2.6 张强离宿舍的距离（单位：） 4 1 0 (2)填空：①文具店到图书馆的距离为 ； ②张强在图书馆查阅资料停留的时间为 ； ③当时，请直接写出关于的函数解析式． (3)当张强离开宿舍时，同宿舍的李明从图书馆出发匀速步行直接回宿舍，最后，他与张强同时到达宿舍，那么，张强从图书馆回宿舍的途中（），两人相距时，张强离开宿舍的时间为 ． 【变式2】（2025·天津西青·二模）某地为了更好地促进旅游业的发展，方便游客游览，推出乘坐观光车和大巴车两种游览方式（行驶路线相同）．现有甲、乙两个旅游团，均准备从地出发前往相距千米的地游览，其中甲旅游团选择乘坐观光车，并在中途停靠一段时间后继续按照原来的速度前往地：乙旅游团则在甲旅游团出发小时后乘坐大巴车前往地，且比甲旅游团提前二十分钟到达地． 下面图中（单位：）表示旅游团乘车的时间，（单位：）表示旅游团离开地的距离，图象反映了这个过程中甲旅游团离开地的距离与甲旅游团所用时间之间的对应关系． (1)填表： 甲旅游团所用时间 甲旅游团离开地的距离 填空：图中的值为_______大巴车的速度为_______； (2)当时，请直接写出甲旅游团离开地的距离与甲旅游团所用时间的函数解析式； (3)甲旅游团出发几小时被乙旅游团追上？此时甲旅游团距地多少千米？（直接写出结果即可） 【变式3】（2025·天津河西·一模）无人机表演队在进行表演训练，甲无人机以一定的速度从地面起飞，匀速上升6s时，到达训练计划指定的高度停止上升，保持此高度并开始第一次表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，当甲无人机按照训练计划准时到达距离地面的高度96m时，进行了第二次表演，表演完成后以一定的速度返回地面．下面给出的图象反映了这个过程中甲无人机距离地面的高度与它飞行的时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 甲无人机飞行的时间/s 1 6 30 39 所在的位置距离地面的高度/m 48 ②填空：甲无人机返回地面时的速度为______； ③当时，请直接写出y关于x的函数解析式． (2)现有新的训练计划（甲无人机保持原训练计划不变），在甲无人机开始第一次表演5秒后，有乙无人机从距离地面48米高的楼顶起飞，匀速上升并和甲无人机同时到达距离地面96米的高度，并开始与甲无人机进行联合表演，表演结束后，两机都以相同的速度同时返回地面．问乙无人机出发多久时，甲无人机和乙无人机距离地面的高度差为10米？（直接写出结果即可） 突破七 新考法问题 【典例】（2025·吉林延边·模拟预测）延边大学网红墙是热门网红打卡地，大学生李明和张强相约来延吉旅游．已知德铭宾馆、公园、延边大学网红墙在同一条直线道路上．两人从德铭宾馆出发，打车匀速行驶到距离宾馆的延边大学网红墙，在网红墙拍照停留后选择分开游玩．李明独自匀速步行到延吉人民公园观赏荷花，张强停留在网红墙处购买纪念品．李明在公园停留后原路匀速步行返回宾馆．图象反映了整个过程中李明离宾馆的距离与离开宾馆的时间之间的变化关系．根据相关信息，解答下列问题： (1)填空： ①从宾馆打车到网红墙所用时间为______； ②李明从宾馆出发时距离宾馆______； ③网红墙距离公园______；李明从网红墙匀速步行到公园的速度为_____． (2)求当时，y关于x的函数解析式； (3)当李明离开网红墙后，张强快步以的速度原路返回和李明汇合，当张强与李明汇合时，汇合地点距离宾馆多远？（直接写出结果即可） 72．（2023·吉林长春·模拟预测）某文具店自疫情以来网络销量不断增大，为了节省快递费用，与快递公司协商后达成协议，协议部分内容如下： ①同城快递发货费用每件价格固定，但低于外市快递每件发货价格． ②外市快递每日发货不超过30件附，发货价格按每件8元计算，超过30件时超过的部分每件发货价格有一定的优惠． （注：文具店单件货品不超过标准重量，外市快递不包含偏远地区） 文具店每日同城快递和外市快递各自发货所花金额y（元）与各自发货件数x（件）之间的函数关系如图所示： (1)求同城快递每件发货价格． (2)求外市快递发货费用y与外市发货件数x的函数关系式 (3)文具店某日发货50件（同城和外市均有销量），共花费304元，求这一天文具店同城快递发货件数． 【变式1】（2024河东区模拟）落实五育并举，加强劳动教育．某中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地．年计划将其中的土地全部种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜成本为50元/．乙种蔬菜的种植成本与其种植面积之间的关系如下图所示．设乙种蔬菜种植成本为y（元/），乙种蔬菜的植面积为x（）（其中）．    (1)根据题意，填写下表： 种植面积x（） 乙种蔬菜种植成本y（元/） ① ② ③ (2)设年甲乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？ 【变式2】（2023·天津和平·三模）在“看图说故事”活动中，某学习小组根据《龟兔赛跑》的故事绘制了函数图象． 乌龟和兔子在笔直的公路上比赛，它们从同一地点同时出发后匀速向终点前进，兔子很快把乌龟远远甩在后头，骄傲自满的兔子觉得自己遥遥领先，就躺在路边呼呼大睡起来.当它一觉醒来，发现乌龟已经超过它，于是兔子加快速度追赶，最后还是输给了乌龟．图中的线段和折线分别表示乌龟和兔子的路程ym和时间x之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)填表： 比赛时间 5 10 35 52 60 兔子所走的路程 200 550 (2)填空： ①赛跑中，兔子共睡了______； ②乌龟追上兔子所用的时间为______； ③兔子到达终点比乌龟晚了_______； ④在比赛过程中，龟和兔最多相距________m． (3)当时，请直接写出兔子在赛跑过程y和x的函数解析式． 【变式3】（2025·天津和平·一模）某通讯公司推出了移动电话的两种计费方式，设一个月内使用移动电话主叫的时间为分钟，方式一，方式二的月使用费用分别为元，元，两种计费方式被叫均免费．其中方式一月使用费详情见下表，方式二的月使用费元与主叫时间分钟的函数图象如图所示． 月使用费/元 主叫限定时间/分钟 主叫超时费/（元/分钟） 被叫 方式一 38 120 0.1 免费 (1)根据题意填表： 表格一： 主叫时间x分钟 x=100 x=320 x>120 方式一计费/元 y1= 表格二： 月使用费/元 主叫限定时间/分钟 主叫超时费/（元/分钟） 被叫 方式二 免费 (2)结合图象信息，求与的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)选用哪种计费方式花费少（直接写出结果即可）． 1．（2025·天津滨海新·三模）某商店销售一种进价为40元/千克的海鲜产品，据调查发现，月销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间满足一次函数关系，部分信息如下表： 售价x（元/千克） 50 60 70 80 … 销售量y（千克） 250 240 230 220 … ①y与x之间的函数关系式为； ②当售价为72元时，月销售利润为7296元； ③当每月购进这种海鲜的总进价不超过5000元时，最大利润可达到16900元； ④销售这种海鲜产品，每月最高可获得利润16900元； 其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2024·天津和平·一模）已知二次函数 （是常数） 的图象与轴没有公共点，且当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·天津·一模）在同一直角坐标系中，函数与的图象大致是（    ） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（4） D．（3）（4） 4．（2025·天津滨海新·二模）函数的图象经过点，则函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．（2023·天津西青·一模）若点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）都是一次函数y=﹣x﹣1图象上的点，并且y1＜y2＜y3，则下列各式中正确的是（　　） A．x1＜x2＜x3 B．x1＜x3＜x2 C．x2＜x1＜x3 D．x3＜x2＜x1 6．（2024·天津·模拟预测）当k变化时，两条直线：和：的最大距离为（    ） A．1 B． C．2 D． 7．（2025·天津西青·二模）一次函数的图象向上平移个单位后的函数表达式为 ． 8．（2025·天津西青·二模）已知，，在轴上求一点，使最小，则点的坐标是 ． 9．（2025·天津河东·模拟预测）已知学校、书店、陈列馆依次在同一条直线上，书店离学校，陈列馆离学校．小明从学校出发，匀速骑行 到达书店，在书店停留 后，匀速骑行 到达陈列馆，在陈列馆参观学习一段时间，然后回学校，回学校途中，匀速骑行 后减速，继续匀速骑行回到学校，下面图中表示时间，表示离学校的距离．图象反映了这个过程中小明离学校的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 小明离开学校的时间/ 小明离学校的距离 ②填空：小明从陈列馆回学校途中，减速前的骑行速度为 ； ③当时，请直接写出小明离学校的距离关于时间的函数解析式． (2)当小明到达书店前 时，同学小红从书店出发匀速直接前往陈列馆，如果小红步行的速度为，那么她在前往陈列馆的途中遇到小明时离学校的距离是多少？(直接写出结果即可) 10．（2025·天津·模拟预测）甲、乙两车从城出发前往城．在整个行程中，甲车离开城的距离与甲车离开城的时间的对应关系如图所示． (1)填空： ①A，B两城相距___________； ②当甲车出发时，距离城___________； ③当时，甲车的速度为___________； ④当时，甲车的速度为___________； ⑤请直接写出关于的函数解析式； (2)若乙车比甲车晚出发，以的速度匀速行驶，求两车相遇时，甲车离开城的时间（直接写出结果即可）． 1．（2025·天津和平·三模）如图，在边长为4的正方形中，点是对角线延长线上一点，，连接． ①线段的长为 ； ②过点作与的延长线相交于点，点是的中点，则的长为 ． 2．（2024·天津·模拟预测）已知直线，直线，设它们分别与x轴、y轴相交于A、B和 C、 D (1)如果，设线段与相交于E点， 当k为常数，，变化时，点E在怎样的曲线上运动？求出该曲线的解析式 (2)当时， 求证：，并用含或的式子表示的值 3．（2025·天津南开·二模）已知抛物线（，为常数，）的顶点为，点在抛物线上，抛物线与轴相交于点，点为点关于抛物线对称轴的对称点，为坐标原点． (1)当时，求点和点的坐标； (2)当时，求的值和线段的长； (3)抛物线上点的横坐标，当时，满足，且，垂足为点．直接写出此时的值和点的坐标． 4．（2025·天津西青·二模）将放置在平面直角坐标系中，点，点，点，点Р是线段上一个动点，将线段绕点O逆时针旋转得到线段，点Q在y轴正半轴上，连接． (1)填空：如图①，的值是_____，的度数是_________； (2)将绕点P顺时针旋转得到，点O，Q的对应点分别是C，D，设，与重合部分面积为S． ①如图②，的边分别与相交于点E，F，即与重合部分为时，请用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围．（直接写出结果即可） 5．（2025·天津红桥·三模）已知抛物线（b、c为常数，）与轴相交于两点（点在点的左侧），与轴相交于点，抛物线上的点的横坐标为，且． (1)若． ①求抛物线的顶点和点的坐标； ②当时，求的值； (2)若点的坐标为，过点作，垂足为，过点作轴，与抛物线的另一个交点为，当的最大值为时，求的值． 6．（2024·天津·模拟预测）已知直线与双曲线相交于A、B两点，其中，设点A关于原点中心对称的点为，直线的解析式为； (1)当或时， 判断的大小并简要说明理由； (2)对于一般情形，请证明． 1．（2025·江苏南京·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知下列变换：①沿轴翻折；②沿函数的图像翻折；③绕原点按顺时针方向旋转；④绕点按顺时针方向旋转．其中，能使函数的图像经过一种变换后过点的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2025·江苏无锡·中考真题）若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且关于轴对称，则称函数和具有“对偶关系”，此时点或点的纵坐标称为“对偶值”．下列结论： ①函数与函数不具有“对偶关系”； ②函数与函数的“对偶值”为； ③若1是函数与函数的“对偶值”，则： ④若函数与函数具有“对偶关系”，则． 其中正确的是（　　） A．①④ B．②③ C．①③④ D．②③④ 3．（2025·河北·中考真题）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，正方形与正方形的顶点均为整点．若只将正方形平移，使其内部（不含边界）有且只有，，三个整点，则平移后点的对应点坐标为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·青海西宁·中考真题）在平面直角坐标系中，点，点P在过原点的直线上，且，则直线的解析式是 ． 5．（2025·江苏南通·中考真题）在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径作．直线与交于两点，则的最小值为 ． 6．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交y轴于点．四边形，，，，都是正方形，顶点，，，，都在轴上，顶点，，，，都在直线上，连接，，，，分别交，，，，于点，，，，．设，，，，…的面积分别为，，，，，则 ． 7．（2025·江苏南京·中考真题）如图，在长方形电子屏中，m，m．一条公益广告画面的动态效果设计如下：动点从点出发沿边，以的速度向点运动，随着的移动，画面逐渐展开． (1)写出展开的画面面积（单位：）关于点的运动时间（单位：s）的函数表达式； (2)当展开的画面面积达到电子屏面积的时开始播放广告语，播放时间持续，求播放结束时展开的画面面积． 8．（2025·江苏宿迁·中考真题）甲、乙两人从同一地点出发沿同一路线匀速步行前往处参加活动．甲比乙早出发，两人途中均未休息，先到达处的人在原地休息等待，直到另一人到达处．两人之间的路程与甲行走的时间的函数图像如图所示． (1)乙步行的速度为___________之间的路程为___________； (2)当时，求关于的函数表达式； (3)甲出发多长时间时，两人之间的路程为． 9．（2025·四川乐山·中考真题）在一堂函数专题复习课上，刘老师给出了新定义：若两个函数的图象关于某一点成中心对称，则称这两个函数关于点互为“对称函数”．请同学们解决以下问题： (1)求函数关于点的“对称函数”．小乐同学给出了如下的解题步骤： 第一步：在函数的图象上取两点和； 第二步：分别求出这两个点关于点的对称点_____和______； 第三步：函数关于点的“对称函数”为______． (2)是否存在点，使得函数关于点的“对称函数”就是它本身？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)函数关于点的“对称函数”为，函数与函数所围成的区域（包括边界）记作，横坐标、纵坐标都为整数的点叫做“整点”， ①若，求内的“整点”个数； ②若内至少有个“整点”，至多有个“整点”，求的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数 第02讲 一次函数的性质及应用 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 2 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 4 命题点一 一次函数的图像与性质 题型01 根据一次函数的定义求参数 题型02 正比例函数的图像与性质 题型03 探究一次函数经过的象限与系数之间的关系 题型04 探究一次函数的增减性与系数之间的关系 题型05 根据增减性比较函数值 题型06 待定系数法求函数解析式 题型07 一次函数与平移变换 题型08 一次函数与坐标轴交点问题 题型09 与一次函数性质有关的开放性问题 题型10 求直线围成的图形面积 命题点二 一次函数的应用 题型01 行程问题 题型02 最大利润问题 题型03 分配问题 05·重难突破·思维进阶难 6 突破一 一次函数与规律探索问题 突破二 一次函数与新定义问题 突破三 一次函数与反比例函数、二次函数综合 突破四 一次函数与图形变换综合 突破五 一次函数与几何综合 突破六 新情境问题 突破七 新考法问题 06·优题精选·练能提分 6 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 一次函数的图像与性质 T16 T16 T16 掌握一次函数的图像（直线）、斜率k（增减性）、截距b（与y轴交点）的性质；能根据条件画一次函数图像。 一次函数的应用 T23 T23 T23 能从实际问题中抽象出变量，建立一次函数关系式y=kx+b，明确参数的实际意义 一次函数与方程（组）、不等式（组） 理解一次函数与一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式的关系，能利用函数图像求解方程 / 不等式的解。 命题预测 一次函数在天津中考中会保持 16 题（填空）和 23 题（解答）的稳定考查。填空题侧重图像平移、系数与象限等基础考点；解答题则以分段函数实际应用为主，常与不等式结合，未来可能加强与几何或其他函数的综合。 备考建议 先夯实基础，牢记平移规律和系数意义；再突破中档解答题，多练分段函数实际应用；同时注意规避平移符号、区间端点等易错点。 考点一 一次函数的图像与性质 正比例函数的定义：一般地，形如的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数. 一次函数的定义：一般地，形如的函数，叫做一次函数.当b=0时，即，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. 【小技巧】判断一个函数是不是一次函数，就是判定它能不能化成的形式，其特征为：1）k≠0；2）x的次数为1；3）常数b可以取任意实数. 【注意】一般地，一次函数中自变量x的取值范围是任意实数，但在实际问题中x的取值范围要根据具体问题的实际意义来确定. 一次函数的图像与性质（含正比例函数） k＞0 k＜0 图像 b＞0 b＝0 b＜0 b＞0 b＝0 b＜0 趋势 从左向右看图像呈上升趋势 从左向右看图像呈下降趋势 增减性 y随x增大而增大 y随x增大而减小 与y轴交点的位置 正半轴 原点 负半轴 正半轴 原点 负半轴 经过 的象限 第一、二、 三象限 第一、三象限 第一、三、 四象限 第一、二、 四象限 第二、四象限 第二、三、 四象限 拓展 1）直线与直线平行 2）直线与直线垂直 【补充说明】一次函数的性质主要是指函数的增减性，即y随x的变化情况，它只与k的符号有关，与b的符号无关. 待定系数法求一次函数解析式一般步骤： 1）设：设一次函数的解析式为； 2）列：将已知条件代入解析式，列出关于k、b的二元一次方程组； 3）解：解二元一次方程组，求出k、b； 4）代：将k、b的值代回所设的函数解析式中. 一次函数的平移变换 平移变换 平移方式（m＞0） 函数解析式 向上平移m个单位 向下平移m个单位 向左平移m个单位 向右平移m个单位 平移口诀：左加有减（只改变x），上加下减（只改变y）. 【总结】一次函数图象平移后，k值不变因此可求出原函数图象上任意一点平移后得到的点的坐标，再利用待定系数法即可求出平移后的解析式. 1．（2025·天津·中考真题）将直线向上平移个单位长度，若平移后的直线经过第三、第二、第一象限，则的值可以是 （写出一个即可）． 【答案】2（答案不唯一，满足即可） 【分析】本题考查一次函数图象的平移，根据直线经过的象限，求参数的范围，根据平移规则求出新的解析式，根据图象经过第三、第二、第一象限，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，平移后的解析式为：， ∵平移后的直线经过第三、第二、第一象限， ∴， ∴； ∴的值可以是2； 故答案为：2（答案不唯一，满足即可） 2．（2024·天津·中考真题）若正比例函数的图象经过第一、第三象限，则的值可以等于 （填一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查正比例函数的性质，解题的关键是掌握：在正比例函数中，当时，随的增大而增大，图象经过第一、三象限；当时，随的增大而减小，图象经过第二、四象限．据此解答即可． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过第一、三象限， ∴， ∴的值可以等于． 故答案为：（答案不唯一）． 3．（2023·天津·中考真题）若直线向上平移3个单位长度后经过点，则的值为 ． 【答案】5 【分析】根据平移的规律求出平移后的解析式，再将点代入即可求得的值． 【详解】解：直线向上平移3个单位长度， 平移后的直线解析式为：． 平移后经过， ． 故答案为：5． 【点睛】本题考查的是一次函数的平移，解题的关键在于掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 考点二 一次函数与方程、不等式 图示 与一次方程的关系 方程的解直线与x轴交点的横坐标. 与二元一次方程组的关系 方程组​​的解直线与直线的交点坐标. 与一元一次不等式的关系 1）不等式的解集直线位于x轴上方的部分对应的x的取值范围； 2）不等式的解集直线位于x轴下方的部分对应的x的取值范围； 3）不等式的解集直线位于直线上方的部分 对应的x的取值范围. 1（2025武清区模拟）已知一次函数的图像如图所示，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，根据一次函数与坐标轴的交点，数形结合求出不等式的解集即可． 【详解】解：由图象可知，直线与x轴的交点的横坐标为3， 当时，直线在x轴的上方， ∴不等式的解集为， 故答案为：． 2．（2023·天津红桥·一模）如图，直线与（）的交点的横坐标为，则关于x的不等式的整数解是 ． 【答案】 【分析】满足关于的不等式就是在轴的右侧直线位于直线的下方的图象，据此求得自变量的取值范围，进而求解即可． 【详解】直线与的交点的横坐标为， 关于的不等式的解集为， 整数解是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质以及与一元一次不等式的关系，要熟练掌握一次函数的图象和性质以及与一元一次不等式的关系是解题关键． 3．（2025河北区模拟）已知一次函数（a、b为常数），x与y的部分对应值如下表： x 0 1 2 3 y 6 4 2 0 那么方程的解是 ，不等式的解集是 . 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系：方程的解是时函数的x的值．根据图表格中的数据即可得出此方程的解． 【详解】解：根据表格可得：当时，；当时，； 因而方程的解是；不等式的解集是； 故答案为：；． 考点三 一次函数与实际应用 1.判断两个变量之间是不是一次函数关系的步骤： 1）通过实验、测量获得数量足够多的两个变量的对应值； 2）建立适当的平面直角坐标系，画出图像； 3）观察图像特征，判断函数的类型. 2.建立一次函数解析式的常用方法 1）根据基本的量之间存在的关系列函数解析式； 2）若题目中已明确给出两个变量的函数关系，则可用待定系数法求出函数解析式； 用一次函数解决问题的关键是建立数学模型，数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型. 3.一次函数应用问题的求解思路： 1）建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质求解； 2）在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图像求解.要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点； 3）分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图像，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用. 4.利用一次函数的图像解决实际问题的一般步骤： 1）观察图像，获取有效信息； 2）对获取的信息进行加工、处理，理清各数量之间的关系； 3）选择适当的数学工具(如函数、方程、不等式等)，通过建模解决问题. 【提示】时刻注意根据实际情况确定变量的取值范围. 1．（2025·天津·中考真题）已知小华的家、书店、公园依次在同一条直线上，书店离家，公园离家．小华从家出发，先匀速步行了到书店，在书店停留了，之后匀速步行了到公园，在公园停留后，再用匀速跑步返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 小华离开家的时间 1 6 18 50 小华离家的距离 ②填空：小华从公园返回家的速度为____________； ③当时，请直接写出小华离家的距离关于时间的函数解析式； (2)若小华的妈妈与小华同时从家出发，小华的妈妈以的速度散步直接到公园．在从家到公园的过程中，对于同一个的值，小华离家的距离为，小华的妈妈离家的距离为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)①②③ (2) 【分析】本题主要考查了函数的图形，数形结合的数学思想，求分段函数的解析式，一次函数和不等式相结合等内容，解题的关键是准确从图形中获取信息． （1）①理解题意，从图形中获取准确信息即可； ②理解题意，从图形中获取准确信息利用速度公式进行计算即可； ③理解题意，从图形中获取准确信息，并利用待定系数法进行分段求函数解析式即可； （2）求出相关解析式，列出等式求解，并结合图形即可求出不等式的解集． 【详解】（1）解：①小华去书店的速度为， 1分钟时小华离家的距离为； 由图可知18分钟时，小华离家的距离为； 50分钟时，小华离家的距离为； 故答案为：； ②小华返回家的速度为 故答案为：； ③由①得小华去书店的速度为， ∴当时，； 由图可知，当时，； 当时，假设直线解析式为， 将代入解析式得， 解得 ∴； 综上，； （2）解：如图所示，为妈妈的图形， 根据题意可知，小华妈妈的速度为， 所以其直线解析式为， 当时， 令， 解得，经验证，符合题意； 令， 解得，经验证，符合题意； 结合图形，当时，． 2．（2024·天津·中考真题）已知张华的家、画社、文化广场依次在同一条直线上，画社离家，文化广场离家．张华从家出发，先匀速骑行了到画社，在画社停留了，之后匀速骑行了到文化广场，在文化广场停留后，再匀速步行了返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中张华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 张华离开家的时间 1 4 13 30 张华离家的距离 ②填空：张华从文化广场返回家的速度为______； ③当时，请直接写出张华离家的距离关于时间的函数解析式； (2)当张华离开家时，他的爸爸也从家出发匀速步行了直接到达了文化广场，那么从画社到文化广场的途中两人相遇时离家的距离是多少？（直接写出结果即可） 【答案】(1)①；②0.075；③当时，；当时，；当时， (2) 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，求函数的解析式，列一元一次方程解决实际问题，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）①根据图象作答即可； ②根据图象，由张华从文化广场返回家的距离除以时间求解即可； ③分段求解，，可得出，当时，；当时，设一次函数解析式为：，把，代入，用待定系数法求解即可. （2）先求出张华爸爸的速度，设张华爸爸距家，则，当两人相遇时有，列一元一次方程求解即可进一步得出答案． 【详解】（1）解：①画社离家，张华从家出发，先匀速骑行了到画社， ∴张华的骑行速度为， ∴张华离家时，张华离家， 张华离家时，还在画社，故此时张华离家还是， 张华离家时，在文化广场，故此时张华离家还是． 故答案为：. ②, 故答案为：． ③当时，张华的匀速骑行速度为， ∴； 当时，； 当时，设一次函数解析式为：， 把，代入，可得出： ， 解得：， ∴， 综上：当时，，当时，，当时，． （2）张华爸爸的速度为：， 设张华爸爸距家，则， 当两人从画社到文化广场的途中两人相遇时，有， 解得：， ∴， 故从画社到文化广场的途中两人相遇时离家的距离是． 3．（2025·天津和平·一模）甲、乙两人骑自行车从A地到B地．甲先出发骑行3km时，乙才出发；开始时，两人骑行速度相同，后来甲改变骑行速度，乙骑行速度始终保持不变；乙出发后，甲到达B地．如图，x表示乙骑行时间，y表示骑行的距离，图象反映了甲、乙两人骑行的距离与时间之间的对应关系． (1)乙比甲提前______h到达B地，乙的骑行速度为_____， ； (2)求甲骑行过程中，y关于x的函数表达式； (3)乙到达B地时，甲离B地的路程为 km； (4)在甲到达B地前，当 h时，甲、乙两人相距2km； (5)乙出发 h时两人相遇，此时距离A地 km． 【答案】(1)；15；1 (2) (3)4 (4)1.2或2或2.6 (5) ；24 【分析】本题主要考查一次函数的应用，通过待定系数法求函数表达式，并根据甲、乙两人的行程情况列出方程是解题的关键． （1）由图象可知，乙比甲提前到达地的时间为甲、乙分别到达地的时间差，乙的速度可由到达地的距离除以到达地的时间即可； （2）根据函数图象，分两段求函数表达式，当时，根据甲、乙速度相同，甲比乙先出发骑行3km，得到一段y关于x的函数表达式；当时，设y关于x的函数表达式为，由于图象经过，两点，将两点分别代入函数表达式得到方程组，求解方程组即可； （3）先根据图象确定乙到达地时对应的值，再代入甲此时对应的函数表达式求出值，用总路程减去值得到甲离地的距离即可； （4）分两种情况讨论，甲、乙相遇前后和乙到达地后的情况，根据甲、乙两人相距2km列出方程求解即可； （5）根据甲乙相遇时两人路程相等，结合图象列出方程，求解方程，再求出此时距离地的距离即可． 【详解】（1）解：由图象可知，乙比甲提前到达， 而乙的速度为， 由于开始时，甲、乙两人骑行速度相同， 则， 故答案为：，，； （2）解：由（1）知，，乙的骑行速度为, 当时，甲骑行过程中，y关于x的函数表达式为：； 当时，设y关于x的函数表达式为， 图象经过，两点，代入函数表达式得： 解得 因此，y关于x的函数表达式为, 综上所述，甲骑行过程中，y关于x的函数表达式为：； （3）解：由图象可知，时，乙到达地， 则在中，令得， 因此，乙到达B地时，甲离B地的路程为， 故答案为：； （4）解：由题意得，乙的骑行速度为， 则乙骑行过程中，y关于x的函数表达式为：， ①甲、乙两人相遇前后相距时， 则， 解得或； ②乙到达地后，甲、乙相距时, 则 综上所述，当或或时，甲、乙两人相距， 故答案为：或或； （5）解：由题意结合图象可得，当两人相遇时，甲的函数表达式为， 乙的函数表达式为， 则， 解得， 此时距离地的距离为． 因此，乙出发时两人相遇，此时距离A地 故答案为：，． 命题点一 一次函数的图像及其应用 ►题型01 根据一次函数的定义求参数 【典例1】（2024·天津河西·一模）若点在一次函数的图象上，则这个点可以是 （任意写出一个具体的点即可）， 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键． 【详解】解：点在一次函数的图象上， ，即， 点的坐标满足横纵坐标之和为即可， 不妨取． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式1】（2024蓟州模拟预测）已知是关于的一次函数，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了一次函数的定义．根据一次函数的定义得出，代入代数式求解即可．形如的函数为一次函数． 【详解】解：函数是关于x的一次函数 则， 解得 ∴ ， 故答案为：． 【变式2】（2024天津模拟预测）已知函数． （1）当 时，该函数为一次函数： （2）当 时，该函数为二次函数． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的定义，一次函数的定义，利用函数的定义建立方程或不等式是解本题的关键． （1）根据一次函数的定义，一次项的系数不能为零，且二次项的系数应该为0，据此求解得出k的值； （2）根据二次函数的定义，二次项的系数不能为0，列出不等式，求解得出k的取值范围． 【详解】解：（1）∵函数为一次函数， ∴，且， 解得：且， ∴； （ 2 ）∵函数为二次函数， ∴， ∴． 故答案为：；． ►题型02 正比例函数的图像与性质 对于正比例函数，只要知道比例系数k的正负，不需画出图像就能判断其图像的大致位置以及函数的增减性.反之，若知道正比例函数的增减性，也可以推断出函数的比例系数k的正负. 【典例2】（2025蓟州模拟）如图是四个正比例函数的图象，则，，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正比例函数的图象和性质，比较时各函数的函数值即可． 【详解】解：由图可知，当时，， ， 故选B． 【变式1】（2024南开区模拟）若正比例函数的图象过第二、四象限，则关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】本题考查正比例函数的图象，根的判别式，根据正比例函数的图象过第二、四象限，得到，再求出判别式的符号，进行判断即可． 【详解】解：∵正比例函数的图象过第二、四象限， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根； 故选：A. 【变式2】（2025和平区模拟），是正比例函数的图上的两个点，则，的大小关系是（    ）． A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】由函数解析式可知，则y随x的增大而减小，比较x的大小即可确定y的大小． 【详解】 ∴y随x的增大而减少， ∵， ∴； 故选：A． 【点睛】本题考查了正比例函数的性质，掌握正比例函数的增减性是解答此题的关键． ►题型03 探究一次函数经过的象限与系数之间的关系 图像如果过第一、三象限，那么k＞0；图像如果过第二、四象限，那么k＜0 【典例3】（2025·天津·模拟预测）一次函数经过第一、三、四象限，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据一次函数经过的象限求参数的范围，解题关键根据题意列出不等式组． 先根据一次函数的图象与性质列出不等式组，再解这个不等式组即可． 【详解】解：∵一次函数经过第一、三、四象限， ∴，解得：， 故答案为： ． 【变式1】（2025·天津西青·一模）函数（是常数）的图象不经过第二象限，则的值可以是 ．（写出一个即可） 【答案】（小于等于0的数均可） 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系：对于一次函数（k为常数，），当的图象在一、二、三象限；当的图象在一、三、四象限；当的图象在一、二、四象限；当的图象在二、三、四象限，据此可得b的取值范围，进而可得答案． 【详解】解：∵函数（是常数）的图象不经过第二象限， ∴， ∴符合题意的b的值可以为， 故答案为：（小于等于0的数均可）． 【变式2】（2025·天津河东·一模）如果一次函数的图象一定经过第二、三象限，那么常数的值可以是 （写出一个即可）． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数的图象是解题的关键． 根据一次函数的图象与系数的关系可知，进一步给取值即可． 【详解】解：∵一次函数（为常数）的图象经过第二、三象限，且恒过点， ∴一次函数（为常数）的图象经过第一、二、三象限，     ，即， ∴的值可以为2， 故答案为：2（答案不唯一）． ►题型04 探究一次函数的增减性与系数之间的关系 若x增大y也增大，则k＞0；若x增大y反而减小，则k＜0 【典例4】（2023·天津河西·三模）若一次函数的函数值y随着自变量x值的增大而减小，则 （写出一个满足条件的值）． 【答案】（只要是负数即可） 【分析】根据函数值y随着自变量x值的增大而减小得到，写出一个负数即可． 【详解】解：∵一次函数的函数值y随着自变量x值的增大而减小， ∴， ∴满足题意的k的值可以为， 故答案为：（只要是负数即可）． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，掌握一次函数的性质：，y随x的增大而增大；，y随x的增大而减小是解题的关键． 【变式1】（2023·天津和平·三模）若一次函数的图象经过点（1，3），且y随着x的增大而增大，则一次函数的解析式为 （写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】由题意，设一次函数解析式为，由y随着x的增大而增大，可知，令，代入求解，进而可得一次函数解析式． 【详解】解：由题意，设一次函数解析式为， ∵y随着x的增大而增大， ∴， 令，则一次函数解析式为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数解析式，一次函数的图象与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【变式2】（2023·天津河北·一模）若一次函数中，y随x的增大而增大，则m的值可以是 （写出一个即可）． 【答案】5（答案不唯一） 【分析】根据一次函数的性质列出一个关于m的不等式，再写出一个符合条件的m值即可． 【详解】解：因y随x的增大而增大， 则， 解得， 因此，m的值可以是5， 故答案为：5．（答案不唯一） 【点睛】本题考查了一次函数的性质：增减性，根据函数的增减性求出m的取值范围是解题关键． ►题型05 根据增减性比较函数值 【典例5】（2023河西区模拟预测）在平面直角坐标系中，已知一次函数 y＝2x+1 的图象经过 P1（-1，y1），P2（2，y2）两点， 则 y1 y2（填“＞”或“＜”或“＝”） 【答案】＜ 【分析】根据函数的增减性即可得出答案. 【详解】∵一次函数 y＝2x+1，k=2＞0 ∴y随x的增大而增大， ∵-1＜2 ∴y1＜y2 故填：＜. 【点睛】本题考查一次函数的增减性，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小. 【变式1】（2024·天津南开·一模）已知一次函数（为常数，），点和点是其图象上的两个点，且满足，写出一个符合条件的的值为 . 【答案】-2（答案不唯一） 【分析】根据一次函数的增减性判断出k的符号，然后写出一个符合要求的k值即可 【详解】∵点和点是其图象上的两个点，且满足， ∵-12， ∴y随x的增大而减小， ∴k， ∴k=-2 故答案为-2（答案不唯一） 【点睛】本题考查了一次函数的图像和性质，熟练运用一次函数的性质是本题的关键．这是一道开放性题目，答案不唯一，只要符合要求即可． ►题型06 待定系数法求函数解析式 【典例6】（2025·天津北辰·一模）若一次函数（k、b是常数，）的图像与直线平行，且过点，则一次函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求直线的解析式以及两条直线平行或相交的问题，熟练掌握一次函数的图像与性质是解题的关键． 根据平行得到不变，则解析式为，再代入即可求解． 【详解】解：∵一次函数（k、b是常数，）的图像与直线平行， ∴解析式为， 代入得：， 解得：， ∴解析式为， 故答案为：． 【变式1】（2024·天津红桥·三模）若直线（k为常数，）经过点，则该直线与x轴的交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与坐标轴交点问题．把点代入，求出直线的解析式，再建立方程求解即可． 【详解】解：把点代入， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为：， 令，则， 解得：， ∴直线与轴的交点坐标为． 故答案为：． 【变式2】（2024·天津南开·三模）全世界大部分国家都采用摄氏温标预报天气，但也有一部分国家仍然采用华氏温标．某校数学兴趣小组同学通过查阅资料，得到两种温标计量值的对应关系如下表所示，其中x（单位：）表示摄氏温度的值，y（单位：）表示华氏温度的值，分析知y是x的某种函数． 摄氏温度值x（单位：） … 0 10 20 30 40 50 … 摄氏温度值y（单位：） … 32 50 68 86 104 122 … (1)写出y关于x的函数关系式； (2)在下面的直角坐标系中，画出y关于x的函数图象； (3)根据函数图象填空： ①与对应的华氏温度值为__________； ②与对应的摄氏温度值为__________； ③摄氏温度值与华氏温度值相等的温度值为__________． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①14；②；③ 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，求一次函数解析式，求一次函数值，解题的关键是熟练掌握待定系数法，数形结合． （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据表格中的数据，画出函数图象即可； （3）根据函数图象，结合函数解析式求出相应的值即可． 【详解】（1）解：根据表格中的数据可知：当x每增加10，y增加18，因此y是x的一次函数，故设， 把时，时分别代入得： ， 解得：， ∴y关于x的函数关系式； （2）解：y关于x的函数图象，如图所示： （3）解：①把代入得：， ∴与对应的华氏温度值为； ②把代入得：， 解得：， ∴与对应的摄氏温度值为； ③令， 解得：， ∴摄氏温度值与华氏温度值相等的温度值为． ►题型07 一次函数与平移变换 1）平移口诀：左加有减（只改变x），上加下减（只改变y） 2) 翻折口诀：关于谁对称谁不变，关于原点对称都改变. 【典例7】（2025天津模拟预测）一次函数向上平移个单位后，经过点，则平移后的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．利用“上加下减"的平移规律求解即可． 【详解】解：直线向上平移个单位后，则平移后直线解析式为， ∵平移后直线经过点 ∴， 解得：， ∴平移后直线解析式为． 故答案为：． 【变式1】（2025·天津河东·二模）将正比例函数的图象向上平移1个单位，所得直线解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．由函数平移的规律，直接根据“上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：∵是正比例函数， ∴， ∴， ∴正比例函数是， 由“上加下减”的原则可知，将正比例函数的图象向上平移1个单位后所得直线的解析式为：， 故答案为：． 【变式2】（2025塘沽模拟预测）在平面直角坐标系中，将直线沿轴向下平移2个单位长度后与轴交于，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，据此求解即可． 【详解】解：将直线沿轴向下平移2个单位长度后得到，即， ∵平移后的直线与轴交于， ， 解得：， 故答案为：1． 【变式3】（2022·天津河东·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点 ，沿轴向右平移，得，直线与直线相交于点，设，以点，，，为顶点的四边形面积记为. (1)求的长和与的函数关系式；（用相似） (2)用含 的式子表示； (3)当，求点的坐标（直接写出结果）. 【答案】(1)5， (2) (3) 【分析】（1）由、可知,运用勾股定理可以求得，再证，然后由相似三角形的性质列比例式，即可求出函数关系式； （2）分①当和两种情况，分别判定点D所在的位置，再利用面积的和差求解即可； （3）将代入面积函数关系中求出x的值，最后再代入函数关系式中求解即可． 【详解】（1）解：∵、 ∴， ∴ 当点与点A不重合时， ∵， ∴． ∴ 如图（1），点D在上， 有 ∴． 即： 如图（2），点D在延长线上， 有 ∴， 即： 当点与点A重合时，D与A重合，此时：． ∴y与x的关系是：． （2）解：①如图（1），当 时，点D在上， 则四边形的面积的面积的面积 ∴ 把 代入可得： ∴． ②如图（2），当时，点D在延长线上， ∵平移得到， ∴ ∵． ∴． 把代入可得 综上，． （3）解： 把代入可得（舍弃）． 把，代入，得． ∴ 把代入可得：（舍弃）或（舍弃） 综上，点的坐标为． 【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、平移的性质等知识点，掌握一次函数图像上点的坐标特征是解题的关键． ►题型08 一次函数与坐标轴交点问题 【典例8】（2025宝坻区模拟）如图所示的平面直角坐标系中，点A坐标为（4，2），点B坐标为，在y轴上有一点P使的值最小，则点P坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过轴对称最短路径求解方法先找出符合题意的点P，再求解函数解析式即可． 【详解】如图，将点 沿轴对称至，连接，与轴交于点，此时的值最小， 设直线的解析式为：，将代入解得， 则解析式为：，与轴交于点， 故选：D．    【点睛】本题考查了轴对称最短路径问题，以及一次函数图像与坐标轴的交点问题，熟练掌握最短路径问题的求法是关键． 【变式1】（2025·天津南开·一模）将直线向下平移1个单位长度得到直线，则直线与轴的交点坐标为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查一次函数图象的平移，一次函数与坐标轴的交点问题，根据平移规则：上加下减，求出平移后的直线的解析式，令，求出直线与轴的交点坐标即可． 【详解】解：由题意，直线的解析式为：， ∴当时，， ∴直线与轴的交点坐标为； 故答案为：． 【变式2】（2024·天津红桥·二模）若直线（为常数）与轴相交于点，与轴相交于点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴交点，勾股定理；先将代入得出，进而得出，勾股定理即可求解． 【详解】解：依题意，将代入 ∴ 解得： ∴ 当时，，即 ∴ ∵，则 ∴， 故答案为：． ►题型09 与一次函数性质有关的开放性问题 【典例9】（2024·天津·一模）写出一个过点且随的增大而增大的一次函数解析式 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一次函数的性质．首先可以用待定系数法设此一次函数关系式是：．根据已知条件确定应满足的关系式，再根据条件进行分析即可． 【详解】设此一次函数关系式是：． 把，代入得：， 又根据函数值随的增大而增大，知：． 故此题只要给定k一个正数，代入即可． 如． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式1】（2022·天津·二模）如图，一次函数的图象经过第一、二、三象限，侧b的值可以是 ．（写一个即可） 【答案】2（答案不唯一） 【分析】根据一次函数的图象经过第一、二、三象限判断出b的符号，再找出符合条件的b的可能值即可． 【详解】解：一次函数的图象经过第一、二、三象限， ∴即可， 故答案为：2（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了一次函数图象的性质，熟练掌握一次函数图象的性质是解题的关键． 【变式2】（2025·天津·一模）若一次函数（是常数，）的图象经过第二、一、四象限，则的值可以是 （写出一个即可）． 【答案】（答案为不唯一，只要满足即可） 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，直接利用函数经过的象限进而得出即可，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第二、一、四象限， ∴， ∴可以取， ∴故答案为：（答案为不唯一，只要满足即可）． 【变式3】（2025·天津河西·一模）将直线向右平移，且平移后不过第三象限，写出一个符合条件的平移后的直线解析式 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，根据“左加右减”的法则解答即可． 【详解】解：将直线向右平移m个单位长度，平移后直线的解析式为，即， ∵平移后不过第三象限， ∴， 解得， 当时，， 故答案为：（答案不唯一）． ►题型10 求直线围成的图形面积 【典例10】（2025蓟州区模拟）如果直线与两坐标轴所围成的三角形的面积是9，那么的值为 ． 【答案】 【分析】当时，，当时，可求，由，即可求解． 【详解】解：当时，， 当时，， 解得：， ， ， 解得：， 故答案：． 【点睛】本题考查了求一次函数与坐标轴围成的面积，掌握求法是解题的关键． 【变式1】（2025天津市模拟）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．与y轴交于点． (1)在图中画出关于y轴对称的，并写出点的坐标（点A，B，C的对应点分别是点）； (2)在平面直角坐标系中，若点，，那么点是线段的中点．判断点P （填“是”或“不是”） 的中点，写出中点Q的坐标及（1）题中和重叠部分的面积． 【答案】(1)，，见解析 (2)是，，4 【分析】（1）根据纵坐标不变，横坐标变为相反数，确定变换后的坐标，，，，画图即可． （2）根据定义解答即可． 本题考查了y轴对称作图，中点坐标公式的应用，三角形面积计算，熟练掌握相应的知识是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得，，， 故对称坐标为，，，画图如下： 则即为所求． （2）解：根据题意，得，， ∴B，C的中点坐标为即， 故是的中点， 故答案为：是； ∵，， ∴的中点Q的坐标为即； ∴， 设直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， 所以， 由， 设直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， 所以， 设直线与直线的交点为G，根据题意，得 ， 解得， ∴， 根据对称性质，得重叠部分的面积是． 【变式2】（2025·河北区·二模）一个数学兴趣小组尝试探究一次函数图象与两坐标轴所围成三角形面积的问题．为了较为全面地研究这个问题，他们准备把它分成两种类型问题来分别进行研究： 类型I：一条直线（、都不为0）与两条坐标轴所围成的三角形面积大小； 类型II：两条直线和（、，且都不为零）与坐标轴所围成的三角形的面积、直线与两条坐标轴所围成的三角形面积、直线与两条坐标轴所围成的三角形面积之间的关系． 小组成员认为第一类问题只要将直线与两坐标轴的交点坐标分别求出来，就能解决；而第二类的问题需要根据两个函数和符号的不同情况，分别进行研究，才能得出相应的结论． (1)如图1，请你帮助小组求出的面积（用含和的式子表示）． (2)将直线与两条坐标轴所围成的三角形面积记为，直线与两条坐标轴所围成的三角形面积记为，直线、和轴所围成的三角形面积记为，它们和轴所围成的三角形面积记为． ①在图2中已经画出了直线和大致图象的一种情况，那么关于这两个一次函数的和符号选项正确的是______． A．，，，        B．，，， C．，，，        D．，，， 此时、、和之间的关系式是______． ②如图3，保持直线不变，改变直线中和的符号（不考虑和的大小），请在图中画出直线的大致图象，此时、、和之间的关系式是______． 【答案】(1) (2)①D，；②． 【分析】本题考查了函数与不等式的关系，掌握函数的性质和三角形的面积公式是解题的关键． （1）根据三角形的面积公式求解； （2）①根据一次函数的性质求解； ②根据三角形的面积的和差求解． 【详解】（1）解：当时，， 当时，，解得：， ∴，， ∴； （2）解：①观察图形得：经过一二三象限，经过一二四象限， ∴，，，，， 故选：D；， ②∵，， ∴图象如下： 由图象得：． 命题点二 一次函数的实际应用 ►题型01 行程问题 【典例1】（2025·天津·一模）甲、乙两人骑自行车同时从A地出发沿同一路线去B地，甲骑行后因事停留了，然后继续按原速骑行到达B地；乙骑行直接到达B地，已知A，B两地相距．下面图中x表示时间，y表示离A地的距离，图象反映了这个过程中甲离A地的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)填空： ①图中_______，_______； ②甲出发离A地的距离是______； ③乙骑行的速度为______． (2)请直接写出甲离A地的距离y关于时间x的函数解析式，并指出x的取值范围； (3)当甲乙相距时，甲出发的时间是多少？（直接写出结果即可） 【答案】(1)①40，5；②7.5；③0.2； (2)； (3)或． 【分析】（1）①根据题意可直接得到a的值；根据“速度＝路程÷时间”求出甲骑行的速度，再由“路程＝速度×时间”求出甲骑行的路程，即b的值； ②根据“路程＝速度×时间”计算即可； ③根据“路程＝速度×时间”计算即可； （2）分段用待定系数法求出函数解析式即可； （3）根据题意，作出乙离A地的距离与时间的图象，根据甲、乙之间的距离列绝对值方程并求解即可． 【详解】（1）解：①甲骑行后因事停留了，然后继续按原速骑行到达B地， ； ∵甲骑行的速度为，甲骑行的路程为， ∴． 故答案为：40，5． ②甲骑行的速度为， 甲出发离A地的距离是， 故答案为：7.5； ③乙骑行的速度为， 故答案为：0.2； （2）解：当时，设函数解析式为， 将代入得：，求得， 当时，函数解析式为； 当时，函数解析式为； 当时，设函数解析式为， 将代入得： ，解得， 当时， 综上，甲离A地的距离y关于时间x的函数解析式为； （3）解：设乙的解析式为，把代入，得， 解得， ∴， 乙离A地的距离y关于时间x的函数解析式为． 根据题意，乙离A地的距离与时间的图象如图所示： 当时，，解得（舍去）； 当时，，解得（舍去）或； 当时，，解得或（舍去）； 当时，，解得（舍去）或（舍去）； 综上，或70． ∴当甲乙相距时，甲出发的时间是或． 【变式1】（2025·天津南开·三模）某县在实施“村村通”工程中，决定在，两村之间修筑一条公路，甲、乙两个工程队分别从，两村同时相向开始修筑，施工期间，乙队因另有任务提前离开，余下的任务由甲队单独完成，直到道路修通．下图是甲、乙两个工程队各自修筑道路的长度（单位：）与修筑时间（单位：天）之间的函数图象． 请根据相关信息，回答下列问题． (1)填表： 甲工程队修筑道路的时间（单位：天） 2 4 8 甲工程队修筑道路的长度（单位：） 360 (2)填空：①乙工程队提前离开了______（天）； ②乙工程队修筑道路的速度为______（m/天）； ③乙工程队一共修筑道路的长度为______（m）； ④该公路的总长度为______（m）； (3)当时，请直接写出甲工程队修筑道路的长度关于时间的函数解析式； (4)甲、乙工程队都施工期间，他们修筑道路的长度相差时，修筑道路的时间的值为多少？（直接写出结果） 【答案】(1)180，560； (2)①4；②70；③840；④1800； (3)当时，；当时，； (4)4，12 【分析】考查一次函数的应用及从函数图象获取信息；数形结合得到所在函数解析式上的点及相关函数解析式是解决本题的突破点． （1）由函数图象可以得出，甲前4天共修筑360米，可得前4天每天修筑（米），再求解并填表即可； （2）根据函数图象进行求解即可； （3）当时及当时，分别用待定系数法求得函数解析式； （4）根据题意对临界点的值分别进行计算，再进行判断即可． 【详解】（1）解：由函数图象可以得出，甲前4天共修筑360米， 前4天每天修筑（米）， 当时，， 由函数图象可以得出，甲前8天共修筑560米， 当时，， 填表如下： 甲工程队修筑道路的时间（单位：天） 2 4 8 甲工程队修筑道路的长度（单位：） 180 360 560 故答案为：180，560； （2）解：①由函数图象可以得出，乙工程队提前离开了（天）， 故答案为：4； ②由函数图象可以得出，乙工程队修筑道路的速度为（m/天）， 故答案为：70； ③由函数图象可以得出，乙工程队一共修筑道路的长度为， 故答案为：840； ④由③得出，乙工程队一共修筑道路的长度为， 由函数图象可以得出，甲第4天到第16天每天筑道路的长度为， 甲工程队一共修筑道路的长度为， 该公路的总长度为， 故答案为：1800； （3）解：设当时，，将代入得，解得， 当时，甲工程队修筑道路的长度关于时间的函数解析式为， 设当时，，将，代入得 ， 解得， 当时，甲工程队修筑道路的长度关于时间的函数解析式为； （4）解：当时，甲、乙工程队修筑道路的长度相差， 当时，甲、乙工程队修筑道路的长度相差， 的值为4或12． ►题型02 最大利润问题 一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图像为射线或线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数解析式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值． 【典例2】（2021·天津河东·二模）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展，小明计划给朋友快递一部分物品，经了解有甲乙两家快递公司比较合适．甲公司表示：快递物品不超过1千克的，按每千克22元收费；超过1千克，超过的部分按每千克15元收费，乙公司表示：按每千克16元收费，另加包装费3元，设小明快递物品x千克． （1）根据题意，填写下表： 快递物品重量（千克） 0.5 1 3 4 甲公司收费（元） ______ 22 ______ ______ 乙公司收费（元） 11 ______ 51 67 （2）设甲快递公司收费元，乙快递公司收费元，分别写出关于x的函数关系式； （3）若小明在两家快递公司花费相同，则他的快递物品重量是________千克； 若他快递物品6千克，应选择_________快递公司（选填“甲”或“乙”）； 若他快递物品3.5千克，则选择___________快递公司（选填“甲”或“乙”）． 【答案】（1）11；52；67；19；（2）；；（3）或4；甲；乙 【分析】（1）根据题意计算后填表即可； （2）根据题意直接写出关于x的函数关系式即可，注意为分段函数； （3）令或时，解方程求得x的值，即可得小明在两家快递公司花费相同时快递物品重量；把x=6、x=3.5分别代入，求得、的值，比较即可解答． 【详解】解：（1）当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 故答案为：． （2）当时，； 当时，． ， ； （3）当或时，即或时，小明在两家快递公司花费相同； 把分别代入，得，， ∵97<99， ∴选甲； 把分别代入，得，， ∵59.5>59， ∴选乙． 故答案为：或4，甲，乙． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，根据题意正确列出函数解析式是解决问题的关键． 【变式1】（2021·天津红桥·二模）4月23日是“世界读书日”，甲、乙两个书店在这一天举行了购书优惠活动，在甲书店，所有书籍按标价总额的8折出售．在乙书店，一次购书的标价总额不超过100元的按标价总额计费，超过100元后的部分打6折．设在同一家书店一次购书的标价总额为x（单位：元，）． （Ⅰ）根据题意，填写下表： 一次购书的标价总额/元 50 150 300 … 在甲书店应支付金额/元 120 … 在乙书店应支付金额/元 130 … （Ⅱ）设在甲书店应支付金额元，在乙书店应支付金额元，分别写出关于x的函数关系式； （Ⅲ）根据题意填空： ①若在甲书店和在乙书店一次购书的标价总额相同，且应支付的金额相同，则在同一个书店一次购书的标价总额_______元； ②若在同一个书店一次购书应支付金额为280元，则在甲、乙两个书店中的_______书店购书的标价总额多； ③若在同一个书店一次购书的标价总额120元，则在甲、乙两个书店中的_______书店购书应支付的金额少． 【答案】（Ⅰ）40，240，50，220；（Ⅱ）；当时，；当时，；（Ⅲ）①200；②乙：③甲． 【分析】（Ⅰ）根据题意解题； （Ⅱ）设一次性购书元，在甲店所有书打8折计算，在乙店分两种情况讨论当时，或当时分别计费； （Ⅲ）①当时，代入求值； ②分别计算出甲、乙购书的标价总额，再比较； ③分别计算甲、乙应付金额，再比较． 【详解】解：（Ⅰ）甲：所有书打8折，买50元，实际应支付（元），买300元，实际应支付（元）； 乙：超过100元的部分打6折，买50元，实际应支付（元），买300元，实际应支付（元）， 故答案为：40，240，50，220； （Ⅱ）设一次性购书元， 在甲店所有书打8折， ； 在乙店购书元， 当时，； 当时，； （Ⅲ）①当时，若，则则不符合题意，舍去， 当时， 解得， 故答案为：200； ②若在同一个书店一次购书应支付金额为280元，甲总额为（元） （元） （元） 在乙店的购书总额多， 故答案为：乙； ③在甲店应支付（元） （元） 在甲店购书应支付金额少， 故答案为：甲． 【点睛】本题考查一次函数的实际应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 【变式2】（2021·天津和平·一模）A市和B市分别有库存某种机器12台和6台，现决定支援C市10台，D市8台．已知从A市调运一台机器到C市、D市的运费分别为130元和200元；从B市调运一台机器到C市、D市的运费分别为100元和150元． （1）填空： 若从A市运往C市机器5台， ①从A市运往D市机器_______台； ②从B市运往C市机器_______台； ③从B市运往D市机器_______台． （2）填空： 设从A市运往C市机器x台，总运费为y元， ①从A市运往D市机器_______台； ②从B市运往C市机器_______台； ③从B市运往D市机器_______台； ④总运费y关于x的函数关系式为_______ ⑤若总运费不超过2650元，共有________种不同的调运方案． （3）求使总运费最低的调运方案，最低总运费是多少？ 【答案】（1）①7；②5；③1；（2）①，②， ③， ④，⑤3；（3）使总运费最低的调运方案是A市运往C市10台，A市运往D市2台，B市运往C市0台，B市运往D市6台，最低总费用为2600元 【分析】（1）若从A市运往C市机器5台，根据A市和B市分别有库存某种机器12台和6台，需要支援C市10台，D市8台，分别计算求解 （2）设从A市运往C市机器x台，总运费为y元，根据各处数量及运费求出相应的数量及列出换数关系式，然后根据每次运出台数为非负数及运费不超过2650元，列不等式组求x的范围，从而确定方案数量； （3）根据每次运出台数为非负数列出不等式组确定x的取值范围，然后利用一次函数增减性分析最值 【详解】解：（1）∵A市和B市分别有库存某种机器12台和6台，现决定支援C市10台，D市8台 若从A市运往C市机器5台， 则①从A市运往D市机器12-5=7台； ②从B市运往C市机器10-5=5台； ③从B市运往D市机器6-5=1台 故答案为：7；5；1 （2）∵A市和B市分别有库存某种机器12台和6台，现决定支援C市10台，D市8台 若从A市运往C市机器x台， 则①从A市运往D市机器台； ②从B市运往C市机器台； ③从B市运往D市机器台 ④总运费y关于x的函数关系式为： ∴ ⑤由题意可得：，解得 又∵x须为非负整数， ∴x可取8，9，10，即共3种方案 故答案为： ； ；；；3 （3）由题意可得：，解得． 从A市运往C市机器x台时，总运费为， ∵， ∴y随x的增大而减小． ∴当时，y取得最小值．y的最小值是2600． 答：使总运费最低的调运方案是A市运往C市10台，A市运往D市2台，B市运往C市0台，B市运往D市6台，最低总费用为2600元． 【点睛】此题主要考查了一次函数的应用问题，要根据题目所设自变量及机器台数的数量关系，表示其它三种调出台数，同时要注意自变量的取值范围必须使实际问题有意义． ►题型03 分配问题 方案的选取就是在自变量的不同取值范围内比较多个函数值的大小，同时也是利用一次函数解决实际问题的典型题目，它的实质是将比较函数值大小的问题转化为解方程或解不等式的问题. 【典例3】（2021·天津河西·一模）在“新冠病毒”防控期间，某益康医疗器械公司分两次购进酒精消毒液与测温枪两种商品进行销售，两次购进同一商品的进价相同，具体情况如表所示： （1）求酒精消毒液和测温枪两种商品每件的进价分别是多少元？ （2）公司决定酒精消毒液以每件20元出售，测温枪以每件240元出售．为满足市场需求，需购进这两种商品共1000件，且酒精消毒液的数量不少于测温枪数量的4倍，求该公司销售完上述1000件商品获得的最大利润． 项目 购进数量（件） 购进所需费用（元） 酒精消毒液 测温枪 第一次 30 40 8300 第二次 40 30 6400 【答案】（1）酒精消毒液每件的进价为10元，测温枪每件的进价为200元；（2）16000元 【分析】（1）设酒精消毒液每件的进价为x元，测温枪每件的进价为y元，根据两次进货情况表，可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进测温枪m件，获得的利润为W元，则购进酒精消毒液（1000-m）件，根据总利润=单件利润×购进数量，即可得出W与m之间的函数关系式，由酒精消毒液的数量不少于测温枪数量的4倍，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再根据一次函数的性质即可解决最值问题． 【详解】解：（1）设酒精消毒液每件的进价为x元，测温枪每件的进价为y元， 根据题意得：， 解得：， ∴酒精消毒液每件的进价为10元，测温枪每件的进价为200元． （2）设购进测温枪m件，获得的利润为W元，则购进酒精消毒液（1000-m）件， 根据题意得： W=（20-10）（1000-m）+（240-200）m=30m+10000， ∵酒精消毒液的数量不少于测温枪数量的4倍， ∴1000-m≥4m， 解得：m≤200． 又∵在W=30m+10000中，k=30＞0， ∴W的值随m的增大而增大， ∴当m=200时，W取最大值，最大值为30×200+10000=16000， ∴当购进酒精消毒液800件、购进测温枪200件时，销售利润最大，最大利润为16000元． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，理清题中的数量关系并正确列式是解题的关键． 【变式1】（2021·天津河北·模拟预测）某种商品的进价为40元/件，以获利不低于20%的价格销售时，商品的销售单价y（元/件）与销售数量x（件）（x是正整数）之间的关系如下表： x（件） … 5 10 15 20 … y（元/件） … 75 70 65 60 … （1）当销售单价不低于最低销售单价时，y是x的一次函数．求出y与x的函数关系式及x的取值范围； （2）在（1）的条件下，当销售单价为多少元时，所获销售利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】（1）y＝﹣x+80（，且x为正整数）；（2）当销售单价为60元时，所获利润最大，最大利润为400元 【分析】（1）由40（1+20%）即可得出最低销售单价，根据题意由待定系数法求出y与x的函数关系式和x的取值范围； （2）设所获利润为P元，由题意得出P是x的二次函数，即可得出结果． 【详解】解：（1）40（1+20%）＝48（元）， 设y＝kx+b， 根据题意得：， 解得：， ∴y＝﹣x+80， 根据题意得：，且x为正整数， ∴0＜x≤32，x为正整数， ∴y＝﹣x+80（0≤x≤32，且x为正整数）； （2）设所获利润为P元， 根据题意得：P＝（y﹣40）•x＝（﹣x+80﹣40）x＝﹣（x﹣20）2+400， 即P是x的二次函数， ∵a＝﹣1＜0， ∴P有最大值， ∴当x＝20时，P最大值＝400，此时y＝60， ∴当销售单价为60元时，所获利润最大，最大利润为400元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用、用待定系数法求一次函数的解析式、二次函数的最值问题；由题意求出一次函数和二次函数的解析式是解决问题的关键． 【变式2】（2020·天津红桥·三模）某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，成本为25元．由于在生产过程中，平均每生产1件产品，有污水排出，所以为了净化环境，工厂设计两种方案对污水进行处理，并准备实施． 方案甲：工厂将污水排到污水厂统一处理，每处理需付14元的排污费； 方案乙：工厂将污水进行净化处理后再排出，每处理污水所用原料费为2元，且每月净化设备的损耗费为30000元．设工厂每月生产x件产品（x为正整数，）． （1）根据题意填写下表： 每月生产产品的数量/件 3500 4500 5500 … 方案甲处理污水的费用/元 31500 … 方案乙处理污水的费用/元 34500 … （2）设工厂按方案甲处理污水时每月获得的利润为元，按方案乙处理污水时每月获得的利润为元，分别求，关于x的函数解析式； （3）根据题意填空： ①若该工厂按方案甲处理污水时每月获得的利润和按方案乙处理污水时每月获得利润相同，则该工厂每月生产产品的数量为_______件； ②若该工厂每月生产产品的数量为7500件时，则该工厂选用方案甲、方案乙中的方案_______处理污水时所获得的利润多； ③若该工厂每月获得的利润为81000元，则该工厂选用方案甲、方案乙中的方案________处理污水时生产产品的数量少． 【答案】（1）24500，38500；33500，35500；（2），；（3）①5000，②乙，③甲． 【分析】（1）根据污水量=产品数量×0.5立方米可求出该工厂污水排放量，按照甲乙方案分别计算处理污水的费用即可； （2）每件产品出厂价为50，共件，则总收入为：，成本费为，产生的污水总量为，按方案甲处理污水应花费：，按方案乙处理应花费：．根据利润总收入总支出即可得到与的关系． （3）①当时，求出的值即可； ②把，分别代入，求出函数值即可； ②把，分别代入，函数解析式分别求出x的值即可． 【详解】解：（1）当每月生产产品的数量3500件时，污水量=（） 方案甲费用为：（元） ，方案乙费用为：（元）， 当每月生产产品的数量5500件时，污水量=（）， 方案甲费用为：（元） ，方案乙费用为：（元）， 故答案为：24500，38500；33500，35500； （2）根据题意，得，即； ，即 （3）①依题意得：当时，即，解得：， ②当时，（元）；， 故方案乙利润多； ③工厂每月获得的利润为81000元，即时，，解得； 当时，，解得； 故方案甲生产产品的数量少； 故答案为：①5000；②乙；③甲． 【点睛】本题考查了一次函数的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）读懂题意，理解方案的意义，（2）根据数量间的关系，找出函数关系式；（3）利用一次函数与一次方程关系，正确求出函数值或自变量值．本题存在的等式关系为：利润总收入总支出． 突破一 一次函数与规律探索问题 【易错点】 1）自变量 x 的起始值：若序号从 0 开始，注意 x=0 时 y=b，避免代入错误。 2）验证环节不可省略：部分规律前几组符合等差，后续可能变化，需验证确保正确性。 3）区分一次函数与其他规律：若 y 的差值不是定值，则不是一次函数，可能是二次函数或等比数列。 【典例1】（2025·山东烟台·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，的顶点的坐标为．以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧；以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧……按照以上规律作图，点的坐标为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了位似的性质，根据位似比等于变换后与变换前的图形的对应线段的比，根据两点距离得出进而得出，求得直线的解析式，根据，即可求解． 【详解】解：依题意，， ∴， 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴ 设 ∴ 解得：（舍去） ∴ 故答案为：． 【变式1】（2025平邑县二模）观察规律，运用你观察到的规律解决以下问题：如图，分别过点作轴的垂线，交的图象于点，交直线于点．则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数和二次函数与垂直于x轴直线交点坐标问题，以及由特殊到一般的归纳总结方法．由可得：，，则可得，则可得 ，再利用 ，进行计算即可． 【详解】解：∵过点的垂线，交的图象于点，交直线于点； ∴令，可得：纵坐标为， 纵坐标为， ，， ． ， ． 故选：D． 【变式2】（2024河西区模拟）如图，，，，…，都是面积为的等边三角形，边AO在y轴上，点，，，…，，都在直线上，点，，，…，都在直线的上方，观察图形的构成规律，用你发现的规律直接写出点的坐标为 ． 【答案】（，） 【分析】过B1作B1C⊥x轴，垂足为C，由条件可求得∠B1OC=30°，利用直角三角形的性质可求得B1C=，OC=，可求得A1的坐标，同理可求得A2、A3的坐标，则可得出规律，可求得A2022的坐标． 【详解】解：如图，∵△OAB1，△B1A1B2，△B2A2B3，…都是等边三角形， ∴∠AOB1=∠A1B1B2=∠A2B2B3=…=60°， ∴AO∥A1B1∥A2B2∥…， ∵AO在y轴上， ∴A1B1⊥x轴，A2B2⊥x轴，… 过B1作B1C⊥x轴，垂足为C， ∵点B1在直线y=x上， 设B1（x，x）， ∴∠B1OC=30°， ∵△OAB1是面积为的等边三角形， ∴△OAB1的边长为， ∴△OAB1，△B1A1B2，△B2A2B3，…都是边长为的等边三角形， ∴B1C=，OC=， ∴A1的坐标为（，）， 同理A2（3，2）、A3（，），… ∴An（，）， ∴A2022的坐标为（3033，1012）， 故答案为：（3033，1012）． 【点睛】本题为规律型题目，利用等边三角形和直角三角形的性质求得A1的坐标，从而总结出点的坐标的规律是解题的关键． 突破二 一次函数与新定义问题 【典例1】（2025天津模拟预测）实数和，若，我们定义，比如．已知关于的函数，下列结论：①函数图象经过原点；②若，则方程有三个不等实根；③若，则时，有最小值3；④若时，的值随的值增大而增大，则．其中正确的结论是 （填写序号）． 【答案】①③④ 【分析】本题考查函数新定义，二次函数与一次函数综合，二次函数性质，一次函数性质，解题的关键在于正确理解新定义若，我们定义．根据二次函数与一次函数综合，与函数新定义概念逐项分析判断，即可解题． 【详解】解：①当时，，，即， 函数图象经过原点，故①正确； ②若， 时， 有或， 解得或， 则方程有个实根， 故②错误； ③若， 则， 当时，解得，， 当时，则， 当时，则， ，随增大而增大，，离对称轴越近函数值越大， 则时，有最小值或， 故③正确； ④ 时，的值随的值增大而增大， 又时，解得，， ， 解得， 故④正确． 综上所述，正确的结论是①③④， 故答案为：①③④． 【变式1】（2024天津押题预测）定义：对于给定的一次函数（，k、b为常数），把形如（，k、b为常数）的函数称为一次函数（，k、b为常数）的衍生函数．已知的顶点坐标分别为． (1)请写出的衍生函数，并直接写出若点在一次函数的衍生函数图象上，则 ； (2)如图，一次函数的衍生函数图象与平行四边形交于M、N、P、Q四点，其中P点坐标是； ①用含k的式子表示b； ②求出点M、N、Q的坐标（用含k的式子表示）； ③如果，求k的值 【答案】(1)3 (2)①；②，；③3 【分析】本题主要考查一次函数的综合题型，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． （1）将点的坐标代入衍生函数求值即可； （2）①根据点的坐标得出；②根据衍生函数即可分别求出M，N，Q三点的坐标，③根据面积的关系，即可求出k的值． 【详解】（1）解：， 点在一次函数得：， 故答案为：3； （2）解：①∵过， ∴， ， ② ， ， ∵，，，， ∴，，， 解得：， ， 点Q的纵坐标为1， ， 解得：， ， ③ ， ， ， ， 整理得：，即， 解得：． 突破三 一次函数与反比例函数、二次函数综合 【典例3】（2025滨河新区模拟预测）如图，一次函数和反比例函数的图像交于点与点B． (1)a的值为_______；反比例函数关系式_______． (2)若，结合图像直接写出x的取值范围________． (3)连接，求的面积． 【答案】(1)， (2)或 (3)3 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积，求得交点坐标是解题的关键． （1）把点代入一次函数求得的值，然后利用待定系数法即可求得反比例函数关系式； （2）解析式联立成方程组，解方程组即可求得、的坐标，根据图象即可求解； （3）设一次函数与轴交于点，利用三角形面积公式，根据求得即可． 【详解】（1）解；将代入中，得， 解得； ∴ 将代入中，得， ∴反比例函数关系式． 故答案为：，； （2）解：由， 解得 或， 所以，， 观察图象，若，则或； （3）解：设一次函数与轴交于点， 如图，连接、， ∴． 【变式1】（2025南开区模拟）已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，. (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)填空： ①直接写出不等式的解集______； ②点，，都在反比例函数的图象上，若，比较，，的大小（用号连接），其结果是______. 【答案】(1)， (2)①或；② 【分析】（1）先根据点A的坐标求出反比例函数的解析式，然后求出点B的坐标，再利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）①根据函数图象求出不等式的解集即可； ②根据反比例函数增减性比较反比例函数值的大小即可． 【详解】（1）解：把代入得：， ∴反比例函数解析式为； 把代入得：， ∴， 把，代入得： ， 解得：， ∴一次函数解析式为； （2）解：①如图，当或时，一次函数在反比例函数的上面， ∴的解集为或； 故答案为：或； ②∵点，，都在反比例函数的图象上，且， ∴，，， ∵， ∴在每个象限内，y随x的增大而增大， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合应用，求一次函数解析式，求反比例函数解析，比较反比例函数值的大小，解题的关键是熟练掌握待定系数法，数形结合． 【变式2】（2023·天津河东·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为P，与x轴交于点和点B，与y轴交于点C． (1)求点P的坐标； (2)点K是抛物线上的动点，当时，求出点K的坐标； (3)直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E．若点Q为x轴上方二次函数图象上一动点，过点Q作直线，分别交直线l于点M，N，在点Q的运动过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)顶点P的坐标为 (2)(2，2)或 (3)是定值， 【分析】（1）将代入抛物线求出值，可得抛物线解析式，化为顶点式即可求解； （2）连接，①当点K在上方时，可得，即轴，求出抛物线的对称轴为直线，即可得解；②当点K在下方时，设交x轴于点，则，，在中，，可得，解得，即D，利用待定系数法求出的直线解析式为，联立，解方程即可求解； （3）由抛物线的对称轴为直线，可得，设Q，且，利用待定系数法求出直线的解析式为，即可得M，同理可得直线的解析式为，即有N，则 ，问题得解． 【详解】（1）∵抛物线经过点， ∴ 解得 ∴该抛物线的表达式为， ∴顶点P的坐标为 （2）由可得，，连接， ①当点K在上方时， ∵， ∴，即轴， ∴点K与点C关于抛物线对称轴对称， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴， ②当点K在下方时，设交x轴于点，则，， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴D， 设的直线解析式为，则， 解得， ∴的直线解析式为， 由， 解得，或者， ∴K， 综上所述，点K的坐标为或； （3）由抛物线的对称轴为直线， ∴， 如图， 设Q，且， 设直线的直线解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴M， 同理可得直线的解析式为， 当时，， ∴N， ∴，， ∴ ， ∴的值为定值． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求解一次函数解析式，解一元二次方程以及勾股定理等知识，掌握二次函数的图象与性质，熟练运用待定系数法是解答本题的关键． 【变式3】（2025河北区模拟）如图，二次函数的图象交轴于点，点与点关于该二次函数图象的对称轴对称，已知一次函数的图象经过该二次函数图象上的点及点． (1)求二次函数与一次函数的解析式、 (2)点P是该抛物线上一动点，点从点沿抛物线向点运动（点不与、重合），过点作轴，交直线于点．请求出点在运动的过程中，线段的长度的最大值以及此时点的坐标： (3)抛物线上是否存在点，使，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)最大值为，点 (3)或；或或 【分析】（1）将点A代入抛物线解析即可确定二次函数解析式；再确定点C的坐标，然后由抛物线的对称性得出点，利用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）根据题意设点，则点，表示出长度的函数解析式，然后根据二次函数的基本性质求解即可； （3）分两种情况讨论：①当点在上方时，②当点在下方时，作出，然后利用平行线间的距离距离相等，分别先求出直线的解析式，然后求直线与抛物线的交点即为点的坐标． 【详解】（1）解：∵二次函数经过点， ∴， 解得：， ∴二次函数的解析式为：， 当时，， ∴， 抛物线的对称轴为：， ∴， 设直线的解析式为，将点，代入得： ， 解得：， ∴一次函数的解析式为：； （2）解：如图所示，过点作轴，点从点沿抛物线向点运动（点不与、重合）， 设点，则点， ∴， ∵， ∴当时，最大值为， 当时，， ∴点； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴点Q到的距离为， ①当点在上方时，作，如图所示，交y轴于点，过点F作，使得，过点作轴，设与y轴交于点，则， ∴， 当点与点重合时， ∴， ∴，不符合题意； ∴点一定在轴正半轴上， ∵，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为：，将点F代入得：， 联立二次函数与一次函数得： 解得：或， 此时点或； ②当点在下方时，作，如图所示，交轴于点，过点作，交于点，使得，过点作轴，设与轴交于点，则， ∴， ∴，， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴点， 设直线的解析式为：，将点M代入得：， 联立二次函数与一次函数得： 解得：或， 此时点或； 综上所述，或；或或． 【点睛】题目主要考查二次函数与一次函数的综合问题，包括待定系数法求解析式，线段最值问题及面积问题，直线平行等，理解题意，作出相应图象，综合运用这些知识点是解题关键． 突破四 一次函数与图形变换综合 【典例4】（2025·天津·一模）将平行四边形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点在第一象限，且． (1)填空：如图1，点的坐标为_____，点的坐标为_____； (2)若为轴的正半轴上一动点，过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在轴的正半轴上，点的对应点为．设． ①如图2，若直线与边相交于点，当折叠后四边形与重叠部分为五边形时，与相交于点．试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； ②设折叠后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2)①，；② 【分析】（1）过点C作，根据平行四边形的性质，得出结合勾股定理，即可作答． （2）①过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在y轴的正半轴上，根据题意及等腰三角形的判定和性质得出是等腰三角形，然后确定相应图形，找出临界点即可；②根据①的结论，根据解直角三角形的性质得出，再分别以时，时，时，分别作图，运用数形结合思路列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：如图：过点C作， ∵四边形是平行四边形，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：①∵过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在y轴的正半轴上， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， 过点D作， ∴， ∴， 当与点重合时， 此时与的交点与A重合，， 如图：当与点B重合时， 此时与的交点与B重合，， ∴的取值范围为； ②当时， 如图，重叠部分的面积为， 由（1）得出， ∴， ∴， ， ∵，开口向上，对称轴直线， ∴在时，随着的增大而增大， ∴； 当时，如图，重叠部分的面积为， ， ， ∵，随着的增大而增大 ∴在时； ∴当时，； 当时，如图，重叠部分的面积为， 由①得出是等腰三角形，，，， ∴， ∵ ∴开口向下，在时，有最大值， ∴在时； ∴在时，； 当时，如图，重叠部分的面积为， ， ∵，随着的增大而减小， ∴在时，把代入得，把代入得， ∴在时，， 综上：的取值范围为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形的性质，折叠性质，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【变式1】（2025·天津·一模）在平面直角坐标系中，O为原点，点，点B在y轴的正半轴上，，是等边三角形，点C在第二象限． (1)填空：如图①，点B的坐标为 ，点C的坐标为 ； (2)将沿x轴向右平移得到，点B，C，O的对应点分别为． ①如图②，设与重叠部分的面积为S．当与重叠部分为五边形时，分别与相交于点E，F，G，H，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②连接，当取得最小值时，求点的坐标（直接写出结果即可）． 【答案】(1) ， (2)①，其中t的取值范围是：；② 【分析】（1）解直角三角形可得，，从而可得B、C坐标； （2）①由平移的性质可得， ，．利用三角函数表示出和和的面积，根据即可求重叠部分的面积； ②通过构造平行四边形转移边和轴对称化折为直，将折线段拼接起来后，利用两点之间线段最短求最值． 【详解】（1）解：∵点， ∴， ∵为等边三角形，作轴于点D，如图①所示， 则，，， ∴， 故B的坐标为，的坐标为， 故作案为：，； （2）解：①由平移的性质可得，， ∵， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， 在中，，则，，， ∴， 在中，，， ∵， ∴，， 所以 ， 当点重合时，，此时与重叠部分不是五边形，当点重合时，，此时与重叠部分不是五边形， ∴t的取值范围是：； ②如图所示，连接和， 以和为邻边构造平行四边形，，设， ∴，，， 解得，， ∴， 由（1）得，点O关于直线的对称点为点， 故，当三点共线时，值最小，连接即为的最小值， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得，， ∴的坐标为． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，一次函数与坐标轴的交点，一次函数与几何图形面积的计算，解直角三角形的计算，平行四边形的性质，中点坐标的计算，待定系数法求一次函数解析式，最短路径的计算等知识的综合，掌握一次函数与几何图形的综合运用，合理作出辅助线是解题的关键． 【变式2】（2025·天津·一模）在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，点在轴的负半轴上，点在第二象限，矩形的顶点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上．将沿轴向右平移，得到，点的对应点分别为． (1)如图1，当经过点时，求直线的函数表达式； (2)设，与矩形重叠部分的面积为； ①如图②，当与矩形重叠部分为五边形时，与相交于点，分别与，交于点，用含有的式子表示　　；直接写出的取值范围 ； ②请直接写出满足的所有t的值 ． 【答案】(1) (2)①，；②或5 【分析】（1）根据平移的性质可得是等腰直角三角形，根据矩形的性质可得，从而得到，最后用待定系数法即可求得答案； （2）①根据，即可求得，再结合题意列不等式组即可求得；②分五种情况讨论：当时，与矩形重叠部分为三角形；当时，与矩形重叠部分为四边形（梯形）；当时，重叠部分为梯形；当时，与矩形重叠部分为五边形；当时，重叠部分为矩形，分别画出图形，结合图形建立方程求解即可． 【详解】（1）解：如图①，当经过点时， 矩形的顶点， ， 由平移的性质可得：为等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 设直线的解析式为， 将代入得：， 解得：， 直线的解析式为：； （2）解：①如图②，当与矩形重叠部分为五边形时， 矩形中，， 四边形是矩形， 设，则， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ； ②当时，与矩形重叠部分为三角形，如图， 重叠部分的面积为：， ， ，解得：， ， 不符合题意，此时重叠部分面积不可能为； 当时，与矩形重叠部分为四边形（梯形），如图④， 则， ， ， 解得：， ， 符合题意； 当时，重叠部分为梯形，为定值，不能等于； 当时，与矩形重叠部分为五边形， 由①知：， ， 解得：（舍去），； 当时，重叠部分为矩形，如图⑤， ， ， 当时，，不符合题意； 综上所述，满足的所有的值为或5． 【点睛】本题是矩形综合题，考查了矩形的性质、等腰直角三角形的判定和性质，平移变换的性质，三角形、梯形、矩形面积，代定系数法求一次函数的解析式等知识，解题关键是运用数形结合思想和分类讨论思想． 突破五 一次函数与几何综合 【典例5】（2025·天津河东·二模）将一个直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点．P是边上的一点（点P不与点A，O重合），沿着折叠该纸片，得点O的对应点C． (1)填空：如图①，当点C在边上时，点P的坐标为________，的面积为________； (2)如图②，当轴时，与交于点D，求点D的坐标； (3)设点A到直线的距离为d，在折叠过程中，当时，求的长（直接写出结果即可）． 【答案】(1)，； (2) (3)或8 【分析】（1）根据折叠的性质，得，，设，则，结合，得到，得到，解答即可． （2）根据折叠的性质，结合轴，证明四边形是正方形，再利用三角形的中位线定理，解答即可． （3）解答时，分轴和不平行x轴两种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵点，点， ∴， 根据折叠的性质，得， 设， 则 ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴点， 故答案为：； ∵， ∴， 故答案为：． （2）解：∵点，点， ∴， 根据折叠的性质，得， 设， 则， ∵轴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （3）解：当轴时， ∵点，点， ∴， 根据折叠的性质，得， 设， 则， ∵轴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形，此时； ∴； 当不平行x轴时，如图所示， 过点A作于点G，根据题意，得， 设的交点为M， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据勾股定理，得， 解得， 此时， 故或8． 【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，三角函数的应用，正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【变式1】（2025·天津和平·一模）在平面直角坐标系中，O为原点，，，点，点B在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上，点D是的中点，连接． (1)填空：如图，点B的坐标为______，点C的坐标为______，线段的长为_______； (2)以点A为中心，顺时针旋转，得到，点C，D的对应点分别为E，F． ①连接，当轴时，求点F的坐标： ②连接，记M为线段的中点，S为的面积，求S的最大值（直接写出结果即可）． 【答案】(1) (2)①或；② 【分析】（1）根据等腰三角形和直角三角形的性质求出即可求出各点的坐标； （2）①分点在左侧、右侧两种情况，结合勾股定理分别求解即可；②作于，作于，连接，证明，得，进而得，得出当旋转至轴，且在右侧时，即共线，最大　，即可求出最大值． 【详解】（1）解：点， ， O为原点，，，且， ， ，， 点D是的中点， ， ， 故答案为：； （2）①解：如图所示：当旋转到时，此时轴， 作于， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ， 中，， ， ； 如图所示：当旋转到时，此时轴， 作于作于， ， 四边形是矩形， ， ， 中，， ， ； 综上所述，当轴时，点的坐标为或 ②作于，作于，连接， ， ， ， 顺时针旋转，得到， ， ， ， 在旋转过程中，，， 当旋转至轴，且在右侧时，即共线，最大　， 如图所示： ， ， ． 【点睛】本题主要考查坐标与图形，等腰直角三角形的性质(等边对等角)，旋转的性质，矩形、正方形的性质与判定，三角形中位线的性质及平行线分线段成比例定理、勾股定理等，理解坐标与图形的特点，掌握相关性质，数形结合分析思想是解题的关键． 【变式2】（2025·天津北辰·一模）在平面直角坐标系中，O为原点，是等边三角形，点，点B在第一象限，矩形的顶点，点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限，射线经过边的中点． (1)如图①，点B的坐标为_______；点D的坐标为_______； (2)将矩形沿x轴向右平移，得到矩形点O，C，D，E的对应点分别为，，，，设，矩形与重叠部分的面积为S． ①如图②，当点在的外部，且矩形与重叠部分为五边形时，，与分别相交于点F和点G，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围．（直接写出结果即可） 【答案】(1)， (2)①，；② 【分析】（1）过点B作于，记射线与交于点，中点记为N，由是等边三角形得到，，然后解直角三角形得到，，故；解直角三角形求出，则由矩形的性质得到，那么； （2）①由平移可得，则，那么，，同理，故由，求得，当点与点重合时，此时矩形与重叠部分为四边形，，故使得矩形与重叠部分为五边形时，则；当点恰好落在上时， 在中，，，则，那么，故t的取值范围为；②分类讨论，通过解直角三角形分别求出关于的函数表达式，借助于一次函数或二次函数的性质求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：过点B作于，记射线与交于点，中点记为N， ∵是等边三角形，点， ∴，， ∴，， ∴； ∵四边形为矩形， ∴，， ∵点N为中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：①如图： 由平移可得， ∴， ∴在中，， ∴， ∵， ∴， ∴同理， ∴， ∴， 当点与点重合时，此时矩形与重叠部分为四边形，， 故使得矩形与重叠部分为五边形时，则； 当点恰好落在上时，如图： 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴t的取值范围为； ②当时，此时矩形与重叠部分为四边形， 此时，在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 当时，由①得：， 对称轴为直线，而开口向下， ∴当时，随着的增大而增大， ∴时，，时，， ∴； 当时，此时矩形与重叠部分为六边形，如图： 由上可知， 此时在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵对称轴为直线，开口向下， ∴， 当时，， 当时，， ∴； 当时，此时矩形与重叠部分为五边形，如图： 同上可求 ∴， ∵对称轴为直线，开口向下， ∴当，随着的增大而减小， ∴时，；时，， ∴， 综上所述：． 【点睛】本题考查了动点类的分析问题，涉及矩形的性质，解直角三角形，二次函数的性质，一次函数的性质，等边三角形的性质，难度很大，解题的关键在于分类讨论，对画图找临界位置要求非常高． 突破六 新情境问题 【典例6】（2025·天津西青·二模）某校八年级（1）班共有学生人，据统计原来每人每年用于购买饮料的平均支出是元．经测算和市场调查，若该班学生集体改饮某品牌的桶装纯净水，则年总费用由两部分组成，一部分是购买纯净水的费用，另一部分是其它费用元，其中，纯净水的销售价（元桶）与年购买总量（桶）之间满足如图所示关系． (1)求与的函数关系式； (2)若该班每年需要纯净水桶，且为时，请你根据提供的信息分析一下：该班学生集体改饮桶装纯净水与个人买饮料，哪一种花钱更少？ (3)当至少为多少时，该班学生集体改饮桶装纯净水一定合算，从计算结果看，你有何感想？（不超过字） 【答案】(1) (2)用桶装纯净水花钱少 (3)元，感想见解析 【分析】本题要注意利用一次函数的特点，列出方程组，求出未知数的值从而求得其解析式以及运用二次函数解决实际问题的能力． （1）设，根据题意得出，的值即可求出与的函数关系式． （2）分别计算出买饮料每年总费用以及饮用桶装纯净水的总费用比较可得． （3）设该班每年购买纯净水的费用为元，解出二次函数求出的最大值可求解． 【详解】（1）解：设， 时，；时，． 解之，得 与的函数关系式为． （2）解：该班学生买饮料每年总费用为元， 当时，，得． 该班学生集体饮用桶装纯净水的每年总费用为元． 显然，从经济上看饮用桶装纯净水花钱少． （3）解：设该班每年购买纯净水的费用为元，则 ， 当时，， 要使饮用桶装纯净水对学生一定合算， 则， 即， 解之，得元． 所以至少为元时班级饮用桶装纯净水对学生一定合算， 由此看出，饮用桶装纯净水不仅能省钱，而且能养成勤俭节约的好习惯． 【变式1】（2025·天津南开·二模）已知学生宿舍、文具店、图书馆依次在同一条直线上，文具店距离宿舍，图书馆距离宿舍．张强从宿舍出发，匀速骑行到图书馆，在图书馆中查阅资料停留了一段时间；接着他匀速骑行到达了文具店，在文具店停留了购买文具；最后，他又匀速骑行回到宿舍．下图中（单位：）．表示张强离开宿舍的时间，（单位：）表示张强离宿舍的距离．图象反映了这个过程中张强离宿舍的距离与张强离开宿舍的时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)填表： 张强离开宿舍的时间（单位：） 0.5 1.8 2.3 2.4 2.6 张强离宿舍的距离（单位：） 4 1 0 (2)填空：①文具店到图书馆的距离为 ； ②张强在图书馆查阅资料停留的时间为 ； ③当时，请直接写出关于的函数解析式． (3)当张强离开宿舍时，同宿舍的李明从图书馆出发匀速步行直接回宿舍，最后，他与张强同时到达宿舍，那么，张强从图书馆回宿舍的途中（），两人相距时，张强离开宿舍的时间为 ． 【答案】(1)见详解 (2)①3②③ (3)或或 【分析】本题考查了函数图象，求一次函数的解析式，一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，认真分析函数，即可填表； （2）①根据图书馆与宿舍的距离减去文具店与宿舍的距离得出文具店到图书馆的距离为； ②理解题意，得张强在图书馆查阅资料停留的时间为； ③结合函数图象，设时，关于的函数解析式为，代入数值得，当时，；设时，关于的函数解析式为，把分别代入，得，即可作答． （3）先求出李明距离宿舍的距离和张强离开宿舍的时间之间的函数解析式为，再进行分类讨论，根据两人相距列出一元一次方程，进行作答即可． 【详解】（1）解：依题意，结合图象， ∵ ∴此时张强在图书馆，距离宿舍的距离， ∵ ∴此时张强在文具店，距离宿舍的距离， 张强离开宿舍的时间（单位：） 0.5 1.8 2.3 2.4 2.6 张强离宿舍的距离（单位：） 4 4 1 1 0 （2）解：依题意，① 即文具店到图书馆的距离为， 故答案为：； ②结合图象，得， ∴张强在图书馆查阅资料停留的时间为； ③依题意，设时，关于的函数解析式为， 把代入，得， 解得， ∴； 当时，； 设时，关于的函数解析式为， 把分别代入， 得， 解得 ∴， 故． （3）解：由图象得张强离开宿舍再回到宿舍，一共花了， 设当设时，李明距离宿舍的距离和张强离开宿舍的时间之间的函数解析式为， ∵当张强离开宿舍时，同宿舍的李明从图书馆出发匀速步行直接回宿舍，最后，他与张强同时到达宿舍， ∴李明距离宿舍的距离和张强离开宿舍的时间之间的函数图像经过点，， 代入解析式子得：， 解得：， 即李明距离宿舍的距离和张强离开宿舍的时间之间的函数解析式为， ①当时，由（2）得：此时， 则， 解得：， ②当时， 由图可知：此， 则， 解得：（舍去）， ③当时， ∵当时，两人相距， ∴当时，两人相距小于， 综上：张强从图书馆回宿舍的途中（），两人相距时，张强离开宿舍的时间为或或． 故答案为：或或． 【变式2】（2025·天津西青·二模）某地为了更好地促进旅游业的发展，方便游客游览，推出乘坐观光车和大巴车两种游览方式（行驶路线相同）．现有甲、乙两个旅游团，均准备从地出发前往相距千米的地游览，其中甲旅游团选择乘坐观光车，并在中途停靠一段时间后继续按照原来的速度前往地：乙旅游团则在甲旅游团出发小时后乘坐大巴车前往地，且比甲旅游团提前二十分钟到达地． 下面图中（单位：）表示旅游团乘车的时间，（单位：）表示旅游团离开地的距离，图象反映了这个过程中甲旅游团离开地的距离与甲旅游团所用时间之间的对应关系． (1)填表： 甲旅游团所用时间 甲旅游团离开地的距离 填空：图中的值为_______大巴车的速度为_______； (2)当时，请直接写出甲旅游团离开地的距离与甲旅游团所用时间的函数解析式； (3)甲旅游团出发几小时被乙旅游团追上？此时甲旅游团距地多少千米？（直接写出结果即可） 【答案】(1)，；，； (2)； (3)，． 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，解决本题的关键在于根据图象中的数据，利用数形结合的思想求出旅游团对台行驶的路程与时间之间的关系． 根据图象中甲旅游团出发的时间与行驶的路程之间的关系求出甲旅游团从出发到行驶的函数关系式，利用关系式求出甲旅游团离开地的距离为时，所用的时间为，甲旅游团出发离地的距离为； 由图象可知甲旅游团的速度为，，根据大巴车出发的时间和到达的速度可知大巴车总共行驶了，所以大巴车的速度为； 设甲旅游团出发后被追上，可列方程，解方程可以求出，根据此时甲旅游团行驶的时间求出甲旅游团距的距离． 【详解】（1）解：设甲旅游团从出发到行驶的函数关系式为， 当时，， ， 解得：， 甲旅游团从出发到行驶的函数关系式为， 当时， 可得：， 解得：， 由图象可知：甲旅游团出发时，离开地的距离为， 故答案为：，； 由图象可知：甲旅游团的速度是， ， 由图象可知甲旅游团从出发到到达目的地共用了， 分钟， 乙旅游团用的时间有， 大巴车的速度是， 故答案为：，； （2）解：由可知：当时，； 由图象可知：当时，； 设当时，图象的解析式为， 当时，，当时，， 可得：， 解得：， 解析式为：； 当时，甲旅游团离开地的距离与甲旅游团所用时间的函数解析式为； （3）解：设甲旅游团出发后被追上， 根据题意可得：， 解得：， 此时甲旅游团距地． 【变式3】（2025·天津河西·一模）无人机表演队在进行表演训练，甲无人机以一定的速度从地面起飞，匀速上升6s时，到达训练计划指定的高度停止上升，保持此高度并开始第一次表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，当甲无人机按照训练计划准时到达距离地面的高度96m时，进行了第二次表演，表演完成后以一定的速度返回地面．下面给出的图象反映了这个过程中甲无人机距离地面的高度与它飞行的时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 甲无人机飞行的时间/s 1 6 30 39 所在的位置距离地面的高度/m 48 ②填空：甲无人机返回地面时的速度为______； ③当时，请直接写出y关于x的函数解析式． (2)现有新的训练计划（甲无人机保持原训练计划不变），在甲无人机开始第一次表演5秒后，有乙无人机从距离地面48米高的楼顶起飞，匀速上升并和甲无人机同时到达距离地面96米的高度，并开始与甲无人机进行联合表演，表演结束后，两机都以相同的速度同时返回地面．问乙无人机出发多久时，甲无人机和乙无人机距离地面的高度差为10米？（直接写出结果即可） 【答案】(1)①8，96，96；②12；③ (2)秒或3秒 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，函数图象获取信息，解题的关键是读懂题意，读懂图象． （1）①由待定系数法求出各段的函数解析式，再求函数值，即可填表；②由图象可得列出除以时间即可求解速度；③由①即可得； （2）设乙无人机的距离地面的高度与它飞行的时间的函数关系式为，则代入，，求得，①当时，由题意得；②当时，由题意得：，分别解方程算出时间，注意题干问的是乙无人机出发多久，故还需减去秒． 【详解】（1）解：①当时，设函数关系式为， 代入得：， 解得：， ∴， 当时，； 当时，； 当时，设， 代入，得：， 解得：， ∴， 当时，， ∴当时，， 故答案为：8，96，96； ②甲无人机返回时速度为：， 故答案为：12； ③由①可得：； （2）解：， 设乙无人机的距离地面的高度与它飞行的时间的函数关系式为， 则代入，得：， 解得：， ∴， ①当时，由题意得， 解得：， ∴； ②当时，由题意得：， 解得：或（舍）， ∴， 综上：乙无人机出发秒或3秒时，甲无人机和乙无人机距离地面的高度差为10米． 突破七 新考法问题 【典例】（2025·吉林延边·模拟预测）延边大学网红墙是热门网红打卡地，大学生李明和张强相约来延吉旅游．已知德铭宾馆、公园、延边大学网红墙在同一条直线道路上．两人从德铭宾馆出发，打车匀速行驶到距离宾馆的延边大学网红墙，在网红墙拍照停留后选择分开游玩．李明独自匀速步行到延吉人民公园观赏荷花，张强停留在网红墙处购买纪念品．李明在公园停留后原路匀速步行返回宾馆．图象反映了整个过程中李明离宾馆的距离与离开宾馆的时间之间的变化关系．根据相关信息，解答下列问题： (1)填空： ①从宾馆打车到网红墙所用时间为______； ②李明从宾馆出发时距离宾馆______； ③网红墙距离公园______；李明从网红墙匀速步行到公园的速度为_____． (2)求当时，y关于x的函数解析式； (3)当李明离开网红墙后，张强快步以的速度原路返回和李明汇合，当张强与李明汇合时，汇合地点距离宾馆多远？（直接写出结果即可） 【答案】(1)①5  ②  ③， (2)当时，y关于x的函数解析式为 (3) 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，求函数的解析式，列一元一次方程解决实际问题，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）①②③根据图象即可解答； （2）利用待定系数法即可解答； （3）当李明离开网红墙后，此时时间为离开宾馆35分钟后，则设离开宾馆分钟后，张强与李明汇合时，列方程即可解答． 【详解】（1）解：①根据图象可得从宾馆打车到网红墙所用时间为； ②李明从宾馆出发时距离宾馆； ③网红墙距离公园；李明从网红墙匀速步行到公园的速度为， 故答案为：5；；，； （2）解：设当时，y关于x的函数解析式为， 根据图象，把，代入可得， ， 解得， 所以当时，y关于x的函数解析式为； （3）解：当李明离开网红墙后，此时时间为离开宾馆35分钟后， 由（2）中值可得当时，李明的速度为， 设离开宾馆分钟后，张强与李明汇合，根据题意， 可得方程， 解得， 把代入， 可得， 答：当张强与李明汇合时，汇合地点距离宾馆． 72．（2023·吉林长春·模拟预测）某文具店自疫情以来网络销量不断增大，为了节省快递费用，与快递公司协商后达成协议，协议部分内容如下： ①同城快递发货费用每件价格固定，但低于外市快递每件发货价格． ②外市快递每日发货不超过30件附，发货价格按每件8元计算，超过30件时超过的部分每件发货价格有一定的优惠． （注：文具店单件货品不超过标准重量，外市快递不包含偏远地区） 文具店每日同城快递和外市快递各自发货所花金额y（元）与各自发货件数x（件）之间的函数关系如图所示： (1)求同城快递每件发货价格． (2)求外市快递发货费用y与外市发货件数x的函数关系式 (3)文具店某日发货50件（同城和外市均有销量），共花费304元，求这一天文具店同城快递发货件数． 【答案】(1)每件5元； (2) (3)这一天文具店同城快递发货件数为件； 【分析】本题考查的是一次函数的实际应用，理解题意，分别确定相应的函数关系式是解本题的关键； （1）根据函数图象直接利用总价除以数量可得单价； （2）分两种情况：当，当，再求解函数解析式即可； （3）设文具店某日发货50件中有件外市的，则同城有件，再分两种情况建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：同城快递所花金额y（元）与发货件数x（件）之间的函数关系为正比例函数， ∴同城快递每件发货价格为（元）； （2）∵外市快递每日发货不超过30件附，发货价格按每件8元计算， ∴当时， ， 当时，， 当时，设关系式为， ∴， 解得：， ∴， ∴外市快递发货费用y与外市发货件数x的函数关系式为： ； （3）由（1）可得：同城快递发货所花金额y（元）与发货件数x（件）之间的函数关系为： ， 设文具店某日发货50件中有件外市的，则同城有件， 当时， ， 解得：，符合题意， ∴这一天文具店同城快递发货件数为件； 当时， ， 解得：，不符合题意，舍去； 综上：这一天文具店同城快递发货件数为件； 【变式1】（2024河东区模拟）落实五育并举，加强劳动教育．某中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地．年计划将其中的土地全部种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜成本为50元/．乙种蔬菜的种植成本与其种植面积之间的关系如下图所示．设乙种蔬菜种植成本为y（元/），乙种蔬菜的植面积为x（）（其中）．    (1)根据题意，填写下表： 种植面积x（） 乙种蔬菜种植成本y（元/） ① ② ③ (2)设年甲乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？ 【答案】(1)见解析 (2)当甲种蔬菜的种植面积为，乙种蔬菜的种植面积为时，最小 【分析】（1）当时，待定系数法求解析式为，即，分别求当时，当时，当时的值，然后填表即可； （2）分别求当时，当时的的表达式，然后根据一次函数，二次函数的性质求最值，然后判断作答即可． 【详解】（1）解：当时，设， 将代入得，， 解得，， ∴， ∴， 当时，； 当时，； 当时，； 填表如下： 种植面积x（） 乙种蔬菜种植成本y（元/） （2）解：当时，， ∵， ∴当，有最小值，最小值为， ∴； 当时，， ∵， ∴当时，有最小值，最小值为， ∵， ∴当甲种蔬菜的种植面积为，乙种蔬菜的种植面积为时，最小． 【点睛】本题考查了一次函数、二次函数的应用，一次函数、二次函数解析式，一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质等知识．熟练掌握一次函数、二次函数的应用，一次函数、二次函数解析式，一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质是解题的关键． 【变式2】（2023·天津和平·三模）在“看图说故事”活动中，某学习小组根据《龟兔赛跑》的故事绘制了函数图象． 乌龟和兔子在笔直的公路上比赛，它们从同一地点同时出发后匀速向终点前进，兔子很快把乌龟远远甩在后头，骄傲自满的兔子觉得自己遥遥领先，就躺在路边呼呼大睡起来.当它一觉醒来，发现乌龟已经超过它，于是兔子加快速度追赶，最后还是输给了乌龟．图中的线段和折线分别表示乌龟和兔子的路程ym和时间x之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)填表： 比赛时间 5 10 35 52 60 兔子所走的路程 200 550 (2)填空： ①赛跑中，兔子共睡了______； ②乌龟追上兔子所用的时间为______； ③兔子到达终点比乌龟晚了_______； ④在比赛过程中，龟和兔最多相距________m． (3)当时，请直接写出兔子在赛跑过程y和x的函数解析式． 【答案】(1)见详解 (2)①，②，③，④ (3) 【分析】（1）采用待定系数法求出兔子在线段、所在直线的解析式，问题即可得解； （2）根据（1）的结果，结合函数图象即可作答①②③，④根据兔子、乌龟的路程和时间之间的对应关系，分段分情况讨论即可作答； （3）根据（1）和（2）的结果直接作答． 【详解】（1）设线段所在直线的解析式为， 代入点、， 有：，解得， 即线段所在直线的解析式为，且， 同理可得线段所在直线的解析式为，且， 结合图形有：线段所在直线的解析式为，且， 当时，， 当时，， 当时，， 填表如下： 比赛时间 5 10 35 52 60 兔子所走的路程 100 200 200 270 550 （2）①兔子睡觉的时长为：， ②利用（1）中的待定系数法可得线段所在直线的解析式为，且， 当时，， 解得， 即乌龟追上兔子的用时为， ③根据图象可知，全程距离为， 即当时，， 解得：， 兔子比乌龟晚到的时间为：， ④根据（1）和（2）的结果可知： 兔子的路程和时间之间的对应关系为：， 乌龟的路程和时间之间的对应关系为：，且， 第一种情况：当时，， 此时的值随着x的增大而增大， ∴当时，有最大值，为； 第二种情况：当时，， 当时，， 此时的值随着x的增大而减小， ∴当时，有最大值，为； 当时，， 此时的值随着x的增大而增大， ∴当时，有最大值，为； 第三种情况：当时，乌龟在前，兔子在后， 即， 此时的值随着x的增大而减小， ∴当时，有最大值，为； 综上所述：乌龟和兔子最多相距； （3）根据（1）和（2）的结果可知： 兔子的路程和时间之间的对应关系为：． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，函数图象的识别，掌握待定系数法，注重数形结合，是解答本题的关键． 【变式3】（2025·天津和平·一模）某通讯公司推出了移动电话的两种计费方式，设一个月内使用移动电话主叫的时间为分钟，方式一，方式二的月使用费用分别为元，元，两种计费方式被叫均免费．其中方式一月使用费详情见下表，方式二的月使用费元与主叫时间分钟的函数图象如图所示． 月使用费/元 主叫限定时间/分钟 主叫超时费/（元/分钟） 被叫 方式一 38 120 0.1 免费 (1)根据题意填表： 表格一： 主叫时间x分钟 x=100 x=320 x>120 方式一计费/元 y1= 表格二： 月使用费/元 主叫限定时间/分钟 主叫超时费/（元/分钟） 被叫 方式二 免费 (2)结合图象信息，求与的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)选用哪种计费方式花费少（直接写出结果即可）． 【答案】(1)38，58，0.1x+26；58，360，0.1 (2) (3)当0≤x＜320时，方式一花钱少；当x=320时，两种方式费用相同当x＞320时，方式二花钱少 【分析】（1）根据两种方式的收费标准进行计算即可； （2）分两种情况，利用待定系数法即可求解； （3）计算出两种方式在此取值范围的收费函数，画出函数图像，然后比较即可得出答案． 【详解】（1）解：方式一， 根据题意：当x≤120时，y1=38； 当x>120时，y1=38+0.1(x-120)=0.1x+26； ∴x=100时，y1=38； x=320时，y1=0.1×320+26=58； ∴填表如下： 主叫时间x分钟 x=100 x=320 x>120 方式一计费/元 38 58 y1=0.1x+26 方式二， 填表如下： 月使用费/元 主叫限定时间/分钟 主叫超时费/（元/分钟） 被叫 方式二 58 360 0.1 免费 （2）解：根据题意：当0≤x≤360时，y2=58； 当x>360时，设y2=kx+b， 把(360，58)，(480，70)代入得：， 解得：， ∴当x>360时，y2=0.1x+22， ； （3）解：依题意画出两个函数的图象如下： 观察图象得：当x=320时，两种方式费用相同，都是58元； 当0≤x＜320时，方式一花钱少； 当x＞320时，方式二花钱少． 【点睛】此题考查一次函数的实际运用，理解题意，根据题意分段得出函数解析式是解决问题的关键． 1．（2025·天津滨海新·三模）某商店销售一种进价为40元/千克的海鲜产品，据调查发现，月销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间满足一次函数关系，部分信息如下表： 售价x（元/千克） 50 60 70 80 … 销售量y（千克） 250 240 230 220 … ①y与x之间的函数关系式为； ②当售价为72元时，月销售利润为7296元； ③当每月购进这种海鲜的总进价不超过5000元时，最大利润可达到16900元； ④销售这种海鲜产品，每月最高可获得利润16900元； 其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，二次函数的应用，一元一次不等式的应用，根据题意，可设与之间的函数关系式为，再把将、代入，联立方程组，并解出，得出与之间的函数关系式，即可判断选项①；再根据一次函数的性质，得出当时，月销售量为千克，然后算出月销售利润，即可判断选项②；设月销售利润为，根据月销售利润等于每千克的利润乘以数量，得出，再根据题意，得出月销售量不超过千克，再根据一次函数，得出售价，然后代入，计算即可判断选项③；再根据二次函数的性质，即可判断选项④，综合即可得出答案． 【详解】解：设y与x之间的函数关系式为, 把代入到中得：， ∴， ∴y与x之间的函数关系式为,故①正确； 当时，，则此时利润为元，故②正确； 设月销售利润为元， ∴， ∵每月购进这种海鲜的总进价不超过元， ∴（千克），即月销售量不超过千克， ∴当时，即， 解得：， ∴（元），故③错误； ∵， ∴当时，有最大值，最大值为，即最高利润为元，故④正确． ∴正确的有3个， 故选：C。 2．（2024·天津和平·一模）已知二次函数 （是常数） 的图象与轴没有公共点，且当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点、二次函数的性质，明确抛物线与轴的交点个数与判别式的关系及二次函数的性质是解题的关键． 先将所给的二次函数整理，再根据图象与轴没有公共点，得出判别式，从而解得，然后求出抛物线的对称轴，结合抛物线开口向上，且当时，随的增大而减小，可得，从而得出答案轴． 【详解】解： ， 图象与轴没有公共点， ， ， 抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上，且当时，随的增大而减小， ， 实数的取值范围是， 故选C． 3．（2024·天津·一模）在同一直角坐标系中，函数与的图象大致是（    ） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（4） D．（3）（4） 【答案】C 【分析】分k＞0和k＜0两种情况分类讨论即可确定正确的选项． 【详解】当k＞0时， 函数y＝kx的图象位于一、三象限，y＝（k≠0）的图象位于一、三象限，（2）符合； 当k＜0时， 函数y＝kx的图象位于二、四象限，y＝（k≠0）的图象位于二、四象限，（4）符合； 故选C． 【点睛】考查了反比例函数和正比例函数的性质，解题的关键是能够分类讨论，难度不大． 4．（2025·天津滨海新·二模）函数的图象经过点，则函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】先将点代入反比例函数中求出k的值，然后利用一次函数的图象即可得出答案． 【详解】∵函数的图象经过点， ， ， ∴一次函数的图象经过二，三，四象限， ∴一次函数的图象不经过第一象限． 故选：A． 【点睛】本题主要考查待定系数法和一次函数的图象，掌握待定系数法和一次函数的图象是解题的关键． 5．（2023·天津西青·一模）若点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）都是一次函数y=﹣x﹣1图象上的点，并且y1＜y2＜y3，则下列各式中正确的是（　　） A．x1＜x2＜x3 B．x1＜x3＜x2 C．x2＜x1＜x3 D．x3＜x2＜x1 【答案】D 【分析】由k=﹣1＜0，可得出y随x的增大而减小，再根据y1＜y2＜y3，即可得出x1＞x2＞x3． 【详解】解：∵一次函数y=﹣x﹣1中k=﹣1＜0， ∴y随x的增大而减小， 又∵y1＜y2＜y3， ∴x1＞x2＞x3． 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，根据k＜0找出y随x的增大而减小是解题的关键． 6．（2024·天津·模拟预测）当k变化时，两条直线：和：的最大距离为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，当两个不同的一次函数的解析式的k相同的时候，这两条直线在坐标系中的图象是平行的，解题要运用数形结合的思想，通过画图来求解．先观察两个一次函数的解析式发现，这两个图象分别经过一个定点，直线：经过定点，：经过定点，然后可将大致图象在坐标系中画出，来观察两直线的最大距离，即可得出结果． 【详解】解：如图所示，直线：和：的图象大致如下： 则直线：经过定点，：经过定点， ∴， 依题意，这两条直线图象可分别绕着A点、B点旋转，当这两条直线与互相垂直时，两直线之间的距离有最大值，且为， 当这两条直线与不垂直时，两直线之间的距离（垂线段最短）， ∴当k变化时，两条直线：和：的最大距离为 故选：B． 7．（2025·天津西青·二模）一次函数的图象向上平移个单位后的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 直接根据“上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：由“上加下减”的原则可知：将一次函数的图象向上平移个单位，所得图象的函数表达式为， 故答案为：． 8．（2025·天津西青·二模）已知，，在轴上求一点，使最小，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查轴对称——最短路线问题，综合运用了一次函数的知识．先作出点关于轴的对称点，再连接，求出直线的函数解析式，再把代入即可得． 【详解】解：作点关于轴的对称点，连接交轴于， 的坐标是， 直线的函数解析式为， 把点的坐标代入解析式可得． 点的坐标是． 故答案为：． 9．（2025·天津河东·模拟预测）已知学校、书店、陈列馆依次在同一条直线上，书店离学校，陈列馆离学校．小明从学校出发，匀速骑行 到达书店，在书店停留 后，匀速骑行 到达陈列馆，在陈列馆参观学习一段时间，然后回学校，回学校途中，匀速骑行 后减速，继续匀速骑行回到学校，下面图中表示时间，表示离学校的距离．图象反映了这个过程中小明离学校的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 小明离开学校的时间/ 小明离学校的距离 ②填空：小明从陈列馆回学校途中，减速前的骑行速度为 ； ③当时，请直接写出小明离学校的距离关于时间的函数解析式． (2)当小明到达书店前 时，同学小红从书店出发匀速直接前往陈列馆，如果小红步行的速度为，那么她在前往陈列馆的途中遇到小明时离学校的距离是多少？(直接写出结果即可) 【答案】(1)①，，；②；③ (2) 【分析】本题考查行程问题，一次函数的实际应用；解题的关键是读懂题意，能从图象获取有用的信息． （1）①分析图象，求解途中速度，令求解，由图象知、时的值； ②分析图象可知小明从陈列馆回学校途中，减速前的骑行路程和时间，则速度可求； ③用待定系数法求解时的函数解析式，结合①与图象可确定时的函数解析式； （2）设小红步行的时间为，利用小明小红相遇时从陈列馆出发的距离相等列方程，确定，从而求解小红在前往陈列馆的途中遇到小明时离学校的距离． 【详解】（1）解：①由图象可知： 小明从学校出发，匀速骑行到达书店，途中速度是 ， ∴时，； 由图象知，时，， 时，， 小明离开学校的时间/ 小明离学校的距离 故答案为：，，； ②由图象可知： 小明从陈列馆回学校途中，减速前的骑行速度为 ， 故答案为：； ③由①知时，函数解析式为， 时，函数解析式为， 时，设函数解析式为，将代入解析式中得 解得， ∴时函数解析式为， ∴时函数解析式为； （2）设小红步行的时间为，则： 解得， 她在前往陈列馆的途中遇到小明时离学校的距离是． 10．（2025·天津·模拟预测）甲、乙两车从城出发前往城．在整个行程中，甲车离开城的距离与甲车离开城的时间的对应关系如图所示． (1)填空： ①A，B两城相距___________； ②当甲车出发时，距离城___________； ③当时，甲车的速度为___________； ④当时，甲车的速度为___________； ⑤请直接写出关于的函数解析式； (2)若乙车比甲车晚出发，以的速度匀速行驶，求两车相遇时，甲车离开城的时间（直接写出结果即可）． 【答案】(1)①360；②120；③60；④80；⑤ (2)或 【分析】此题考查了一次函数的应用和从函数图象获取信息，数形结合是关键． （1）①根据函数图形信息，即可求出相应结果； ②判断，结合函数图形信息，即可求出相应结果； ③利用速度=路程÷时间求解即可； ④利用速度=路程÷时间求解即可； ⑤分，，三种情况讨论即可； （2）设乙车离开城的距离为，分两种情况求解即可． 【详解】（1）①根据图象可得A，B两城相距为360； ②当甲车出发时，距离城； ③当时，甲车的速度为： ； ④当时，甲车的速度为： ； ⑤当时，； 当时，； 当时，设关于的函数解析式为， 代入，得： 解得 所以． 故答案为：①360；②120；③60；④80； （2）设乙车离开城的距离为， 乙车比甲车晚出发，以的速度匀速行驶， ． 把代入，可得． ． 当时，． 时，，即 解得． ∴两车相遇时，甲车离开城的时间或． 1．（2025·天津和平·三模）如图，在边长为4的正方形中，点是对角线延长线上一点，，连接． ①线段的长为 ； ②过点作与的延长线相交于点，点是的中点，则的长为 ． 【答案】 / 【分析】本题考查了正方形的性质，求正比例函数解析式，两点间距离公式，勾股定理等知识点，建立平面直角坐标系是解题的关键． 建立如图示，平面直角坐标系，连接，则，可求直线解析式，设，由，结合两点间距离公式建立方程求出，即可求解，设，由得到，由两点间距离公式建立方程求出，则，再由中点坐标公式求解得到，最后由两点间距离公式即可求解． 【详解】解：建立如图示，平面直角坐标系，连接， ∵四边形是边长为4的正方形， ∴， 设直线解析式：， 则代入点得到：， 解得：， ∴直线解析式：， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 设， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， 故答案为：；． 2．（2024·天津·模拟预测）已知直线，直线，设它们分别与x轴、y轴相交于A、B和 C、 D (1)如果，设线段与相交于E点， 当k为常数，，变化时，点E在怎样的曲线上运动？求出该曲线的解析式 (2)当时， 求证：，并用含或的式子表示的值 【答案】(1)点E在直线上运动，该直线的解析式为 (2)证明见详解， 【分析】（1）先求得A、B、C、D四个点的坐标，根据再分别用待定系数法求出直线与直线的解析式，进而求得两线交点E的坐标，观察点E的横纵坐标，发现彼此之间的关系，此时点E的轨迹为直线； （2）证明时，先确定各点坐标，进而可得到相关线段长度的表达式，再利用已知条件推导出对应边的比例相等：，再结合直角相等证明出，由相似三角形的对应角相等，结合直角三角形的角的关系，推导出与的夹角为，从而证明；求的值时，先用勾股定理表示线段与的长度，将前面得到的线段长度表达式代入中，利用进行化简，最终得到的值． 【详解】（1）解：由题意知，直线和分别与x轴、y轴相交于A、B和C、D， ∵， 又点A是直线与x轴交点， ∴令，解得，因此点， ∵点B是直线与y轴交点， ∴令，解得，因此点， ∵点C是直线与x轴交点， ∴令，解得，因此点， ∵点D是直线与y轴交点， ∴令，解得，因此点， 设直线的解析式为， 将点A、点D坐标代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将点B、点C坐标代入得：，解得， ∴直线的解析式为， ∵直线与的交点为E， ∴点E的坐标为， 设，， 则有， ∴， 即点E在直线上运动，该直线的解析式为． （2）证明：如图，连接，，延长与交于点F，与交于点E， 由（1）知，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，点D的坐标为，直线的解析式为，直线的解析式为， ∴，，，， ∵， ∴，则， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 则， ∵， ∴， ∴， 即． 在中，由勾股定理得，， 在中，由勾股定理得，， ∴， 综上所述，得证，． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，利用相似三角形的定理和性质求对应线段比例，难度系数大，综合性强． 3．（2025·天津南开·二模）已知抛物线（，为常数，）的顶点为，点在抛物线上，抛物线与轴相交于点，点为点关于抛物线对称轴的对称点，为坐标原点． (1)当时，求点和点的坐标； (2)当时，求的值和线段的长； (3)抛物线上点的横坐标，当时，满足，且，垂足为点．直接写出此时的值和点的坐标． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】（1）结合点在抛物线上，且，得，再根据抛物线的顶点为，把把代入，得，然后得点的坐标为，结合轴对称的性质得，即可作答． （2）因为点在抛物线上，故，与（1）同理得，点的坐标为，点；根据得，即，化简计算，得，故，，最后运用勾股定理列式计算，即可作答． （3）与（2）同理得，点的坐标为，，，结合抛物线上点的横坐标，得，因为，故，化简得，再表示，然后得的表达式，代入进行计算得，即可得出点的坐标． 【详解】（1）解：∵点在抛物线上，且， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵抛物线的顶点为，且抛物线的对称轴为直线， ∴把代入， 得， 即； ∵抛物线与轴相交于点，且抛物线的解析式为， ∴令，，即点的坐标为， ∵点为点关于抛物线对称轴的对称点，且抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴点； （2）解：∵点在抛物线上， ∴， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， 此时抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线的顶点为， ∴把代入，得， 即， ∵抛物线与轴相交于点，且抛物线的解析式为， ∴令，，即点的坐标为， ∵点为点关于抛物线对称轴的对称点，且抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴点； ∵， ∴， ∵，，为坐标原点，， 则，， ∵， ∴， 解得， ∴， 即， ∴， 则． （3）解：∵点在抛物线上， ∴， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， 此时抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线的顶点为， ∴把代入，得， 即， ∵抛物线与轴相交于点，且抛物线的解析式为， ∴令，，即点的坐标为， ∵点为点关于抛物线对称轴的对称点，且抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴点； ∴， ∵抛物线上点的横坐标，且抛物线的解析式为， ∴， ∵， ∴， 则， ∴， 整理得， ∵， ∴， ∴， ∵， ， 即， ∵，， ∴， ， ， 连接， ∵， ∴在中，， 即， 整理得， 则， ∴， ∴， 整理得， 解得． ∵， ∴， 则， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的几何综合，二次函数的图象性质，平行的性质，勾股定理，轴对称．性质，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 4．（2025·天津西青·二模）将放置在平面直角坐标系中，点，点，点，点Р是线段上一个动点，将线段绕点O逆时针旋转得到线段，点Q在y轴正半轴上，连接． (1)填空：如图①，的值是_____，的度数是_________； (2)将绕点P顺时针旋转得到，点O，Q的对应点分别是C，D，设，与重合部分面积为S． ①如图②，的边分别与相交于点E，F，即与重合部分为时，请用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围．（直接写出结果即可） 【答案】(1)，45度 (2)①；② 【分析】（1）根据可得答案，再根据得出； （2）①作，则，可得，再设，结合，得出，然后根据表示，可得，即可得； ②如图3-1所示，当时，过点D作轴于T，连接， 由旋转的性质可得，可证明，则，解直角三角形可证明，则点D此时刚好在上，此时；如图3-2所示，时，设与分别交于点H和F，过点F作于点G，延长交于J，由①得，则．求出直线的关系式为．则，由，得到，则，据此可得，根据二次函数的性质可得；再根据（2）①所求求出当时，S的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：∵点，点， ∴． 在中，． 由旋转可得． ∵， ∴； 故答案为：； （2）解：①如图所示，∵点，点， ∴． 在中，． 由旋转可得， ∴． ∵， ∴， ∴． 过点F作于G，则， ∴， ∴． 设，在中，． ∴， 同理，． ∵， ∴， 即， ∴， 即， ∴， ∴； 当点C与点E重合时，则，解得， ∴； ②如图3-1所示，当时，过点D作轴于T，连接， ∵， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴中，， ∴， ∴点D此时刚好在上， ∴ 如图3-2所示，时，设与分别交于点H和F，过点F作于点G，延长交于J， 由①得，则． 设直线关系式，则， 解得， ∴直线的关系式为． 在中，当时，则，解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，， ∴， 当时，， ∴当，S随t增大而增大， 当时，； 当时，． ∴； 综上所述，S的取值范围是． 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何图形的综合问题，解直角三角形，等腰三角形的性质，平面直角坐标系内的动点问题，旋转的性质，画出图形分情况讨论是解题的关键． 5．（2025·天津红桥·三模）已知抛物线（b、c为常数，）与轴相交于两点（点在点的左侧），与轴相交于点，抛物线上的点的横坐标为，且． (1)若． ①求抛物线的顶点和点的坐标； ②当时，求的值； (2)若点的坐标为，过点作，垂足为，过点作轴，与抛物线的另一个交点为，当的最大值为时，求的值． 【答案】(1)①；；② (2)4 【分析】（1）①把解析式化为顶点式，即可得到顶点坐标，再求出函数值为0时自变量的值即可求出点B的坐标；②由题意得点的坐标为，其中．求出点的坐标为，得到，则垂直平分，可得点M在第一、三象限的角平分线上，则，解方程即可得到答案； （2）把点B坐标代入解析式可得，则抛物线解析式为，即可得到抛物线的对称轴为直线，点的坐标为，求出点的坐标为，则直线的解析式为，过点作轴，与相交于点，则点的坐标为．可证明，则．求出，．则．即可得到，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：①当时，抛物线解析式． 顶点的坐标为． 令，得．解得或． 点在点的左侧， 点的坐标为． ②根据题意，点的坐标为，其中． 当时， ∴点的坐标为， ∴ ， ∴垂直平分 ∴，即点M在第一、三象限的角平分线上， ． 解得（舍去），． （2）解：点的坐标为， ∴ ， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， 抛物线的对称轴为直线，点的坐标为， 在中，当时，， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 过点作轴，与相交于点，则点的坐标为． ∵，， ∴， ∵轴， ∴， ∴ ， ∴． ． 轴， ． ． ． 当时，取得最大值． ．即． 解得（舍去），． 的值为4． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，解直角三角形，一次函数与几何综合等等，解（1）的关键在于证明点M在第一、三象限的角平分线上，解（2）的关键在于证明． 6．（2024·天津·模拟预测）已知直线与双曲线相交于A、B两点，其中，设点A关于原点中心对称的点为，直线的解析式为； (1)当或时， 判断的大小并简要说明理由； (2)对于一般情形，请证明． 【答案】(1)，理由见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）分别讨论当或时，的大小，先设点A和中心对称点的坐标，代入直线l解析式转化为，联立双曲线解析式后进行整理因式分解求得，此时计算出点B的坐标，再利用勾股定理求出、和的长度，利用勾股定理的公式判断是否为直角三角形，最终求出对应角度即可； （2）先设，则，点在直线上和双曲线上，联立两个方程得到，此时该方程有两个根，说明直线l与双曲线有两个不同的交点A，B，从而得出点B的坐标，根据已知直线解析式将，B两点代入解析式中得到，之间的关系，进而得出结论． 【详解】（1）解：当时， 设，则， ∵点A在直线l上， ∴，即， ∴直线l的解析式为， 联立， 整理得：， 因式分解得： ， ∴或，则， ∴， ， ∴ ， 而， ∴， 根据勾股定理逆定理可得，； 当时， 设，则， ∵点A在直线l上， ∴，即， ∴直线l的解析式为， 联立， 整理得：， 因式分解得：， ∴或，则， ∴， ， ∴ ， 而， ∴， 根据勾股定理逆定理可得，， 综上所述，． （2）证明：设，则， ∵在双曲线上， ∴，即， 又∵在直线上， ∴，移项可得， ∴直线l的解析式为：， 联立方程，得， ∴此时，则，点， ，则，即点， ∵直线的解析式为，点，点在直线上， ∴将两点代入解析式后得到：， 由得：， 又∵点A在上，将代入上式：， ∴，即， 若，则，代入得， 又∵，故， 此时直线l过原点，交点A，B关于原点对称，即，直线无法确定，与题意不符， 故只能是． 【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数与几何的综合应用，利用勾股定理判断直角三角形，需正确设立未知数表示系数之间的关系． 1．（2025·江苏南京·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知下列变换：①沿轴翻折；②沿函数的图像翻折；③绕原点按顺时针方向旋转；④绕点按顺时针方向旋转．其中，能使函数的图像经过一种变换后过点的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先求出，，再分析得沿轴翻折得，求出的解析式，然后判断沿轴翻折不过点；再求出经过点，，则，，，得是的垂直平分线，即与关于直线对称，故沿函数的图像翻折过点；点绕着原点按逆时针方向旋转，与轴交于点，得出，经过分析，得不在，即绕原点按顺时针方向旋转不经过点；结合勾股定理的逆定理以及勾股定理得是等腰直角三角形，即点绕点按顺时针方向旋转，与点P重合，故函数的图像绕点按顺时针方向旋转过点，即可作答． 【详解】解：令则， ∴， 即， 令，则， 即， ∵沿轴翻折， ∴沿轴翻折得 设的解析式为， 把，代入 得， ∴， 则， ∴沿轴翻折不过点， ∴①不符合题意； ②令则， 解得， 即经过点， 令，则 即经过点， 连接，如图所示： ∵，，， 则，， ∴， ∵， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴与关于直线对称， 故沿函数的图像翻折过点， ∴②符合题意； ③ 依题意，点绕着原点按逆时针方向旋转，与轴交于点， 当点在上，则绕原点按顺时针方向旋转经过点； 当点不在上，则绕原点按顺时针方向旋转不经过点； 过程如下： ∴， 此时点， 把代入， 得 ∴不在， 即绕原点按顺时针方向旋转不经过点， 故③不符合题意； ∵绕点按顺时针方向旋转，且， ∴记为T点，连接， ∴， ∴， 则， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴点绕点按顺时针方向旋转，与点P重合， 故函数的图像绕点按顺时针方向旋转过点， ∴④符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了几何变换，一次函数的性质，勾股定理，旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 2．（2025·江苏无锡·中考真题）若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且关于轴对称，则称函数和具有“对偶关系”，此时点或点的纵坐标称为“对偶值”．下列结论： ①函数与函数不具有“对偶关系”； ②函数与函数的“对偶值”为； ③若1是函数与函数的“对偶值”，则： ④若函数与函数具有“对偶关系”，则． 其中正确的是（　　） A．①④ B．②③ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查新定义展开，围绕“对偶关系”和“对偶值”的定义逐一求解即可； 根据关于轴对称，称函数和具有“对偶关系”，则横坐标是相反数关系，纵坐标相等，逐一分析即可. 【详解】解：①设函数上点坐标轴为 ， ∵关于轴对称 ∴点坐标为 若点或点的纵坐标称相等， ∴解得：， 则存在这样的点，使得他们关于轴对称， ∴函数与函数具有“对偶关系” 所以①错误；故不符合题意； ②当时，则，解得；，解得；横坐标是相反数，所以②正确，故符合题意； ③当时，则，解得； 因为是函数与函数的“对偶值”， 所以函数的，代入得： ，解得，所以③正确，故符合题意； ④设点坐标为，则点坐标为  ， ∵横坐标是相反数关系，纵坐标相等 ∴，整理得， ∵，对于函数，y随m的增大而增大， 当时，； 当时，； ∴，而不是，所以④错误，故不符合题意； 故选：B. 3．（2025·河北·中考真题）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，正方形与正方形的顶点均为整点．若只将正方形平移，使其内部（不含边界）有且只有，，三个整点，则平移后点的对应点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图象，一次函数的平移，待定系数法求得直线的解析式为，根据选项判断平移方式，结合题意，即可求解． 【详解】解：设直线的解析式为，代入 ∴ ∴ ∴直线的解析式为 ∵， A. 当为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位， ∴直线平移后的解析式为，此时经过原点，对应的经过整点，符合题意， B. 当为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位， ∴直线平移后的解析式为，此时原点在下方，对应的在整点上方，不符合题意， C. 当为时，平移方式为向右平移个单位，， ∴直线平移后的解析式为，此时点在正方形内部，不符合题意， D. 当为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位， ∴直线平移后的解析式为，此时点和在正方形边上或内部，不符合题意， 故选：A． 4．（2025·青海西宁·中考真题）在平面直角坐标系中，点，点P在过原点的直线上，且，则直线的解析式是 ． 【答案】或 【分析】本题考查求一次函数的解析式，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，根据，结合，得到为等边三角形，分点在点上方和点在点下方两种情况，求出点的坐标，待定系数法求出函数解析式即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 过点作轴，则：，， ∴或， 设直线的解析式为， ∴当时，，解得，此时； 当时，，解得，此时； 综上：或； 故答案为：或． 5．（2025·江苏南通·中考真题）在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径作．直线与交于两点，则的最小值为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了一次函数的图象，垂径定理，对于，当时，得直线过定点，再求出，得点P在内部，根据过圆内定点P的所有弦中，与垂直的弦最短，得当直线与垂直时，为最小，此时，在中，由勾股定理求出，进而可得的最小值． 【详解】解：∵ ∴直线过定点， ∵点， ∴， 又∵的半径为， ∴， ∴点P在内部， 由于过圆内定点P的所有弦中，与垂直的弦最短，即当直线与垂直时，为最小，如图所示： 由垂径定理得：， ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， ∴， 即的最小值为6． 故答案为：6． 6．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交y轴于点．四边形，，，，都是正方形，顶点，，，，都在轴上，顶点，，，，都在直线上，连接，，，，分别交，，，，于点，，，，．设，，，，…的面积分别为，，，，，则 ． 【答案】 【分析】根据一次函数的解析式可得点的坐标是，设点的坐标是，根据正方形的四条边都相等可得，从而求出正方形的边长为，根据正方形的对边相互平行，可知，根据相似三角形的性质求出，从而可得，利用三角形的面积公式可以求出，同理可以求出，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可证，且相似比为，根据规律可得． 【详解】解：当时，， 点的坐标是， 点在直线上， 设点的坐标是， 则点的坐标是，点的坐标是， 四边形是正方形， ，， ， 解得：， 的坐标是， 正方形的边长为， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ； 设点的坐标为， 则点的坐标是，点的坐标是， ， 四边形是正方形， ，， ， 解得：， ， 的坐标是， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ， 的坐标是，的坐标是， ， 的坐标是，点的坐标是， ， ，， ， 又四边形和均为正方形， 轴，轴， ， ， ，且相似比为， ， 当时，， 同理可证，且相似比为， 则， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与性质、正方形的性质、相似三角形的判定与性质、图形的规律与探索，解决本题的关键是分别计算出和的面积，根据这两个三角形的形状与面积之间的关系找出规律，根据规律得出结果． 7．（2025·江苏南京·中考真题）如图，在长方形电子屏中，m，m．一条公益广告画面的动态效果设计如下：动点从点出发沿边，以的速度向点运动，随着的移动，画面逐渐展开． (1)写出展开的画面面积（单位：）关于点的运动时间（单位：s）的函数表达式； (2)当展开的画面面积达到电子屏面积的时开始播放广告语，播放时间持续，求播放结束时展开的画面面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一次函数的应用，矩形的性质，图形面积，正确理解题意是解题的关键． （1）当时，展开的画面面积就是的面积；当时，矩形的面积的面积； （2）先根据展开的画面面积达到电子屏面积的时开始播放广告语，计算展开的画面面积，再分别代入（1）中的关系式可得的值，计算总时间，即可解答． 【详解】（1）解：如图1，当时，， 如图2，当时，； 综上，（单位：关于点的运动时间（单位：的函数表达式为：； （2）解：， 当时，， ， 当时，（不符合题意）， 答：播放结束时展开的画面面积是． 8．（2025·江苏宿迁·中考真题）甲、乙两人从同一地点出发沿同一路线匀速步行前往处参加活动．甲比乙早出发，两人途中均未休息，先到达处的人在原地休息等待，直到另一人到达处．两人之间的路程与甲行走的时间的函数图像如图所示． (1)乙步行的速度为___________之间的路程为___________； (2)当时，求关于的函数表达式； (3)甲出发多长时间时，两人之间的路程为． 【答案】(1)90，3960 (2) (3)当甲出发或时，两人之间的路程为 【分析】本题考查一次函数的实际应用，从函数图像中有效的获取信息，正确的求出函数解析式是解题的关键： （1）观察图像可知，甲走了，甲行走时，乙追上甲，进而求出甲和乙的速度，当甲行走时，乙到达点，求出乙的总路程即为之间的路程； （2）求出点坐标，待定系数法求出段的函数关系式即可； （3）分和两种情况，求出的值即可． 【详解】（1）解：由图像可知：甲的速度为：， 设乙的速度为，由题意，得：，解得：， 故乙的速度为； 之间的路程为：； 故答案为：90，3960； （2）由图像可知：点的纵坐标为， ∴， 当时，设，把，代入，得： ，解得：， ∴； （3）当时，令，解得：； 当时，，解得：； 综上：当甲出发或时，两人之间的路程为． 9．（2025·四川乐山·中考真题）在一堂函数专题复习课上，刘老师给出了新定义：若两个函数的图象关于某一点成中心对称，则称这两个函数关于点互为“对称函数”．请同学们解决以下问题： (1)求函数关于点的“对称函数”．小乐同学给出了如下的解题步骤： 第一步：在函数的图象上取两点和； 第二步：分别求出这两个点关于点的对称点_____和______； 第三步：函数关于点的“对称函数”为______． (2)是否存在点，使得函数关于点的“对称函数”就是它本身？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)函数关于点的“对称函数”为，函数与函数所围成的区域（包括边界）记作，横坐标、纵坐标都为整数的点叫做“整点”， ①若，求内的“整点”个数； ②若内至少有个“整点”，至多有个“整点”，求的取值范围． 【答案】(1)，， (2) (3)①5；② 【分析】（1）根据“关于原点中心对称的两个点，其横纵坐标均互为相反数”，从而求出点和关于点的对称点，再用待定系数法求出函数关于点的“对称函数”； （2）分析函数解析式可知，函数是由反比例函数向上平移一个单位长度得到的，从而得出函数的图象关于点中心对称； （3）①当时，：，：，联立 ，得交点横坐标，结合图形计算可得内的“整点”个数有5个； ②先得出的解析式为，在区域内找出关于点对称的点，得出过点和过时的值即可得答案． 【详解】（1）解：关于原点中心对称的两个点，其横纵坐标均互为相反数， 点和关于点的对称点分别是，； 设函数关于点的“对称函数”为， 将，代入得， ，解得， 函数关于点的“对称函数”为． （2）解：函数是由反比例函数向上平移一个单位长度得到的， 而反比例函数关于原点中心对称， 函数的图象关于点中心对称， 存在点，使得函数关于点的“对称函数”就是它本身． （3）解：将化成顶点式，其顶点为， 、关于点对称， 的顶点为， 的解析式为 ①如图，当时，：，： 联立，解得， 当时，，，有整点， 当时，，，有整点，，， 当时，，，有整点， 故当时，求内的“整点”个数有5个； ②∵的顶点为， ∴的解析式为， ∵函数与的图象关于点成中心对称， ∴点必为区域内的“整点”， 当区域内恰有个“整点”时，其它个“整点”是对关于点对称的点，即和，和，和，和， 此时，当过时，满足题意，即， 解得：， 当过时，即， 解得：， 此时区域内有个整点，如图， 当区域内恰有个“整点”时，其它个“整点”是对关于点对称的点，在前面个“整点”的基础上增加了、、及 个“整点”， 此时， 如图， 的取值范围是． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到待定系数法求解析式，新定义函数，二次函数的顶点坐标，成中心对称的点的特征，理解“对称函数”的定义及运用数形结合思想是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $